Biografia de Brook Taylor por Darly Ospina

1. Brook Taylor
DARLY OSPINA M.
30 octubre 2019
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Instituto de Matemáticas
–Medellín, Colombia–
Brook Taylor.
Brook Taylor nació en Edmonton el día 18 del mes de agosto de 1685, hijo de
John Taylor y de Oliva Tempest una familia adinerada y respetada. Su padre
quien por su forma de ser no mostró afecto por sus hijos si no una constante auto-
ridad. Sin embargo, las bellas artes no eran ajenas a esta familia; la música fue
cultivada con gran constancia y éxito, y particularmente por Brook, que además,
era muy buen dibujante y pintor.
1

2. Brook fue educado en la casa, bajo la tutela del reverendo Sr. Sacchette,
y posteriormente sería calificado para ingresar a la universidad de St. Johnʼs
College de Cambridge en 1701. Estudió con los profesores John Machin1, Keil
y Newton. Durante su aprendizaje en 1708 escribió un ensayo sobre El Centro
de Oscilación, como aparece en una carta enviada al profesor Keil, (aunque este
ensayo no apareció hasta unos años más tarde en el Philosophical Transactions).
En el año 1709 obtuvo su título como licenciado en derecho.
En el año 1712 fue elegido miembro de la Royal Society, (Real Sociedad de
Londres para el Avance de la Ciencia Natural) la sociedad científica más antigua
del Reino Unido y una de las más antiguas de Europa, quien en este tiempo su
presidente era Sir. Isaac Newton. En este año enviaría tres artículos a la Royal
Society. El 25 de junio envió su primer artículo titulado On the Ascent of Water
between tho Glass Planes; en julio su segundo, titulado On the Centre of Osci-
lation, cuyo artículo no sería publicado hasta 1724, (esto entraría en una disputa
con Johann Bernoulli por su autoría). En septiembre presenta su tercer artículo
titulado On the Motion of a Stretched String. En este mismo año paso a formar
parte del comité para el juicio sobre la disputa entre Isaac Newton y Gottfried
Leibniz por la autoría del cálculo.
Al parecer por una carta escrita a Kiel, fechada en julio de 1713 Taylor habría
presentado a la Royal Society un documento sobre música, que sin embargo no
fue publicado ni conservado.
Con dos años de ser miembro de la Royal Society, el 13 de enero de 1714
fue elegido para el cargo de secretario de la Royal Society y en este mismo año
obtuvo su doctorado en derecho en la universidad de Cambridge. Por este tiempo
escribió una carta a Sir. Hans Sloane contándole sobre algunos experimentos
que había realizado relativos al magnetismo, (al parecer, también había hecho un
estudio de la reacción del vaso capilar con el magnetismo).
En los primeros meses del año 1715, publicó en latín su Methodus Incremen-
torum que trata de una nueva rama de las matemáticas, conocida en la actualidad
con el nombre de “cálculo de diferencias finitas”. Su escrito era completamente
original, y el libro tuvo cierto renombre a pesar de su notación complicada y
difícil de entender. Pero en este mismo trabajo se encontraba una fórmula hoy
conocida como el teorema de Taylor, este teorema permite obtener aproxima-
ciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en el que la
función sea diferenciable. Hoy en día este resultado lo conocemos de la siguiente
manera:
1. Machin encontró una muy buena aproximación de una serie que convergía a π, encontrando cien deci-
males de este.
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3. Teorema. (Fórmula de Taylor) Sea f una función tal que f y sus primeras
derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además, considere que
f (n+1)
(x) existe para toda x del intervalo abierto (a,b). Entonces existe un número
z entre a y x tal que
f (x)= f (a)+
f ′(a)
1!
(x−a)+
f ′′(a)
2!
(x−a)2
+⋯+
f (n)
(a)
n!
(x−a)n
+
f (n+1)
(z)
(n+1)!
(x−a)n+1
Cuya importancia solo se reconocería en 1772, cuando Lagrange se dio cuenta de
su valor y lo definió como “el diferencial principal del fundamento del cálculo”.
Realmente Taylor no fue el primero en descubrirlo, pues en el siglo XIV se
dieron los primeros ejemplos del uso de las series de Taylor y métodos simi-
lares fueron dados por Madhava de Sangamagrama (1350-1425) un matemático
de Kerala, India. Todo su trabajo matemático está perdido, y solo se sabe de él
por medio de los escritos que dejaron sus discípulos principalmente Nilakantha
Somayaji y Jyesthadeva.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área. Las contribu-
ciones matemáticas de Gregory abarcan una variedad de temas: descubrió la serie
binómica y numerosas series para las funciones trigonométricas y trigonomé-
tricas inversas. Fue el primero que expresó el teorema fundamental del cálculo en
su forma geométrica. En particular, obtuvo series para tan(x), sec(x), logsec(x),
1
2
log
1+x
1−x
. Utilizando un procedimiento equivalente a una diferenciación sucesiva,
descubrió las series de Taylor cuarenta años antes de que este último las publicara.
Este método particular fue descrito por Briggs en 1624, pero fue Gregory quien
lo introdujo formalmente en 1670, mientras aparece también independientemente
en Los Principia y Methodus Differentialis de Newton, que fueron escritos hacia
1676. Hoy se conoce como la fórmula de Gregory-Newton y esta estipula que si f
es una función cuyos valores son conocidos en a, a+c, a+2c,...,a+nc, entonces
f (a+h)= f (a)+
h
c
Δf (a)+
h
2(
h
c
−1)
1⋅2
Δ2
f (a)+⋯
donde Δf (a)= f (a+c)− f (a), Δ2
f (a)=Δf (a+c)−Δf (a), y así sucesivamente.
Esta fórmula fue utilizada por Newton para efectuar integraciones aproximadas,
mientras que Gregory se sirvió de ella para expresar la función (1+d)x
como se
sigue: conociendo los valores de esta función en x=0,1,2,…; entonces f (0)=1,
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4. Δf (0) = d, Δ2
f (0) = d2
, y así sucesivamente. Haciendo a = 0, c = 1, h = x − 0,
obtuvo
(1+d)x
=1+x⋅d +
x(x−1)
1⋅2
d2
+
x(x−1)(x−2)
1⋅2⋅3
d3
+⋯
Taylor conocía los trabajos de Gregory y de Newton sobre el tema, pero omite
mencionar sus conocimientos de los trabajos de Leibniz de 1673 en la materia.
Se sabe que Johann Bernoulli publicó en 1694 un resultado prácticamente equi-
valente a la serie de Taylor.
Por medio de una carta al profesor John Machin fechada en el año de 1712,
Taylor le comunica sobre el trabajo del desarrollo de una función en series. En
su Methodus Incrementorum de 1715 este teorema aparece como la Proposición
VII, Teorema III, pp 21-23 y se presenta con una notación simplificada, como
sigue:
Proposición. VII. (Teorema III) Sean z y x dos cantidades variables, una de
las cuales, z, aumenta uniformemente con un incremento dado z. Sean nΔz=v,
v − Δz = v˙, v˙− Δz = v¨, etc. Entonces, cuando z aumenta hasta z + v, x aumenta
hasta
x+Δx
v
1⋅Δz
+Δ2
x
v⋅v˙
1⋅2⋅(Δz)2
+Δ3
x
v⋅v˙⋅v¨
1⋅2⋅3⋅(Δz)2
+⋯
En notación moderna, la serie de Taylor puede escribirse como:
. Si la variable x pasa del valor x0 al valor x0 +v, entonces f (x0) pasa al valer
f (x0 +v) y se tiene que
f (x0 +v)= f (x0)+v
df (x0)
dx
+
v2
2!
d2
f (x0)
dx2
+
v3
3!
d3
f (x0)
dx3
+⋯
donde x0 en un número arbitrario, v=nΔx y f es una función de x.
Si hacemos x=x0 +v, y despejando v=x−x0, tenemos que
f (x)= f (x0)+(x−x0)
df (x0)
dx
+
(x−x0)2
2!
d2
f (x0)
dx2
+
(x−x0)3
3!
d3
f (x0)
dx3
+⋯
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5. Su método empleado en la prueba no es riguroso y no considera el problema
de la convergencia. Taylor se sirve de su método para esbozar la determinación
de las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales, para la búsqueda
de fórmulas que liguen la derivada de una función a la derivada de la función
inversa.
También Taylor llega a esta serie en la forma dada por Johann Bernoulli, pero
partiendo del método de integración por partes2 y no de la identidad de la que
había partido Bernoulli.
Colin Maclaurin (1698-1746) en 1737 elabora un tratado de las fluxiones que
no se publicaría hasta 1742, en éste se encuentran, sin embargo, resultados relati-
vamente nuevos que incluyen el desarrollo en series de una función f al rededor
del cero (algo que Maclaurin confirma en su texto es que ya lo conocía en los
Metodos Incrementorum de Taylor), pero presenta una prueba muy distinta a la
de Taylor que sería en la notación moderna, un método de coeficientes indetermi-
nados:
Sea
y(x)=B0 +B1x+B2x2
+⋯
en donde hay que determinar los coeficientes Bi, entonces
dy(x)
dx
=B1 +2B2x+3B3x2
+⋯
y para x=0,
dy(0)
dx
=B1, de manera análoga
d2
y(x)
dx2
=2B2 +3⋅2B3x+4⋅3B4x2
⋯
y para x=0,
d2y(0)
dx2 =2B2, y así sucesivamente se obtiene que para x=0
dn
y(0)
dxn =n!Bn
por lo que
y(x)=y(0)+x
dy(0)
dx
+
x2
2!
d2
y(0)
dx2
+
x3
3!
d3
y(0)
dx3
+⋯
pero al igual que Taylor no se preocupa por la convergencia de la serie ni de los
valores de x que representan la función.
2. Método descrito por primera vez y atribuido a Taylor. Este se puede expresar en notación moderna
como: ∫ udv=u⋅v−∫ vdu.
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6. Posteriormente matemáticos como Peano, Lagrage y Cauchy reescriben el
teorema y prueban su convergencia, al igual que escriben el polinomio de Taylor
como la suma de un polinomio y un resto:
f (x) = f (a)+
f ′(a)
1!
(x −a)+
f ′′(a)
2!
(x−a)2
+⋯+
f (n)
(a)
n!
(x −a)n
+
f (n+1)
(z)
(n +1)!
(x −a)n+1
= Pn(x)+Rn(x)
donde Rn =
f (n+1)
(𝜉L)
(n+1)!
(x − a)n+1
para algún número real 𝜉L, que es la forma de
Lagrage.
Rn =
f (n+1)
(𝜉C)
(n)!
(x − 𝜉C)n
(x − a) para algún número real 𝜉C, que es la forma de
Cauchy.
Y la forma del resto de Peano es dada por la existencia de la función hn:ℝ→ℝ
tal que Rn(x)=hn(x)(x−a)n
donde lím
x→a
hn(x)=0.
En mayo de 1715 Taylor presenta un ensayo titulado An Account of an Expe-
riment for the Discovery of the laws of Magnetic Attraction. En este mismo año
publica su tratado On the Principles of Linear Perspective.
La correspondencia que Taylor tuvo durante algún tiempo con sabios extran-
jeros, le dio una reputación general en Europa y sobre todo con los matemáticos
de París, aceptando en el año de 1716 una invitación del conde Raymond de
Montmort, Abbé Condi, y otros.
En febrero de 1717, regresa a Londres y en ese mismo año compuso y envía a
la Royal Society tres tratados: El primero titulado An Attempt Towards an Impro-
vement of the Method of Approximating in the Extractions of Roots of Equatios in
Numbers, el segundo A Solution of Demoiureʼs Fiftenth Problem, with the Assis-
tance of Combinatios an Infinite Series, y el tercero A Solution of the Problem
of G. G. Leibnitz, proposed to the English.
En 1719 presenta un gran deterioro de salud y se ve obligado a renunciar al
cargo de la oficina de secretaria de la Royal Society regresando a Aix la Chappelle.
En este periodo escribe una forma mejorada de su Treatise on Linear Perspective,
pero fue este trabajo es que desatara una disputa entre Taylor y Johann Bernoulli,
pues en un tratado publicado en los Acts of Leipsic, Bernoulli había aprovechado
para hablar del trabajo de Brook Taylor, como austero para todos, incompren-
sible e inentendible para los artistas. En respuesta Taylor escribe cartas a colegas
defendiéndose (preservadas por Sir. W. Young, mostrando la naturaleza de esta
disputa).
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7. En 1720 Brook Taylor pasa un tiempo en Orleans como invitado de Lord
Boling, regresando a Inglaterra en 1721, año en el que publicaría su último artículo
que se titulaba An Expansion of Liquor in the Thermometer, with regard to the
Degree of Heat.
En el año de 1721, se casa con la señorita Brydges de Wallindton, en Surrey,
una joven de buena familia, pero de pequeña fortuna. Por esto, el padre de Brydges
estuvo en desacuerdo con la boda, pero dos años mas tarde en 1723 muere su
esposa Brydges en proceso de parto, junto con su hijo. Este hecho conmueve
al padre de Brydges quien se concilia con Brook Taylor y lo recibe en su casa
de Bifrons, lugar en el que Taylor permanecería durante dos años más. En 1725,
con la aprobación completa del padre de Brydges se casa con su segunda esposa
Sabetta, hija de John Sawbridge.
En 1729 muere el padre de Brook, John Taylor, heredando las propiedades
de Bifrons. Pero pronto fue condenado a experimentar un segundo accidente,
por que al año siguiente perdió a su esposa Sabetta quien murió en proceso de
parto, pero esta vez sobreviria su hija. Por estos tiempos escribe un tratado de
logaritmos que pasa a su amigo Lord Paisley para que los publicara, pero que
parece nunca haber sida publicado.
Después de la pérdida de su segunda esposa, el término de su vida fue corto,
Brook Taylor muere de una disminución el día 29 de octubre de 1731 a sus cua-
renta y seis años.
REFERENCIAS.
[1] Collette, Jean-Paul, Historia de las matemáticas, Francia, Siglo veintiuno editores, 1986.
[2] Mankiewicz, Richard, Historia de las matemáticas, Mexico, Paidós,????
[3] Taylor, Brook, Principles of linear perspective, London, M. Taylor, 1835.
[4] Usunáriz Ubaldo, Diccionario bibliográfico de matemáticos, Madrid, Escuela de ingenieros
de minas de la universidad politécnica de madrid, 2012.
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