HJKJLKÑLÑ

1. La Transformada Z

2. La transformada Z
Es una herramienta matemática que nos permite trabajar
de una forma más cómoda con los sistemas discretos.
La transformada Z convierte una señal real o compleja
definida en el dominio del tiempo discreto en una
representación en el dominio de la frecuencia compleja.

3. Definicion
La transformada Z, igual que otras transformaciones
integrales, puede ser definida como una transformada
unilateral o bilateral

8. Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del
tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define.
donde A es el módulo de z, y w es el argumento de ese
complejo que bien podría representar la frecuencia
angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).

9. Transformada Z unilateral
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está
definida únicamente para n≥0, la transformada Z unilateral
se define como

10. Transformada Z inversa
La Transformada Z inversa se define
donde Ces un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de
convergencia (ROC). El contorno, C, debe contener todos los polos
de X(z).
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C
es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC
incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de
tiempo discreto de Fourier

11. Región de convergencia (ROC)
La región de convergencia, también conocida como ROC,
define la región donde la transformada-z existe. La ROC
es una región del plano complejo donde la TZ de una
señal tiene una suma finita.
La ROC para una x[n] es definida como el rango de z
para la cual la transformada-z converge. Ya que la
transformada–z es una serie de potencia, converge
cuando x[n]z^-n es absolutamente sumable.

12. Señales Discretas.

13. Muestreador Cuantificador Codificador
Convertidor A/D
Algún código conocido, por
ejemplo BCD, GREY, etc.
Utilizable en el Computador o
Microcontrolador

14. DEFINICION: Se denomina la transformada Z
bilateral de una función discreta al la siguiente
sumatoria:
DEFINICION: Se denomina la transformada Z
unilateral de una función discreta al la siguiente
sumatoria:

15. Propiedades

16. Propiedades

17. Propiedades
Inversion en tiempo.
Sea f[n] y sea F(z) su respectiva transformada Z, entonces:

18. Propiedades

19. Propiedades

20. Propiedades

21. Propiedades
Convolución.
Sean f[n] y g[n] dos funciones del tiempo y sean F(z) y
G(z) sus respectivas transformadas Z, entonces:

22. DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA
DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO.
• Una generalización de la Transformada de Fourier es la
transformada Z.
Ventajas de la Transformada Z
• La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias
• La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos,
el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia
más conveniente
• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su
equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y
cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la
transformada de Fourier.
• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su
equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y
cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la
transformada de Fourier.

23. (
)
(
)
(
)











j j
k
k
x
X
e
x
k
e
Transformada de Fourier
(
) (
)
k
k
X
z x
k
z







La transformada de la misma
secuencia tambien se define
como


(
)
(
)
(
)
k
k
Z
x
k
X
z
x
k
z








Segun la variable
compleja continua z
La correspondencia entre una secuencia y
su transformada se denota como:
(
) (
)
x
k
X
z

La transformada de Fourier es
simplemente con j
z e 

( )
X z La transformada de Fourier es
la transformada Z tomando 1
Z 
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

24. Si tomamos j
z re 

( ) (
)
( )
j j k
k
X
r
e x
k
r
e
 







(
) (
)
(
)
 








j k
j
k
k
X
r
ex
k
r
e
Im
j
Z e 

Re
1
Plano Z
Círculo unitario

La transformada evaluada en los puntos
de dicha circunferencia es la transformada
de Fourier .

25. REGION DE CONVERGENCIA
La convergencia de la transformada Z
depende solamente de z
(
)
k
k
x
k
z







entonces:
La región en donde se cumple la
desigualdad es la región de
convergencia.
R
e
I
m
Los valores sobre la
circunferencia definida
como están dentro de la región
de convergencia.
1
z z

La transformada Z es una función
analítica en todos los puntos de la
región de convergencia; de aquí
que la transformada Z y todas sus
derivadas con respecto a son
funciones continuas en dicha
región.

26. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de
ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente
manipulaciones algebraicas.
a) SUPERPOSICIÓN
Se compone de las
características de:
1)Homogeneidad:
2)Aditividad:
(
)(
)

f
k
F
z
(
)
(
)

a
f
k
a
F
z
1 1
(
)
(
)

f
k
F
z
2
2
(
)
(
)

f
k
F
z
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)



f
k
f
k
F
z
F
z

27. si: 1 2
(
) (
) (
)
fk a
fkb
fk
 
la transformada Z es: 

 




1 2 1 2
(
) (
)
(
) (
) (
)




Z
f
k
Z
a
f
k
b
f
k
Z
a
f
k
Z
b
f
k
1 2
(
) (
) (
)
 
F
z a
F
z b
F
z
b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO)
La respuesta del sistema se define por:
(
) ( )
k0
y
k fkm
  
La transformada de la salida y(k) se define a su vez
como:
0
(
) (
)
k
k
Y
zy
k
z





0
(
) ( )k
k
Y
z fkm
z



 

Arreglar tamaño en texto y fórmulas

28. 1 2
(
) (
0
) (
1
) (
2
)
m m m
Y
zf z fz f z
 
 

  
1 2
(
0
)
(
1
) (
2
).
.
.
m
z
f f
z
f
z
  
 
 

 
Desarrollando:
La representación en diagrama de bloques para la propiedad de
corrimiento a la derecha se muestra abajo:
( )
f k
( )
F Z
-m
Z -m
( )
Z F Z
( - )
f k m
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

29. C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
Para el siguiente sistema:
( )
f k
( )
F Z
( )
h k
0
( ) ( ) ( - )


 
i
y k h i f k i
( )
H Z ( ) ( ) ( )

Y Z H Z F Z
Su salida se define
como una suma de convolución:
(
) (
)
y
kY
z

(
)
(
0
)
(
)
(
1
)
(
1
)
.
.
.
.
(
1
)
(
1
)
(
)
(
0
)
y
k
h
f
k
h
f
k
h
k
f
h
k
f







Quedando:  
0
(
)
(
0
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
2
)
(
2
)
.
.
.
(
)
(
0
)










 k
k
Y
z
h
f
k
h
f
k
h
f
k
h
k
f
z
Factorizando:
0 0 0 0
(
)
(
0
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
2
)
(
2
)
.
.
.
(
)
(
0
)

  
   
   











k k k k
k k k k
Y
z
h
f
k
z
h
f
k
z
h
f
k
z
h
k
f
z
La transformada queda: 1
2
(
)
(
0
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
)
.
.
.
.
(
)
(
)
k
Y
z
h
F
z
h
z
F
z
h
z
F
z
h
k
z
F
z








Factorizando ( ):
F z 1 2
(
)
(
0
)
(
1
)
(
2
)
.
.
.
.
(
)
(
)
k
Y
z
h
h
z
h
z
h
k
z
F
z

 
 





 
(
) (
)
(
)
Y
z
H
z
F
z


A demostrar
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

30. D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”
Sean las secuencias
(
) (
)
f
k
F
z

(
) (
)
g
k
G
z

y
si entre ellas es posible establecer la
relación:
0
(
)
(
)
k
i
g
k
f
i



para 0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,.

k n
1
1
(
)
(
)
(
)
1
1
z
G
z
F
z
F
z
z
z





queda
m
a
x
(
1
,
)
z
R
con
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

31. E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR
k
a
Sean las secuencias
(
) (
)
f
k
F
z

y (
) (
)
g
k
G
z

Si entre ellas se establece la siguiente relación: (
)
(
)
k
g
k
a
f
k

entonces la transformada se determina
como sigue:
( )
G z
 
0
(
) (
) (
)
k k k
k
Z
g
k
Z
a
f
k a
f
k
z



 
 
 

1
0
(
)
k
k
f
k
a
z






 


1
(
) ( )
k
Z
a
fk F
a
z

 

  para ;


z
a
a
R

32. F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN
1
0
(
)
(
) k
k
d
X
z
k
x
k
z
d
z






 para
z R
Derivando
Multiplicando por -z ,
0
(
)
() k
k
d
F
z
k
fk
z z
d
z






 
(
)
(
)
d
F
z
Z
k
fk Z
d
z
 
 z R
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

33. G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia ,
a partir de la transformada correspondiente.
(0)
f ( )
f k
1 2
(
)
(
0
)
(
1
) (
2
)
.
.
.
.
F
z
f f
z
f
z
 




Si
(
0
)
l
i
m
(
)



z
f F
z
entonces
H) TEOREMA DEL VALOR FINAL
Para f(k) donde ( 1
) ()
z F
z
 sea analítica para 1
z 
1
() l
i
m
( 1
)(
)


 
z
f z F
z
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

34. TRANSFORMADAS COMUNES:
1) Impulso unitario (delta de Kronecker).
Definiendo la secuencia impulso unitario para ,
su transformada se determina de la siguiente forma:
( ) 1
k
  0
k 

 1
2
0
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
1
)
(
2
)
.
.
.
.
.
k
k
z
Z
k
k
z z
z






 










( ) 1
z

 
2) Retraso
(
)
(
)
f
k
k
m



 
(
) ( ) m
F
z Z
k
m
z
 
 

35. 3) Escalón unitario
Definido por ( ) 1
k
uk

La transformada es: 1
2
0
(
)
(
)
(
0
)
(
1
)
(
2
)
.
.
.
(
)
.
.
.
k k
k
U
z
u
k
z
u
u
z
u
z
u
k
z














1
1
1
1
0
0
1
(
)
l
i
m
l
i
m
(
)
l
i
m
1





















N
N
N
k
k
N
N
N
k
k
z
U
z
z
z
z
1
1
(
)
1
U
z
z




1
z
para
4) Serie geométrica (
) 0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
.


k
f
k
a
k n
1
(
) ( )
k
Z
a
fk F
a
z

 

 
1
1
(
)
1
k a
z
fk a
a
z




Multiplicando y dividiendo
por a
(
)
z
F
z za
z
a


Si se tiene una serie divergente y
Si se tiene una magnitud unitaria y
Si se tiene una serie convergente a
cero y
1
a 
1
a 
1
a 
z a

1
z 
z a

Arreglar tamaño en texto y fórmulas

36. 5) Rampa discreta unitaria ( )
f k k

Multiplicando la ecuación anterior por
y considerando , se obtiene :
z

1
a 
2
0 (
1
)
k
k
z
k
z
z





 1
z
0
(
)





k
k
F
z
k
z
Para una secuencia geométrica se tiene:
0






k
k
k
z
a
z
z
a
Derivando con respecto a z:
2
2
0
(
)
(
)
(
)













k
k
k
d
d
z
z
a
z
a
a
z
d
z
d
z
z
a
z
a
z
a
1
2
0 ( )
k k
k
a
k
a
z
za




 



Arreglar tamaño en texto y fórmulas

37. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS
DISCRETOS LINEALES.
Dicha representación emplea tres elementos básicos:
1) Unidad de retraso.
2) Unidad multiplicadora.
3) Unidad de suma.
1) UNIDAD DE RETRASO
La relación característica para esta unidad es
(
)
(
1
)
y
k
u
k


1

Z
( ) ( 1)
y k u k
 
( )
u k
1
Z
( ) ( 2)
y k u k
 
( 1)
u k 
( )
u k 1
Z
Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo
discreto

38. 2) UNIDAD MULTIPLICADORA
(
)
(
)


y
k
a
u
k
La relación característica para esta unidad es
( ) ( )
 
y k a u k
( )
u k
a
3) UNIDAD DE SUMA
1 2
(
) (
) (
)
 
y
k
u
k
u
k
La relación característica para esta unidad es
1( )
u k


2 ( )
u k
1 2
( ) ( ) ( )
 
y k u k u k 1( )
u k

2 ( )
u k
1 2
( ) ( ) ( )
 
y k u k u k


39. OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO
MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA ANTITRANSFORMADA Z.
MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES.
Considérese una función
1
0
1
1
1
0
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
)
(
)
(
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
m
m
m
n
n
n
n
b
z
b
z
b
z
b
q
z
F
z
p
z
a
z
a
z
a
z
a














Factorizando
1
0 1 1
1 2
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. (
)
(
)
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
() ()
m
m
m
m
n
n
i
i
b
z
b
z b
z
b
q
z
F
z
z
p
z
pz
p z
p







 

 


Cuando todos los polos de en la ecuación son diferentes
1
0 1 1
1 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
)
( )
( )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( )
m m
m m
n
b
z
b
z b
z
b
F
z
z
p
z
p z
p


  

 
0
1
1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n n
n
z
zz
d
d
d
d
z
p
z
p
z
p








Arreglar tamaño en texto y fórmulas

40. El cálculo de los coeficientes es como sigue:
i
d
0 0
1 2
(
)
()
( )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( )

 

 
m
z
n
b
d
F
z
p
p p
(
)


 i
i
i z
p
z
p
d F
z
z
1
0 1 1
1 2
.
.
.
( )
( )
.
.
.
( )






  
m m
m m
n
i i i n
b
z
b
z b
z
b
d
z
p
p
p
pp
p
La secuencia resulta: 
1
0 1
12
2
(
) (
) (
) .
.
.
.
.
.
.
k k k
n
n
f
k
Z
F
z
d
k
d
p
d
p d
p


 




Con polos múltiples queda 1 2 1
1
0 1 1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
)
( )
( )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( )
m
m
mm
n n n
i n
b
z
b
z b
z
b
F
z
z
p
z
p z
p








 
La expansión de F(z), en este caso, tiene la forma:
1
1
1
2
0
1
2
2
1
1 1
(
) .
.
.
.
.
(
)
(
)








n
n
n
z
z z
F
z
d
d
d
d
z
p
z
p
z
p
2
2
2
2
1
2
2
2
2 2
.
.
.
.
.
(
)
(
)







n
n
n
z
z
z
e
e
e
z
p
z
p
z
p
.....

1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
.
.
.
.
.
(
)
(
)







n
n
n
z
z
z
r
r
r
z
p
z
p
z
p
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

41. TABLA
PARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES MÚLTIPLES
( )
F z ( )
f k 0
k 
z
z a

k
a
2
2
( )
z
z a
 ( 1
) k
k a

3
3
( )
z
z a

(
1
)
(
2
)
2
!
k
k
k
a


4
4
( )
z
z a

( 1
)
( 2
)
( 3
)
3
!
k
k k k
a
  
para
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS
El concepto de función de transferencia ; la cual se define
como la relación de la transformada Z de la salida, , de un sistema
entre la transformada Z de su entrada,
( )
H z
( )
Y z
( )
U z
(
)
(
)
(
)
Y
z
H
z
U
z

Arreglar tamaño en texto y fórmulas

42. La expresión general aplicable a la función de transferencia es:
1
0
1 1
1
0
11
.
.
.
(
)
(
)
(
) .
.
.














m
m
m
m
n
n
n
n
b
z
b
z
b
z
b
q
z
H
z
p
z
a
z
a
z
a
z
a
1
1 2
1 2
1
( )
()
( )
.
.
.
( )
( )
( )
.
.
.
( ) ( )





 
 

  

m
j
j
m
n
n
i
i
z
c
z
c
z
cz
c
z
p
z
p
z
p z
p
Algunos sistemas tipicos:
1. Sistema en cascada
1 2
( ) ( )
y k u k

1( )
u k 2 ( )
y k
1( )
h k 2 ( )
h k
En el domino de Z:
( )
u z 2 ( )
y z
1 2
( ) ( ) ( )
 
H z H z H z

43. 2. Sistema inverso
1( )
H Z 2 ( )
H Z
( )
Y Z
( )
u z
(
) (
)
Y
z U
z

1
2
1
(
)
(
)
H
z
H
z

1 2
(
) (
) (
) 1
H
z H
z
H
z
 
La convolución en este caso resulta: 0 0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
i i
y
k
h
i
k
i
i
k
i
k






 







Arreglar tamaño en texto y fórmulas

44. 3. Sistema realimentado
( )
u k ( )
y k
1( )
h k
2 ( )
h k


1
1 2
()
()
1 () ()


H
z
Y
z
H
z
H
z
8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al
aplicársele una entrada acotada
Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos
se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el
origen de radio unitario

45. 8.7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA
La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar
efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto
lineal.
A.- Polo real en . z a

La respuesta característica es de la forma c
o
s
(
)



k
A
r
k
Donde A y Φ son constantes obtenidas de la expansión en fracciones
parciales y: 2 2
r a
b
  1
t
a
n
b
a
 

x
x x
x
x x
(4)
Im z
(2)
(1)
(3)
(5)
(6)
Re z
Cambiar
dibujo

46. Casos:
1- . Sistema inestable.La respuesta a impulso es una
oscilación creciente en magnitud.
2- . Sistema inestable.La respuesta es una oscilación
parecida a un senoide con magnitud constante.
3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida
a una senoide decreciente en magnitud.
2 2
1
a
b


2 2
1


a
b
2 2
1
ab

x
Im z
Re z
(2)
(1)
(3)
(2)
x (3)
x (3)
(2)
x (1)
x (1)
Cambiar
dibujo

47. 8.7.2. POLOS DOMINANTES
Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta
transitoria.Son los polos que están más cerca del circulo unitario. Ej p1 y p2.
Ιm z
3
p
4
p Re z
x
x
1
p
x
x 2
p
8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS
LINEALES (FILTROS DIGITALES)
Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal
pura.
( )
u t ( )
u k
T
Sistema discreto
lineal H(z)
( )
Y k


1
(
)


u
t
s
e
n
T


1
(
)

u
t
s
e
n
k
T

48. 

1 1
1
2
(
)
(
)
(
)







j
T
j
T
s
e
n
T
u
z
z
e
z
e
1
0 1
1 2
.
.
.
(
)
( )
( )
.
.
.
( )





 
m m
m
n
b
z
b
z b
H
z
z
p
z
p
z
p
1 1
p 
Si consideramos que todos los polos son distintos
(
)
(
)
(
)
Y
z
H
z
H
z

1
1
0
1
2
1
2
(
)
.
.
.





















j
j
n
j
T
j
T
z
z
z
z
e
z
e
Y
z
a
a
b
z
p
z
p
z
n
z
e
z
e
0
(
) (
)
k
k
H
z h
k
z





Se tiene
1 1
0
( ) (
)
 





j T j T
k
k
H
e h
k
e




1
1
1
0
(
)
(
)
c
o
s








 
 

j
T
k
H
e
h
k
k
T
j
s
e
n
k
T
 
1 1
0 0
(
)
c
o
s (
)
 
 
 
 
 
k k
h
k
k
T
j
h
k
s
e
n
k
T
1.-
2.-
1 1
0
( ) (
)
 





j T j T
k
k
H
e h
k
e
 
1 1
0 0
(
)
c
o
s (
)
 
 
 
 
 
k k
h
k
k
T
j
h
k
s
e
n
k
T
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

49. Por ser complejas
1
1
1
(
)
(
)
(
)





j
T
j
T
j
T
H
e
H
e
H
e
1
1
1
(
)
(
)
(
)






j
T
j
T
j
T
H
e
H
e
H
e
1 1
1
(
)
(
)
(
)
 
 


j
T j
T
M
H
H
e
H
e
1
1
(
) ()





j
T
H
e 1
1
() ( )


 
 
jT
H
e
y
1 1
1
0
1 2
1 2
(
)
(
) .
.
.
2
 
 



 

 





 
 

  

 
j j
n j
T j
T
M
z z z z
e
z
e
Y
z
z
p
z
pz
n
j
z
e
z
e
De ahi:
Antitransformando:
 
0 1
1
2
2 11 1
(
)
(
)
(
)
(
)
.
.
.
.
(
)
(
) (
)








 





 
 
k k k
n
n
y
k
k
p
p p
M
s
e
n
T


1
1
1
(
)
(
)
(
)
y
k
M
s
e
n
k
T






Finalmente

50. 1
( )
0


j
T
H
e Suprime la frecuencia 1

1
( )1
j
w
T
H
e 
Amplifica la frecuencia 1

8.8.1 PERIODICIDAD DE ( )
jw
H e T
1
( )
 j
w
T
H
e Factor de angulo fase
Una característica particular en los sistemas discretos, es que los
factores de ganancia y ángulo son periódicos en relación con la
frecuencia.
2
( )
j
j
T
T
e e

 


Polar

Forma
0
3
4 T

3 / 4
j
e 
5 / 4
j
e 
3 / 2
j
e 
10
1 45

190
1135
1180
1 225
1 270
1360
3
2 T

5
4 T

2
T

T

j T
e 
4 T

0
j
e
/4
j
e 
/2
j
e 

2 T
j
e 
2
j
e 
4T

 0
 
Re z
( )
0
  



 
j T j T
c
Z e e
 
2T

 
T

 
3
4T

 
 
Im z

51. 8.8.2 INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS.
La característica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se
muestra abajo:
( )
j T
H e 
1
1
ω 
2.- Filtro pasa altas:
( )
j T
H e 

2
ω
1

52. 3.- Filtro pasa banda:
( )
j T
H e 
1
2
ω
1
ω ω
Filtro paso bajas :el sistema caracterizado por la
ecuación en diferencias y función de transferencia
(
) (
) ( 1
)
y
k u
k y
k
 
  
para que la magnitud sea unitaria: 1
 
 
Así pues, la función de transferencia resulta:
(
1
)
(
)
z
H
z
z





(
1)
( )
jT
jT
jT
e
H
e
e








(
1
)
(
c
o
s )
(
c
o
s )
T
j
s
e
n
T
Tj
s
e
n
T




 



2
2
2
(
1
)
(
)
c
o
s
2
c
o
s
j
T
H
e
T
T
s
e
n
T












1
t
a
n
(
c
o
s )
s
e
n
T
T
T


 





Arreglar tamaño en texto y fórmulas

53. El ancho de banda de un filtro pasa bajas se define como el
rango de valores de frecuencia dentro del cual se cumple :
1
(
)
2
j
T
H
e


c
w
2
(
1
) 1
2
12
c
o
s
c
T








2
c
o
s
(
3
c
o
s
)
(
1
c
o
s
)
c c c
T
T
T









Arreglar tamaño en texto y fórmulas