MODULO DE MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE SECUNDARIA

1. ÁLGEBRA
CHIMBOTE - PERÚ

2. 61
INTRODUCCIÓN
Antes de empezar nuestro maravilloso curso empezaríamos con una breve reseño histórica del álgebra
en uno de sus cuantiosos pasajes.
Al finalizar la Edad Media y en el Renacimiento había una categoría de hombres sabios que gozaban de
gran respeto y muchas privilegios en la sociedad: los médicos. A ellos se deben prácticamente todos
los escritos de una fisiología y una física embrionarias e inseparables en ese tiempo. Prueba de esto es
la palabra ―physician‖, que en inglés significa médico. Esta fase de la historia en la que los médicos
acaparaban la mayor parte del conocimiento de la naturaleza, tuvo una importantísima consecuencia:
el establecimiento del hábito y la exigencia de la observación y, en cierta medida, la experimentación
en la ciencia; si no se es buen observador, no se es buen médico.
Tal era la hegemonía de la medicina que el arte matemático más novedosa entonces, el álgebra. cuya
impacto en el desarrollo de la ciencia es absolutamente esencial, también tiene su nombre tomado de
la medicina. En efecto, álgebra viene del vocablo árabe al—jebe, el cual significa restaurar, restituir; y
se aplicaba en medicina a las curaciones sobre los huesos rotos o dislocados.
Para explicar el origen de la palabra álgebra nos será de utilidad un tratado de cirugía —nos sorprende
este hecho —escrito en Bolonia por Guillermo de Saliceto, uno de los más famosos médicos
medievales en ltalia. Así que vale la pena transcribir un pasaje debido al magnífico historiador G. Libri,
de su libro ―Historia de las matemáticas en Italia, desde el Renacimiento de las letras hasta el final del
siglo VII‖, impreso en París en 1 838.
Libri indica también que un autor medieval usó el terminó ecuación con un sentido quirúrgico. La
existencia de términos comunes a la cirugía y al álgebra se debía parcialmente a la fusión del médico y
el matemático —y astrólogo —en una sola persona: cada príncipe, marqués, prelado tenía sus
consejeros, hombres sabios que discutían a Aristóteles, como curaban a sus patrones, hacían
horóscopos o competían en álgebra con sus homólogos de otras ciudades. Italia era un mosaico de
naciones y, en parte, la grandeza de cada una se conocía por la de sus sabios. Los concursos y
desafíos algebraicos estaban a la orden del día y éste parece ser un caso único en la historia fuera de
las competencias de atletas y poetas en la Antigüedad.
Los problemas lanzados en esos torneos algebraicos eran ecuaciones expresadas en palabras y los
procesos de solución se revelaban también en lenguaje ordinario, y después se publicaban
íntegramente en los ―carteles‖.
Esta álgebra pregonada en las plazas públicas sólo puede llamarse «álgebra retórica» pero,
evidentemente, también el álgebra de los tratados árabes de siglos precedentes constituía un álgebra
retórica escrita.
El arte algebraico se enseñaba en las universidades desde el siglo XIII, incluyéndolo en la aritmética
tradicional, y cuando sobrevino la invención de la imprenta se comenzó a publicar en libros. Esta
requirió de más rigor en la uniformidad de la terminología. Asimismo, la frecuencia de las palabras
―piu‖, o sea ―más, y ―menos‖, condujo a las abreviaciones ―p. y m.‖: y estas abreviaturas o
cualesquiera otras abrieron el camino al ―álgebra sincopada‖.
Un siglo de paulatina contracción del lenguaje algebraico dio lugar plenamente al «álgebra simbólica»
de Descartes, con los signos + y , de origen alemán usados en los almacenes para indicar
―existencia‖ y ―faltante‖, un signo distinto del que usamos hoy para la igualdad, y los radicales, entre
otros. Pero a la mitad de ese proceso de contracción tuvo lugar una expansión mayúscula iniciada por
Francisco Vieta hacia la segunda mitad del siglo XVI: el «álgebra numérica» se convirtió en el «álgebra
literal».

3. 62
TEORIA DE EXPONENTES
EXPONENTE NATURAL: Si a  R y n Z:
n
"n" factores
a a a a ... a
    
Ejemplos:
 x . x . x . x = x4
 (3)2 = (3)(3) = 9
 32 = 3.3 = 9
 (3)3 = (3)(3)(3) = 27
EXPONENTE NULO: Si a  R  {0}
1
a0 
Ejemplos:
 30 = 1
 ( 2 )0 = 1
 50 = 1
 5
5
5 1
0
3 

EXPONENTE NEGATIVO:
Si a R  {0} y n  Z+
n
n
a
1
a 

Ejemplos:

9
1
3
1
3
2
2 


 23 = 
8
1
2
1
3


EXPONENTE FRACCIONARIO:
Si m/n  Q con n positivo y a  R+
m
n
n m
n
m
a
a
a 







Ejemplo:

5 3
5
3
x
x 
 4
2
8
8 2
2
3
3
2



TEOREMAS:
BASES IGUALES:
1. Producto:
m n m n
a a a 
  (m, n  Z  a  0)
2. División:
n
m
n
m
a
a
a 
 (m, n  Z  a  0)
POTENCIAS:
3. Potencia de un producto:
n
n
n b
.
a
)
b
.
a
( 
4. Potencia de un Cociente:
n
n
n
b
a
b
a









(b  0)
5. Potencia de Potencia:
m
n
n
.
m
n
m )
a
(
a
)
a
( 

RADICALES:
6. Raíz de un Producto:
n
n
n b
.
a
ab  (a  b  R+)

4. 63
7. Raíz de un Cociente:
n
n
n
b
a
b
a
 (a  b  R+)
8. Raíz de Raíz:
mn
m n a
a 
Teorema Fundamental:
n m
cn cm a
a 
Teoremas Adicionales:
a) mn
n
n m b
.
a
b
.
a 
b) nmp
γ
p
)
β
m
α
(
n m p γ
β
α a
a
a
a



c)
p
n
m
p
n
m a
a 
ECUACIONES EXPONENCIALES Y
TRASCENDENTES
DEFINICION
Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se
encuentra en el exponente y en las trascendentes
pueden estar en la base. Se estudiarán aquellos casos
que son factibles de resolverlos utilizando el capítulo
anterior.
I. BASES IGUALES:
Si: xn = xm  n = m ; x > 0  x  1
II. EXPONENTES IGUALES:
Si: xn = yn  x = y
Observación: x  y  n = 0
Ejemplo:
Resolver: 9x1 = 27x2
Resolución: Buscamos bases iguales:
32x  2 = 33x  6
Luego: 2x  2 = 3x  6  4 = x
III. FORMAS ANÁLOGAS:
Lo que se busca es que en ambos miembros
aparezcan expresiones que tienen la misma forma
o estructura.
Así: MM = NN  M = N
Ejemplo:
Resolver 3
5
x
5 36
x 
Resolución: Buscando formas análogas:
3
2
5
x
5 )
6
(
)
x
(   6
5
x
5 6
)
x
( 
x5 = 6
 x = 5 6
IV. CASOS ESPECIALES:
 a
x
a
x   x = a a
 a
x
x
x 

 x = a a
OBSERVACIONES:
 a
a
n
2 n
2 
 a
a
1
n
2 1
n
2 
 
VALOR ABSOLUTO:
x ;x 0
x
x;x 0



 
 



5. 64
Parte Literal
POLINOMIOS
CONCEPTOS PREVIOS
EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
Es cualquier combinación de números o letras, cuyos elementos están ligados por los símbolos matemáticos
convencionales.
EXPRESIÓN NUMÉRICA:
Es aquella cantidad absoluta que tiene un valor fijo y determinado. Considerando que este es un elemento definido
en el conjunto de los números reales, tales como:
3
5
8, 0, , 6, 7, 3 2, e,
3
   , etc
EXPRESIÓN LITERAL:
Es aquella cantidad relativa cuyos elementos numéricos y literales están relacionados por los operadores
matemáticos convencionales.
Para construir una expresión literal debemos considerar dos aspectos fundamentales:
ORDEN: Para cada termino, primero se escribe el coeficiente y luego la parte literal con sus respectivos exponentes.
Veamos:
YUXTAPOSICIÓN: En cada término, sus elementos no deben escribirse de manera reiterativa.
Veamos:









 




 

al
Convencion
Forma
4
2
iterativa
Re
Forma
y
x
9
y
y
y
y
x
x
3
3 








Según el álgebra moderna, las expresiones matemáticas se pueden clasificar siguiendo el diagrama progresivo:
POLINOMIOS: GRADOS Y VALOR NUMÉRICO
NOTACIÓN POLINÓMICA: Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene:
5
2 y
x
z
5
)
y
,
x
(
P 
variables coeficientes
ex ponentes
-5 x 2 y 3
Exponentes
Coeficiente

6. 65
EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de
adición y sustracción en una cantidad limitada de veces.
Ejemplos:
3 2 5
P(x,y) 1 + x + x + x
  E.A. Racional Entera
3
2 2
2 3
5x 2x
R(x,y) x y
y y

    E.A. Racional Fraccionaria
3 5 2 /5 3 2
Q(x,y) xy x y 3x y
    E.A. Irracional
POLINOMIO: Es aquella expresión racional entera, es decir la variable está afectada de exponentes enteros y
positivos.
Ejemplos:
2 3
Monomio
T(x, y) 31x y
 2 3 5
Binomio
R(x,y) 5x 13x y
 
2 5
trinomio
Q(x) 3 2x 7x
   3 2
Polinomio de 4 términos
P(x) 5x 12x 17x 21
   
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE:
Donde:
x = variable Grado de P(x): G(P) = n ; n  N
a0 = Coeficiente principal a0; a1; a2; ...; an = Coeficientes
an =Término independiente
Ejemplos:
P(x)  3x + 5x3 + 7x2 + 11
Donde: G(P) = 3
Coeficiente principal = 5
Coeficiente del término cuadrático = 7
Coeficiente del término lineal = 3
Término independiente = 11
DEFINICIÓN:
En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”.
Ejemplos:
P(x)  5x + x4 + 3x2 + 7
Donde: Gdo. (P) = 4; coeficiente principal = 1  P(x) es mónico
Q(x) = 3x2 – x5 + 2
Donde: Gdo. (Q) = 5; coeficiente principal = – 1  Q(x) no es mónico
P(x)  a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 +…+ an-1x + an ; (a0  0)

7. 66
VALOR NUMÉRICO:
Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes o variables y efectuar dichas operaciones.
Ejemplos:
P(x) = 5x + 3
Hallar: P(0) ; P(1); P(x+3)
Resolución:
 x = 0: P(0) = 5(0) + 3 = 3
 x = 1: P(1) = 5(1) + 3 = 8
 Reemplazando x por “x + 3”
P(x + 3) = 5(x + 3) + 3= 5x + 18
VALORES NUMÉRICOS NOTABLES:
Si P(x) es un polinomio, se cumple:
P(0) = Término independiente
P(1) = Suma de coeficientes
Ejemplos:
1. P(x + 3)  5x + 16
Calcular: T. Independiente +  coeficientes
Resolución:
Se pide: P(0) + P(1)
P(0) : i) x + 3 = 0
ii) x = - 3
iii) Reemplazando: P(-3 + 3) = 5( -3) + 16
P(0) = 1
P(1) : i) x + 3 = 1
ii) x = - 2
iii) Reemplazando: P(-2 + 3) = 5( -2) + 16
P(1) = 6
Nos pide: P(0) + P(1)
1 + 6 = 7
2. P(x + 3)  5x + 18, calcular P(x).
Resolución:
i) x + 3 = y  x = y – 3
ii) Reemplazando x por “y – 3”
P(y – 3 + 3)  5(y – 3) + 18
P(y)  5y + 3
 P(x)  5x + 3

8. 67
POLINOMIO CONSTANTE: P(x) = m ; (m  0) ; Su grado por definición es cero.
Ejemplos:
P(x) = 10
P(1) = 10
P(200) = 10
P(m+3) = 10
GRADO DE POLINOMIOS CON VARIAS VARIABLES
Cuando un polinomio tiene más de una variable se establecen dos tipos de grado para dicho polinomio. Estos son el
grado relativo (G.R) que se da con respecto a una de sus variables, y el grado absoluto (G.A) o simplemente
grado, que se da con respecto a sus variables.
En un monomio, no constante, el grado relativo es el exponente de la variable considerada, y el grado absoluto del
monomio, es la suma de los exponentes de todas sus variables. Por ejemplo, dado el monomio:
  :
tiene
se
,
z
y
x
2
z
;
y
;
x
M 6
3
5


Grado relativo con respecto a “x”: GRx (M) = 5
Grado relativo con respecto a “y”: GRy (M) = 3
Grado relativo con respecto a “z”: GRz (M) = 6
Grado absoluto del monomio: GA (M) = 5 + 3 + 6 = 14
En un polinomio, que no es monomio, el grado relativo es el mayor exponente de la variable considerada y el grado
del polinomio es el mayor grado absoluto de los términos (monomios) del polinomio.
Por ejemplo, dado el polinomio:
  4
5
2
4
3
3
2
2 z
xy
z
y
x
4
z
y
x
3
z
;
y
;
x
P 


Se tiene:
7
z
y
x
3
GA 3
2
2 





 ; 9
z
y
x
4
GA 2
4
3 





  ; 10
z
xy
GA 4
5 






Luego:     10
10
;
9
;
7
Max
z
;
y
;
x
P
de
Grado 

CÁLCULO DE LOS GRADOS EN LAS OPERACIONES
1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
Ejemplo:
Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
Tal que: a > b  Grado [P(x)  Q(x)] = a
2. En la multiplicación los grados se suman.
Ejemplo:
(x4 + x5y + 7)(x7y + x4y5 + 2)
Resolución: Grado: 6 + 9 = 15

9. 68
3. En la división los grados se restan
Ejemplo:
3
3
3
4
7
3
3
8
y
x
y
z
x
x
y
x
xy




Resolución: Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente.
Ejemplo:
(x3y – x2y6 + z9)10
Resolución: Grado: 9 . 10 = 90
5. En la radiación el grado queda dividido por el índice del radical.
Ejemplo:
7 3 6 12
3 2 7
xy x y x
 
Resolución: Grado: 4
3
12

POLINOMIOS ESPECIALES
Polinomio Homogéneo:
Es aquel polinomio que tiene todos sus términos del mismo grado. Por ejemplo, los polinomios:
Ejemplos:
 
 
3 2 2 3
3 2 2 3 4
; 3 3
; ; 0
P x y x x y xy y
Q x y ax y bx y cxy abc
   
   
Son homogéneos.
Polinomio Ordenado:
Es aquel polinomio que esta ordenado con respecto a una variable llamada ordenatriz, donde los exponentes de la
mencionada variable van aumentando o disminuyendo.
Ejemplos:
   5 3 3 2 2 4
; 9 2 4 3
P x y x y x y x y y
   
Es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a la ordenatriz x.
       
4 3 2 2 3 4
P x;y x 4x y 6x y 4xy y
Es un polinomio ordenado en forma ascendente respecto a la variable y, también esta ordenado en forma
descendente respecto a la variable x. Luego podemos decir que existen dos variables ordenatriz.
       
17 12 6
P x 5x 2x 7x x 1
Es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a su única variable.

10. 69
Polinomio Completo:
Se dice que un polinomio es completo respecto a una de sus variables si posee todos los exponentes de la variable
considerada, desde el mayor hasta el exponente uno, inclusive el termino independiente (de la variable considerada).
Ejemplos:
      
3 2
P x 5x 3x 6x 2
es un polinomio completo y ordenado.
        
2 4 3
Q x 5x 3x 3x 6 x
es un polinomio completo y desordenado.
       
4 3 2 2 2
P x;y 11x y 3x y 4x 10xy y
es un polinomio completo (y ordenado) respecto a la variable x.
PROPIEDAD:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en
uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
Como es completo;
 Número de términos = 6
Polinomios Idénticos:
Dos polinomios de las mismas variables son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor o
valores asignados a sus variables.
Ejemplos:
      
2 2
P x x 2 , Q x x 4x 4
    
son polinomios idénticos, luego denotamos: P(x)  Q(x)
       
3 3 2 2
P x;y x y , Q x;y x y x xy y
     
son polinomios idénticos.
Consecuencia
Los polinomios:
 
 
3 2
o 1 2 3
3 2
o 1 2 3
P x a x a x a x a
Q x b x b x b x b
   
   
son idénticos, si y solo si: 3
3
2
2
1
1
0
0 b
a
,
b
a
,
b
a
,
b
a 



Polinomio Idénticamente Nulo:
Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a
cero. Notación: P(x)  0
Ejemplo:
 ax + by + cz  0
 a = 0 ; b = 0 ; c = 0

11. 70
PRODUCTOS NOTABLES
En este tema es muy importante no sólo en el curso de álgebra, sino en cualquier curso ya sea aritmética,
geometría, trigonometría, etc...; siempre hay necesidad de elevar al cuadrado, al cubo. ... para poder despejar la
incógnita o resolver una ecuación, además este capítulo es base para los demás temas como factorización,
ecuaciones, antiguamente las identidades notables se demostraban geométricamente. He aquí un ejemplo de la
demostración del desarrollo de un binomio al cubo, es decir:
DEFINICIÓN: Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin
necesidad de aplicar la propiedad distributiva por la forma que presentan.
1. BINOMIO AL CUADRADO: (Trinomio Cuadrado Perfecto)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Identidades de Legendre:
I1: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
I2: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
2. PRODUCTO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA: (Diferencia de Cuadrados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Multiplicando miembro a miembro las identidades I1 e I2:
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)
 3 3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b
    

12. 71
3. TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)
4. BINOMIO AL CUBO
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Identidades de Cauchy
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Relaciones particulares:
(a + b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2)
(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
6. TRINOMIO AL CUBO
Según Cauchy se puede escribir así:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc
Otras formas más usuales del desarrollo:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) – 2(a3 + b3 + c3) + 6abc
7. Identidades de Stevin
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
8. Identidad trinómica de Argand
(x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n

13. 72
Formas particulares más usuales:
Si: m = 1, n = 1:
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Si: m = 1, n = 0:
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
9. Identidades de Lagrange
(a2 + b2) (x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2
(a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (bz – cy)2 + (az – cx)2
10. Identidades de Gauss
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Debemos tener en cuenta que:
a2+ b2+ c2 – ab – bc – ac = 1
2
[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2]
a2+ b2+ c2 + ab + bc + ac = 1
2
[(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2]
11. Identidades Adicionales
(a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b)(b + c)(c + a) + abc
(a + b)(b + c)(c + a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)+2abc
(a – b)(b – c)(c – a) = ab(b–a) + bc(c–b) + ca(a–c)
12. Igualdades Condicionales
Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relaciones notables:
* a2 + b2 + c2 = – 2(ab + bc + ca)
* a3 + b3 + c3 = 3abc
* a4+ b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2= 1
2
(a2 + b2 + c2)2

14. 73
DIVISION ALGEBRAICA
Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R),
conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d)
Esquema Clásico:
D d
R q
Se conoce : D y d
Por conocer : q y R
Se cumple: R
dq
D 
 (Propiedad fundamental)
Propiedades:
1. La propiedad fundamental de la división en el álgebra forma una identidad.
O sea: )
x
(
)
x
(
)
x
(
)
x
( R
q
.
d
D 

2. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menor el grado del divisor.
O sea: º
d
º
D
º
q 

3. El grado del residuo siempre es menor que el grado del divisor, siendo el máximo grado del resto, el grado del
divisor disminuido en uno.
O sea: 1
º
d
º
R MAX 
 R°MAX  Grado máximo del resto
4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.
O sea: 0
R 
Ejemplo:
D 


 


 
 º
8
4
8 3
x
2
x
x 

 q° = 8 – 5 = 3
d  




º
5
5
2 7
x
x 
 R°MAX = 5 – 1 = 4

15. 74
DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS:
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga
esa forma).
MÉTODOS DE DIVISIÓN
I. DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE HORNER
Para este método sólo se utilizan coeficientes, empleando el siguiente esquema:
d D I V I D E N D O
i
v
i
s
o
r
C O C I E N T E RESTO
con
su mismo
signo
con
signo
cambiado
Observación:
- Los lugares en que se indica dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes. En el caso del divisor la letra
"d" simboliza al primer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que
se colocan con signo cambiado. Igualmente del coeficiente y el resto sólo se obtienen coeficientes.
- La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de
derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el número que representa el grado de divisor.
Ejemplo: Dividir:
4
x
2
x
2
11
x
5
x
6
x
8
x
4
x
10
2
2
3
4
5







Resolución:
Aplicando Horner:
2 10
2
-4
5
- 4 8 6 - 5 11
10 - 20
6 - 12
- 6 12
- 12 24
3 - 3 - 6 - 5 35
Coef. del cociente Coef. del resto
La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto.
Se tiene:
q° = 3 R°MAX = 1
q = 5x3 + 3x2 – 3x – 6
R = – 5x + 35

16. 75
II. MÉTODO DE RUFFINI
Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b
Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes, cumpliendo el siguiente esquema:
D I V I D E N D O
C O C I E N T E R
N
Valor de "x" al igualar el divisor a cero.
Ejemplo:
Dividir:
2
x
1
x
5
x
11
x
7
x
2
x
3 2
3
4
5






Resolución:
x - 2 = 0 3
2
3 4 15 19 43 87
Coeficientes del cociente
6 8 30 38 86
- 2 7 - 11 5 1
Resto
Como:
q° = 5 – 1 = 4
q = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43
R = 87
Observación:
- Si en el divisor: ax + b, a  1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre
"a" para obtener el cociente correcto.
Ejemplo:
Dividir:
1
x
3
7
x
8
x
17
x
5
x
3 2
3
4





Resolución:
Por Ruffini
3x - 1 = 0 3
1/3
3 6 -15 3 8
Coeficientes del cociente
1 2 - 5 1
5 -17 8 7
1 2 - 5 1
3

Como: q° = 4 – 1
q = x3 + 2x2 – 5x + 1
R = 8

17. 76
 TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de
primer grado de la forma: ax + b y en algunos casos especiales.
Regla:
Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de
1er grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.
Ejemplo: Calcular el resto en:
2
x
5
x
3
x5



Resolución:
T. Resto: x – 2 = 0  x = 2
 R = 25 + 3(2) – 5  R = 33
 TEOREMA DEL RESTO GENERALIZADO:
Se aplica cuando el divisor es de grado mayor o igual a dos y en algunos casos especiales.
Regla:
Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se despeja lo mas conveniente buscando en el despeje
disminuir el grdo de la expresión equivalente y se reemplaza en el dividendo las veces necesarias hasta obtener
una expresión de grado menor que el divisor, el resultado obtenido será el resto.
Teorema: En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor, se les multiplica por un polinomio de grado
no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda multiplicado por dicho polinomio.
Ejemplo:
Hallar el resto en:
1
x
x
4
x
7
x
2
2
34




Teorema: En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio de grado no
nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda dividido por dicho polinomio.
Ejemplo:
Hallar el residuo en
)
1
x
(
)
2
x
(
)
2
x
(
)
1
x
(
)
2
x
(
)
1
x
2
(
4
3







18. 77
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
Sean f(x) y g(x) dos polinomios de grados no nulos con
coeficientes reales o complejos, si el resto de la división
de f(x) entre g(x) es idénticamente nulo, entonces g(x)
se llama divisor de f(x).
DEFINICIÓN:
Dados dos polinomios f(x) y g(x) de grados no nulos se
dirá que f(x) es divisible por g(x) si existe un único
polinomio h(x), tal que se verifique la identidad de
división exacta.
h(x)
.
g(x)
f(x)
;
)
x
(
h
!
g(x)
por
divisible
es
)
x
(
f 


En efecto, si g(x) es divisor de f(x), el cociente de la
división f(x) entre g(x) es h(x).
Si f(x) es divisible por g(x), entonces g(x) es un factor
de f(x).
TEOREMA DEL FACTOR
Un polinomio P(x) de grado no nulo se anula para x
=   P(x) es divisible por (x – ); luego (x – ) es
un factor de P(x).
Si el polinomio P(x) se anula para x = , es decir, P()
= 0  el resto de dividir P(x) entre (x – ) es cero;
luego P(x) es el producto de (x – ) por otro polinomio
de grado (n – 1), siendo "n" el grado del polinomio P(x),
es decir, P(x) es divisible por (x – ).
Recíprocamente si P(x), es equivalente a (x – ) . g(x),
entonces P(x) se anula para x = .
La condición necesaria y suficiente para que el
polinomio P(x) sea divisible por (x – ) es que P(x) se
anule para x = .
 Teoremas de Divisibilidad:
Teorema 1:
Si f(x) es divisible por g(x) y g(x) es divisible por
h(x), entonces f(x) es divisible por h(x).
Teorema 2:
Si f(x) y g(x) son divisibles por h(x), la suma y la
diferencia de f(x) y g(x) es divisible por h(x).
Teorema 3:
Si f(x) es divisible por g(x), el producto de f(x) por
cualquier otro polinomio no nulo h(x) es también
divisible por g(x).
Teorema 4:
Si el polinomio P(x) es divisible separadamente por
los binomios (x – a), (x – b) y (x – c) / a  b  c,
entonces P(x) es divisible por el producto:
(x – a) (x – b) (x – c).
Nota: Recíprocamente, si P(x) es divisible por
(x – a) (x – b) (x – c) ; a  b  c, será divisible
separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c)
Teorema 5:
Si al dividir un polinomio P(x) entre (x – a); (x – b)
y (x – c) / (a  b  c) en forma separada deja el
mismo resto en cada caso, entonces al dividir
dicho polinomio entre (x – a)(x – b)(x – c) dejará
el mismo resto común.
Así:
P(x)  (x – a)  R1(x) = R
P(x)  (x – b)  R2(x) = R
P(x)  (x – c)  R3(x) = R
P(x)  (x – a) (x – b) (x – c)  R(x) = R
Teorema 6:
En toda división de polinomios, si al dividendo y
al divisor, se les multiplica por un polinomio de
grado no nulo, el cociente no se altera; pero el
residuo queda multiplicado por dicho polinomio.
Teorema 7:
En toda división de polinomios, si al dividendo y
al divisor se les divide por un polinomio de grado
no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo
queda dividido por dicho polinomio.

19. 78
COCIENTES NOTABLES
Llamaremos cocientes notables (C.N.) a los cocientes que se obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad de
efectuar la operación de división.
Las divisiones indicadas que dan origen a estos cocientes notables son de la forma:
2
n
IN
n
;
y
x
y
x n
n





Mediante la combinación de los signos se presentarán 4 casos.
y
x
y
x
;
y
x
y
x
;
y
x
y
x
;
y
x
y
x n
n
n
n
n
n
n
n








 Caso I:
IN
n
;
y
x
y
x n
n



a. Veamos su resto:
Por el teorema del resto x – y = 0  x = y; entonces se tendrá R = yn – yn = 0
Nos indica que para cualquier valor natural de n la división será exacta.
b. Su cociente:
Efectuando la división por la regla de Ruffini












y
x
y
x n
n
se tendrá
1 0 0 .............. 0
1 y y2
y3
y
-yn
n
x = y
1 y y2
y3 ......... yn-1
0
Siendo el cociente de la forma
xn – 1 + y xn – 2 + y2 xn – 3 + … + yn – 1
En general el cociente se obtendrá de la siguiente forma:
N
n
;
y
...
y
x
y
x
x
y
x
y
x 1
n
2
3
n
2
n
1
n
n
n







 




20. 79
Ejemplos:
4 4
x y
x y


= x3 + x2y + xy2 + y3
5 5
x y
x y


= x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
Asimismo:
7 7
x y
x y
 

 no genera cociente notable porque – 7  N
3 / 2 3 / 2
x y
x y


no genera cociente notable porque
2
3
 N
 Caso II:
N
n
;
y
x
y
x n
n



a. Veamos su resto:
Por el teorema del resto x + y = 0  x = – y  R = (– y)n – yn
 Si










n
y
2
R
impar
es
0
R
par
es
n
n
b. Su cociente:
Por la regla de Ruffini
I. Si n es par:
1 0 0 ....... 0
1 -y y2
-y3
y
-yn
n
x = -y
1 -y y2 -y3 ....... -yn-1 0
0
....... -yn-1
Entonces:
1
n
2
3
n
2
n
1
n
n
n
y
......
y
x
y
x
x
y
x
y
x 


 






II. Si n es impar
1 0 0 ....... 0
1 -y y2
-y3
-y
-yn
n
x = -y
1 -y y2 -y3 ....... yn-1
0
....... yn-1
-2yn
Entonces:
y
x
y
2
y
...
y
x
y
x
x
y
x
y
x n
1
n
2
3
n
2
n
1
n
n
n









 



Su cociente sigue siendo notable pero la división no es exacta.

21. 80
De este modo se puede resumir en el siguiente cuadro todos los casos:
DIV. INDICADA COCIENTE NOTABLE RESTO O RESIDUO
y
x
y
x n
n


xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + yn – 1 Nulo;  n  N
y
x
y
x n
n


xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … – yn – 1 Nulo; si n par
xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … + yn – 1 –2yn; si n impar
y
x
y
x n
n


xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … + yn – 1 Nulo; si n impar
xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … – yn – 1 2yn ; si n par
y
x
y
x n
n


xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + yn – 1 2yn,  n  N
Se tendrá también que algunas divisiones de la forma
n m
a b
x y
x y


generan cocientes notables, siendo la
condición necesaria y suficiente.
TEOREMA DEL TÉRMINO GENERAL
Finalidad: El teorema tiene por finalidad calcular un término cualquiera (tK) del cociente sin necesidad de efectuar el
desarrollo de dicha división.
t k k 1
k
T x y
 
 
Nota:
I. El C.N. de
n n
x y
x y


es un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad (n – 1); es un polinomio de n
términos completo y ordenado con respecto a ambas variables.
II. Si contamos los términos a partir del último, para hallar el término de lugar k sólo intercambiamos los
exponentes; así:
k 1 t k
k
T x y
 

b
m
a
n
 = t ; t  N
Donde t representará el número de términos del Cociente Notable.

22. 81
FACTORIAL - NUMERO COMBINATORIO
BINOMIO DE NEWTON
Factorial de un Número Z+
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivamente desde
la unidad hasta el número considerado inclusive:
n! ó n ó n
Se lee: factorial de “n” ó “n” factorial.
2 = 1 . 2 = 2
3 = 1 . 2 . 3 = 6
4 = 1 . 2 . 3 . 4 = 24
5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
6 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720
7 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5040
8 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 40320
En General: n = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 … (n – 3) (n – 2) (n – 1) n
Regla:
n 3
 = (n + 3)(n + 2)(n + 1)n(n – 1) … 3 . 2 . 1
80 = 80 . 79 . 78 . 77 … 3 . 2 . 1
Alucinaciones:
1. a b a b
  
2. a b a b
  
3.
a a
b b


23. 82
Propiedades:
1. n   n  Z

0
2. Por definición: 1 = 1 y por acuerdo o convención: 0 = 1
Entonces si: a = 1  a = 1  a = 0
3. Si: a = b  a = b
4. Todo factorial mayor contiene un factorial menor (por lo menos)
n! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . … . (n – 2) (n – 1) (n)
Número Combinatorio
Representación del número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k”.
n n
k k n k
C ; C ; C
 Definición matemática:
n
k
n
C
k n k

 
; n  k
4
2
4 24
C 6
2 4 2 2 2
  
  
50
48
50 50 49 48
C 1225
48 2 48 2
 
  
 
 Regla práctica:
7
3
7 6 5
35
1 2 3
( )( )( )
C
( )( )( )
  7
4
7 6 5 4
35
1 2 3 4
( )( )( )( )
C
( )( )( )( )
 
 Propiedades:
1.
n
k 0
C n z
   ; k  
0
z ; k  n
2. Propiedad complementaria:
; n n
n 0
C C 1
 
n.(n–1)(n–2)….(n–k+1) n–k
1 . 2 . 3 . … . k n-k

n
k
C =
n
k n - k
k factores
k factores
n n
k n k
C C 


24. 83
x 8 x 8 x 8
x 2 (x 8) (x 2) 6
C C C
  
   
 
7 10 8
0 0 0
C 1 C C
  
3. Igualdad:
1ra. posibilidad: p = q 2da. Posibilidad: p + q = n
4. Suma de combinatorios:
5.
 Reglas de degradación:
1. 2. 3.

10 9
3 2
10
C .C
3
x 7 x 7
x 2 x 1
6
x 2
C C
 
 

 7 6 6
3 3 3
7 7
C C C
7 3 4
 

INTRODUCCIÓN AL BINOMIO DE NEWTON: (Para exponentes entero y positivo z+)
Teorema:
Sean: x, a  0 y n  z+
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
(x + a)6 = x6 + 6x5a + 15x4a2 + 20x3a3 + 15x2a4 + 6xa5 + a6
(x + a)6 = 6
0
C x6 + 6
1
C x5a + 6
2
C x4a2 + 6
3
C x3a3 + 6
4
C x2a4 + 6
5
C xa5 + 6
6
C a6
(x + a)n = n
C0 xn + n
C1 xn-1a + n
C2 xn-2a2 + n
C3 xn-3a3 + … + n
n
C an
Desarrollo del Binomio
n
n n n k k
k
k 0
(x a) C x a


  

n n n 1
k k 1 k 1
C C C 
 
 
n
1
C n

n
k
n n 1
k k 1
C C 


n n
k k 1
n k 1
C C
k 
 

n
n k
n n 1
k k
C C




25. 84
Triángulo Pascal:
(x + a)0  1
(x + a)1  1 1
(x + a)2  1 2 1
(x + a)3  1 3 3 1
(x + a)4  1 4 6 4 1
(x + a)5  1 5 10 10 5 1
(x + a)6  1 6 15 20 15 6 1
[x + (–a)]n = (x – a)n = n
C0 xn – n
C1 xn-1a + n
C2 xn-2a2 – n
C3 xn-3a3 + … + n
n
C an(-1)n
Propiedades:
1. # de términos = Exponente + 1
2. Si: x = a = 1, se obtiene la sumatoria de coeficientes.
n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3
0 1 2 3 n 3
C C C C ... C 2
     

     
n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
0 1 2 3 n 2
C C C C ... C 2 1
     

      
3. Cálculo del término general ( tk+1 = ???) ; (x + a)n
4. Posición del término central (“n”  exp. del binomio)
a. Para “n” par  “1” término central:
b. Para “n” impar  “2” términos centrales:
n n n n n n
0 1 2 3 n
C C C C ... C 2
     

n
1
2
t
 


n 1 n 1
1
2 2
t t
k
k
n
n
k
k a
.
x
C
t 
 
1
1ra. base 2da. base

26. 85
FACTORIZACION
NOCIONES PRELIMINARES
Multiplicación Indicada: Es aquella multiplicación que aún no ha sido efectuada.
Ejemplo:
(x + 1)(x – 1) es una multiplicación indicada. El resultado x2 – 1 se llama producto.
Polinomio definido sobre un Campo Numérico: Un polinomio está definido sobre un campo numérico, si todos
sus coeficientes pertenecen a dicho campo. Sólo tenemos 3 campos numéricos: Q, R y C
Ejemplo:
 En el polinomio: 3 2
( )
2
4 5 7
3
x
P x x x
    , sus coeficientes 4, 2
3
 ,5 y –7 son números racionales. Por lo tanto
diremos que el polinomio P(x) está definido sobre los racionales (Q).
 En el polinomio: 3 2 2
( ; ) 2 2
x y
F x x y xy
   , sus coeficientes 1, 2 y 2 son números reales, por tanto, diremos
que el polinomio )
y
,
x
(
F está definido sobre los reales (R).
FACTOR: Un factor es cualquier expresión que esta contenida exactamente en otra, por lo cual también es llamado
divisor.
FACTOR O DIVISOR ALGEBRAICO: Un factor algebraico es aquella expresión que tiene al menos una variable
(polinomio no nulo)
FACTOR PRIMO RACIONAL: son aquellos factores algebraicos que no se pueden descomponer en otros factores
racionales dentro del mismo campo.
CONCEPTO
Proceso inverso de la multiplicación, por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada
como el producto de dos o más factores algebraicos.
Ejemplo:
El proceso: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, es una multiplicación
En cambio el proceso: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b), es una Factorización
Donde: (x + a), (x + b) son factores primos
TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA
Una expresión estará factorizada en forma única si los factores que lo conforman son primos.

27. 86
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
I. MÉTODO DE FACTOR COMÚN – AGRUPACIÓN
FACTOR COMÚN MONOMIO
Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos, para lo cual se extrae la expresión repetida
elevada a su menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar: E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
El factor común monomio será x2y2 Ahora dividiremos cada uno de los términos entre dicho factor común, para
lo que queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:
2 2 3 3
7 2 1
3 Factores Primos
E X Y ( X Y XY )
  
FACTOR COMÚN POLINOMIO: (Agrupación de términos)
Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos. Por lo general se
encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios:
- De acuerdo al número de términos:
Ejemplo:
Si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.
- De acuerdo a los coeficientes de tos términos:
Ejemplo:
Factorizar: E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12
Como no hay factor común monomio, podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.
En cada uno de los grupos E = x8(x4 + y4) + y8 (x4 + y4)
Factor Común Polinomio (x Ahora dividimos cada agrupación entre el factor común polinomio.
4 4 8 8
E (X Y ) (X Y )
  
Factor Primo
Factor Primo
Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores. Esta expresión tendrá 2 factores primos.
II. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.
Recordemos los siguientes:

28. 87
A) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2
OBSERVACIÓN:
El trinomio o cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Por lo tanto:
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo:
16x2 + 40xy3 + 25y6 = (4x + 5y3)2
  
(4x)2 2(4x)5y3 (5y3)2
 Luego, es T.C.P.
B) DIFERENCIA DE CUADRADOS: A2 – B2 = (A + B)(A – B)
Ejemplo:
Factorizar: x4 – 4b2
Resolución:
Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
Ejemplo:
Factorizar: x2 + 2xy +y2 – z6
Resolución:
x2 – 2xy + y2 – z6  (x + y)2 – (z3)2
= (x + y + z3) (x + y – z3)
C) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: A3  B3 = (A  B) (A2 + AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar: 27x3 – 8
Resolución:
(3x)3 – 23 = (3x – 2) (9x2 + 6x + 4)
III. ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aquellas que adopten esa forma:
Ejemplo:
Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab – 28
(a + b)2 + 3(a + b) – 28  (a + b + 7) (a + b – 4)
a + b 7
a + b – 4
Binomio al
cuadrado
Ax
2m
+ Bx
m
y
n
+ Cy
2n

29. 88
IV. ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ejemplo: Factorizar:
La expresión factorizada es: (5x + 3 – 7) (4x + 2y – 1)
Ejemplo: Factorizar:
La expresión factorizada es: (3 + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)
V. ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
REGLA:
1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente; se calcula la suma del producto en
aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la ex presión que haga falta para ver el término central. La expresión
agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio.
Ejemplo:
VI. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Con este método se busca uno o más factores binomios primos.
Consideraciones:
Ax
2
+ Bxy + Cy
2
+ Dx + Ey + F
Ax
4
+ Bx
3
+ Cx
2
+ Dx + E

30. 89
1. Si P(x0) = 0 ; entonces: (x – x0) es un factor primo de P(x).
2. Los demás factores se encuentran al efectuar:
0
P(x)
x x

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:
Posibles ceros = x0 =  Divisores (T.I.) de P(x)
Divisores (C.P.) de P(x)
 
 
 
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3 – 6x2 + 11 x – 6
Posibles ceros = ± Divisores de 6
Divisores de 1
 
 
 
Posibles ceros ± (1, 2, 3, 6)
Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini.
R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero, luego un factor es (x – 1).
Luego: P(x) = (x – 1)(x2 – 5x + 6)
 P(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 2)
VII. MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS
Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida; la mayoría de veces será necesario
aumentar algunos términos, para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato;
naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este
método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.
Ejemplo:
Factorizar: x4 + 64y4
Resolución:
 x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2 (Sumamos y restamos 16x2
y2
)
x4 + 162y2 + 64y4 – 16x2y2 (Acomodando)
Luego: (x2 + 8y2)2 – (4xy)2
Donde:
 (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)

31. 90
ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
IGUALDAD
Es la relación de orden que existe entre cantidades que tienen el mismo valor.
ECUACIÓN
Es una igualdad relativa, que se verifica sólo para determinado(s) valor(es) de su incógnita, o talvez nunca se
verifique.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Se llama así al valor de la incógnita que reemplazando en la ecuación verifica la igualdad. Si la ecuación tiene una
sola incógnita, a la solución también se le denomina raíz.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES
I. SEGÚN SUS SOLUCIONES PUEDEN SER:
1. ECUACIONES COMPATIBLES
Son aquéllas que aceptan por lo menos una sola solución. A su vez se dividen en:
A. Ecuaciones Determinadas
Son aquéllas que tienen un número limitado de soluciones.
Ejemplo:
x2 – 1 = 24  tiene dos soluciones
x = 5 ó x = – 5
B. Ecuaciones Indeterminadas
Son aquéllas que tienen un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo:
3(x + 1) – 1 = 3x + 2
3x + 3 – 1 = 3x + 2  2 = 2
Significa que la igualdad se verifica x  R
 La ecuación tiene infinitas soluciones.
2. ECUACIONES INCOMPATIBLES
Son aquéllas que no tienen solución; también se les denominan absurdas o imposibles.
Ejemplo:
x + 4 = x + 7  4 = 7 (absurdo)
No existe valor de “x” que verifique la igualdad.

32. 91
II. ECUACIONES POLINOMIALES: SEGÚN EL GRADO PUEDEN SER
Grado Forma (a≠0) Nro. de Raíces
1°
2°
3°
4°
ax + b = 0
ax2 + bx + c = 0
ax3 + bx2 + cx + d = 0
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
1
2
3
4
OBSERVACIÓN
Siempre que se realicen operaciones, como multiplicaciones, divisiones, simplificaciones, potencias, etc, entre
los 2 miembros de una ecuación, el valor o valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación dada
pues pueden no ser soluciones verdaderas.
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O LINEAL (CON UNA SOLA INCÓGNITA)
Forma general:
Tiene solución única:
DISCUSIÓN DE LA RAÍZ: x =
a
b
 ;
1. Si: a  0;  La ecuación es determinada.
2. Si: a = 0: b = 0  La ecuación es indeterminada.
3. Si: a = 0; b  0  La ecuación es incompatible.
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICA
Forma general:
a, b y c : Coeficientes, (a, b, c  R)
ax2 : Término cuadrático
bx : Término lineal
c : Término independiente
x = –
a
b
ax
2
+ bx + c = 0 (a  0)
ax + b = 0 (a  0)

33. 92
RESOLUCIÓN:
I. POR FACTORIZACIÓN. Consiste en factorizar el 1er término de la ecuación, empleando aspa simple o
completando cuadrados; enseguida se iguala a cero cada uno de los factores obtenidos.
Ejemplo: Resolver 2x2 – 5x – 3 = 0
Resolución:
2x2 – 5x – 3 = 0
2x + 1
1x – 3
(2x + 1)(x – 3) = 0 

 


 

1
2
1
x
2
x 3
II. POR FÓRMULA. Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, se obtiene mediante la fórmula:
2
4
2
b b ac
x
a
  

Las raíces x1 y x2 de la ecuación son:
2
1
4
2
b b ac
x
a
  
 ;
2
2
4
2
b b ac
x
a
  

O expresando de otro modo, la solución es:
2 2
4 4
;
2 2
b b ac b b ac
a a
 
     
 
 
 
 
Ejemplo: Resolver: x2 + x + 3 = 0
Resolución:
Reconociendo los coeficientes: a = 1 ; b = 1 ; c = 3
Reemplazando en la fórmula: x =
2
1 (1) 4(1)(3) 1 11
2(1) 2
i
    

x1 = 1 11
2
i
  ; x2 = 1 11
2
i
 
NATURALEZA DE LAS RAÍCES
Para conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática se analiza el valor que toma la siguiente relación:
 = b2 – 4ac, el cual recibe el nombre de discriminante.
Se presentan los siguientes casos:
1.  > O ; se obtienen 2 raíces reales y diferentes.
2.  = O ; se obtienen 2 raíces reales e iguales. (1 solución)
3.  < O : se obtienen 2 raíces complejas conjugadas.

34. 93
OBSERVACIÓN:
Si:   0 ; Raíces Reales
TEOREMAS DE LAS RAÍCES: (TEOREMAS DE CARDANO)
1. SUMA DE RAÍCES. Se obtiene dividiendo el coeficiente del término lineal con el signo cambiado, entre el
coeficiente del término cuadrático.
x1 + x2=
b
a
 = S
2. PRODUCTO DE RAÍCES. Se determina dividiendo el término independiente entre el coeficiente del término
cuadrático.
x1 . x2=
c
a
= P
TEOREMAS ADICIONALES:
1. DIFERENCIA DE RAÍCES: 
 
1 2
| x x |
a
2. SUMA DE INVERSAS:   
1 2
1 1 b
x x c
3. SUMA DE CUADRADOS: 2 2 2
1 2 2
x x S P
  
4. SUMA DE CUBOS: 3 3 3
1 2 3
x x S SP
  
PROPIEDADES ADICIONALES: Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0
1. RAÍCES SIMÉTRICAS (Opuestas)
x1 + x2 = 0  b = 0
2. RAÍCES RECÍPROCAS (Inversas)
x1 . x2 = 1  a = c
3. ECUACIONES EQUIVALENTES: Son aquellas que presentan el mismo conjunto solución:
Sean: a1x2 + b1x + c1 = 0
a2x2 + b2x + c2 = 0 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a


4. FORMACIÓN DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
Consiste en calcular la suma “S” y el producto “P” de la raíces; luego se reemplaza estos dos valores en la
siguiente fórmula:
x2 – Sx + P = 0

35. 94
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
ECUACIONES POLINÓMICAS
Dado un polinomio entero en “x” de grado “n” de la forma:
Se dice que es una ecuación polinómica si: P(x)=0
DEFINICIÓN: “r” es una “raíz” o “cero” del polinomio P(x)  P(r) = O
TEOREMA DEL FACTOR: ”r” es una raíz o cero del polinomio P(x)  (x – r) es factor de P(x)
DEFINICIÓN: “r” es una raíz de multiplicidad “k” de un polinomio si:
P(x)  (x – r)k . Q(x) / Q(r)  0
Observación: Si se desea hallar las raíces de un polinomio o ecuación se factoriza y se iguala cada factor a cero
Ejem : Hallar las raíces de: P(x)  3(x + 5)(x  3)2(x + 1)3
Igualando cada factor a cero: x + 5 = 0  x = –5; raíz simple
(x – 3)2 = 0  x = 3; raíz doble o de multiplicidad 2
(x + 1)3 = 0  x = –1; raíz triple o de multiplicidad 3
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA:
Un polinomio de grado “n” (n  N), con coeficientes complejos en general tiene por lo menos una raíz generalmente
compleja.
COROLARIO
Todo polinomio de grado “n” (n  N) tiene exactamente “n” raíces contadas cada una con sus respectivas
multiplicidades
 Sean r1; r2; r3, …….; rn las raíces de un polinomio P(x) de grado “n” entonces:
P(x) = a0(x – r1)(x – r2)(x – r3) …… (x–rn)
Coef. principal
Observación: Si a0 = 1 se dice que P(x) es un polinomio mónico.
Sea P(x) un polinomio:  P(1) = Suma de coeficientes
 P(0) = Término independiente
P(x) = a0xn +a1xn–1 + a2xn–2 + … + an ; 0
a 0 n N
   

36. 95
Número de raíces de un polinomio  Número de soluciones de la ecuación
RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO: (TEOREMAS DE CARDANO)
Dado un polinomio P(x) de grado “n” con coeficientes complejos en general de la forma:
P(x) = a0xn +a1xn–1 + a2xn–2 + … + an ; 0
a 0 n N
   
cuyas raíces son : r1; r2; r3 …… rn entonces:
I. Suma de raíces:
S1 = r1 + r2 + …….. rn = –
0
1
a
a
II. Suma de productos binarios de las raíces:
S2 = r1r2 + r1r3 + ……. =
0
2
a
a
III. Suma de productos ternarios de las raíces
S3 = r1r2r3+r1r2r4 + …. = –
0
3
a
a
N. Producto de raíces:
n
0
a
n par
a
 
Sn = r1r2r3 ……. rn =
n
0
a
a
 n impar
 
Observación:
Las raíces de un polinomio también son las raíces o soluciones de la ecuación. Además:
TEOREMAS:
PARIDAD DE RAÍCES IMAGINARIAS:
Si un polinomio con coeficientes reales admite una raíz imaginaria de la forma: a + bi; entonces también admite
como raíz a su conjugada: a – bi
Observación:
Si: a+bi es una raíz imaginaria  a – bi será la otra raíz; a  b  R; b  0
además: i = 1


37. 96
PARIDAD DE RAÍCES IRRACIONALES:
Si un polinomio con coeficientes racionales admite una raíz irracional de la forma: a + b ; entonces también
admite como raíz a su conjugada: a – b
Observación:
Si a + b es una raíz irracional a – b es su conjugada; a Q  b es irracional (b  0)
ECUACIÓN BICUADRADA
Se denominan así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general:
ax4 + bx2 + c = 0 ;  abc  0
Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la resolvente de la bicuadrada:
x =
a
2
ac
4
b
b 2 



Resolver: 36x4 – 73x2 + 16 = 0
Resolución:
Factorizando por aspa simple: (4x2 – 1)(9x2 – 6) = 0
Igualando cada factor a cero:
4x2 – 1 = 0  x2 = 1/4  x =  1/2
9x2 – 16 = 0  x2 = 16/9  x =  4/3










3
4
;
3
4
;
2
1
;
2
1
.
S
.
C
Resolver: x4 – 3x2 + 1 = 0
Resolución: Por fórmula tenemos
x1 =
3 5
2

x =
3 5
2

 x2=
3 5
2


x3 =
3 5
2

x4 =
3 5
2



38. 97
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES: ax4 + bx2 + c =0
1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:
x1 =  ; x2 = –  ; x3 =  ; x4 = – 
2. Suma de productos binarios
x1x2 + … + x3x4 =
b
a
     
2 2 b
( )
a
3. Producto de raíces:
x1x2x3x4 =
c
a
 2 2 c
a
  
RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA
4 2
suma de Pr oducto
x x 0
productos binarios de raíces
   
  
   
   
Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: -3 y 2i
Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas:
Sean: x1 =–3  x2 = 3  x3 = 2i  x4 = –2i
 x4 + (-9 – 4i2)x2 + (–9)(–4i2) = 0
 x4 + (–9 + 4)x2 + (9)(4) = 0  x4 – 5x2 – 36 = 0
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas que se reducen a la forma: 0
)
x
(
Q
)
x
(
P
 ;  Q(x)  0
Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la ecuación y
finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidos
Ejemplo: Resolver:
6
x
5
2
x
x
2
x
x
3
x
2






Restringiendo: x – 3  0  x – 2  0
x  3  x  2 …….. ()
Efectuando operaciones:
  

   
2
2 2
2x 4 x 3x x
x 5x 6 x 5x 6
 5x – 4 – x2 = x  0 = x2 – 4x + 4
0 = (x – 2)2 x = 2 ………. ( )

De    : Vemos que x = 2 no satisface la ecuación:  C.S. = 

39. 98
INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
DESIGUALDADES:
DEFINICIÓN: Son aquellas relaciones de orden en los números reales denotadas mediante los símbolos “>”; “<” que
se leen “mayor que” y “menor que” respectivamente.
Ejem:
5 > 2  cinco es mayor que dos
3 < 6  tres es menor que seis
* La relación “mayor o igual que” () se define como:
a  b  a > b  a = b
* La relación “menor o igual que”() se define como:
a  b  a < b  a = b
Ejem:
2  1  2 > 1  2 = 1 *
3  3  3 < 3  3 = 3 *
NOTA: Es suficiente que se verifique una de las relaciones de orden.
Definiciones
1. “a” es positivo  a > 0
2. “a” es negativo  a < 0
3. “a” es no negativo  a  0
4. “a” es no positivo  a  0
AXIOMAS DE ORDEN:
I. Ley de Tricotomía
Si: a  b  R solamente una de las siguientes relaciones de orden es válida:
a > b  a < b  a = b
II. Ley Aditiva
Si: a < b  a + c < b + c;  c  R
III. Ley Multiplicativa
Si: a < b  ac < bc;  c  R+
IV. Ley Transitiva
Si: a < b  b < c  a < c
(*) R+ = Reales positivos R– = Reales negativos

40. 99
PROPIEDADES:
1. Si: 2. Si:
a < b + a < b –
c < d c > d
a + c < b + d a – c < b – d
3. Si: 4. Si:
a < b a > b
c < d c < d
a
c
>
b
d
 a, b, c, d,  R+
5. Si: a < b  c  R–
 ac > bc (Sentido cambia)
6. Si: a > 0 
1
a
> 0
Si: a < 0 
1
a
< 0
7. Si: a < b 
1
a
>
1
b
(Sentido cambia)
Solamente si a  b tienen el mismo signo
TEOREMAS:
I. a  R: a2  0
Si: a  0  a2 > 0
II. a  R: 2
a = |a|
III. Solamente para números positivos se cumple:
M.A.  M.G.  M.H.
Caso Particular:
 a,b  R+:
2
a b

 ab  2
1 1
a b

 a,b,c  R+:
3
a b c
 

3
abc  3
1 1 1
a b c
 
a.c < b.d  a, b, c, d,  R
+

41. 100
En general:
n
a
...
a
a n
2
1 


 n
n
3
2
1 a
...
a
a
a 
n
2
1 a
1
...
a
1
a
1
n



;  ai  R+ ; i = n
,
1
Corolario: (a1 + a2 + … an)











n
2
1 a
1
...
a
1
a
1
 n2
IV. Si: a > 0  a +
a
1
 2 ; Si: a < 0  a +
a
1
 – 2
V. Si:
a < x < b 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a x b ; a,b R
a x b ; a,b R (sentido cambia)
0 x max a ,b ; a R b R


 
    


   


      


LA RECTA REAL:
Una de las propiedades más importantes de los números reales es poderlos representar por puntos en una línea
recta. Resulta así una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales es decir cada
punto representa un único número real y cada número real viene representado por un punto único, llamaremos a
esta recta La Recta Real
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 ...
 -e - 2 1/2 2 e = 2,71

Los números a la derecha del 0, son llamados positivos y los números a la izquierda del 0, son llamados negativos,
el 0 no es ni negativo ni positivo.
INTERVALOS
Un intervalo es un subconjunto de los números reales
Clases:
I. Intervalo abierto. Es aquel conjunto de valores comprendidos entre dos extremos sin tomar los extremos
Notación: ]a; b[ = a, b ={x e R / a < x < b}
gráfica:
a
x
b

42. 101
a
a
a
a
II. Intervalo cerrado. Es aquel conjunto de valores comprendidos entre dos extremos incluyendo los extremos.
Notación: [a,b] = {x  R / a  x  b)
gráfica:
a
x
b
III. Intervalo semiabierto (semicerrado). Es aquel conjunto de valores comprendidos entre dos extremos donde
uno de los extremos no está incluido.
Notación: ]a; b] = a; b] = {x e R / a < x  b}
gráfica:
a
x
b
[a; b[ = [a; b = {x  R / a  x < b}
gráfica:
a
x
b
IV. Intervalos infinitos
Si: ]a; [ = a;  = {x  R / x > a},
gráfica:
Si: [a; [ = {x  R / x  a},
gráfica:
Si: ]- ; a[ = - ; a = {x  R / x < a},
gráfica:
Si: ]- ; a] = - ; a] = {x  R / x  a},
gráfica:
* En el caso del conjunto completo de los números reales se tiene: R = ]- , [ = - , 

43. 102
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son aquellas que presentan la siguiente forma: ax + b 
 0; (a  0)
Para obtener el intervalo al que pertenece la incógnita de tal manera que verifique la desigualdad propuesta será
suficiente despejar la incógnita aplicando los teoremas de desigualdades.
INECUACIONES CUADRÁTICA:
Forma general: P(x) = ax2 + bx + c 
 0; a  0
Donde: {a; b; c}  IR
Del rectángulo se obtiene: ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c  0 ; ax2 + bx + c  0
La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante:  = b2 – 4ac
 Primer Caso:
Si:  > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable en el campo real, para resolver utilizaremos el
método de los puntos críticos.
a(x – x1) (x – x2) 
 0
Procedimiento:
1. Se factoriza el polinomio.
2. Hallar los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente.
3. Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los
puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente de derecha izquierda; comenzando por el signo (+).
4. Si tenemos: P(x) = ax2 + bx + c < 0
P(x) =ax2 + bx + c  0
El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (–)
En forma análoga: P(x) = ax2 + bx + c > 0
P(x) = ax2 + bx + c  0
El conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+).
 Segundo Caso:
Si:  = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma:
(mx + n)2 
 0

44. 103
Ejemplo:
Resolver:x2 – 10x + 25 
 0
Resolución: Calculando la discriminante:  = (– 10)2 – 4(1) (25) = 0
(x – 5)2 
 0 2
trinomio cuadrado
perfecto
x 10x 25 0


  
Resolviendo cada una de las desigualdades:
a. (x – 5)2  0 se verifica:  x  IR
 C.S. = IR
b. (x – 5)2 > 0 se verifica:  x  IR; a excepción de: x – 5 = 0  x = 5
 C.S. = IR – {5}
c. (x – 5)2 < 0 se observa que no se verifica para ningún valor de x  IR.
 C.S. = 
d. (x – 5)2  0 se observa que la inecuación sólo se cumple si: x – 5 = 0
 C.S. = {5}
 Tercer Caso:
Si:  < 0; (a > 0), el polinomio: ax2+ bx + c, se transforma en un cuadrado perfecto más un cierto número real
positivo, de la forma: (mx + n)2 + k 
 0; k > 0
Ejemplo:
Resolver:x2 + 2x + 6 
 0
Resolución: Calculando la discriminante:  = 22 – 4(6) (1)   = – 20 < 0
Luego: 2
trinomio cuadrado
perfecto
x 2x 1 5 0


  
Resolviendo cada una de las desigualdades:
a. 2
(x 1) 5 0


   se verifica:  x  IR  C.S.: IR = –; + 
b. 2
(x 1) 5 0


   se verifica:  x  IR  C.S.: IR = –; + 
c. 2
(x 1) 5 0


   nunca se verifica:  C.S. = 
d. 2
(x 1) 5 0


   nunca se verifica:  C.S. = 

45. 104
TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO:
Si el polinomio: P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c}  IR ;
Tiene discriminante ( = b2 – 4ac < 0) negativo y (a > 0),
Entonces: ax2 + bx + c > 0;  x  IR
Ejemplo:
Hallar el menor de los números "M" que cumple la siguiente condición: x  IR: 4x – x2 – 12  M
Resolución:
Tenemos: 4x – x2 – 12  M
Multiplicando a todos los términos de la desigualdad por (–1) se tiene:
x2 – 4x + 12  – M
x2 – 4x + (M + 12)  0
Como se verifica  x  IR y el primer coeficiente es positivo (1 > 0), entonces el discriminante debe ser menor o
igual a cero.
Luego tenemos:  = 16 – 4(M + 12)  0
16 – 4M – 48  0
–32  4M  4M  – 32
M  – 8
Graficando:
M
- 8
 
Del gráfico, el menor valor de M es – 8.
COROLARIO: (Teorema del trinomio negativo)
Si el polinomio:
P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c}  IR;
Tiene discriminante:  < 0; (a < 0),
Entonces: ax2 + bx + c < 0 ;  x  IR.
OBSERVACIÓN: En estos teoremas los trinomios siempre son positivos y sólo positivos ( o sólo negativos) y no
depende de los valores que tome x, los cuales pueden ser cualquiera (positivos o negativos).

46. 105
INECUACIONES RACIONALES E IRRACIONALES
INECUACIONES:
Son aquellas desigualdades relativas en las que hay una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas, los
valores de las incógnitas que verifican la desigualdad forman el conjunto solución (C.S.) y se les representa
mediante intervalos
Ejem.:
x + 2 
2
x
;
2
3x x 1
0
x 1
 


; x 3 2
 
INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES:
Son aquellas que se reducen a la forma:
P(x)
P(x) 0 ; 0
Q(x)
 
 
donde: P(x)  Q(x) son polinomios
Ejem:
3x 2
x 3
2

  ; x2 – x +1 > 2(x – 1) 2 ;
x 1 x 3
x 1 x 1
 

 
Para resolver las inecuaciones polinómicas y racionales utilizaremos el método de la Curva de signos o de los
Puntos críticos.
OBS: Los puntos críticos vienen a ser las raíces de polinomio
Procedimiento
1. Se despeja la expresión a un solo miembro luego se factoriza procurando obtener factores lineales o
cuadráticos con coeficientes principales positivos.
2. Se iguala cada factor a cero para hallar los puntos críticos (P.C) éstos se disponen en la recta real y se
analizan (abiertos o cerrados).
3. Se traza una línea de la parte superior derecha que va ir atravezando cada punto crítico, si este es de
multiplicidad impar; si este corresponde a un punto crítico de multiplicidad par, la línea rebota.
4. Se colocan los signos “(+)” en las zonas de la parte superior y “(–)“ en la parte inferior.
5. Si la expresión es mayor que cero se tomarán las zonas positivas y si es menor que cero se tomarán las
zonas negativas.
OBS: Se iguala a cero los factores del denominador y después se restringen estos puntos críticos es decir van a ir
abiertos.
NOTA: Los puntos críticos van abiertos si:
P(x) < 0; P(x) > 0
en caso contrario van cerrados:
P(x)  0 ; P(x)  0

47. 106
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas inecuaciones que presentan radicales, si los radicales son de índice IMPAR no existe restricción
respecto a sus radicandos los que pueden ser positivos o negativos o cero, en el caso de que los radicales sean de
índice PAR, se deben restringir los radicandos, estos deben ser mayores o iguales a cero en forma general, al
resolver esta restricción el C.S. constituye el universo "U", luego se resuelve la inecuación mediante operaciones
algebraicas el conjunto solución hallado se intersecta con el universo para hallar el conjunto solución final.
Ejemplo:
x 2 3
 
;
5
3
x 3 . x 7 0
  
;
2
x x 1
0
x 2 x
 

 
TEOREMAS:
I. )
x
(
P  Q(x)
 P(x)  0  {[Q(x)  0  P(x)  Q2(x)]  Q(x) < 0}
II. )
x
(
P  Q(x)
 P(x)  0  Q(x)  0  P(x)  Q2(x)
III. )
x
(
P  )
x
(
Q
 P(x)  0  Q(x)  0  P(x)  Q(x)
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN:
El valor absoluto de un número real "x" denotado por  x  se define como:
; 0
0; 0
; 0
x si x
x si x
x si x



 

 

de donde se entiende que el valor absoluto de un número real es no negativo
TEOREMAS:
1. x   0 ;  x  R 2. – x  = x ;  x  R
3. xy  = x . y ;  x; y  R 4.
x x
y y
 ;  x; y  R  y  0
5. x2  =  x2  = x2 ;  x  R 6. - x  x  x ;  x  R

48. 107
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
TEOREMAS:
Si:  x  = b  b  0  {x = b  x = - b}
Si:  x  =  y   x = y  x = – y
Ejemplo: Resolver:  x – 2  = 3x – 9
Resolución:
 3x – 9  0  {x – 2=3x – 9  x – 2 = –(3x – 9)}
3x  9 7 = 2x x – 2 = –3x + 9
x  3 7
2
= x 4x = 11
x = 11
4
Observar que: x = 7
2
si verifica : x  3 y x=
4
11 no verifica
C.S. { 7
2
}
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
TEOREMAS:
I. Si: x  a  {a  0  – a  x  a}
II. Si: x  a  {x  a  x  a}
III. Si: x  y  x2  y2
Ejemplo:
Resolver: x – 12 – 5 x – 1 – 14  0
Resolución:
Factorizando por aspa simple:
(x – 1 + 2) (x – 1 – 7)  0
Pero:
x – 1  0   x – 1 + 2  2  x- 1 + 2
es positivo  x  R  se anula
x – 1 – 7  0
x – 1  7 por teorema
– 7  x – 1  7 sumando 1
– 6  x  8  C.S. = {– 6; 8}

49. 108
RELACIONES
PARES ORDENADOS
Los PARES ORDENADOS son entes matemáticos que consisten de dos elementos a y b , a los cuales se les
denomina PRIMERA COMPONENTE y SEGUNDA COMPONENTE respectivamente , y se les denota por (a, b)
1.1 IGUALDAD DE PARES ORDENADOS. Dados dos pares ordenados (a, b) y (c, d) , entonces (a, b) = (c, d) si y
sólo a = c y b = d
EJEMPLO.
a) (2, 3) y (3, 2) no son pares ordenados iguales.
b) Si (2x + y, 1) = (3, 2x  y) entonces se cumple el sistema de ecuaciones simultáneas:
2 3
1, 1
1 2
x y
x y
x y
 


  

  

2. PRODUCTO CARTESIANO: A x B
Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define el PRODUCTO CARTESIANO A x B como el conjunto de pares
ordenados: A x B = { (a, b) /a  A y b  B)
tales que su 1ra, componente está en A y su 2da. componente está en B
EJEMPLO Sea A = { 1, 2, 3 } , B = { a, b } entonces
A x B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b). (3, a), (3, b)}
que pudieron haberse distribuido en un DIAGRAMA DE ARBOL:
A B A  B
a  (1, a)
1
b  (1, b)
a  (2, a)
2
b  (2, b)
a  (3, a)
3
b  (3, b)
NOTA: En general, si los conjuntos A y B son finitos con m y n elementos respectivamente, entonces el
Producto Cartesiano A x B tiene m x n elementos. De aquí su nombre y notación.
En general, el producto cartesiano no es conmutativo; es decir:
A x B  B x A, a menos que A = B
TOTAL:
3 x 2 = 6 elementos en A x B

50. 109
3. RELACIONES:
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, a un conjunto R de pares ordenados se le denomina RELACION DE A
EN B si en que R es un subconjunto cualquiera de A x B. También se le llama RELACION BINARIA.
Puesto que, en general, si A x B tiene n elementos entonces A x B tiene 2n subconjuntos, entonces existen 2n
relaciones de A en B.
Cuando un par ordenado (a, b) pertenece a una relación R también se denota: a R b . Es decir, a R b si y sólo
si (a, b)  R y en tal caso se lee: “a está relacionado con b según la relación R” Y si (a, b)  R entonces se
denota a R b.
DEFINICION. Se dice que R es una RELACION EN UN CONJUNTO A si R  AxA
EJEMPLO. Si R es una Relación en A = {2, 3, 4} tal que
R = {(x, y)/ y + 1 < x2} entonces
R = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}, pues para (x, y)  A x A , con x  A y y  A:
x = 2 : y + 1  22  y  {2, 3}  (2, 2), (2, 3)  R
x = 3 : y + 1  32  y  {2, 3, 4}  (3, 2), (3, 3), (3, 4)  R
x = 4 : y + 1  42  y  {2, 3, 4}  (4, 2), (4, 3), (4, 4)  R
4. TIPOS DE RELACIONES
4.1 RELACIONES REFLEXIVAS
Una relación R es una RELACION REFLEXIVA en A, [R  A x A] si a  A: (a, a)  R.
Es decir, R es RELFLEXIVA en A si todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante la
relación R.
EJEMPLO. Sean A = {1, 2, 3, 4} , y las relaciones en A:
R1 = {(1, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (4, 1), (2, 2), (1, 1)}
R3 = { (1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}
entonces R1 es reflexiva pues (a, a)  R1,  a  A , además de otros puntos, en cambio en R2 falta (3, 3)
para serlo.
4.2 RELACIONES SIMETRICAS
Una relación R en un conjunto A es una RELACION SIMETRICA en A si se cumple la implicación
siguiente:
(a, b)  R  (b, a)  R
Es decir, si (a, b) está en R entonces el elemento (b, a) también debe estar en R para que R sea
SIMETRICA
EJEMPLO . Dados A = { 1, 2, 3, 4} , y las relaciones en A:
R1 = { (1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 4)}
R2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
R3 = { (1, 1), (3, 3), (4, 1), (2, 3), (1, 4)}
entonces R1 y R2 son SIMETRICAS , pero R no lo es, pues le falta el elemento (3, 2) para serlo.
R es una Relación de A en B si y sólo si R  A x B

51. 110
4.3 RELACIONES TRANSITIVAS
Una relación R en un conjunto A es TRANSITIVA si se cumple la implicación:
[(a, b)  R  (b, c)  R]  (a, c)  R
EJEMPLO: Dado A = { 1, 2, 3, 4}, la relación en A:
R= {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1), (1, 1)}
NO ES TRANSITIVA, pues si bien se cumplen las implicaciones:
(1, 2)  R1  (2, 3)  R1  (1, 3)  R1
y (1, 3)  R1  (3, 1)  R1  (1, 1)  R1
en cambio falla en
(2, 3)  R1  (3, 1)  R1  (2, 1)  R1
pues falta (2, 1) en R1.
R2 = { (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1, 1)} si es transitiva
R3 = { (1, 4), (4, 1), (2, 4), (3, 4), (4, 3)} no es transitiva,
pues le faltan 7 elementos para serlo. [¿ Cuáles son ?]
RPTA: (1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3) y (4, 4)
4.4 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Una relación R en A es una RELACION DE EQUIVALENCIA si satisface (simultáneamente) las tres
condiciones:
a) REFLEXIVA :  a A, (a, a)  R
b) SIMETRICA : Si (a, b)  R entonces (b, a)  R
c) TRANSITIVA: Si (a, b)  R y (b, c)  R entonces (a, c)  R
EJEMPLOS.
1) Sea A = {1, 2, 3, 4} entonces la relación
R = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
Es una relación de Equivalencia en A
5. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION
Se llama DOMINIO de una relación R al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R
Se llama RANGO de R al conjunto de todas las segundas componentes:
DOM (R) = { x /(x, y)  R}
RANG(R) = { y /(x, y)  R}
EJEMPLO. Dada la relación en A = {1, 2, 3, 4, 5}:
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 3)}
Entonces:
DOM (R) = {1, 2, 3, 4, 5}
DOM (R) = {1, 2, 3}

52. 111
FUNCIONES I
Una función "F" es un conjunto de pares ordenados, donde no existen dos pares ordenados diferentes con la misma
primera componente. Es decir si (a; b)  (a; c)  F  b = c
Ejemplo:
Si: F = {(3; 4); (6; 7); (8; 1)}
G = {(5; 2); (3; 6); (7; 5); (5; 2)}
H = {(3; 1); (2; 1); (3; 4); (1; 6)}
Analizando F  G son funciones pero "H" no lo es ya que (3; 1)  (3; 4)  "H" y 1  4 por lo tanto se dice que "H" es
una Relación (*) Toda función es una "Relación" pero no toda "Relación es una función.
OBS: Una relación es un subconjunto de pares ordenados de un determinado "producto cartesiano".
Dominio: Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función.
Notación: Dom(F) ; DF
Rango: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función.
Notación: Ran(F) ; RF
Definición: Dados dos conjuntos A  B diferentes del vacío; se dice que la función "F" es una Aplicación.
Si DF = A  RF  B, esto se denota como F: A  B, se lee "Función de A en B"
Es función pero no Es una aplicación
Aplicación DF  A DF = A
Definición:
Se dice que "F" es una función "Real de variable real"
Si : DF  R  RF  R
Regla de correspondencia
Es la expresión matemática que vincula cada elemento del dominio con un único elemento del rango.

53. 112
Mediante: ( )
y F x

donde:
x = Variable independiente (dominio) (Pre – imagen)
y = Variable dependiente (Rango) (Imagen)
también: F = {(x; y)  R2 / y = F(x) ;  x  DF}
OBS: Una función está definida si se conoce su dominio y regla de correspondencia.
Gráfica de una función real de variable real
Es la representación geométrica de los pares ordenados de la función en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Graficar: F(x) = x + 2 ;  x  R
Sabemos que: y = x + 2
Tabulando:
Interpretación geométrica: La gráfica de una función es interceptada a lo más en un solo punto de cualquier recta
perpendicular al eje del dominio.
Y
X
F
"F" es función
Y
X
G
"G" no es función
x y
- 3 -1
-2 0
0 2
1 3
2 4
 
-3
X
Y
-1
F

54. 113
FUNCIONES ESPECIALES
1. FUNCIÓN IDENTIDAD
Def: y = F(x)  x
DF = R  RF = R
Y
X
45º
2. FUNCIÓN CONSTANTE
Def: y = F(x) = C ;  C  R
DF = R  RF = {C}
Y
X
C > 0
C
C
C < 0
3. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Def: y = F(x)  x
DF = R  RF = R+
0
Y
X
4. FUNCIÓN POTENCIAL
Def: y = F(x)  xn ;  n > 1 ; n  N
I) n = par
Parábola
x2
x4
DF =
+
R DF = R0
II) n = impar
x3
DF = R F
-1
1
-1
1
x5
R = R
5. FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO
Def: y = F(x) =
x
1
DF = R – {0}  RF = R – {0}
Y
X
6. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Def: y = F(x) = x
DF = R+
0  RF = R+
0
Y
X
7. FUNCIÓN SIGNO
Def: y = Sgn(x) =





 

1 ; x 0
0 ; x 0
1 ; x 0
DF = R  RF = {–1; 0; 1}
Y
X
1
- 1

55. 114
8. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO
Def: y =
1; 1 0
0 ; 0 1
1; 1 2
2 ; 2 3
x
x
x x
x
   

  


  

  



DF = R  RF = n ;  n  Z
Y
X
0 1 2 3
-1
FUNCIONES POLINÓMICAS
1. FUNCIÓN LINEAL
Def: y = F(x)  ax + b ;  a  0
DF = R  RF = R
b
F
-b
a
Donde: a = pendiente,
b = intersecto con el eje y.
2. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Def: y = F(x)  ax2 + bx + c ;  a  0
DF = R
I) Si: a > 0 II) Si: a < 0
Y
X
Y
X
NATURALEZA DE LAS RAÍCES
Y
X
r1 r2
a > 0 > 0 a > 0 = 0
Y
X
r1 r2
=
Y
X
a > 0 < 0
Análisis de: F(x)  ax2 + bx + c
I. Si: a > 0 sea el vértice:V = (h, K)

b
h
2a
   K F(h)
4a

  
además: RF = [ k;  [
* El valor mínimo de "F" es "k" cuando x=h
Y
C
X
h
F(h) = k
II. Si: a < 0 V = (h; k)
b
h
2a

  k = F(h)
además: RF = ] - ; k]
(*) el valor máximo de "F" es "k" cuando x = h
Y
X
C
r
F(h) = k
1 r2
h

56. 115
FUNCIONES II
1. IGUALDAD DE FUNCIONES: Dos funciones F y G son iguales si cumplen las condiciones:
I. DomF = DomG
II. F(x) = G(x) ,  x  DomF = DomG
2. ÁLGEBRA DE FUNCIONES: Si F y G son dos funciones que cumplen la condición:
DomF  DomG  , se definen operaciones entre ellas como sigue:
2.1 Función Suma: (F+G)(x) = F(x) +G(x);
Dom(F+ G) = DomF  DomG
2.2 Función Diferencia: (F – G)(x) = F(x) – G(x);
Dom(F – G) = DomF  DomG
2.3 Función Producto: (FG)(x) = F(x) . G(x) ;
Dom(FG) = DomF  DomG
2.4 Función Cociente: (F/G)(x) = F(x) / G(x)
Dom (F/G) = Dom F  DomG – {x / G(x) = 0}
2.5 Casos Particulares
2.5.1 (cF) = cF(x); c  R  Dom(cF) = DomF
2.5.2 (1/G)(x) = (G–1)(x) = [G(x)]–1
DomG–1 = DomG – { x / G(x) = 0}
3. FUNCIONES NOTABLES
3.1 Función Par: Una función F es par si cumple las condiciones:
I. Si x  DomF  - x  DomF (Dominio simétrico)
II. F(-x) = F(x);  x  DomF
NOTA: Las gráficas de las funciones pares son simétricas respecto al eje Y
3.2 Función Impar: Una función F es impar si cumple dos condiciones:
I. Si x  DomF  - x DomF (Dominio simétrico)
II. F(-x) = - F(x);  x  DomF
NOTA: La gráfica de estas funciones son simétricas respecto al origen de coordenadas
3.3 Función Periódica: Una función F es periódica, con período T (T > 0) si cumple las ondiciones:

57. 116
I.  x  DomF, se tiene que (x + T)  DomF
II. F(x + T) = F(x);  x  DomF
NOTA: Si T es período, también kT/k  Z – {0} es período
3.4 Función Creciente: Una función F es creciente sobre un intervalo I  DomF, si y solo
si:  x1, x2  I; x1 < x2  F(x1)  F(x2)
NOTA: Si ocurre la desigualdad: F(x1) > F(x2) se dice que la función F es estrictamente creciente.
3.5 Función Decreciente: Una función F es decreciente sobre un intervalo I  DomF, si
y solo si:  x1, x2  I; x1 < x2  F(x1)  F(x2)
NOTA: Si ocurre la desigualdad: F(x1) > F(x2) se dice que la función F es estrictamente decreciente.
3.6 Función Monótoma: Una función F es monótoma sobre un intervalo I DomF,cuando
es creciente o estrictamente creciente o decreciente o estrictamente decreciente.
3.7 Funciones Acotadas: Una función F está acotada sobre un conjunto A  DomF si y
solo si el conjunto de imágenes F(A) = {F(x) / x  A  DomF} está acotado.
En forma equivalente: F(x)  M,  x  A, siendo M  0 la cota
NOTAS:
A. Si F(x)  M, x  A  DomF, entonces F está acotado superiormente por M sobre el
conjunto A.
B. Si F(x)  m,  x  A  DomF , entonces F está acotado inferiormente por m sobre el
conjunto A.
4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las funciones F y G definimos la función compuesta de F con G (en ese orden y denotada por (F o G)
aquella cuyo dominio es:
Dom(F o G) = {x/x  Dom G  G(x)  DomF} siendo su regla de correspondencia:
(F o G) (x) = F(G(x))
Propiedades:
A. Otra forma sencilla de presentar el dominio de una composición es:
Dom (F o G) = DomG  {x/G(x)  DomF}
B.  F o G  RanG  DomF  
C. En general F o G  G o F
5. FUNCIONES: INYECTIVA, SURYECTIVA Y BIYECTIVA
5.1 Función Inyectiva: La función F es inyectiva (univalente o uno a uno cuando para
cada imagen "y" le corresponde una y sólo una pre– imagen "x"
Simbólicamente:  x1; x2  DomF: F(x1) = F(x2)  x1 = x2
NOTA:

58. 117
* Otra definición equivalente es:  x1; x2 DomF; x1  x2  F(x1)  F(x2)
** Gráficamente se reconoce una función inyectiva porque cualquier recta horizontal la
intercepta a lo más en un punto.
5.2. Función Suryectiva: Sea la función F: A  B se nombra suryectiva si todo elemento
y  B tiene al menos una pre – imagen x  A; equivalentemente F es suryectiva si:
RanF = B
NOTAS:
* La función suryectiva también se nombra sobreyectiva o función sobre
* En aquellas funciones donde no se indica el conjunto de llegada, se les considera
suryectiva
5.3 Función Biyectiva:
Una función F: A  B se nombra biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva
6. FUNCIÓN INVERSA:
Sea la función inyectiva: F = {(x; F(x)) / x  DomF}
entonces existe la función inversa de F, denotada por F* cuya regla será:
F* = {(F(x); x) / x  DomF}
esto es F* es el conjunto de pares ordenados obtenidos al intercambiar el primer y el segundo elemento en
cada par ordenado de F
Propiedades:
A. La inversa de F también se indica por F–1 B. Dom F* = RanF
C. RanF* = DomF D. F* o F = I, sobre DomF
E. F o F* = I, sobre DomF* F. ( F*)* = F
G. (F o G)* = G* 0 F*
Gráfica de la función inversa
La gráfica de la función inversa F* se obtiene reflejando la gráfica de "F" sobre la gráfica de
la función identidad (y = x). Observe:
F
F*
y = x
F*
F
x
y

59. 118
b
a
b
a
Log

LOGARITMOS
Definición de Logaritmo
Sean los números reales “a” y “b”, si a > 0, a  1 y b > 0, el número real x se denomina logaritmo del número b en
base a y se denota por a
Log b si y sólo si x
a b
 .
De la definición se tiene:
Donde:
a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
x: logaritmo de b en base a
Identidad Fundamental del Logaritmo
Si a > 0 , a  1  b > 0 se cumple:
Teoremas sobre Logaritmos
Sea la base real a, tal que a > 0  a  1
I. Sean A y B reales, tal que: AB > 0
II. Sean A y B reales, tal que:
B
A
> 0
III. Sean A real, tal que n  N  0
An 
IV. Sea A real, tal que A > 0, n  N, n  2
A
log
n
1
A
log a
n
a 
B
log
A
log
A B
log a
a
a 

x = b
a
b
log x
a 

NOTA:
0
1
Loga  , 1
a
Loga  ;  a  R+ ; a  1
B
log
A
log
B
A
log a
a
a 









A
log
n
A
log a
n
a 

60. 119
V. Sea A real, tal que A > 0, m  R  n  R
Colorario:
Si se eleva a un mismo exponente “m” (ó se extrae raíz n–ésima) la base y número del logaritmo, el valor del
logaritmo no se altera.
VI. Si A > 0  B > 0
VII. Cambio de base: Dado b
loga  R
Sea c > 0  c  1 
a
log
b
log
b
log
c
c
a 
Propiedad
Regla de la Cadena
Si: a > 0, a  1, b > 0, b 1, c> 0, c  1  d > 0
se cumple:
Sistemas de Logaritmos
Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos en consecuencia existen infinitos sistemas de
logaritmos para una base positiva y diferente de 1. Los sistemas más importantes son:
Sistema decimal o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10.
Notación:
A
log
n
m
A
log a
m
n
a
 ; n  0
n
n a
m
m
a
a A
log
A
log
A
log 
 ; A > 0
B
A
B
log
A
log a
a 


 
b
log
1
b
log
a
log
a
1
a
b 
  ; a  1
d
log
d
log
.
c
log
.
b
log a
c
b
a 
N
Log
N
Log10


61. 120
# de cifras N = característica + 1
N
Ln
N
loge 
x
log
x
colog b
b 
 ; b > 0, b  1, x > 0
antilogb x = bx b > 0, b  1 ; x  R
Se lee: logaritmo de “N”
En general:
decimal
,
entera
Parte
Parte
N
Log 
 
(característica) (mantisa)
Teorema: Sea N > 1; el número de cifras en su parte entera viene dado por:
Sistema Hiperbólico o Neperiano
Es aquel sistema cuya base es el número trascendente de Euler:
0
1 1 1 1 1
... 2,7182818
! 0! 1! 2! 3!
k
e
k


      

Notación:
Resultados Importantes
1. Ln 1 = 0 2. Ln e = 1 3. Ln n
e = n; n  R 4. Ln e
e = e
5. x
eLnx  ; x > 0 6. Ln x =
log x
log e
; x > 0 7. log x =
Ln x
Ln 10
; x > 0
Definiciones
1. Cologaritmo
Se define como el logaritmo en base “b” del inverso multiplicativo de un número “x”.
Así:









x
1
log
x
log
C o b
b
;
Corolario:
2. Antilogaritmo
Se define como el operador inverso del logaritmo y se denomina también exponencial.
Así:
Propiedades: Sea b > 0, b  1
a)
b b
antilog (log x) x; x
 

 b) b b
log (antilog x) x; x
  
b) b b b
antilog x . antilog y antilog (x y)
 
x > 0
b > 0
b  1

62. 121
FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Estas funciones se denominan trascendentes además
se caracterizan por ser una inversa de la otra.
Función Exponencial de Base a
Sea a un número real positivo y diferente de 1. La
función f: R  R definida por:
f(x) = x
a
Se denomina función exponencial de base a. El dominio
de esta función es f
D  R y su rango es f
R = 0, +
Respecto a la gráfica consideramos dos casos:
 Si 0 <a < 1, la gráfica se muestra en la figura 1
 Si a > 1, la gráfica se muestra en la figura 2
Propiedades de la Función Exponencial
1. Si 0 < a < 1, la función f(x) = x
a es decreciente en
todo su dominio.
2. Si a > 1, la función f(x) = x
a es creciente en todo
su dominio.
3. La gráfica de la función exponencial de base a
pasa por el punto (0, 1)
4. Si 0 < a < 1, entonces:
lim x
a   ; lim 0
x
a 
x   x  
5. Si a > 1, entonces
lim 0
x
a  ; lim x
a  
x   x   
6. .
x z x z
a a a


7.
x
x z
z
a
a
a

 ; a  0
Función Inversa de Exponencial o Función
Logarítmica
De las propiedades 1 y 2 se deduce que la función
exponencial de base a dada por f(x) = x
a donde a >
0 y a  1, es inyectiva en su dominio (R) y por tanto
admite función inversa que es llamada función
logarítmica de base a y está definida por:
g: 0, +   R tal que:
g(x) = x
loga (logaritmo de x en base a)
Dg = 0, +  y Rg = R
En la figura 3 se muestra la gráfica de
g(x) = x
loga , si 0 < a < 1 y en la figura 4 se muestra
la gráfica de g(x) = x
loga , si a > 1

63. 122
y
a x
  y = x
loga
Por definición de función inversa, tenemos:
1. f(g(x)) = x,  x  0, + ó
loga x
a = x;  x  0, + 
2. g(f(x)) = x,  x  R ó
log ( )
x
a a = x,  x  R
En resumen:
Por ejemplo: 4
3
3 81 4 log (81)
  
Propiedades de la Función Logarítmica de Base a
1. Si 0 < a < 1, la función g(x) = x
loga es
decreciente en su dominio (R+)
2. Si a > 1, la función g(x) = x
loga es creciente en
su dominio (R+)
3. La gráfica de toda función logarítmica pasa por el
punto (1; 0)
4. Si 0 < a < 1, entonces:
lim log x
a   y lim log x
a  
0
x 
 x  
5. Si a > 1, entonces:
lim log x
a   y lim log x
a  
0
x 
 


x
Logaritmos Naturales y Decimales
Como e es número positivo y diferente de 1, las
funciones definidas por f(x) = x
e (función exponencial
de base e)
g(x) = loge x (función de base e)
Son tales que:
1. ,
f f
D R R
  0, + 
g
D  0, +  g
R = R
2. Una es inversa de la otra
3. Sus gráficas muestran en la figura
4. 2 < e < 3
Observaciones:
I. A loge x se denomina logaritmo natural o
neperiano de x y se denota como ln x
II. A 10
log x se denomina logaritmo decimal o
vulgar de x y se denota con log x
III. Por la fórmula de cambio de base, la relación entre
ln x y log x, está dada por:
ln
log
ln 10
x
x  ó ln x =
log
log
x
e
De donde:
log x  0,4343lnx ó ln x  2,3026 log x
IV. Aunque estas funciones son casos particulares de
las funciones exponenciales y logarítmicas es
necesario recordar lo siguiente:
1. ln ( )
x
e = x
2. lnx
e x

Ejemplo:
Grafique las siguientes relaciones:
a) 2
1
1
( , ) / 2 , , 3
2
x
x
R x y R y y x y
 
 
 
     
 
 
 
 
 
b)  
2
2 2
( , ) / log , 0, 2 3 6 0
R x y R y x y x y
      
Resolución:
a) La gráfica de la relación R1, es la parte sombreada
de la figura I.
b) La gráfica de la relación R2, es la parte sombreada
de la figura II.

64. 123
Ecuaciones e Inecuaciones Logarítmicas
Sean f(x) y g(x) expresiones matemáticas de valores
reales.
1. Sea a > 0  a  1
La ecuación:
log ( ) log ( )
a a
f x g x
 es equivalente al sistema
mixto.
1
2
3
( ) 0 ................
( ) 0 ................
( ) ( ) ................
f x sp
g x sp
f x g x sp





 

C.S. = 1 2 3
sp sp sp
 
2. La ecuación ( ) ( )
log ( ) log ( )
a x a x
f x g x
 es
equivalente al sistema mixto.
1
2
3
4
( ) 0 ...............
( ) 0 ...............
( ) 0 ( ) 1...
( ) ( ) ................
f x sp
g x sp
a x a x sp
f x g x sp






  

 

C.S. = 1 2 3 4
sp sp sp sp
  
NOTA:
Las ecuaciones 1 y 2 se pueden trabajar sin
resolver las inecuaciones, debemos de resolver
las igualdades correspondientes y reemplazar
cada valor hallado de la incógnita en la ecuación
original. Aquellos valores que verifiquen la
ecuación original formarán parte del conjunto
solución.
3. Sea a > 0  a  1, la inecuación:
log ( ) log ( )
a a
f x g x

Si: a > 1
1
2
3
( ) 0 ................
( ) 0 ................
( ) ( ) ............
f x sp
g x sp
f x g x sp





 

C.S. = 1 2 3
sp sp sp
 
Si: 0 < a < 1
1
2
3
( ) 0 ................
( ) 0 ................
( ) ( ) ............
f x sp
g x sp
f x g x sp





 

C.S. = 1 2 3
sp sp sp
 
4. La inecuación ( )
log ( )
a x f x > ( )
log ( )
a x g x es
equivalente al conjunto de sistemas siguiente:
( ) 0
( ) 0
( )
( ) 1
( ) ( )
f x
g x
a x
f x g x


 
 
 


 

( ) 0
( ) 0
( )
0 ( ) 1
( ) ( )
f x
g x
a x
f x g x


 

 
 

 

C.S. = S()  S()

65. 124

66. 125

67. 126

68. 127