Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad. El primer ejercicio involucra calcular la distribución de probabilidad, esperanza matemática y varianza para la variable aleatoria que representa la cantidad de alpargatas defectuosas que se seleccionan de un grupo. El segundo ejercicio pide hallar estas mismas medidas para una variable aleatoria con una distribución de probabilidad dada. Finalmente, se pide calcular la distribución acumulada y desviación estándar para la demanda semanal de máquinas de afeitar

1. Estadística 2 trabajo2
Distribución de probabilidades
Resolver correctamente los siguientes ejercicios:
1- Un artesano ha elaborado 15 alpargatas y 5 de ellas tienen algún defecto, un turista
compra 3 de estas alpargatas, sea el número de alpargatas defectuosas, hallar: la
distribución de probabilidad de x, esperanza matemática y varianza.
n=15
4 defectuosas 11 buenas
r=3
X= número de alpargatas defectuosas
X=0, 1,2,3
En este ejemplo no es necesario describir al espacio muestral para poder determinar
los diferentes valores de la variable, ya que resulta evidente que el número de
alpargatas defectuosos en la muestra puede ser 0, 1, 2 ó 3, es decir: xi= 0, 1, 2, 3
Calculemos cada uno de los valores que se necesitan para obtener la distribución.
N será la magnitud del espacio muestral y en este caso corresponde al número de
formas posibles en que se pueden seleccionar 3 alpargatas de los 15 que hay, por lo
que: Como de las 15 alpargatas 4 son defectuosos entonces 11 son buenos. X = 0
significa que dentro de los 3 alpargatas que se seleccionan ninguno es defectuoso,
por lo que todos son buenos. X = 1 significa que dentro de los 3 radios despertador
que se seleccionan uno es defectuoso, por lo que 2 son buenos y así se hace el
análisis para los demás valores de x. En consecuencia:
Funcion de Probabilidad
X=Xi 0 1 2 3
P 120/455 225/455 100/455 10/455
Cálculo de esperanza matematica

2. 𝐸( 𝑥) = (0 ∗
120
455
) + (1 ∗
225
455
) + (2 ∗
100
455
) + (3 ∗
10
455
)
𝐸( 𝑥) = (0) + (
225
455
) + (
200
455
) + (
30
455
) = 1
Calculo de la varianza
V(X)=E(X2)-(E(X))2
Similarmente, V(a+bX)=b2.V(X)=b2
𝐸( 𝑥2) = (02
∗
120
455
) + (12
∗
225
455
) + (22
∗
100
455
) + (32
∗
10
455
)
𝐸( 𝑥2) = (
225
455
) + (
400
455
) + (
90
455
) =
715
455
𝑉( 𝑥) =
715
455
− 12
= 1,5714
2- La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta x está dada por:
Función de probabilidad:
X=xi 1 2 3 4 5 6 7 8
P(xi) 2/30 3/30 4/30 6/30 5/30 5/30 3/30 2/30
Hallar: la distribución de probabilidad, esperanza matematica, varianza y desviación
estándar.
Distribución de probabilidad
X P(x) F(x)
1 2/30 0+2/30=2/30
2 3/30 2/30+3/30=5/30
3 4/30 5/30+4/30=9/30
4 6/30 9/30+6/30=15/30

3. 5 5/30 15/30+5/30=20/30
6 5/30 20/30+5/30=25/30
7 3/30 25/30+3/30=28/30
8 2/30 28/30+2/30=30/30=1
La esperanza matemática
𝐸( 𝑥) = (1 ∗
2
30
) + (2 ∗
3
30
) + (3 ∗
4
30
) + (4 ∗
6
30
) + (5 ∗
5
30
) + (6 ∗
5
30
) + (7 ∗
3
30
)
+ (8 ∗
2
30
)
𝐸( 𝑥) =
2
30
+
6
30
+
12
30
+
24
30
+
25
30
+
30
30
+
21
30
=
2 + 6 + 12 + 24 + 25 + 30 + 21
30
𝐸( 𝑥) =
120
30
= 4
La varianza
V(X)=E(X2)-(E(X))2
Similarmente, V(a+bX)=b2.V(X)=b2
𝐸(𝑥2
) = (12
∗
2
30
) + (22
∗
3
30
) + (32
∗
4
30
) + (42
∗
6
30
) + (52
∗
5
30
) + (62
∗
5
30
)
+ (72
∗
3
30
) + (82
∗
2
30
)

4. 𝐸(𝑥2
) = (1 ∗
2
30
) + (4 ∗
3
30
) + (9 ∗
4
30
) + (16 ∗
6
30
) + (25 ∗
5
30
)
+ (36 ∗
5
30
) + (49 ∗
3
30
) + (64 ∗
2
30
)
𝐸( 𝑥2) =
2
30
+
12
30
+
36
30
+
96
30
+
125
30
+
180
30
+
147
30
+
128
30
𝐸( 𝑥2) =
2 + 12 + 36 + 96 + 125 + 180 + 128
30
=
579
30
𝐸( 𝑥2) =
579
30
Por otro lado:
(𝐸( 𝑥))2
= 42
= 16
Finalmente la varianza es :
𝑉( 𝑥) = 𝐸( 𝑥2) − ( 𝐸(𝑥))2
=
579
30
− 16 =
579 − 480
30
=
99
30
𝑉( 𝑥) =
33
10
Para calcular la desviación estándar:
𝜃 = √(
33
10
) = 1,8166
sea x la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una máquina de afeitar
que esta puesta en una comercializadora. La función de probabilidad está dada por:
f(x)=2x2-8x, sean 80 las maquinas; para x=4, 5, 6,7 encuentre, la distribución acumulada,
la desviación est ándar.

5. Por ser 80 maquinas la función queda para el calculo de probabilidad asi:
𝑃( 𝑋 = 4) =
2 ∗ 42
− 8 ∗ 4
80
=
32 − 32
80
= 0
𝑃( 𝑋 = 5) =
2 ∗ 52
− 8 ∗ 5
80
=
50 − 40
80
=
10
80
𝑃( 𝑋 = 6) =
2 ∗ 62
− 8 ∗ 6
80
=
72 − 48
80
=
24
80
𝑃( 𝑋 = 7) =
2 ∗ 72
− 8 ∗ 7
80
=
98 − 56
80
=
42
80
Funcion de Probabilidad
X 4 5 6 7
P(Xi) 0 10/80 24/80 42/80
Funcion de Distribución acumulada
X P(X) F(X)
4 0 0+0=0
5 10/80 0+10/80=10/80
6 24/80 10/80+24/80=34/80
7 42/80 34/80+42/80=76/80
Calculo de la media

6. 𝜇 = 4 ∗ 0 + 5 ∗
10
80
+ 6 ∗
24
80
+ 7 ∗
42
80
𝜇 = 0 +
50
80
+
144
80
+
294
80
=
488
80
=
61
10
Varianza
𝑉( 𝑥) = (4 −
61
10
)
2
∗ 0 + (5 −
61
10
)
2
∗
10
80
+ (6 −
61
10
)
2
∗
24
80
+ (7 −
61
10
)
2
∗
42
80
𝑉( 𝑥) = (
40 − 61
10
)
2
∗ 0 + (
50 − 61
10
)
2
∗
10
80
+ (
60 − 61
10
)
2
∗
24
80
+ (
70 − 61
10
)
2
∗
42
80
𝑉( 𝑥) = (
40 − 61
10
)
2
∗ 0 + (
50 − 61
10
)
2
∗
10
80
+ (
60 − 61
10
)
2
∗
24
80
+ (
70 − 61
10
)
2
∗
42
80
𝑉( 𝑥) = 4,41 ∗ 0 + 1,21 ∗
10
80
+ 0,01 ∗
24
80
+ 0,81 ∗
42
80
𝑉( 𝑥) = 0,15125 + 0,00125 + 0,42525
𝑉( 𝑥) = 0,57775

7. Calculo de la desviación estándar
𝜃 = √(0,57775) = 0,76009