Cap7

Capítulo 7Capítulo 7
Teoría de ColasTeoría de Colas

Objetivos del CapítuloObjetivos del Capítulo
La distribución Poisson y exponencial.La distribución Poisson y exponencial.
Cumplimiento de las medidas de seguridad para losCumplimiento de las medidas de seguridad para los
modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.
Análisis económico de los sistemas de colasAnálisis económico de los sistemas de colas
Balance de líneas de ensambleBalance de líneas de ensamble

7.1 Introducción7.1 Introducción
Se estudian las filas de espera o colas.Se estudian las filas de espera o colas.
El objetivo del análisis de colas es diseñar unEl objetivo del análisis de colas es diseñar un
sistema que permita la organización óptima desistema que permita la organización óptima de
acuerdo a alguno criterios.acuerdo a alguno criterios.
Criterios Posibles:Criterios Posibles:
- Ganancia máxima- Ganancia máxima
- Nivel de atención de deseado- Nivel de atención de deseado

El análisis de los sistemas de colas requiere de unaEl análisis de los sistemas de colas requiere de una
comprensión de la medida del servicio apropiada.comprensión de la medida del servicio apropiada.
Posibles medidas del servicioPosibles medidas del servicio
- Tiempo promedio de atención de clientes- Tiempo promedio de atención de clientes
- Largo promedio de la cola- Largo promedio de la cola
- La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en- La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en
la cola para ser atendido.la cola para ser atendido.

7.2 Elementos del proceso de colas7.2 Elementos del proceso de colas
Un sistema de colas consta de tres componentesUn sistema de colas consta de tres componentes
básicas:básicas:
- Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de- Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de
acuerdo a un patrón de llegada.acuerdo a un patrón de llegada.
-El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en-El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en
una o más colas por el servicio.una o más colas por el servicio.
-Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.-Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.

Proceso de llegada a la cola.Proceso de llegada a la cola.
- Existen 2 tipos de procesos de llegada:- Existen 2 tipos de procesos de llegada:
* Proceso de llegada deterministico.* Proceso de llegada deterministico.
* Proceso de llegada aleatoria.* Proceso de llegada aleatoria.
- El proceso aleatorio es más común en la empresa.- El proceso aleatorio es más común en la empresa.
- Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede- Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede
describir el proceso aleatorio.describir el proceso aleatorio.

Las tres condiciones necesarias para la existenciaLas tres condiciones necesarias para la existencia
del proceso de llegada Poisson :del proceso de llegada Poisson :
* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante
un intervalo de tiempo.un intervalo de tiempo.
* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la
probabilidad de que llegue un cliente es la misma que paraprobabilidad de que llegue un cliente es la misma que para
todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.
* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia
sobre la llegada de otro.sobre la llegada de otro.
- Estas condiciones no restringen el problema y son- Estas condiciones no restringen el problema y son
satisfechas en muchas situaciones.satisfechas en muchas situaciones.

Distribución de llegada PoissonDistribución de llegada Poisson
P X k
e
k !
= =
λ
λ
t)
k t
( )
(
−
Donde:
λ = esperanza de llegada de un cliente por unidad
de tiempo
t = intervalo de tiempo.
e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).
k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).

HARDWARE HANK’SHARDWARE HANK’S
Un problema que ilustra la distribución Poisson.Un problema que ilustra la distribución Poisson.
- Los clientes llegan a Hank’s de acuerdo a una distribución- Los clientes llegan a Hank’s de acuerdo a una distribución
Poisson.Poisson.
- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al
local comercial.local comercial.
- ¿Cuál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre- ¿Cuál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre
las 8:00 y las 8:30 de la mañana?las 8:00 y las 8:30 de la mañana?

SOLUCIONSOLUCION
P X k
e
k
( )
(
!
= =
−
λ λ
t) k t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 =
0
0!
0.049787
0
1
1!
1
0.14936
1
2
2
2
0.2240423
3
3!
0.22404
2
Valores de entrada para la Dist.Valores de entrada para la Dist.
PoissonPoisson
λλ= 6 clientes por hora.= 6 clientes por hora.
t = 0.5 horas.t = 0.5 horas.
λλ t = (6)(0.5) = 3.t = (6)(0.5) = 3.
1 2 3 4 5 6 7 8

La fila de espera.La fila de espera.
- Factores que influyen en el modelo de colas:- Factores que influyen en el modelo de colas:
* Configuración de la fila* Configuración de la fila
* Tramposos* Tramposos
* Contrariedades* Contrariedades
* Prioridades* Prioridades
* Colas Tendem* Colas Tendem
* Homogeneidad.* Homogeneidad.

- Configuración de la fila- Configuración de la fila
* Una sola cola de servicio* Una sola cola de servicio
* Múltiples colas de servicio con una sola fila de espera* Múltiples colas de servicio con una sola fila de espera
* Múltiples colas de servicio con múltiples filas de espera.* Múltiples colas de servicio con múltiples filas de espera.
* Colas Tendem (sistema de servicios múltiples)* Colas Tendem (sistema de servicios múltiples)
- Tramposos- Tramposos
* Corresponden a clientes que se mueven a través de la cola* Corresponden a clientes que se mueven a través de la cola
sin seguir los criterios de avance.sin seguir los criterios de avance.
- Contrariedades- Contrariedades
* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque
perciben que esta es demasiada larga.perciben que esta es demasiada larga.

- Reglas de prioridad- Reglas de prioridad
* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.
* Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido* Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido
* Criterios de selección comúnmente usados:* Criterios de selección comúnmente usados:
- Primero en entrar primero en salir (FCFS).- Primero en entrar primero en salir (FCFS).
- Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).- Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).
- Tiempo estimado de atención- Tiempo estimado de atención
- Atención de clientes aleatoria.- Atención de clientes aleatoria.
- Homogeneidad- Homogeneidad
* Una población homogénea de clientes es aquella en la cual* Una población homogénea de clientes es aquella en la cual
los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.
* Una población no homogénea es aquella en la cual los* Una población no homogénea es aquella en la cual los
clientes pueden ser ordenados de acuerdo :clientes pueden ser ordenados de acuerdo :
+ A los patrones de llegada+ A los patrones de llegada
+ Al tipo de servicio requerido.+ Al tipo de servicio requerido.

El proceso de servicioEl proceso de servicio
- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de
atención fijo.atención fijo.
- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía
de acuerdo a la cantidad de clientes.de acuerdo a la cantidad de clientes.
- Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una- Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una
variable aleatoria.variable aleatoria.
- La distribución exponencial es usada, en algunos casos, para- La distribución exponencial es usada, en algunos casos, para
modelar el tiempo de atención del cliente.modelar el tiempo de atención del cliente.

Distribución exponencial del tiempo de atenciónDistribución exponencial del tiempo de atención
f(X) = µe-µX
donde µ = es el número de clientes promedio
que pueden ser atendidos por período de tiempo.
Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”
P(X t) = 1 - e-µt≤

Ilustración esquemática de la distribución exponencial
Probabilidad de que la atención sea completada
dentro de “ t “ unidades de tiempo
X = t
f(X)

7.3 Medida del performance de los7.3 Medida del performance de los
sistemas de colassistemas de colas
El performance puede ser medido concentrandoseEl performance puede ser medido concentrandose
en:en:
- Los clientes en la cola- Los clientes en la cola
- Los clientes en el sistema- Los clientes en el sistema
Los períodos transitorios y estáticos complican elLos períodos transitorios y estáticos complican el
análisis del tiempo de atención.análisis del tiempo de atención.

Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.
- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo
período de ejecución.período de ejecución.
Un período estacionario sigue al período transitorio.Un período estacionario sigue al período transitorio.
- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el
sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.
- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que
suma de las tasas de atención efectiva.suma de las tasas de atención efectiva.
λ< µ λ< µλ< µ λ< µ11 +µ+µ22++……+µ+µκκ λ<λ< kkµµ
Para un servidorPara un servidor Para k servidoresPara k servidores Para k servidoresPara k servidores
con tasa se serv.con tasa se serv. µµ
cada unocada uno

Medida del performance en períodos estacionarios.Medida del performance en períodos estacionarios.
PP00 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.= Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
PPnn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.= Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
L = número de clientes promedio en el sistema.L = número de clientes promedio en el sistema.
LLqq = número de clientes promedio en la cola.= número de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente enW = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
el sistema.el sistema.
WWqq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en= Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
la cola.la cola.
PPww = Probabilidad de que un cliente que llega deba= Probabilidad de que un cliente que llega deba
esperar para ser atendido.esperar para ser atendido.
ρρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo= Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo
que cada servidor es ocupado).que cada servidor es ocupado).

FormulasFormulas
- Las fórmulas representan las relaciones entre L, L- Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lqq, W, y W, W, y Wqq..
- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las
siguientes condiciones:siguientes condiciones:
* Sistemas de colas simples* Sistemas de colas simples
* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada
* El sistema opera bajo las condiciones de períodos* El sistema opera bajo las condiciones de períodos
estacionarios.estacionarios.
L =L = λλ W LW Lqq == λλ WWqq L = LL = Lqq ++ λλ // µµ
Para el caso de una población infinita.Para el caso de una población infinita.

Clasificación de las colas.Clasificación de las colas.
- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:
+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de llegada de clientes
+ Proceso de atención+ Proceso de atención
+ Número de servidores+ Número de servidores
+ Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas)+ Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas)
+ Tamaño de la población+ Tamaño de la población
- Notación- Notación
+ M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de+ M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de
atención exponencial.atención exponencial.
+D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención+D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención
+G (General) = Probabilidad general de llegada o de+G (General) = Probabilidad general de llegada o de
atenciónatención
Ejempo:
M / M / 6 / 10 / 20
Ejempo:
M / M / 6 / 10 / 20

7.4 Sistema de colas M/M/17.4 Sistema de colas M/M/1
CaracterísticasCaracterísticas
- Proceso de llegada Poisson.- Proceso de llegada Poisson.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
- Existe un solo servidor- Existe un solo servidor
- Cola de capacidad infinita- Cola de capacidad infinita
- Población infinita.- Población infinita.

Medidas del Performance para la colaMedidas del Performance para la cola
M / M /1M / M /1
PP00 = 1- (= 1- (λλ // µµ))
PPnn = [1 - (= [1 - (λλ // µµ)] ()] (λλ// µµ))nn
L =L = λλ // ((µµ -- λλ))
LLqq == λλ 22
// [[µµ((µµ -- λλ)])]
W = 1W = 1 // ((µµ -- λλ))
WWqq == λλ // [[µµ((µµ -- λλ)])]
PPww == λλ // µµ
ρρ == λλ // µµ
La probabilidad de que
un cliente espere en
el sistema más de
“t” es P(X>t)= e-(µ - λ)t

Zapatería Mary’sZapatería Mary’s
Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son enLos clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribuciónpromedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.Poisson.
El tiempo de atención se distribuyeEl tiempo de atención se distribuye
exponencialmente con un promedio de 8 minutos porexponencialmente con un promedio de 8 minutos por
cliente.cliente.
La gerencia esta interesada en determinar lasLa gerencia esta interesada en determinar las
medidas de performance para este servicio.medidas de performance para este servicio.

SOLUCIONSOLUCION
– Datos de entradaDatos de entrada
λλ = 1= 1// 12 clientes por minuto = 6012 clientes por minuto = 60// 12 = 5 por12 = 5 por
hora.hora.
µµ = 1= 1// 8 clientes por minuto = 608 clientes por minuto = 60// 8 = 7.5 por8 = 7.5 por
hora.hora.
– Calculo del performanceCalculo del performanceP0 = 1- (λ / µ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)n
L = λ / (µ - λ) = 2
Lq = λ2
/ [µ(µ - λ)] = 1.3333
W = 1 / (µ - λ) = 0.4 horas = 24 minutos
P0 = 1- (λ / µ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)n
L = λ / (µ - λ) = 2
Lq = λ2
/ [µ(µ - λ)] = 1.3333
W = 1 / (µ - λ) = 0.4 horas = 24 minutos
Pw = λ / µ = 0.6667
ρ = λ / µ = 0.6667

Datos de entrada para WINQSBDatos de entrada para WINQSB
µ
λ

Medidas de performanceMedidas de performance

7.5 Sistema de cola M/M/k7.5 Sistema de cola M/M/k
- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una
esperanzaesperanza λ.λ.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de
µµ clientes.clientes.
- Existe una población infinita y la posibilidad de- Existe una población infinita y la posibilidad de
infinitas filas.infinitas filas.

P
n k
k
k
n k
n
k
0
0
1
1
1 1
=


 

 + 

 


−





∑
=
−
! !
λ
µ
λ
µ
µ
µ λ
P
n
P
k k
P
n
n
n
n k
=


 


≤
=






−
λ
µ
λ
µ
!
!
0
0
for n k.
P for n > k.n
Para n<= k
Para n > k

( ) ( )
W
k k
P
k
=


 


− −
+
λ
µ
µ
µ λ µ1
1
2 0
!
Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas
por las formulas.
P
k
k
k
Pw
k
= 

 


−






1
0
!
λ
µ
µ
µ λ
ρ
λ
µ
=
k

OFICINA POSTAL TOWNOFICINA POSTAL TOWN
La oficina postal Town atiende público los SábadosLa oficina postal Town atiende público los Sábados
entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
DatosDatos
- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal
durante este período. La oficina tiene tres dependientes.durante este período. La oficina tiene tres dependientes.
- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de
los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en
orden a:
– La evaluación del nivel de servicio prestado.
– El efecto de reducir el personal en un dependiente.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en
orden a:
– La evaluación del nivel de servicio prestado.
– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entradaDatos de entrada
λ =λ = 100 clientes por hora.100 clientes por hora.
µ =µ = 40 clientes por hora (6040 clientes por hora (60 // 1.5).1.5).
Existe un período estacionario (Existe un período estacionario (λλ < k< kµ )?µ )?
λ =λ = 100 < k100 < kµ = 3µ = 3(40) = 120.(40) = 120.

7.6 Sistemas de colas M/G/17.6 Sistemas de colas M/G/1
SupuestosSupuestos
- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con
esperanzaesperanza λ.λ.
−− El tiempo de atención tiene una distribución general conEl tiempo de atención tiene una distribución general con
esperanzaesperanza µ.µ.
−− Existe un solo servidor.Existe un solo servidor.
- Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de- Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de
infinitas filas.infinitas filas.

Formula para L de Pollaczek - Khintchine.Formula para L de Pollaczek - Khintchine.
- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del
tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviacióntiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación
estándarestándar
son necesarias.son necesarias.
( )
L =
+

 


−

 


+
2
2
2 1
λσ λ
µ
λ
µ
λ
µ

TALLER DE REPARACIONES TEDTALLER DE REPARACIONES TED
Ted repara televisores y videograbadores.Ted repara televisores y videograbadores.
DatosDatos
- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de
2.25 horas.2.25 horas.
- La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45- La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45
minutos.minutos.
- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de
acuerdo a una distribución Poisson.acuerdo a una distribución Poisson.
- Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.- Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.
- El compra todos los repuestos necesarios.- El compra todos los repuestos necesarios.
+ En promedio, el tiempo de reparación esperado debería+ En promedio, el tiempo de reparación esperado debería
ser de 2 horas.ser de 2 horas.
+ La desviación estándar esperada debería ser de 40+ La desviación estándar esperada debería ser de 40
minutos.minutos.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar
un cliente hasta que su artefacto sea reparado.
Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar
un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atenciónSe trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención
no es exponencial puesno es exponencial pues σσ 11//µµ).).
DatosDatos
– Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)
λλ = 1= 1// 2.5 = 0.4 clientes por hora.2.5 = 0.4 clientes por hora.
µµ = 1= 1// 2.25 = 0.4444 clientes por hora.2.25 = 0.4444 clientes por hora.
σσ = 45= 45// 60 = 0.75 horas.60 = 0.75 horas.
– Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)
µµ = 1= 1//2 = 0.5 clientes por hora.2 = 0.5 clientes por hora.
σσ = 40= 40// 60 = 0.6667 horas.60 = 0.6667 horas.

7.7 Sistemas de colas M/M/k/F7.7 Sistemas de colas M/M/k/F
Se deben asignar muchas colas, cada una de unSe deben asignar muchas colas, cada una de un
cierto tamaño límite.cierto tamaño límite.
Cuando una cola es demasiado larga, un modelo deCuando una cola es demasiado larga, un modelo de
cola infinito entrega un resultado exacto, aunquedecola infinito entrega un resultado exacto, aunquede
todas formas la cola debe ser limitada.todas formas la cola debe ser limitada.
Cuando una cola es demasiado pequeña, se debeCuando una cola es demasiado pequeña, se debe
estimar un límite para la fila en el modelo.estimar un límite para la fila en el modelo.

Características del sistema M/M/k/FCaracterísticas del sistema M/M/k/F
- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson
con una esperanzacon una esperanza λ.λ.
- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se
distribuye exponencialmente, con esperanzadistribuye exponencialmente, con esperanza µ.µ.
−− El número máximo de clientes que puede estar presente en elEl número máximo de clientes que puede estar presente en el
sistema en un tiempo dado es “F”.sistema en un tiempo dado es “F”.
- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra
completo.completo.

Tasa de llegada efectiva.Tasa de llegada efectiva.
- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.
- La probabilidad de que el sistema se complete es- La probabilidad de que el sistema se complete es PPFF..
- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes
en el sistemaen el sistema ((λλee).).
λe = λ(1 - PF)

COMPAÑÍA DE TECHADOS RYANCOMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN
Ryan atiende a sus clientes, los cuales llamanRyan atiende a sus clientes, los cuales llaman
ordenan su servicio.ordenan su servicio.
DatosDatos
-- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.
- Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio- Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio
- En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.- En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.

Cuando una línea telefónica esta disponible, pero laCuando una línea telefónica esta disponible, pero la
secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,elsecretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el
cliente debe esperar en línea hasta que la secretariacliente debe esperar en línea hasta que la secretaria
este disponible.este disponible.
Cuando todas las líneas están ocupadas los clientesCuando todas las líneas están ocupadas los clientes
optan por llamar a la competencia.optan por llamar a la competencia.
El proceso de llegada de clientes tiene unaEl proceso de llegada de clientes tiene una
distribución Poisson, y el proceso de atención sedistribución Poisson, y el proceso de atención se
distribuye exponencialmente.distribuye exponencialmente.

La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:
- La menor cantidad de líneas necesarias.- La menor cantidad de líneas necesarias.
- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.
La gerencia esta interesada en la siguiente información:La gerencia esta interesada en la siguiente información:
El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.
EL número promedio de clientes que están es espera.EL número promedio de clientes que están es espera.
El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.
El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema M / M / 1 / 3Se trata de un sistema M / M / 1 / 3
λλ = 10 por hora.= 10 por hora.
µµ = 20 por hora (1= 20 por hora (1// 3 por minuto).3 por minuto).
– WINQSB entrega:WINQSB entrega:
PP00 = 0.533, P= 0.533, P11 = 0.133, P= 0.133, P33 = 0.06= 0.06
6.7% de los clientes encuentran las líneas6.7% de los clientes encuentran las líneas ocupadas.ocupadas.
Esto es alrededor de la meta del 2%.Esto es alrededor de la meta del 2%.
sistema M / M / 1 / 4
P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032
3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas
Aún se puede alcanzar la meta del 2%
sistema M / M / 1 / 5
P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032
P5 = 0.016
1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadas
La meta del 2% puede ser alcanzada.

Datos de entrada para WINQSBDatos de entrada para WINQSB
Otros resultados de WINQSBOtros resultados de WINQSB
Con 5 líneas telefónicas
4 clientes pueden esperar
en línea

7.8 Sistemas de colas M/M/1//m7.8 Sistemas de colas M/M/1//m
En este sistema el número de clientes potenciales esEn este sistema el número de clientes potenciales es
finito y relativamente pequeño.finito y relativamente pequeño.
Como resultado, el número de clientes que seComo resultado, el número de clientes que se
encuentran en el sistema corresponde a la tasa deencuentran en el sistema corresponde a la tasa de
llegada de clientes.llegada de clientes.
- Un solo servidor- Un solo servidor
- Tiempo de atención exponencial y proceso de llegada- Tiempo de atención exponencial y proceso de llegada
Poisson.Poisson.
- El tamaño de la población es de m clientes (m finito).- El tamaño de la población es de m clientes (m finito).

CASAS PACESETTERCASAS PACESETTER
Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatroCasas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro
proyectos.proyectos.
DatosDatos
- Una obstrucción en las obras ocurre en promedio cada 20- Una obstrucción en las obras ocurre en promedio cada 20
días de trabajo en cada sitio.días de trabajo en cada sitio.
- Esto toma 2 días en promedio para resolver el problema.- Esto toma 2 días en promedio para resolver el problema.
- Cada problema es resuelto por le V.P. para construcción- Cada problema es resuelto por le V.P. para construcción
¿¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no seCuanto tiempo en promedio un sitio no se
encuentra operativo?encuentra operativo?
-Con 2 días para resolver el problema (situación actual)-Con 2 días para resolver el problema (situación actual)
-Con 1.875 días para resolver el problema (situación nueva).-Con 1.875 días para resolver el problema (situación nueva).

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema M/M/1//4Se trata de un sistema M/M/1//4
Los cuatro sitios son los cuatro clientesLos cuatro sitios son los cuatro clientes
El V.P. para construcción puede ser consideradoEl V.P. para construcción puede ser considerado
como el servidor.como el servidor.
λλ = 0.05 (1= 0.05 (1// 20)20)
µµ = 0.5 (1= 0.5 (1// 2 usiando el actual V.P).2 usiando el actual V.P).
µµ = 0.533 (1= 0.533 (1//1.875 usando el nuevo V.P).1.875 usando el nuevo V.P).

Medidas del V.P V.P
Performance Actual Nuevo
Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334
Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435
Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100
Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437
Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562
Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666
Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334
Resultados obtenidos por WINQSBResultados obtenidos por WINQSB

7.9 Análisis económico de los7.9 Análisis económico de los
sistemas de colassistemas de colas
Las medidas de performance anteriores son usadasLas medidas de performance anteriores son usadas
para determinar los costos mínimos del sistema depara determinar los costos mínimos del sistema de
colas.colas.
El procedimiento requiere estimar los costos talesEl procedimiento requiere estimar los costos tales
como:como:
- Costo de horas de trabajo por servidor- Costo de horas de trabajo por servidor
- Costo del grado de satisfacción del cliente que espera en la- Costo del grado de satisfacción del cliente que espera en la
cola.cola.
-Costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido.-Costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido.

SERVICIO TELEFONICO DE WILSONSERVICIO TELEFONICO DE WILSON
FOODSFOODS
Wilson Foods tiene un línea 800 para responder lasWilson Foods tiene un línea 800 para responder las
consultas de sus clientesconsultas de sus clientes
DatosDatos
- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.
- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.
- Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos.- Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos.
-A un representante que atiende a un cliente se le paga $16-A un representante que atiende a un cliente se le paga $16
por hora.por hora.
-Wilson paga a la compañía telefónica $0.18 por minuto cuando-Wilson paga a la compañía telefónica $0.18 por minuto cuando
el cliente espera en línea o esta siendo atendido.el cliente espera en línea o esta siendo atendido.
- El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en- El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en
línea es de $20 por minuto.línea es de $20 por minuto.
-El costo del grado de satisfacción de un cliente que es-El costo del grado de satisfacción de un cliente que es
Que cantidad de representantes
para la atención de los clientes
deben ser usados para minimizar
el costo de las horas de operación?
Que cantidad de representantes
para la atención de los clientes
deben ser usados para minimizar
el costo de las horas de operación?

SOLUCIONSOLUCION
Costo total del modeloCosto total del modelo
Costo total por horas de
trabajo de “k”
representantes para la
atención de clientes
CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)
Total horas para sueldo
Costo total de las
llamadas telefónicas
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que permanecen en línea
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que son atendidos
CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw - gs)Lq

CCww= $16= $16
CCtt = $10.80 por hora [0.18(60)]= $10.80 por hora [0.18(60)]
ggww= $12 por hora [0.20(60)]= $12 por hora [0.20(60)]
ggss = $0.05 por hora= $0.05 por hora [0.05(60)][0.05(60)]
Costo total del promedio de horasCosto total del promedio de horas
TC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 - 3)LTC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 - 3)Lqq
= 16K + 13.8L + 9L= 16K + 13.8L + 9Lqq

Asumiendo una distribución de llegada de los clientesAsumiendo una distribución de llegada de los clientes
Poisson y una distribución exponencial del tiempo dePoisson y una distribución exponencial del tiempo de
atención, se tiene un sistema M/M/Katención, se tiene un sistema M/M/K
λλ = 225 llamadas por hora.= 225 llamadas por hora.
µµ = 40 por hora (60= 40 por hora (60// 1.5).1.5).
El valor mínimo posible para k es 6 de forma deEl valor mínimo posible para k es 6 de forma de
asegurar que exista un período estacionario (asegurar que exista un período estacionario (λλ<K<Kµ).µ).
WINQSB puede ser usado para generar losWINQSB puede ser usado para generar los
resultados de L, Lresultados de L, Lqq, y W, y Wqq..

En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.
K L Lq Wq CT(K)
6 18,1249 12,5 0,05556 458,62
7 7,6437 2,0187 0,00897 235,62
8 6,2777 0,6527 0,0029 220,50
9 5,8661 0,2411 0,00107 227,12
10 5,7166 0,916 0,00041 239,70
Conclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientesConclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientes

7.10 Sistemas de colas Tandem7.10 Sistemas de colas Tandem
En un sistema de colas Tandem un cliente debeEn un sistema de colas Tandem un cliente debe
visitar diversos servidores antes de completar elvisitar diversos servidores antes de completar el
servicio requeridoservicio requerido
Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega deSe utiliza para casos en los cueles el cliente llega de
acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atenciónacuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atención
se distribuye exponencialmente en cada estación.se distribuye exponencialmente en cada estación.
Tiempo promedio total en el sistema =
suma de todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales
Tiempo promedio total en el sistema =
suma de todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales

COMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYSCOMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYS
Big Boys vende productos de audio.Big Boys vende productos de audio.
El proceso de venta es el siguiente:El proceso de venta es el siguiente:
- Un cliente realiza su orden con el vendedor.- Un cliente realiza su orden con el vendedor.
- El cliente se dirige a la caja para v¡cancelar su pedido.- El cliente se dirige a la caja para v¡cancelar su pedido.
- Después de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para- Después de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para
obtener su producto.obtener su producto.

Datos de la venta de un Sábado normalDatos de la venta de un Sábado normal
- Personal- Personal
+ 8 vendedores contando el jefe+ 8 vendedores contando el jefe
+ 3 cajeras+ 3 cajeras
+ 2 trabajadores de empaque.+ 2 trabajadores de empaque.
- Tiempo promedio de atención- Tiempo promedio de atención
+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un
cliente es de 10 minutos.cliente es de 10 minutos.
+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago
de 3 minutos.de 3 minutos.
+ El tiempo promedio en el área de empaque es de 2+ El tiempo promedio en el área de empaque es de 2
minutos.minutos.
-Distribución-Distribución
+ El tiempo de atención en cada estación se distribuye+ El tiempo de atención en cada estación se distribuye
exponencialmente.exponencialmente.
+ La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40+ La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40
clientes por hora.clientes por hora.
Solomante 75% de
los clientes que llegan
hacen una compra
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprarque un cliente que viene a comprar
demora en el local?demora en el local?
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprarque un cliente que viene a comprar
demora en el local?demora en el local?

SOLUCIONSOLUCION
Estas son las tres estaciones del sistemaEstas son las tres estaciones del sistema
de colas Tandemde colas Tandem
M / M / 8
M / M / 3
M / M / 2
λ=40
λ=30
λ
=30
W1 = 14 minutos
W2 = 3.47 minutos
2.67 minutos
Total = 20.14 minutos.

7.11 Balance de líneas de ensamble7.11 Balance de líneas de ensamble
Una línea de ensamble puede ser vista como unaUna línea de ensamble puede ser vista como una
cola Tande, porque los productos deben visitarcola Tande, porque los productos deben visitar
diversas estaciones de trabajo de una secuenciadiversas estaciones de trabajo de una secuencia
dada.dada.
En una línea de ensamble balanceada el tiempoEn una línea de ensamble balanceada el tiempo
ocupado en cada una de las diferentes estaciones deocupado en cada una de las diferentes estaciones de
trabajo es el mismo.trabajo es el mismo.
El objetivo es maximizar la producciónEl objetivo es maximizar la producción

COMPAÑÍA DE MAQUINAS Mc MURRAYCOMPAÑÍA DE MAQUINAS Mc MURRAY
Mc Murray fabrica cortadoras de césped yMc Murray fabrica cortadoras de césped y
barredoras de nieve.barredoras de nieve.
La operación de ensamble de una cortadora constaLa operación de ensamble de una cortadora consta
de 4 estaciones de trabajo.de 4 estaciones de trabajo.
El tiempo máximo en cada estación de trabajo es deEl tiempo máximo en cada estación de trabajo es de
4 minutos. De este modo, el número máximo de4 minutos. De este modo, el número máximo de
cortadoras que pueden ser producidas es de 15 porcortadoras que pueden ser producidas es de 15 por
hora.hora.
La gerencia desea incrementar la productividadLa gerencia desea incrementar la productividad
mejorando el balance de las líneas de ensamble.mejorando el balance de las líneas de ensamble.

DatosDatos
La operación completa toma 12 minutosLa operación completa toma 12 minutos
La estación 2 es unaLa estación 2 es una
Tiempo
Estacion Operaciones Prom. (min)
1 Montar cuerpo y mango de la cort; Colocar barra de ctrol en el mango 2
2 Ensamblar motor en el cuerpo;colocar interruptor;cuchillas;etc; …. 4
3 Fijar mango, barra de control, cables, lubricar 3
4 Conectar barra de control; montar luz;inspección de calidad; embalar 3

SOLUCIONSOLUCION
Existen diversas opciones de balance para las líneasExisten diversas opciones de balance para las líneas
de ensamble.de ensamble.
- Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de- Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de
los 3 minutos asignados a cada estación de trabajo.los 3 minutos asignados a cada estación de trabajo.
- Asignar trabajadores ala estación de trabajo de manera tal de- Asignar trabajadores ala estación de trabajo de manera tal de
balancear la salidas de la estaciónbalancear la salidas de la estación
- Asignar múltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada- Asignar múltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada
una de las operaciones.una de las operaciones.

-Usar técnicas de optimización, para minimizar la cantidad de-Usar técnicas de optimización, para minimizar la cantidad de
tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.
- Usar heurísticas tales como “Técnica de clasificación de- Usar heurísticas tales como “Técnica de clasificación de
posiciones según el peso” para encontrar el menor número deposiciones según el peso” para encontrar el menor número de
estaciones de trabajo necesarias para satisfacer lasestaciones de trabajo necesarias para satisfacer las
especificaciones del ciclo de tiempo.especificaciones del ciclo de tiempo.

Técnica de clasificación de posiciones según el peso.Técnica de clasificación de posiciones según el peso.
1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las
tareas de las cuales esta es un predecesor.tareas de las cuales esta es un predecesor.
2. Clasifique las tareas en orden descendiente según el tiempo2. Clasifique las tareas en orden descendiente según el tiempo
total.total.
3. Considere la estación de trabajo 1 como la estación actual.3. Considere la estación de trabajo 1 como la estación actual.
4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la
clasificación si cumplen con las siguientes condiciones:clasificación si cumplen con las siguientes condiciones:
+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.
+ El tiempo de la estación actual no excede el tiempo+ El tiempo de la estación actual no excede el tiempo
deseado para el ciclo.deseado para el ciclo.
5. Si la segunda condición del paso 4 no se cumple, designe5. Si la segunda condición del paso 4 no se cumple, designe
una nueva estación como la estación actual, y asigne tareas auna nueva estación como la estación actual, y asigne tareas a
esta.esta.
6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido
asignadas a alguna estación de trabajo.asignadas a alguna estación de trabajo.

Mc Murray - ContinuaciónMc Murray - Continuación
La demanda por las cortadoras de césped ha subido,La demanda por las cortadoras de césped ha subido,
y como consecuencia el ciclo de tiempo programadoy como consecuencia el ciclo de tiempo programado
debe ser menor que los 3 minutos programados.debe ser menor que los 3 minutos programados.
Mc Murray desea balancear la línea usando la menorMc Murray desea balancear la línea usando la menor
cantidad de estaciones de trabajo.cantidad de estaciones de trabajo.

DatosDatos
Tareas que se requieren para fabricar una cortadora de céspedTareas que se requieren para fabricar una cortadora de césped
Tareas Siguente tarea Tiempo estim.
A--Colocar el cuerpo de la cortadora ***** 40
B--Colocar el mango de la cortadora ***** 50
C--Ensamblar el motor al cuerpo de la cortadora A 55
D--Colocar el interruptor A 30
E--Colocar rueda izquierda y asgurarla C 65
F--Colocar rueda derecha y asegurarla C 65
G--Lubricar cortadora E 30
H--Colocar cuchillas C 25
I--Colocar cables conectores del motor F, G 35
J--Colocar cable que une barra de control con el motorI 50
K--Montar luces H 20
L--Colocar barra de control en el mango B 30
M--Colocar mango L 20
N--Colocar cales conectores del mango M 50
0--Colocar cables conectores de la barra de control****** 45
P--Probar cortadora D, J, K, O 50
Q--Embalar cortadora P 60

SOLUCIONSOLUCION
Tareas Tiempo Tareas predecesoras TiempoTotal Clasific
A 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1
B 50 L,M,N,O,P,Q 305 3
C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 2
D 30 P,Q 140 14
E 65 G,I,J,P,Q 290 4
F 65 I,J,P,Q 260 5
G 30 I,J,P,Q 225 6,5
H 25 K,P,Q 155 12,5
I 35 J,P,Q 195 10
J 50 P,Q 160 11
K 20 P,Q 130 15
L 30 M,N,P,O,Q 255 6,5
M 20 N,O,P,Q 225 8
N 50 O,P,Q 205 9
O 45 P,Q 155 12,5
P 50 Q 110 16
Q 60 ********* 60 17

Pasos 1 y 2Pasos 1 y 2
Tareas seleccionadas según clasificaciónTareas seleccionadas según clasificación
Tareas Tiempo Tareas predecesoras Tiempo Total Clasific.
A 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1
B 50 L,M,N,O,P,Q 305 2
C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 3
D 30 P,Q 140 4
E 65 G,I,J,P,Q 290 5
F 65 I,J,P,Q 260 6,5
G 30 I,J,P,Q 225 6,5
H 25 K,P,Q 155 8
I 35 J,P,Q 195 9
J 50 P,Q 160 10
K 20 P,Q 130 11
L 30 M,N,P,O,Q 255 12,5
M 20 N,O,P,Q 225 12,5
N 50 O,P,Q 205 14
O 45 P,Q 155 15
P 50 Q 110 16
Q 60 **** 60 17

Paso 3 y 4Paso 3 y 4
Diseñado por Rubén Soto T. Diciembre de 1998.Diseñado por Rubén Soto T. Diciembre de 1998.
Estación Clasific Tarea Tiempo Tiempo Total Tiempo Ocios
1 1 A 40 40 140
1 2 C 55 95 85
1 3 B 50 145 35
1 4 E 65 210 Negativo
2 4 E 65 65 115
Asignción de Estaciones de trabajo para la producción de Cortadoras
Estación Tareas Tiempo TotalTiempo Ocios.
1 A,B,C 145 35
2 E,F,G 160 20
3 I,L,M,N 135 45
4 D,H,J,K 170 10
5 P,Q 110 70
Ciclo de tiempo actual = 170.
Este se debe reducir a 160,
moviendo “K” de la estac. 4
a la estación 5.

Cap7

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