1. Cibernética, Industrial y Civil Métodos numéricos
Escuela de Ingeniería Ing. Rafael Durán Campoamor
Método de aproximaciones sucesivas
EL método consiste en encontrar una raíz de una ecuación algebraica o trascendente mediante
la modificación de la misma y realizando un determinado número de iteraciones que indiquen
que el sistema tiende a converger:
F(x)=0, donde Cnxn+Cnxn-1+…..+CnX0=0
f(x)= x+F(x)=0+x
Se supondrá una raíz Xi con la cual iniciará el proceso de búsqueda
f(xi)= Cn*(xin)+Cn(xin-1)+…..+Cn
Por cada resultado de una iteración, éste tomará el nuevo valor de X dentro del
polinomio.
El número de iteraciones puede variar según veamos si este converge a un determinado
valor este será el valor de la raíz del polinomio.
Por ejemplo: Se desea encontrar x= Ejemplo: Obtener por el método de
aproximaciones sucesivas realizando el número de iteraciones necesarias hasta que el proceso
converja. (Utilice 5 cifras significativas)
Solución:
1. Se deja la función de la forma F(X)=0.
2. Se le suma X a cada miembro de la ecuación
f(x)=
3. Para saber desde que valor de raíz debemos suponer para iniciar el proceso graficamos
el polinomio F(x) y y=x o se puede deducir del polinomio. Suponemos 0.9 debido a que
(0.9)2 = 0.81 y es cercano a valor deseado.
4. Para saber si el valor elegido cumple derivamos el polinomio f(x) y sustituimos
.
f’( )=2.788854382
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Como el valor encontrado de 1 se dice que nuestro sistema diverge, es decir, no
tendrá estabilidad en valor final.
Lo que hacemos ahora es sustituir su valor negativo,
Como el resultado de 1, entonces el sistema converge y será constante o estable.
Lo anterior indica que tomaremos el valor de x0=-0.9 como valor inicial.
f(-0.9)= 00
x=
Columns 1 through 5
-0.9000 -0.8900 -0.8979 -0.8917 -0.8966
Columns 6 through 10
-0.8927 -0.8958 -0.8934 -0.8953 -0.8938
Columns 11 through 15
-0.8949 -0.8940 -0.8948 -0.8942 -0.8946
Columns 16 through 20
-0.8943 -0.8946 -0.8943 -0.8945 -0.8944
Columns 21 through 25
-0.8945 -0.8944 -0.8945 -0.8944 -0.8944
ans =
-0.8944
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En la grafica se observa que el sistema converge, lo cual quiere decir que el valor estable es una
de las raíces de la función.
clf
clear
k=1; %valor inicial del arreglo
x(k)=-0.9; %x0=0.9 es el primer valor del arreglo de datos
for k=1:0.2:24 %número de iteraciones
x(k+1)=power(x(k),2)+x(k)-0.8 %cada resultado se almacena en el arreglo
plot(k,x(k),'ro') %y se utiliza en la siguiente iteración
hold on
grid on
end
x(end)
El programa utilizado nos ayudo a encontrar que en la iteración 25 se encontró la raíz negativa
del polinomio.
Este método es preciso pero muy largo en procesos por lo que existe un método modificado
que reduce el número de iteraciones y es igual de preciso pero para encontrar la raíz del
polinomio.
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El método modificado de aproximaciones sucesivas consiste en hacer que el valor de la raíz
dependa de:
Donde g(xi+1) es la raíz del polinomio.
; y
Por lo que obtenemos
Simplificando nos queda
Para la raíz negativa
x=
-0.9000 -0.8944 -0.8944 -0.8944
ans =
-0.8944
Para la raíz positiva
x=
0.9000 0.8944 0.8944 0.8944
ans =
0.8944
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Los gráficos de ambas raíces y solo tomo 4 iteraciones
Gráfico de raíz positiva
Gráfico de raíz negativa
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Fe de erratas
En clase cometí el error de sustituir en el método modificado la función F(x) +x por F(x), así
como su derivada de F’(x).
En lugar de
Es
En el primer método nos arrojaba que el valor de la raíz se encontraba entre -3 y 1, por lo que
utilizando el método modificado de aproximaciones sucesivas nos arroja los siguientes valores
x=
-3.0000 -2.3333 -2.2381 -2.2361
x=
3.0000 2.3333 2.2381 2.2361
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