ed

1. Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Cristian j. P. Castillo U.

2. ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN 1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4
1.1 Definición de ecuación diferencial 5
1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5
1.2.1 Clasificación según su tipo 6
1.2.2 Clasificación según su orden 6
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7
1.3 Solución de una ecuación diferencial 8
1.4 Problema de valor inicial 11
1.5 Modelos matemáticos 13

3. ÍNDICE GENERAL
Cristian Castillo
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15
2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16
2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21
2.2.1 Funciones homogéneas 21
2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28
2.4 Factores integrantes 35
2.5 Ecuación diferencial lineal 42
2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53
3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54
3.1.1 Principio de superposición 54
3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54
3.1.3 Wronskiano 55
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56
3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57
3.2 Reducción de orden 58
3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63
3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64
3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69
3.4 Método de coeficientes indeterminados 75
3.4.1 Enfoque de superposición 76
3.4.2 Enfoque anulador 89

4. ÍNDICE GENERAL
Cristian Castillo
3.4.2.1 Operadores diferenciales 89
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93
3.5 Método de variación de parámetros 100
3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101
3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108
3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112
3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113
3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120
CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124
4.1 Trayectorias ortogonales 125
4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128
4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134
4.4 Mezclas 137
4.5 Circuitos eléctricos en serie 140
4.5.1 Circuitos RL 140
4.5.2 Circuitos RC 143
4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146
4.7 Crecimiento logístico 151
APÉNDICE I. Números complejos 155
APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161
APÉNDICE III. Tabla de integrales 163
BIBLIOGRAFÍA 175

5. PRESENTACIÓN
En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan
modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de
ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,
pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una
función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación
diferencial.
La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los
matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras

6. PRESENTACIÓN
Cristian Castillo
2
ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y
Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y
Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,
así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.
Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones
nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la
resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en
problemas de modelado.
Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han
convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de
estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la
asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería
y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones
diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen.
Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se
ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden
en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En
él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y
sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además
no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de
ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo

7. PRESENTACIÓN
Cristian Castillo
3
cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han
propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.
Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se
estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para
la resolución de las mismas.
El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales,
donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de
incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos
matemáticos y como formularlos.
En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para
resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el
estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas
que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya
sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de
Cauchy-Euler y cómo resolverlas.
En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se
pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones
diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.

8. CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales
ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo
de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo
matemático a partir de un problema de la vida real.

9. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
5
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una
función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
Por ejemplo la ecuación
dx
kx
dt
  es una ecuación diferencial, que por cierto
representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.
Así mismo, la ecuación  
4
4
d y
EI w x
dx
 , es una ecuación diferencial que
modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.
Por último, la ecuación  
2 2 2
2 2 2
4 , ,
u u u
x y z
x y z

  
  
  
, también es una
ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el
potencial del campo electrostático.
Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se
hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán
diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.
1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o
linealidad.

10. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
6
1.2.1 Clasificación según el tipo
Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una
función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas
ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por
ejemplo:
cos
dy
y y xy x yx
dx
     
En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función
desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación
diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:
2 2
2 2
0
z z
x y
 
 
 
Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
1.2.2 Clasificación según su orden.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que
tiene la ecuación, por ejemplo:
2
2
2
dy d y
x
dx dx
  , es de segundo orden

11. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
7
0y y  , es de tercer orden
4 3
3
tan
dy d y
x
dx dx
 
  
 
, es de tercer orden
De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden
con el grado (potencia del término).
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no.
Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:
   
   
       1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x


      
Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:
a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es
decir, de potencia 1.
b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo
de la variable independiente.
En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la
ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:
2 1y xy x    , es lineal
 2
1y y y x    , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y

12. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
8
4
4
cos 0
d y dy
x y
dx dx
   , es lineal
3
2
3
0
d y dy
x y
dx dx
   , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la
igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que
2x
y e es solución de ecuación 2 0y y  , ya que, como 2x
y e , entonces
2
2 x
y e  , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
 2 2
2 0 2 2 0 0 0x x
y y e e      
Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a
toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una
identidad.
Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones
diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas.
Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma  y f x
, es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente
y constantes. Por ejemplo 2x
y e es una solución explícita de la ecuación

13. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
9
2 0y y  . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que
tiene la forma 0y  .
Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma  ,f x y C , es decir,
toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente.
Por ejemplo  3 3
4 1y x  , es una solución explícita la ecuación diferencial
 3 2
1 0x dy x ydx   .
Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en
generales, particulares y singulares.
Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además
involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución
general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución
general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por
ejemplo   1 2cos siny x C x C x  es solución general de la ecuación diferencial
0y y  . Geométricamente, una solución general de la forma  ,y C x ,
representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas
integrales.
En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general
2
y x C  .

14. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
10
Figura 1.1
Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de
constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución
general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo
la función   2cos 3siny x x x  , es una solución particular de 0y y  . Más
adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de
valor inicial.
Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la
solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función 2
2y Cx C  es
la solución general de la ecuación  
2
2y Cy y   , sin embargo la función
2
8 0x y  también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo
tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la
solución general.
x
y
-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-3
-2
-1
0
1
2
3

15. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
11
1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra
acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un
problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser
igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer
orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial
de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:
 1
, , , , , 0n n
F x y y y y y
   sujeta a
     
 1
0 0 0 1 0 1, , ,
n
ny x y y x y y x y


  
Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera
una solución del tipo particular.
Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las
siguientes preguntas:
 ¿El problema tiene solución?
 De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?
La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema.
Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy,
definida por ,a x b c y d    , que contiene al punto  0 0,x y en su interior.

16. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
12
 ,o ox y
x
y
c
d
a b
R
I
Si f y
df
dy
son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro 0x
contenido en  ,a b y una única función  y x , que satisface el problema de valor
inicial  ,y f x y  , sujeta a  0 0y x y ,
Para toda x de I. (ver figura 1.2)
Figura 1.2
A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior.
Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial 3
y x y   sujeta a  1 2y  ,
tiene solución única.
De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que
cumple con la hipótesis. Como   3
,f x y x y  , y 2
3
df
y
dy
 , ambas son continuas
en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial  1 2y  , implica que

17. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
13
0 1x  , y además 0 2y  . Es obvio que  1,2 está contenido en alguna región
rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se
puede concluir que existe una solución única.
Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl 2
1y y   sujeta a  1 1y  , tiene solución
única.
Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la
hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que
  2
, 1f x y y  , y
2
1
df y
dy y
 

, sin embargo en  1,1
df
dy
no es continua. Por
lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las
hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de
existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema
no tenga solución o que tenga varias soluciones. Cabe destacar que si un problema
de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad,
entonces las curvas integrales se interceptan.
1.5 MODELOS MATEMÁTICOS.
Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o
fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.

18. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo
14
Para la formulación de un modelo matemático es necesario:
 Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen
cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a
la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.
 Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata
de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o
tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo
matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más
ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.
Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir
hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales,
lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el
modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los
datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del
sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes,
se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas
sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del
proceso de modelado.
En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos
con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

19. CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
En este capítulo por fin empezaremos a resolver ecuaciones diferenciales, sin
embargo por los momentos solo de primer orden. A pesar de que veremos muchas
técnicas, realmente son tres las fundamentales, variables separables, exactas y
lineales, el resto mediante una sustitución se transforman en alguna de estas tres.

20. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
16
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es separable o
que es en variables separables si se puede escribir de la forma:
   h y dy g x dx
Donde  h y es una función continua que depende solamente de la variable x,
y  g x es una función que depende solo de la variable y.
Los pasos necesarios para resolver ecuaciones de este tipo son:
 Expresar la ecuación diferencial de la forma:    h y dy g x dx
 Integrar la ecuación diferencial para encontrar la solución general, es decir:
   h y dy g x dx c  
 De ser posible, escribir la solución en forma explícita:  ,y f x y c 
Ejemplos 1. Resuelva y xy 
Primero se escribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que
dy
y
dx
  ,
dy dy
xy xdx
dx y
  
Integrando la ecuación se obtiene,

21. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
17
2
1ln
2
x
y C  , con 0y 
Donde 1C es una constante real, aplicando exponencial para escribir la
solución en su forma explícita, se tiene
2
1
1
2
x C
y e

 , y entonces se tiene que
2
1
1
2
x
C
y e e
De la igualdad anterior, se verifica que y no se anula, y por lo tanto no
cambia de signo, con lo cual, se concluye que la solución general de la ecuación
diferencial viene dada por:
21
2
x
y Ce
Donde C es una constante real que es igual a 1C
e .
Ejemplo 2. Resuelva
2
2
2
1
3 1
dy x
x
dx y



Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos
diferenciales:
 
2
2
2
1
3 1
x
y dy dx
x
 
   
 

22. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
18
Acomodando la ecuación para luego integrar ambos miembros:
 2
2
1
3 1 1y dy dx
x
 
   
 
 
Con lo cual luego de integrar obtenemos:
3 1
y y x x C
   
En este ejemplo se puede apreciar que a veces no es posible o práctico
expresar la solución en su forma explícita.
Ejemplo3. Resuelva    2 2
1 1x y x y  
Primero se reescribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que
dy
y
dx
  ,
y separando las variables con sus respectivos diferenciales a cada miembro de
la ecuación.
   
2
2 2
2
1 1
1 1
dy dy x
x x y dx
dx y x
 
      
  
Realizando división de polinomios en la función que depende de la variable x,
se tiene,
2
1
1
1 1
dy
dx
y x
 
  
  
Integrando la ecuación se obtiene la solución general, la cual viene dada por:
ln 1 arctany x x C   

23. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
19
Ejemplo 4. Resuelva  3 2
1 0x dy x ydx   con  1 2y 
Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos
diferenciales:
2
3
1
dy x
dx
y x


Con lo cual luego de integrar la ecuación, se obtiene la solución general
     3 3 3 3
1
1
ln ln 1 3ln ln 1 ln 1
3
y x C y x C y C x         
Luego como, si 1x  entonces 2y  , se tiene
 3 3
2 1 1 4C C   
Por lo tanto la solución particular de la ecuación diferencial es:
 3 3
4 1y x 
Ejercicios Propuestos.
1.    2 2
4 2 0y yx dy x xy dx   
Rta.  2 2
2 4y C x  
2. 2
sin 0y y x 
Rta.
1
cos
y
x C
 


24. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
20
3.  cos 1 sin 0x
ydx e ydy
   con  0
4
y


Rta.  1 sec 2 2x
e y 
4.   2
3 tan 2 sec 0x x
e ydx e ydy  
Rta.  
3
2 tanx
e C y 
5. sin lny x y y  con
2
y e
 
 
 
Rta. ln csc coty x x 
6.  2
1 cot 0dx x ydy  
Rta. 2 1
sin
1
x
y C
x



7.
3 3
2 4 8
dy xy x y
dx xy x y
  

  
Rta.
5
3
4
y xy
Ce
x
 
 
 
8. 2
x y y xy   con  1 1y   
Rta.
1
ln ln 1y x
x
   
9.    2 2 2
2 0x y y dx x yx dy   
Rta. 1
ln 2x x y y C
   
10.   y K y a y b   
Rta.  
1
K b a x
b a
y a
Ce


 


25. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
21
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea
si se puede escribir de la forma:
   , , 0M x y dx N x y dy 
Donde  ,M x y y  ,N x y son funciones homogéneas del mismo grado. Este
tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una
ecuación en variables separables.
2.2.1 Funciones homogéneas.
Se dice que  ,f x y es una función homogénea de grado n, si para toda t, se
cumple que:
   , ,n
f tx ty t f x y
Ejemplos 1. Verifique si las siguientes funciones son homogéneas:
a. 3 2 3
( , ) 2 5 4f x y x xy y  
En este caso se tiene que:
        
3 2 3
, 2 5 4f tx ty tx tx ty ty  
Resolviendo las potencias, se obtiene:
  3 3 3 2 3 3
, 2 5 4f tx ty t x t xy t y  

26. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
22
Factor común 3
t
   3 3 2 3
, 2 5 4f tx ty t x xy y  
Y por lo tanto:
   3
, ,f tx ty t f x y
Con lo cual se concluye que 3 2 3
( , ) 2 5 4f x y x xy y   es una función homogénea
de tercer grado.
b. 5 55
( , )f x y x y 
Aquí se tiene que,
   
5 55
( , )f tx ty tx ty 
Con lo cual se obtiene,
 5 5 55( , )f tx ty t x y 
Por propiedades de radicales, se tiene
5 5 5 55 5 5
( , ) ( , )f tx ty t x y f tx ty t x y    

27. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
23
Y por lo tanto,
   , ,f tx ty t f x y
Lo cual demuestra que 5 55
( , )f x y x y  es una función homogénea de
grado 1.
2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial homogénea son:
 Expresar la ecuación diferencial de la forma:    , , 0M x y dx N x y dy 
 Verificar que  ,M x y y  ,N x y son funciones homogéneas del mismo
grado.
 Transformar la ecuación diferencial homogénea en una de variables
separables, utilizando cualquiera de las siguientes sustituciones: y ux ó
x uy , con sus respectivos diferenciales.
 Resolver la ecuación diferencial en variables separables, para luego regresar el
cambio de variable realizado.
Ejemplos 2. Resuelva  2 2
0xdy y x y dx   
Al examinar  ,M x y x y   2 2
, y yN xx y   se verifica que las dos
funciones son homogéneas de grado 1.

28. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
24
Si se utiliza el cambio de variable y ux , entonces dy udx xdu  , y
sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:
    22
0x xdu udx ux x ux dx    
Resolviendo se tiene,
 2 2 2
1 0x du uxdx uxdx x u dx    
Simplificando y aplicando propiedades de radicales, se obtiene
 2 2 2
1 0x du x u dx  
Separando las variables con sus respectivos diferenciales,
 2
1
du dx
xu


Con 1u  
Luego de integrar ambos miembros de la igualdad, se obtendrá la solución
general,
arcsin lnu x C 
Pero como y ux , implica que
y
u
x
 , con lo cual se obtiene la solución
general a la ecuación diferencial, la cual viene dada por:
arcsin ln
y
x c
x
 
  
 

29. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
25
Ejemplo 3.  2 2
2x xy dy y dx 
La cual es una ecuación diferencial homogénea de grado 2. Por lo tanto se
utilizará el cambio de variable x uy , y además dx udy ydu  . Sustituyendo en la
ecuación se obtiene:
      
2 2
2uy uy y dy y udy ydu  
Resolviendo se tiene:
2 2 2 2 3
2 2u y dy uy dy y udy y du  
Agrupando diferenciales y aplicando factor común en ambos miembros,
 2 2 3
2 2y u u u dy y du  
Separando las variables con sus respectivos diferenciales,
2
2dy du
y u u


Integrando ambos lados de la ecuación, se obtiene:
ln 2 2 1y ln u ln u C    
Donde 2
2du
u u se resolvió utilizando la técnica de fracciones parciales.
Aplicando las propiedades de logaritmo en la solución obtenida, se tiene:
2
1
ln ln
u
y C
u
 
  
 

30. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
26
Aplicando exponencial a la ecuación, se obtiene:
2
1u
y C
u
 
  
 
Luego como x uy , entonces
x
u
y
 , con lo cual se tiene,
2
1
x
y
y C
x
y
 
 
 
 
 
 
Con lo cual luego de operaciones algebraicas se obtiene la solución general:
2
x y
y C
x
 
  
 
Ejercicios Propuestos.
1. cot 0
y
y x dx xdy
x
 
   
 
Rta. cos
y
x C
x
 
 
 
2.  2
x y xy dy ydx   con  1 1y 
Rta. 2
ln 4
y x
y
y
 
  
 
3. cos cos 0
y y
x y dx x dy
x x
 
   
 
Rta. ln sin
y
x C
x
 

31. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
27
4.  2 2
2 0x y dx xydy  
Rta.  4 2 2
x C x y 
5. 0
y y
x x
x ye dx xe dy
 
   
 
con  1 0y 
Rta.  ln 1 lny x x 
6. 2
y
x
xy y xe

  
Rta.
1
ln
2
y
C
x
x e


7.  6 0xy y dx xdy   con  1 4y 
Rta.
1
9 6y x
x
  
8.     0x y dx x y dy   
Rta. 2 2
ln arctan
y
x y c
x
  
9.  ln lnxy y y x  
Rta. 1Cx
y xe 

10.
2 2
2
x y
y
x

 
Rta. 1 2 3
tan 3 ln
3
y x
x C
x

 
   
 

32. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
28
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.
Una ecuación diferencial se dice que es exacta si se puede escribir de la
forma:
   , , 0M x y dx N x y dy 
Y además cumple con:
   , ,M x y N x y
y x
 

 
Si se tiene una función de dos variables de la forma  ,z f x y , cuyas
derivadas parciales son continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces
su diferencial total, se define como:
f f
df dx dy
x y
 
 
 
Ahora bien si ( , )f x y C , donde C es una constante real, al aplicar el
diferencial total, se tiene:
0
f f
dx dy
x y
 
 
 
Pero como bien se sabe
f
x


y
f
y


son funciones de dos variables, es decir,
funciones que dependen de x y y. Por lo tanto asumiendo que:

33. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
29
 ,
f
M x y
x



y  ,
f
N x y
y



Se tiene que:
   , , 0M x y dx N x y dy 
Luego:
2
M f f
y y x y x
    
  
     
y
2
N f f
x x y x y
    
  
     
Y como las derivadas cruzadas de una función de varias variables son siempre
iguales,
2 2
f f
y x x y
 

   
Se concluye que:
   , ,M x y N x y
y x
 

 
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial exacta son:
 Luego de escribir la ecuación de la forma:    , , 0M x y dx N x y dy  se
verifica que cumpla con:
   , ,M x y N x y
y x
 

 
 Se determina  ,f x y , luego de integrar la relación
 
 
,
,
f x y
M x y
x



,

34. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
30
     , ,f x y M x y dx g y 
Donde  g y es la constante de integración debido a que se está integrando con
respecto a la variable x.
 Se deriva la ecuación (3) con respecto a la variable y, con lo cual se tiene:
 
   
,
,
f x y
M x y dx g y
y y
     
   
 Como
 
 
,
,
f x y
N x y
y



, entonces sustituyendo en la ecuación anterior y
despejando  g y , se tiene:
     , ,g y N x y M x y dx
y
       
 Luego se integra con respecto a y. Es importante verificar que esta ecuación
debe ser una función que debe depender solo de la variable y (o constante),
entonces,
     , ,g y N x y M x y dx dy C
y
        
 
 Por último se sustituye  g y en la solución  ,f x y , con lo cual se obtendrá
la solución general de la ecuación diferencial, recordando que es del tipo
implícita, es decir,  ,f x y C , por la solución es:

35. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
31
     , , ,M x y dx N x y M x y dx dy C
y
        
  
En caso de que al iniciar este procedimiento, se halla decidido empezar por la
relación
 
 
,
,
f x y
N x y
y



, estos se deben seguir estos mismos pasos pero en forma
análoga, es decir, en vez de integrar con respecto a x se hace con respeto a y, en lugar
de derivar con respecto a y, se deriva con respecto a x, y así sucesivamente, hasta
llegar a la solución que debe tener la forma:
     , , ,N x y dy M x y N x y dy dx C
x
       
  
Cabe destacar, que en cualquiera de los dos casos, no se debe memorizar estas
fórmulas, sino más bien seguir los pasos antes descritos.
Ejemplo 1. Resuelva  
3
2 2
2 4 0
3
x
yx xy dx x dy
 
     
 
Como la ecuación tiene la forma 0Mdx Ndy  , entonces implica que:
  2
, 2M x y yx xy  y  
3
2
, 4
3
x
N x y x  
De aquí se verifica si cumple con la condición de exactitud, es decir,
M N
y x
 

 

36. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
32
2
2
M
x x
y

 

y 2
2
N
x x
x

 

Lo cual implica que la ecuación diferencial es exacta, ahora se debe decidir
con que ecuación comenzar, en este caso se hará con:
2
2
f
yx xy
x

 

La cual al integrarla con respecto a x, se obtiene:
  3 21
,
3
f x y x y x y 
Luego se deriva con respecto a la variable y.
 
 
3
2,
3
f x y x
x g y
y

  

Como
f
N
y



, entonces se tiene:
 
3 3
2 2
4
3 3
x x
x x g y    
Se integra con respecto a y, para obtener  g y
   4 4g y g y y C    
Con lo cual, por último se determina la solución de la ecuación diferencial la
cual viene dada por:

37. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
33
3 21
4
3
x y x y y C  
Ejemplo 2. Resuelva  2
cos sin 2 0x x x y dx xydy    con  2 1y  
Se comprueba que la ecuación diferencial es exacta,
 ,
2
M x y
y
y



y
 ,
2
N x y
y
x



En este caso parece más sencillo comenzar con:
 ,
2
f x y
xy
y



La cual se integra con respecto a la variable y.
   2
,f x y xy g x 
Se deriva con respecto a x,
 
 2,f x y
y g x
x

 

Como
 ,f x y
M
x



, entonces se tiene:
 2 2
cos sinx x x y y g x   
Se integra con respecto a x, para obtener  g x
   cos sin cosg x x x x g x x x C     

38. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
34
Por lo tanto se determina la solución general de la ecuación diferencial, la cual
vienen dada por:
2
cosxy x x C 
Luego como se tiene una condición inicial, tal que  2 1y   , entonces:
  
2
2 1 2 cos2 4C C      
Por último la solución particular de la ecuación diferencial es:
2
cos 4xy x x  
Ejercicios Propuestos.
1.  tan sin sin cos cos 0x x y dx x ydy  
Rta. cos sin ln cosx y x C 
2.  2
0x y dx xdy  
Rta. 31
3
xy x C 
3.    2 2
1 1x y y xy   con  0 1y 
Rta. 2 21
1
2
x y x y   
4.    2 3 4 3 4 5 0x y dx x y dy     
Rta. 2 2
3 2 4 5x xy y x y C    

39. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
35
5.  2
2 1 0xy x dy   con  1 3y  
Rta. 2
6 0x y y  
6. 3 3 4 21 1
4 3 0x y dx x y dy
x y
  
     
   
Rta. 4 3
ln
x
x y C
y
 
7.  2 2 2 2
2 2 2 0x x
x ye y xy y e    con  0 1y 
Rta. 2 2 2
1x
x y y e 
8.  cos sin 0x y x dx xdy  
Rta. 2
2 sinx y x C 
9.    2 2 2
2 0x xy dx x y dy   
Rta. 3 2 3
2 3x x y y C  
10.  cos 2 sinx ydy x y dx  con  2 0y 
Rta. 2
sin 4x x y 
2.4 FACTORES INTEGRANTES
Si una ecuación diferencial de la forma    , , 0M x y dx N x y dy  no es
exacta, puede existir una función  ,x y , tal que al multiplicarla por la ecuación

40. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
36
diferencial, esta se transforme en exacta. Esta función  ,x y se denomina factor
integrante de la ecuación diferencial.
Es importante acotar que la solución de la ecuación diferencial luego de
aplicar el factor integrante es la misma de la ecuación diferencial inicial, así como
también, recalcar que no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación
diferencial no exacta. Sin embargo, si  ,M x y y  ,N x y cumplen ciertas
condiciones necesarias, es posible hallar de una manera sencilla el factor integrante.
A continuación se presentarán 2 casos de factores integrantes, los cuales son
los más comunes, y pueden ser utilizados de acuerdo a las características de la
ecuación diferencial.
CASO I. Factor Integrante dependiente de x.
Ocurre si al resolver
M N
y x
N
 

 
Se obtiene una función que depende solo de la variable x. En este caso el
factor integrante  x viene dado por:
 
 h x dx
x e  Donde  x

41. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
37
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial  2
1
2 1 0
y
dx lnxy dy
x x
 
    
 
Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:
 2 2
1 1dM dN
lnxy
dy x dx x
  
Por lo tanto, se verifica si es posible conseguir un factor integrante que
transforme la ecuación diferencial en exacta, por lo tanto se comprueba si
M N
y x
N
 

 
es una función que depende solo de la variable x,
 
 
 
 
2 22
1 11
1
1
1
1
1
1
M N M N M N
y x y x y xx x
N N
lnxy lnxy
x
lnxy lnxy
x x
N x
      
         
 
 
    
Con lo cual es posible determinar el factor integrante, que viene dado por:
     
1
ln
dx
xx
x e x e x x      
Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se
tiene:
 2
1
2 1 0
y
dx lnxy dy x
x x
  
     
  

42. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
38
En consecuencia,
 2 1 0
y
x dx lnxy dy
x
 
    
 
Ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que
1M
y x



y
1N
x x



Por lo tanto ahora es necesario resolver la ecuación diferencial exacta, para
ello comenzamos con:
2
f y
x
x x

 

Entonces se tiene:
   2
, lnf x y y x x g y  
Ahora derivando con respecto a y,
 
 
,
ln
f x y
x g y
y

 

Como  
 ,
,
f x y
N x y
y



, entonces se tiene:
 1 ln lnxy x g y  
Se integra con respecto a y, con lo cual se obtiene  g y ,
   1 ln lng y y g y y C     

43. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
39
Con lo cual se determina la solución general de la ecuación diferencial,
2
ln lny x x y C  
CASO II. Factor Integrante dependiente de y.
Ocurre si al resolver
N M
x y
M
 

 
Se obtiene una función que depende solo de la variable y. En este caso el
factor integrante  y viene dado por:
 
 h y dy
y e  Donde  
N M
x y
h y
M
 

 

Ejemplo 2. Resuelva la ecuación diferencial    2 2
2 2 3 4 0xy y dx x y x dy   
Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:
4 2 6 4
dM dN
xy xy
dy dx
   

44. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
40
Por lo tanto se verifica que
N M
x y
M
 

 
es una función que dependa solo de la
variable y,
 
 2
6 4 4 2 2 2 1
2 2 2 2
N M N M N M
xy xy xyx y x y x y
M xy y M y xy M y
     
  
        
    
 
Con lo cual se determina el factor integrante,
     
1
ln
dy
yy
y e y e x y  

    
Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se
tiene:
   2 2
2 2 3 4 0xy y dx x y x dy y     
En consecuencia,
   3 2 2 2
2 2 3 4 0xy y dx x y xy dy   
La cual ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que:
2 2
6 4 6 4
dM dN
xy y xy y
dy dx
   

45. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
41
La cual tiene como solución general:
2 3 2
2x y y x C 
Problemas propuestos.
1.  2 2
0x y x dx xydy   
Rta. 4 3 2 2
3 4 6x x x y C  
2.    4 3 2 4 2 2
2 2 3 0y y
xy e xy y dx x y e x y x dy     
Rta.
2
2
3
y x x
x e C
y y
  
3.  3 3 0ydx x y dy   
Rta.
4
3 3
4
y
xy y C  
4.  2
2 0y x dx ydy  
Rta. 2
1 x
y x Ce
  
5.    4 2 3
2 3 6 0xy y dx x xy dy   
Rta. 2 3 6
0x y xy 
6.  2
0y xy dx xdy  
Rta. 21
2
x
x C
y
 

46. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
42
2.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que tiene la forma:
     1 0a x y a x y Q x  (1)
Sin embargo al dividir (1) por  1a x , se obtiene una forma más útil de escribir
la ecuación diferencial lineal, llamada forma estándar, y viene dada por:
   y P x y Q x  (2)
Donde P y Q son funciones continuas definidas en un intervalo.
Los pasos necesarios para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden son:
 Luego que la ecuación diferencial este escrita como (2), multiplicarla por el
factor integrante  
 P x dx
x e  , con lo cual se obtiene:
 
 
 
 
 P x dx P x dx P x dx
y e P x e y Q x e    
 La cual es equivalente a la ecuación:
 
 
 
P x dx
P x dx
d e y
Q x e
dx
 
 
  
 Con lo cual al integrar se obtiene la solución general de la ecuación
diferencial,

47. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
43
 
 
 P x dx P x dx
ye Q x e dx C     
Es importante no tratar de memorizar la solución general, sino más bien seguir
paso a paso el procedimiento antes descrito.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación 3
2 x
y y e 
La cual es una ecuación lineal con   2P x  y   3x
Q x e
De manera que:
       
2 2 2 2dx x C C x x
x e x e x e e x Ke         
Ahora se tiene una familia de factores integrantes, de la cual se escogerá a
  2x
x e  , y entonces multiplicamos a ambos miembros la ecuación diferencial,
2 2 3 2
2x x x x
y e ye e e  
En consecuencia,
 2 5x xd
ye e
dx

Luego integrando la ecuación se tiene:
2 51
5
x x
ye e C 

48. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
44
Por último la solución general es:
3 21
5
x x
y e Ce
 
Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial cos
y
y x
x
 
Esta ecuación diferencial es lineal con  
1
P x
x
 y   cosQ x x
De manera que el factor integrante es:
     ln
dx
xx
x e x e x x      
Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial, de modo
que:
cosy x y x x  
En consecuencia se obtiene:
  cos
d
yx x x
dx

Luego de integrar con respecto a x, se obtiene:
sin cosyx x x x C  
Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:
  1
sin cosy x x C x
  

49. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
45
Cabe destacar que es muchos casos es conveniente acomodar la ecuación
diferencial de tal manera que  x f y para que esta sea lineal, es decir, de la forma:
   x P y x Q y 
La cual tendrá como factor integrante  
 P y dy
y e  , y se resolverá igual que
los casos anteriores pero de forma análoga, tal como lo ejemplifica el siguiente
ejercicio.
Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial 2
2
dx
y x y
dy
  con  1 5y 
Primero debe multiplicarse toda la ecuación diferencial por y, para que tenga
la forma de una ecuación lineal,
1
2 2
dx x
y x x y
dy y y
 
      
 
La cual es una ecuación diferencial lineal con  
1
P y
y
  y   2Q y y
De manera que el factor integrante es:
     ln 1
dy
yy
y e y e y
y
  


    
Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial,

50. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
46
2
1
2
x
x
y y
  
   
 
En consecuencia se obtiene:
2
d x
dy y
 
 
 
Luego de integrar con respecto a y, se obtiene:
2
x
y C
y
 
Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:
2
2x y Cy 
Pero como existen unas condiciones iniciales tal que  1 5y  , entonces
   
2 49
1 2 5 5
5
C C    
En consecuencia la solución particular a la ecuación diferencial es:
2 49
2
5
x y y 
Ejercicios Propuestos.
1. 0y xy x  
Rta.
2
2
1
x
y Ce

 
2. 2
2 x
y y xe x
   con  0 5y 
Rta. 2 2
2 2 3x x
y x e x x e 
    

51. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
47
3.  y
y e x y  
Rta. y
xy e C 
4.  2
2 0x x
x ye dx e dy   con  0 1y 
Rta. 32
1
3
x
y x e 
  
 
5.  
2
2 5 8 4x y y xy   
Rta.    
4 35
2 2
3
y x x C   
6. 2 ydy dy
y x y e
dx dx
 
Rta. yx
e C
y
 
7.
dy y
dx y x


con  5 2y 
Rta.
2
8
2
y
xy  
8.  
32
1
1
y y x
x
    
 
Rta.    
2 21
1 1
2
y x C x
 
     
9.   2
6 2 0xy y y   con  0 1y 
Rta. 22
2x y
y
 

52. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
48
10.  2 0y
ydx xy x ye dy   
Rta. 2 2
2
1 1 1
2 2 4
y
ye
x y y Ce
y
 
    
 
2.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI.
Una ecuación diferencial de Bernoulli es aquella que se puede escribir de la
forma:
    n
y P x y Q x y 
Donde n, es un número real.
Cabe destacar que n debe ser distinto de 0 y 1, ya que si 0n  la ecuación
diferencial es lineal, pero si 1n  es una ecuación diferencial en variables separables.
Toda ecuación diferencial de Bernoulli, mediante un cambio de variable se
convierte en una ecuación diferencial lineal.
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli son:
 Luego de que la ecuación diferencial tenga la forma     n
y P x y Q x y  ,
multiplicarla por n
y
-
       1n n n n n n
y y P x yy Q x y y y y P x y Q x    
     

53. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
49
 Realizar el cambio de variable de la forma 1 n
z y 
 , con lo cual al derivar
también se tiene que  1 n
z n y y
   , y al sustituir en la ecuación diferencial
se obtiene,
           1 1
1
z
P x z Q x z n P x z n Q x
n

      

 Suponiendo que      1P x n P x
  y      1Q x n Q x
  , la ecuación
diferencial se transforma en una ecuación lineal
   z P x z Q x 
 
 La cual al resolver se obtendrá la solución general de la ecuación diferencial
de Bernoulli, recordando que al final se debe sustituir 1 n
y 
por z
Ejemplo 1. Resuelva
2
2 2
y x
y
x y
 
Se acomoda la ecuación diferencial de la forma     n
y P x y Q x y 
2
11
2 2
x
y y y
x
       
   
Con lo cual se verifica que es una ecuación de Bernoulli con 1n   , entonces
se procede a multiplicar toda la ecuación diferencial por  1
y
 
, es decir, por y.
2 2
1 21 1
2 2 2 2
x x
yy yy y y yy y
x x
                   
      

54. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
50
Ahora se realiza el cambio de variable  1 1
z y
 
 , es decir, 2
z y con su
respectiva derivada 2z yy  , por lo tanto se tiene:
2
21 1
2 2 2
z x
z z z x
x x
             
   
La cual es una ecuación diferencial lineal con  
1
P x
x
  y   2
Q x x , cuya
solución general es:
3
2
x
z Cx 
Sin embargo como 2
z y , entonces la solución general es:
3
2
2
x
y Cx 
Ejemplo 2. Resuelva 2
6
2
x
y xy
y
 
Primero acomodando la ecuación diferencial, se tiene que:
2
2 6y xy xy
 
Por lo tanto es una ecuación de Bernoulli con 2n   , entonces se procede a
multiplicar la ecuación diferencial por  2
y
 
, es decir, por 2
y .
2 2 2 2 2 3
2 6 2 6y y xyy xy y y y xy x
     

55. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
51
Luego se realiza el cambio de variable  1 2
z y
 
 , es decir, 3
z y con su
respectiva derivada 2
3z y y  , por lo tanto se tiene:
2 6 6 18
3
z
xz x z xz x

    
La cual es una ecuación diferencial lineal con   6P x x y   18Q x x ,
cuya solución general es:
2
3
3 x
z Ce
 
Sin embargo como 3
z y , entonces la solución general de la ecuación
diferencial es:
2
3 3
3 x
y Ce
 
Ejercicios Propuestos.
1. 2
2
y x
y
x y
   con  1 1y 
Rta. 3 2 3
3 4y x x  
2.
2
3
3
1
x
y
x y
 
 
Rta. 3
2 y
x y Ce   
3. 2 3
x
y
x y y
 

Rta.
2
2 2
1 y
x y Ce  

56. CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo
52
4. 4 3
xy y x y 
Rta. 2 4 2
y x Cx
  
5.
3
2
2
2 x
x x y
y y
 
   
 
con  1 1y 
Rta. 3
y x
6. 2 3 cos x
xy y y
x
 
Rta. 3 3
3 sin 3cosx y x x x C  
7. 2 3
2 0x y y xy  
Rta. 2 42
5
y Cx
x

 
8.
4y
y x y
x
 
Rta. 21
ln
2
y x C x
 
   
9. 4
tan cosy y x y x 
Rta.  3 3
3tan cosy C x x
 
10.  2
6 1 2 0y y x dx xdy   
Rta. 2
6 x
x
y
Ce



57. CAPÍTULO 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Este capítulo está destinado a presentarnos las técnicas para resolver
ecuaciones diferenciales de orden superior, no importando si son homogéneas o no
homogéneas, pero si teniendo en cuenta que siempre sean lineales.

58. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
54
3.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR.
Una ecuación diferencial lineal de orden superior que tienen la forma:
   
   
       1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x

      
En donde sí   0g x  , la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero
si   0g x  , entonces la ecuación se llama no homogénea.
Sin embargo, antes de estudiar cada una de estas ecuaciones diferenciales,
primero se desarrollará una teoría preliminar necesaria para comprender este
capítulo.
3.1.1 Principio de Superposición
Sean 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y soluciones de una ecuación diferencial homogénea
de orden n, entonces la combinación lineal de estas,
  1 1 2 2 3 3 1 1n n n ny x C y C y C y C y C y      
También es solución de dicha ecuación diferencial.
3.1.2 Dependencia e independencia lineal.
Un conjunto de funciones          1 2 3 1
, , , , ,n n
f x f x f x f x f x
, es
linealmente independiente si para

59. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
55
         1 2 3 11 2 3 1
, , 0n nn n
C f x C f x C f x C f x C f x 
   
Se cumple que 1 2 3 1 0n nC C C C C      .
Si el conjunto de soluciones no es linealmente independiente, entonces se dice
que es linealmente dependiente, es decir, si al menos alguna de las constantes
1 2 1, , , ,n nC C C C es no nula.
Para entender mejor este concepto, supongamos que 1y y 2y , son funciones
linealmente dependientes, entonces existen las constantes 1C y 2C no nulas tale que:
1 1 2 2 0C y C y 
Entonces como 1 0C  , es posible escribir la ecuación de la forma:
2
1 2
1
C
y y
C
 
Por lo tanto si 1y y 2y , son funciones linealmente dependientes si y solo si
una función es múltiplo constante de la otra. Y por consiguiente, esto nos lleva a
concluir, que dos funciones son linealmente independientes, si ninguna función no es
múltiplo constante de la otra.
3.1.3 Wronskiano.
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-
Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El

60. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
56
Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un
conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones
       1 2 1
, , , ,n n
f x f x f x f x
poseen al menos n-1 derivadas, entonces el
wronskiano viene dado por:
 
       
2 11
2 11
2 111 2 1
1 1 11
2 11
, , , ,
n n
n n
n nn n
n n nn
n n
f f ff
f f ff
f f ffW f f f f
f f ff



  

  
  
Uno de los usos más importantes que se le da al wronskiano en las ecuaciones
diferenciales, es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente o no.
Dado un conjunto de soluciones 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y de una ecuación
diferencial homogénea de orden n. Entonces dicho conjunto de soluciones es
linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
 1 2 3 1, , , , , 0n nW y y y y y 
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea.
Como se dijo al principio del capítulo una ecuación diferencial homogénea es
aquella que tiene la forma:
   
   
     1
1 2 1 0 0n n
n na x y a x y a x y a x y a x y

      

61. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
57
Este tipo de ecuación diferencial tiene como solución general:
  1 1 2 2 3 3 1 1n n n ny x C y C y C y C y C y     
Donde 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y es un conjunto fundamental de soluciones
linealmente independientes.
Cabe destacar que el número de funciones que conformarán el conjunto de
soluciones es igual al orden de la ecuación diferencial homogénea, de este modo, una
ecuación diferencial de segundo orden tendrá un conjunto de soluciones conformado
por dos funciones.
Otra característica de las ecuaciones diferenciales homogéneas, es que la
solución trivial siempre la satisface, sin embargo en el estudio de estas ecuaciones la
despreciaremos.
3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea.
Una ecuación diferencial lineal no homogénea tiene la forma:
   
   
       1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x

       Con   0g x  .
La solución de este tipo de ecuación está conformada por la suma de dos
soluciones, llamadas solución complementaria  cy y solución particular  py .
La solución complementaria, es la solución que se obtiene luego de
transformar la ecuación diferencial no homogénea en una ecuación homogénea.

62. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
58
La solución particular, es una solución dada de la ecuación diferencial no
homogénea, la cual dependerá de la acción de la función  g x sobre la ecuación.
En conclusión la solución general de una ecuación diferencial no homogénea
de orden n viene dada por:
  c py x y y 
Una ecuación diferencial no homogénea debe tener un conjunto de soluciones
formado por al menos n+1 funciones, las cuales deben ser linealmente independientes
entre sí.
En este capítulo, más adelante, se presentarán técnicas para determinar la
solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.
3.2 REDUCCIÓN DE ORDEN
El método de reducción de orden consiste en construir una segunda solución
de una ecuación diferencial a partir de una solución conocida.
Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden,
     2 1 0 0a x y a x y a x y   

63. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
59
Con  2 0a x  , y además  2a x ,  1a x y  0a x continuas en I, si se divide
por  2a x y haciendo  
 
 
1
2
a x
P x
a x
 y  
 
 
0
2
a x
Q x
a x
 , se tiene la forma estándar
o canoníca
    0y P x y Q x y   
Esta ecuación tiene como solución general   1 1 2 2y x c y c y  , donde  1y x y
 2y x , deben ser linealmente independientes, esto implica que      2 1y x u x y x .
Por lo tanto es posible hallar una segunda solución  2y x , a partir de una solución ya
conocida  1y x , para toda  u x diferente de una constante.
Entonces si se tiene como posible solución a      2 1y x u x y x , implica que
debe satisfacer a la ecuación, por lo tanto primero se deriva dos veces a  2y x
2 1 1y uy y u    y 2 1 1 12y uy u y y u      
Se sustituyen la derivadas de  2y x en la ecuación diferencial
    1 1 1 1 1 12 0uy u y y u P x uy y u Q x uy          
Aplicando propiedad distributiva y agrupando en función de  u x , se tiene:
     1 1 1 1 1 12 0y u y P x y u y P x y Q x y u             

64. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
60
Pero de acuerdo a la ecuación diferencial de segundo orden, se tiene que
   1 1 1 0y P x y Q x y   , por lo tanto:
 1 1 12 0y u y P x y u      
Como z u , y además z u  , entonces:
 1 1 12 0y z y P x y z     
La cual es una ecuación diferencial de variables separables. Por lo tanto
llevándola a su forma diferencial y separando las variables se tiene:
 1
1
2ydz
P x dx
z y
 
   
 
Ahora integrando la ecuación anterior se obtiene,
   2
1 1ln 2ln lnz y P x dx C zy P x dx C        
Por consiguiente
 2
1 1
P x dx
zy C e

Despejando z, para luego regresar el cambio z u
   
1 1
2 2
1 1
P x dx P x dx
C e C e
z u
y y
  
  

65. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
61
Escribiendo la ecuación en su forma diferencial y volviendo a integrar:
 
1 22
1
P x dx
e
u C dx C
y
 
  
 
 

Tomando a 1 1C  y 2 0C  , además como      2 1y x u x y x , entonces:
   
 
2 1 2
1
P x dx
e
y x y x dx
y
 
 
 
 

Ejemplo 1. Sea    1 sen lny x x x una solución de la ecuación diferencial
2
2 0x y xy y    , halle una segunda solución que satisfaga la ecuación.
Lo primero que se debe hacer es escribir la ecuación diferencial en su forma
canónica, es decir, dividimos la ecuación por 2
x :
2
1 2
0y y y
x x
   
Por lo tanto de acuerdo a (3) una segunda solución para la ecuación
diferencial viene dada por:
   
 
1
2 2
sen ln
sen ln
dx
x
e
y x x x dx
x x
 
  
 
 
 
  
   
 

Resolviendo la integral del numerador, se tiene:

66. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
62
   
 
   
 
ln
2 22 2 2 2
sen ln sen ln
sen ln sen ln
x
e x
y x x x dx y x x x dx
x x x x
      
     
      
 
Ahora simplificando y utilizando un cambio de variable, se obtiene:
   
 
   2 22 2
ln
sen ln sen ln
sen ln sen
z x
dx du
y x x x y x x xdx
x x udz
x


  

 
Acomodando e integrando, se tiene:
       2
2 2sen ln csc sen ln coty x x x udu y x x x u   
Por último regresando el cambio de variable lnz x ,
     2 sen ln cot lny x x x x 
Ejercicios propuestos.
Utilice el método de reducción de orden para obtener una segunda solución.
1. 2
7 16 0x y x y    con 4
1y x
Rta. 4
2 lny x x
2. 2
2 6 0x y xy y    con 2
1y x
Rta. 2 3
1
5
y
x
 

67. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
63
3. 0xy y   con 1 lny x
Rta. 2 1y  
4. 2
2 0x y xy y    con  1 sen lny x x
Rta.  2 cos lny x x 
5. 0y y  con 1 coshy x
Rta. 2 sinhy x
6.  1 2 4 4 0x y xy y     con 2
1
x
y e

Rta. 2y x
7. 2
5 9 0x y xy y    con 3
1 lny x x
Rta. 3
2y x
8.    2 1 4 1 4 0x y x y y      con 1 1y x 
Rta. 2
2
x
y e
9. 9 12 4 0y y y    con
2
3
1
x
y e
Rta.
2
3
2
x
y xe
3.3 ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTE CONSTANTE
Se dice que una ecuación diferencial lineal es homogénea con coeficientes
constantes si esta tiene la forma:

68. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
64
     1 2
1 2 2 1 0 0n n n
n n na y a y a y a y a y a y 
 
       
Donde 0 1 2 1, , , , ,n na a a a a son constantes reales con 0na  .
Este tipo de ecuación diferencial tiene como característica fundamental que
todas sus soluciones son funciones exponenciales de la forma mx
e o, al menos, están
formadas a partir de funciones exponenciales.
Para mostrar cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales homogéneas de
coeficiente constante, primero se comenzará por el caso especial de la ecuación
diferencial de segundo orden, para luego describir cómo resolver ecuaciones de orden
superiores en general.
3.3.1 Ecuaciones de segundo orden.
Una ecuación diferencial de segundo orden viene dada por:
0ay by cy   
Como se dijo antes, la solución de esta ecuación tiene la forma mx
y e ,
entonces al derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene:
 2 2
0 0mx mx mx mx
am e bme ce e am bm c      
De esta última ecuación, se sabe que mx
e nunca puede ser cero, mientras x
tenga valor real, por lo tanto la única forma de que pueda ser cero es que:
2
0am bm c  

69. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
65
Esta ecuación se denomina ecuación auxiliar o ecuación característica de la
ecuación diferencial. Ahora bien como se observa, esta ecuación es cuadrática, y una
forma de determinar las raíces (resolver), es a través de la ecuación:
2
4
2
b b ac
m
a
  

De la cual, como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de
raíces que tenga la ecuación, los cuales se analizarán a continuación:
CASO I. Raíces reales diferentes. 2
4 0b ac 
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,
1 2m m con lo cual se obtienen las soluciones 1
1
m x
y e y 2
2
m x
y e . Como estas
soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general
de la ecuación diferencial es:
  1 2
1 2
m x m x
y x C e C e 
Ejemplo 1. Resuelva 3 10 0y y y    .
Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general mx
y e , la
cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
 2 2
3 10 0 3 10 0mx mx mx mx
m e me e e m m      

70. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
66
Entonces la ecuación auxiliar es 2
3 10 0m m   y sus raíces 1 5m   y
2 2m  , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación
diferencial es:
  5 2
1 2
x x
y x C e C e
 
CASO II. Raíces reales iguales.  2
4 0b ac 
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,
1 2m m con lo se obtendrá una sola solución 1
1
m x
y e , donde al resolver 1
2
b
m
a
  .
Sin embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones,
por lo tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar  2y x ,
a partir de la ya conocida  1y x , esto es:
 
 
1
1
2 2
P x dx
m x
m x
e
y e dx
e
 
 
 
 

Como al escribir la ecuación en su forma canónica se obtiene
0
b c
y y y
a a
    , entonces  
b
P x
a
 , y además como 1
2
b
m
a
  , se puede concluir
que   12P x m  , por lo tanto:
 
 
1 1
1 1
1
1
2 2
2 22 2
m dx m x
m x m x
m xm x
e e
y e dx y e dx
ee
            
 
 

71. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
67
Con lo cual se obtiene:
1 1
2 2
m x m x
y e dx y xe  
Por lo tanto la solución general viene dada por:
  1 1
1 2
m x m x
y x C e C xe 
Ejemplo 2. Resuelva. 6 9 0y y y    .
Como la solución general mx
y e , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
 2 2
6 9 0 6 9 0mx mx mx mx
m e me e e m m      
Entonces la ecuación auxiliar es 2
6 9 0m m   y sus raíces 1 3m  y
2 3m  , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación
diferencial es:
  3 3
1 2
x x
y x C e C xe 
CASO III. Raíces complejas conjugadas.  2
4 0b ac  .
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces complejas, es decir,
1m i   y 2m i   , donde  y  son números reales con 0  y además
que 2
1i   . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:

72. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
68
     
1 2
i x i x
y x k e k e
    
 
Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no
con exponenciales complejas. Por lo tanto:
     1 2 1 2
x i x x i x x i x i x
y x k e e k e e y x e k e k e       
    
Luego utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por:
cos seni
e i
  
Se tiene:
cos seni x
e x i x
   y cos seni x
e x i x
 
 
Entonces:
     1 2cos sen cos senx
y x e k x i x k x i x
        
Con lo cual:
     1 2 1 2cos senx
y x e k k x k k x
      
Luego asumiendo que 1 1 2C k k  y 2 1 2C k k  , concluimos que la solución
general es:
   1 2cos senx
y x e C x C x
  

73. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
69
Ejemplo 3. Resuelva 0y y y   
Como la solución general mx
y e , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
 2 2
0 1 0mx mx mx mx
m e me e e m m      
Entonces la ecuación auxiliar es 2
6 9 0m m   , con lo cual luego de
aplicar la ecuación (5), se obtienen las raíces: 1
1 3
2 2
m i   y 2
1 3
2 2
m i   ,
por lo tanto se tiene que
1
2
   y
3
2
  , por consiguiente se puede concluir que la
solución general de la ecuación diferencial es:
  2
1 2
3 3
cos sen
2 2
x
y x e C x C x
  
   
 
3.3.2 Ecuaciones de orden superior.
Ahora, de manera más general, se estudiará la ecuación diferencial
homogénea de orden superior,
     1 2
1 2 2 1 0 0n n n
n n na y a y a y a y a y a y 
 
       
Que, como se dijo antes, tiene como solución general la función mx
y e , por
lo tanto su ecuación auxiliar, viene dada por:

74. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
70
1 2 2
1 2 2 1 0 0n n n
n n na m a m a m a m a m a 
      
Este tipo de ecuación puede general muchas combinaciones de soluciones,
sobre todo combinaciones de los casos que se vieron para ecuaciones homogéneas de
segundo grado, por ejemplo una ecuación diferencial de cuarto orden, puede tener
cuatro raíces diferentes, cuatro raíces iguales, dos raíces reales iguales y dos
complejas, dos complejas y dos reales diferentes, o cualquier otra combinación, sin
embargo a continuación se presentarán tres casos que ayudarán en la resolución de las
ecuaciones diferenciales de orden superior:
Caso I. Múltiples raíces diferentes.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes,
es decir 1 2 1n nm m m m    , entonces la solución general tiene la forma:
  3 11 2
1 2 3 1
n nm x m x m xm x m x
n ny x C e C e C e C e C e
     
Caso II. Múltiples raíces iguales.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales,
es decir 1 2 1n nm m m m    , entonces la solución general tiene la forma:
  1 1 1 1 12 2 1
1 2 3 1
m x m x m x m x m xn n
n ny x C e C xe C x e C x e C x e 
     

75. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
71
Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas
iguales, es decir, si 1m i   es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz
conjugada 2m i   también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en
las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general:
 
 
 
1 2 3 4
1
2 1 2
cos sen cos sen
cos sen
x
n
n n
C x C x x C x C x
y x e
x C x C x

   
 

    
  
   
Ejemplo 4. Resuelva 4 5 0y y y    
Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar:
3 2
4 5 0m m m  
La cual luego de factorizar se hallan sus raíces:
  
1
2
3
0
5 1 0 5
1
m
m m m m
m


   
  
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
  5
1 2 3
x x
y x C C e C e
  
Ejemplo 5. Resuelva 3 3 0y y y y     
La cual tiene como ecuación auxiliar:
3 2
3 3 1 0m m m   

76. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
72
Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:
 
3
1 2 31 0 1m m m m      
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
  2
1 2 3
x x x
y x C e C xe C x e  
  
Ejemplo 6. Resuelva  4
4 4 0y y y  
Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar:
4 2
4 4 0m m  
Con lo cual luego de factorizar se hallan sus raíces:
    
2 1 32 2 2
2 4
0 2
2 0 2 2 0
0 2
m m i
m m m
m m i
   
       
  
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
   1 2 3 4cos 2 sen 2 cos 2 sen 2y x C x C x x C x C x   
Ejemplo 7. Resuelva  6
81 0y y 
La cual tiene como ecuación auxiliar:
6 2
81 0m m 
Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:

77. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
73
   
1 2
2 2
3 4
5 6
0
3 3 9 0 3, 3
0 3, 0 3
m m
m m m m m m
m i m i
 

       
    
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
  3 3
1 2 3 4 5 6cos3 sen3x x
y x C C x C e C e C x C x
     
Ejemplo 8. Resuelva 0y y  con  0 0y  y 2
2
y
   
 
La cual tiene como ecuación auxiliar:
2
1 0m  
Y sus raíces son: 1 0m i  y 1 0m i  , por lo tanto la solución general
de la ecuación diferencial es:
  1 2cos seny x C x C x 
Luego como  0 1y  , entonces se tiene:
   1 2 11 cos 0 sen 0 1C C C   
Y además como   2y   , entonces:
     1 2 1 2 2sen cos 2 sen cos 2y x C x C x C C C           
Con lo cual podemos determinar la solución particular, la cual viene dada por:

78. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
74
  cos 2seny x x x 
Ejercicios propuestos.
1. 2 3 0y y y   
Rta.   3
1 2
x x
y x C e C e
 
2. 2 3 0y y y    con  0 0y  ,  0 4y  
Rta.   3
2
x x
y x e C e
 
3. 6 9 0y y y   
Rta.   3 3
1 2
x x
y x C e C xe 
4. 4 4 0y y y    con  0 1y  y  0 1y  
Rta.   2 2x x
y x e xe 
 
5. 2 2 0y y y   
Rta.    1 2cos senx
y x e C x C x 
6.  4
16 0y y 
Rta.   2 2
1 2 3 4cos2 sen2x x
y x C e C e C x C x
   
7.  6
81 0y y 
Rta.   3 3
1 2 3 4 5 6cos3 sen3x x
y x C C x C e C e C x C x
     
8.  4
8 16 0y y  
Rta.   1 2 3 4cos2 sen2 cos2 sen2y x C x C x C x x C x x   

79. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
75
3.4. MÉTODOS DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
El método de coeficientes indeterminados es utilizado para determinar la
solución particular py de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de
coeficiente constante, es decir para ecuaciones que tengan la forma:
   
 1
1 2 1 0
n n
n na y a y a y a y a y g x

      
Con 1 2 1 0, , , , ,n na a a a a constantes reales.
Sin embargo este método solo es posible utilizarlo si la función  g x es del
tipo:
 Polinómica  2
0 1 2
n
na a x a x a x   
 Exponencial  x
e
 Seno ó coseno  cos senx o x 
 Sumas y/o producto finito de las anteriores.
Algunos ejemplos de funciones para  g x permitidas en este método son:
         3 4 3
5, 4 8, 4 , 5 , 2 4x x
g x g x x g x x x g x e g x x e
        
     
     2 4 3
2 4 , 2sen5 ,
6 cos4 , sen 2
x
x x
g x x e g x x
g x x x x g x xe xe

  
   

80. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
76
Caso contrario, algunos ejemplos de funciones que para  g x no están
permitidas:
     
     
2 3
1
ln , , ,
2
4
, , arccos
cos sen
x
g x x g x g x
x x x
x
g x g x g x x
x x
  

  
Este método lleva el nombre de coeficientes indeterminados debido a que
inicialmente la solución particular que se determina tiene coeficientes desconocidos,
luego parte de este método es determinar el valor de dichos coeficientes.
El método de coeficientes indeterminado presenta dos enfoques, uno llamado
superposición y otro anulador. A continuación se describirá cada uno de estos
enfoques.
3.4.1 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de
superposición.
Este enfoque consiste en proponer una solución particular  py , que contenga
uno o más coeficientes desconocidos. Esta solución particular debe ser de forma
semejante a la función  g x de la ecuación diferencial no homogénea.
Es importante resaltar, una vez más, que la solución general de una ecuación
diferencial no homogénea debe contener funciones linealmente independientes entre

81. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
77
sí. Por lo tanto se debe verificar que la solución particular propuesta no sea múltiplo
de ninguna de las funciones que conforman la solución complementaria, de así serlo,
la solución particular debe ser multiplicada por n
x , donde n indica el número de
repeticiones que presente yp.
Además, si la función  g x , está conformada por una suma de funciones
       1 2 ng x g x g x g x    , la solución particular también estará conformada
por una suma de soluciones 1 2p p p pny y y y    , donde 1py es la posible
solución particular de  1g x , y así sucesivamente. En este caso se debe verificar que
sean linealmente independientes pero de forma individual.
En la tabla 3.1, se presentan algunos ejemplos de posibles soluciones
particulares a partir de una función  g x dada. Cabe destacar que en esta tabla se
asume que no existe repetición de funciones entre el yp asumido y la solución
complementaria.
A continuación se presenta los pasos necesarios para resolver una ecuación
diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, usando el enfoque de
superposición:
 Se verifica que la función contenida en  g x , se encuentre entre las
permitidas por el método de coeficientes indeterminados.
 Se determina la solución complementaria cy .

82. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
78
 Se escribe una posible solución particular py , de acuerdo a la función  g x
 Se verifica que la solución particular planteada sea linealmente independiente
con respecto a las funciones que conforman la solución particular.
 Se sustituye la solución particular en la ecuación diferencial, para de este
modo determinar los coeficientes desconocidos de py
 Se escribe la solución general de la ecuación diferencial no homogénea.
 g x py Sugerida
2 A
4 3x  Ax+B
2
2 6x 2
Ax Bx C 
3 2
4x x 3 2
Ax Bx Cx D  
2x
e 2x
Ae
sen4x sen4 cos4A x B x
cos3x sen3 cos3A x B x
 2 2
4 x
x e  2 2x
Ax Bx C e 
5
sen3x
e x
 5
sen3 cos3x
e A x B x

 4 cos2x x    sen2 cos2Ax B x Cx D x  
   2 3
4 sen 2x
x x e x    2 3 2 3
sen 2 cos2x x
Ax Bx C e x Dx Ex F e x    
Tabla 3.1

83. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
79
Ejemplo 1. Resuelva 4 3 7 2y y y x    
Primero se determina la solución complementaria, transformando la ecuación
diferencial en homogénea, es decir: 4 3 0y y y   
Su ecuación auxiliar es:
  2
4 3 0 3 1 0m m m m      
Con lo cual las raíces de la ecuación auxiliar son:
3
1
m
m
 

 
Por lo tanto la solución complementaria viene dada por:
3
1 2
x x
cy C e C e 
 
Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función contenida en
 g x , entonces como   7 2g x x  , se propone como solución particular a:
py Ax B 
Inmediatamente debe verificarse si Ax B es linealmente independiente con
respecto a las funciones que conforman la solución complementaria, es decir, si es
múltiplo de 3x
e
o x
e
. En este caso, como no hay multiplicidad, se concluye que la
solución particular a utilizarse es la asumida, por lo tanto se confirma que
py Ax B  .

84. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
80
Se deriva yp dos veces debida a que es una ecuación diferencial de segundo
orden:
0p p py Ax B y A y      
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial
se tiene:
   4 3 7 2 0 4 3 7 2y y y x A Ax B x          
En consecuencia
 4 3 3 7 2 3 4 3 7 2A Ax B x Ax A B x        
Con lo cual
3 7 4 3 2A y A B  
Por lo tanto se tiene que:
7
3
A  y
22
9
B   , entonces la solución particular
es:
7 22
3 9
py x 
Por último se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
3
1 2
7 22
3 9
x x
cy C e C e x 
   

85. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
81
Ejemplo 2. Resuelva 1y y x   
Se determina la solución complementaria de 0y y   , primeo se construye
la ecuación auxiliar y se determinan sus raíces:
 
1
3 2 2
2
3
0
0 1 0 0
1
m
m m m m m
m


      
 
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
1 2 3
x
py C C x C e  
Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene
 g x
Como   1g x x  entonces se asume py Ax B 
Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc,
se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución
particular por 2
x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:
3 2
py Ax Bx 
Es importante cotejar que si se hubiese multiplicado la solución particular por
x, todavía seguiría siendo linealmente independiente.

86. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
82
Entonces se deriva la solución particular tres veces porque es una ecuación
diferencial de tercer orden, con lo cual se tiene:
3 2 2
3 2 6 2 6p p p py Ax Bx y Ax Bx y Ax B y A           
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial,
se tiene:
 1 6 6 2 1y y x A Ax B x        
En consecuencia
 6 6 2 1 6 6 2 1A Ax B x Ax A B x         
Con lo cual
6 1 6 2 1A y A B   
Por lo tanto se tiene que:
1
6
A   y 1B   , entonces la solución particular
es:
3 21
6
py x x  
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
  3 2
1 2 3
1
6
x
y x C C x C e x x    

87. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
83
Ejemplo 3. 2 seny y x x 
Se determina la solución complementaria de 0y y  , construyendo primero
la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
1
2
2
0
1 0
0
m i
m i
m
 
   
 
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
1 2cos sency C x C x 
Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene
 g x
Como   2 seng x x x entonces se asume    cos senpy Ax B x Cx D x   
Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc,
se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución
particular por x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:
   2 2
cos senpy Ax Bx x Cx Dx x   
Entonces se deriva la solución particular dos veces porque es una ecuación
diferencial de segundo orden, con lo cual se tiene:
   2 2
2 cos 2 senpy Ax B Cx Dx x Ax Bx Cx D x         

88. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
84
   2 2
2 4 2 cos 4 2 2 senpy Ax A Bx Cx D x Ax B Cx C Dx x            
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial,
se tiene:
   
   
2 2
2 2
2 4 2 cos 4 2 2 sen
cos sen 2 sen
Ax A Bx Cx D x Ax B Cx C Dx x
Ax Bx x Cx Dx x x x
           
    
En consecuencia
   2 4 2 cos 4 2 2 sin 2 senA Cx D x Ax B C x x x      
   4 cos 2 2 cos 4 sen 2 2 sen 2 senCx x A D x Ax x B C x x x     
Con lo cual
4 0, 2 2 0, 4 2, 2 2 0C A D A B C       
Por lo tanto se tiene que:
1
2
A   , 0B  , 0C  y
1
2
D  , entonces la
solución particular es:
21 1
cos sen
2 2
py x x x x  
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
  2
1 2
1 1
cos sen cos sen
2 2
y x C x C x x x x x   

89. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
85
Ejemplo 4. 2 2
4 4 4 x
y y y x e     
Se determina la solución complementaria de 4 4 0y y y     , construyendo
primero la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
  
1
3 2
2
3
0
4 0 2 2 0 24
2
m
m
m m m m m m
m


       




Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
2 2
1 2 3
x x
cy C C e C xe  
Ahora se asume que una solución particular de acuerdo a la función que
contiene  g x
.
Como   2 2
4 x
g x x e  , se verifica que está compuesta por la suma de dos
funciones, es decir,      1 2g x g x g x  , con   2
1g x x y   2
2 4 x
g x e . Lo que
implica que la solución particular tendrá la forma: 1 2p p py y y  .
Entonces, para   2
1g x x se asume 2
1y Ax Bx C   y además para
  2
2 4 x
g x e se asume 2
2
x
y De , con lo cual la solución particular a priori seria:
2 2x
py Ax Bx C De   

90. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
86
Sin embargo, todavía falta verificar si la solución particular que se está
asumiendo es linealmente independiente con las funciones que conforman la solución
complementaria. En este caso, se debe hacer en forma individual, por consiguiente:
Primero se compara 2
1y Ax Bx C   con 2 2
1 2 3
x x
cy C C e C xe   , con lo
cual se comprueba que existe multiplicidad, ya que en la solución complementaria
hay una función polinómica constante representada por 1C , por lo tanto debe
multiplicarse 1py por x, de esta manera se tendrá como primera solución particular a:
3 2
1py Ax Bx Cx  
Ahora se compara, 2
2
x
y De con 2 2
1 2 3
x x
cy C C e C xe   , y se verifica
que también existe multiplicidad pero esta vez, debe multiplicarse 2py por 2
x , con
lo cual se tendrá como segunda solución particular a:
2 2
2
x
y Dx e
Por consiguiente se tiene que la solución particular a utilizarse es:
3 2 2 2x
py Ax Bx Cx Dx e   
Derivando la solución particular tres veces, se tiene:
 3 2 2 2 2 2 2
3 2 2x x
p py Ax Bx Cx Dx e y Ax Bx C x x De         

91. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
87
Con lo cual al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
   
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
6 6 12 4 2 4 6 2 1 4 2 2
4 3 2 2 4
x x
x x
A x x De Ax B x x De
Ax Bx C x x De x e
          
        
Acomodando un poco la ecuación queda:
   2 2 2 2
12 8 24 6 4 8 4 4x x
Ax B A x A C B De x e       
Con lo cual
12 1, 8 24 0, 6 4 8 0, 4 4A B A A C B D      
En consecuencia:
1
12
A  ,
1
4
B  ,
3
8
C  , 1D  y la solución particular es:
3 2 2 21 1 3
12 4 8
x
py x x x x e   
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
  2 2 3 2 2 2
1 2 3
1 1 3
12 4 8
x x x
y x C C e C xe x x x x e      

92. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
88
Ejercicios propuestos.
Resuelva usando el enfoque de superposición del método de coeficientes
indeterminados
1. 8 64y y x  
Rta.   1 2 4cos 5senx x
y x C e C xe x x   
2. 3
4 3 4 18 15x
y y y e x
     
Rta.   3 3
1 2 2 6 3x x x
y x C e C e xe x  
    
3. 2 2 1y y y x    
Rta.    1 2
1
cos sen
2
x
y x e C x C x x
  
4. 2 2
cos x
y y x e x    
Rta.   3 2
1 2
1 5 1 1 1
sen 2 cos2
3 2 2 20 10
x x
y x C C e x x x e x x
       
5. 3
6 9 6 9 50senx
y y y xe x
     
Rta.   3 3 3 3
1 2 1 4sen 3cosx x x
y x C e C xe x e x x  
     
6. 1y y  
Rta.   2
1 2 3
1
2
x
y x C C x C e x
   
7.  4 2
16
x
y y e 
Rta.   2 2 2
1 2 3 4cos sen 2
2 2
x x x
x x
y x C e C e C C xe

    

93. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
89
8. 25 20sen5y y x 
Rta.   1 2cos5 sen5 2 cos5y x C x C x x x  
9. 5 6y y x    con    0 0, 0 10y y 
Rta.   25
200 200 3 30
x
y x e x x

    
10. 5
2 2 24 40x x
y y y e e       con      
1 5 9
0 , 0 , 0
2 2 2
y y y    
Rta.   2 51
11 11 9 2 12
2
x x x x
y x e xe x x e e     
3.4.2 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de anulador.
Este enfoque al igual que el de superposición es utilizado para resolver
ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficientes constantes, sin
embargo en este caso se utiliza operadores diferenciales.
3.4.2.1 Operadores diferenciales
El operador diferencial, denotado por una D mayúscula, está definido por:
dy
Dy
dx

Si se desea escribir una derivada de orden enésimo utilizando operadores
diferenciales, se tendría:

94. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
90
n
n
n
d y
D y
dx

Donde la potencia del operador diferencial indica el orden de la derivada.
Por lo tanto una ecuación diferencial de la forma:
   
   
       1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x

      
Puede escribirse como:
 2
1 2 0
1
1
n n
n ny ya D a D a D y a Dy a y g x

     
O también de la forma:
 2
1 2
1
1 0n
n n
nD a D a D a D a y g xa 

       
La expresión   1 2
1 2 1 0n
n n
nP D a D a D a Da aD 

     , se llama
operador diferencial de orden n.
El operador diferencial de orden n, presentan las siguientes características:
  P D se puede factorizar como el producto de operadores
diferenciales de primer orden y operadores diferenciales de segundo
orden que no son posibles reducirlos a primer orden.
 Los factores de  P D pueden conmutarse.
       P D f g P D f P D g   , para cualquier función f y g
siempre que sean derivables al menos n veces.

95. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
91
Por ejemplo la ecuación diferencial 3 4 0y y y     , se puede reescribir
con operadores diferenciales de la forma:
3 2
3 4 0D y D y Dy  
Y por consiguiente
  3 2
3 4 0 4 1 0D D D y D D D y        
Cuando un operador diferencial anula una función f, la cual es suficientemente
diferenciable, se denomina operador anulador.
Por ejemplo si se tiene la función   4 2f x x  , su operador anulador sería
2
D , ya que:
   2
4 2 4 4 2 0D x D x    
A continuación se presentará en forma general, una serie de operadores
anuladores que podrán ser utilizados en este enfoque.
a. El operador diferencial 1n
D 
, anula a cualquier polinomio de la forma:
1
1 2
2 1 0n n
n n
a x x xa a a ax
    
b. El operador diferencial D  , anula a cualquier exponencial de la forma:
x
e
c. El operador diferencial  
1n
D 

 , anula a cualquier función de la forma:
 1 2
1 2 1 0n
n
n
n x
a x x xa a eaxa 
    

96. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
92
d. El operador diferencial 2 2
D  , anula cualquier función de la forma:
sina x ó cosa x
e. El operador diferencial  
1
2 2 2
2
n
D D  

     , anula cualquier función
de la forma:
 2
2 1 0 senn
n
x
e a x x xa a a x
    ó
 2
2 1 0 cosn
n
x
e a x x xa a a x
   
En la tabla 4.2 se presentan algunas funciones con sus respectivos operadores
anuladores.
 g x Operador anulador
2 D
4 3x  2
D
3 2
4x x 4
D
2x
e
2D 
sen4x 2
16D 
 2 2
4 x
x e  
3
2D 
5
sen3x
e x 2
10 36D D 
 4 cos2x x  
22
4D 
   2 3
4 sen 2x
x x e x  
32
6 13D D 
Tabla 4.2

97. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
93
Ahora muchas veces se puede presentar que la función que se desea anular
tiene la forma:
       1 2 ng x g x g x g x   
Es decir, la función a anular, está compuesta por dos o más funciones. En este
caso, el operador anulador de  g x , será el producto de todos los operadores
anuladores de las funciones que componen  g x , por lo tanto, si  1L D es el
operador que anula a  1g x ,  2L D es el operador que anula a  2g x y así
sucesivamente hasta  nL D que es el operador que anula  ng x , entonces:
       1 2 0nL D L D L D g x   
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados.
Dada la ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes:
   P D y g x
Donde   1 2
1 2 1 0n
n n
nP D a D a D a Da aD 

     y como se dijo
anteriormente para este método la función  g x es del tipo:
 Polinómica  2
0 1 2
n
na a x a x a x   
 Exponencial  x
e
 Seno ó coseno  cos sinx o x 

98. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
94
 Sumas y/o producto finito de las anteriores.
Entonces existe un operador diferencial  1P D que anule a  g x , con lo cual
se tiene:
   1 0P D P D y 
Con lo cual, la ecuación diferencial no homogénea se transforma en una
homogénea, y de ella se podrá obtener la solución particular  py de la ecuación
diferencial no homogénea.
A continuación se presentan los pasos necesarios para resolver una ecuación
diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes usando el enfoque
anulador:
 Determinar la solución complementaria.
 Escribir la ecuación diferencial utilizando los operadores diferenciales.
 Determinar el operador anulador de  g x , y multiplicarlo por toda la
ecuación diferencial.
 Determinar la ecuación auxiliar, factorizarla y determinar sus raíces
 Escribir la solución general con los coeficientes indeterminados.
 Extraer de la solución general la solución particular  py , verificando no
haber incluido un término que pertenezca a la solución complementaria  cy

99. CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo
95
 Sustituir la solución particular  py en la ecuación diferencial para
determinar sus coeficientes desconocidos.
 Escribir la solución general definitiva.
Ejemplo 5. Resuelva 2
4 4y y y x x    
Primero tal como se especificó en el procedimiento, se hallará la solución
complementaria, para ello primero transformamos la ecuación en homogénea
4 4 0y y y    , para luego determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas
raíces
 
2 12
2
2
4 4 0 2 0
2
m
m m m
m

       

Con lo cual la solución complementaria es:
2 2
1 2
x x
cy C e C xe 
Ahora se reescribe la ecuación diferencial utilizando operadores diferenciales,
 2 2 2 2
4 4 4 4D y Dy y x x D D y x x        
Luego como   2
g x x x  su operador anulador es 3
D , entonces:
     3 2 3 2 3 2
4 4 4 4 0D D D y D x x D D D y       