POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...
Modelo atomico
1.
2. EL ÁTOMO
Modelos atómicos
Modelo de Bohr
Principio de Incertidumbre
EL NÚCLEO ATÓMICO
Tamaños y fuerzas en el núcleo
Radiactividad
Energía nuclear
CUANTIZACIÓN DE LA ENERGÍA
Radiación de cuerpo negro
Efecto fotoeléctrico
3. DUALIDAD ONDA PARTÍCULA
La partícula v/s la onda
Newton y Huygens
LA FUNCIÓN DE ONDA
Visión probabilística
Electrón en una caja
Longitud de De Broglie
Ecuación de Schrödinger
Notas del editor
Motivar para que los alumnos investiguen la importancia cultural de la Mecánica Cuántica y como afectó nuestro estilo de vida a partir del siglo XX.
Muchos de los experimentos llevados a cabo durante la primera mitad del siglo XX fueron hechos con métodos como este. La diferencia es que sobre láminas delgadas se hacían incidir partículas muy pequeñas que pueden hasta atravesarla. ACTIVIDAD: Seguir instrucciones visuales para hacer el experimento y consultar la próxima diapositiva.
Esta es una visión desde abajo, indicando la trayectoria del proyectil.
En 1911 Ernest Rutherford descubrió las dimensiones del núcleo atómico a través del siguiente experimento.
El experimento mostró pequeñas y regulares desviaciones de las partículas alfa, la mayoría de las veces insignificantes y, en determinadas situaciones, muy bruscas.
Motivar a los alumnos para que investiguen sobre la vida y obra de este interesante científico.
Esto implica que la fuerza eléctrica es 10 39 veces más poderosa que la gravitatoria, en igualdad de condiciones. Eso explica la ligazón netamente eléctrica entre núcleo y electrones. El modelo de Bohr es mucho más completo.
Unir palabras con elementos del átomo de Bohr. Suele decirse que la materia que compone las cosas que nos rodean es principalmente vacío por la constitución del átomo, con un núcleo extraordinariamente pequeño en el centro, y los electrones puntuales girando alrededor. Aún cuando esta imagen no es rigurosamente correcta pues la nube electrónica en realidad ocupa todo el espacio disponible, este ejemplo ayuda a apreciar el pequeño volumen que ocupa la mayor parte de la masa atómica, contenida en el núcleo.
Estas son algunas de las maravillosas formas que toman los electrones para orbitar alrededor del núcleo. La configuración electrónica es la manera en que se van depositando los electrones en los distintos niveles atómicos.
Unir palabras con elementos de la fórmula. El postulado principal de este modelo es: el electrón se mueve, sin irradiar, en una órbita circular cuyo momento angular obedece esta relación. Esto está relacionado con la longitud de De Broglie, más adelante se explica con más detalle. Se conserva el momento angular TOTAL, es decir, la suma de todos los momentos angulares del átomo.
Si consideramos electrón en vez de positrón sólo cambiará el lado de la superficie (sería un agujero con una pendiente muy pronunciada).
La energía es negativa porque el electrón está ligado al átomo. Notar analogía con la configuración química de los átomos (El primer número corresponde al nivel energético: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 ...). Para sacarle un electrón de su nivel fundamental (ionizar) es necesario entregarle por lo menos 13,6eV.
Motivar a los alumnos para que investiguen las serie de Balmer.
Recordemos que: f = c/ λ
Estas transiciones tienen nombres: Lyman, Balmer, Paschen, Brackett y Pfund. R H es la constante de Rydberg y vale 1,1x10 7 m -1 Recordar que el nivel final (n) es siempre menor que el nivel inicial (1, 2, 3, 4 y 5).
Enunciado por primera vez en 1927 por Werner Heisenberg luego de los avances introducidos por Bohr y de Broglie en el estudio del átomo.
Puede ser instructivo instar a los estudiantes a realizar la lectura de los instrumentos analógicos ayudándose de una lupa y discutir con ellos si se logra así mayor precisión. Indicar que también hay error cuando se leen instrumentos digitales, que entregan resultados ilusoriamente exactos.
Unir elementos de la fórmula. Notar que las incertezas representan “errores” en la medida simultánea de las 2 cantidades físicas. La incerteza del momentum tiende a infinito. Son cantidades complementarias tal que cumplan con el principio.
Hacer cálculo en la pantalla (cuidando las unidades). La mínima incerteza en la velocidad sería de: Δ v = 0,12Km/h, ¡¡apreciable para el ojo!!. En la realidad es de: Δ v = 0,76 x10 -34 Km/h.
Los alumnos calculan y comentan el número de divisiones que hubieran sido necesarias. Recordar que los radios son: átomo = 10 -8 cm, núcleo = 10 -13 cm.
La probabilidad es de un 0,00000004 %.
Protón y electrón tienen la misma carga, pero opuesta, mientras que el protón es 1836 (~2000) veces más masivo que el electrón. El color violeta indica el radio del núcleo y el color azul indica el radio del átomo.(Los átomos varían su radio según su composición electrónica) Este modelo debe señalar también el hecho de que en el núcleo atómico se concentra la carga positiva del átomo mientras que la carga negativa orbita en forma similar a como lo hacen los planetas alrededor del Sol en medio de un vacío predominante. Mencionar que si cabe asociarle algún tamaño al electrón, éste podría ser a lo más del orden de 10 -16 m, aunque hoy se trata como si no tuviera diámetro y fuese “puntual”. Comentar que la relación entre la masa de la Luna y la de la Tierra es veinte veces mayor de modo que suponer que en el átomo de hidrógeno el protón está quieto mientras el electrón se mueve es una aproximación aún mejor que suponerlo respecto de la Tierra en el sistema Tierra-Luna.
Unir elementos de la fórmula. Puesto que cargas en movimiento producen un campo magnético, a este momento angular se asocia un momento magnético o pequeño imán. Hacer notar que en verdad Ћ es h/2 p (con h la constante de Planck).
Puesto que cargas en movimiento producen un campo magnético, a este momento angular se asocia un momento magnético (spin) o pequeño imán. Comentar que con el incremento de la temperatura es posible desordenar los espines debido a la agitación térmica de los mismos.
La fuerza entre dos quarks no decrece con la distancia como lo hacen la gravitacional y la de Coulomb, de modo que a medida que se separan se invierte cada vez más energía, hasta el punto que ésta se hace suficiente para formar otra pareja de quarks: al igual que se forman dos imanes con ambos polos cuando se parte un imán, se forman dos parejas de quarks cuando se separan dos quarks. Dos imanes unidos por polos opuestos se comportan como un sólo imán de dos polos. Esto permite informar a alumnas y alumnos que neutrones, protones, piones y otras partículas que hace pocas décadas se consideraron elementales en realidad no lo son, estando formadas por quarks. Comentar que los modelos atómicos primitivos (Demócrito) los átomos eran también elementales. ¿Será posible que en el futuro se descubra que el electrón, por ejemplo, es una partícula compuesta? Preguntas como éstas pueden ser motivantes para alumnos y alumnas.
Enfatizar que algunas denominaciones en física son analógicas: el color del quark no es realmente un color en el sentido óptico, sino una especie de carga eléctrica “de tres signos”. Para formar una partícula compuesta como el protón, existe una regla y es que debe ser “blanca” o “neutra” desde el punto de vista del color. Así, el protón contiene un quark rojo, uno azul y uno verde, que se atraen entre sí, y configurando una partícula que no tiene color neto (o es “blanca”), así como el átomo de hidrógeno, formado por un protón y un electrón, no tiene carga eléctrica neta. Verificar que las cargas netas correspondan a cada partícula. Los quarks están unidas por la fuerza fuerte (ver siguiente diapositiva).
En la naturaleza existen 4 fuerzas fundamentales que sostienen todos los fenómenos micro y macroscópicos. Mencionar que la fuerza débil es responsable de la mayoría de los decaimientos nucleares y su valor es unos 10 12 veces más débil que la fuerza eléctrica. La fuerza fuerte es apreciable a una distancia promedio de 10 -15 m, llamado también un fermi, y decae tan rápidamente que a una distancia de unos 10 -14 m ya es despreciable frente a la fuerza eléctrica. Comentar que el estudio de la unificación de estas 4 fuerzas fundamentales es uno de las grandes motivaciones de investigación hoy en día. Para más información visitar: http://durpdg.dur.ac.uk/lbl/particleadventure/spanish/index.html
Alfa, beta y gama. El descubrimiento de la radiactividad se debe al físico francés Henri Becquerel, al comprobar casualmente en 1896 cómo quedaba impresa una placa fotográfica en la que se habían colocado cristales de uranio y potasio, aun sin la intervención de la luz solar. Es interesante que la denominación alfabética que originalmente se dio a estas emisiones revela que se desconocía su naturaleza física, y que tomó mucho trabajo experimental y teórico llegar a comprenderla. Resaltar la importante participación de una mujer en esos descubrimientos, la polaca Marja Sklodowska (María Curie), galardonada con dos premios Nóbel: el de Física (1903) y el de Química (1911). Motivar para que los alumnos investiguen sobre el descubrimiento de estas radiaciones. Existen excepciones, pero en general la radiación de fotones es más energética.
Esta tabla tiene por objeto el que los alumnos y alumnas comparen y memoricen dichas propiedades. Destacar la diversidad del espectro electromagnético al cual la radiación gama pertenece, destacando que esta radiación tiene exactamente la misma naturaleza que la luz visible. Destacar la variedad de diagnósticos y tratamientos hechos posibles por las distintas formas de radiación: las alfa, beta y gama, los positrones, o por núcleos livianos como los protones, en diversos rangos de energía. Destacar también el daño que produce la radiación ultravioleta sobre la piel, y su vinculación con la capa de ozono que rodea al planeta. Aprovechar la discusión de los trabajos para introducir el rem como unidad de radiación, indicando que la dosis acumulada por año no debe superar 0.5 rem. Señalar que a esta dosis contribuyen la radiación existente en el medio ambiente (de la cual recibimos unos 0.13 rem/año), las radiografías, etc. Indicar que una acumulación de 500 rem resulta en un 50% de mortalidad.
Recordar que e ~ 2,7. Llamamos ln(2)/K el tiempo de vida media, es decir, el tiempo en el cual la mitad de las partículas ya se han emitido. ACTIVIDAD: Con ayuda de un conjunto de dados realizan una experiencia que manifiesta el decaimiento exponencial de una muestra inicial de objetos. Después de cada tirada retiran los dados que salen mostrando un determinado número y anotan la cantidad de dados que quedan, configurando una tabla de valores. Grafican los resultados y los comparan con una curva exponencial: Esta experiencia ilustra muy bien el decaimiento exponencial y es fácil de hacer. El ideal es que cada grupo use unos cien dados iguales. Notar que es posible involucrar más a los alumnos/as pidiéndoles que los traigan de la casa, o cortando en clase cubos de madera iguales de un listón, y marcando una de sus caras. Simular que cada dado es un núcleo atómico y que el tiempo transcurrido entre tirada y tirada es el mismo (digamos, un minuto, aunque basta con “simular” que ha transcurrido ese intervalo de tiempo). Decidir qué número se identificará como “núcleo que emitió en la tirada”, por ejemplo, el número seis. Repetir la operación retirando cada vez los dados “que emitieron” y anotando el resultado, configurando así una tabla de valores. En el eje horizontal del gráfico anotan, igualmente distanciados, el número de la tirada (reducido a minutos, si se desea), y en el eje vertical, el número de dados que quedan. Como la probabilidad que un dado “decaiga” (salga “seis”) es un sexto, después de cada tirada quedará en el juego la fracción 5/6 de los que había, y después de cuatro, (5/6)4 = 0.482 del número original. Así, cada cuatro tiradas quedará cerca de la mitad de los dados (si se parte con cien, irán quedando aproximadamente 83, 69, 58, 48 , 40, 33, 28, 23 , 19, 16, 13, 11 , 9 …), de modo que el “tiempo de vida” será cuatro tiradas aproximadamente (cuatro minutos, si se asoció un minuto al intervalo de tiempo entre dos tiradas). Llamar la atención de que la vida media se puede leer con buena aproximación del mismo gráfico, y que hay un patrón repetitivo en la disminución de la muestra.
Los neutrones producidos por la radiación cósmica reaccionan con el nitrógeno de la atmósfera a elevadas altitudes sobre la superficie de la Tierra y forman el isótopo radiactivo carbono-14. • Este carbono-14, a su vez, reacciona con el oxígeno de la atmósfera para formar el bióxido de carbono- 14, que se mezcla uniformemente con el bióxido de carbono existente en la atmósfera. • Las plantas utilizan y asimilan el bióxido de carbono-14 mezclado con el bióxido de carbono normal. • Todo material viviente contiene, pues, carbono-14, que asimila de las plantas. • Finalmente, cuando el ser viviente muere deja de asimilar carbono-14 y éste va decayendo de acuerdo con las leyes del decaimiento radiactivo, de tal manera que una pieza se reconoce como antigua cuanto menos carbono-14 contenga. La proporción de radiactividad del carbono-14 en cualquier fracción de materia orgánica da así una medida del tiempo transcurrido desde que dejó de existir como materia viviente. Con el uranio se miden edades geológicas, motivar para que los alumnos investiguen sobre la medición de la edad de la Tierra.
A pesar del uso bélico de la energía nuclear, es una de las energías más eficientes y benignas, solo hay que saber manipularla con ingenio y ética.
Recordar a alumnos y alumnas que la masa es una forma de energía, de modo que, desde este punto de vista de la conservación de esta magnitud, un objeto masivo se puede transformar en otro siempre que el primero tenga mayor masa que el segundo. Ello ocurre continuamente en el ámbito nuclear.
Por la fisión nuclear, un núcleo pesado como el Uranio 235, es dividido generalmente en dos núcleos más ligeros debido a la colisión de un neutrón (recordemos que un átomo se compone básicamente de electrones, protones y neutrones). Como el neutrón no tiene carga eléctrica atraviesa fácilmente el núcleo del Uranio. Al dividirse éste, libera más neutrones, que colisionan con otros átomos de Uranio creando la conocida reacción en cadena, de gran poder radioactivo y energético. Esta reacción se produce a un ritmo muy acelerado en las bombas nucleares, pero es controlado para usos pacíficos. Mineral que se encuentra en la naturaleza bajo 150 formas diferentes. Es así como se puede presentar en forma primaria (como Uranita), en forma oxidada, o en forma refractaria. También se le puede encontrar como subproducto en la fabricación de fosfatos, en las minas de Cobre o en el agua de mar. Las mayores reservas de Uranio se encuentran en Africa, específicamente en Namibia, Níger, Gabón y Sudáfrica. En Sudamérica destacan las reservas de Argentina y Brasil. La composición del Uranio natural es de aproximadamente 99,3% en el isótopo del Uranio 238, y de un 0,7% en Uranio 235. ACTIVIDAD: Una manera de simular una reacción en cadena es disponiendo sobre una mesa o el suelo unas cuarenta o más pequeñas trampas para cazar ratones, una al lado de la otra, y cargándolas con dos o más proyectiles, (piedras, lentejas o lo que resulte adecuado) de modo que al saltar, estos proyectiles caigan sobre las trampas vecinas haciéndolas saltar a su vez. El proceso se inicia dejando caer un proyectil sobre una de las trampas cerca del centro del conjunto. Notar que para que haya reacción en cadena es esencial que cada trampa lance dos o más proyectiles, como ocurre en el caso nuclear con los neutrones. Introducir el concepto de simulación, muy usado por los investigadores para aprender acerca del comportamiento del Universo, del clima, del comportamiento de una estructura ante un terremoto, etc. Mencionar que las simulaciones más frecuentes se hacen en computador, aunque a veces son utilizando modelos a escala, análogos a los que se quiere estudiar. La Comisión Chilena de Energía Nuclear facilita a los establecimientos educacionales que lo deseen el video “Mi amigo el átomo” en que se muestra la simulación con las trampas de ratón ** Aprovechar la ocasión para recordar los peligros de las radiaciones nucleares y la conveniencia de evitar todo contacto con ellas, salvo bajo condiciones estrictamente controladas como se acostumbran en medicina o en laboratorios sujetos a normas de seguridad.
La fusión consiste en la unión de dos núcleos ligeros (Litio y Deuterio) en uno más pesado (Helio). La suma de las masas iniciales es mayor que la masa resultante, la diferencia se converte en energía, obteniéndose del orden de 4 veces más energía que en la fisión. Hemos transformado masa en energía. La radiación solar es en último término el producto de la fusión de núcleos de hidrógeno para formar helio en su interior, proceso que transforma cada segundo unas 657 millones de toneladas de hidrógeno en 653 millones de toneladas de helio, liberando 4 millones de toneladas en otras formas de energía.
Ejemplos ilustrativos para analizar son: el decaimiento del plutonio 239 (decae en uranio 235 y helio 4, con una vida media de 24.100 años, por lo que este residuo de algunos reactores nucleares constituye una duradera y peligrosa fuente de contaminación); el yodo 131 (que decae en xenón emitiendo un electrón y un antineutrino con una vida media de 8,04 días, ampliamente usado en medicina); el carbono 12 excitado (que decae en carbono 12 en el estado fundamental y un rayo gama cuya energía equivale a unas ocho veces la masa del electrón). Neutrón en reposo: 14.07 MeV He 4 en reposo: 3.52 MeV Revisar que sí es posible la reacción, es decir, se conservan las 2 cantidades y se liberan 18 MeV.
Nos referimos a radiación electromagnética. Sin embargo, la superficie de un cuerpo negro es un caso límite, en el que toda la energía incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energía incidente desde el interior es emitida.
Explicar que la ley de distrución mide la CANTIDAD DE ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA que emite un cuerpo negro en función de la frecuencia a lo largo de todo el espectro. Motivar para que los alumnos investiguen sobre la ley de desplazamiento de Wien.
Unir palabras con elementos de la fórmula. E es la energía que absorben o irradian las moléculas que componen al cuerpo negro, por lo tanto la radiación del mismo será siempre E (n)= nhf, donde n es un entero positivo y f es la frecuencia de vibración de la molécula (y a su vez la frecuencia del fotón). Recordar que f λ = c para las ondas electromagnéticas, como la luz. A la partícula que lleva la energía electromagnética se le llamó fotón. Motivar a los alumnos para que investiguen sobre la vida y obra de los grandes contribuyentes a la Mecánica Cuántica durante el siglo XX:J. Dalton, E. Rutherford, N. Bohr, W. Pauli, E. Fermi, P. Dirac, R. Feynman, entre otros.
Avanzar a la siguiente.
La radiación que incide es de una sola frecuencia, tal que viene con una energía E = hf.
El fotón le entrega la energía suficiente al electrón como para dejarlo libre de la atracción del átomo y disponible para conducir corriente. Más explicación en la siguiente diapositiva.
Albert Einstein recibió el premio Nobel de Física en 1921 por este trabajo, a pesar de que elaboró MUCHOS otros aportes a la física y a la comprensión de nuestro universo. Motivar para que los alumnos investiguen sobre la interesante vida y obra de uno de los genios más grandes del siglo pasado.
ACTIVIDAD: I Ubica sobre un electroscopio una placa de zinc con la superficie expuesta muy bien pulida con virutilla muy fina o lana metálica. II Carga el electroscopio con electrones, tocándolo, por ejemplo, con una tira de plástico blanco que se ha frotado previamente con un trozo de lana bien seco III Hace incidir luz ultravioleta sobre el zinc. ¿Qué va a pasar?
En una onda no hay transporte de masa, aunque sí de energía y en una partícula que se desplaza hay transporte tanto de masa como de energía. A la onda: La amplitud, la frecuencia y la longitud de onda. A la partícula: La masa y la velocidad. OJO: Onda y partícula poseen velocidad. ACTIVIDAD: Observa el comportamiento de una pelota que es lanzada, luego rebota y es atrapada, y describe lo que ocurre cualitativa y cuantitativamente. Hace lo mismo con la vibración de una cuerda tensa. Reflexiona acerca de la mejor forma de expresar lo que observas en términos de magnitudes medibles, apuntando a diferenciar ondas y partículas. Haz un listado de fenómenos cotidianos que pueden ser descritos adecuadamente mediante los conceptos de partícula o de onda. Reflexiona acerca de posibles situaciones ambiguas.
Ambos rebotan igual, no podemos distinguir entre fenómeno corpuscular y ondulatorio.
Sin embargo, existen fenómenos en que si se diferencian. Algunas preguntas para motivar: ¿Qué fenómenos ópticos pueden ser explicados fácilmente suponiendo la luz como constituida por corpúsculos? ¿Qué fenómenos ópticos resultan difíciles de explicar desde el punto de vista corpuscular? ¿Qué ocurre con las velocidades de un proyectil y de la luz cuando pasan de aire a agua? ¿Cómo explicarías la dispersión cromática, la difracción y la interferencia que se observa en la luz suponiéndola constituida por corpúsculos?
Podemos pensar que al refractarse, la luz cambia de camino así como la pelota cambia su altura, o nivel de energía. ¿Qué otros experimentos podemos pensar?
Este notable físico inglés hizo contribuciones muy importantes a la óptica y a la mecánica. Su mayor mérito es haber descubierto la ley de gravitación universal. Motivar para que los alumnos investiguen la influencia cultural de los trabajos de Newton. La respuesta esta en la diapositiva siguiente.
Las ideas corpusculares de Newton, hoy aceptadas en el contexto de la física cuántica, sufrieron un duro revés histórico cuando se demostró que la velocidad de la luz en un medio más denso que el aire (agua, vidrio, etc.) es inferior a la del vacío.
La predicción teórica de esta afirmación fue aportada por Maxwell. Sus ecuaciones del electromagnetismo dan como resultado que todas las emisiones electromagnéticas, entre ellas la luz, cumplen con la ecuación de una onda. Este fenómeno fue comprovado empíricamente por Hertz.
El sonido es una onda, las gotas de agua se comportan como partículas. Comparar la difracción de la luz con la que experimenta el sonido, un chorro de agua, las ondas en una cubeta y un láser.
Es interferencia. Dependiendo de su posición la intensidad crece hasta el doble o disminuye hasta cero.
Es un fenómeno netamente ondulatorio, pero ¿lo podemos entender corpuscularmente ?. Es imposible dar una explicación coherente para fenómenos de interferencia a partir del modelo curpuscular, pero... (ver siguiente diapositiva)
Este experimento se realizó por computadora, aumentando la cantidad de electrones que pasan por dos rendijas.
La probabilidad es 1 porque tenemos plena certeza de que el electrón esté dentro de la caja. Esta es la propiedad de normalización.
Las probabilidades deben estar normalizadas en un intervalo. EL primero es un intervalo angular (de 0 a 2 π ), y el segundo es un intervalo real ( de -∞ a ∞).
Modelo analógico para apreciar la diferencia entre la descripción clásica para el electrón en una caja, y aquella mediante una función de onda (descripción cuántica). La gran diferencia es que en el caso cuántico el algodón no se distribuye uniformemente, es decir, todas las posiciones no son igualmente probables, además existe alguna posibilidad de encontrar al electrón fuera de la caja (efecto túnel).
El electrón libre (sólo energía cinética) está atrapado en una caja tridimensional. La función de onda corresponde a los modos normales (n = 1, 2, …) de oscilación de una cuerda atada en sus extremos.
Muchas, se requiere matemática avanzadas para tratar este caso. Primero hay que cerrar la función de onda unidimensional sobre una esfera. Ya no es tan simple como considerar al electrón en una caja.
Unir elementos de la fórmula. Motivar para que los alumnos investiguen sobre la función de onda general del átomo de hidrógeno, los números cuánticos y su relación con la tabla periódica. Observación: Debido a que se trata de un estado estacionario, la función de onda no depende del tiempo.
Si al electrón lo pensamos como una onda extendida a lo largo del perímetro que recorre alrededor del átomo encontramos modos circulares que relacionan la longitud de onda del electrón con la trayectoria circular.
ACTIVIDAD: Simula ondas estacionarias de materia (electrones) según el modelo de Bohr, utilizando tiras de cartulina de unos 1,5 cm de ancho. Sobre ellas dibuja ondas de una específica longitud de onda (por ejemplo λ = 10 cm) y corta las tiras para λ , 2 λ , 3 λ , 4 λ , etc. pegándolas luego en forma concéntrica sobre una cartulina plana, mostrando así los orbitales que propone el modelo. Deja a lo largo de cada tira 1 cm demás para poder pegarla con el otro extremo. Dibuja las ondas en las huinchas de papel por medio de la computadora. Para centrar las huinchas sobre la cartulina que les servirá de base es conveniente trazar las circunferencias con compás, para lo cual hay que calcular previamente el radio de cada una de ellas. Teniendo presente que el perímetro p de cada circunferencia es p = 2pr = n λ , se tiene que r=n λ /2 p .
Unir elementos de la fórmula con fechas. Partícula y onda poseen un momentum. Este se relaciona con la longitud de onda desde el punto de vista ondulatorio y con la masa y la velocidad, desde el punto de vista corpuscular.
Motivar para que los alumnos investiguen sobre la ecuación de Schr ö dinguer y su importancia en mecánica cuántica. Explicar que esta ecuación representa la evolución espacial y temporal de acuerdo a los principios de conservación.
