TEMA 5. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINÁMICA

José Agüera Soriano 2011 1
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

•EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS
•ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
•SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos
Leyes de semejanza
Semejanza de Froude
Semejanza de Reynolds
Semejanza de Mach
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS
Las ecuaciones fundamentales de un flujo no
son generalmente suficientes para una solución
completa del problema.
En Mecánica de fluidos que pueden intervenir
hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible
la experimentación. Afortunadamente, en un
problema concreto, no influirán más de 6;
pero todavía es excesivo.

Mediante el análisis dimensional podemos formar
agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas
en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con
ello se reduce el número de variables a (n−m):
n = número de magnitudes físicas que intervienen
m = número de magnitudes básicas que intervienen

Cuantas menos agrupaciones resulten, menos
experiencias hay que hacer: una agrupación
requeriría una experiencia; dos agrupaciones
varias experiencias (10 por ejemplo) para
construir una curva, y tres nos llevaría a varias
(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).
Una ventaja adicional que nos proporciona la
teoría dimensional es la de predecir los resultados
de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando
con un modelo a escala.

ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Para establecer los posibles adimensionales,
supongamos que intervienen a la vez todas
las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,
de gravedad, de fricción, de elasticidad y de
tensión superficial.
),
( F
Σ
),
( i
F
2
2
2
1
2
2
3
)
(
)
(
)
(
u
l
t
l
l
t
l
l
a
m
F
F i
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
Σ
−
−
ρ
ρ
ρ
Expresemos la resultante o fuerza de
inercia que provoca la aceleración del
flujo, en función de la velocidad u:

Fuerza de presión (p):
µ
Fuerza elástica (K):
)
(σ
Fuerza tensión superficial
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa ( ):
Fp = l2 · p
Fg = l3 ·ρ ·g
Fr = l2 ·τ = l· u· µ
Fσ = l · σ
FK = l2 · K

Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
2
2
2
3
2
u
l
l
K
l
u
l
g
l
p
l ⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅ ρ
σ
µ
ρ
expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con
frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar
de las 8 (dimensionales).
f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0
0
,
,
,
, 2
2
2
2
=






⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ u
l
u
K
u
l
u
g
l
u
p
ρ
σ
ρ
ρ
µ
ρ
ϕ

Coeficiente de presión
Número de Froude
g
l
u
⋅
=
Fr
Número de Reynolds
ν
µ
ρ u
l
u
l ⋅
=
⋅
⋅
=
Re
Número de Mach
a
u
K
u
=
=
ρ
Ma
Número de Weber
l
u
⋅
=
ρ
σ
We
0
,
,
,
,
2
2
=








⋅
⋅
⋅ l
u
K
u
u
l
g
l
u
u
p
ρ
σ
ρ
ν
ρ
ϕ
0
,
,
,
, 2
2
2
2
=






⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ u
l
u
K
u
l
u
g
l
u
p
ρ
σ
ρ
ρ
µ
ρ
ϕ
2
2
u
p ρ
=

=
2
2
u
p ρ
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l
y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya
intervención sea nula o poco importante.
=
2
2
u
p ρ
f (Fr, Re, Ma, We)
f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
0
,
,
,
,
2
2
=








⋅
⋅
⋅ l
u
K
u
u
l
g
l
u
u
p
ρ
σ
ρ
ν
ρ
ϕ

Wiliam Froude
Inglaterra (1810-1879)

Osborne Reynolds
Belfast (1842-1912)

Ernst Mach
Austria (1839-1916)

Moritz Weber
Alemania (1871-1951)

Ensayos con modelos
No es necesario ensayar con el mismo fluido
que utilice el prototipo. El agua y el aire son
los fluidos que generalmente se utilizan.
Los modelos se hacen de materiales diversos
madera, escayola, metales, hormigón, plástico
etc.

Los ensayos de canalizaciones, puertos,
presas, aliviaderos, etc, se hacen en los
laboratorios de hidráulica.
Los ensayos de modelos de aviones, y en
general de cuerpos sumergidos, se hacen en
túneles de viento y en túneles de agua.
Los ensayos de barcos se hacen en los llamados
canales hidrodinámicos.

Leyes de semejanza
Dos corrientes fluidas son semejantes cuando las
líneas de flujo de una lo sean respecto a las
homólogas de la otra; diremos entonces que existe
semejanza cinemática. Para ello es necesario,
3
3
m
3
p
2
2
m
2
p
m
p
;
; λ
λ
λ =
=
=
l
l
l
l
l
l
Rep = Rem; Frp =Frm; Map = Mam; Wep =Wem
a) Semejanza geométrica
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos
han de ser semejantes:
siendo λ la escala.

a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza
predominante es la de gravedad: semejanza de Froude,
Frp = Frm
b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la
fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem
c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la
fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam
d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión
superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem

m
p Fr
Fr =
m
m
m
p
p
p
g
l
u
g
l
u
⋅
=
⋅ m
p
m
p
g
g
u
u
⋅
= λ
2
1
m
p
λ
=
u
u
Semejanza de Froude
y si gp = gm, como es lo habitual:
Por ejemplo, si λ = 25, up /um = 5.
Relación de velocidades

)
( u
S
Q ⋅
=
m
p
m
p
m
p
u
u
S
S
Q
Q
⋅
= 2
5
m
p
λ
=
Q
Q
)
( 3
l
F ⋅
= γ
3
m
p
m
p
λ
γ
γ
⋅
=
F
F 3
m
p
λ
=
F
F
Relación de caudales
Para λ = 25, Qp/Qm = 3125.
Fp/Fm = 15625.
Relación de fuerzas
Si γp = γm,
Para λ = 25,

)
( u
F
P ⋅
=
2
1
3
m
p
m
p
m
p
λ
λ ⋅
=
⋅
=
u
u
F
F
P
P
2
7
m
p
λ
=
P
P
Relación de potencias
Pp/Pm = 78125.
Si γp = γm,
Para λ = 25,

m
p Re
Re =
m
p
m
p
m
p
m
m
m
p
p
p 1
;
l
l
u
u
u
l
u
l
⋅
=
⋅
=
⋅
ν
ν
ν
ν
λ
ν
ν 1
m
p
m
p
⋅
=
u
u
Semejanza de Reynolds
up/um = 1/25.
Por ejemplo, si λ = 25, νp = νm, y
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad
5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces
mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez,
a menos que la escala sea la unidad.

)
( u
S
Q
m ⋅
⋅
=
⋅
= ρ
ρ
&
λ
ν
ν
λ
ρ
ρ
ρ
ρ 1
m
p
2
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
u
u
S
S
m
m
&
&
λ
µ
µ
λ
ν
ν
ρ
ρ
⋅
=
⋅
⋅
=
m
p
m
p
m
p
m
p
m
m
&
&
Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del
prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo
frecuente es que sólo intervenga una.

)
( µ
⋅
⋅
= u
l
F
m
m
p
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p 1
ρ
ν
ρ
ν
λ
ν
ν
λ
µ
µ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
u
u
l
l
F
F
m
p
2
m
p
m
p
ρ
ρ
ν
ν
⋅








=
F
F
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm:
el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su
menor superficie de rozamiento.

m
p Ma
Ma =
m
m
m
p
p
p
ρ
ρ K
u
K
u
=
m
m a
a
u
u p
p
=
)
( S
u
Q
m ⋅
⋅
=
⋅
= ρ
ρ
&
m
p
m
p
m
p
m
p
S
S
u
u
m
m
⋅
⋅
=
ρ
ρ
&
&
2
m
p
m
p
m
p
λ
ρ
ρ
⋅
⋅
=
a
a
m
m
&
&
Semejanza de Mach

)
( S
K
F ⋅
=
ρ
λ
K
a
K
K
S
S
K
K
F
F
=
⋅
=
⋅
= como
y
;
2
m
p
m
p
m
p
m
p
2
2
m
p
m
p
m
p
λ
ρ
ρ
⋅








⋅
=
a
a
F
F

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