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MÉTODOS NUMÉRICOS.
ISIDORO PONTE-E.S.M.C.- tema II- 1
TEMA 2:
INTRODUCCIÓN
Análisis Numérico. Métodos numéricos.
TEORÍA DE ERRORES
Errores.
Error absoluto. Error relativo.
Error inherente.
Error por truncamiento.
Error por redondeo.
Propagación del Error.
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
Planteamiento del problema.
Aproximación a raíces.
Método de bisección.
Método de la regla falsa.
Método de Newton-Raphson.
Método del punto fijo.
Método de la secante.
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Sistema de ecuaciones lineales. Solución.
Teorema de rangos.
Eliminación gaussiana. Desventajas del método.
Método de Gauss-Jordan.
Inversión de matrices.
Método de Gauss-Seidel.
INTERPOLACIÓN
Polinomio de interpolación.
Diferencias divididas finitas de Newton.
Polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas.
Polinomio de interpolación de Lagrange.
Funciones splines cúbicas. Interpolación por splines cúbicas.
AJUSTE DE FUNCIONES
Definición del problema.
Ajuste a un polinomio mediante mínimos cuadrados.
Ajuste a funciones no lineales.

DERIVACIÓN NUMÉRICA
Introducción
Diferencias Centrales, Hacia Adelante y Hacia Atrás
Resumen de Fórmulas de Diferenciación
INTEGRACIÓN NUMÉRICA. INTEGRACIÓN APROXIMADA
Planteamiento del problema.
Regla del Trapecio.
Regla de Simpson de un tercio.
Regla de Simpson de tres octavos.
MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES.
Ecuaciones diferenciales.
Método de Euler.
Método de Euler mejorado.
Método de Runge-Kutta.

INTRODUCCIÓN
El siguiente curso ha sido diseñado teniendo siempre en cuenta las diferentes
posibilidades que tendrá el estudiante ante los retos del futuro en su vida
profesional. Aunque se intentará presentar un curso ágil, moderno, interactivo,
en ningún momento se pretende suplir la actividad de investigación y estudio
en libros impresos, es más, se espera que este curso sirva como un primer
acercamiento a los temas a profundizar con los libros impresos encontrados en
librerías, bibliotecas o incluso con los libros virtuales.
La mayoría de los problemas a los que se enfrenta el ingeniero son de
naturaleza continua. En la búsqueda de su solución no es fácil disponer de
métodos analíticos o exactos, que permitan el análisis, validación y
verificación de los modelos, tanto matemáticos como computacionales, que
los representan. Además, casi todos estos modelos involucran temas como
derivación, integración, sistemas de ecuaciones no lineales, sistemas de
ecuaciones diferenciales, etc, cuya solución implica la utilización de procesos
iterativos que generalmente no se pueden resolver en un número finito de
pasos.
Los métodos numéricos son una opción importante que ayuda a enfrentar y
resolver los problemas del mundo real. Estos métodos son técnicas que
permiten resolver problemas utilizando simples operaciones aritméticas (+, -, *
y /) por medio de su principal herramienta: el ordenador. Se caracterizan por la
cantidad de cálculos repetitivos que deben realizarse para finalmente converger
a una solución lo suficientemente aproximada "o cercana" del problema; por
esta razón, es fundamental conocer las ventajas y limitaciones, de los
diferentes métodos, en relación a temas como error, exactitud, precisión
, estabilidad, a fin de utilizar el método más apropiado en cada situación
particular.
El desarrollo que han tenido en los últimos años los programas para ordenador
que permiten hacer muchos cálculos repetitivos y en el menor tiempo posible,
hna influido de manera significativa no solo en la evolución y perfeccionamiento
de estos métodos, sino además, en la elaboración y solución de modelos
cada vez más complejos, los cuales permiten responder satisfactoriamente a
preguntas relacionadas con temas como seguridad, salud, medio ambiente,
desarrollo y crecimiento social entre otros.

TEORIA DE ERRORES
Introducción
Errores Absolutos y Relativos.
Errores Inherentes, por Truncamiento y por Redondeo.
Propagación del Error
INTRODUCCIÓN
El objetivo de estas notas es darse cuenta de las posibles fuentes de error y
puntualizar algunas técnicas que pueden usarse para evitar estos errores.
Es muy difícil estimar el error total en el que se incurre al resolver un problema
práctico. Por ello se han propuesto varios métodos computacionales para
estimar esos errores, entre los cuales se encuentran los siguientes:
1. USO DE LA DOBLE PRECISIÓN.
En este método se resuelve el problema dos veces; una con precisión
sencilla y la otra con doble precisión, donde la diferencia de los dos
resultados es una estimación del error total de redondeo. Este método
supone que todos los otros errores son menos significativos.
DESVENTAJAS
Es costoso (en extremo) en tiempo de operación del ordenador.
2. ARITMÉTICA DE INTERVALO.
Este método consiste en representar cada número por dos números en
la máquina; el valor máximo y el valor mínimo que puede tener, y cada
vez que se realice una operación se calculan sus valores máximo y
mínimo obteniéndose dos soluciones en cada etapa y la solución
verdadera estará necesariamente entre el máximo y el mínimo. Es
frecuente que en este método se suponga la solución verdadera cerca
de la mitad del intervalo, lo cual no es válido en todos los casos.
DESVENTAJAS
Requiere más del doble de tiempo de operación del ordenador y cerca
del doble de almacenamiento de una operación normal.
3. ARITMÉTICA DE DÍGITOS SIGNIFICATIVOS.
Este método intenta no perder de vista los dígitos significativos que se
pierden al hacer operaciones en la máquina y al final del cálculo es
necesario asegurarse que todos los dígitos retenidos son significativos.
Es usual descartar dígitos que se piensa que no son significativos.

DESVENTAJAS
Se pierde información cuando se descartan dígitos.
Los resultados obtenidos tienden a ser muy conservativos
4. ENFOQUE ESTADÍSTICO
En este método se adopta un modelo estocástico de la propagación del
error de redondeo, en el cual los errores locales se tratan como si fueran
variables aleatorias y se supone que están distribuidos uniformemente o
normalmente entre sus valores extremos. Usando la estadística se
puede obtener la desviación estándar, la varianza y estimativos del error
de redondeo acumulado.
Este método implica un análisis detallado y tiempo adicional del
ordenador, pero proporciona buenos estimadores del error.
A continuación se muestran algunos lineamientos prácticos y funcionales para
determinar la propagación de errores y estimación de errores o un límite al
tamaño máximo del error.
ERRORES ABSOLUTOS Y ERRORES RELATIVOS
El Error Absoluto en una cantidad es la diferencia entre el valor verdadero,
suponiendo que se conoce, y una aproximación al valor verdadero.
Así, si:
X = cantidad verdadera.
= una aproximación a la cantidad verdadera.
eX = error absoluto.
Tenemos que:
X = + eX (1)
De acuerdo a nuestra definición:
eX = X - (2)
El Error Relativo se define como el cociente del error absoluto entre la
aproximación

(3)
Parecería más razonable definirlo como el error absoluto dividido entre el valor
verdadero, pero generalmente no conocemos éste. Todo lo que tenemos,
generalmente, es un valor aproximado y una estimación del error o un límite al
tamaño máximo del error.
El error absoluto y el error relativo son aproximadamente iguales para números
cercanos a uno. Para números no cercanos a uno puede haber una gran
diferencia.
ERRORES INHERENTES, POR TRUNCAMIENTO Y POR
REDONDEO
Existen tres tipos básicos de errores en una computación numérica: inherentes,
por truncamiento, y por redondeo. Cada uno se puede expresar en forma
absoluta o en forma relativa.
1. ERRORES INHERENTES
Son errores que existen en los valores de los datos, causados por
incertidumbre en las mediciones, por verdaderas equivocaciones, o por
la naturaleza necesariamente aproximada de la representación,
mediante un número finito de dígitos, de cantidades que no pueden
representarse exactamente con el número de dígitos permisible.
Por ejemplo, si necesitamos usar en un cálculo, podemos escribirlo
como 3.14, 3.1416, 3.1415926535589793..., etc. En muchos casos aún
una fracción simple no tiene representación decimal exacta, por
ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita
de números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un
sistema no la tienen en otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y
en binario es 0.000110011001100...
2. ERRORES POR TRUNCAMIENTO
Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un
número infinito de términos.
Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular
el seno de cualquier ángulo X, expresado en radianes:

(4)
Por supuesto que no podemos usar todos los términos de la serie en un
cálculo, porque la serie es infinita; entonces, los términos omitidos
introducen un error por truncamiento.
3. ERRORES POR REDONDEO
Estos errores se introducen en los procesos de computación por el
hecho de que las ordenadoras trabajan con un número finito de dígitos
después del punto decimal y tienen que redondear.
Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma
de representación de un número de punto flotante.
Recordando que cada número lo podemos representar por una fracción
generalmente llamada Mantisa, la cual está multiplicada por una
potencia del número base, llamada generalmente el Exponente.
Entonces tenemos números como los siguientes:
(5)
Se puede determinar un límite al error relativo máximo que puede ocurrir en un
resultado aritmético obtenido con redondeo truncado. El error relativo máximo
ocurre cuando gY es grande y fY es pequeño. El valor máximo posible
de gY es menor que 1.0; el valor mínimo de fY es 0.1, por lo que el valor
absoluto del error relativo es:
(6)
Entonces se observa que el máximo error relativo por redondeo en el resultado
de una operación aritmética de punto flotante no depende del tamaño de las
cantidades, sino del valor numérico de dígitos que se manejen.
El tipo más conocido de redondeo, que se denomina generalmente redondeo
simétrico, puede describirse como sigue: Dadas las dos partes de un resultado
como en el caso anterior, la aproximación redondeada a Y está dada por:

(7)
en que Y tiene el mismo signo que fY. La adición de 10 en el segundo renglón
de la ecuación corresponde a sumar 1 al último dígito retenido si el primer
dígito que se pierde es igual o mayor que 5. Se describen los símbolos de valor
absoluto para indicar que las mismas fórmulas se aplican a cantidades
positivas y negativas.
Si gY < 1/2, el error absoluto es
(8)
Si , el error absoluto es
(9)
De cualquier manera, tenemos 10 multiplicado por un factor cuyo valor absoluto
no es mayor que 1/2. El valor absoluto del error absoluto es, por lo tanto
(10)
y el valor absoluto del error relativo es entonces
(11)
Si f representa la mantisa de un número de punto flotante, y e el exponente
podemos expresar en forma general un número de punto flotante en base
decimal como:
(12)
En donde sabemos que f no puede ser menor que 1/10 puesto que los
números han sido normalizados y no puede llegar a ser 1 porque la mantisa es
una fracción propia.
Ahora si realizamos la suma de los números:

0.1571 x 10 = 1.571
( con mantisa de 4 digitos y un dígito como
exponente)
El ordenador se encarga de la colocación del punto y compara los exponentes
para desplazar hacia la derecha el punto para alinearlos. Entonces para el
ejemplo hace lo siguiente:
(13)
Así se pueden sumar directamente las dos mantisas. Obviamente, la mantisa
de la suma tiene más de cuatro dígitos. Antes de redondear, el resultado puede
mostrarse como dos cantidades de punto flotante:
(14)
Cualquier resultado proveniente de la realización de las cuatro operaciones
aritméticas puede indicarse, antes de ser redondeado, por la forma general:
(15)
en donde t es el número de dígitos de fY.
El intervalo de valores posibles de fY es:
(16)
y el intervalo de variación de gY es:
(17)
Para un ejemplo de la diferencia entre las dos reglas de redondeo, considérese
el siguiente resultado de alguna operación aritmética:
(18)
Para redondeo truncado
(19)

y
(20)
( significa aproximadamente igual a)
Para la operación que llamamos redondeo simétrico,
(21)
y
(22)
PROPAGACIÓN DEL ERROR
En una materia como métodos numéricos o en un análisis numérico en que se
usa el ordenador, es muy importante conocer la propagación del error en algún
punto del proceso de cálculo. Y dado que los errores están de alguna manera
relacionados con las cantidades y las operaciones que se hacen con ellas, es
necesario conocer o encontrar las expresiones para las cuatro operaciones
fundamentales, tanto para el error absoluto como para el error relativo en
función de dos operandos y sus errores.
SUMA
Se tienen dos aproximaciones, y , a dos valores verdaderos, X y Y,
junto con sus errores respectivos, e X y eY.
Tendremos entonces:
(24)
El error en la suma, que indicaremos mediante eX+Y, es por tanto,
eX+Y = eX + eY (25)

RESTA
De una manera semejante obtenemos
eX-Y = eX - eY (26)
MULTIPLICACIÓN
En este caso se tiene
(27)
Suponemos que los errores son mucho más pequeños que las aproximaciones,
e ignoramos el producto de los errores. Entonces:
(28)
y
(29)
DIVISIÓN
Tenemos
(30)
Multiplicando el denominador por y reacomodando términos
obtenemos
(31)
El factor en paréntesis puede desarrollarse en serie mediante una división:

(32)
Efectuando la multiplicación y despreciando todos los términos que contienen
productos o potencias de orden superior al primero de eX y eY tenemos
(33)
por lo tanto
(34)
Debe observarse que rara vez conocemos el signo de un error. Por ejemplo, no
se debe inferir que la suma incrementa siempre el error y que la resta siempre
lo disminuye simplemente porque los errores se suman en la adición y se
restan en la substracción. Si los errores tienen signos diferentes ocurrirá
precisamente lo contrario.
Como tenemos ahora fórmulas para la propagación de los errores absolutos en
las cuatro operaciones aritméticas básicas, podemos fácilmente dividir y
obtener los errores relativos. Para la suma y la resta los resultados han sido
reacomodados para mostrar explícitamente el efecto de los errores en los
operandos:
Suma
(35)
Resta
(36)
Multiplicación

(37)
División
(38)

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
En este párrafo aprenderemos a buscar raíces (soluciones) de ecuaciones no
lineales, para ello usaremos diferentes métodos de aproximación a dichas
raíces: bisección, regla falsa, Newton-Raphson, método de la secante y punto
fijo.
PROGRAMA DE BISECCIÓN.
Este programa utiliza el método de la bisección para aproximar la raíz de )
(x
f
en un intervalo [ ]
b
a, ( recordemos que este método se basa en el teorema
de valor medio, Sea )
(x
f continua en un intervalo [ ]
b
a, y supongamos que
)
(
)
( b
f
a
f < . Entonces para cada z tal que )
(
)
( b
f
z
a
f <
< , existe un
( )
b
a
x ,
0 ∈ tal que z
x
f =
)
( 0 . La misma conclusión se obtiene para el caso que
)
(
)
( b
f
a
f > ).
Básicamente el Teorema del Valor medio nos dice que toda función continua
en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos
del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.
En particular, si )
(a
f y )
(b
f tienen signos opuestos, entonces un valor
intermedio es precisamente 0
=
z , y por lo tanto, el Teorema del Valor
Intermedio nos asegura que debe existir ( )
b
a
x ,
0 ∈ tal que 0
)
( 0 =
x
f , es decir,
debe haber por lo menos una raíz de )
(x
f en el intervalo )
,
( b
a .
El método de bisección sigue los siguientes pasos:
Sea )
(x
f continua,
i) Encontrar valores iniciales a
x , b
x tales que )
( a
x
f y )
( b
x
f tienen
signos opuestos, es decir,
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre a
x
y b
x :

iii) Evaluar )
( r
x
f . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes
casos:
En este caso, tenemos que )
( a
x
f y )
( r
x
f tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raíz se encuentra en el intervalo [ ]
r
a x
x , . Y asi sucesivamente hasta
donde queramos aproximar)
METODO DE LA REGLA FALSA
También este programa se usa para aproximar raíces de )
(x
f en un intervalo
[ ]
b
a, ( es un método bueno para considerar si la raíz se encuentra cerca de
los extremos. Consideremos una gráfica del tipo:
Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la
gráfica en el intervalo [ ]
b
a, .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el
punto donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a
la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es
realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo
demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función )
(x
f que es contínua en el intervalo
[ ]
b
a x
x , y además, )
( a
x
f y )
( b
x
f tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ))
(
,
( a
a x
f
x ,
))
(
,
( b
b x
f
x . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:
Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje x , hacemos 0
=
y :
Multiplicando por a
b x
x − nos da:
Finalmente, de aquí despejamos x :
Este punto es el que toma el papel de r
x en lugar del punto medio del método
de bisección.
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea )
(x
f contínua,
Encontrar valores iniciales a
x , b
x tales que )
( a
x
f y )
( b
x
f tienen signos
opuestos, es decir,
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
iii) Evaluar )
( r
x
f . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes
casos:
( a
x
f y )
( r
x
f tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raíz se encuentra en el intervalo [ ]
r
a x
x , .

( a
x
f y )
( r
x
f tienen el mismo signo, y de aquí
que )
( r
x
f y )
( b
x
f tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra
en el intervalo [ ]
b
r x
x , .
En este caso se tiene que 0
)
( =
r
x
f y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
METODO DE NEWTON-RAPHSON
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y
efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-
Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso
iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación i
x a la raíz r
x de )
(x
f ,
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ( )
)
(
, i
i x
f
x ; ésta cruza al eje
x en un punto 1
+
i
x que será nuestra siguiente aproximación a la raíz r
x .
Para calcular el punto 1
+
i
x , calculamos primero la ecuación de la recta
tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos 0
=
y :
Y despejamos x :
Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximación:
, si
Notamos que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde
nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna
garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen
ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el
método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace
con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos
por excelencia.
También observe que en el caso de que 0
)
( =
′ i
x
f , el método no se puede
aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta
tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a
menos que coincida con éste, en cuyo caso i
x mismo es una raíz de )
(x
f .
METODO DE LA SECANTE
Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo
de la derivada usando la siguiente aproximación:
Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el
valor de , necesitamos conocer los dos valores anteriores y .
Obsérvese también, el gran parecido con la fórmula del método de la regla
falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa
trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso
iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez
que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último
de no converger a la raíz, mientras que el método de la regla falsa va a la
segura.
METODO DEL PUNTO FIJO
Este programa usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz
de una ecuación. Debemos de introducir una función )
(x
g tal que se desee
resolver la ecuación x
x
g =
)
( .
Dada la aproximación , la siguiente iteración se calcula con la
fórmula:
Supongamos que la raíz verdadera es , es decir
Restando las últimas ecuaciones obtenemos:
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si es
contínua en y diferenciable en entonces existe tal
que .
En nuestro caso, existe en el intervalo determinado
por y tal que:
De aquí tenemos que:

O bien,
Tomando valor absoluto en ambos lados,
Observe que el término es precisamente el error absoluto en
la ésima iteración, mientras que el término corresponde al
error absoluto en la ésima iteración.
Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la
siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.
En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz
si para en un intervalo que contiene a la raíz y donde
es contínua y diferenciable, pero diverge si en dicho intervalo.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
• Introducción
• Definiciones
o Ecuación Algebráica Lineal
o Sistema de Ecuaciones
o Solución de un Sistema de Ecuaciones
• Teorema de Rangos
• Eliminación Gaussiana
o Desventajas del Método
• Método de Gauss - Jordan
o Inversión de Matrices
• Método de Gauss – Seidel
INTRODUCCIÓN
En las distintas ramas de la ingeniería se plantean problemas en que se hace
necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas con un número
bastante grande de ecuaciones como para resolverlo manualmente o con
calculadora, por lo que hemos de conocer algunos métodos directos e iterativos
fáciles de programar para resolverlos con ayuda del ordenador.
OBJETIVOS
1. Comprender y aplicar fluidamente, los métodos para resolver un sistema
de ecuaciones lineales simultáneas con ayuda del ordenador.
o Métodos Directos
Eliminación de Gauss-Jordan
Inversión de matrices
o Métodos Iterativos
Gauss-Seidel
2. Diferenciar las ventajas y desventajas de cada uno de los métodos.
Recordemos algunos conceptos ya estudiados
ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL
Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una
variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se
admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término
independiente C1, son constantes reales.

SISTEMA DE ECUACIONES
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los
sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas
lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema
de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en
forma matricial.
(3)
Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
A X = C (4)
en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se
le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se
le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).
Entonces la matriz ampliada será:
(5)
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a
todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: compatible, si admite
solución; o Incompatible, si no admite solución.
Un sistema Compatible puede ser: Determinado, si la solución es única
o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que
existe una infinidad de soluciones.
TEOREMAS SOBRE RANGOS
El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden
que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con
la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).
En álgebra se demuestra que:
1. Para cualquier sistema,
2. Si r(A) < r(A, C) el sistema es incompatible
3. Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es compatible
En este caso, si además r(A) = n, el sistema
es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en
el sistema.
En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones
simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.
Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos
decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por
redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de
operaciones aritméticas.
Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de
operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra
manera, un método indirecto tiene un error por truncamiento mientras que un
método directo no lo tiene.
Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en
realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más
cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los
errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución"
carezca de sentido. A pesar de su error teórico por truncamiento, un método
indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo
no se acumulan.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de
ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las

incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce
como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el
proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss.
Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas
se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un
sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve
fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará
con la presentación siguiente.
El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones
simultáneas, tal como se muestra en (2), a un sistema triangular
equivalente como:
(6)
en el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el
proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:
1. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en esa
ecuación para obtener:
(7)
2. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda
ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando
así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la
tercera ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para
eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas
las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de manera que el
conjunto adopta la forma:

(8)
3. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que
la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el
coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la
siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).
4. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) se convierte en
la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para
eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote.
Esta reducción nos conduce a:
(9)
5. A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación pivote, y
se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las
ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento,
utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el
conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular
tal como se muestra en la ec. (6).
6. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última
ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor
de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima
ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su
vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del
conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y asi sucesivamente. Este
es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos
previamente.
Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos
procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7
X1 + 6 X2 - X3 = 13 (10)
2 X1 - X2 + 2 X3 = 5
Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es
unitario), obtenemos:
X1 + 4 X2 + X3 = 7
2 X2 - 2 X3 = 6 (11)
9 X2 + (0) X3 = -9
A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación
pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular
de ecuaciones:
X1 + 4 X2 + X3 = 7
2 X2 - 2 X3 = 6 (12)
- 9 X3 = 18
Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecs.
(12) se obtienen los siguientes valores:
X3 = -2
X2 = 1
X1 = 5
DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN
1. DIVISIÓN ENTRE CERO
Una de sus desventajas es que durante el proceso en las fases de eliminación
y sustitución es posible que ocurra una división entre cero. Se ha desarrollado
una estrategia del pivoteo para evitar parcialmente estos problemas. Ésta se
deja como investigación al alumno.
2. ERRORES DE REDONDEO
El ordenador maneja las fracciones en forma decimal con cierto número
limitado de cifras decimales, y al manejar fracciones que se transforman a
decimales que nunca terminan, se introduce un error en la solución de el
ordenador. Este se llama error por redondeo.
Cuando se va a resolver solamente un pequeño número de ecuaciones, el error
por redondeo es pequeño y generalmente no se afecta sustancialmente la

presición de los resultados, pero si se van a resolver simultáneamente muchas
ecuaciones, el efecto acumulativo del error por redondeo puede introducir
errores relativamente grandes en la solución. Por esta razón el número de
ecuaciones simultáneas que se puede resolver satisfactoriamente con el
método de eliminación de Gauss, utilizando de 8 a 10 dígitos significativos en
las operaciones aritméticas, se limita generalmente a 15 o 20.
3. SISTEMAS MAL CONDICIONADOS
La obtención de la solución depende de la condición del sistema. En sentido
matemático, los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un
cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similar en la solución.
Los sistemas mal condicionados son aquellos en los que cambios pequeños en
los coeficientes provocan cambios grandes en la solución.
Una interpretación diferente del mal condicionamiento es que un rango amplio
de respuestas puede satisfacer aproximadamente al sistema. Ya que los
errores de redondeo pueden inducir cambios pequeños en los coeficientes,
estos cambios artificiales pueden generar errores grandes en la solución de
sistemas mal condicionados.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Este método, que constituye una variación del método de eliminación de
Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10
dígitos significativos en las operaciones aritméticas del ordenador. Este
procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina
una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que
preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto
de ecuaciones
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3
0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes
como una matriz aumentada.

Se normaliza la primera fila dividiendo entre 3 para obtener:
El término X1 se puede eliminar de la segunda fila restando 0.1 veces el
primero de la segunda fila . De una manera similar, restando 0.3 veces el
primero de al tercera fila se elimina el término con X1 de la tercera fila.
En seguida, se normaliza la segunda fila dividiendo entre 7.00333:
Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:
la tercera fila se normaliza dividiéndola entre 10.010:
Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda
ecuación para obtener:

Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al
método de Gauss-Jordan.
Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden
parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos
operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por
excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales
simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-
Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.
INVERSIÓN DE MATRICES
Sea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea
diferente de cero, . Por definición de matriz inversa, se tiene que
es la inversa de A si:
(13)
Haciendo y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene
A X = I (14)
Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de
ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términos
independientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I.
Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a
cada columna de la matriz unitaria.
Por lo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de
Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las
operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de
manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz
ampliada , con lo que se tendrá la inversa buscada.

EJEMPLO
Invertir la matriz
Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad
Usando a11 como pivote, la fila 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de
las otras filas.
En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de las otras filas.
Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de las filas restantes:
Por lo tanto, la inversa es:

Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de
coeficientes, de la siguiente manera:
donde C es el vector de términos independientes.
Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de
matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres
conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que
intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si
se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren
únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que
contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de
eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de
inversión de matrices.
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra
soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número
exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que
se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del
procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de
ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a
más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan,
por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El
método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja
con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.
Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver
grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles
es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es
totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de
que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy
lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución
cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación
del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de
los otros coeficientes de esa ecuación.

Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a
los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la
velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los
coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor
absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada
ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros
coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de
ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.
Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia
pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas
lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el
cual existen siempre coeficientes dominantes.
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la
siguiente:
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si
es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si
no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los
valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero
afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la
incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando
para las otras incógnitas los valores supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita
que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor
calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las
incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor
calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada
ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados
para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se
deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se
obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta,
proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha
completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en
una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa,
en una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El
procedimiento queda entonces completo.
Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado,
mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no
especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las
incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia.
Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión
obtenida en los valores de las incógnitas para un dado.

EJEMPLO
Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel
utilizando un = 0.001.
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
SOLUCIÓN:
Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten
los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:
Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1
Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de
X1 y X2 calculados obteniendo:

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Como podemos observar, no se cumple la condición
Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman
como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:
Comparando de nuevo los valores obtenidos

Como se observa todavía no se cumple la condición
Así que hacemos otra iteración
comparando los valores obtenidos
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
X1 = 3.0
X2 = -2.5
X3 = 7.0
Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para
encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a
menudo se necesitan más iteraciones.

INTERPOLACIÓN
• Introducción
• Polinomios de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton
o Interpolación Lineal
o Interpolación Cuadrática
o Generalización
• Polinomios de Interpolación de Lagrange
• Funciones splines cúbicas. Interpolación por splines cúbicas.
INTRODUCCIÓN
Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores
conocidos. El método mas común empleado para este propósito es
la interpolación polinomial.
Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:
(1)
Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor
que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta
(es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio
de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden
que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una
fórmula para calcular los valores intermedios.
Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n
+ 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las
cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos
técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una
ordenadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS
DIVIDIDAS DE NEWTON
INTERPOLACIÓN LINEAL
La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una
linea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura
1.

Fig. 1
Usando triángulos semejantes, se tiene:
(2)
Que se puede reordenar como:
(3)
La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica que se
trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de
representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [
f(X1) - f(X2) ] / (X1 - X2) es una aproximación de diferencias divididas finitas a
la primera derivada. En general, entre mas pequeño sea el intervalo entre los
puntos, más exacta será la aproximación.
EJEMPLO 3.1
Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal.
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 =
1.7917595.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño
desde ln 1 a ln 4 = 1.3862944.
Nótese que el valor real de ln 2 = 0. 69314718
SOLUCIÓN:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:

La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo
más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:
Por lo contrario, usando el intervalo más pequeño reduce el error relativo
porcentual a e% = 33.3%.
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
El error en el ejemplo 3.1 se debe a que se aproxima a una curva mediante una
linea recta. Por consiguiente, una estrategia que mejora la aproximación es la
de introducir cierta curvatura en a linea que conecta a los puntos. Si se dispone
de tres puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo
orden(llamado tambien polinomio cuadrático o parábola). Una manera
conveniente para este caso es:
(4)
Nótese que aunque la ecuación (4) parezca diferente de la ecuación general de
un polinomio (1), las dos ecuaciones son equivalentes.
Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (4) y
obtener:
(5)
o, agrupar términos:
(6)
en donde:
(7)
De esta manera, las ecuaciones (1) y (4) son fórmulas alternativas equivalentes
del único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los
coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (4) con X = X0, y se obtiene
b0 = f(X0) (8)
sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (4) y evaluando en X = X1 se
obtiene:

(9)
Y por último, las ecuaciones (8) y (9) se sustituyen en la ecuación (4), y se
evalúa ésta en X = X2 y se obtiene:
(10)
Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la
pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos
términos de la ecuación (4) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1,
como se especificó anteriormente en la ecuación (3). El último término, b2(X-
X0)(X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.
Ejemplo 3.2
Ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el ejemplo
3.1
X0 = 1 f (X0) = 0.0000 000
X1 = 4 f (X1) = 1.3862 944
X2 = 6 f (X2) = 1.7917 595
Úsese el polinomio para evaluar ln 2
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación (8) da:
b0 = 0
la ecuación (9) genera:
Y la ecuación (10) da:
Sustituyendo estos valores en la ecuación (4) se obtiene la fórmula cuadrática:
f 2 ( X ) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)
que se evalua en X = 2 y se obtiene
f 2 ( 2 ) = 0.5658443
Lo que representa un error porcentual del e% = 18.4%. Por lo tanto, mejora la
interpolación comparada con los resultados obtenidos al usar una linea recta
(ejemplo 3.1).

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS
DE NEWTON
El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-
ésimo orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:
(11)
Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se
usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0,
X1, ... , Xn.
Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:
b0 = f (X0)
b1 = f [X1, X0]
b2 = f [X2, X1, X0] (12)
...
bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]
En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias
divididas finitas.
Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente
como:
(13)
La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos
primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalemte como:
(14)
De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:
(15)
Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los
cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de
interpolación:
f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +
...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]
(16)
Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de
Newton.
Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (16)
estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente
se encuentren en orden ascendente, como se ilustra en el ejemplo 3.3

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas,
en donde cada diferencia se indica entre los elementos que la producen:
i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera
0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)
1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)
2 X2 f(X2) f(X3,X2)
3 X3 f(X3)
EJEMPLO 3.3
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de
interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden:
X f(X)
1 0.000 0000
4 1.386 2944
6 1.791 7595
5 1.609 4379
SOLUCIÓN:
El polinomio de tercer orden con n = 3, es.
Las primeras diferencias divididas del problema son:
Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividia es:
Los resultados para f(X1, X0), f(X2, X1, X0) y f(X3, X2, X1, X0) representan los
coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (X0) = 0.0, la ecuación da:
f 3 (X) = 0 + 0.46209813 (X-1) - 0.0518731 (X-1)(X-4) + 0.0078655415 (X-1)(X-
4)(X-6)
Arreglando la tabla de diferencias
X f [X] f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ]
1.0 0.00000000 0.46209813 - 0.051873116 0.0078655415
4.0 1.3862944 0.20273255 - 0.020410950
6.0 1.7917595 0.18232160
5.0 1.6094379
Con la ecuación anterior se puede evaluar para X = 2
f 3 (2) = 0.62876869
lo que representa un error relativo porcentual del e% = 9.3%.
Nótese que la estructura de la ecuación (16) es similar a la expresión de
la serie de Taylor en el sentido de que los terminos agregados secuencialmente
consideran el comportamiento de orden superior de la función representada.
Estos términos son diferencias divididas finitas, y por lo tanto, representan
aproximaciones a las derivadas de orden superior. En consecuencia, como
sucede con la serie de Taylor, si la función representativa es un polinomio de n-
ésimo orden, el polinomio interpolante de n-ésimo orden bajado en n +
1 llevará a resultados exactos.
El error por truncamiento de la serie de Taylor es:
(17)
en donde es un punto cualquiera dentro del intervalo (Xi, Xi+1). Una
relación análoga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden está
dado por:
(18)

En donde es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las
incógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser
conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso.
Afortunadamente existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento
previo de la función. En vez de ello, se usa una diferencia dividida finita que
aproxima la (n+1)-ésima derivada:
Rn = f [X, Xn, Xn-1, ... , X1, X0](X-X0)(X-X1)..(X-Xn) (19)
en donde f(X, Xn, Xn-1, ... , X0) es la (n+1)-ésima diferencia dividida.
Ya que la ecuación (19) contiene la incognita f(X), ésta no se puede resolver y
obtener el error. Sin embargo, si se dispone de un dato adicional f(Xn+1), la
ecuación (19) da una aproximación del error como:
(20)
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación
del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas.
Este se puede representar concretamente como:
(21)
en donde:
(22)
En donde denota el "producto de".
Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:
(23)
y la versión de segundo orden es:
(24)
al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error
aproximado dado por:

(25)
La ecuación (21) se deriva directemente del polinomio de Newton. Sin
embargo, la razon fundamental de la formulación de Lagrange se puede
comprender directamente notando que cada
término Li(X) será 1 en X=Xi y 0 en todos los demas puntos.
Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor de f(Xi) en el punto Xi. Por
consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (21) es
el único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n+1 puntos.
Ejemplo 3.4
Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y segundo orden
para evaluar ln 2 en base a los datos:
i X f(X)
0 1.0 0.000 0000
1 4.0 1.386 2944
2 6.0 1.791 7595
Solución:
El polinomio de primer orden es:
y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es
de manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:
Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron
previamente usando la interpolación polinomial de Newton.
En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el
método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el
comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior. Ademas la
aproximación del error dada por la ecuación (20), en general puede integrarse
fácilmente en los cálculos de Newton ya que la aproximación usa una
diferencia dividida. De esta forma, desde el punto de vista de cálculo, a
menudo, se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de
Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo de calculo similar. Sin
embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. T ambien
existen casos en donde la forma de Newton es mas susceptible a los errores
de redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar

diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden
del polinomio se conoce a priori.
INTERPOLACION POR SPLINES CUBICAS.
Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha
demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por
computadora, por ejemplo, de tipos de letra.
Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por
splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar
los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente
para formar nuestra interpolación.
Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más
adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.
Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está
formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se
unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.
Definición. (Splines de grado k)
Dada nuestra tabla de datos,
donde suponemos que n
x
x
x <
<
< L
1
0 , y dado k un número entero
positivo, una función de interpolación spline de grado k, para la tabla de datos,
es una función )
(x
s tal que :
i) i
i y
x
s =
)
( , para toda n
i ,
,
1
,
0 K
= .
ii) ( )
x
s es un polinomio de grado k
≤ en cada subintervalo [ ]
i
i x
x ,
1
− .
iii ) ( )
x
s tiene derivada continua hasta de orden 1
−
k en [ ]
n
x
x ,
0 .
FUNCIONES SPLINES CUBICAS
Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición
correspondiente a este caso (k=3).
Dados los 1
+
n datos:
Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función )
(x
s definida
como sigue :

( )
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]







∈
∈
∈
=
−
− n
n
n x
x
x
si
x
s
x
x
x
si
x
s
x
x
x
si
x
s
x
s
,
,
,
1
1
2
1
1
1
0
0
M
donde cada ( )
x
si es un polinomio cúbico; ( ) i
i
i y
x
s = , para toda n
i ,
,
1
,
0 K
= y
tal que ( )
x
s tiene primera y segunda derivadas contínuas en [ ]
n
x
x ,
0 .
Ejemplo.
Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :
Solución.
Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:
( )
[ ]
[ ]



∈
+
+
+
∈
+
+
+
=
5
,
3
3
,
2
2
2
2
2
3
2
1
1
2
1
3
1
x
si
d
x
c
x
b
x
a
x
si
d
x
c
x
b
x
a
x
s
A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe
pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:
( ) 1
2
4
8
1
2 1
1
1
1 −
=
+
+
+
⇒
−
= d
c
b
a
s
( ) 2
3
9
27
2
3 1
1
1
1 =
+
+
+
⇒
= d
c
b
a
s
( ) 7
5
25
125
7
5 2
2
2
2 −
=
+
+
+
⇒
−
= d
c
b
a
s
Ahora calculamos la primera derivada de ( )
x
s :
( )
[ ]
[ ]



∈
+
+
∈
+
+
=
′
5
,
3
2
3
3
,
2
2
3
2
2
2
2
1
1
2
1
x
si
c
x
b
x
a
x
si
c
x
b
x
a
x
s
Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones
que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles
discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso
3
=
x . Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 3
=
x en los dos polinomios
e igualamos:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
1
1
2
1 3
2
3
3
3
2
3
3 c
b
a
c
b
a +
+
=
+
+
o lo que es lo mismo:
2
2
2
1
1
1 6
27
6
27 c
b
a
c
b
a +
+
=
+
+
Análogamente procedemos con la segunda derivada :

( )
[ ]
[ ]



∈
+
∈
+
=
′
′
5
,
3
2
6
3
,
2
2
6
2
2
1
1
x
si
b
x
a
x
si
b
x
a
x
s
Para lograr que ( )
x
s ′
′ sea continua :
( ) ( ) 2
2
1
1 2
3
6
2
3
6 b
a
b
a +
=
+
2
2
1
1 2
18
2
18 b
a
b
a +
=
+
∴
En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto
tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2
condiciones:
( )
( ) 0
0
0
=
′
′
=
′
′
n
x
s
x
s
De lo cual vamos a obtener :
( ) ( ) 0
2
2
6
0
2 1
1 =
+
⇒
=
′
′ b
a
s
0
2
12 1
1 =
+
∴ b
a
( ) ( ) 0
2
5
6
0
5 2
2 =
+
⇒
=
′
′ b
a
s
0
2
30 2
2 =
+
∴ b
a
Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el
cual es el siguiente:
0
2
30
0
2
12
2
18
2
18
6
27
6
27
7
5
25
125
2
3
9
27
2
3
9
27
1
2
4
8
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
b
a
b
a
b
a
b
a
c
b
a
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
Cuya forma matricial es la siguiente :


























−
−
=




















































−
−
−
−
−
0
0
0
0
7
2
2
1
0
0
2
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
12
0
0
2
18
0
0
2
18
0
1
6
27
0
1
6
27
1
5
25
125
0
0
0
0
1
3
9
27
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
9
27
0
0
0
0
1
2
4
8
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a

Usando un programa de ordenador, obtenemos la siguiente solución:
125
.
50
875
.
39
375
.
9
625
.
0
5
.
0
75
.
10
5
.
7
25
.
1
2
2
2
2
1
1
1
1
−
=
=
−
=
=
=
−
=
=
−
=
d
c
b
a
d
c
b
a
Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline
cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:
( )
[ ]
[ ]



∈
−
+
−
∈
+
−
+
−
=
5
,
3
125
.
50
875
.
39
375
.
9
625
.
0
3
,
2
5
.
0
75
.
10
5
.
7
25
.
1
2
3
2
3
x
si
x
x
x
x
si
x
x
x
x
s
Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio, creada con un
programa: MATHEMATICA.
Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que
conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios
diferentes. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las
derivadas de la función. Esta finura casi artística, es la que permite aplicar las
splines cúbicas, para cuestiones como el diseño de letras por computadoras, o
bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un
carácter bastante delicado, como podría tratarse de datos médicos sobre algún
tipo de enfermedad.

AJUSTE DE CURVAS
• Planteamiento del problema
• Evaluación del Error
• Ejemplo
o Polinomio de Segundo Grado
o Polinomio de Tercer Grado
o Polinomio de Cuarto Grado
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Supongamos que tenemos un conjunto de puntos que mostramos en la
siguiente gráfica
De los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma
de un polinomio de segundo grado de la forma:
(1)
Esta ecuación (1) puede usarse para representar el conjunto de valores
obtenidos experimentalmente para la cual debemos determinar los valores
de a 1, a 2, a 3, etc.
Para determinar estos valores utilizamos el siguiente procedimiento:
1. Establecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los
valores (obtenidos experimentalmente).

2. Escribir la ecuación que expresa el error o desviación entre el valor
observado y los valores dados por la ecuación.
3. Habiendo obtenido la ecuación del error, minimizar dicho error.
EVALUACIÓN DEL ERROR
Si consideramos las parejas de datos, como se muestra en la gráfica
donde:
d = distancia = Yobservada - Y obtenida por la ecuación
Yobservada = Valor obtenido experimentalmente.
Y obtenida por la ecuación = valor de la función evaluada en cualquier valor X
Observando la gráfica, parece que esta distancia se puede usar para
representar el error, pero habrá distancias positivas y negativas, (como se
puede observar la distancia d1 es positiva y la distancia d2 es negativa) de
modo que el error promedio para los puntos como los mostrados será pequeño
aunque los errores individuales sean grandes.
Esta dificultad podría ser resuelta usando el valor absoluto de las distancias,
sin embargo al derivar la función del valor absoluto se generan ciertos
problemas.
La solución podría ser definir el error como el cuadrado de la distancia, esto
elimina la dificultad del signo. Por esta razón el método se llama: Método de
Mínimos Cuadrados.

(2)
en donde S es la suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor
calculado y el valor observado y por lo tanto es el valor que se debe minimizar
(3)
Siendo el caso de que la curva supuesta es una ecuación de segundo grado,
se tiene la ecuación:
(4)
Para minimizar la función anterior, derivando parcialmente con respecto
a a 1, a 2 y a 3 e igualando a cero:
(5)
(Obsérvese que las variables son a 1, a 2 y a 3, mientras que Yi, X i son
constantes)
Las ecuaciones se pueden expresar de acuerdo como sigue:
(6)

Lo anterior lo podemos expresar en forma matricial:
(7)
La fórmula general para un polinomio de grado n en donde hay m parejas de
datos es:
(8)
Como se puede observar el problema consiste en lo siguiente:
1. Obtener la matriz de coeficientes.
2. Resolver el sistema de ecuaciones resultantes.
Recordando que:

1. Si n es el grado del polinomio, hay n+1 valores de la matriz de
coeficientes y n+1 ecuaciones.
2. El máximo exponente de X en los términos de la sumatoria de 2n puede
ser que los datos no representen un polinomio de 2o grado sino que
representen uno de 3o y 4o grados.
El ajuste de curvas es un procedimiento de tanteo y error, si una curva no
representa los datos, entonces se intenta con un polinomio de grado superior.
EJEMPLO:
X Y X Y
0.00 0.0000 0.60 0.6367
0.10 0.1002 0.70 0.7586
0.20 0.2013 0.80 0.8881
0.30 0.3045 0.90 1.0265
0.40 0.4108 1.00 1.1752
0.50 0.5211
De la tabla de datos, usando Mínimos Cuadrados, determine los polinomios de
2o, 3er y 4o grado; graficar para determinar la curva más aproximada.
SOLUCIÓN
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Primero determinamos los coeficientes de la matriz y los elementos constantes.
Los elementos de la matriz son:
M =11

Los términos constantes son:
De acuerdo con esto, el sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:
Resolviendo por Gauss se obtienen los siguientes resultados.
a1 = 0.006727
a2 = 0.895462
a3 = 0.265963
y el polinomio de segundo grado es:
POLINOMIO DE TERCER GRADO
Para el caso del polinomio de 3er grado se requiere:
M =11

y el sistema de ecuaciones a resolver es:
cuya solución es:
a1 = - 0.000112
a2 = 1.004150
a3 = - 0.019075
a4 = 0.190032
y el polinomio queda:
POLINOMIO DE CUARTO GRADO
Repitiendo el procedimiento anterior, se obtienen los siguientes resultados

a1 = - 0.000112
a2 = 0.994595
a3 = 0.028713
a4 = 0.113563
a5 = 0.038237
quedando el polinomio como se muestra:

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