1. SISTEMAS
LINEALES DE
INECUACIONES
Profesor: Christopher Vicencio
Fernández.
Colegio: La Providencia
Ovalle.

2. Aprendizajes Esperados.
• Resolver Inecuaciones lineales de dos incógnitas
aplicando axiomas de orden.
• Resolver sistemas de inecuaciones lineales de dos
incógnitas.
• Resolver problemas textuales de sistemas de
inecuaciones, estableciendo criterios para
desarrollarlos.
• Reconocer las distintas aplicaciones de las
inecuaciones en la resolución de problemáticas de
su vida cotidiana.

3. ÍNDICE
 Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................
 Sistemas de inecuaciones lineales ......................................
 Problemas textuales
 de sistemas de inecuaciones .....................................
 de programación lineal (desafío) .................................

4. La solución de una inecuación de dos incógnitas
es un semiplano.
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er
paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er
paso: colorear el semiplano solución.
1 / 4


5. Resuelve la inecuación: 3y2x5 ≤+
Represento la recta: 3y2x5 =+
Despejo la variable y:
2
x53
y
−
=
Tabla de valores: x y
1 -1
3 -6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
( ) ( ) 3030205 ≤→≤+
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano
en el que está es la solución.
2 / 4


6. Algunas inecuaciones son sencillas:
0x)a ≥ 0y)b ≤ 3x)c < 2x)d −> 4y)e −≥
Si la inecuación tiene una sola variable, la
recta es paralela a alguno de los ejes.
Asocia cada inecuación con su solución
b
a
c
d
e
3 / 4


7. Resuelve las inecuaciones:
6y3x2)a ≥+
Asocia cada inecuación con
su solución
b a
cd
yx2)b ≥ 4y2x)c −<− 7y4x3)d >−
4 / 4


8. La solución de un sistema de inecuaciones de
dos incógnitas es una región (si existe).
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er
paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er
paso: colorear el semiplano solución.
1 / 5


9. Resuelve el sistema de inecuaciones:



>+
−≤−
7y3x2
1yx3
Represento la recta: 1yx3 −=−
Despejo la variable y: 1x3y +=
Tabla de valores: x y
1 4
-2 -5
Elijo el punto (2,2), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: ( ) ( ) 141223 −≤→−≤−
Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.
1er
paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
2 / 5

10. Resuelve el sistema de inecuaciones:



>+
−≤−
7y3x2
1yx3
Represento la recta: 7y3x2 =+
Despejo la variable y:
3
x27
y
−
=
Tabla de valores: x y
2 1
-2 3
Elijo el punto (0,0), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: ( ) ( ) 7070302 >→>+
Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.
2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
1er
paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
3 / 5

11. Resuelve el sistema de inecuaciones:



>+
−≤−
7y3x2
1yx3
2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación
1er
paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
3er
paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores
4 / 5


12. Resuelve los sistemas de inecuaciones:



<−
≥+
4yx2
3yx)a
Asocia cada sistema con su solución
b
a
c
d



≤+
−>+
6yx2
4yx2)b





−>
−<−
≤+
6y
1yx
9yx3)c







≤
<
−>+
≤+
6y
3x
1yx
4yx)d
5 / 5


13. Problemas de texto con inecuaciones
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er
paso: plantear el sistema de inecuaciones.
2º paso: resolver el sistema dibujando la región
solución.
3er
paso: resolver el problema, dando la solución con
una frase si es posible.

1 / 9

14. Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de
manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de
azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?
1er
paso: Organizamos los datos en una
tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Chocolate x 0,5x 5x
Manzana y 1y 6y
Disponible 9 60






≥
≥
≤+
≤+
0
0
6065
95,0
y
x
yx
yx
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 95,0 =+ yx
Despejo la variable y: xy 5,09−=
Tabla de valores:
x y
2 8
6 6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación:
( ) ( ) 909005,0 ≤→≤+
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
2 / 9

15. 3er
paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 60y6x5 =+
Despejo la variable y:
6
x560
y
−
=
Tabla de valores:
x y
6 5
12 0
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación:
( ) ( ) 600600605 ≤→≤+
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
0x ≥ 0y ≥
3 / 9

16. 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen
los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)
4 / 9


17. a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Resuelve los problemas:
Asocia cada problema con su solución
cbad
5 / 9


18. Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:




)decenasen(lujodeneverasdecantidad:y
)decenasen(normalesneverasdecantidad:x







≥
≥
≤+
≤+
0y
0x
18y6x3
12y3x3
6 / 9


19. Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:




)decenasen(Btipobollosdecantidad:y
)decenasen(Atipobollosdecantidad:x







≥
≥
≤+
≤+
0y
0x
5'1y25'0x25'0
2y25'0x5'0
7 / 9


20. Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:



)decenasen(montañadebicisdecantidad:y
)decenasen(paseodebicisdecantidad:x







≥
≥
≤+
≤+
0y
0x
12y2x3
8y2x
8 / 9


21. ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:



autobusesdecantidad:y
microbusesdecantidad:x










≤
≤
≥
≥
≤+
≥+
4y
5x
0y
0x
6yx
200y50x25
9 / 9


22. Problemas de programación lineal
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er
paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la
función objetivo.
2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la
región solución.
3er
paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el
punto de la región solución que la optimiza.
4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.

1 / 6

23. Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para
fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se
vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué
cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?
1er
paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Chocolate x 0,5x 5x
Manzana y 1y 6y
Disponible 9 60







≥
≥
≤+
≤+
0
0
6065
95,0
y
x
yx
yx
2 / 6
La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor
posible: y15x12venta +=

24. 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 95,0 =+ yx
Despejo la variable y: xy 5,09−=
Tabla de valores:
x y
2 8
6 6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación:
( ) ( ) 909005,0 ≤→≤+
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
3 / 6
95,0 ≤+ yx
3er
paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 60y6x5 =+
Despejo la variable y:
6
x560
y
−
=
Tabla de valores:
x y
6 5
12 0
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación:
( ) ( ) 600600605 ≤→≤+
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
60y6x5 ≤+

25. 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
0x ≥ 0y ≥
4 / 6
6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo
5º paso: Busco la región solución del sistema como
intersección de los semiplanos anteriores
La solución del problema está en esta región.
Realmente, sólo valen los valores x e y no
decimales (los puntos de intersección de las
cuadrículas).
El vector de la función objetivo es: ( ) ( )4,512,15 −∞−
y15x12venta +=
Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

26. 5 / 6

7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está
más alejado.
Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el
mismo valor a la función objetivo. Con cada recta
paralela cambia el valor de la función objetivo:
paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo,
y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la
región factible más alejados están los valores
óptimos: máximo y mínimo.
Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores
decimales de x e y no tienen sentido en este problema.
SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se
obtienen 147 €.

27. a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240
en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de
cada tipo para maximizar el beneficio?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1,19 € el tipo A y a 0,89 € el tipo B. Si se
dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para
maximizar la venta?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la
vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €.
¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?
Resuelve los problemas:
6 / 6

a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.
b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59,40 €.
c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.
d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €.