3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DEFINICI ´ON:
Una expresi´on algebraica es un conjunto de cantidades num´ericas y variables
combinadas mediante una cantidad finita de operaciones matem´aticas como
suma, resta, multiplicaci´on, potenciaci´on y radicaci´on.
EJEMPLOS:
3x2 + 5x + 3
−10z2y2 + 4z2y + 6zy − 3y2 − 2z + 1
√
4x3 +
3
2
x2/5 −
1
x3
4y2 + 5y + 1
2y2 + 3y − 1
4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
T´ERMINO
Cada una de las partes de una expresi´on algebraica que esta separada por un
signo de suma + o resta − se denomina t´ermino.
EJEMPLO
3x3 − 6x2 + 2x − 3 esta expresi´on esta formada por 4 t´erminos.
−3x2 esta expresi´on esta formada por 1 t´ermino (monomio).
7y2z − 10yz2 esta expresi´on esta formada por 2 t´erminos (binomio).
x2 + 5x − 5 esta expresi´on esta formada por 3 t´erminos (trinomio).
En cada t´ermino de una expresi´on, el valor n´umerico que acompa˜na la
variable se llama coeficiente y el exponente que acompa˜na a cada variable se
denomina grado de la variable; el grado del t´ermino sera la suma de los
grados de todas sus variables.
5. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIO
Para cada una de las siguientes expresiones, determine la cantidad de
variables presentes, la cantidad de t´erminos y el grado de cada t´ermino.
10x3 − 2x2 + 5x − 3
−12x2yz + 4xy2z3 + 2y2z − 5xy + 2z
1
3
x +
4
5
4x
√
y + 5y5/2 − 4x−2
3
2
x2y2z + 2xw − 10t2x + 5z5
6. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
T´ERMINOS SEMEJANTES
Dos t´erminos se dicen semejantes si comparten exactamente las mismas
variables y cada una tiene el mismo grado en ambos t´erminos.
EJEMPLO
Los t´erminos 3x2yz3, −2x2yz3 son semejantes; contienen las mismas
variables(x, y, z) y cada una tiene en ambos casos el mismo grado (2, 1, y 3
respectivamente).
Los t´erminos 2x2y3, 5x2y2 NO son semejantes, ya que en la variable y es
diferente el grado.
8. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIO
Realice la operaci´on indicada en cada caso.
Sumar 10x3 − 2x2 + 5x − 3 con 4x2 − 10x + 3
Sumar x3 − 6x2 + 2x + 4 con x3 − 5x2 + x + 1
Sumar 3x2y2 + 4x2y − 2xy + 5x con 2x2y + 3xy2 − 2x + 5y
Restar 10x3 − 2x2 + 5x − 3 de 4x2 − 10x + 3
Restar 5x3 + 6x2 − 5x − 2 de 3x3 + 6x2 − 5x − 2
Restar 3x2y2 + 4x2y − 2xy + 5x de la suma entre
2x2y + 3xy2 − 2x + 5y con 3xy + 5x + 4y + 2
9. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MULTIPLICACI ´ON DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar un monomio por otro monomio, se multiplican los
coeficientes de cada monomio y se suman los grados de cada una de las
variables.
(3x2
y3
)(−5xy2
) = −15x3
y5
Para multiplicar expresiones de m´as t´erminos, se aplica la propiedad
distributiva y se repite el procedimiento anterior.
EJEMPLO
Multiplicar x + 8 con 5x − 4.
(x + 8)(5x − 4) = x(5x − 4) + 8(5x − 4)
= x(5x) + x(−4) + 8(5x) + 8(−4)
= 5x2
− 4x + 40x − 32
= 5x2
+ 36x − 32
10. PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES
Con gran frecuencia se suelen presentar algunos tipos de productos que se
vuelven t´ıpicos de estudio. Se conocen como productos notables, a
continuaci´on nombramos algunos y se muestran las f´ormulas necesarias para
solucionar estos productos.
F ´ORMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES
Si A y B son n´umeros reales o exprtesiones algebraicas, entonces:
(A + B)(A − B) = A2 − B2 Suma por diferencia
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Cuadrado de una suma
(A − B)2 = A2 − 2AB + B2 Cuadrado de una resta
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Cubo de una suma
(A − B)3 = A3 − 3A2B + 3AB2 − B3 Cubo de una resta
11. PRODUCTOS NOTABLES
EJERCICIOS
Realice las multiplicaciones solicitadas usando las f´ormulas de productos
notables.
(x + 4)2
(3x − 2)2
(2x + y)2
(z − 5w)2
(3x − 2)(3x + 2)
(4x + 2y)(3x − 2y)
(x + 4)3
(2x − y)3
(x + 1)3
(4z − y2)3
(
√
x + 1)(
√
x − 1)
(
√
x −
√
y)(
√
x +
√
y)
12. FACTORIZACI ´ON
FACTORIZACI ´ON
Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar para reescribir
la expresi´on en factores con t´erminos m´as sencillos. A continuaci´on algunos
casos de f´actorizaci´on comunes.
FACTOR COM ´UN
El primer factor que se busca en una expresi´on algebraica es un monomio que
se encuentre com´un en todos los t´erminos de la expresi´on, si lo hay se usa la
propiedad distributiva para factorizarlo.
EJEMPLOS
Expresi´on Factor Com´un Resultado
3x2 + 2x x x(3x + 2)
−2y3 + y2 y2 y2(−2y + 1)
2x2 + 2x + 8 2 2(x2 + x + 4)
6x2 + 9x 3x 3x(2x + 3)
13. FACTORIZACI ´ON
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Aplicando la f´ormula de productos notables de suma por diferencia, podemos
factorizar una diferencia de cuadrados como:
A2
− B2
= (A + B)(A − B)
EJEMPLOS
x2
− y2
= (x + y)(x − y)
4z2
− 9 = (2z + 3)(2z − 3)
16x2
− 1 = (4x + 1)(4x − 1)
25x4
− 4y2
z2
= (5x2
− 2yz)(5x2
+ 2yz)
14. FACTORIZACI ´ON
FACTORIZACI ´ON DE TRINOMIOS DE FORMA x2 + bx + c
Para factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, buscamos (si es posible)
dos n´umeros que multiplicados den como resultado el valor c y que al
sumarlos se obtenga el valor b.
EJEMPLO
Factorizar x2 + 5x − 14. Para esto buscamos dos n´umeros que multiplicados
den como resultado −14 y que al sumarlos se obtenga 5. Estos n´umeros son 7
y −2 ya que (7)(−2) = −14, y 7 + (−2) = 5.
Por lo tanto:
x2
+ 5x − 14 = (x + 7)(x − 2)
15. FACTORIZACI ´ON
FACTORIZACI ´ON DE TRINOMIOS DE FORMA ax2 + bx + c
Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, buscamos (si es posible)
dos n´umeros que multiplicados den como resultado la multiplicaci´on ac y que
al sumarlos se obtenga el valor b.
Luego reescribimos el t´ermino bx usando la suma de los n´umeros que
encontramos multiplicada por la variable. Por ´ultimo factorizamos usando
factor com´un.
EJEMPLO
Factorizar 3x2 − 13x − 10.
Primero multiplicamos el coeficiente del t´ermino cuadr´atico por el coeficiente
libre: 3(−10) = −30.
Buscamos entonces dos n´umeros que multiplicados den como resultado −30
y que al sumarlos se obtenga −13. Estos n´umeros son −15 y 2 ya que
(−15)(2) = −30, y −15 + 2 = −13.
16. FACTORIZACI ´ON
EJEMPLO
Reescribimos entonces el t´ermino −13x usando los n´umeros que
encontramos de la forma −13x = −15x + 2x.
Reemplazamos en nuestro ejercicio y por ´ultimo usamos factor com´un para
simplificar:
3x2
− 13x − 10 = 3x2
− 15x + 2x − 10
= 3x(x − 5) + 2(x − 5)
= (3x + 2)(x − 5)
