1. Reseña histórica de los números reales
Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal. En
matemáticas los números reales influyen tanto números racionales como a los
números irracionales, aquellos que no se pueden expresar e manera fraccionaria
tiene infinitas cifras decimales.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzo mucho aunque carecía de una
base rigurosa, ya que en el momento no se consideraba necesario el formalismo
de la actualidad, usando como expresiones como pequeño, límite, etc. Si una
definición precisa, esto llevo unas series de problemas lógica que hicieron
evidente la necesidad crear una base rigurosa de la nueva matemática.
Los números reales
Los números reales son los números que se puede escribir con decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita .El conjunto de
los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos;
todas las fracciones; y todos los númerosirracionales, aquellos cuyos desarrollos
nunca se repiten.
CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES SE
CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES
Un numero racional es un número real que se puede expresar como el cociente
a/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números reales que
no son racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón del perímetro de
una circunferencia a su diámetro es irracional. Este número reales denota por P y
se escribe P = 3.1416 para indicar que P esa aproximadamente igual a 3.1416.
Otro ejemplo de un numero irracional es Ö 2.Los números reales se pueden
representar por expresiones decimales infinitas. Por ejemplo, realizando la división
puede verse que la representación decimal del número racional 177/55 es
3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 estrepiten indefinidamente. Los números
reales pueden representarse siempre por expresiones decimales periódicos, es
decir, en las que hay una combinación de dígitos que se repiten indefinidamente.
Los números irracionales pueden representarse por expresiones decimales
infinitos no periódicos.

2. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.
2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+ (b+c) Sean a,b,c pertenecientes a los reales.
3) Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+(-a)=0
4) Existencia de elemento neutro: a+0 =a
5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a
6) Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)
7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1
8) Existencia de elemento neutro (del producto) : a.1 = a
9) Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)
10) Tricotomía: a>b , a<b o a=b
11) Monotonía de la suma
12 Monotonía del producto.
13) Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c
14) Propiedad Uniforme.

3. Propiedades y operaciones con los números reales
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero
en direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este
número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la
propiedad del doblenegativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el
inverso aditivo (opuesto9 del número.

4. El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos
negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque
un signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)

5. Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el
signo del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa
o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor
valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor.
Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

6. Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando
exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando
exista un número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier numero a,
A * 0 = 0 *a = 0
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.

7. Propiedades de los números reales.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:
- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.
- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia
entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad
de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a
la derecha del 2, obtienes el 3. Y así sucesivamente representas todos los
números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .....
- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números
negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......
En fin, los números enteros se representan gráficamente en una recta:

8. Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.
Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.
Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.
Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.
Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.
Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.
El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su
representación gráfica se observa que:
El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.
Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que
el conjunto es discreto.
VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo.
Se escribe
y se define del siguiente modo:
Observa la recta numérica:

9. Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así
porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3,
aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se
indica así:
|+3| = | -3 | = 3
Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.
El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se
indica poniendo el número entero entre barras.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Propiedades de clausura
Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la
propiedad
Propiedades asociativas
Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre
se siguen
fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

10. Propiedades conmutativas
Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p , n+q)]=[(p+m , q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para
cualesquiera
tenemos que
Para cualesquiera
Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre
también la multiplicación:
Esta propiedad la tiene
Para cualesquiera
Propiedad distributiva
Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos
Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva
Orden en el conjunto de los números reales
a) Representación de los números reales
Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos
de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.
Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero
(0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos
toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero
a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en
este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la

11. izquierda
del
cero.
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión
decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.
Ejemplo:
Represente en la recta numérica los números
Solución:
Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica
la siguiente manera.
de
b) La relación "menor que" en el conjunto de los números reales.
En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que",
de la siguiente manera.
Ejemplo

12. De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es
menor que cero.
c) La relación "mayor que" en el conjunto de los números reales.
Ejemplo
De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es
mayor que cero.
La regla de tres simple
La relación entre ellas puede ser: directamente proporcional, si cuando una de
ellas aumenta la otra también (a más tiempo trabajado, más dinero ganado); o
inversamente proporcional, si cuando una aumenta la otra disminuye (más tiempo
trabajado, menos tiempo de ocio).
Una de las formas de plantear la regla de tres es mediante el método tradicional.
Si de a tenemos b, entonces de c tendremos d:
Si la relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional, para resolver
la regla de tres multiplicamos "en cruz", es decir:

13. a·d=c·b
Si la relación es inversamente proporcional, multiplicamos "por filas", es decir:
a·b=c·d
Por ejemplo, si Jon compró 15 cromos por 60 céntimos, ¿cuánto le costarán a
Miren 25 cromos?
Si por 15 cromos pagamos 60 céntimos por 25 cromos pagaremos x céntimos. La
relación de proporción que se plantea será entonces:
Para resolver multiplicamos "en cruz" y tenemos que 15 · x = 25·60. Por lo que x =
25 · 60 / 15 = 100 céntimos = 1 euro. Es decir, 25 cromos cuestan 1 euro.
Otros métodos de cálculo
La regla de tres mediante proporciones
Otra forma de resolver una regla de tres es mediante las proporciones. Una
proporción es la igualdad entre dos cocientes: (a / b = c / d).
Aplicando las proporciones al cálculo del cuarto término, o incógnita, de una regla
de tres tendríamos: (a / b = c / x).
Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y
c), a · x = b · c, de donde obtendríamos el valor de la incógnita o cuarto término.
El ejemplo de los cromos que aparece en la pantalla anterior (la regla de tres
simple) también podemos resolverlo mediante las proporciones: (15 cromos / 25
cromos) = (60 céntimos / x céntimos)
Luego 15 · x = 60 · 25, de donde x = 60 · 25 / 15 = 100 céntimos = 1 euro.

14. La regla de tres reduciendo a la unidad
Con este método lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c ó d) sea 1
para simplificar los cálculos.
Siguiendo con el ejemplo anterior, si por 15 cromos Jon pagó 60 céntimos, por un
cromo pagó: 60 / 15 = 4 céntimos. Como queríamos saber cuánto le habría
costado comprar 25 cromos, tendremos que multiplicar 25 · 4 = 100 céntimos, o, lo
que es lo mismo, 1 euro. En este ejemplo, hemos calculado el precio de un cromo
para poder calcular el precio de cualquier número de cromos tan sólo
multiplicando el precio unitario por el número de cromos comprado.
La regla de tres compuesta
Cuando aparecen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un
problema que se puede resolver mediante una regla de tres compuesta.
Como casi todo en la regla de tres, la solución es en la práctica muy sencilla:
descomponer en reglas de tres simples, teniendo en cuenta que pueden ser
directa o inversamente proporcionales.
Veamos un ejemplo:
Koldo compra al carpintero de su barrio 3 mesas por 285 euros. Si sabemos que
en hacer una mesa el carpintero tarda 3 horas, ¿cuántas horas habrá trabajado el
carpintero si Koldo se gasta 950 euros en mesas?
Para resolverlo, calculamos cuántos euros cuesta cada mesa (285 / 3 = 95 euros).
Luego, hallamos cuántas mesas nos dará el carpintero por 950 euros (950 / 95 =
10 mesas). Y por último calcularemos cuántas horas tarda el carpintero en fabricar
las mesas por las que Koldo ha pagado los 950 euros (10 mesas · 3 horas que
tarda en cada una = 30 horas). Por tanto, para recibir los 950 euros de Koldo, el
carpintero ha tenido que trabajar durante 30 horas.
Al utilizar el método tradicional, es más rápido plantear todas las reglas de tres
simples a la vez.
La regla de tres compuesta directa
La forma tradicional en la regla de tres compuesta se puede simplificar si
utilizamos el método directo en lugar de descomponer en pequeñas reglas de tres
simples, ya que el planteamiento es inmediato. Debemos recordar que hay que
multiplicar "en cruz" si la relación entre las magnitudes es directamente
proporcional o "en fila" si la relación es inversamente proporcional.

15. Un ejemplo podrá ser el siguiente: para construir 0,5 km de autopista, 45 operarios
han empleado 10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 60
operarios trabajando 9 horas al día en construir 2,7 km más de autopista?
La solución es:
km construidos trabajadores días horas
1º caso 0,5
45
10
8
2º caso 2,7
60
x
9
Las relaciones que existen entre las magnitudes del problema son las siguientes: a
más trabajadores menos días (inversa), a más horas menos días (inversa) y a más
kilómetros más días (directa). Y por tanto:
Porque
2,7 · 45 · 10 · 8 = 0,5 · 60 · x · 9
x = (2,7 · 45 · 8 · 10) / (0,5 · 60 · 9) = 9.720 / 270 = 36 días.
La regla de tres en la resolución de problemas
Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en las que aplicamos
reglas de tres sin ser conscientes de que lo estamos haciendo..
Los casos o situaciones en los cuales aplicamos reglas de tres o porcentajes son
muy diversos.
Descuentos en los precios de artículos o incrementos.
Cálculo del IVA de los productos.
Cálculo de interés simple y compuesto.
Cálculo del índice de precios al consumo.