El documento trata temas de aproximación numérica como interpolación polinómica, aproximación lineal y métodos de integración numérica. Explica el método de aproximación lineal y estimación de errores usando la tangente, así como la aproximación lineal en términos de la diferencial. También describe el ajuste lineal, el método de LaGrange y el método de diferencias divididas para la interpolación polinómica.

1. Tema1:
 Interpolacion,AproximacionPolinomial e Integracionnumérica.
 AproximacionLineal yEstimacionde Errores.
 AproximacionLineal enTerminosde laDiferencial.
 Ajuste Lineal.
 Metodode LaGrange.
 Metodode DiferenciasDivididas.
 Aproximacion Lineal y Estimacion de Errores:
Aproximacion Tangencial de una función
Formula: 𝐿( 𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓’(𝑎) (𝑥 − 𝑎).
Ejemplo#1:
Aproximar el valor de la Expresión 𝑠𝑖𝑛2(𝑥), con 𝑥 =
𝜋
4
+ 0.08. Esto es 𝑠𝑖𝑛2(
𝜋
4
+ 0.08) .
Solucion:
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) → 𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) . 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥).
Entonces:
𝑓 (
𝜋
4
) = 𝑠𝑖𝑛2 (
𝜋
4
) = (
√2
2
)
2
=
2
4
=
1
2
𝑓’( 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (2
𝜋
4
) 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
2
) = 1

2. Por lo tanto:
𝐿( 𝑥) = 𝑓 (
𝜋
4
) + 𝑓’(
𝜋
4
) (𝑥 −
𝜋
4
) =
1
2
+ (𝑥 −
𝜋
4
)
Luego:
𝑠𝑖𝑛2(𝑥) → 𝐿(𝑥) = (
1
2
) + (𝑥 −
𝜋
4
)
Para 𝑋 =
𝜋
4
+ 0.08.
𝑠𝑖𝑛2(
𝜋
4
+ 0.08) =
1
2
+ (
𝜋
4
+ 0.08 −
𝜋
4
) =
1
2
+ 0.08 = 0.58.
Resumen:
ValorExacto: 𝑠𝑖𝑛2(
𝜋
4
+ 0.08) =
1
2
= 0.57966 (usandoredondeoa5 cifrassignificativas).
Valor Aproximado: 0.58.
Error Relativo:
𝐸 = |
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 – 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
| |
0.57966 − 0.58
0.58
| = 0.00586
Error Porcentual:
𝐸 𝑝 = 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑥 100% 0.00586 𝑥 100% = 0.0586%
Ejercicios:
1. Aproximar el valor de 𝑐𝑜𝑠 4 (
𝜋
4
+ 0.01)
2. Aproximar el valor de 𝑠𝑖𝑛 (60° 1’) Sugerencia: 60° 1’ =
𝜋
3
+
1
60
(
𝜋
180
)
 Aproximación Lineal en Términos de la Diferencial.
Formula: 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) → 𝑓 (𝑥) + 𝑑𝑦
Ejemplo#2:
Hallar un valor aproximado a √653
en términos de la diferencial.
Solución:

3. Sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥) = √ 𝑥3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓’(𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
1
3 √𝑥23 𝑑𝑥
Por otro lado:
Dado que el entero más próximo a 65 que tiene raíz cubica exacta es 64 entonces:
𝑋 = 64 y 𝑑𝑦 = 1
Luego:
√653
= √64 + 13
= √643
+
1
3 √6423 (1) = 4 +
1
48
= 4.0208333
Resumen:
Valor exacto: 4.02073.
Valor Aproximado: 4.0208333
Error Relativo:
𝐸 = |
4.02073 – 4.0208333
4.0208333
| = 0.00003.
Error Porcentual:
𝐸 𝑝 = 0.00003𝑥100% = 0.003%.
Ejercicios:
1. Se tiene un tubo de 8𝑚 de largo, 6𝑐𝑚 de radio y 4.0𝑐𝑚 de espesor. Usando la
diferencial, Aproximar el volumen de hierro del tubo.
Sugerencia: volumen de un cilindro circular recto 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
2. Se quiere calcular el área de una esfera a partir del radio r mediante la fórmula 𝐴 =
4𝜋𝑟2 y en tal forma que el margen de error sea de 5%. Estimar el margen de error
porcentual con que debe medirse el radio.
 Ajuste Lineal
Dados los nodos (𝑥0 , 𝑦0) ; (𝑥 1 , 𝑦1) ; (𝑥2 ,𝑦2).
La recta:
𝑦 − 𝑦0 =
(𝑦1− 𝑦0)
𝑥 1 − 𝑥0
(𝑥 − 𝑥0)
Ajusta de forma lineal todos los valores comprendidos entre 𝑥0 y 𝑥2

4. Ejemplo#3 (Problema del Asesinato)
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 37° 34.5° 33.7°
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 12: 00ℎ 13: 00ℎ
Consideremos los nodos (12 ,34.5)y (13 ,33.7) hallemos la recta que pasa por esos puntos
𝑇 – 34.5 =
(33.7 − 34.5)
(13 − 12)
(𝑡 – 12) → 𝑇 = 34.5 – 0.8 (𝑡 – 12)
Si 𝑇 = 37 entonces
37 = 34.5 – 0.08 (𝑡 – 12) → 𝑡 – 12 =
34.5 − 37
0.8
→ 𝑡 = 12 – 3.125 = 8.875
Con una regla de tres:
1 → 60𝑚𝑖𝑛
0.875 → 𝑥
𝑋 = 52.5 → 𝑡 = 8:53.
 Interpolacion por el método de LaGrange.
M= 1
𝑃1(𝑥) = 𝐿0(𝑥)𝑦0 + 𝐿1(𝑥)𝑦1
Donde: 𝐿0( 𝑥) = 𝑥− 𝑥1
𝑥 1 − 𝑥0
Y 𝐿1(𝑥)=
𝑥− 𝑥0
𝑥 1 − 𝑥0
M= 2
𝑃2( 𝑥) = 𝐿0( 𝑥) 𝑦0 + 𝐿1( 𝑥) 𝑦1 + 𝐿2(𝑥)𝑦2
Donde: 𝐿0( 𝑥) =
( 𝑥− 𝑥1) (𝑥−𝑥2)
( 𝑥0− 𝑥1) (𝑥0−𝑥2)
; 𝐿1( 𝑥)=
( 𝑥− 𝑥0) (𝑥−𝑥2)
( 𝑥1− 𝑥0) (𝑥1−𝑥2)
; 𝐿2(𝑥)=
( 𝑥− 𝑥0) (𝑥−𝑥1)
( 𝑥2− 𝑥0) (𝑥2−𝑥1)
M=3
𝑃3( 𝑥) = 𝐿0( 𝑥) 𝑦0 + 𝐿1( 𝑥) 𝑦1 + 𝐿2( 𝑥) 𝑦2 + 𝐿3(𝑥)𝑦3
+ 𝐿3(𝑥)𝑦3
Donde: 𝐿0( 𝑥) =
( 𝑥− 𝑥1) ( 𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)
( 𝑥0− 𝑥1) (𝑥0−𝑥2)(𝑥0−𝑥3)
; 𝐿1( 𝑥)=
( 𝑥− 𝑥0) ( 𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)
( 𝑥1− 𝑥0) (𝑥1−𝑥2)(𝑥1−𝑥3)
𝐿2( 𝑥) =
( 𝑥− 𝑥0) ( 𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥3)
( 𝑥2− 𝑥0) (𝑥2−𝑥1)(𝑥2−𝑥3)
; 𝐿3(𝑥)=
( 𝑥− 𝑥0) ( 𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥3)
( 𝑥3− 𝑥0) (𝑥3−𝑥1)(𝑥3−𝑥2)

5. Ejemplo#4: Use el polinomio interpolante de LaGrange de grado M=1 y M=2 para aproximar
𝑓(0,9). Si la función es 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑒 𝑥 − 2) encuentre el valor real y estime la cota de error
porcentual.
𝑆𝑒𝑎 𝑓 (0,6) = − 0.176944
𝑓 (0,2) = 0.013752
𝑓 (0,8) = 0.223633
𝑓 (1,0) = 0.658091
Solución
Polinomio de grado M=1 Nodos: (0.8 ,0223633) ; (1.0 ,0.658091)
𝑃1(𝑥) = 𝐿0(𝑥)𝑦0 + 𝐿1(𝑥)𝑦1
𝐿0(𝑥) =
( 𝑥 − 1.0)
(0.8 − 1.0)
= −5(𝑥 – 1.0) ; 𝐿1(𝑥) =
( 𝑥 – 0.8)
(1.0 − 0.8)
= 5(𝑥 – 0.8)
Así:
𝑃1(𝑥) = −5 (𝑥 − 1.0) 0.223633 + 5 (𝑥 – 0.08) 0.658091
𝑃1(𝑥) = − 1.118165 (𝑥 – 1.0) + 3.290455 (𝑥 – 0.08)
Para 𝑋 = 0.9
𝑃1(0.9) = 0.1118165 + 0.3290455 = 0.44086 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.
Por otro lado:
𝑠𝑖𝑛 (𝑒0.9 − 2) = 0.44359 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜. (Usandolacalculadora)
Estimaciónde errores:
𝐸 = |
0.44359 – 0.440686
0.440686
| = 0.00619
𝐸 𝑝= 0.00619 x 100%= 0.61924%.
Polinomiode grado M=2
Nodos: (0.7 ,0.013752) ; (0.8 ,0.223633) ; (1.0 ,0.658091)
𝑃2( 𝑥) = 𝐿0( 𝑥) 𝑦0 + 𝐿1( 𝑥) 𝑦1 + 𝐿2(𝑥)𝑦2
𝐿0(𝑥) =
( 𝑥 − 0.8) (𝑥 − 1.0)
(0.7 − 𝑜.8) (0.7 − 1.0)
= 33.33333 ( 𝑥 − 0.8)(𝑥 − 1.0)
𝐿1 (𝑥) =
( 𝑥 − 0.7) (𝑥− 1.0)
(0.8 − 𝑜.7) (0.8 − 1.0)
= − 50 (𝑥 – 0.7) (𝑥 – 1.0)

6. 𝐿2(𝑥)=
( 𝑥− 0.7) (𝑥 – 0.8)
(1.0− 𝑜.7) (1.0 − 0.8)
= 16.66666 (𝑥 – 0.7) (𝑥 – 0.8)
Así:
𝑃1(𝑥) = 0.45840 (𝑥 – 0.8) (𝑥 – 1.0) + 11.18165 (𝑥 – 0.7) (𝑥 – 1.0)
+ 10.96818 (𝑥 – 0.7) (𝑥 – 0.8)
Para 𝑋 = 0.9
𝑃2(0.9) = − 0.00458 + 0.22363 + 0.21936 = 0.43841 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.
Estimaciónde errores:
𝐸 = |
0.44359 − 0.43841
0.43841
| = 0.01182
𝐸 𝑝 = 0.01182 𝑥 100% = 1.18154%
Ejercicio:
Hallarel polinomiode gradoM=3 para el ejemploanterior.
 Interpolaciónporel métodode DiferenciasDivididas:
Para M= 1
𝑃1(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 – 𝑥1)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑀 = 2
𝑃2(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 – 𝑥0) + 𝑎2 (𝑥 – 𝑥0) (𝑥 – 𝑥1)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑀 = 3
𝑃3(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 – 𝑥0) + 𝑎2 (𝑥 – 𝑥0) (𝑥 – 𝑥1) + 𝑎3 (𝑥 – 𝑥0) (𝑥 – 𝑥1) (𝑥 – 𝑥1)
Ahorabien:
𝑎0 = 𝑦0
𝑎1 = 𝑓 [𝑥0, 𝑥1] =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑎2 = 𝑓 [𝑥0, 𝑥1,𝑥2]=
𝑓[ 𝑥1 , 𝑥2] – 𝐹[𝑥0 , 𝑥1]
𝑥2 , 𝑥0
→
𝑓[ 𝑥1 , 𝑥2] – 𝑎1
𝑥1 − 𝑥0
Donde 𝑓 [ 𝑥1 , 𝑥2]=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑎3 = 𝑓 [𝑥0, 𝑥1,𝑥2,𝑥3] =
𝑓[ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] – 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥3]
𝑥3 − 𝑥0
→
𝑓[ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] – 𝑎2
𝑥3 − 𝑥0
Donde 𝑓 [𝑥1, 𝑥2,𝑥3]=
𝑓[ 𝑥2, 𝑥3] – 𝐹[𝑥1, 𝑥2]
𝑥3 − 𝑥1
→
𝑦3− 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2
−
𝑦2 –𝑦1
𝑥2− 𝑥1
𝑥3− 𝑥1

7. Ejemplo#5:Usandodatos del ejemplo#4
Aproximar 𝑓(0.9) polinomios de Diferencias Divididas de grado M=1 y M=2 para aproximar.
Sabiendo que la función es 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑒 𝑥 − 2) estime la cota de error.
𝑋 0.6 0.2 0.8 1.0
𝑌 −0.176944 0.013752 0.223633 0.658091
Solución:
Determinemosel polinomiode gradoM=1
𝑎0 = 𝑦0 = 0.223633 ; tomandolosnodos: ( 𝑥0,𝑦0)= (0.8, 0.223633) ;
(𝑥1, 𝑦1)= (1.0,0.658091)
𝑎1 = 𝑓 [𝑥0,𝑥1] =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
=
0.658091− 0.223633
1.0 − 0.8
→ 𝑎1 = 2.17229
Así:
𝑃1(𝑥) = 0.223633 + 2.17229 (𝑥 – 0.8)
Para 𝑋 = 0.9
𝑃1(𝑥) = 0.223633 + 2.17229 (0.9 – 0.8) = 0.44806 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.
Por otro lado:
𝑓 (0.9) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑒0.9 − 2) = 0.44359 → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜.
Estimaciónde Errores:
𝐸 𝑝= |
0.44359 − 0.44086
0.44086
| 𝑥100% = 0.61879%
Observación
𝐸 𝑝 = 0.61879% < 0.1%
Determinarel polinomiode gradoM=2
𝑎0 = 0.013752 ; Tomandolos nodos:(𝑥0, 𝑦0)=(0.7,0.013752) ; (𝑥1,𝑦1)= (1.0,0.658091) ;
(𝑥2,𝑦2) = (1.0, 0.658091)
𝑎1= 𝑓 [𝑥0,𝑥1]=
0.223633 − 0.013752
0.8−1.0
→ 𝑎1 = 2.09881
𝑎2= 𝑓 [𝑥0,𝑥1, 𝑥2] =
𝑓[ 𝑥1 , 𝑥2] – 𝑎1
𝑥1 − 𝑥0
=
(
0.658091−0.223633)
1.0−0.8
− 2.09881
1.0−0.7
=
2.17229 −2.09881
0.3
𝑎2= 0.24493

8. Así:
𝑃2( 𝑥)= 0.013752 + 2.09881 (𝑥 – 0.7) + 0.24493 (𝑥 – 0.7) (𝑥 – 0.8)
Para 𝑋 = 0.9
𝑃2(0.9) = 0.013752 + 2.09881 (0.9 – 0.7) + 0.24493 (0.9 – 0.7) (0.9 – 0.8)
𝑃2(0.9) = 0.43841 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.
Por otro lado:
𝑓 (0.9) = 0.44359 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜.
Estimaciónde Errores:
𝐸 𝑝 = |
0.44359 − 0.43841
0.43841
| 𝑥100% = 1.18154%
 Interpolaciónporel Métodode Neville.
Formula: 𝑄𝑖,𝑗 =
( 𝑥 –𝑥 𝑗−𝑗) 𝑄𝑖−𝑗…𝑘 − ( 𝑥−𝑥1) 𝑄𝑗−𝑖….𝑖
𝑥 𝑖–𝑥 𝑗−𝑗
𝑥 𝑖 𝑦𝑖 N
ev
ill
e
gr
ad
o
M
=1
Neville grado M=2 N
e
v
il
l
e
g
r
a
d
o
M
=
3
𝑥0 𝑦0 𝑄1,1(𝑥) 𝑄2,2(𝑥)
𝑥1 𝑦1 𝑄1,2(𝑥) 𝑄3,3(𝑥
)

9. 𝑥2 𝑦2 𝑄1,3(𝑥) 𝑄2,3(𝑥)
𝑥3 𝑦3
𝑄1,1(𝑥)=
( 𝑥 – 𝑥0) 𝑦1− ( 𝑥 – 𝑥1) 𝑦0
𝑥1 – 𝑥0
; 𝑄1,2( 𝑥) =
( 𝑥 – 𝑥1) 𝑦2 − ( 𝑥 – 𝑥2) 𝑦1
𝑥2 – 𝑥1
; Q1,3(𝑥)=
( 𝑥 – 𝑥2) 𝑦3− ( 𝑥 – 𝑥3) 𝑦2
𝑥3 – 𝑥2
𝑄2,2(𝑥)=
( 𝑥 – 𝑥0) 𝑄1,2− ( 𝑥 – 𝑥2) 𝑄1,1
𝑥2 – 𝑥0
; 𝑄2,3( 𝑥) =
( 𝑥 – 𝑥1) 𝑄1,3(− ( 𝑥 – 𝑥3) 𝑄1,2
𝑥3 – 𝑥1
𝑄3,3(𝑥)=
( 𝑥 – 𝑥0) 𝑄2,3− ( 𝑥 – 𝑥3) 𝑄2,2
𝑥3 – 𝑥0
Ejemplo#6:Apliqueel métodode Nevilleparahallarunpolinomiode gradoM=2 que aproxime
losdatos del ejemplo#4.
Solucion:
xi Yi Neville grado M=1 Neville grado M=2
0.7 0.013752 𝑄1,1(0.9) = 0.43351
0.8 0.223633 𝑄2,2(0.9) = 0.43841
1.0 0.658091 𝑄1,2(0.9) = 0.44086
𝑄1,1(0.9) =
(0.9 − 0.7) 0.223633 − (0.9 − 0.8) 0.013752
0.8 − 0.7
= 0.43351 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 M=1
𝑄1,2(0.9) =
(0.9 − 0.8) 0.658091 − (0.9 − 1.0) 0.223633
1.0 − 0.8
= 0.44086
𝑄2,2(0.9) =
(0.9 − 0.7) 0.44086 − (0.9 − 1.0) 0.43351
1.0 − 0.7
= 0.43841 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 M=2
Estimaciónde Errores:
Para M=1
𝐸 𝑝1 = |
0.44359 − 0.43351
0.43351
| 𝑥100% → 𝐸 𝑝1 = 2.32521%
Para M=2
𝐸 𝑝2 = |
0.44359 − 0.43841
0.43841
| 𝑥100% → 𝐸 𝑝2 = 1.18154%
Observación:
A medidaque aumentael gradodel polinomiodisminuye el error.

11. <
<
<
<
<