Teoría de errores

Cálculo Numérico y sus Aplicaciones Octubre-2014 Página 1
Apuntes de Cálculo Numérico
(Unidad I)
Teoría Elemental de Errores
Licdo. Deybis Boyer
deyboyazacol@yahoo.es
UNEFM
Octubre-2014
¿CUAN IMPORTANTE PUEDEN SER LAS UNIDADES DE MEDIDAS?
Viernes 24 de septiembre de 1999. Noticia de la BBC de Londres:
“Los potentes radiotelescopios de la Red de Comunicación y Rastreo de Sondas
Interplanetarias de la NASA” están llevando a cabo un último registro en las
inmediaciones de Marte, en un intento desesperado de recuperar la nave Mars Climate
Orbiter. ¿El error cometido? “Un programa de ordenador” encargado de controlar una
de las maniobras de corrección de la trayectoria, hizo que el satélite antes de llegar a
Marte se saliera de orbita (perdiendo el control del satélite) esto debido a que los
cálculos escrito estaban con unidades de medida del sistema inglés (milla, libra) y la
NASA estaba tomando estos datos en el sistema métrico (metros, kg). La confusión
de unidades de medida le costó a la NASA 125 millones de dólares.
Medida y Error.
Aquellas propiedades de la materia que son susceptibles de ser medidas se
llaman magnitudes; son las propiedades que estudia la física mediante el método
científico. Medir una magnitud física es compararla con un valor de la misma que, por
convenio, tomamos como patrón o unidad. Como resultado obtenemos el número de
veces que esta unidad está contenida en nuestra magnitud, así que siempre tenemos
que referirnos a esa unidad empleada, de lo contrario la medida no tiene sentido.
Por ejemplo, Una masa puede ser 21.3 𝑔. Pero no 21.3.
Ahora bien, ¿Qué clase de números deberían ser los resultantes de la operación
de medir?; evidentemente deberían de ser números reales, es decir, números con
infinitos dígitos decimales. Por otro lado nos hacemos las siguientes preguntas,

¿Cuántos de esos dígitos nos dará a conocer del valor de la magnitud?, ¿Podríamos
obtener tantas magnitudes cómo quisiéramos?, ¿Qué podemos entonces obtener en un
proceso de medida? Todas estas interrogantes nos ayudan a comprender que sólo
podemos determinar un intervalo en que es probable que esté el verdadero valor de la
magnitud.
Por ejemplo, Si decimos que una masa es de 21.3 𝑔, queremos decir realmente que es
probable que esté entre 21.2 𝑔. y 21.4 𝑔.
Este intervalo de valores no tiene por qué ser siempre igual, así lo expresaremos en
general como:
(Valor del centro del intervalo ± la mitad de la longitud del intervalo) unidad
Cuanto más estrecho es el intervalo, mejor conocemos el verdadero valor de la
magnitud que medimos. Siguiendo con el ejemplo de la masa escribiríamos (Los
paréntesis son necesarios ya que la unidad multiplica a los dos números):
m = (21.3 ± 0.1) g.
La forma de calcular ese intervalo de valores se denomina cálculo de errores.
Errores cometidos por la calculadora.
A las calculadoras les resulta imposible almacenar todos los números reales
(dada su capacidad finita de memoria), es por esto que para manipular y operar
números, utiliza un conjunto finito de números, al que se le llama Sistema Numérico
de Punto Flotante. En cada calculo que se realice, generalmente, se introducen
errores que afectan sustancialmente los resultados y por ende los procesos
pertinentes. Los errores son de diferente índole y provienen de diversas fuentes y
surgen por medio de distintos métodos. Veamos un ejemplo que convenientemente
busca minimizar la incidencia negativa de ellos.

EJEMPLO 1:
Solución:
EJEMPLO 2:
Solución:
Considere la expresión:
1 =
1
3
+
1
3
+
1
3
Solución:
Si hacemos,
1
3
= 0.3333333333…
Al considerar solo 6 cifras tenemos
1
3
+
1
3
+
1
3
= 0.333333 + 0.333333 + 0.333333 = 0.999999
Entonces 1 = 0.999999 ¿Qué error tan grande?
Los cálculos hechos por las calculadoras nos llevan solo a aproximaciones y por
tanto, en los resultados obtenidos solo se pueden tomar unos pocos, ya que existen
representaciones de cantidades con un infinito número de dígitos como
1
3
=
0.3333333333…, es evidente que se comete un mínimo error al tomar un determinado
número de dígitos significativos por lo que las operaciones que se realicen con ellos
van a ser solo aproximaciones.

EJEMPLO 3:
Considere la expresión:
𝑥2
−
1
9
𝑥 −
1
3
Solución:
1) Al calcular el valor de la expresión para x = 0.3334, resulta
(0.3334 )2
−
1
9
0.3334−
1
3
= 0.66673333333329821 (Usando software matemático)
(0.666733331) (Usando la calculadora)
2) Al factorizar la expresión resulta
𝑥2
−
1
9
𝑥−
1
3
= 𝑥 +
1
3
y al evaluar para x = 0.3334
(0.3334)+
1
3
3) Redondeando las fracciones
1
9
= 0.1111 ,
1
3
= 0.3333 y sustituyendo en la expresión original resulta
(0.3334 )2
−0.1111
0.3334 −0.3333
4) Ahora redondeando (0.3334)2
= 0.1112 y sustituyendo en el resultado anterior
0.1112−0.1111
0.3334−0.3333
= 1 ¿Qué error tan grande?

Las causas del error son varias. Existen aquellas debidas a la conceptualización,
los datos introducidos en el proceso; las debidas a una operación o conjunto de
operaciones que se realizan en el proceso y las debidas a la interpretación.
EJEMPLO 4:
Use la calculadora para realizar la siguiente operación
253
− (253
− 1)
Solución:
253
− (253
− 1) = 0 (Usando la calculadora)
Pero usando operaciones de agrupación de términos semejantes
253
− (253
− 1) = (253
− 253 ) + 1
= 0 + 1
= 1 (El cual era el resultado esperado)
EJEMPLO 5:
Use la calculadora para realizar la siguiente operación
13
14
−
6
7
2𝑒 − 5.4
Solución:
13
14
−
6
7
2𝑒−5.4
= 1.953540139 … (Usando la calculadora)
Aproximando cada cifra

13
14
= 0.93 ,
6
7
= 0.86 , 2𝑒 = 5.44 , 5.4 = 5.40
Así,
13
14
−
6
7
2𝑒−5.4
=
0.93−0.86
5.44−5.40
=
0.07
0.04
= 1.75 ¿Qué error tan grande?
EJEMPLO 6:
Solución:
Fuente y Clasificación de los errores.
La resolución de cualquier problema de ingeniería está conformada de dos
grandes pasos o etapas: La formulación del modelo que responde al fenómeno físico
real que se quiere estudiar y la resolución del modelo. Cada una de estas etapas es
fuente de distintos errores. En la figura siguiente se muestran las distintas fuentes
de errores por etapas en la modelación de un problema de ingeniería.

Error del Modelo.
Para resolver un problema en ingeniería es necesario primeramente plantear o
formular el problema. En esta primera etapa es necesario definir o precisar las leyes
físicas que intervienen en el fenómeno a estudiar y después formular dichas leyes en
término de ecuaciones matemáticas. En la formulación del problema se hacen
suposiciones y simplificaciones del fenómeno con lo cual se está introduciendo un
error llamado error del modelo.
Error de los Datos de Entrada.
En la resolución de todo problema intervienen datos de entrada los cuales no
están exentos de errores producto de las distintas formas de obtención de los
mismos. A estos errores se les llaman errores de los datos de entrada.
Error del método o de aproximación.
En la resolución de un problema se pueden utilizar distintos métodos para
obtener la solución. Estos métodos pueden ser métodos aproximados los cuales

conducen a soluciones aproximadas de la solución real o exacta. En dependencia del
método seleccionado la solución aproximada estará más cerca de la solución exacta del
problema por lo que aquí se introduce un error en la resolución del problema. A este
error se le llama error del método o de aproximación.
Error de redondeo.
Para obtener la solución de un problema generalmente es necesario efectuar
numerosos cálculos numéricos y para esto frecuentemente se necesitan algoritmos de
cálculos que pueden conducir a programas de computación. Si estos cálculos fueran
hechos con todas las cifras decimales se obtendrían los resultados exactos de dichos
cálculos pero esto generalmente no sucede ya que los cálculos son redondeados. Esto
puede provocar resultados erróneos debido a que se pueden amplificar los errores de
redondeo. Este es el llamado problema de la estabilidad. El problema de la estabilidad
es el único error que se puede evitar o reducir su efecto.
Clasificación de los errores.
1. Errores inherentes o inevitables
1.1. Error del modelo
1.2. Error en los datos
2. Errores evitables
2.1. Error del método
2.2. Error de redondeo
El Cálculo de Errores.
La manera de calcular los errores depende del tipo de medida. Distinguiremos:
MEDIDAS DIRECTAS: Las que se obtienen comparando la magnitud con el patrón
directamente o mediante un aparato calibrado. Así se suelen medir la longitud, la
masa, el tiempo, el voltaje, etc.
MEDIDAS INDIRECTAS: Las que se calculan mediante una fórmula a partir de
magnitudes medidas directamente. Así suelen obtenerse la velocidad, la superficie,
etc. El que una medida sea directa o indirecta no depende de la magnitud en sí, sino
del experimento que empleamos para determinarla. Lo que en un experimento se mide
de manera directa, en otro puede determinarse de manera indirecta.

Tipos de Errores en Medidas Directas.
Clasificaremos los errores según su comportamiento, independientemente de donde
provenga, en errores sistemáticos y errores accidentales.
a) ERRORES SISTEMÁTICOS: Se deben a causas que influyen siempre en la
misma forma en las medidas. Generalmente se deben a falta de calibración de
los aparatos o a un mal hábito del experimentador. Su característica es que se
pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir
numéricamente
Por ejemplo, Una lectura de +105𝑉., realizada con un voltímetro que marca –5 𝑉.
Cuando sus extremos están cortocircuitados (y debería por tanto marcar 0), indica
que la tensión es de110 𝑉.
b) ERRORES ACCIDENTALES: Si medimos dos veces consecutiva la misma
cantidad y en las mismas condiciones, es probable que no coincidan todos los
dígitos de la medida.
Esto se debe a causas que actúan de forma imprevisible, aleatoria, unas veces
aumentando, otras disminuyendo la medida, y en cantidades diferentes en cada
intento de medir. Pueden deberse a pequeñas variaciones en la magnitud a medir, a la
limitada fidelidad de los aparatos y a un experimentador poco hábil. Su característica
principal es que no podemos hacer más que acotarlos en valor absoluto utilizando la
teoría estadística de errores.
Cifras significativas.
Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda
usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones
importantes en el estudio de los métodos numéricos.
1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe
desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.
2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar
exactamente con un número finito de cifras.

El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con
plena confianza. Las cifras significativas se han desarrollado para designar
formalmente la confiabilidad de un valor numérico.
Muchos de los cálculos contenidos en los problemas de la vida real tratan con
valores aproximados, entendiéndose que en toda medición existen errores, que la
precisión en las mediciones y en los cálculos es casi imposible.
Los dígitos significativos se encuentran contando los números de izquierda a
derecha, partiendo del primer digito no cero y terminando en el último digito
presente.
Es conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una
magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras
significativas es independiente de la posición del punto decimal.
Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas,
mientras que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras
significativas.
Por ejemplo,
1.- Longitud = 26 𝑚𝑚 = 0.026 𝑚 = 0.000026 km (dos cifras significativas)
2.- Estatura = 1.72 𝑚 = 17.2 𝑑𝑒𝑐í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. = 172 𝑐𝑚 (tres cifras significativas)
3.- 40072 (cinco cifras significativas)
4.- 3.001 (cuatro cifras significativas)
5.- 0,000203 (tres cifras significativas)
Redondeo de un número.
Con el redondeo de un numero lo que se pretende es escribir un numero con
menor cantidad de dígitos significativos, representando dicha cantidad con el menor
error posible. Para redondear un número se fija a que cifra significativa se va a
redondear dicho número. Si el número a la derecha de la cifra fijada es mayor o igual
a 5, se suma uno en el lugar donde se quiere redondear, si es menor a 5, se deja el
número donde se quiere redondear sin agregarle nada.

EJEMPLO 7:
Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos:
27.0670
37.23
7.415
Solución:
27.0670 = 27.1
37.23 = 37.2
7.415 = 7.42
EJEMPLO 8:
Redondea las siguientes cantidades a números enteros:
23.617
237.21
7.5
Solución:
23.617 = 24
237.21 = 237
7.5 = 8
EJEMPLO 9:
Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales:
57.2367
0.789
92.3341
Solución:
57.2367 = 57.24
0.789 = 0.79
92.3341 = 92.33
Truncamiento de un número.
El truncado de un número consiste en el corte simple del resultado de una
operación al número de cifras significativas que se estén utilizando.
Por ejemplo, sí se trunca
3
7
= 0.4285714287…• a cuatro cifras significativas se tiene
0.4285.

¿Cómo calcular los Errores?
Consideremos 𝑋 el valor exacto de una variable o magnitud y 𝑋𝑎 un valor
aproximado de X entonces se definen:
Error: 𝐗 – 𝐗𝐚
Error absoluto: | 𝐗 – 𝐗𝐚 |
Error Relativo:
| 𝐗 – 𝐗𝐚 |
| 𝐗 |
Error Porcentual:
| 𝐗 – 𝐗𝐚 |
| 𝐗 |
∗ 𝟏𝟎𝟎%
Observación:
Definimos la tolerancia como ∆𝑥 y siempre se cumple que
| 𝐗 – 𝐗𝐚 | ≤ ∆𝐱
| 𝐗 – 𝐗𝐚 |
| 𝐗 |
≤ ∆𝐱
EJEMPLO 10:
Calcular el error relativo y el error absoluto que se comete cuando . 31415𝑥107
se
escribe como 3.1415𝑥107
Solución: Recordemos que . 31415𝑥107
= 0. 31415𝑥107
Error Absoluto:
|3.1415𝑥107
− 0.31415𝑥107| = (3.1415 − 0.31415) 𝑥107
= 2.82735𝑥107
= 28273500

Error Relativo:
|3.1415𝑥107
− 0.31415𝑥107|
|0.31415𝑥107|
=
28273500
0.31415𝑥107
= 9
900% (si hablamos de error porcentual)
EJEMPLO 11:
Calcular El máximo intervalo donde debe esta 𝐗𝐚 para que aproxime a ∛7 con un error
relativo a lo sumo de 0.00001 con un truncamiento de 5 cifras.
Solución:
Recordemos que √7
3
= 1.912931182…
Ahora bien,
Si |
X−X 𝑎
X
| ≤tolerancia entonces para 𝐗 = 1.91293 y tolerancia=0.00001 se tiene
|
1.91293 −X 𝑎
1.91293
| ≤0.00001
→ |1.91293 − X 𝑎 | ≤0.00001*1.91293
→ |1.91293 − X 𝑎 | ≤0.0000191293
→ 1.9129108707 ≤ X 𝑎 ≤ 1.9129491293

EJEMPLO 12:
Al medir las dimensiones de un tanque cisterna que tiene la forma de un
paralelepípedo se obtuvo la siguiente información:
Largo L = 3 m con un error de 4 cm,
Ancho A = 4 m con un error de 3 cm
Altura H = 2 m con un error de 2 cm.
a) Determine el error relativo en la medición de cada dimensión.
b) Determine el valor aproximado del error cometido en la medición del volumen de la
cisterna. Compare con el valor exacto del error.
c) Determine el número de cifras significativas exactas que tiene el valor aproximado
del volumen.
d) Determine el valor aproximado del error cometido en la medición del área lateral
de la cisterna. Compare con el valor exacto del error.
e) Determine el número de cifras significativas exactas que tiene el valor aproximado
del área lateral.
Solución:
Volumen=Ancho x Largo x Altura
Valores aproximados Valores reales
Ancho: 4 m Ancho: (4±0.03) m
Largo: 3 m Largo: (3±0.04) m
Altura: 2 m Altura: (2±0.02) m
2m
3m
4m

Parte a) Calculemos los errores relativos para cada medida
Ancho:
|4−4.03|
|4|
= 0.0075
Largo:
|3−3.04|
|3|
= 0.0133
Altura:
|2−2.02|
|2|
= 0.01
Parte b) Calculemos el volumen
Volumen aproximado = (4.03) x (3.04) x (2.02) = 24.747424
Volumen real = 4 x 3 x 2 = 24
Error absoluto del volumen calculado
|24 − 24.747424| = 0.747424
Parte c)
Volumen aproximado = 24.747424
Numero de cifras significativas: 8
Parte d)
Área lateral = (2 x Ancho + 2 x Largo) x Altura
Área lateral (Aproximada) = (2 x 4.03 + 2 x 3.04) x 2.02 = 28.5628
Área lateral (Real) = (2 x 4 + 2 x 3) x 2 = 28
Error absoluto del Área lateral calculada
|28 − 28.5628| = 0.5628
Parte e)
Área lateral (Aproximada) = 28.5628
Numero de cifras significativas: 6

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICAV
MODALIDAD: PRESENCIAL
CODIGO: 220501
CREDITOS: 4
Licdo. Deybis Boyer
deyboyazacol@yahoo.es
UNEFM
Octubre-2014
OBJETIVO GENERAL.
Ofrecer al estudiante una introducción práctica a las técnicas actuales de
aproximación numérica dando a conocer cómo, cuándo y por qué se espera que estas
técnicas funcionen adecuadamente, y así poder hallar soluciones a los problemas de
ingeniería traducidos en modelos matemáticos, cuya solución analítica resulta compleja
o no existe, mediante métodos numéricos. Además se estudiaran la interpretación de
los errores cometidos en cada estimación particular proporcionando una base firme
para la resolución de problemas matemáticos desde un enfoque numérico.
OBJETIVOS ESPECIFICOS.
Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de:
1. Comprender la importancia del cálculo numérico en la solución de problemas
matemáticos aplicados a la ingeniería civil en los que no es posible o es muy
difícil hallar soluciones en forma analítica y/o exacta.
2. Comprenda y maneje los conceptos y problemas básicos del cálculo numérico.
3. Comparar los resultados obtenidos a través de cálculo numérico con resultados
exactos cuando sea posible.
4. Comprender y aplicar los métodos utilizados para la obtención de soluciones
aproximadas.
5. Reconocer la utilidad de la obtención de resultados aproximados.
6. Aplicar los conceptos y algoritmos de cálculo numérico a la resolución de
problemas matemáticos aplicados a la ingeniería civil.

7. Comprender la aplicación del cálculo numérico con problemas de otras ramas de
las matemáticas y otras disciplinas.
8. Explorar aplicaciones del cálculo numérico al aula.
CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA.
La asignatura de Calculo numérico, es una asignatura que proporciona las
herramientas necesarias para resolver problemas matemáticos y de ingeniería que
resulta tediosos o cuya solución por métodos analíticos rigurosos resultan muy
complicadas o que son imposibles. De esta manera posibilita al ingeniero civil para
adquirir competencia como diseñar, seleccionar, adaptar y escalar equipos y procesos
en los que se aprovechen de manera sustentable.
Su importancia radica en que a través de los métodos numérico por media de
simuladores comerciales o programados por el propio usuario, el ingeniero civil puede
realizar el modelamiento, simulación y control y optimización de equipos y procesos
reales y no conformarse con ejercicios simplificados de libro de texto.
Esta asignatura tiene relación con las asignaturas como son las matemática I a la IV y
posteriores con todas las asignaturas del ares de ingeniería, donde frecuentemente
aparece problemas cuya solución requiere el uso de la computadora.
INTENCION DIDACTICA.
El temario de esta materia está organizado en cinco unidades. En las unidades I
y II se aborda el tema de la programación. Se espera que ésta sea el pilar que permita
la programación posterior de los diferentes métodos numéricos que se abordarán en
las unidades subsecuentes. En la Unidad I se revisa el tema de la teoría elemental de
errores. En las otras dos unidades se revisan otros métodos numéricos básicos.
La idea es abordar los fundamentos de cada uno de los métodos numéricos, que
permita al estudiante conocer el potencial y las limitaciones de cada método, y
aprovechando la herramienta de la programación, el estudiante puede generar una
biblioteca con los diferentes métodos, que le sean de utilidad en sus cursos
posteriores.
La intención de unir estos dos temas, la programación y los métodos numéricos, en un
solo curso es prevenir el hecho que los métodos numéricos se vean aislados e
independientes de la herramienta de la programación, que es realimente lo que
potencia su utilidad.

CRITERIOS DE EVALUACION DE RESULTADOS:
Objetivo 1:
• El estudiante debe demostrar el conocimiento de los algoritmos y herramientas
básicas del cálculo numérico y gráfico. [Exámenes, Informes/trabajos en
grupo, Trabajos prácticos con ordenador].
Objetivo 2:
• El estudiante debe demostrar suficiencia en la selección y aplicación de las
herramientas de cálculo aplicada a la resolución de problemas de ingeniería
civil. [Exámenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prácticos con
ordenador].
Objetivo 3:
• El estudiante debe demostrar su capacidad para utilizar de forma autónoma el
ordenador y las aplicaciones ofimáticas básicas para la realización de cálculos
y la elaboración de informes. [Exámenes, Informes/trabajos en grupo,
Trabajos prácticos con ordenador].
METODOLOGIA.
El fundamento teórico y la estructura algorítmica pertinente se exponen en
forma de clases magistrales, apoyadas en ejemplos reales que se resuelven en clase de
forma participativa para el desarrollo de conocimiento relativo a conceptos sobre
teoría elemental de errores, solución de ecuaciones de una variable, interpolación
polinomial, integración y derivación numérica, así como la solución de ecuaciones
diferenciales con condición inicial utilizando métodos numéricos. Para cada uno de los
capítulos el estudiante dispone de una colección de ejercicios propuestos para su
resolución individual o bien en grupo. Tras la exposición de la teoría, se realizan
talleres de resolución y discusión de los problemas propuestos.
Para cada uno de los algoritmos expuestos, los estudiantes elaboran, tanto en clase
como fuera de horario lectivo, plantillas de cálculo sobre Scilab que deben validar
frente a ejercicios resueltos, de forma que al final del curso cada estudiante puede
disponer de un conjunto de herramientas de cálculo contrastadas aptas para su
utilización posterior.

CONTENIDO
INTRODUCCION
TEMA 1. TEORIA ELEMENTAL DEL ERROR.
TEMA 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE.
TEMA 3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS. Y APROXIMACION.
TEMA 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.
TEMA 5. AJUSTE DE CURVAS.
TEMA 6. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS.
BIBLIOGRAFÍA.
CHAPRA Steven y CANALE Raymond. Métodos Numéricos para Ingenieros, McGraw
Hill. 2006. Texto guía.
BURDEN, Richard y FAIRES Douglas. Métodos Numéricos. Thomson. 2004.
KINCAID David y CHENEY Ward. Análisis Numérico: las matemáticas del cálculo
científico. Addison-Wesley
Iberoamericana. 1994.

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