teoria de colas- investigacion de operaciones

1. JULIO CÉSAR LONDOÑO ORTEGA
Email: julio.londono@correounivalle.edu.co
jclondonor@gmail.com
INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES II

2. MODELOS DE
FILAS DE ESPERA

3. Introducción a la Teoría de Colas
Ejemplos de la teoría de Colas
• La espera de los pasajeros en la sala para abordaje en un
aeropuerto,
• La cantidad de inventario de producto en proceso
almacenado temporalmente en espera de ser procesado,
• La espera de pacientes en la recepción de un consultorio,
• La cola de camiones esperando a ser atendidos por personal
especializado en los muelles de cargue y descargue en cierto
centro de despachos,
• Observe que en general las esperas aquí señaladas no son
del todo deseables, siendo en todo caso ideal que la espera
de los clientes sea nula y que por tanto no existan colas.

4. Introducción a la Teoría de Colas
El desear que los usuarios de un sistema nunca tengan
que esperar, etc., es algo que generalmente se queda
sólo en deseos, ya que en la practica es difícil de
lograr.
•Lo que si se puede hacer es minimizar la espera
•En la mayoría de sistemas empresariales la condición
de “no cola” o “no espera” es algo que se lograría con
muy altos niveles de eficiencia, donde normalmente el
costo de lograr esa eficiencia es mayor que el costo
asociado a las citadas esperas.
•Entonces, es bastante pertinente estudiar los
indicadores del sistema de espera en cuestión,
siempre tratando de mejorar la eficiencia global.

5. Definiciones
• Una cola es una línea de espera y
• La teoría de colas es una colección de
modelos matemáticos que describen
sistemas de línea de espera particulares o
sistemas de colas.
• Los modelos sirven para encontrar un buen
balance entre costos del sistema y los
tiempos promedio de la línea de espera
para un sistema dado.

6. Otros Elementos a considerar
• Proceso de Llegada: representa la forma en que la
llegada de clientes ocurre.
• Un dato importante que se maneja en el proceso
de llegada es el Tiempo entre Llegadas de
clientes, el cual puede ser determinístico
(constante), o probabilístico (asociado a cierta
distribución de probabilidad).
• También se considera si las llegadas de clientes
son individuales o por grupos (batches), en cuyo
caso se debe tener el dato del tamaño del batch.

7. Proceso de Llegada de Clientes
• Sea la variable aleatoria X igual al número de clientes que llegan
al sistema de espera por unidad de tiempo. Si esta variable
discreta se distribuye Poisson, entonces:
 = número promedio de llegadas por unidad de tiempo
T = número promedio de llegadas en un intervalo
especifico de tiempo T
Se cumple que el tiempo entre dos llegadas consecutivas
se distribuye exponencial con media b =1/
 
 
...
,
0,1




k
si
,
!
k
e
T
)
k
X
(
P
T
k 


8. Cuál es la probabilidad de que dos clientes lleguen en los
próximos 10 min.
Por ejemplo, suponga  que es igual a 20 clientes por
hora, entonces, la probabilidad de que lleguen dos
clientes en los próximos 10 minutos, viene dada por:
    19819
0
2
036
0
111
11
2
6
1
20
2
6
1
20
2
.
.
*
.
!
e
*
!
k
e
T
)
X
(
P
*
T
k








Ejemplo de proceso de llegadas
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen tres clientes en la
próxima hora si en las tres horas anteriores llegaron nueve?
    2240418
0
3
3
1
9
3
3
1
9
3
.
!
e
*
!
k
e
T
)
X
(
P
*
T
k








Se debe hacer reflexión acerca de la perdida de memoriadel sistema

9. Proceso de Llegada de Clientes
Sea la variable aleatoria Y el tiempo entre llegadas. Esta
variable continua tiene la siguiente función de
probabilidad:
0


 
t
,
e
)
t
Y
(
P T


0




t
,
e
)
t
Y
(
P
/
t
b
b
Si el número de eventos (llegadas) en un momento dado se
distribuye Poisson con una tasa media de eventos λ (eventos
por unidad de tiempo), entonces el tiempo entre dos eventos
consecutivos (tiempo entre llegadas) se distribuye
exponencial con media 1/ unidades de tiempo. (o al revés).

10. Otros Elementos a considerar
• Proceso de Atención: El proceso de atención se
representa generalmente por el tiempo que tarda la
atención de un cliente o Tiempo de Servicio.
• Este tiempo puede ser determinístico, es decir,
cualquier cliente es atendido en un tiempo
exactamente igual, o probabilístico, en cuyo caso
debe definirse la distribución de probabilidad del
tiempo de atención de un cliente.
• También se define si la atención se hace individual o
por batches.

11. Otros Elementos a considerar
• Numero de Servidores: Un sistema puede tener un
solo servidor o varios en paralelo como el caso de
algunas entidades financieras.
• Puede, además existir sistemas de servidores en
serie, con una común o en cambio varias colas.
Número de Servidores que el Sistema puede tener

12. Otros Elementos a considerar
Número de Servidores que el Sistema puede tener

13. Otros Elementos a considerar
• Capacidad del Sistema: Un sistema de espera se dice
que tiene capacidad infinita cuando no tiene
restricciones respecto al tamaño de la cola.
• La cola se vuelve de capacidad finita por motivos de
restricciones de espacio.
• Por ejemplo, la cola de ordenes de compra en un
Departamento de Compras (documentos a procesar)
es de capacidad infinita, ya que físicamente es posible
almacenar un gran número de ordenes de compra
pendientes por procesar en un archivador o en un
archivo electrónico en el computador.
• Caso contrario, en un banco pueden no caber más de
50 personas en fila

14. • Disciplina de Atención: La forma en que se
seleccionan los clientes de la cola con el fin de
atenderlos.
• Lo usual es que se use la disciplina FIFO o atención
en orden de llegada.
• Otra estrategia es con, el enfoque de prioridad y
otra aleatoria.
• El análisis de sistemas de espera a través de la
Teoría de Colas se justifica mayormente en virtud de
que los mencionados sistemas operen en forma
aleatoria: la llegada de un cliente y su tiempo de
atención no se conocen con anticipación, o son
totalmente probabilísticos.
Otros Elementos a considerar

15. Proceso de Salida de Clientes
• El número de clientes atendidos por unidad de tiempo se
distribuye Poisson con media μ (promedio de clientes
servidos por unidad de tiempo), si W es la variable aleatoria,
se tiene que la probabilidad de que W sea igual a k, viene
dada por:
 
,...
1
,
0
,
!
)
(
)
( 





k
si
k
e
T
k
W
P
T
k
 El tiempo entre dos salidas consecutivas o el tiempo de
servicio se distribuye exponencial con parámetro
b=1/μ unidades de tiempo.
0
,
)
( 
b


b

t
e
t
Z
f
t
0
,
)
( 


 

t
e
t
Z
f t

16. Preguntas de Análisis
• Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene
que esperar en la fila antes de ser atendido?
• Cuánto demora el Servidor en atender al cliente o
en procesar un producto?
• Cuáles son el número promedio y el máximo de
clientes que esperan en la fila?
• Cuántos recursos o servidores deben emplearse
para proporcionar un servicio aceptable?
• Los clientes esperaran en una fila o en varias filas?
• Qué tanto espacio se necesita para que los clientes
o productos puedan esperar?

17. Simbología General
Servidores
• c = Número de servidores.
•  = Tasa de servicio o el número promedio de
clientes que se atienden por unidad de tiempo.
• Disciplina de atención a clientes (FIFO, LIFO,
Prioridad Aleatoria).
• Colocación de los servidores (en Paralelo, en
Serie o en Red).
• Atención individual o en grupos.

18. Simbología General
Clientes
• n = Número de clientes en el sistema (tanto en fila
como en los servidores)
• N = Número máximo permisible de clientes en el
sistema
•  = Tasa de Llegadas o Número promedio de
llegadas de clientes por unidad de tiempo
• Población finita o infinita
• Llegadas individuales o en grupos

19. Simbología General
Cola
• Lq = Número promedio de clientes en cola
• L = Número promedio de clientes en el
sistema (en cola y en servicio)
• Tamaño de la Cola (Finita o Infinita)
• Forma de Salir de la Cola.

20. Indicadores para Evaluar el Rendimiento de
un Sistema de Colas
Otros Indicadores:
• U = utilización de los servidores o número de
clientes promedio atendidos por servidor por
unidad de tiempo
• r = intensidad de tráfico del sistema
Relacionados con el Tiempo
 W = Tiempo promedio de permanencia de un
cliente en el sistema (tanto en cola como en
servicio)
 Wq = Tiempo promedio de espera de un cliente
en cola

21. Indicadores para Evaluar el Rendimiento de
un Sistema de Colas
Relacionados con el Número de Clientes:
• L = Número promedio de clientes en el sistema
• Lq = Número promedio de clientes en la cola
• Pw = Probabilidad de que un cliente que llega tenga
que esperar.
• Pn = Probabilidad de que existan “n” clientes en el
sistema.
• Po = Probabilidad de que no hayan clientes en el
sistema.
• Pd = Probabilidad de negación de servicio, o
probabilidad de que un cliente que llega no pueda
entrar al sistema debido que la “cola esta llena”

22. Notación de Kendall-Lee
Esta notación es aplicable a servidores en paralelo y
fue propuesta en 1951 por Kendall y mejorada en 1953
por el trabajo de Kendall-Lee

23. Notación de Kendall-Lee
La simbología A/ B /C : D /E /F, intenta caracterizar
plenamente a un sistema de espera con servidores en
paralelo, donde:
A: Distribución probabilística de las llegadas: M (Poisson),
D (determinística),Ek (Erlang), G (General).
B: Distribución del tiempo de servicio: M (Exponencial), D
(determinística),Ek (Erlang), G (General).
C = Número de servidores en paralelo: c = 1, 2, 3, ...,
infinito
D = Disciplina de servicio: FIFO, LIFO, Aleatoria, Prioridad,
Disciplina General-DG.
E = Número máximo admitido de clientes en todo el
sistema: N, Infinito
F = Tamaño de la población de clientes: FINITO (K), Infinito

24. Modelos de una cola y un servidor
• M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
• M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de
tiempos de servicio
• M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de
tiempos de servicio
• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos
de servicio

25. Relaciones entre medidas de rendimiento
Tiempo
promedio en el
sistema
Tiempo
promedio de
espera
Tiempo
promedio de
servicio
W Wq 1/
Número
promedio de
clientes en el
sistema
Número promedio de
llegadas por unidad de
tiempo
Tiempo
promedio en el
sistema
L  W
Número
promedio de
clientes en la
cola
Número promedio de
llegadas por unidad de
tiempo
Tiempo
promedio en la
cola
Lq  Wq
E
s

26. Modelo M/M/1
)
(
Lq






2


 
n
Utilizació
de
Tasa





L
n
n )
(
P 


 1
)
(
Wq







 

1
W
t
)
(
e
)
t
W
(
P 
 


 1
1


 n
)
n
L
(
P 
1
0 
 
,
t
t
)
(
q e
)
t
W
(
P 

 


 1

27. Ejemplo Práctico
Manolo Jiménez, está preocupado por el desempeño de su negocio un
taller automotriz. Para ver qué puede hacer para resolver el problema,
le pide ayuda a un experto en teoría de colas. Después de una primera
toma de tiempos se obtiene la siguiente información:
• Las llegadas al taller se producen de forma aleatoria, según una
distribución Poisson de media 4 llegadas al día (1 día = 8 horas de
jornada laboral).
• La tasa de atención a clientes es 1,75 clientes por hora
• Se cuenta con un solo equipo para reparar los automóviles.
• Además del vehículo que está reparando, sólo caben 3 más en el
taller. Si llegan más, debe estacionarlos en la vía pública, con el
consiguiente deterioro en la calidad de servicio.
• Los vehículos se retiran del taller inmediatamente después de ser
reparados.

28. Ejemplo Práctico
Con estos datos, se solicita un análisis inicial de la situación.
a) ¿Qué fracción de tiempo estará el taller en funcionamiento?
b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera de
reparación de su vehículo?
c) ¿Cuál es el número promedio de vehículos esperando a
ser reparados (incluye el que está siendo atendido)?
%
.
.
.
ento
funcionami
en
tiempo
de
fraccion
La 57
28
75
1
5
0





1142
0
5
0
75
1
75
1
5
0 2
2
.
)
.
.
(
.
.
)
(
L
cola
en
clientes
de
Numero q









686
0
75
1
1
1142
0
1
.
.
/
.
L
L
sistema
el
en
clientes
de
Numero q







29. Ejemplo Práctico
f) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, en promedio, desde que el
vehículo llega al taller hasta que comienza la reparación?
e) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que
el vehículo llega al taller hasta que se acaba la reparación?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse vehículos
en la calle?
001904
0
1
.
4.5X10
-
0.0166
-
0.0583
-
0.2040
-
0.7143
-
1
P(4)
-
P(3)
-
P(2)
-
P(1)
-
P(0)
4)
P(x
sistema
el
en
clientes
mas
o
cuatro
haya
que
de
ad
probabilid
la
Es
3
-





8
0
5
0
75
1
1
1
.
.
.
W
sistema
el
en
promedio
Tiempo 






229
0.
0.5
0.11428
L
W
cola
en
promedio
Tiempo q
q 




30. Modelo M/M/1: ejemplo
• Un lavadero de carros puede atender un auto cada 5
minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por
hora.
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el
modelo M/M/1.
• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3
clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min.
en la cola y en el sistema.

31. Modelo M/M/1: ejemplo
,
, 12
9 
 

clientes
L 3






hr
.
W 33
0
1





25
0
1 0
0 .
)
(
P 

 

3164
0
3 1
3
.
)
L
(
P 

 

2231
0
60
30 60
30
75
0
1
12
1
.
e
e
)
/
W
(
P
)
.
(
t
)
(







 

167348
0
75
0
60
30 60
30
75
0
1
12
1
.
e
.
e
)
/
W
(
P
)
.
(
t
)
(
q 










75
0
12
9
.



clientes
.
)
(
Lq 25
2
2







hrs
.
)
(
Wq 25
0







0.25
0.75
-
1
-
1
a
equivale
También




32. Modelo M/M/1: ejercicio
• A un supermercado llegan en promedio 16 clientes
por hora que son atendidos por una caja.
• La caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/M/1
• Además la probabilidad de tener 2 clientes en el
sistema, la probabilidad de tener una cola de más
de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10
min. en la cola