Concreto armado 1

1. COMPORTAMIENTO
ESTRUCTURAL DE MATERIALES
FLEXION: SECCIONES SIMPLEMENTE
REFORZADAS
ING. MARDONIO EUSCATIGUE ASENCIOS

2. ESPECIFICACIONES ACI
Una especificación es un conjunto de reglas que tienen por objeto obtener una
estructura segura y estable en el tiempo.
Los “Requisitos de Reglamento para el Concreto Estructural” del Instituto Americano
del Concreto (ACI 318) consideran dos filosofias:
• “Diseño por Esfuerzos Permisibles” – ASD (Allowable Stress Desing)
• “Diseño por Resistencia Ultima – USD (Ultimate Strength Desing).
Los estados límites se dividen en 2 categorías: Resistencia y Servicio.

3. • 1) El primer estado se asocia a la máxima resistencia para los requerimientos
estructurales al que va a estar sometida la estructura.
• 2) El segundo estado se asocia con la funcionalidad de la estructura (deformaciones).
USD, se resume en: Ø Rn   i Qi
Donde:
Ø : Factor de reducción de resistencia
Rn : Resistencia nominal o teórica
• Ø Rn : Resistencia de diseño del elemento o sistema estructural
i : Factor de amplificación de carga
Qi : Tipo de carga considerado
•  i Qi : Requerimiento o solicitud estructural esperado
• La expresión:  i Qi, en realidad precisa las combinaciones de carga que pueden
interactuar sobre un sistema estructural de acuerdo a las consideraciones adoptadas
por el diseñador.

4. Fórmula USD Combinación de Carga
• 9-1 1.4(D + F)
• 9-2 1.2(D+F+T) + 1.6(L+H) + 0.5 (S ó Lr ó R)
• 9-3 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.8 W ó 1.0 L)
• 9-4 1.2 D + 1.6 W + 1.0 L + 0.5 (Lr ó S ó R)
• 9-5 1.2 D + 1.0 E + 1.0 L + 0.2S
• 9-6 0.9 D + 1.6 W + 1.6 H
• 9-7 0.9 D + 1.0 E + 1.6 H
D: Carga muerta, L: Carga viva interior, Lr: Carga viva en techo, T: Carga debida a las variaciones
de temperatura, S: Carga de nieve, R: Carga por lluvia en techos planos cuando falla desague, W:
Carga de viento, E: Carga de sismo, F: Carga debido al peso y presión de fluidos, H: Carga debida
al peso y presión de suelos.
Por efecto del diseño estructural debe considerarse la combinación de cargas que genere el
mayor resultado (mayor requerimiento estructural), teniendo presente que la resistencia de
diseño sea igual o mayor que dicho requerimiento.

5. ANALISIS Y DISEÑO POR FLEXIÓN:
Hipótesis para determinar la resistencia nominal a flexión
 El concreto no podrá desarrollar una fuerza de comprensión mayor a la de su
resistencia f´c.
 El concreto tiene un resistencia a la tracción muy pequeña y que se agrieta
aproximadamente cuando esta alcanza un 10% de su resistencia f´c , por lo que se
omite en los cálculos de análisis y diseño y se asume que el acero toma toda la
fuerza total en tracción.
 La relación esfuerzo-deformación del concreto se considera lineal sólo hasta
aproximadamente el 50% de su resistencia.
 Prevalece la hipótesis de Bernoulli en la que las secciones planas antes de la
flexión permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la flexión.
 La deformación unitaria del concreto en la rotura es: cu = 0.003

6. La distribución real de los esfuerzos en la sección tiene una forma parábolica.
Whitney propuso que esta forma real sea asumida como un bloque rectangular cuyas
características se muestran en la figura.
El valor de 1 es 0.85 si la resistencia del concreto f´c es menor que 280 kg/cm2. Si
este no es el caso, 1 disminuirá en 0.05 por cada incremento de 70 kg/cm2 en la
resistencia del concreto, no siendo su valor menor a 0.65.
El código ACI ha adoptado como un valor límite de seguridad una deformación
unitaria máxima del concreto de 0.003, para el cual el concreto falla.
c = 0.003
 
70
280f´0.05
0.85β c
1



7. VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA:
Si hacemos el equilibrio en la sección tenemos lo siguiente:
Cc = T
0.85 f’c ba = Asfs
De lo anterior, se concibe tres tipos de falla, en una sección de viga simplemente
reforzada.
1. Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su
estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el extremo
comprimido; o sea cuando en la falla s > y donde y es el valor de la
deformación para el cual se inicia la fluencia del acero.
2. Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del
acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla ocurre que s =
y.
bf'0.85
fA
a
c
ss


8. 3. Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del
concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción, es decir cuando
en la falla s < y.
c f’c
0.85 f’c
cc
(d – a/2)
T = As fs
T = As fs
cc
a = 1c
 s
Eje
Neutro
h
b
d
c
Sección transversal
de viga
Diagrama de Deformación
Unitaria
Esfuerzos reales
En la sección
Esfuerzos
equivalente

9. CUANTÍA DEL ACERO EN TRACCIÓN:
Definimos como cuantía del acero en tracción (ρ):
Y, se define como cuantía mecánica o índice de refuerzo a:
bd
As

c
y
f'
f
ρω
CONDICIÓN DE FALLA BALANCEADA:
Determinaremos el valor de la cuantía para la cual la sección se encuentra en la
falla balanceada, por lo que existirá un valor de As, a, c para el estado balanceado.

10. De la figura tenemos:
Haciendo el equilibrio, Cc = T, y despejando As tenemos:
c = 0.003
 y
Eje
Neutro
d
cb
Diagrama de Deformación
Unitaria
)d(
0.003
0.003
C
0.003
0.003
d
c
y
b
y
b




Conocemos que el valor del módulo de elasticidad
del acero es: Es = 2 x 106, entonces:
b
c
b
a
d
y
fb
c
tenemosreemplazoelEfectuando
y
*
)(
6000
6000
:
610x2
y
f
s
E
y
f
1



Donde cb: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en comprensión en una sección
con cuantía balanceada.










yy
c
1b
f6000
6000
f
f'
0.85βρ

11. ANÁLISIS DE SECCIONES DE VIGA CON FALLA DÚCTIL:
Partiendo de nuestra expresión de equilibrio tenemos:
Cc = T, donde fs = fy
0.85 f’c ba = As fy
Tomando momentos respecto a un eje que pasa por el centroide del acero tenemos:
Mn = As fy (d - a/2)
Mu =  Mn =  As fy (d - a/2)
Donde  es el factor de resistencia que para vigas su valor es 0.9.
bf'0.85
fA
a
c
ys


12. DISEÑO POR FLEXIÓN:
Para el diseño por flexión debemos saber que el tipo de falla deseable es la falla
dúctil con la cual la sección ha desarrollado grandes deformaciones.
El Código ACI da los límites de cuantía para el diseño:
• Cuantía Máxima:
máx = 0.75 b
Para zona sísmica se tomará como cuantía máxima el valor de 0.5 b
• Cuantía Mínima:
Se tomará el valor mayor de las dos siguientes expresiones:
Donde f’c y fy están en kg/cm2.
f
f'
0.8ρ
f
14
ρ
y
c
min
y
min 

13. • Dimensionamiento de una viga:
Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el cual
dimensionaremos la sección:
Sabemos:
Luego: Mu =  Mn =  As fy (d - a/2)
Finalmente: Mu =  bd2 f’c (1 - 0.59  )
Esta última expresión es la expresión de dimensionamiento, donde los valores
desconocidos so “b” y “d”, los cuales el diseñador escogerá apropiadamente.













bf'*0.85
fA
*
2
1
df'
f'
f
bdρφM
c
ys
c
c
y
u
c
y
c
ys
f'
fρ
ω;
bf'0.85
fA
a 

14. • Cálculo del Acero:
a. Proceso Iterativo:
Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuará simplemente
haciendo una iteración entre las siguientes dos expresiones:
Se sugiere como primera aproximación que “a” sea igual a “d/5”.
b. Calculando la cuantía mecánica, usando la expresión:
Mu =  f’c bd2 (1 - 0.59 )
Hallamos , luego:
bf'85.0
fA
a
)2/ad(f
M
A
c
ys
y
u
s



9.0;bdA
f
f'
s
y
c




15. ANÁLISIS DE SECCIONES SOBRE REFORZADAS : S < Y
Aunque no es de nuestro interés las secciones de viga sobre reforzadas,
presentamos en esta sección el análisis para fines académicos.
De la figura tenemos:
c = 0.003
 s
Eje
Neutro
d
c
Diagrama de Deformación
Unitaria
c
c)-(d
003.0
c
c)-(d
s
c
s



Sabemos que:
fs = Es s = 2 x 106 s
Efectuando el reemplazo tenemos:
:,
)/(
a
a)-d(
6
)/(
a
a)-d(
6000
21
21
tenemosTCcequilibrioelHaciendo
cmtff
cmkgff
ys
ys






16. 0.85 f’cba = As fs ’ reemplazando fs:
0.85 f’cba2 = 6As 1d - 6As a
Ordenando los términos tenemos: 0.85 f’cba2 + 6As a - 6As 1d = 0
Donde f’c esta en t/cm2, si resolvemos la ecuación cuadrática obtenemos el valor de
“a” con el cual obtenemos el valor del momento último resistente.
Mu =  As fs (d - a/2)

17. APLICACIÓN Nº 01:
Para la sección de la viga que se muestra, calcular el momento nominal con fy =
4200 kg/cm2 , considerando 3 casos:
a) f’c = 210 kg/cm2 b) f’c = 350 kg/cm2 y c) f’c = 630 kg/cm2.
40.0
30.0
As = 41’’
3/8







2
rhd:Donde v
en


Cálculo de la cuantía de la sección, d = 40 – (4 + 0.95 + 2.54/2) = 33.78 cm.

18. a/2);(dfAM:Luego
reforzada-subSección
:por tantoρρTenemos
0.0213
42006000
6000
*
4200
210
*0.85*0.85ρ
kg/cm4200f,kg/cm210f'a)
f6000
6000
f
f'
0.85*βρ:además
0.020
33.78*30
5.07*4
bd
A
ρ
ysn
b
b
2
y
2
c
yy
c
1b
s






















mt22.0M
0.159/2)(0.338*4.2*20.28M
cm.15.91
30*0.21*0.85
4.2*20.28
a
bf'0.85
fA
a
n
n
c
ys





19. Conforme.esNoDiseñoelACIalacuerdoDe
Conforme.Noρρ
Conformeρρ
0.0033
4200
14
f
14
ρ
0.0028
4200
210
0.8
f
f'
0.8ρ
0.0159ρ0.75ρ
CuantíadeRequisitos
máx
mín
y
mín
y
c
mín
bmáx






20. mt73.24M
)2/0954.0338.0(*2.4*28.20M
cm54.9
30*35.0*85.0
2.4*28.20
a
)2/ad(fAMn
;
b'f85.0
fA
a:Luego
REFORZADA-SUB:tantoporρ020.0ρTenemos
0.0333ρ
42006000
6000
*
4200
350
*85.0*80.0ρ
kg/cm0042f,kg/cm350f'b)
n
n
ys
c
ys
b
b
b
2
y
2
c











21. Conforme.esDiseñoelACIalacuerdoDe
Conforme.ρ020.0ρ
Conformeρ020.0ρ
0.0033
4200
14
f
14
ρ
0.00356
4200
350
0.8
f
f'
0.8ρ
0.0250ρ0.75ρ
CuantíadeRequisitos
máx
mín
y
mín
y
c
mín
bmáx






22. 24.0
350
4200
*0.020
f'
f
ρ
c
y

Puede usarse para la condición subreforzada la expresión:
Mn = bd2 f’c (1 – 0.59 )
Donde,
Mn = 0.30 * 33.782 * 0.35 * 0.24 * (1 - 0.59 * 0.24) = 24.7 t-m
c) f’c = 630 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2
1 = 0.60
b = 0.045
Tenemos  = 0.020 < b por tanto: SUB-REFORZADA








42006000
6000
*
4200
630
*85.0*60.0ρb

23. mt53.26M
)2/053.0338.0(*2.4*28.20M
cm30.5
30*63.0*85.0
2.4*28.20
a
)2/ad(fAM;
b'f85.0
fA
a
:Luego
n
n
ysn
c
ys




Conforme.esDiseñoelACIalacuerdoDe
Conformeρ020.0ρ
Conformeρ020.0ρ
0.0033
4200
14
f
14
ρ
0.00478
4200
630
0.8
f
f'
0.8ρ
0.0338ρ0.75ρ
CuantíadeRequisitos
máx
mín
y
mín
y
c
mín
bmáx






24. Discusión de resultados :
f`c = 210 kg/cm2; Mn = 22.0 t-m Mn = Mno
f`c = 350 kg/cm2; Mn = 24.73 t-m Mn = 1.12 Mno
f`c = 630 kg/cm2; Mn = 26.53 t-m Mn = 1.21 Mno
Conclusión: La calidad del concreto no influye en forma significativa en el valor del
momento nominal.

25. APLICACIÓN Nº 02:
Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en figura, con f’c = 280 kg/cm2
determine si la sección de viga está sobreforzada o subreforzada, y si satisface los
requerimientos del código ACI 318 para cuantías máximas y mínimas para:
a) fy = 4200 kg/cm2 y
b) fy = 2800 kg/cm2
50.0
25.0
rn
e
As = 61’’
3/8

26. Solución:
varilla.ladeDiámetro
cm.0.953/8stribodelDiámetro
4cm.:problemaelparanto;Recubrimier
cm30.425.07*6*16A
0.0283
42006000
6000
*
4200
280
*0.85*0.85ρ
f6000
6000
f
f'
0.85βρ
4200kg/cmf,kg/cm280f'a)
v
e
n
2
s
b
yy
c
1b
2
y
2
c


























e
 
frágil).zado(fallaSobrerefor
:tantoporρρquetieneSe
0.0295
41.24*25
30.42
bd
A
ρ
41.24cm.
2.54/22.540.95450d
b
s





27. cumpleNoρρ
Conformeρρ
0.0033
4200
14
f
14
ρ
0.0032
4200
280
0.8
f
f'
0.8ρ
0.0212ρ0.75ρ
CuantíadeRequisitos
máx
mín
y
mín
y
c
mín
bmáx





).Conforme"NoDiseño("
ACIdelcuantíadentosrequerimielosconcumpleNo

28. Dúctil)(FalladosubreforzaSección
:portantoρρTenemos
0.0295
bd
A
ρ
0.85;β0.0493
f6000
6000
f
f'
0.85βρ
kg/cm2800f,kg/cm280f'b)
b
s
1
yy
c
1b
2
y
2
c













Conformeρρ
Conformeρρ
0.005
2800
14
f
14
ρ
0.0048
4200
280
0.8
f
f'
0.8ρ
0.0369ρ0.75ρ
CuantíadeRequisitos
mín
máx
y
mín
y
c
mín
bmáx





No
Solución:

29. APLICACIÓN Nº 03:
Para la sección de la viga que se muestra en la figura determine el momento
nominal, indicando el tipo de falla.
f’c = 280 kg/cm2;
fy = 4200 kg/cm2 y
Solución:
0283.0
42006000
6000
*
4200
280
*85.0*85.0ρ
cm/kg280'fpara85.0
f6000
6000
f
'f
85.0ρ
b
2
c1
yy
c
1b



















50.0
25.0
As = 6Nº 8
3/8

30. As = 61’’ = 6 * 5.07 = 30.42 cm2
d = 50 – (4 + 0.95 +2.54 +2.54/2) = 41.24 cm
Se tiene  > b , por lo tanto:
Sección Sobre Reforzada (falla frágil).
Del diagrama de deformaciones unitarias:
0295.0
24.41*25
42.30
bd
A
ρ s

 
  )/(6
)/(/102
003.0
21
223
cmtf
a
ad
f
cmtfcmtxEf
c
cd
c
cd
ys
yssss
s
c
s









 






c = 0.003
s
Eje
Neutro
d
c

31. Haciendo el equilibrio Cc = T, tenemos:
0.85 f’c ba = As fs , reemplazando fs:
0.85 f’c ba2 = 6As 1 d – 6 As a
Ordenando los términos tenemos:
0.85 f’c ba2 + 6As a – 6As b1d = 0
0.85 * 0.28 * 25a2 + 6 * 30.42a –
6 * 30.42 * 0.85 * 41.24 = 0
Resolviendo: a = 20.86cm
Luego: Mn = As fs (d – a/2)
Mn = 30.42 * 4.08 (0.4124 -0.2086 / 2) = 38.24 t-m
22
s /2.4/08.4
86.20
)86.2024.41*85.0(
6f cmtfcmt y 



32. APLICACIÓN Nº 04:
Diseñar la viga en voladizo que se muestra en la figura. Para el dimensionamiento de
la sección rectangular considere una cuantía no mayor de 0.5 b se conoce WD =
1.84 t/m, WL = 0.75 t/m, b = 0.40 m, f’c = 350, fy = 2800 kg/cm2.
Solución:
 
2318.0
f'
f
ρ0290.0ρ5.0ρ
0580.0
f6000
6000
f
'f
85.0*ρ
mt89.20
2
5.3
*41.3M
m/t41.375.0*6.184.1*2.1W
:Iterativoprocesoa)
c
y
b
yy
c
1b
2
u
u













3.5 m
wu

33. suficienteEscm42.6acm27.27A
cm45.6
40*35.0*85.0
8.2*40.27
b'f85.0
fA
a
cm40.27
)62.33*9.0(2800*9.0
10*89.20
)2/ad(f
M
A
cm62.33dcm40h:Usar
cm16.352/86.295.0478.28h
cm78.28d56.828d
)2318.0*59.01(2318.0*d40*350*9.010*89.20
)59.01(bd'fM
2
s
c
ys
2
5
y
u
s
2
25
2
cu











34. 2
2
2
2
u
22
58.25,021.0
17.059.015.0
)59.01(62.33*4.0*35.0*9.089.20
)59.01('M
:exp)
.4044.3586.2*486.2*595.0*22*4
)10.32cm6.42*(59Nº5:Usar
cmA
bdf
mecánicacuantíaladeresiónlaUsandob
cmbb
cm
s
c
mín











