1) Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol, incluyendo que siguen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos. 2) La ley de la gravitación universal de Newton establece que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos depende de sus masas y de la distancia entre ellos. 3) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo depende de su masa y de la altura sobre el cuerpo que genera el campo gravitatorio.

1. TEMA 3.- GRAVITACIÓN
LEYES DE KEPLER
1. Ley de las Órbitas. Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas
elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2. Ley de las Áreas. Las áreas barridas son directamente proporcionales a los
tiempos empleados en barrerlas.
3. Ley de los Periodos.
T 2
1
r 3
1
=
T 2
2
r 3
2
Hipótesis de la Ley de la Gravitación:
1. El Sol y los planetas son considerados como partículas, ya que sus distancias
relativas son mucho mayores que sus tamaños.
2. El sistema de referencia está fijo en el Sol. La aceleración de cada planeta se
mide respecto al Sol.
3. Cada planeta describe una órbita circular con una aceleración: ac=
v
2
R
Esta hipótesis no es muy errónea, ya que las órbitas elípticas reales tienen muy
poca excentricidad.
4. La única fuerza significativa que actúa sobre un planeta es la fuerza gravitatoria
del Sol.

2. LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
⃗F=−G
M m
R
2
⃗ur
siendo G = 6,67·10-11
N·m2
·kg-2
.
FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL
Una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre un cuerpo, cuando éste
describe una trayectoria cerrada, es cero.
La energía potencial es una magnitud, característica de las fuerzas conservativas,
cuya disminución mide el trabajo realizado por este tipo de fuerzas. La energía
potencial se representa por U.
En general, el trabajo realizado por una fuerza cualquiera cuando se desplaza su
punto de aplicación desde la posición 1 hasta la posición 2 viene dado por:
W =∫2
1
⃗F d ⃗r
Para una fuerza conservativa esta expresión toma la forma:
W =∫ 2
1
⃗F d ⃗r=U 1−U 2=−(U2−U 1)=−Δ U
que es la expresión matemática del Teorema de la Energía Potencial:
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la energía
potencial del cuerpo sobre el que actúa.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
U (r)=−G
m1 m2
r
siendo U(∞) = 0.

3. VARIACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS A y B
ΔU =UB−U A=
−G m1 m2
rB
−(
−G m1 m2
rA
)=
G m1 m2
r A
−
G m1 m2
rB
=G m1 m2(
1
rA
−
1
rB
)
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Recibe el nombre de energía mecánica la suma de la energía cinética más la energía
potencial.
Si sobre un sistema solamente actúan fuerzas conservativas, como gravitatorias y
elásticas, la energía mecánica del sistema permanece constante.
Esta propiedad recibe el nombre de Principio de Conservación de la Energía Mecánica.
EL CAMPO GRAVITATORIO
Se dice que existe un campo gravitatorio en una región del espacio si una masa, m,
colocada en un punto de esa región experimenta una fuerza gravitatoria.
El campo gravitatorio es conservativo.
El valor del campo en un punto dado no cambia con el tiempo; solamente depende de
las coordenadas del punto.
Se llama intensidad de un campo gravitatorio en un punto a la fuerza que ejerce el
campo sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Se representa por g, y tiene
las dimensiones de una aceleración. La intensidad del campo disminuye cuando
aumenta la distancia:
⃗g=−G
M
r
2
⃗ur
1. El vector intensidad de campo está dirigido siempre hacia el cuerpo que lo crea.
Esto se representa mediante un vector direccional ur.
2. El vector ur es un vector unitario cuya dirección es la recta que une cada punto
del campo con el centro de la masa que crea dicho campo, y cuyo sentido está
dirigido hacia el exterior de éste.
3. La intensidad del campo gravitatorio terrestre recibe el nombre de aceleración
de la gravedad o simplemente gravedad.
4. La aceleración de la gravedad depende de la altitud.

4. POTENCIAL GRAVITATORIO EN UN PUNTO DE UN CAMPO
El potencial gravitatorio en un punto A de un campo es el trabajo realizado por dicho
campo para trasladar la unidad de masa desde el infinito (es decir, desde fuera del
campo) hasta dicho punto.
V A=
U
m
=−G
M
r A
Se mide en J/kg.
APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL AL
MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS
Periodo de revolución y velocidad orbital:
Para que un satélite gire en una órbita circular alrededor de la Tierra, por ejemplo,
debe estar sometido a una fuerza centrípeta. Esta fuerza centrípeta la suministra la
atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite.
Fg=Fc
G
m M
Ro
2
=m
v
2
Ro
v=
√G
M
Ro
Velocidad de escape de un cohete:
Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima de lanzamiento de un cohete para
que éste pueda “escapar” de la atracción terrestre.
CASO 1: Velocidad de lanzamiento para que el cohete alcance una altura h.
1
2
mvL
2
−G
M T m
RT
=0−G
M T m
RT +h
CASO 2: Velocidad de lanzamiento para que el cohete abandone el campo gravitatorio
h = ∞. En este caso la velocidad de lanzamiento coincide con la velocidad de escape.
ve=
√2GMT
RT
=√2 go RT
Cambio de la órbita de un satélite:

5. Para una órbita estacionaria la energía de enlace es constante. Por consiguiente, si
queremos que un satélite cambie de una órbita ri a otra distinta rf, habrá que realizar
un trabajo equivalente a la diferencia entre las energías de enlace correspondientes:
W =E f −Ei=−
G M T m
2r f
−(−
G M T m
2ri
)=
G M T m
2
(
1
ri
−
1
r f
)