ley de torricelli

1. Marzo 2004
Descripción de caudales por ranuras
mediante la ley de Torricelli
Daniel Erraz
Departamento de Ingeniería Electrónica, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile
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1. ESTANQUE CON AGUJERO
Consideremos un estanque con un nivel de líquido h , que
descarga en forma natural por un orificio pequeño ubicado a una
altura a de su base, tal como lo muestra la figura 1.
Fig 1. Estanque con descarga natural por orificio.
Mediante una aplicación del teorema de Bernoulli1 [1], el caudal
de descarga está dado por
(1) q = S 2Δp /ρ ,
donde S es el área del agujero, Δp es la diferencia no negativa
de presión entre las caras de éste y ρ es la densidad del líquido.
Dado que el estanque está abierto en su parte superior, la
diferencia de presión es debida sólo al peso de la columna de
líquido sobre el agujero, luego Δp = ρ g( h − a) , así la expresión
para el caudal es
(2) q(h) =η S 2g( h − a), h ≥ a .
Acá η =φ ε es un factor de descarga, donde φ <1 es un
coeficiente de fricción del líquido (para el agua φ = 0,97 ) y
ε <1 un coeficiente de contracción (ε = 0,62 y ε = 0,97 para
orificios con bordes agudos y redondeados respectivamente).
La proporcionalidad del caudal descrito con la raíz cuadrada del
nivel sobre el agujero, suele denominarse ley de Torricelli2.
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1 Daniel Bernoulli (1700-1782), físico y matemático suizo, hijo del
también célebre Johann Bernoulli. Hizo contribuciones en física,
probabilidad, cálculo y ecuaciones diferenciales. En su famoso libro
Hidrodinamica de 1738, trató la mecánica de fluidos y dio la primera
formulación de la teoría cinética de los gases. Se le considera como el
primer físico matemático propiamente tal.
2 Evangelista Torricelli (1608-1647), físico y matemático italiano,
discípulo de Galileo, de quien fue secretario. Avanzó las primeras ideas
correctas, que Galileo dejó escapar, sobre la presión atmosférica y la
naturaleza de los vacíos, en 1643 inventó el barómetro. En 1644 publicó
la ley acá citada en De motu gravium, parte de su libro Opera
geometrica, junto a estudios acerca del lanzamiento de proyectil.
2. ESTANQUE CON RANURA
Consideremos ahora un estanque que descarga líquido por una
ranura vertical, homogénea y delgada de altura b y ancho e ,
como lo muestra la figura 2 a la izquierda.
Fig 2. Estanque con descarga natural por ranura.
Si en la ranura nos concentramos en un elemento diferencial de
área dS = edy (ver figura 2 a la derecha), una aplicación
diferencial de (2) indica que el caudal que sale por él es
(3) dq =η (edy) 2g( h − y) .
Integrando esto último entre 0 y b , se obtiene el caudal de
descarga por la ranura, cuando el nivel está sobre ella, como
( ) 2η 3 / 2 3 / 2 .
(4) q h = e 2g [ h − (h − b) ], h ≥ b
3
Cuando el nivel está siempre en contacto con la ranura, o sea
h ≤ b , pues por ejemplo la ranura tiene la altura del estanque,
basta tomar b = h en (4), así simplemente
( ) 2η 3 / 2 .
(5) q h = e 2g h , h ≤ b
3
Nótese que (4) y (5) definen una función de caudal con hasta
primera derivada continua, con una inflexión en h = b .
3. ESTANQUES ACOPLADOS CON RANURA
A continuación, consideremos dos estanques acoplados por una
pared en común, con una ranura vertical de la altura de los
mismos, como los mostrados en la figura 3 a la izquierda.
Considerando sin pérdida de generalidad el caso h1 ≥ h2 , es
claro que el caudal q que se transfiere de un estanque a otro a
través de la ranura puede dividirse en dos: q1 que cae en forma
expuesta por sobre el nivel h2 y q2 que se transfiere bajo él.

2. Fig 3. Estanques acoplados por una pared común con ranura.
Considerando que el primero de ellos obedece la ley (5) al tomar
h = h1 − h2 , se tiene
q ( h , h ) = 2η e g h − h 3 / 2
.
1 1 2 2 ( 1 2 )
3
Para obtener el caudal restante debe recurrirse nuevamente a la
ecuación (1), que establece que el diferencial de caudal que pasa
por un área dS = edy (ver figura 3 a la derecha) es
(6) dq2 = (edy) 2Δp( y) /ρ , 0 ≤ y ≤ h2 ,
donde Δp( y) es la diferencia de presión entre las caras opuestas
de la ranura a una altura y . Como las presiones involucradas se
deben sólo a los pesos de las columnas efectivas de líquido, se
tiene
Δp( y) = ρ g( h1 − y) −ρ g( h2 − y) = ρ g( h1 − h2 ) ,
remplazando esto en (6), integrando entre 0 y h2 e
introduciendo el factor de descarga η se logra
q2 ( h1 , h2 ) =η e 2g( h1 − h2 ) h2 .
El caudal requerido está dado por la suma de q1 y q2 , así se
obtiene finalmente
q( h , h ) = 1η e g h + h h − h h ≥ h .
1 2 2 (2 1 2 ) 1 2 , 1 2
3
Para el caso h1 < h2 , basta intercambiar los niveles en la
expresión anterior.
4. PROBLEMA INVERSO
Volvamos al caso 2, pero considerando ahora que la ranura
posee la altura del estanque y un ancho variable con la altura.
Establecida a priori una ley de caudal en términos del nivel
q = q(h) , un problema interesante es determinar el ancho de la
ranura e = e(h) requerido para que ella se genere. Integrando la
ecuación (3) entre 0 y h tenemos
h
= ∫ −
q h k e y h y dy
( ) ( ) ,
0
donde k =η 2g . Esto puede expresarse en términos de una
convolución como q(h) = k e(h)∗ h , luego, aplicando la
transformada de Laplace se obtiene
L[q(h)] = k L[e(h)] L[ h ] .
L[ h ] = s − π
[2] , así se logra
Como se sabe, 3 / 2
2
(7) e ( h ) = 2 L −
1[ s3 / 2L[q(h)]]
k
π
.
Como ejemplo, para obtener la ley de caudal (5), tenemos
,
L[q(h)] = 2 e g L h3 / 2 = e g ⋅ s −5 / 2 π
4
2 3
2 [ ] 2
3
3
η η
luego, por (7) logramos
e h = − [ − ] =
L s e
e g
k
2
( ) 1 1 η
,
lo que indica una ranura de ancho constante como se esperaba.
Para el caso más general de un caudal de tipo potencial
q(h) ∝ hn , con n > 0 no entero necesariamente, (7) indica
e(h) ∝ hn−3 / 2 y L[e(h)]∝ s1/ 2−n . Esto permite establecer dos
resultados importantes. Primero, como sabemos de la teoría de
la transformada de Laplace [2], sólo podrán ser soluciones
funciones tales que lím L[e(h)] = 0 cuando s→∞ . Esto indica
n >1/ 2 . Así, ninguna ranura puede generar una ley de caudal
potencial que en orden crezca igual o mas lento que h . Esto
puede interpretarse en términos de que basta, según (2), sólo un
orificio en el fondo para lograrlo. Segundo, sabemos que
e(h) ∝ hn−3 / 2 es una función acotada ssi n ≥ 3 / 2 . Así por
ejemplo, si deseamos un caudal proporcional a la altura ( n =1 ),
tenemos e(h) ∝ h−1/ 2 , lo que indica que es imposible generar
esta ley de caudal en la práctica.
5. COMENTARIO
El análisis efectuado en este escrito radica en un uso cándido de
la ley de Torricelli en forma infinitesimal, lo que establece
dudas razonables acerca de los resultados obtenidos, por lo que
deben ser considerados sólo como primeras aproximaciones.
Aún así, queda planteada la invitación a realizar contrastes
experimentales.
REFERENCIAS
[1] Feynman R., Leighton B., Sands M. (1987 ), Física Vol. II.
Addison-Wesley Iberoamericana.
[2] Simmons G. (1993), Ecuaciones Diferenciales. McGraw-
Hill.