Optimización

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
ESTRATEGIA PARA LA SOLUCI ´ON DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACI ´ON
1. Lea el problema. L´ealo hasta qeu lo entienda plenamente. ¿Qu´e datos se
proporcionan? ¿Cu´al es la inc´ognita que se va a optimizar?
2. Haga un dibujo. Identifique en el dibujo cualquier aspecto que pueda ser
relevante para el problema.
3. Introduzca variables. Liste todas las relaciones en el dibujo y en el
problema como una ecuaci´on o expresi´on algebraica, e identifique la
inc´ognita.
4. Escriba una ecuaci´on para la inc´ognita. Si es posible, exprese la inc´ognita
como funci´on de una sola variable, o bien, obtenga dos ecuaciones con dos
inc´ognitas.
5. Someta a prueba los puntos cr´ıticos y los extremos en el dominio de la
inc´ognita. Use el criterio de la primera y segunda derivada para identificar
y clasificar los puntos cr´ıticos de la funci´on.

4. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
EJEMPLO
Una caja sin tapa se construye cortando peque˜nos cuadrados congruentes de
las esquinas de una l´amina de 12 in por 12 in y doblando los lados hacia
arriba. ¿De qu´e tama˜no se deben cortar los cuadrados de las esquinas para que
la caja tenga la m´axima capacida posible?

5. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
El volumen de la caja est´a dado por:
V (x) = x(12 − 2x), 0 ≤ x ≤ 6
Derivamos para encontrar los puntos cr´ıticos de la funci´on.
dV
dx
= 12(12 − 8x + x2
) = 12(2 − x)(6 − x)
Los cr´ıticos de V son x = 2 y x = 6. Por el teorema del valor extremo se
tiene que V (0) = 0 y V (2) = 128, de esta manera el volumen m´aximo es de
128 in3.

6. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
EJEMPLO
Se le ha pedido que dise˜ne una lata con capacidad de 1 litro, en forma de un
cilindro circular recto. ¿Qu´e dimensiones debe tener la lata para usar la menor
cantidad de material?
Si r y h se mide en cent´ımetros, el volumen de la lata est´a dado por:
πr2
h = 1000
Mientras que el ´area superficial de la lata est´a dado por:
A = 2πr2
+ 2πrh

7. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
Ac´a ignoramos el espesor del material y el desperdicio en la fabricaci´on.
Debemos expresar el ´area superficial como funci´on de una sola variable, de la
ecuaci´on πr2h = 1000, despejamos h, de esta manera obtenemos
h =
1000
πr2
Por tanto,
A = 2πr2
+ 2πrh
= 2πr2
+ 2πr
1000
πr2
= 2πr2
+
2000
r
, r > 0

8. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
Encontremos los puntos cr´ıticos de A:
dA
dr
= 4πr −
2000
r2
0 = 4πr −
2000
r2
as´ı
4πr3
= 2000
r =
3 500
π

9. APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACI ´ON
La segunda derivada
d2A
dr2
= 4π +
4000
r3
es positiva en todo el dominio de A, por el criterio de segunda derivada A
posee un m´ınimo relativo (resulta ser un m´ınimo absoluto) en r = 3 500
π .
El valor correspondiente de h es :
h =
1000
πr2
= 2
3 500
π
= 2r
La lata con capacidad de 1 litro que usa la menor cantidad de material tiene
una altura igual a dos veces el radio, r ≈ 5,42 cm y h ≈ 10,84 cm.