El documento presenta un estudio comparativo de la respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo discreto con dos pares de polos y dos pares de ceros complejos conjugados. Se divide en tres partes: la primera analiza los polos, la segunda los ceros, y la tercera combina ambos análisis. Cada parte incluye el cálculo de la función de transferencia, ecuación de diferencias, respuestas temporal y en frecuencia, factor Q y normalización de la amplitud. El objetivo es comparar los resultados para diferentes valores de los módulos de los polos.

1. Universidad Nacional de Tucumán
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología
Primer semestre 2006
Introducción a Sistemas de
Tiempo Discreto:
Trabajo de Integración 2006
Integrantes (Grupo 1) :
Rafael Carrasco CX: 00-0171-3 Carrera: Ingeniería en Computación
Gustavo Cortez CX: 01-0801-9 Carrera: Ingeniería en Computación
Leonardo Lucianna CX: 02-0456-6 Carrera Ingeniería en Computación

2. Tabla de contenidos
Tabla de contenidos
Tabla de contenidos....................................................................................................................2
Enunciado...................................................................................................................................4
Especificaciones....................................................................................................................4
Primera Parte.........................................................................................................................4
Segunda Parte........................................................................................................................5
Tercera Parte..........................................................................................................................5
Primera Parte..............................................................................................................................6
Función transferencia.............................................................................................................6
Estructuras de realización circuital........................................................................................8
Ecuación de diferencias.........................................................................................................9
Respuesta temporal – uso de la transformada Z..................................................................10
Respuesta en frecuencia.......................................................................................................26
Factor de Calidad Q.............................................................................................................38
Normalización de la respuesta en amplitud.........................................................................39
Conclusiones........................................................................................................................42
Segunda Parte...........................................................................................................................43
Función transferencia...........................................................................................................43
Estructuras de realización circuital......................................................................................44
Ecuación de diferencias.......................................................................................................45
Respuesta temporal – Uso de la transformada Z.................................................................45
Respuesta en frecuencia:......................................................................................................51
Factor de calidad Q..............................................................................................................62
Normalización de la respuesta en amplitud.........................................................................63
Conclusiones........................................................................................................................66
Tercera Parte.............................................................................................................................67
Función transferencia...........................................................................................................67
Estructuras de realización circuital......................................................................................69
Ecuación de diferencias.......................................................................................................70
Respuesta temporal – Uso de la transformada Z.................................................................70
Respuesta en frecuencia.......................................................................................................83
Factor de Calidad Q.............................................................................................................96
Trabajo de integración 2006 2

3. Tabla de contenidos
Normalización de la respuesta en amplitud.........................................................................98
Conclusiones......................................................................................................................101
Trabajo de integración 2006 3

4. Enunciado
Enunciado
El propósito de este trabajo, es hacer un estudio comparativo de la respuesta en
frecuencias de un sistema de tiempo discreto (STD) con dos pares de polos complejos
conjugados zP1,2
−1
, ubicados en el plano z
−1
con coordenadas polares (Módulo
P , Angulo P ): zP
−1
=P ;P1,2=±1/2º y dos pares de ceros complejos
conjugados zC 1,2
−1
con coordenadas polares (Módulo C , Angulo C ):
zC
−1
=C ;C1,2=±2º .
D
N
H
H
H =
ω= α/T ; ωmin = 0 y ωmax = π/T
Especificaciones
= T= α ω (Normalizar la frecuencia para T=1seg)
Grupo 1: =T=30º
Módulos de los polos
a) ρ 1 =1.1
b) ρ2 = 1.01
c) ρ3 =1.001
Primera Parte
Con H z
−1
=
1
H D
=
1
H PZ
−1

Siendo H D=H P z
−1
=[ z
−1
−a jb][ z
−1
−a− jb][z
−1
−c jd ][ z
−1
−c− jd ]
en coordenadas cartesianas, o en coordenadas polares:
H D=H P z
−1
={z
−2
−2P1 cosP1 z
−1
P1
2
}{z
−2
−2P2 cosP2  z
−1
P2
2
}
A) Escribir la función transferencia normalizada ( B0=1 en el denominador) y
proponer las realizaciones canónicas directas Tipo I y Tipo II (directa y su
transpuesta).
B) Escribir la ecuación de diferencias que da origen a esta función de transferencia,
para todos y cada uno de los casos que se analizan.
C) Encontrar, utilizando la Transformada Z, la respuesta al impulso p. (k), δ al escalón
q.u(k) y al escalón alternado r.û(k).
Trabajo de integración 2006 4

5. Enunciado
D) Para cada una de las frecuencias  especificadas, tomando como parámetro
 , armar una tabla de 36 valores.
1. Encontrar las curvas de Amplitud y Fase. Realizar dos familias de gráficas de
amplitud lineal­lineal y lineal­logarítmica, de tamaño 18cmx10cm.
2. Encontrar el factor de calidad Q=0 / AB en cada caso.
3. En todos los casos normalizar la respuesta de amplitud a un valor
máximo igual a 1. Indicar el efecto que esta normalización producirá
sobre la función transferencia y la realización.
4. Comentarios, observaciones y conclusiones.
Segunda Parte
Con H z
−1
=H N =H C z
−1

Idem a la Primera Parte para los dos pares de ceros complejos conjugados, con función
transferencia en coordenadas cartesianas.
H N =H C  z
−1
=[ z
−1
−e jf ][ z
−1
−e− jf ][ z
−1
−g jh][ z
−1
−g− jh]
o, en coordenadas polares:
H N =H C  z
−1
={z
−2
−2C cosC1z
−1
C
2
}{z
−2
−2C cosC2 z
−1
C
2
}
Repetir los punto A, B, C y D de la Primera Parte.
Tercera Parte
Encontrar la función de transferencia
H z
−1
=H Pz
−1
H C z
−1

de la realización directa resultante de colocar en cascada los módulos correspondientes a
la Primera y Segunda Parte.
Repetir el análisis detallado en los pasos A, B, C y D de la Primera Parte.
Trabajo de integración 2006 5

6. Primera Parte
Primera Parte
Función transferencia
Función de transferencia normalizada ( B0=1 ) de cuarto orden.:
H z
−1
=
1
b0b1 z
−1
b2 z
−2
b3 z
−3
b4 z
−4
H z
−1
=
1
b01b1/b0 z
−1
b2/b0 z
−2
b3/b0 z
−3
b4 /b0 z
−4

H z
−1
=
A0
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B4 z
−4
Donde A0=
1
b0
,Bi=
bi
b0
,i=1,2,3,4
(Ec. 1)
Desarrollamos la expresión
H D=H P z
−1
={z
−2
−2P1 cosP1 z
−1
P1
2
}{z
−2
−2P2 cosP2 z
−1
P2
2
}
Mediante el producto de los factores
H D=H P z
−1
=z
−4
z
−3
−22 cos2z
−2
2
2
z
−3
−21 cos1
z−2
−21 cos1−22cos22
2
z−1
−21cos 1
1
2
z
−2
1
2
z
−1
−22 cos21
2
2
2
H D=H Pz
−1
=z
−4
−2 z
−3
2 cos22
2
z
−2
−2 z
−3
1 cos14 z
−2
12cos 1 cos2
−2 z
−1
2
2
1 cos1z
−2
1
2
−2 z
−1
1
2
2 cos21
2
2
2
H D=H Pz
−1
=z
−4
−2 z
−3
1cos 12 cos24 z
−2
1 2 cos1cos 2
z
−2
1
2
2
2
−2 z
−1
1
2
2cos 21 2
2
cos11
2
2
2
H D=H P z
−1
=z
−4
−z
−3
21 cos122cos 2z
−2
41 2 cos1 cos21
2
2
2

−z
−1
21
2
2 cos2212
2
cos 11
2
2
2
De esta expresión encontramos los valores de b0 ,b1 ,b2 ,b3 yb4
b0=1
2
2
2
b1
=−21
2
2
cos 2
−21
2
2
cos1
b2
=41
2
cos1
cos 2
1
2
2
2
b3
=−21
cos1
−22
cos2
b4
=1
Trabajo de integración 2006 6

7. Primera Parte
Entonces de la Ec. 1 obtenemos los valores de A0 , B1 , B2 , B3 y B4
A0
=
1
1
2
2
2
B1
=
−21
2
2
cos2
−21
2
2
cos 1
1
2
2
2
B2
=
4 1
2
cos1
cos2
1
2
2
2
1
2
2
2
B3
=
−21
cos 1
−22
cos 2
1
2
2
2
B4=
1
1
2
2
2
Siendo en nuestor caso:
1
=29,5º
2
=30,5º
Encontrado las constantes A0 , B1, B2, B3 y B4 la función de transferencia normalizada
queda de la siguiente manera:
H z
−1
=
A0
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B4 z
−4
Trabajo de integración 2006 7

8. Primera Parte
Estructuras de realización circuital
Tipo I
Realización canónica directa:
Tipo II
Realización canónica transpuesta:
Trabajo de integración 2006 8

9. Primera Parte
Ecuación de diferencias
Partimos de la función transferencia dada:
H Z
−1
=
Y Z
−1

X Z−1

=
A0
1B1 Z−1
B2 Z−2
B3 Z−3
B4 Z−4

A0 X Z−1
=Y Z−1
1B1 Z−1
B2 Z−2
B3 Z−3
B4 Z−4

A0 X Z
−1
=Y Z
−1
B1 Z
−1
Y Z
−1
B2 Z
−2
Y Z
−1
B3 Z
−3
Y Z
−1
B4 Z
−4
Y Z
1

Antitransformando:
Z−1
[A0 X Z−1
]=Z−1
[Y Z−1
B1 Z−1
Y Z−1
B2 Z−2
Y Z−1
B3 Z−3
Y Z−1
B4 Z−4
Y Z1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
A0 Z
−1
[ X Z
−1
]=Z
−1
[Y Z
−1
]B1 Z
−1
[ Z
−1
Y Z
−1
]B2 Z
−1
[Z
−2
Y Z
−1
]
B3 Z−1
[Z−3
Y Z−1
]B4 Z−1
[ Z−4
Y Z1
]
Por Teorema de Desplazamiento:
A0 xk=ykB1 yk−1B2 yk−2B3 y k−3B4 yk−4
yk =A0 xk−B1 yk−1−B2 yk−2−B3 yk−3−B4 y k−4
Esta es la ecuación de diferencias que representa al STD lineal, a coeficientes constantes
y de cuarto orden propuesto.
Expresada en términos del operador E:
A0 xk=ykB1 E−1
B2 E−2
B3 E−3
B4 E−4

Trabajo de integración 2006 9

10. Primera Parte
Respuesta temporal – uso de la transformada Z
Respuesta a una función impulso p.δ(k)
X [z
−1
]=Z [ xk ]=Z [ pk]=p
Yz−1
=H z−1
 X z−1

Yz
−1
=
1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb '
p
Desarrollando en fracciones parciales
p
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb'
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
Aplicamos límite en ambos miembros para despejar A
lim
z
−1
 za
p
z
−1
−za z
−1
−za ' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
z
−1
−za=...
...= lim
z−1
 za
A
B
 z
−1
−za ' 
z
−1
−za
C
z
−1
−zb
z
−1
−za
D
z
−1
−zb' 
z
−1
−za
Entonces A es
A=
p
za−za' za−zb za−zb' 
Para encontrar B
lim
z
−1
 za '
p
z
−1
−zaz
−1
−za ' z
−1
−zbz
−1
−zb'
z
−1
−za' =...
...= lim
z−1
 za '
A
z
−1
−za
z
−1
−za ' B
C
z
−1
−zb
z
−1
−za' 
D
 z
−1
−zb' 
z
−1
−za ' 
Entonces B es
B=
p
za '−za za'−zbza '−zb'
Para encontrar C
lim
z
−1
 zb
p
z
−1
−za z
−1
−za ' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
z
−1
−zb=...
...= lim
z−1
 zb
A
 z
−1
−za
z
−1
−zb
B
z
−1
−za' 
z
−1
−zbC 
D
z
−1
−zb' 
z
−1
−zb
Entonces C es
C=
p
zb−zazb−za ' zb−zb' 
Trabajo de integración 2006 10

11. Primera Parte
Para encontrar D
lim
z
−1
 zb'
p
z
−1
−zaz
−1
−za ' z
−1
−zb z
−1
−zb' 
z
−1
−zb' =...
...= lim
z−1
 zb '
A
z
−1
−za
 z
−1
−zb' 
B
z
−1
−za ' 
z
−1
−zb' 
C
 z
−1
−zb
z
−1
−zb' D
Entonces D es
D=
p
zb' −zazb'−za' zb' −zb
Separamos la función Yz
−1
 en dos partes:
Yz−1
=Y1z−1
Y2z−1

Donde Y1
z
−1
=
A
z−1
−za

B
z−1
−za' 
y Y2
z
−1
=
C
z−1
−zb

D
z−1
−zb'
Antitransformando y aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y z
−1
]=Z
−1
[Y1z
−1
]Z
−1
[Y2z
−1
]
Resolvemos: Z
−1
[Y1 z
−1
]
Z
−1
[Y1
z
−1
]=Z
−1
[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 
]
Z
−1
[Y1
z
−1
]=Z
−1
[

−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y1
z
−1
]=
−A
za
Z
−1
[
1
1−
z
−1
za

]
−B
za '
Z
−1
[
1
1−
z
−1
za'

]
Pasamos al dominio del tiempo:
y1
k =
−A
za

1
za

k

−B
za '

1
za '

k
Se puede demostrar que A=B' por lo tanto (­A/za)=(­B/za')'

−A
za
=u1
− jv1
=1
e
− j 1
y 
−B
za '
=u1
 j v1
=1
e
j 1
za=a j b= pe
jp1
y za ' =a− j b= p e
−jp1
Reemplazando y reescribiendo y1k :
y1
k =u1
− jv1
p
−k
e
− j k p1
u1
 j v1
p
−k
e
j k p1
Trabajo de integración 2006 11

12. Primera Parte
y1
k =p
−k
[u1
− jv1
e
− j k p1
u1
 j v1
e
j kp1
]
Observamos que el primer término de la ecuación es el conjugado de la segunda, entonces
aplicamos la siguinete propiedad de los complejos:
ZZ '=2ℜZ
También recordemos que:
e
j 
=cos j sen
Por lo tanto:
y1k =p
−k
[2u1 cosk p1−2 v1 senk p1]
Siendo:
u1
=1
cos1
 y v1
=1
sen1

Llegamos a:
y1k =p
−k
[21 cos1cosk p1−21 sen1senk p1]
Aplicando las identidades trigonométricas:
y1k =21p
−k
cosk p11
Resolvemos: Z−1
[Y2z−1
]
Z
−1
[Y2
z
−1
]=Z
−1
[
C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
]
Z
−1
[Y2
z
−1
]=Z
−1
[

−C
zb

1−
z
−1
zb



−D
zb'

1−
z
−1
zb'

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y2
z
−1
]=
−C
zb
Z
−1
[
1
1−
z−1
zb

]
−D
zb'
Z
−1
[
1
1−
z−1
zb'

]
Pasamos al dominio del tiempo:
y2
k=
−C
zb

1
zb

k

−D
zb'

1
zb'

k
Se puede demostrar que D=E' por lo tanto (­D/zb)=(­E/zb')'

−C
zb
=u2− jv2=2e
− j2
y 
−D
zb '
=u2
 j v2
=2
e
j 2
zb=c j d =p e
jp2
y za '=c− j d =pe
−jp2
Operando de la misma forma que para el caso de y1(k) se obtiene:
Trabajo de integración 2006 12

13. Primera Parte
y2k=22 p
−k
cosk p22
Finalmente la respuesta al impulso p.δ(k) de nuestro STD es:
yk= y1k y2k
yk=21p
−k
cosk p1122 p
−k
cosk p22
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo
denominador, para la exitación x(x)= p.δ(k), particularizando a p=1, para los distintos
valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 13

14. Primera Parte
Respuesta a una función escalón q.u(k)
X [z
−1
]=Z [ xk ]=Z [quk ]=
q
1−z
−1
Yz−1
=H z−1
 X z−1

Yz
−1
=
1
H p
z
−1

q
1−z
−1
Y z
−1
=
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb' 
q
1−z
−1

Si desarrollamos en fracciones parciales tenemos
Yz
−1
=
A
z−1
−za

B
z−1
−za' 

C
z−1
−zb

D
z−1
−zb '

E
1−z−1

Para iguales denominadores
Y z
−1
=−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb'
1
z
−1
−1
Yz
−1
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb '
−
E
z
−1
−1
Si aplicamos límite en ambos miembros para lograr despejar A
lim
z
−1
za
Yz
−1
= lim
z
−1
 za
−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
1
z
−1
−1
z
−1
−za
lim
z−1
 za
Yz
−1
= lim
z−1
 za
[z
−1
−za
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
−
E
z
−1
−1
]
Obtenemos
lim
z
−1
 za
Y z
−1
= lim
z
−1
 za
−q
1
z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb '
1
z
−1
−1
lim
z−1
 za
Yz
−1
= lim
z−1
 za
A
B
z
−1
−za '
z
−1
−za
C
z
−1
−zb
z
−1
−za...
...
D
z−1
−zb'
z
−1
−za−
E
z−1
−1
z
−1
−za
El límite elimina los términos en B, C, D y E.
Entonces A es
A=
−q
za−za' za−zb za−zb' za−1
Para encontrar B
lim
z
−1
 za '
Y z
−1
= lim
z
−1
za '
−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' z
−1
−1
z
−1
−za '=...
...= lim
z−1
 za '
z
−1
−za '[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za '

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb'
−
E
z
−1
−1
]
Trabajo de integración 2006 14

15. Primera Parte
lim
z
−1
 za
Y z
−1
= lim
z
−1
 za
−q
1
z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb '
1
z
−1
−1
lim
z−1
 za
Yz
−1
= lim
z−1
 za
A
B
z
−1
−za '
z
−1
−za
C
z
−1
−zb
z
−1
−za...
...
D
z
−1
−zb'
z
−1
−za−
E
z
−1
−1
z
−1
−za
El límite elimina los términos en A, C, D y E.
Entonces B es
B=
−q
za '−za za'−zbza '−zb' za'−1
Para encontrar C
lim
z
−1
 zb
Yz
−1
= lim
z
−1
 zb
−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' z
−1
−1
z
−1
−zb=...
...= lim
z−1
 zb
z
−1
−zb[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb '
−
E
z
−1
−1
]
lim
z
−1
 zb
Yz
−1
= lim
z
−1
 zb
−q
1
z−1
−zaz−1
−za' z−1
−zb' z−1
−1
=...
...= lim
z−1
 zb
A
z
−1
−za
z
−1
−zb
B
z
−1
−za' 
z
−1
−zbC...
...
D
z
−1
−zb' 
z
−1
−zb−
E
z
−1
−1
z
−1
−zb
El límite elimina los términos en A, B, D y E.
Entonces C es
C=
−q
zb−zazb−za ' zb−zb' zb−1
Para encontrar D
lim
z
−1
 zb'
Y z
−1
= lim
z
−1
 zb '
−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb'z
−1
−1
z
−1
−zb'=...
...= lim
z−1
 zb '
z
−1
−zb' [
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
−
E
z
−1
−1
]
lim
z
−1
 zb '
Y z
−1
= lim
z
−1
 zb '
−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−1
=...
...= lim
z−1
 zb '
A
z
−1
−za
z
−1
−zb'
B
z
−1
−za '
z
−1
−zb '
C
z
−1
−zb
z
−1
−zb'...
...D−
E
z
−1
−1
z
−1
−zb' 
El límite elimina los términos en A, B, C y E.
Trabajo de integración 2006 15

16. Primera Parte
Entonces D es
D=
−q
zb' −zazb'−za' zb' −zbzb '−1
Para encontrar E
lim
z
−1
1
Yz
−1
= lim
z
−1
1
−q
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb 'z
−1
−1
z
−1
−1=...
...= lim
z−1
1
z
−1
−1[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
−
E
z
−1
−1
]
lim
z
−1
1
Y z
−1
= lim
z
−1
1
−q
1
z−1
−zaz−1
−za ' z−1
−zbz−1
−zb' 
=...
...= lim
z−1
1
A
z
−1
−za
z−1
−1
B
z
−1
−za '
z−1
−1
C
z
−1
−zb
z−1
−1...
...
D
z
−1
−zb '
z
−1
−1−E
El límite elimina los términos en A, B, C y D.
Entonces E es
E=
q
1−za1−za' 1−zb1−zb' 
De las constantes A,B,C,D y E se puede determinar que E solo tiene parte real, A y B son
complejos conjugados (A=B') y C y D también son complejos conjugados (C=D') .
Yz
−1
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za '

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
−
E
z
−1
−1
Separamos la función Yz
−1
 en tres partes:
Yz
−1
=Y1z
−1
Y2z
−1
−Y3z
−1

Donde Y1
z
−1
=
A
z−1
−za

B
z−1
−za' 
, Y2
z
−1
=
C
z−1
−zb

D
z−1
−zb'
y Y3
z
−1
=
E
z
−1
−1
Antitransformando y aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1
[Y z−1
]=Z−1
[Y1 z−1
]Z−1
[Y2z−1
]−Z−1
[Y3 z−1
]
Resolvemos: Z
−1
[Y1 z
−1
]
Z
−1
[Y1
z
−1
]=Z
−1
[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 
]
Trabajo de integración 2006 16

17. Primera Parte
Z
−1
[Y1
z
−1
]=Z
−1
[

−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y1
z
−1
]=
−A
za
Z
−1
[
1
1−
z
−1
za

]
−B
za '
Z
−1
[
1
1−
z
−1
za'

]
Pasamos al dominio del tiempo:
y1
k =
−A
za

1
za

k

−B
za '

1
za '

k
A=B' por lo tanto (­A/za)=(­B/za')'

−A
za
=u1
− jv1
=1
e− j 1
y 
−B
za '
=u1
 j v1
=1
ej 1
za=a j b= pe jp1
y za ' =a− j b= p e−jp1
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y1k =21 p
−k
cosk p11
Resolvemos: Z
−1
[Y2z
−1
]
Z
−1
[Y2
z
−1
]=Z
−1
[
C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
]
Z
−1
[Y2
z
−1
]=Z
−1
[

−C
zb

1−
z
−1
zb



−D
zb'

1−
z
−1
zb'

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y2
z
−1
]=
−C
zb
Z
−1
[
1
1−
z−1
zb

]
−D
zb'
Z
−1
[
1
1−
z−1
zb'

]
Pasamos al dominio del tiempo:
y2
k=
−C
zb

1
zb

k

−D
zb'

1
zb'

k
C=D' por lo tanto (­C/zb)=(­D/zb')'

−C
zb
=u2
− jv2
=2
e
− j 2
y 
−D
zb '
=u2
 j v2
=2
e
j 2
zb=c j d =p ejp2
y za '=c− j d =pe−jp2
Trabajo de integración 2006 17

18. Primera Parte
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y2k=22 p
−k
cosk p22
Resolvemos: Z
−1
[Y3z
−1
]
Z
−1
[Y3
z
−1
]=Z
−1
[
E
z−1
−1
]
Z
−1
[Y3 z
−1
]=Z
−1
[
−E
1−z
−1

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la trasformada Z:
Z
−1
[Y3
z
−1
]=−EZ
−1
[
1
1−z−1

]
Antitransformando:
y3k=−Euk
Finalmente la respuesta al escalón q.u(k) de nuestro STD es:
yk= y1k y2k−y3k
yk=21p
−k
cosk p1122 p
−k
cosk p22E uk
Trabajo de integración 2006 18

19. Primera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo
denominador, para la exitación x(x)= q.u(k), particularizando a q=1, para los distintos
valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 19

20. Primera Parte
Respuesta a una función escalón alternado r.û(k)
X [z
−1
]=Z [ xk ]=Z [r ûk ]=
r
1z
−1
Y z−1
=H z−1
 X z−1

Y z
−1
=H z
−1

r
1z
−1
Yz
−1
=
1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb '
r
1z
−1

Si desarrollamos en fracciones parciales tenemos
Yz
−1
=
A
z−1
−za

B
z−1
−za' 

C
z−1
−zb

D
z−1
−zb '

E
1z−1

Para iguales denominadores
Yz
−1
=r
1
z−1
−zaz−1
−za 'z−1
−zbz−1
−zb'
1
z−1
1
Yz−1
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb '

E
z
−1
1
Si aplicamos límite en ambos miembros para lograr despejar A
lim
z
−1
 za
Y z
−1
= lim
z
−1
 za
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za ' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
1
z
−1
1
z
−1
−za
lim
z−1
 za
Yz
−1
= lim
z−1
 za
[z
−1
−za
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 

E
z
−1
1
]
Obtenemos
lim
z
−1
 za
Y z
−1
= lim
z
−1
 za
r
1
z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
1
z
−1
1
lim
z−1
 za
Yz
−1
= lim
z−1
 za
A
B
z
−1
−za '
z
−1
−za
C
z
−1
−zb
z
−1
−za...
...
D
z−1
−zb'
z
−1
−za
E
z−1
1
z
−1
−za
El límite elimina los términos en B, C, D y E.
Entonces A es
A=
r
za−za ' za−zbza−zb'za1
Para encontrar B
lim
z
−1
 za '
Y z
−1
= lim
z
−1
za '
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb'z
−1
1
z
−1
−za ' =...
...= lim
z−1
 za '
z
−1
−za '[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za '

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb'

E
z
−1
1
]
Trabajo de integración 2006 20

21. Primera Parte
lim
z
−1
 za
Y z
−1
= lim
z
−1
 za
r
1
z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
1
z
−1
1
lim
z−1
 za
Yz
−1
= lim
z−1
 za
A
B
z
−1
−za '
z
−1
−za
C
z
−1
−zb
z
−1
−za...
...
D
z
−1
−zb'
z
−1
−za
E
z
−1
1
z
−1
−za
El límite elimina los términos en A, C, D y E.
Entonces B es
B=
r
za'−zaza '−zbza '−zb' za '1
Para encontrar C
lim
z
−1
 zb
Yz
−1
= lim
z
−1
 zb
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb 'z
−1
1
z
−1
−zb=...
...= lim
z−1
zb
z
−1
−zb[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za ' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 

E
z
−1
1
]
lim
z
−1
 zb
Yz
−1
= lim
z
−1
 zb
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zb'z
−1
1
=...
...= lim
z−1
 zb
A
z
−1
−za
z
−1
−zb
B
z
−1
−za '
z
−1
−zbC...
...
D
z
−1
−zb'
z
−1
−zb
E
z
−1
1
z
−1
−zb
El límite elimina los términos en A, B, D y E.
Entonces C es
C=
r
zb−zazb−za 'zb−zb' zb1
Para encontrar D
lim
z
−1
 zb'
Y z
−1
= lim
z
−1
 zb '
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' z
−1
1
z
−1
−zb' =...
...= lim
z−1
 zb'
z
−1
−zb'[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za '

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb'

E
z
−1
1
]
lim
z
−1
 zb '
Y z
−1
= lim
z
−1
 zb'
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
1
=...
...= lim
z−1
 zb '
A
z
−1
−za
z
−1
−zb'
B
z
−1
−za '
z
−1
−zb '
C
z
−1
−zb
z
−1
−zb'...
...D
E
z
−1
1
z
−1
−zb' 
El límite elimina los términos en A, B, C y E.
Trabajo de integración 2006 21

22. Primera Parte
Entonces D es
D=
r
zb '−zazb'−za' zb '−zbzb'1
Para encontrar E
lim
z
−1
−1 
Yz
−1
= lim
z
−1
−1
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb'z
−1
1
z
−1
1=...
...= lim
z−1
−1
z
−1
1[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za '

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb'

E
z
−1
1
]
lim
z
−1
−1 
Yz
−1
= lim
z
−1
−1
r
1
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb'
=...
...= lim
z−1
1
A
z
−1
−za
z
−1
1
B
z
−1
−za '
z
−1
1
C
z
−1
−zb
z
−1
1...
...
D
z
−1
−zb '
z
−1
1E
El límite elimina los términos en A, B, C y D.
Entonces E es
E=
r
−1−za−1−za '−1−zb−1−zb'
De las constantes A,B,C,D y E se puede determinar que E solo tiene parte real, A y B son
complejos conjugados (A=B') y C y D también son complejos conjugados (C=D') .
Yz
−1
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb '

E
z
−1
1
Separamos la función Yz
−1
 en tres partes:
Yz
−1
=Y1z
−1
Y2z
−1
Y3z
−1

Donde Y1
z
−1
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 
, Y2
z
−1
=
C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb'
y Y3
z
−1
=
E
z−1
1
Antitransformando y aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y z
−1
]=Z
−1
[Y1 z
−1
]Z
−1
[Y2z
−1
]Z
−1
[Y3z
−1
]
Resolvemos: Z−1
[Y1 z−1
]
Z
−1
[Y1
z
−1
]=Z
−1
[
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za' 
]
Trabajo de integración 2006 22

23. Primera Parte
Z
−1
[Y1
z
−1
]=Z
−1
[

−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y1
z
−1
]=
−A
za
Z
−1
[
1
1−
z
−1
za

]
−B
za '
Z
−1
[
1
1−
z
−1
za'

]
Pasamos al dominio del tiempo:
y1
k =
−A
za

1
za

k

−B
za '

1
za '

k
A=B' por lo tanto (­A/za)=(­B/za')'

−A
za
=u1
− jv1
=1
e
− j 1
y 
−B
za '
=u1
 jv1
=1
e
j 1
za=a jb=p
e
jp1
y za '=a− jb=p
e
− jp1
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y1k =21p
−k
cosk p11
Resolvemos: Z
−1
[Y2z
−1
]
Z
−1
[Y2
z
−1
]=Z
−1
[
C
z−1
−zb

D
z−1
−zb' 
]
Z
−1
[Y2
z
−1
]=Z
−1
[

−C
zb

1−
z
−1
zb



−D
zb'

1−
z
−1
zb'

]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y2
z
−1
]=
−C
zb
Z
−1
[
1
1−
z
−1
zb

]
−D
zb'
Z
−1
[
1
1−
z
−1
zb'

]
Pasamos al dominio del tiempo:
y2
k=
−C
zb

1
zb

k

−D
zb'

1
zb'

k
D=E' por lo tanto (­D/zb)=(­E/zb')'

−C
zb
=u2
− jv2
=2
e
− j 2
y 
−D
zb'
=u2
 jv2
=2
e
j 2
zb=c j d=p
e
jp2
y za '=c− j d=p
e
− jp2
Trabajo de integración 2006 23

24. Primera Parte
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y2k=22 p
−k
cosk p22
Resolvemos: Z
−1
[Y3z
−1
]
Z
−1
[Y3
z
−1
]=Z
−1
[
E
z
−1
−1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la trasformada Z:
Z
−1
[Y3
z
−1
]=E Z
−1
[
1
1z−1

]
Antitransformando:
y3k =E uk 
Finalmente la respuesta al escalón alternado r.û(k) de nuestro STD es:
yk= y1k y2ky3k
yk=21p
−k
cosk p1122 p
−k
cosk p22E uk
Trabajo de integración 2006 24

25. Primera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo
denominador, para la exitación x(x)= r.û(k), particularizando a r=1, para los distintos
valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 25

26. Primera Parte
Observación
En las gráficas anteriores podemos distinguir el régimen transitorio del permanente,
observando que la forma de onda del régimen transitorio es una suma de dos senoidales
de distinta fase, lo que hace producir máximos y mínimos. La respuesta permanente tiene
la misma forma que la exitación, pero con diferencias en su amplitud.
A medida que el valor de ρ se acerca a la unidad el período transitorio es mayor al igual
que su amplitud máxima. Si ρ<=1 este período sería infinito.
Respuesta en frecuencia
Para realizar las gráficas de amplitud y fase en escala lineal – lineal, se utilizó el siguente
scrip en Matlab.
Script lineal-lineal
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=30.5*pi/180;
o2=29.5*pi/180;
T1=1./((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2)*exp(­w*j)+p1^2));
T2=1./((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2)*exp(­w*j)+p2^2));
T3=1./((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2)*exp(­w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud1);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0,100]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
Trabajo de integración 2006 26

27. Primera Parte
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,­4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud2);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,6000]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,­4,4]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud3);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,60000]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,­4,4]);
Trabajo de integración 2006 27

28. Primera Parte
Gráficas lineal-lineal
Trabajo de integración 2006 28

29. Primera Parte
Trabajo de integración 2006 29

30. Primera Parte
Trabajo de integración 2006 30

31. Primera Parte
Trabajo de integración 2006 31

32. Primera Parte
Script lineal-logarítmica
Para realizar las gráficas de amplitud y fase en escala lineal – logarítmica, se utilizó el
siguente scrip en Matlab.
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=30.5*pi/180;
o2=29.5*pi/180;
T1=1./((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2)*exp(­w*j)+p1^2));
T2=1./((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2)*exp(­w*j)+p2^2));
T3=1./((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2)*exp(­w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud1);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0,2*10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,­4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud2);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,10^4]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,­4,4]);
Trabajo de integración 2006 32

33. Primera Parte
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud3);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,10^5]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,­4,4]);
figure(4);
clc;
subplot(2,1,1);hold on;
semilogy(w,amplitud3);
semilogy(w,amplitud2,'r');
semilogy(w,amplitud1,'g');
title('Escala: lineal­logaritmica');legend('rho = 1.001','rho = 1.01','rho = 1.1');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');axis([0, pi,0,10^5]);
subplot(2,1,2);hold on;
plot(w,fase3);
plot(w,fase2,'r');
plot(w,fase1,'g');
legend('rho = 1.001','rho = 1.01','rho = 1.1');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');axis([0, pi,­4,4]);
Trabajo de integración 2006 33

34. Primera Parte
Gráficas linea-logarítmica
Trabajo de integración 2006 34

35. Primera Parte
Trabajo de integración 2006 35

36. Primera Parte
Trabajo de integración 2006 36

37. Primera Parte
Comparación de los módulos de los polos
Trabajo de integración 2006 37

38. Primera Parte
Factor de Calidad Q
Dada la frecuencia central 0=30º encontraremos los factores de calidad Q para los
distintos valores de ρ propuestos:
a) Para rho = 1.1
Encontramos los punto de media potencia utilizando como herramienta a Matlab:
Una vez ejecutado el scrip del punto anterior ejecutamos el siguente comando:
find((max(amplitud1)*2^(­0.5)­0.0001)<amplitud1 & (max(amplitud1)*2^(­
0.5)+0.001)>amplitud1 )
El cual nos devuelve los índices del vector donde se encuentran los puntos de media
potencia, estos índices se aplican sobre el vector w_grados devolviendonos sus
respectivos valores de ω.
1=25,7046º
2=32,9650º
Por lo tando:
AB=2−1=32,9560º −25,7046º=7,2514º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
7,2514º
=4,137
b) Para rho = 1.01
En este caso ejecutamos el siguente comando:
find((max(amplitud2)*2^(­0.5)­0.25)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(­
0.5)+0.25)>amplitud2 )
Obteniendo:
1=29,2726º
2=30,6929º
Por lo tando:
AB=2−1=30,6929º −29,2726º =1,4203º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
1,4203º
=21,122º
c) Para rho = 1.001
En este caso ejecutamos el siguente comando:
find((max(amplitud3)*2^(­0.5)­2)<amplitud3 & (max(amplitud3)*2^(­0.5)+2)>amplitud3 )
Obteniendo:
Trabajo de integración 2006 38

39. Primera Parte
1=29,4485º
2=30,5512º
Por lo tando:
AB=2−1=30,5512º −29,4485º=1,1027º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
1,1027º
=27,206º
Normalización de la respuesta en amplitud
Para normalizar las distintas respuestas de amplitud a un valor máximo igual a 1,
necesitamos dividir a la función transferencia por una constante, siendo esta constante la
función transferencia particularizada para el valor de ω que produce el máximo en
amplitud.
Debido a que estamos trabajando con una función de transferencia de cuarto orden, la
deducción de forma analítica de este máximo resulta ser muy engorrosa, por lo tanto
obtamos por utilizar como herramienta a Matlab.
Ejecutamos el scrip utilizado en los puntos anteriores, modificando el número de pasos
del vector w_grados hasta asegurarnos de obtener resultados con buena presición. Luego
se ejecutaron las siguientes líneas:
w_grados(find(max(amplitud1)==amplitud1))
max(amplitud1)
w_grados(find(max(amplitud2)==amplitud2))
max(amplitud2)
w_grados(find(max(amplitud3)==amplitud3))
max(amplitud3)
De allí se obtubieron los valores de ω para el cuál el módulo de la función transferencia
es máximo:
a) Para rho = 1,1 max=29,5341º ∣Hmax ∣=∣H max∣=89,9719
b) Para rho = 1,01 max=29,9366º ∣H max ∣=∣H max∣=5,6018E03
c) Para el rho=1,001 observamos que se producen dos picos sobre la función
transferencia, un pico a 29,5032 º y el otro a 30,4966 º, de los cuales tomamos el mayor de
los dos:
max=29,5032º ∣H max ∣=∣H max∣=5,8085E04
La función trasferencia normalizada tiene la siguiente forma:
H norm =
V
e−2max
−2cosP1 e−max
2
e−2 max
−2cosP2 e−max
2

Trabajo de integración 2006 39

40. Primera Parte
Siendo V una constante igual a:
V =e
−2max 1
−2cosP1e
−max1

2
e
−2max1
−2cosP2e
−max1

2

Recodando que:
e− jw
=z−1
H norm z
−1
=
V
z
−2
−2cosP1 z
−1

2
z
−2
−2cosP2z
−1

2

H norm z−1
=V H z−1

A H z−1
 se lo puede escribir de la siguiente forma:
H z
−1
=
A0
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B3 z
−3
B4 z
−4
Reemplazando:
H norm z
−1
=V
A0
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B3 z
−3
B4 z
−4
H norm z
−1
=
A0n
1B1 z−1
 B2 z−2
B3 z−3
 B3 z−3
B4 z−4
Siendo:
A0n=V . A0
De lo que podemos concluir que el efecto en la realización producido por esta
normalización es un cambio en el factor A0 ( multiplicador), siendo igual al anterior
multiplicado por una constante V.
Para observar el efecto producido en la función transferencia debido a la normalización se
realizaron los siguientes gráficos:
Escala lineal – lineal
Trabajo de integración 2006 40

41. Primera Parte
Escala lineal – logarítmica
Trabajo de integración 2006 41

42. Primera Parte
Trabajo de integración 2006 42

43. Primera Parte
Conclusiones
De la función de transferencia analizada podemos observar que a medida que el valor de
ρ se acerca a 1 el filtro se hace más selectivo por lo que el factor de calidad (Q) es mayor.
También podemos concluir que el valor máximo que alcanza la amplitud de la función es
más grande cuando ρ es próximo a 1.
Cuando ρ=1,1 y ρ=1,01 los dos picos producidos por los polos se superponen, de manera
que no se puede distinguir entre uno y otro, permitiendo una banda de paso sin altibajos.
Para el caso de ρ=1,001 podemos ver una separación entre los dos picos, por lo que el
filtrado no es bueno, ya que atenúa frecuencias intermedias de la banda de paso. Una
solución para esto sería aumentar el número de polos (entre 29,5º y 30,5º) de forma que se
pueda eliminar esta atenuación. En este caso el filtro sería de mayor orden, incrementando
el número de retardos en la realización canónica.
De las gráficas de fase de la función transferencia podemos determinar que a pequeñas
variaciones de frecuencia, dentro de la banda de paso, se producen grandes variaciones en
la fase, siendo estas mayores a medida que ρ se acerca a la unidad. Esto podría tener
importancia dependiendo de su aplicación práctica. Por ejemplo en audio esto no sería un
problema ya el oido humano no diferencia los cambios de fase, en cambio en una
modulación PSK la variación de fase produciría una pérdida de información durante la
transmisión.
Trabajo de integración 2006 43

44. Segunda Parte
Segunda Parte
Función transferencia
Con H z
−1
=H N =H C z
−1
 , debemos primero encontrar la función de transferencia
normalizada a partir de la ecuación siguiente en coordenadas polares.
H z
−1
=H N =HC z
−1
={z
−2
−2C cosC1z
−1
C
2
}{z
−2
−2C cos C2 z
−1
C
2
}
Resolviendo los factores
Hz−1
=H N =HC z−1
=z−4
z−3
−2cos2z−2
2
z−3
−2cos1
z
−2
4
2
cos1
cos 2
z
−1
−2
3
cos1


2
z
−2
z
−1
−2
3
cos2

4
H z
−1
=H N
=HC
z
−1
=z
−4
z
−3
−2cos2
cos1
z
−2
2
2
12cos1
cos2
...
...z
−1
−2
3
cos2
cos1

4
Llegamos a la forma de la función transferencia normalizada:
H z
−1
=H N=HC z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
Siendo:
A0=
4
A1
=−2
3
cos 2
cos 1

A2
=2
2
12cos1
cos2

A3
=−2cos2
cos1

A4
=1
1
=28º
2
=32º
Trabajo de integración 2006 44

45. Segunda Parte
Estructuras de realización circuital
Tipo I
Realización canónica directa:
Tipo II
Realización canónica transpuesta:
Trabajo de integración 2006 45

46. Segunda Parte
Ecuación de diferencias
La función de transferencia normalizada es por definición:
H z
−1
=
Y z
−1

X z
−1

=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
Entonces
Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
 X z
−1

Y z
−1
=A0 X  z
−1
A1 X z
−1
z
−1
A2 X  z
−1
 z
−2
A3 X z
−1
 z
−3
A4 X z
−1
z
−4
Antitransformando ambos miembros obtenemos
Z−1
[Y  z−1
]=Z−1
[ A0 X z−1
 A1 X  z−1
 z−1
 A2 X z−1
 z−2
A3 X  z−1
 z−3
 A4 X z−1
 z−4
]
Por linealidad de la antitransformada
Z
−1
[Y z
−1
]=A0 Z
−1
[ X z
−1
]A1 Z
−1
[ z
−1
X z
−1
]...
...A2 Z
−1
[ z
−2
X z
−1
]A3 Z
−1
[ z
−3
X z
−1
]A4 Z
−1
[ z
−4
X z
−1
]
Por teorema del desplazamiento en el tiempo de la transformada Z, obtenemos la
ecuación de diferencias que da origen a la función de transferencia de 4º orden de solo
ceros.
yk =A0 xk A1 xk−1A2 xk−2A3 x k−3A4 xk−4
Respuesta temporal – Uso de la transformada Z
Respuesta a una función impulso p.δ(k)
X z
−1
=Z[ xk]=Z [ pk]=p.1= p
Y z
−1
=H z
−1
 X z
−1

Nuestro H z
−1
 es de la forma:
H z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
Entonces reemplazando
Y z
−1
=[ A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
] X z
−1

Yz
−1
=A0 X z
−1
A1 z
−1
X z
−1
A2 z
−2
X z
−1
A3 z
−3
X z
−1
A4 z
−4
X z
−1

Antitransformando
Z
−1
[Y z
−1
]=Z
−1
[ A0 X z
−1
A1 z
−1
X z
−1
A2 z
−2
X z
−1
A3 z
−3
X z
−1
A4 z
−4
X z
−1
]
Por linealidad de la transformada Z
Z
−1
[Y z
−1
]=A0 Z
−1
[ X z
−1
]A1 Z
−1
[z
−1
X z
−1
]A2 Z
−1
[ z
−2
X z
−1
]...
...A3
Z
−1
[ z
−3
X z
−1
]A4
Z
−1
[ z
−4
X z
−1
]
Trabajo de integración 2006 46

47. Segunda Parte
Aplicando el teorema del desplazamiento:
yk =A0 xk A1 xk−1A2 xk−2A3 x k−3A4 xk−4
Como xk=pk entonces
yk=A0 pkA1 pk−1A2 pk−2A3 pk−3A4 pk−4
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo
numerador, para la exitación x(k)= p.δ(k), particularizando a p=1, para los distintos
valores de ρ propuestos.
Trabajo de integración 2006 47

48. Segunda Parte
Respuesta a una función escalón unitario q.u(k)
X z
−1
=Z [ xk ]=Z [quk]=q
1
1−z
−1
Y z
−1
=H z
−1
 X z
−1

Nuestro H z
−1
 es de la forma
H z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
Entonces reemplazando
Y z
−1
=[ A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
] X z
−1

Y z
−1
=A0 X  z
−1
A1 z
−1
X z
−1
A2 z
−2
X z
−1
A3 z
−3
X z
−1
A4 z
−4
X z
−1

Antitransformando
Z
−1
[Y z
−1
]=Z
−1
[ A0 X z
−1
A1 z
−1
X z
−1
A2 z
−2
X z
−1
A3 z
−3
X z
−1
A4 z
−4
X z
−1
]
Por linealidad de la transformada Z
Z
−1
[Y z
−1
]=A0 Z
−1
[ X z
−1
]A1 Z
−1
[z
−1
X z
−1
]A2 Z
−1
[ z
−2
X z
−1
]...
...A3
Z
−1
[ z
−3
X z
−1
]A4
Z
−1
[ z
−4
X z
−1
]
Aplicando el teorema del desplazamiento
yk =A0 xk A1 xk−1A2 xk−2A3 x k−3A4 xk−4
Como xk=quk entonces:
yk=A0 quk A1 q uk−1A2 quk−2A3 quk−3A4 q uk−4
Trabajo de integración 2006 48

49. Segunda Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo
numerador, para la exitación x(k)= q.u(k), particularizando a q=1, para los distintos
valores de ρ propuestos.
Trabajo de integración 2006 49

50. Segunda Parte
Respuesta a una función escalón alternado r.û(k)
X [z
−1
]=Z [ xk ]=Z [r ûk ]=
r
1z
−1
Y z
−1
=H z
−1
 X z
−1

Nuestro H z
−1
 es de la forma
H z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
Entonces reemplazando
Y z
−1
=[ A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
] X z
−1

Y z
−1
=A0 X  z
−1
A1 z
−1
X z
−1
A2 z
−2
X z
−1
A3 z
−3
X z
−1
A4 z
−4
X z
−1

Antitransformando
Z−1
[Y z−1
]=Z−1
[ A0 X z−1
A1 z−1
X z−1
A2 z−2
X z−1
A3 z−3
X z−1
A4 z−4
X z−1
]
Por linealidad de la transformada Z
Z
−1
[Y z
−1
]=A0 Z
−1
[ X z
−1
]A1 Z
−1
[z
−1
X z
−1
]A2 Z
−1
[ z
−2
X z
−1
]...
... A3
Z
−1
[ z
−3
X z
−1
]A4
Z
−1
[ z
−4
X z
−1
]
Aplicando el teorema del desplazamiento
yk=A0 xk A1 xk−1A2 xk−2A3 xk−3A4 xk−4
Como xk=r uk  entonces
yk=A0 r uk A1 r uk−1A2 r uk−2A3 r uk−3A4 r uk−4
Trabajo de integración 2006 50

51. Segunda Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo
numerador, para la exitación x(k)= q.û(k), particularizando a q=1, para los distintos
valores de ρ propuestos.
Trabajo de integración 2006 51

52. Segunda Parte
Respuesta en frecuencia:
Para realizar las gráficas de amplitud amplitud y fase en escala lineal – lineal, se utilizó el
siguente scrip en Matlab.
Script lineal-lineal
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=32*pi/180;
o2=28*pi/180;
T1=((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2)*exp(­w*j)+p1^2));
T2=((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2)*exp(­w*j)+p2^2));
T3=((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2)*exp(­w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud1);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0,20]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,­4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud2);
Trabajo de integración 2006 52

53. Segunda Parte
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,15]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,­4,4]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud3);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,15]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,­4,4]);
Trabajo de integración 2006 53

54. Segunda Parte
Gráficas lineal-lineal
Trabajo de integración 2006 54

55. Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 55

56. Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 56

57. Segunda Parte
Script lineal-logarítmica
Para realizar las gráficas de amplitud amplitud y fase en escala lineal – logarítmica, se
utilizó el siguente scrip en Matlab.
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=32*pi/180;
o2=28*pi/180;
T1=((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2)*exp(­w*j)+p1^2));
T2=((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2)*exp(­w*j)+p2^2));
T3=((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2)*exp(­w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud1);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,10^­2,10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,­4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud2);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,10^­4,10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
Trabajo de integración 2006 57

58. Segunda Parte
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,­4,4]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud3);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,10^­5,10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,­4,4]);
Trabajo de integración 2006 58

59. Segunda Parte
Gráficas lineal-logarítmica
Trabajo de integración 2006 59

60. Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 60

61. Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 61

62. Segunda Parte
Comparación de los distintos valores de ρ
Trabajo de integración 2006 62

63. Segunda Parte
Factor de calidad Q
Analizando la función transferencia y sus graficas observamos que nuestro STD solo
numerador, se comporta como un filtro pasa altos, dada la frecuencia central 0=30º a
continuación se calculará el factor de calidad (Q) del sistema para los diferentes valores
de rho propuestos.
Para realizar este trabajo utilizamos el siguiente scrip en Matlab, modificando el paso del
vector w_grados y sus limites hasta encontrar valores con una buena precisión
w_grados=[0:0.0001:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=32*pi/180;
o2=28*pi/180;
T1=((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2)*exp(­
w*j)+p1^2));
T2=((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2)*exp(­
w*j)+p2^2));
T3=((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2)*exp(­
w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
amplitud2= abs (T2);
amplitud3= abs (T3);
w_grados(find((max(amplitud1)*2^(­0.5)­0.000001)<amplitud1 & (max(amplitud1)*2^(­
0.5)+0.000001)>amplitud1 ))
w_grados(find((max(amplitud2)*2^(­0.5)­0.00001)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(­
0.5)+0.00001)>amplitud2 ))
w_grados(find((max(amplitud3)*2^(­0.5)­0.00001)<amplitud3 & (max(amplitud3)*2^(­
0.5)+0.00001)>amplitud3 ))
a) Para rho =1,1 se utilizó un paso de 0,0001 obteniendo el punto donde la curva decae un
70% de su máximo con un error de 0,000001 en amplitud.
Trabajo de integración 2006 63

64. Segunda Parte
AB=1=134,6184º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
134,6184º
=0,22285
b) Para rho =1,01 se utilizó un paso de 0,0001 obteniendo el punto de media potencia con
un error de 0,00001 en amplitud.
1=AB=134,6853º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
134,6853º
=0,22274
c) Para rho =1,001 se utilizó un paso de 0,0001 obteniendo el punto de media potencia con
un error de 0,00001 en amplitud.
1=AB=134,6860º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
134,6860º
=0,22274
Normalización de la respuesta en amplitud
Para normalizar las distintas respuestas de amplitud a un valor máximo igual a 1,
necesitamos dividir a la función transferencia por una constante, siendo esta constante la
función transferencia particularizada para el valor de omega que produce el máximo en
amplitud.
Del análisis de la función observando sus gráficas se determinó que el punto donde se
produce el valor máximo es sobre los 180 º.
max=180 º
∣H max ∣=∣H max∣=16,9243 para rho = 1,1.
∣H max ∣=∣H max∣=16,9243 para rho = 1,01.
∣H max ∣=∣H max∣=16,9243 para rho = 1,001.
La función transferencia normalizada tiene la siguiente forma:
H norm =V e
−2 
−2 cosc1e
−

2
e
−2 
−2cos c2 e
−

2

Siendo V una constante igual a:
V =
1
H max
=
1
e
−2max
−2cosc1e
−max

2
e
−2max
−2cosc2e
−max

2

Recodando que:
e− jw
=z−1
Trabajo de integración 2006 64

65. Segunda Parte
H norm z−1
=V z−2
−2cosc1z−1
2
z−2
−2cos c2 z−1
2

H norm z−1
=V H z−1

A H z−1
 se lo puede escribir de la siguiente forma:
H z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
Reemplazando:
H norm z−1
=V A0A1 z−1
A2 z−2
A3 z−3
A4 z−4

H norm  z−1
= A0nA1n z−1
 A2n z−2
 A3n z−3
 A4n z−4
Siendo:
A0n=V . A0
A1n=V . A1
A2n=V . A2
A3n=V . A3
A4n=V . A4
De lo que podemos concluir que el efecto en la realización producido por esta
normalización es un cambio en los factores A ( multiplicadores), siendo iguales a los
anteriores multiplicados por una constante V.
Para observar el efecto producido en la función transferencia debido a la normalización se
realizaron los siguientes gráficos:
Escala lineal – lineal
Trabajo de integración 2006 65

66. Segunda Parte
Escala lineal – logarítmica
Trabajo de integración 2006 66

67. Segunda Parte
Conclusiones
Observamos en las gráficas de respuesta en frecuencia que nuestro sistema de tiempo
discreto se comporta como un filtro pasa alto, ya que los ceros se encuentran en las
frecuencias bajas. A medida que rho es menor, la amplitud máxima alcanzada es más
pequeña.
Los factores de calidad obtenidos para los distintos valores de rho son muy bajos, porque
la banda bloqueante es grande. Esto se podría haber mejorado agregando polos a la
función de transferencia (H) entre los valores 0º y 28º y apartir de los 32º. Esto daría
como resultado una banda bloqueante más pequeña mejorando el factor de calidad (Q).
Trabajo de integración 2006 67

68. Tercera Parte
Tercera Parte
Función transferencia
H  z−1
=H p z−1
H c z−1
=
[z−2
−2C cosC1 z−1
C
2
][z−2
−2C cosC2 z−1
C
2
]
[z−2
−2P1 cosP1 z−1
P1
2
][z−2
−2P2 cosP2 z−1
P2
2
]
H p=
a0
1B1
z
−1
B2
z
−2
B3
z
−3
B4
z
−4
Donde:
a0
=
1
2
4
B1
=
−2
3
cosp2
−2
3
cos p1
1
4
B2
=
4
2
cosp1
cos p2
2
2

4
B3
=
−2cosp1
−2cosp2

4
B4=
1
4
H c=A0A1 z−1
A2 z−2
A3 z−3
A4 z−4
Donde:
A0=
4
A1
=−2
3
cos c2
cos c1

A2
=2
2
12cosc1
cosc2

A3
=−2cosc2
cosc1

A4
=1
H z−1
=A0A1 z−1
A2 z−2
A3 z−3
A4 z−4

a0
1B1
z
−1
B2
z
−2
B3
z
−3
B4
z
−4
Desarrollando los factores
H z
−1
=A0
a0
A1
a0
z
−1
A2
a0
z
−2
A3
a0
z
−3
A4
a0
z
−4

1
1B1 z−1
B2 z−2
B3 z−3
B4 z−4
H z
−1
=A0
'A1
' z
−1
A2
' z
−2
A3
' z
−3
A4
' z
−4

1
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B4 z
−4
Trabajo de integración 2006 68

69. Tercera Parte
H z
−1
=
A0 'A1 ' z
−1
A2 ' z
−2
A3 ' z
−3
A4 ' z
−4

1B1
z
−1
B2
z
−2
B3
z
−3
B4
z
−4
Donde
A0 ' =A0 a0=1
A1 ' =A1 a0=−2 
−1
cosc2 cosc1
A2 ' =A2 a0=2
−2
12cosc1 cosc2 
A3 ' =A3 a0=−2 
−3
cosc2 cosc1
A4 ' =A4 a0=
−4
B1=−2
−1
cos p2−2
−1
cos p1
B2
=4
−2
cos p1
cos p2
2
−2
B3
=−2
−3
cos p1
−2cos p2
B4=
−4
Siendo en nuestro caso:
c1
=28º
c2
=32º
p1
=29,5º
p2
=30,5º
Trabajo de integración 2006 69

70. Tercera Parte
Estructuras de realización circuital
Tipo I
Realización canónica directa:
Tipo II
Realización canónica transpuesta:
Trabajo de integración 2006 70

71. Tercera Parte
Ecuación de diferencias
H z −1
=
Y z −1

X z −1

=
A ' 0A ' 1 z −1
A ' 2 z −2
A ' 3 z −3
A ' 4 z −4
1B 1 z −1
B2 z −2
B 3 z −3
B 4 z −4
Y z −1
=
A ' 0A ' 1 z −1
A ' 2 z −2
A ' 3 z −3
A ' 4 z −4
1B1 z −1
B 2 z −2
B 3 z −3
B 4 z −4
X z −1

Operando algebráicamente
Y z−1
1B 1 z−1
B 2z−2
B 3z−3
B 4z−4
=A ' 0A ' 1z−1
A ' 2 z−2
A ' 3z −3
A ' 4 z−4
 X z −1

Y z−1
B 1 Y z −1
z−1
B 2 Y z−1
z−2
B 3 Y z−1
z−3
B 4 Y z−1
z−4
=...
...=A ' 0 X z −1
A ' 1 X z−1
z−1
A ' 2 X z −1
z−2
A ' 3 X z−1
z−3
A' 4 X z−1
z−4

Antitransformando ambos miembros
Z −1
[Y z−1
B 1 Y z−1
z−1
B2 Y z−1
z−2
B 3 Y z−1
z−3
B 4 Y z−1
z−4
]=...
...=Z −1
[A ' 0 X z −1
A ' 1 X z−1
z−1
A ' 2 X z −1
z−2
A ' 3 X z−1
z−3
A' 4 X z−1
z−4
]
Por linealidad de la transformada Z
Z −1
[Y z−1
]B 1 Z−1
[Y z −1
z −1
]B2 Z −1
[Y z−1
z−2
]B 3 Z −1
[Y z−1
z−3
]B 4 Z −1
[Y z−1
z−4
]=...
...=A '0 Z
−1
[X z
−1
]A ' 1 Z
−1
[X z
−1
z
−1
]A ' 2 Z
−1
[X z
−1
z
−2
]A ' 3 Z
−1
[X z
−1
z
−3
]A ' 4 Z
−1
[X z
−1
z
−4
]
Por el teorema del desplazamiento
y k B1 y k −1B 2 y k −2B 3 y k −3B 4 y k −4=...
...=A' 0 x k A ' 1 x k −1A ' 2 x k −2A ' 3 x k −3A ' 4 x k −4
Obtenemos de esta forma la ecuación de diferencias que da origen a la función de
transferencia de 4º orden.
y k =−B 1 y k −1−B 2 y k −2−B 3 y k −3−B 4 y k −4...
...A ' 0 x k A ' 1 x k −1A ' 2 x k −2A ' 3 x k −3A ' 4 x k −4
Respuesta temporal – Uso de la transformada Z
Respuesta a una función impulso p.δ(k)
X [z
−1
]=Z
−1
[xk ]=Z
−1
[ pk ]=p
Y z
−1
=H z
−1
 X  z
−1

Y z
−1
=
A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb '
p
Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

p
z
−1
−za z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
Trabajo de integración 2006 71

72. Tercera Parte
Desarrollando en fracciones parciales
p
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za '

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
Resolvemos de la misma forma que para el caso solo denominador y obtenemos las
constantes A, B, C y D:
A=
p
za−za' za−zb za−zb' 
B=
p
za '−za za'−zbza '−zb'
C=
p
zb−zazb−za ' zb−zb' 
D=
p
zb' −zazb'−za' zb' −zb
Y  z−1
= A0A1 z−1
A2 z−2
 A3 z−3
A4 z−4

A
z−1
−za 

B
 z−1
−za '

C
 z−1
−zb

D
 z−1
−zb '

Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'



−C
zb

1−
z
−1
zb



−D
zb'

1−
z
−1
zb'


Y z
−1
=Y 1z
−1
Y 2z
−1

Donde:
Y1z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'


Y 2z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 

yk =Z
−1
[Y  z
−1
]=Z
−1
[Y 1z
−1
Y 2z
−1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
yk =Z
−1
[Y  z
−1
]=Z
−1
[Y 1z
−1
]Z
−1
[Y 2z
−1
]
Resolvemos: Z
−1
[Y1 z
−1
]
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za'

1−
z
−1
za'

]
Trabajo de integración 2006 72

73. Tercera Parte
Llamamos:
U 1z
−1
[

−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'

]
Donde su antitransformada ya es conocida (calculada en el caso solo denominador):
u1k =21 
−k
cosk p11
Siendo:

−B
za'
=1 e
j1
y za=a j b=e
jp1
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
U 1z
−1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1
[Y1z−1
]=A0 Z−1
[U1 z−1
]A1 Z−1
[ z−1
U 1z−1
] A2 Z−1
[ z−2
U1z−1
]...
...A3 Z
−1
[ z
−3
U 1z
−1
] A4 Z
−1
[ z
−4
U 1z
−1
]
Por teorema de desplazamiento:
Z−1
[Y1z−1
]=A0 u1k A1u1k−1A2u1k−2A3 u1k−3A4 u1k−4
Z−1
[Y1 z−1
]=A0 21−k
cosk p11A1 21−k 1
cosk p11−p1...
...A2
21

− k 1
cosk p1
1
−2p1
A3
21

−k 3
cosk p1
1
−3p1
...
...A4
21

− k4
cosk p1
1
−4p1

Siendo:
cos=0∀0
cos=cos∀≥0
Resolvemos: Z
−1
[Y2 z
−1
]
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
]
Llamamos:
U2z
−1
[
C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb '
]
Donde su antitransformada ya es conocida (calculada en el caso solo denominador):
u2k=21 
−k
cosk p22
Siendo:

−D
zb'
=2e
j2
y zb=c j d =p e jp2
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
U 2z
−1
]
Trabajo de integración 2006 73

74. Tercera Parte
Resolviendo de la misma forma que en el caso anterior:
Z−1
[Y2z−1
]=A0 22 −k
cosk p22A1 22 −k 1
cosk p22−p2...
...A2
22

−k 2
cosk p2
2
−2p2
A3
22

−k 3
cosk p2
2
−3p2
...
...A4
22

−k 4
cosk p2
2
−4p2

Siendo:
cos=0∀0
cos=cos∀≥0
Finalmente la respuesta al impulso p.δ(k) de nuestro STD es:
yk =A0 21
−k
cosk p11cosk p22...
...A1
21

−k 1
cosk p1
1
−p1
cosk p2
2
−p2
...
...A2
21

− k2
cosk p1
1
−2 p1
cosk p2
2
−2 p2
...
...A3 21 
− k 3
cosk p11−3 p1cosk p22−3 p2...
...A4
21

−k 4
cosk p1
1
−4p1
cosk p2
2
−4p2

Siendo:
cos=0∀0
cos=cos∀≥0
Trabajo de integración 2006 74

75. Tercera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, numerador
­ denominador, para la exitación x(x)= p.δ(k), particularizando a p=1, para los distintos
valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 75

76. Tercera Parte
Respuesta a una función escalón q.u(k)
X [z
−1
]=Z
−1
[ xk]=Z
−1
[q uk]=
q
1−z
−1
Y z
−1
=H z
−1
 X z
−1

Y z
−1
=
A0A1 z−1
A2 z−2
A3 z−3
A4 z−4
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb '
q
1−z
−1
Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

q
1−z
−1
z
−1
−za z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
Desarrollando en fracciones parciales:
q
1−z
−1
z
−1
−zaz
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
=
A
z
−1
−za

B
z
−1
−za ' 

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb'
..
...−
E
1−z
−1

Resolvemos de la misma forma que para el caso solo denominador y obtenemos las
constantes A, B, C , D y E:
A=
−q
za−za' za−zb za−zb' za−1
B=
−q
za '−za za'−zbza '−zb' za'−1
C=
−q
zb−zazb−za ' zb−zb' zb−1
D=
−q
zb' −zazb'−za' zb' −zbzb '−1
E=
q
1−za1−za' 1−zb1−zb' 
Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

A
z
−1
−za

B
z
−1
−za ' 

C
z
−1
−zb
...
...
D
z
−1
−zb' 
−
E
1−z
−1


Y z
−1
=Y 1z
−1
Y 2z
−1
Y3z
−1

Donde:
Trabajo de integración 2006 76

77. Tercera Parte
Y1z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'


Y 2z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 

Y3 z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

−E
1−z
−1

yk =Z
−1
[Y  z
−1
]=Z
−1
[Y 1z
−1
Y 2z
−1
Y3z
−1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
yk =Z
−1
[Y  z
−1
]=Z
−1
[Y 1z
−1
]Z
−1
[Y 2z
−1
]Z
−1
[Y3 z
−1
]
Resolvemos: Z−1
[Y1 z−1
]
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za'

1−
z
−1
za'

]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1
[Y1
z−1
]=A0
21
−k
cosk p1
1
A1
21
−k1
cosk p1
1
−p1
...
...A2 21 −k2
cosk p11−2p1 A3 21−k3
cosk p11−3p1...
...A4
21
−k4
cosk p1
1
−4p1

Resolvemos: Z
−1
[Y2 z
−1
]
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1
[Y 2
z−1
]=A0
22
−k
cosk p2
2
A1
22
−k1
cosk p2
2
−p2
...
...A2 22−k2
cosk p22−2p2A3 22−k3
cosk p22−3p2 ...
...A4
22
−k4
cosk p2
2
−4p2

Resolvemos: Z
−1
[Y3z
−1
]
Z
−1
[Y3z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

−E
1−z
−1

]
Llamamos:
U3=
−E
1−z
−1

Donde su antitransformada ya es conocida:
u3k =E uk
Trabajo de integración 2006 77

78. Tercera Parte
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y3z
−1
]=A0 Z
−1
[U 3z
−1
]A1 Z
−1
[ z
−1
U 3z
−1
]A2 Z
−1
[ z
−2
U 3z
−1
]...
...A3 Z−1
[z−3
U 3z−1
]A4 Z−1
[ z−4
U 3z−1
]
Por teorema de desplazamiento:
Z
−1
[Y3z
−1
]=A0u3kA1 u3k−1A2 u3k−2A3 u3k−3A4 u3k−4
Z−1
[Y3z−1
]=EA0 ukA1 uk−1A2uk−2A3 uk−3A4 uk−4
Finalmente la respuesta al escalón q.u(k) de nuestro STD es:
yk =A0 21−k
cosk p11cosk p22E uk...
...A1
21

− k 1
cosk p1
1
−p1
cosk p2
2
−p2
E uk−1...
...A2
21

−k 2
cosk p1
1
−2 p1
cosk p2
2
−2p2
E uk−2...
...A3
21

−k 3
cosk p1
1
−3 p1
cosk p2
2
−3 p2
Euk−3...
...A4
21

−k 4
cosk p1
1
−4 p1
cosk p2
2
−4p2
E uk−4
Siendo:
cos=0∀0
cos=cos∀≥0
Trabajo de integración 2006 78

79. Tercera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD,
numerador ­ denominador, para la exitación x(x)= q.u(k), particularizando a q=1, para los
distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 79

80. Tercera Parte
Respuesta a una función escalón alternado r.û(k)
X [z
−1
]=Z
−1
[ xk]=Z
−1
[r ûk]=
r
1z
−1
Y z
−1
=H z
−1
 X z
−1

Y z
−1
=
A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
z
−1
−zaz
−1
−za 'z
−1
−zbz
−1
−zb '
r
1z
−1
Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

r
1z
−1
z
−1
−za z
−1
−za' z
−1
−zbz
−1
−zb' 
Desarrollando en fracciones parciales:
r
1
z−1
−zaz−1
−za 'z−1
−zb z−1
−zb '
1
z−1
1
=
A
 z−1
−za

B
 z−1
−za '

C
z−1
−zb
...
...
D
 z
−1
−zb' 

E
z
−1
1
Resolvemos de la misma forma que para el caso solo denominador y obtenemos las
constantes A, B, C, D y E:
A=
r
za−za ' za−zbza−zb'za1
B=
r
za'−zaza '−zbza '−zb' za '1
C=
r
zb−zazb−za 'zb−zb' zb1
D=
r
zb '−zazb'−za' zb '−zbzb'1
E=
r
−1−za−1−za '−1−zb−1−zb'
Y z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

A
z
−1
−za

B
z
−1
−za ' 

C
z
−1
−zb
...
...
D
z
−1
−zb' 

E
z
−1
1

Y z
−1
=Y 1z
−1
Y 2z
−1
Y3z
−1

Donde:
Trabajo de integración 2006 80

81. Tercera Parte
Y1z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za '

1−
z
−1
za'


Y 2z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 

Y3 z
−1
=A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

E
z
−1
1
yk =Z
−1
[Y  z
−1
]=Z
−1
[Y 1z
−1
Y 2z
−1
Y3z
−1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
yk =Z
−1
[Y  z
−1
]=Z
−1
[Y 1z
−1
]Z
−1
[Y 2z
−1
]Z
−1
[Y3 z
−1
]
Resolvemos: Z−1
[Y1 z−1
]
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4


−A
za

1−
z
−1
za



−B
za'

1−
z
−1
za'

]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1
[Y1
z−1
]=A0
21
−k
cosk p1
1
A1
21
−k1
cosk p1
1
−p1
...
...A2 21 −k2
cosk p11−2p1 A3 21−k3
cosk p11−3p1...
...A4
21
−k4
cosk p1
1
−4p1

Resolvemos: Z
−1
[Y2 z
−1
]
Z
−1
[Y1z
−1
]=Z
−1
[A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4

C
z
−1
−zb

D
z
−1
−zb' 
]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z
−1
[Y 2z
−1
]=A0 22 
−k
cosk p22A1 22 
−k
cosk p22−p2...
...A2 22 
−k
cosk p22−2p2A3 22 
−k
cosk p22−3p2...
...A4 22
−k
cosk p22−4p2
Resolvemos: Z
−1
[Y3z
−1
]
Z−1
[Y 2
z−1
]=A0
22
−k
cosk p2
2
A1
22
−k1
cosk p2
2
−p2
...
...A2 22−k2
cosk p22−2p2A3 22−k3
cosk p22−3p2 ...
...A4
22
−k4
cosk p2
2
−4p2

Llamamos:
U 3=
E
z
−1
1
Donde su antitransformada ya es conocida:
Trabajo de integración 2006 81

82. Tercera Parte
u3k =E uk 
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z
−1
[Y3z
−1
]=A0 Z
−1
[U 3z
−1
]A1 Z
−1
[ z
−1
U 3z
−1
]A2 Z
−1
[ z
−2
U 3z
−1
]...
...A3 Z
−1
[z
−3
U 3z
−1
]A4 Z
−1
[ z
−4
U 3z
−1
]
Por teorema de desplazamiento:
Z
−1
[Y3z
−1
]=A0u3kA1 u3k−1A2 u3k−2A3 u3k−3A4 u3k−4
Z
−1
[Y3z
−1
]=EA0 ukA1 uk−1A2 uk−2A3 uk−3A4 uk−4
Finalmente la respuesta al escalón alternado r.û(k) de nuestro STD es:
yk =A0 21
−k
cosk p11cosk p22E uk...
...A1
21

− k 1
cosk p1
1
−p1
cosk p2
2
−p2
E uk−1...
...A2
21

−k 2
cosk p1
1
−2 p1
cosk p2
2
−2p2
E uk−2...
...A3
21

−k 3
cosk p1
1
−3 p1
cosk p2
2
−3 p2
E uk−3...
...A4
21

−k 4
cosk p1
1
−4 p1
cosk p2
2
−4p2
E uk−4
Siendo:
cos=0∀0
cos=cos∀≥0
Trabajo de integración 2006 82

83. Tercera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD,
numerador ­ denominador, para la exitación x(x)= r.û(k), particularizando a r=1, para los
distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 83

84. Tercera Parte
Respuesta en frecuencia
Script lineal-lineal
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T1=((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1c)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2c)*exp(­w*j)+p1^2));
T1=T1./((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1p)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2p)*exp(­w*j)+p1^2));
T2=((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1c)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2c)*exp(­w*j)+p2^2));
T2=T2./((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1p)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2p)*exp(­w*j)+p2^2));
T3=((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1c)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2c)*exp(­w*j)+p3^2));
T3=T3./((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1p)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2p)*exp(­w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
Trabajo de integración 2006 84

85. Tercera Parte
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud1);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0.95,1.2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,­0.1,0.1]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud2);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,8]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,­2,2]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud3);
title('Escala: lineal­lineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,80]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,­3.5,3.5]);
Trabajo de integración 2006 85

86. Tercera Parte
Gráficas lineal-lineal
Trabajo de integración 2006 86

87. Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 87

88. Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 88

89. Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 89

90. Tercera Parte
Script lineal-logarítmica
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T1=((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1c)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2c)*exp(­w*j)+p1^2));
T1=T1./((exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o1p)*exp(­w*j)+p1^2).*(exp(­2*w*j)­2*p1*cos(o2p)*exp(­w*j)+p1^2));
T2=((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1c)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2c)*exp(­w*j)+p2^2));
T2=T2./((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1p)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2p)*exp(­w*j)+p2^2));
T3=((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1c)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2c)*exp(­w*j)+p3^2));
T3=T3./((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1p)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2p)*exp(­w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud1);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0.98,1.2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,­0.1,0.1]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud2);
Trabajo de integración 2006 90

91. Tercera Parte
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0.5,8]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,­2,2]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud3);
title('Escala: lineal­logaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0.1,100]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) ­ Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,­3.5,3.5]);
Trabajo de integración 2006 91

92. Tercera Parte
Gráficas lineal-logarítmica
Trabajo de integración 2006 92

93. Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 93

94. Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 94

95. Tercera Parte
Comparación de los módulos de los polos y ceros
Trabajo de integración 2006 95

96. Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 96

97. Tercera Parte
Factor de Calidad Q
Dada la frecuencia central 0=30º encontraremos los factores de calidad Q para los
distintos valores de ρ propuestos:
a) rho=1.1.
De la gráfica de amplitud de la función transferencia para rho = 1.1 se puede observar que
la curva no llega a decaer el 70% de su amplitud máxima. No pudiendo determinar los
puntos de media potencia.
b) rho = 1.01.
Para encontrar los puntos de media potencia utilizamos el siguiente scrip en Matlab:
w_grados=[29:0.0001:31];
w=w_grados*pi/180;
p2=1.01;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T2=((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1c)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2c)*exp(­
w*j)+p2^2));
T2=T2./((exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o1p)*exp(­w*j)+p2^2).*(exp(­2*w*j)­2*p2*cos(o2p)*exp(­
w*j)+p2^2));
amplitud2= abs (T2);
find((max(amplitud2)*2^(­0.5)­0.0005)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(­
0.5)+0.0005)>amplitud2 )
En este scrip tomamos pasos de 0,0001 grados lo que nos genera un resultado con un
error de 0,0005 en el valor de la amplitud de los puntos de media potencia.
Una vez ejecutado el scrip nos devuelve los índices del vector donde se encuentran los
puntos de media potencia, estos índices se aplican sobre el vector w_grados
devolviendonos sus respectivos valores de ω.
1=29,3594º
2=30,6406º
Por lo tando:
AB=2−1=30,6406º−29,3594º =1,2812º
Trabajo de integración 2006 97

98. Tercera Parte
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
1,2812º
=23,4155
c) rho = 1.001.
Al observar en la gráfica de la amplitud de nuestra función transferencia, observamos que
se producen dos picos, uno a 29,5042º y el otro a 30,4958 º. Se toman como puntos de
media potencia al que se produce antes de los 29,5042º y al que se produce después de los
30,4958 º.
Para encontrar a estos puntos ejecutamos el siguiente scrip:
w_grados=[29:0.00001:30];
w=w_grados*pi/180;
p3=1.001;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T3=((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1c)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2c)*exp(­
w*j)+p3^2));
T3=T3./((exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o1p)*exp(­w*j)+p3^2).*(exp(­2*w*j)­2*p3*cos(o2p)*exp(­
w*j)+p3^2));
amplitud3= abs (T3);
find((max(amplitud2)*2^(­0.5)­0.0005)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(­
0.5)+0.0005)>amplitud2
Donde obtenemos el primer valor de ω:
1=29,4502º
Luego ejecutamos el scrip modificando al vector w_grados de la siguiente forma:
w_grados=[30:0.00001:31]; y obtenemos el segundo valor de ω
2=30,5498º
Tomamos pasos 0,00001 grados en el vector w_grados lo que nos genera un resultado con
un error de 0,001 en el valor de la amplitud de los puntos de media potencia.
Calculamos el ancho de banda:
Trabajo de integración 2006 98

99. Tercera Parte
AB=2−1=30,5498º −29,4502º=1,0996º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=
0
AB
=
30º
1,0996º
=27,2826
Normalización de la respuesta en amplitud
Para normalizar la respuesta de amplitud a un valor máximo igual a 1, necesitamos
dividir a la función transferencia por una constante, siendo esta constante la función
transferencia particularizada para el valor de omega que produce el máximo en amplitud.
Debido a que estamos trabajando con una función de transferencia de cuarto orden, la
deducción de forma analítica de este máximo resulta ser muy engorrosa, por lo tanto
obtamos por utilizar como herramienta a Matlab.
a) rho=1,1
Se ejecutó el scrip utilizado en el punto anterior y luego se ejecutaron las siguientes
líneas:
w_grados(find(max(amplitud1)==amplitud1))
max(amplitud1)
De allí se obtubo el valor de ω para el cuál el módulo de la función transferencia es
máximo:
max=30,0016º ∣H max ∣=∣H max∣=1,1233
b) rho=1,01.
Se operó de la misma forma que en el caso anterior, ejecutando la siguientes lineas:
w_grados(find(max(amplitud2)==amplitud2))
max(amplitud2)
Obteniendo:
max=30º ∣H max ∣=∣H max∣=7,5121
c) rho=1,001 .
Observamos que se producen dos picos sobre la función transferencia, un pico a 29,5042 º
y el otro a 30,4958 º, de los cuales tomamos al mayor de los dos:
max=30,4958º ∣Hmax ∣=∣H max∣=65,5321
La función trasferencia normalizada tiene la siguiente forma:
H norm =V
e
−2 j w
−2cosc1e
− j w

2
e
−2 j w
−2cosc2e
− j w

2

e
−2 j w
−2cosP1e
− j w

2
e
−2 j w
−2cosP2 e
− j w

2

Siendo V una constante igual a:
Trabajo de integración 2006 99

100. Tercera Parte
V =
1
H max
=
e
−2max
−2cosP1e
−max

2
e
−2max
−2cosP2e
−max

2

e
−2max
−2cosc1e
−max

2
e
−2max
−2cosc2e
−max

2

Recodando que:
e− jw
=z−1
H norm z
−1
=V
z−2
−2cosc1z−1
2
z−2
−2cosc2z−1
2

z
−2
−2cosP1z
−1

2
z
−2
−2cosP2z
−1

2

H norm z−1
=V H z−1

A H z−1
 se lo puede escribir de la siguiente forma:
H z
−1
=
A0A1 z
−1
A2 z
−2
A3 z
−3
A4 z
−4
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B3 z
−3
B4 z
−4
Reemplazando:
H norm z
−1
=V
A0A1 z−1
 A2 z−2
A3 z−3
 A4 z−4
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B3 z
−3
B4 z
−4
H norm z
−1
=
A0n A1n z−1
 A2n z−2
A3n z−3n
 A4n z−4
1B1 z
−1
B2 z
−2
B3 z
−3
B3 z
−3
B4 z
−4
Siendo:
A0n=V . A0
A1n=V . A1
A2n=V . A2
A3n=V . A3
A4n=V . A4
De lo que podemos concluir que el efecto en la realización producido por esta
normalización es un cambio en los factores A ( multiplicadores), siendo iguales a los
anteriores multiplicados por una constante V.
Otra observación que podemos hacer es que el valor de la constante V depende de rho.
Trabajo de integración 2006 100

101. Tercera Parte
Para observar el efecto producido en la función transferencia debido a la normalización se
realizaron los siguientes gráficos:
Escala lineal – lineal
Escala lineal – logarítmica
Trabajo de integración 2006 101

102. Tercera Parte
Conclusiones
De las gráficas podemos ver que nuestro sistema de tiempo discreto
numerador/denominador produce un filtro más selectivo que el caso de solo denominador,
ya que los ceros están cercando a los polos.
Se puede divisar que para valores de rho más cercanos a 1 la ganancia se incrementa.
Otro efecto que observamos es que la ganancia es menor que en el caso de solo
denominador, por este motivo debemos trabajar con un rho más cercano a 1, ya que para
rho = 1,1 no se comporta como un filtro al no existir puntos de media potencia. Además
para todos los valores de rho la ganancia de la parte bloqueante es siempre la unidad.
Para el caso de ρ=1,001 podemos ver una separación entre los dos picos, por lo que el
filtrado no es bueno, ya que atenúa frecuencias intermedias de la banda de paso. Una
solución para esto sería aumentar el número de polos (entre 29,5º y 30,5º) de forma que se
pueda eliminar esta atenuación. En este caso el filtro sería de mayor orden, incrementando
el número de retardos en la realización canónica.
De las gráficas de las fases podemos comentar que dentro de los ceros (entre 28º y 32º),
para valores inferiores a 30º, la fase es positiva, para 30º es igual a cero y para valores
mayores esta es negativa. Fuera de estos valores la fase se mantiene constante en cero.
Trabajo de integración 2006 102