Fis 4 to. (2015)

Física General: 4to. Secundaria - 1 -
Cap. 1
FACTORES METEOROLÓGICOS
QUE CAUSAN DESEQUILIBRIO
EN EL ENTORNO NATURAL

- 2 - Física General: 4to. Secundaria
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Valoramos la tecnología de los instrumentos creados
para estudiar los cambios climáticos de nuestro
planeta, para la prestación de servicios en la
prevención de fenómenos naturales de la niña y el
niño, en beneficio de toda la población de la
comunidad plurinacional de Bolivia.
¿QUÉ ES UN CICLÓN?
Un ciclón tropical es un sistema atmosférico cuyo viento circula en dirección ciclónica, esto es, en el sentido
contrario a las manecillas del reloj en el hemisferio norte, y en el sentido de las manecillas del reloj en el
hemisferio sur. Como su nombre lo indica, el ciclón tropical se origina en las regiones tropicales de nuestro
planeta. Como la circulación ciclónica y bajas presiones atmosféricas relativas normalmente coexisten, es
común usar los términos ciclón y baja de forma intercambiable.
En latitudes templadas los ciclones son referidos como depresiones o ciclones extratropicales, y el término
ciclón se usa sólo para referirse a los ciclones tropicales.
Los ciclones tropicales están entre los sistemas meteorológicos más peligrosos y destructivos de la tierra.
Mientras la estructura y funcionamiento de una tormenta tropical madura son conocidos, su origen aún no es
bien entendido. La etapa antecedente de un ciclón tropical es conocida en América como perturbación
tropical; los ciclones tropicales se caracterizan por una circulación cerrada de sus vientos y se dividen en
fases de acuerdo con la velocidad de su Viento Máximo Sostenido en superficie:
Depresión tropical: VMS menor a: 63 km/h
Tormenta tropical: VMS entre: 63 y 118 km/h
Huracán: VMS mayor a: 118 km/h

¿Qué es la meteorología?- La meteorología es la
ciencia que se ocupa de los fenómenos que ocurren
a corto plazo en las capas bajas de la atmósfera,
fundamentalmente estudia el estado del tiempo,
el medio atmosférico, los fenómenos allí
producidos y las leyes que lo rigen.
¿Que son las estaciones meteorológicas?- Una
estación meteorológica es una instalación destinada
a medir y registrar regularmente diversas variables
meteorológicas. Estos datos se utilizan tanto para la
elaboración de predicciones meteorológicas a partir
de modelos numéricos como para estudios
climáticos.
Está equipada con los principales instrumentos de
medición, entre los que se encuentran los
siguientes:
a) Anemómetro: Que mide la velocidad del viento
b) Veleta: Que señala la dirección del viento
c) Barómetro: Que mide la presión atmosférica
d) Heliógrafo: Que mide la insolación recibida en la
superficie terrestre
e) Higrómetro: Que mide la humedad
f) Piranómetro: Que mide la radiación solar

g) Pluviómetro: Que mide el agua caída
h) Termómetro: Que mide la temperatura
Estos instrumentos se encuentran protegidos en una
casilla ventilada, denominada abrigo
meteorológico o pantalla de Stevenson, la cual
mantiene la luz solar directa lejos del termómetro y
al viento lejos del higrómetro, de modo que no se
alteren las mediciones de éstos.
Cuanto más numerosas sean las estaciones
meteorológicas, más detallada y exactamente se
conoce la situación. Hoy en día, gran cantidad de
ellas cuentan con personal especializado, aunque
también hay un número de estaciones automáticas
ubicadas en lugares inaccesibles o remotos, como
regiones polares, islotes deshabitados o cordilleras.
Ejercicios: Relaciona los instrumentos
meteorológicos uniéndolo con una línea.
barómetro temperatura
anemómetro presión atmosférica
termómetro dirección del viento
psicrómetro humedad relativa
pluviómetro precipitación
veleta intensidad del viento
La atmósfera.- La atmósfera es la capa gaseosa
que envuelve la Tierra.
Está formada por aire y partículas en suspensión. El
aire es una mezcla gaseosa en distinta proporción,
los más importantes son: nitrógeno, oxígeno, dióxido
de carbono, vapor de agua y otros gases en menor
proporción.
En la atmósfera también flotan diversas cantidades
de partículas diminutas como polen, arena fina,
cenizas volcánicas, bacterias.
Los principales gases que componen la atmósfera
son:
 Nitrógeno (N2): 78 % total del aire. Es un gas
que no reacciona con casi ninguna otra
sustancia (inerte) y apenas se disuelve en agua.
 Oxígeno (O2): 21 % del total. Es un gas muy
reactivo, se combina con otras sustancias
oxidándolas. Permite que los combustibles ardan
y se disuelve en agua.
 Dióxido de carbono (CO2): 0.033 % del total.
Producido por la combustión de los combustibles
fósiles y la respiración de las plantas. Es soluble
en agua.
Otros gases presentes son:
 Gases nobles: Argón (Ar) 0.93 %; Kriptón (Kr)
0.000114 %; Neón (Ne) 0.00182 %; Helio (He)
0.000524 %.
 Hidrógeno y metano.
La densidad.- La densidad de la atmósfera
disminuye conforme ascendemos en altura.
Cuando subimos a la cima de una montaña, o a un
punto de una ladera muy elevada, se dice que el aire
está "enrarecido" porque la mayor parte de la masa
del aire está en las zonas bajas atraído por la
gravedad de la Tierra y está como "aplastado" por
su propio peso y cuanto más ascendemos más
liviano, tenue y ligero es el aire.

En las capas altas existe menos presión y la
densidad es menor. La densidad y la presión del
aire disminuyen con la altura.
La temperatura.- La temperatura del aire tiende a
disminuir con la altitud, aunque en algunas regiones
altas de la atmósfera aumenta, debido a que
algunos gases absorben las radiaciones solares y
las transforman en calor.
La atmósfera parece una capa uniforme, pero su
temperatura varia de forma irregular con la altitud.
Estas variaciones sirven para diferenciar distintas
zonas de la atmósfera.
La altitud produce variaciones de temperatura:
Tierras altas, bajas temperaturas
Tierras bajas, altas temperaturas
Fenómenos meteorológicos.- Citaremos los más
importantes:
a) Lluvia: Es la precipitación de agua que cae a la
tierra desde las nubes, que son concentraciones de
vapor de agua compuestas de diminutas gotas, que
al condensarse forman otras más grandes que se
precipitan sobre la tierra. La lluvia es más habitual
en las zonas húmedas como son por ejemplo las
zonas tropicales.
b) Viento: Este fenómeno atmosférico se debe a los
movimientos de aire provocados por las
diferencias de temperatura y presión
atmosférica. Al calentarse el aire, se dilata, se hace
menos pesado y tiende a elevarse sobre las masas
de aire frío. Existen, además, tipos de vientos
propios de lugares determinados que se producen a
consecuencia de ciertas características geográficas
y climatológicas del lugar como el siroco.
c) Nieve: Es un fenómeno meteorológico que sólo
se produce cuando la temperatura de la atmósfera
es inferior a 0º C. Esto provoca que las pequeñas
gotas de lluvia de las nubes se congelen y formen
cristales de hielo que precipitan sobre la tierra en
forma de copos. La probabilidad de que nieve en un
lugar determinado está condicionada también por la
situación geográfica. Así se puede decir que a
mayor altitud, mayor posibilidad de que nieve, y a
mayor cercanía al Ecuador, menor posibilidad de
que nieve.
d) Huracán: Es un fenómeno meteorológico
consistente en una tormenta tropical que se forma
en el mar, caracterizado por la potencia de sus
vientos superiores a 120 km/h. Se generan en
zonas de baja presión atmosférica. Se suele
reservar el nombre de huracán para las tormentas
de este tipo que se producen en el Océano Atlántico.

e) Tormenta eléctrica: Es un fenómeno
meteorológico consistente en una tormenta
caracterizada por la presencia de rayos y truenos.
Los rayos son descargas eléctricas que se originan
por el choque de las cargas eléctricas positivas y
negativas de las nubes. Los truenos se producen
como consecuencia de los rayos. Son el ruido que
generan las descargas eléctricas y que se transmite
por el aire. El trueno siempre es posterior al rayo.
Granizo: son gotas de agua convertidas en hielo. Se
originan tanto en verano como en invierno, y
generalmente, en un tipo de nubes características
que reciben el nombre de cumulonimbos.
f) Arco iris: Es la descomposición de la luz en los
colores que la forman. Se produce cuando los haces
de luz del Sol atraviesan las gotas de lluvia.
g) Tornado: Es una columna de viento giratoria que
se extiende desde el suelo hasta las nubes. Se
produce en determinadas condiciones cuando choca
una corriente de aire frío y seco con otra de aire
caliente y húmedo. Tifón: Es el nombre que reciben
los huracanes cuando se originan en el Océano
Pacífico.
h) Inundación: Invasión lenta o violenta de aguas
de río, lagunas o lagos, debido a fuertes
precipitaciones fluviales o rupturas de embalses,
causando daños considerables. Se pueden
presentar en forma lenta o gradual en llanuras, y de
forma violenta o súbita, en regiones montañosas de
alta pendiente.
i) Sequías: Deficiencia de humedad en la atmósfera
por precipitaciones pluviales irregulares o
insuficientes, inadecuado uso de las aguas
subterráneas, depósitos de agua o sistemas de
irrigación.
j) Heladas: Producida por las bajas temperaturas,
en general, causan daño a las plantas y animales.
Fenómeno del Niño y la Niña.- El Niño y La Niña
son dos partes opuestas de un fenómeno climático
formalmente conocido como la Oscilación del Sur.
El nombre común de "El Niño" refiere al Niño Jesús,
debido a las aguas inusualmente cálidas
originalmente observadas por los pescadores de
Perú en diciembre, cerca de navidad. Los
pescadores de Sudamérica empezaron a notar este
fenómeno en el siglo 16 y se confirmó como un ciclo
climático a través de las mediciones científicas en la
década de los 1920. En esta década cada ciclo era
de 3 a 7 años, pero desde los 1970 los ciclos están
ocurriendo con mayor frecuencia.

El Niño es la etapa cálida del ciclo. Se caracteriza
por temperaturas más altas en el Pacífico, lluvia en
los desiertos de Sudamérica y baja presión del aire
en la región del Pacífico oriental. Empieza cuando
los vientos Alisios sobre el Océano Pacífico se
debilitan por causa de un cambio en la presión del
aire. Normalmente estos vientos soplan del lado
oriental del Pacífico (las Américas) hacia el oeste
(Australia, Indonesia, China, etc.) y cuando dejan de
soplar o cambian de dirección, permiten que las
aguas cálidas de Asia lleguen a la costa de las
Américas, donde el agua es normalmente más fría.
La presión del aire, la temperatura del océano y la
formación de nubes de lluvia son íntimamente
vinculadas, por lo tanto ocurre una alteración de los
patrones normales de circulación del océano y
la atmósfera.
La Niña es la etapa fría del ciclo. Las características
de La Niña son exactamente el opuesto de la etapa
de El Niño, por ejemplo aguas más frías que lo
normal, clima seco en la costa de Sudamérica y
lluvias y tormentas en Asia oriental.
Efectos de El Niño:
- Temperaturas más altas que lo normal, lluvia e
inundaciones en la costa occidental de las
Américas (California, Ecuador, Perú), en el Golfo
de México y en el nordeste de África.
- Reducción de la población de pescado en la
costa de Perú, debido a las temperaturas más
altas del agua.
- Sequía en el sur de África e India y en el Pacífico
del oeste (Australia, Indonesia, Filipinas).
- Los huracanes que normalmente ocurren en Asia
(Indonesia, Filipinas, Tailandia) comienzan a
formarse en las islas del Pacífico (Hawái, Tahití,
Fiji).
Efectos de La Niña:
- Clima seco y frío en la costa occidental de las
Américas, en el Golfo de México y en el nordeste
de África.
- Lluvias fuertes en el sur de África e India y en el
Pacífico del oeste.
- Inundaciones y huracanes en Asia oriental.
SOROJCHI (MAL DE ALTURA)
La principal causa de mal de altura es la hipoxia
(falta de oxígeno en el organismo).
La concentración de oxígeno en la atmósfera
disminuye con la altura, lo que afecta a la
respiración de los seres humanos.
La gravedad de este trastorno está relacionada
directamente con la velocidad de ascenso y la altitud
alcanzada. Sin embargo, el cuerpo humano posee
adaptaciones a corto y largo plazo que le permiten
compensar, en forma parcial, la falta de oxígeno.
Los atletas utilizan estas adaptaciones para mejorar
su rendimiento.
Estos síntomas normalmente desaparecen al
descender a cotas más bajas.
Ocurre a partir de los 2100 metros de altitud, hasta
los 8000 metros de altitud donde ningún cuerpo
humano puede aclimatarse.

LABORATORIO VIRTUAL
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material093/index.html
Una página muy completa, ingresa y descubre sus actividades:
- Ingresa a Educaplus con un buscador
- Elija Física y luego Ciencias de la tierra
- Elige atmósfera
- Luego clic en el viento
- Con la flecha cambia la velocidad del viento y
observa las consecuencias
- Investiga y practica
VELOCIDAD DEL VIENTO
- Ingresa a Educaplus con un buscador
- Elija Física y luego Ciencias de la tierra
- Elige atmósfera
- Luego clic en propiedades de la atmosfera
- Con la flecha cambia la posición del globo
- Observa, investiga y practica
Los cambios de altura, presión, temperatura y
densidad del aire.
- Investiga y con ayuda del profesor revisa tus
conocimientos en las siguientes actividades
PROPIEDADES DE LA ATMÓSFERA

Cap. 2
TEORÍA DEL ERROR
ANÁLISIS DE
DATOS EXPERIMENTALES
Contenido:


Valoramos la importancia del trabajo en el laboratorio
de física mediante el estudio de la teoría del error,
realizando mediciones con diversos instrumentos y
con el apoyo de la matemática, determinar el error
experimental, para que el estudiante pueda usar en sus
estudios posteriores aplicando el método científico.
CORRECCIÓN DE MEDIDAS EXPERIMENTALES CON EXCEL
Los cálculos para corregir datos experimentales pueden ser tediosos si se hacen a mano o con
calculadora. Lo más recomendable es utilizar una hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) para todo el
proceso, tanto las operaciones como las representaciones gráficas.
En Excel se dispone de muchas funciones estadísticas, entre ellas una que se llama
ESTIMACIÓN LINEAL o DISPERSIÓN que calcula mediante el método de los mínimos cuadrados
la recta de mejor ajuste a una tabla de datos, y devuelve los valores de la pendiente (m), la
ordenada en el origen (b), el coeficiente de correlación (R2
) y alguna otra información de las
funciones lineales:
y = m x + b
También en las representaciones gráficas, en particular en los gráficos de dispersión, se puede
añadir una línea de tendencia para mostrar la recta obtenida por el método de mínimos cuadrados.
Intensidad
(A)
Diferencia de
Potencial
(V)
0.1 0.9
0.3 3.1
0.6 5.9
0.7 7.1
0.9 8.9
1 10.1
Se recomienda INVESTIGAR y practicar el tratamiento de datos experimentales con Excel, debido a
la enorme simplificación que se realiza en el ajuste de curvas por regresión lineal, dejando atrás las
complicaciones matemáticas.
LA TECNOLOGÍA ES PARA FACILITAR EL TRABAJO, NO PARA COMPLICARNOS.

Introducción- La medición, es el proceso por el
cual se compara una magnitud determinada con la
unidad patrón correspondiente.
El resultado de la medición nos da
cuantitativamente un valor de la magnitud y
podemos interpretar futuras situaciones.
Para realizar una medición, generalmente se hace
uso de herramientas y/o equipos especiales así
también cálculos matemáticos.
Ejemplo:
Si medimos la velocidad de un “atleta” con ayuda de
una cinta métrica, un cronómetro y una ecuación
matemática, obtenemos como resultado “3 m/s”;
sabremos entonces que éste nunca será campeón
en una competencia de 100 metros planos.
Clases de mediciones.- La manera de calcular los
errores depende del tipo de medida:
a) Mediciones directas.- Son las que se obtienen
comparando la magnitud con el patrón directamente
o mediante un aparato calibrado. Así se suelen
medir la longitud, la masa, el tiempo, el voltaje, etc.
Ejemplo:
La longitud del diámetro en la figura, nos
indica directamente un valor de 25.4 mm.
b) Mediciones indirectas.- Las que se calculan
mediante una fórmula a partir de magnitudes
medidas directamente. Así suelen obtenerse la
velocidad, la superficie, etc.
Ejemplo:
La matemática es una herramienta muy importante
Errores en el proceso de medición.- La medición
la realiza el ser humano con un instrumento de
medida.
En toda medición, por más calibrado que se
encuentre el instrumento a usar, siempre el
resultado obtenido estará afectado de cierto error.
Nunca se llega al valor exacto, debido a la
imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o
de leer exactamente una escala.
Precisión y exactitud.- Se debe hacer una clara
distinción entre exactitud y precisión.
a) La exactitud: Da una idea del grado de
aproximación con que el valor medido concuerda
con el valor verdadero; es decir, es la cercanía del
valor experimental obtenido al valor real de dicha
medida.
Se la asocia con la calidad de la calibración del
instrumento respecto de los patrones de medida.
b) La precisión: Indica el grado de concordancia
entre valores medidos, es decir, en cuanto se
aproximan unas a otras.
También está asociada a la sensibilidad o menor
variación de la magnitud que se pueda detectar con
un instrumento (o un método de medición).
PRECISIÓN Y EXACTITUD
La precisión es la capacidad de un instrumento
de dar el mismo resultado en diferentes
mediciones realizadas en las mismas
condiciones y exactitud es la capacidad de un
instrumento de medir un valor cercano al valor
de la magnitud real.
volumen
masa
densidad 

Clasificación de Errores.- Se tienen básicamente
dos tipos de errores en el proceso de medida:
a) Errores Sistemáticos.- Tienen que ver con la
metodología del proceso de medida (forma de
realizar la medida).
Son errores que afectan el resultado de una
medición en el mismo sentido, al medir varias veces
una magnitud física siempre se comete el mismo
error.
- Calibrado del aparato: Normalmente errores en
la puesta a cero. La mala calibración del
instrumento de fábrica o descalibración por el uso
excesivo.
Por ejemplo algunas señoras del mercado estiran el
resorte de la balanza para que el producto pese
menos. Es otro error sistemático que se produce en
el mismo sentido y varias veces.
- Error de paralaje: Cuando un observador mira
oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un
líquido, líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar
de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar
perpendicularmente la escala de medida del
aparato.
Visto desde A es el correcto, vistos desde B y C, se
cometen errores de paralaje.
b) Errores casuales o aleatorios.- Se producen por
causas difíciles de controlar, ocurren al azar, no se
conocen con anticipación.
Las causas que los originan son difíciles de
descubrir, estas pueden ser:
- Los cambios bruscos de temperatura,
producen dilataciones y contracciones en los
instrumentos.
- Presencia de corrientes de aire, que pueden
mover la posición de una aguja indicadora de una
balanza sensible.
- Para medir tiempos con el cronómetro, el que
mide puede pulsar la aguja antes o después de
lo debido.
- En la lectura de longitudes con regla u otros
instrumentos, las limitaciones de la vista,
provocan lecturas diferentes.
- El cansancio del que mide, disminuye la
capacidad visual y la rapidez de sus reflejos.
Sensibilidad (apreciación o incertidumbre).- La
sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de la
magnitud que es capaz de medir (división más
pequeña de la escala).
Se llama: incertidumbre del instrumento, a la
sensibilidad o apreciación.
Para el caso de una regla común:
Su apreciación o sensibilidad es 1 mm
Ejem. 2.1.- Se realiza 5 mediciones con dos
balanzas de la misma sensibilidad.
Balanza 1 (g) Balanza 2 (g)
25.55
25.56
25.54
25.57
25.53
25.55
25.59
25.51
25.58
25.52
Promedio = 25.55
Eabsoluto = 0.01
Promedio = 25.55
Eabsoluto = 0.03
Nota: La forma de calcular Ea se verá más adelante.
- Las dos balanzas dan como medida 25.55 g
- La precisión de la balanza (1) es mayor
- La segunda balanza es menos exacta y da una
dispersión mayor de las medidas.
- La primera balanza es más exacta y precisa.
La incertidumbre en las mediciones afecta a la
exactitud.
Una medida es más precisa, cuanto mayor es el
número de cifras significativas.
Se comete errores
al ubicar el cero
Se comete errores
al dar la lectura

xxx 
xx  x xx 
Estimación de una lectura.- La estimación de una
lectura depende de la apreciación del instrumento
y de la habilidad del operador.
La estimación de una lectura es en general menor
que la apreciación del instrumento.
MEDIDA REALIZADA CON UNA REGLA COMÚN
Apreciación del instrumento = 1 mm = 0.1 cm
Estimación de una lectura = 0.5 mm = 0.05 cm
Se observa:
Longitud del lápiz = ( 29.22 ± 0.05 ) cm
El dígito 2 es la cifra estimada por el observador, es
una cifra significativa.
Cuando se realiza una medición, siempre se
acepta una cifra correspondiente al menor
intervalo que se puede estimar con ayuda de la
escala del instrumento.
Expresión de una medida.- Cuando se expresa
una medida se indica el valor observado junto con
su error absoluto, incertidumbre o imprecisión y
sus unidades.
x Resultado de la medición
x Valor verdadero, valor promedio, valor
estimado
x Incertidumbre o error
Medida = Valor estimado ± Error absoluto
Error absoluto = Incertidumbre = imprecisión
Cuantificación de los errores.- Se distinguen tres
clases de errores que se utilizan en los cálculos:
a) Error absoluto (Ea) o (∆x).- Conocido también
como imprecisión absoluta, incertidumbre o
desviación. Se define como:
El valor absoluto de la diferencia entre el valor
medido y el valor verdadero.
El valor verdadero no se puede conocer, por eso se
sustituye por la media aritmética, llamado también
valor más probable (VMP):
Error absoluto =│Valor medido – Valor verdadero│
xxEa  xxx 
Nota: Para el cálculo del error absoluto, no
importa el orden del minuendo o sustraendo, solo
interesa el valor absoluto de la resta.
b) Error relativo (Er).- Es el cociente entre el error
absoluto y el que damos como representativo (valor
promedio):
x
E
E a
r 
x
x
Er


c) Error porcentual (E%).- Indica la calidad de la
medida, es el error relativo en términos de
porcentaje:
Un error porcentual mayor del 10% indica que la
medida no es válida.
Ejem. 2.2.- Dada la longitud: 5.68 ± 0.05 cm.
Determinar el: a) Error relativo, b) Error porcentual.
Datos:
x 5.68 x 0.05
a) Er = ? b) E% = ?
Solución:
a) Calculo del error relativo:
x
x
Er

 0088.0
68.5
05.0
rE
b) Calculo del error porcentual:
rE% E 100% 0.0088 100% 0.88    
%100%  rEE

Ejem. 2.3.- El error porcentual de una medición es
del 8%, si la longitud tiene un valor probable de 5.45
m, determinar: a) Error relativo, b) Error absoluto.
Datos:
E% = 8 % x 5.45 m
a) Er = ? b) x ?
Solución
a) Calculo del error relativo:
08.0
%100
%8
%100
%

E
Er
b) Calculo del error absoluto:
x
x
Er


mmxEx r 4.045.508.0 
Cálculo de las incertidumbres en las medidas.-
Se pueden tener tres procedimientos matemáticos
de obtener el valor numérico de la incertidumbre
o error absoluto.
a) Cuando se realiza una medición.- El error
depende de la precisión del aparato, definida como
la mínima separación que se puede conseguir entre
medidas.
Ejemplo:
Se mide una vez un lápiz con una regla común:
Longitud del lápiz = 29.22 cm
Incertidumbre del instrumento:
Se toma la apreciación del observador.
En este caso la mitad de la mínima división:
= 1/2 mm = 0.5 mm = 0.05 cm
Expresión: L = 29.22 ± 0.05 cm
La última cifra significativa del resultado debe
ser del mismo orden de magnitud que la
incertidumbre (Debe encontrarse en la misma
posición decimal).
Importante.- Se puede tomar como incertidumbre
del instrumento la sensibilidad del mismo
(Apreciación del instrumento = menor división).
b) Cuando se realizan dos mediciones.- Para dos
lecturas de una magnitud física, realizar los
siguientes cálculos:
Valor promedio:
2
minmax xx
x


Incertidumbre:
Expresión de la medida: xxx 
Ejem. 2.4.- Se ha medido la masa de un objeto con
una balanza común: m1 = 15.5 g y m2 = 15.8 g.
Halle la expresión de las medidas:
Solución:
Valor promedio:
max minx x 15.8 15.5
x 15.65
2 2
 
   
Incertidumbre:
max minx x 15.8 15.5
x 0.15
2 2
 
   
Expresión de la medida:
x x x 15.56 g 0.15 g    
c) Cuando se realizan varias mediciones.- Para
varias lecturas de una misma magnitud física, anotar
los datos en una tabla:
Nro.
de
datos
1 2 3 4 5 …
…
Realizar los siguientes cálculos, obteniendo los
siguientes valores en forma ordenada:
%100%  rEE
2
minmax xx
x


n
x 1x 2x 3x 4x 5x nx

Número de datos:
Valor promedio:
Desviación típica de una muestra:
Error absoluto del conjunto de mediciones:
Desviación media o Error absoluto medio (DM):
(Promedio de los errores absolutos):
Expresión de la medida:
Ejem. 2.5.- Se ha medido el tiempo de viaje de un
estudiante entre dos puntos fijos 7 veces,
habiéndose obtenido los siguientes datos:
Nro. de
datos
1 2 3 4 5 6 7
t (min.) 12.3 12.9 15.1 11.8 13.0 14.5 13.9
Solución:
Calcular el valor promedio:
min36.13
7
9.135.140.138.111.159.123.12





t
n
t
t i
Luego completar una tabla, que tenga las siguientes
columnas:
1 12.3 12.3 – 13.36 1.06 1.1236
2 12.9 12.9 – 13.36 0.46 0.2116
3 15.1 15.1 – 13.36 1.74 3.0276
4 11.8 11.8 – 13.36 1.56 2.4336
5 13.0 13.0 – 13.36 0.36 0.1296
6 14.5 14.5 – 13.36 1.14 1.2996
7 13.9 13.9 – 13.36 0.54 0.2916
6.86 8.5172
Calcular la Desviación típica de la muestra:
 
19.1
17
5172.8
1
1
2
1 







n
tt
n
i
i
n
Calcular el Error absoluto:
4.045.0
7
19.11
 
n
t n
Expresión final:
min4.04.13  ttt
Ejem. 2.6.- Un atleta en una carrera de 100 m
realiza la prueba 5 veces obteniendo los siguientes
tiempos:
Nro. 1 2 3 4 5
t (s) 10.22 10.15 10.20 10.16 10.18
Determinar:
a) El valor más probable del tiempo empleado.
b) El error absoluto medio
c) Expresar de mejor forma el tiempo empleado
d) El error porcentual
Solución:
a) El VMP es el promedio:
n
n
x
x
n
i
i
 1
 
1
1
2
1





n
xx
n
i
i
n
n
x n 1


n
E
DM
n
i
ia
 1
xxx 
n it tti   tti   2
tti 
 
s
t
t i
i
18.10
5
18.1016.1020.1015.1022.10
5
5
1





b) El error absoluto medio, llamado también
desviación media se obtiene calculando los errores
absolutos de cada medida, sumarlos y hallar la
media aritmética de los mismos:
n
1 10.22 10.22 – 10.18 = 0.04 0.04
2 10.15 10.15 – 10.18 = –0.03 0.03
3 10.20 10.20 – 10.18 = 0.02 0.02
4 10.16 10.16 – 10.18 = –0.02 0.02
5 10.18 10.18 – 10.18 = 0.00 0.00
Nota: La expresión entre barras, significa que solo
se anotan los resultados como positivos, aun así
hayan salido negativos:
c) La expresión final de las medidas, será:
sttt 02.018.10 
d) El error relativo:
El error porcentual:
rE% E 100% 0.00196 100%   
E% 0.196 100% 0.2%  
Ejem. 2.7.- El profesor anotó las medidas de la
longitud de un mesón de laboratorio obteniéndose
los siguientes datos:
53.57 cm 53.53 cm 53.58 cm
53.59 cm 53.54 cm 53.55 cm
Calcular:
a) Valor promedio de las mediciones (valor más
probable)
b) Error absoluto de cada medida
c) Desviación media
Solución:
a) Valor promedio:
b) Error absoluto de cada medida:
1) 53.56 – 53.57 = 0.01 cm
2) 53.56 – 53.53 = 0.03 cm
3) 53.56 – 53.58 = 0.02 cm
4) 53.56 – 53.59 = 0.03 cm
5) 53.56 – 53.54 = 0.02 cm
6) 53.56 – 53.55 = 0.01 cm
c) Desviación media:
Resultado: = (53.56 ± 0.02) cm
Ejem. 2.8.- Un remache se mide cinco veces
sucesivas, obteniéndose las siguientes lecturas:
1 2 3 4 5
5.5 mm 5.6 mm 5.5 mm 5.6 mm 5.3 mm
Determinar:
a) El valor más probable
b) El error absoluto
c) Expresar la medición
d) Determine el error porcentual
Solución:
a)
b) Cálculo del error absoluto:
1 5.5 5.5 – 5.5 0.0 0.00
2 5.6 5.6 – 5.5 0.1 0.01
3 5.5 5.5 – 5.5 0.0 0.00
4 5.6 5.6 – 5.5 0.1 0.01
5 5.3 5.3 – 5.5 0.2 0.04
0.4 0.06
it tti   tti 
n
E
DME
n
i
ia
a

 1
sEa 022.0
5
002.002.003.004.0



00196.0
18.10
02.0

x
E
E a
r
53.57 53.53 53.58 53.59 53.54 53.55
53.56
5
VMP cm
    
 
iia xxE 
n
E
DM
ia
02.0
6
01.002.003.002.003.001.0


DM
VM VMP Ea 
5.5
5
3.56.55.56.55.51




n
x
x
n
i
i
n ix xxi   xxi   2
xxi 
 

Desviación típica de una muestra:
Error absoluto:
c) Expresión de la medida:
d) Cálculo del error porcentual:
Propagación de Errores.- La propagación de
errores se utiliza para medidas indirectas, cuyo
error absoluto de la medida final depende de otras
variables obtenidas por medición.
Supóngase que se tienen dos magnitudes obtenidas
por medición:
a) Para la suma:
La fórmula para la suma es: S x y S   
El error absoluto: S x y    
b) Para la resta:
La fórmula para la resta es: R x y R   
El error absoluto: R x y    
c) Para el producto:
La fórmula para el producto es: P x y P  
El error absoluto: P y x x y    
El error relativo: P x y
P x y
  
 
d) Para la división:
La fórmula para la división es: x
D D
y
  
El error absoluto:
2
y x x y
D
y
  
 
El error relativo: D x y
D x y
  
 
e) Caso General:
El error relativo es:
W x y z
m n p
W x y z
   
  
Ejem. 2.9.- En un trabajo de laboratorio, los
estudiantes obtuvieron las siguientes medidas:
5.00 0.02A  
15.00 0.10B  
7.00 0.10C  
Calcular el resultado, el error absoluto y el error
relativo de la siguiente fórmula:
.A B
R
C

Solución:
Cálculo del resultado:   5.00 15.00
10.71
7.00
R  
Cálculo del error relativo:
z
z
y
y
x
x
R
R 






0.02 0.10 0.10
0.025
5.00 15.00 7.00
R
R

   
Se despeja el error absoluto: 0.025
R
R


27.027.071.1002.0025.0  RR
Finalmente: 27.071.10  RRR
 
12.0015.0
15
06.0
1
1
2
1 







n
xx
n
i
i
n
05.0054.0
5
12.01
 
n
x n
mmxxx 05.050.5 
009.0
50.5
05.0



x
x
Er
%9.0%100)009.0(%100%  rEE
xxX  yyY 
p
nm
z
yx
W 

PARA PROFUNDIZAR TUS CONOCIMIENTOS SOBRE MEDICIONES
Ajuste de curvas.- Es un procedimiento estadístico que se usa para encontrar una línea recta que se
acomoda a un conjunto de datos experimentales.
Mediante las fórmulas de la Regresión Lineal, se encuentra la línea recta, luego escribir la ecuación de la
misma y a partir de ella predecir resultados.
Ecuación de la recta: bxay 
b = Ordenada en el origen, la recta corta al eje Y
a = Pendiente, inclinación de la recta
x = Variable independiente (En el eje de abscisas)
y = Variable dependiente (En el eje de ordenadas)
Para la pendiente:
  
  


 22
ii
iiii
xxn
yxyxn
a
La recta ajustada debe pasar por el punto  yx , , que son los promedios de los valores experimentales:
n
x
x i
n
y
y
i
De modo que la recta, será: bxay  Intercepción con “y”: xaybbxay 
La calidad del ajuste viene determinada por el coeficiente de correlación R:
   

























 
n
y
y
n
x
x
n
yx
yx
R
i
i
i
i
ii
ii
2
2
2
2
11  R
R = 1  Existe relación directa y perfecta entre variables.
R = – 1  Existe relación inversa y perfecta entre las variables.
R = 0  No existe relación lineal entre las variables
– 1 < R < 0  Existe relación inversa entre las variables
0 < R < 1  Existe relación directa entre las variables
O

x
y




















 y = a x + b
b

Procedimiento para trabajar con R. L.- Para
encontrar la ecuación de regresión, lo primero que
se encuentra pendiente, intersección y usarla para
formar la ecuación de regresión.
1. Cuente el número de valores: n
2. Anote los valores de las variables en la tabla
3. Calcular: xy, x2
4. Hallar las sumas: Σx, Σy, Σxy, Σx2
5. Aplique la ecuación para hallar la pendiente:
  
  


 22
ii
iiii
xxn
yxyxn
a
6. Calcule los valores promedios:
n
x
x i
n
y
y
i
7. Halle la intercepción con el eje “y”:
xaybbxay 
TABLA PARA CONSTRUIR LOS DATOS POR
EL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL
Variable
Indep.
Variable
Depend.
Calcular
el
cuadrado
de xi
2
Calcular
el
producto
xi yi xi
2 xi yi
… … … …
 ix =  iy =  2
ix = ii yx =
n = Número de valores o elementos
x = Variable independiente
y = Variable dependiente
Ejemplo:
Para un movimiento acelerado de un objeto en un
plano inclinado
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN
Aplicando Regresión lineal, utilizando las ecuaciones y
una calculadora simple.
Variable
Indep:
Tiempo (s)
Variable
Dep.
Veloc.
(m/s)
Calcular el
cuadrado
de xi
2
Calcular el
producto
xi yi xi
2 xi yi
3.01 4.65 9.06 14.00
3.50 5.14 12.25 17.99
3.80 5.70 14.44 21.66
4.30 6.00 18.49 25.80
4.60 6.50 21.16 29.90
 ix =
19.21
 iy =
27.99
 2
ix =
75.40
ii yx =
111.01
a) Cálculo de la pendiente de la recta, que es la
aceleración:
   222
21.194.755
37.2821.1901.1115



 
  

ii
iiii
xxn
yxyxn
a
26.1
9759.7
0623,10
a
b) Cálculo de valores promedios:
84.3
5
21.19



n
x
x i
67.5
5
37.28



n
y
y i
c) Intersección con “y”:
xaybbxay 
83.084.326.167.5  by
d) Ecuación corregida:
btavbxay 
83.026.1  tv

PROCESAMIENTO DE DATOS CON CALCULADORA CIENTÍFICA
Cada calculadora tiene sus propias características, consultar su catálogo para tener mayor claridad.
CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Para una calculadora: fx-82MS
1) Habilitar SD (desviación estándar): MODE SD
2) Limpiar la memoria temporal: SHIFT CLR SLC =
3) Verificar la limpieza: SHIFT =
Debería verse el mensaje: Math ERROR
4) Introducir los datos: x1 DT x2 DT x3 DT x4 DT
5) Calcular la desviación típica: SHIFT =
6) Calcular el promedio: SHIFT =
REGRESIÓN LINEAL CON CALCULADORA
1) Habilitar REG MODO REG (tecla 3)
2) Elegir la opción lineal: LIN (tecla 1)
3) Introducir datos, Variable Independiente luego
Variable dependiente
Por ejemplo: 10 tecla “,” 1003 tecla “M+”
aparece n = 1 (primer par de puntos)
4) Guardar datos, presionar tecla: AC
5) Repetir la secuencia de datos hasta concluir el
ingreso de todos.
6) Ver los resultados: SHIFT 2
7) Seleccionar de la pantalla A, B, r:
A = Ordenada en el origen, tecla 1
B = Pendiente de la recta, tecla 2
r = Coeficiente de correlación, tecla 3
Presionando 1 = 2 = 3 = respectivamente, se
obtienen los valores de A, B y r.
8) Escribir la ecuación de la recta: y = A + B x
REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL
1. Abrir el programa de Excel.
2. Introducir los datos en dos columnas (primera columna para las X y segunda columna para las Y)
3. Seleccionar el conjunto de celdas que contienen los datos.
4. Hacer “click” en la opción “insertar” de la barra de herramientas; y seleccionar “gráficos”, luego
“dispersión” y finalmente “dispersión de puntos”.
5. Aparecerá el gráfico de puntos en la misma hoja que la tabla de datos. Puede eliminar la leyenda Serie1
haciendo click sobre ella y luego suprimir.
6. Para incluir la recta de regresión se hace click con el botón derecho (secundario) del ratón sobre alguno de
los puntos para abrir el menú contextual, agregar en él la opción “Agregar línea de tendencia”.
7. En el menú emergente “tipo de tendencia o regresión” elegir la opción “lineal”.
8. También debemos incluir la “ecuación de la recta” y el “coeficiente de regresión lineal”, marcamos
ambas opciones. En la opción “Extrapolar” se puede elegir prolongar la recta algunas unidades hacia
atrás, es conveniente que la recta llegue hasta el eje Y.
9. Para dar nombre a los ejes y al gráfico, elegimos la opción “Presentación” de la barra de herramientas, del
menú emergente seleccionamos “Título del gráfico” y “Rótulos del eje” para añadir el nombre del gráfico
y nombres de cada eje respectivamente.
1nx
1nx
x

PRÁCTICA DE LABORATORIO: APLICACIÓN DE LA REGRESIÓN LINEAL
VELOCIDAD MEDIA EN UN PLANO INCLINADO
Objetivos:
- Determinar la dependencia lineal de la velocidad media en función del tiempo para un movimiento acelerado.
- Encontrar la aceleración con su error mediante una regresión lineal.
Procedimiento: Coloque un pequeño cuerpo o una canica (obviar el rozamiento) sobre un carril inclinado. El
ángulo de inclinación debe ser lo más pequeño posible para que el movimiento sea lento y se puedan tomar
buenas medidas con un cronómetro manual.
Con Interactive Physics
Registre el tiempo que tarda en recorrer diferentes distancias sobre el plano inclinado.
Fundamento teórico: Se trata de un movimiento uniformemente acelerado.
El desplazamiento: La velocidad media:
Que es una relación lineal:
Dónde: a = Es la aceleración del móvil t = El tiempo empleado
Grafique la velocidad media en función del tiempo y encuentre la aceleración con su error mediante una
regresión lineal.
Desarrollo de la práctica: Tomar datos: desplazamientos y tiempos.
Tabla I
Nro.
d
(m)
t (s)
1 0.50 0.81 0.62 1.53
2 0.75 0.95 0.79 1.66
3 1.00 1.15 0.87 1.51
4 1.25 1.23 1.02 1.95
5 1.50 1.30 1.15 1.77
6 1.75 1.45 1.21 1.67
7 2.00 1.54 1.30 1.69
Promedio: 1.68
De la tabla se puede deducir:
 Variable independiente, xi: corresponde al tiempo ti
 Variable dependiente, yi: corresponde a la velocidad media
21
2
d a t at
t
d
vm
2
1

tavbxay m
2
1

d
º10





s
m
t
d
vm 



 2
2
s
m
t
v
a
mv

Cálculo de la pendiente y ordenada en el origen:
Nro. x i y i x i . y i x2i
it iv ii vt 2
it
1 0.81 0.62 0.50 0.66
2 0.95 0.79 0.75 0.90
3 1.15 0.87 1.00 1.32
4 1.23 1.02 1.26 1.51
5 1.30 1.15 1.50 1.69
6 1.45 1.21 1.76 2.10
7 1.54 1.30 2.00 2.37
 8.43 6.96 8.77 10.55
Pendiente:
   
98.0
785.2
72.2
43.855.107
96.643.877.87
222







 
  
ii
iiii
ttn
vtvtn
a
Promedios de las variables:
8.43
1.2
7
it
t s
N
  
 sm
n
v
v
i
/99.0
7
96.6


Ordenada en origen:
19.02.198.099.0  btavbbtav
Ecuación corregida: 19.098.0  tvm
Gráfica obtenida con Excel: muestra los puntos medidos, la recta corregida, ecuación
Comparación de resultados:
Aceleración calculada experimentalmente (valor medido): De la tabla l: aexperimental = 1.68 m/s2
Aceleración calculada teóricamente (valor más probable):
De la gráfica corregida, la pendiente de la recta: 2
/86.19298.029298.0
2
1
smaa 
Cálculo del Error porcentual:
%7.10%100
68.1
18.0
%100
68.1
68.186.1
%100% 




VMP
VMVMP
E
Conclusión: Este error es aceptado, el estudiante debe repetir ésta práctica procurando realizar las mediciones
con mayor exactitud y precisión. Será un reto para Ud. reducir éste porcentaje de error.
v = 0.9298t- 0.1255
R² = 0.9691
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
Velocidadmedia:v(m/s)
Tiempo: t (s)

1. ¿Qué nos indica la desviación estándar?
Resp: la dispersión de datos con respecto al valor
promedio
1. Al medir las 30 oscilaciones de un péndulo se ha
obtenido el valor de 30.52  0.03 s. Calcular su
periodo.
Resp: s03.002.1 
2. El error porcentual de una medición es del 4 %,
si la longitud en estudio tiene un valor probable
de 1.85 m, determinar: a) Error relativo, b) Error
absoluto.
Resp:a) 0.04; b) 0.074 m
3. Cristian midió la longitud de su gato tres veces
obteniendo los siguientes resultados:
𝐿1 = 33.0 𝑐𝑚, 𝐿2 = 32.5 𝑐 𝐿3 = 33.3 𝑐𝑚
a) ¿Cuál es el promedio del conjunto de
medidas?
b) ¿Cuál es la desviación estándar del
conjunto de medidas?
Resp:a) 32.9 cm; b) 0.41 cm
4. Se ha medido la longitud de un terreno, los
datos obtenidos en metros son:
1° Medición: 100.21
Se pide: a) Calcular la media. b) Calcular la
desviación típica o estándar.
Resp:a) 100.45 m; b) ± 0.235 m
5. En el problema anterior calcular:
a) El error absoluto
b) El resultado final
c) El error relativo porcentual
Resp: a) 0.14 m; b) (100.45 ± 0.14) m; c) 0.1%
6. Se ha efectuado la medición de una distancia y
los resultados obtenidos son:
800.23 m 800.58 m
800.66 m 800.59 m
Calcular el error relativo
Resp: 0.01%
7. Queremos determinar la distancia que hay entre
dos columnas con una cinta métrica que aprecia
milímetros. Realizamos cinco medidas y
obtenemos los siguientes valores:
80.3 cm; 79.4 cm; 80.2 cm; 79.7 cm; 80.0 cm
a) ¿Cuál es el resultado de ésta medida?
b) ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta
medida?
Resp: a) 79.9 ± 0.3 cm; b) 0.3 cm; 0.004
8. Para determinar la longitud de una mesa se han
realizado cuatro mediciones con una cinta
métrica. Los valores obtenidos son los
siguientes:
75.2 cm; 74.8 cm; 75.1 cm; 74.9 cm.
Expresa el resultado de la medida acompañado
del error absoluto. ¿Entre qué márgenes se
encuentra el valor real de la longitud de la
mesa?
Resp: 75.0 ± 0.2 cm; 74.8 75.2x 
9. Para un cubo cuya arista es de 10.5 ± 0.5 cm,
calcular el error relativo y porcentual de la
superficie y el volumen.
Resp: ErS = 0.095 y 9.52 %: ErV = 0.143 y 14.3 %
10. Sabiendo que las medidas de los lados de un
rectángulo, son de 73.3 ± 0.2 y 27.5 ± 0.2 en
cm respectivamente, calcular el error porcentual
de la superficie y el perímetro.
Resp: E% = 1 % E% = 0.19 % = 0.2 %
11. La masa de un cuerpo es de 37.5 ± 0.02 g, y su
volumen es de 13.89 ± 0.01 cm ³.
a) calcular la densidad
b) sabiendo que la densidad del aluminio es de
2.7 g/cm³ y la del cobre es 8.92 g/cm³, ¿de qué
material podría ser el cuerpo?
Resp: a) 2.7 ± 0.003 g/cm³, b) aluminio
12. Para un objeto con movimiento uniformemente
acelerado se hicieron las siguientes
mediciones.
t (s) 1 2 3 4 5
v (m/s) 8 11 14 17 20
Hallar la ecuación de la velocidad en función
del tiempo.
Resp: v = 3 t + 5
EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Medimos una mesa de longitud un metro con
una regla graduada en mm. Indica cuál de los
siguientes resultados de la medida está
expresado correctamente:
a) 1.0 ± 0.001 m b) 1.00 ± 0.001 m
c) 1.000 ± 0.001 m d) 1 ± 0.001 cm
2. La calidad de la medida se manifiesta por:
a) Un error absoluto pequeño
b) Un error relativo pequeño
c) Una expresión correcta con su grado de
incertidumbre
d) N. A.
3. Cuál de las siguientes medidas:
1.23 ± 0.01 ; 300 ± 1 ; 45.0 ± 0.1
Tiene mejor calidad?
a) 1.23 ± 0.01 b) 45.0 ± 0.1
c) 300 ± 1 d) N. A.
4. ¿Cómo se pueden reducir los errores casuales
o aleatorios (accidentales)?
a) Realizando varias medidas
b) Colocándose en una posición correcta
c) Cambiando de aparato
d) Empleando métodos estadísticos
5. ¿Cuál de las alternativas no puede ser una
causa de error en las mediciones?
a) Naturales b) Instrumentales
c) Personales d) Temperamentales
6. Diferencia entre el valor verdadero de una
magnitud y el valor obtenido al medirla:
a) Error absoluto
b) Error de medición
c) Error sistemático
e) Exactitud de medición
7. Estos errores no se repiten regularmente de
una medición a otra y se deben a los efectos
provocados por las variaciones de la presión,
humedad, y temperatura del medio ambiente:
a) Errores sistemáticos
b) Errores casuales o aleatorios
c) Errores de paralaje
d) Errores de tanteo
.
8. Las clases de errores se dividen en:
a) Absoluto y relativo
b) Estocásticos y aleatorios
c) Sistemático y casual
d) Desviación media y absoluto
9. ¿Cuál es la media o promedio ponderado de las
mediciones de cierta varilla cuyas medidas
obtenidas fueron:
12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm
a) 12.0 cm b) 11.8 cm
c) 12.2 cm d) 12.4 cm
10. La media de un grupo de medidas de cierto
peso es 28.5 g, siendo una de las medidas
obtenidas 27.8 g; la desviación sería:
a) 1.3 g b) 0.7 g c) 1.7 g d) 0.9 g
.11. La suma de los cuadrados desviaciones de
cierto grupo de medidas (cinco mediciones) fue
81. Hallar su desviación típica o estándar.
a) 6.5 b) 5.5 c) 3.5 d) 4.5
12. Se ha medido el tiempo de viaje de un
estudiante entre dos puntos fijos 7 veces,
habiéndose obtenido los siguientes datos:
Nro. 1 2 3 4 5 6 7
t (min.) 12.3 12.9 15.1 11.8 13.0 14.5 13.9
Calcule la desviación típica de una muestra:
a) 1.19 b) 11.9 c) 2.61 d) 1.50
13. Un atleta en una carrera de 100 m realiza la
prueba 5 veces obteniendo los siguientes
tiempos:
Nro. 1 2 3 4 5
t (s) 10.22 10.15 10.20 10.16 10.18
Expresar de mejor forma el tiempo empleado
a) .02.018.10 s b) .10.018.10 s
c) .20.018.10 s d) .5.018.10 s
14. En el ejercicio anterior, determine el error
porcentual
a) 0.2% b) 0.3% c) 0.4% d) 0.5%
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN

Cap. 3
ELEMENTOS DE
TRIGONOMETRÍA
(Optativo)
Contenido:

Apreciamos la importancia del estudio de la
trigonometría y su aplicación en el trabajo con vectores,
mediante la resolución de problemas relacionados a
triángulos rectángulos y oblicuángulos, para
proporcionar al estudiante estrategias creativas en su
desarrollo personal.
TEODOLITO CASERO
En muchos problemas de aplicación de la trigonometría, cuando queremos medir alturas de
objetos, intervienen los ángulos de elevación.
Una versión casera, hecha con materiales que se puede encontrar y obviamente su
precisión es limitada, pero sirve para nuestro caso se muestra en los siguientes gráficos.
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar
observado.
Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar
observado cuando éste está situado arriba del observador.
Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.
Se mide el ángulo 
Luego el ángulo de elevación o depresión es:   º90
Resuelve problemas reales y prácticos sobre triángulos con éste sencillo aparato

Teorema de Pitágoras.- Para empezar a estudiar
las funciones trigonométricas, es necesario dominar
el Teorema de Pitágoras:
“En un Triángulo Rectángulo el Cuadrado de la
Hipotenusa es igual a la suma de los Cuadrados
de sus Catetos”.
     
2 2 2
Hipotenusa cateto cateto 
2 2 2
c a b 
- Los lados adyacentes al ángulo recto se
denominan catetos.
- Lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa.
Ejem. 3.1.- En el triángulo rectángulo, hallar el valor
que falta. a = 6 cm, b = x, c = 9 cm.
Solución:
La incógnita que debemos encontrar, es: “b”:
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
2 2 2
c a b 
1. Sustituimos las cantidades numéricas:
222
69  x
2. Realizamos las operaciones:
4536812
 x
70.645  x
Funciones trigonométricas.- Para definir funciones
trigonométricas, se usa del Teorema de Pitágoras.
- Las letras minúsculas son las que utilizamos para
los lados en el Teorema de Pitágoras.
- Las letras mayúsculas, se utilizarán para
referirnos a los ángulos del triángulo.
a) Función Seno (sen): Su definición es la
siguiente:
lado opuesto
sen
hipotenusa
 
a
sen A
c

b
sen B
c

b) Función Coseno (cos): Su definición es la
siguiente:
cos
lado adyacente
hipotenusa
 
cos
b
A
c
 cos
a
B
c

c) Función Tangente (tan): Su definición es la
siguiente:
tan
lado opuesto
lado adyacente
 
tan
a
A
b
 tan
b
B
a

a = cateto
b = cateto
b = x
a = 6 cm

Ejem. 3.2.- Dado el siguiente triángulo, encontrar
todas las funciones trigonométricas, si:
Datos: b = 4 y c = 5 a = ?
1. Primero encontraremos el valor del lado que hace
falta:
2 2 2
c a b 
Sustituyendo valores:
2 2 2 2
5 4 25 16 9a a     
Extrayendo la raíz: 9 3a  
2. Ahora calculamos los valores de todas las
funciones trigonométricas:
3 4 3
; cos ; tan
5 5 4
senA A A  
4 3 4
; cos ; tan
5 5 3
senB B B  
Ejem. 3.3.- Dado el siguiente triángulo, encontrar
las funciones trigonométricas.
Dato: tan 2A 
1. En este caso, se puede decir que:
2
tan
1
A  o sea: tan
a
A
b

Entonces: a = 2; b = 1
2. Teorema de Pitágoras:
2 2 2
c a b   5 2.2c  
3. Conociendo (c) encontramos los valores de las
funciones trigonométricas:
2 1 2
; cos ; tan 2
2.2 2.2 1
senA A A   
Funciones trigonométricas de ángulos notables.-
Algunos ángulos notables son los siguientes:
30º, 45º, 60º, 37º, 53º.
Los valores de las funciones trigonométricas de
ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad.
a) Funciones trigonométricas de 30º y 60º.- Para
ello se utiliza un triángulo equilátero de lado 2
unidades (cualquier medida da lo mismo).
Trazar la altura CD del triángulo; resulta una
bisectriz y mediana a la vez, se forma un ángulo de
30º y un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º
En el triángulo rectángulo ADC, calcular la altura CD
es:
Funciones trigonométricas para 30º:
4 1 3CD   
1
30º
2
sen 
3
cos 30º
2

3
tan 30º
3

3
60º
2
sen 
1
cos 60º
2
 tan 60º 3

b) Funciones trigonométricas de 45º.- El triángulo
que se va a utilizar debe ser un triángulo
rectángulo isósceles de catetos 1 cm (o cualquier
otra medida).
La hipotenusa (AB):
c) Funciones trigonométricas 37º y 53º.- En
muchos problemas de física o matemática se
hace bastante uso del éste triángulo notable, de
lados 3; 4 y 5, cuyos ángulos aproximados son
de 37º y 53º.
Cálculo de ángulos.- Para obtener el valor de un
ángulo en un triángulo, hay que sacar la función
inversa de la razón trigonométrica.
Ejem: Calcular en el triángulo siguiente, el ángulo
 6.0
5
3
sen
"shift" o "inv" que se encuentra típicamente en la
esquina superior izquierda.
Luego apretar la tecla "sin" y º ‘ “
El resultado da: = 36.87º = 36º 52’ 12’’
FUNCIONES DE ÁNGULOS NOTABLES
Grados 30º 45º 60º 37º 53º
Radianes 0.646 0.925
1
Resolución de triángulos rectángulos.- Resolver
un triángulo rectángulo es encontrar los lados y los
ángulos que se desconocen.
211 22
AB
2
45º
2
sen 
2
cos 45º
2
 tan 45º 1
A B
C
3
4
5
53º
37º
3
37º
5
sen 
4
cos 37º
5

3
tan 37º
4

4
53º
5
sen 
3
cos 53º
5

4
tan 53º
3


1
(0.6)sen 


6

4

3

sen
2
1
2
2
2
3
5
3
5
4
cos
2
3
2
2
2
1
5
4
5
3
tan
3
3 3
4
3
3
4

El lado (a) es opuesto al ángulo α (alfa)
El lado (b) es opuesto al ángulo β (beta)
El lado (c) es opuesto al ángulo 90º
90º  
Ejem. 3.4.- Resolver, nos proporcionan la siguiente
información:
Revisemos la información que tenemos:
- Tenemos un ángulo  equivalente a 60º
- El lado b = 7 cm.
- Nos piden encontrar un ángulo y dos lados, que
son los que desconocemos.
Solución:
1. Conociendo  , podemos conocer  , ya que
C = 90°.
Se tiene:   º90
º30º60º90  
2. Cálculo de los lados, mediante funciones
trigonométricas:
cos cos
cos
b b
c b c
c
 

     
Reemplazando valores; con ayuda del profesor y
una calculadora se halla el valor del coseno:
7 7
14
cos cos60º 0.5
b
c c

    
3. Conociendo el valor de (c), aplicando Pitágoras
se obtiene el valor de (b):
222222
714  abac
147491962
 a
12.12147  a
4. Quedando finalmente el triángulo solucionado:
Resolución de triángulos oblicuángulos.-
Resolver un triángulo oblicuángulo es encontrar los
lados y los ángulos que se desconocen.
El lado (a) es opuesto al ángulo α (alfa)
El lado (b) es opuesto al ángulo β (beta)
El lado (c) es opuesto al ángulo γ (gamma)
º180 
a) Teorema de los senos.- “Los lados son
directamente proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos a dichos ángulos”
a b c
sen A sen B senC
 
b) Teorema de los cosenos.- “El cuadrado de un
lado de un triángulo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados, menos el doble
del producto de dichos lados por el coseno del
ángulo que forman”
2 2 2
2 cosa b c bc A  
a = ?
b = 7
c =?
A
B
C


60º
?
A
C
B
a
b
c

Ejem. 3.5.- Resolver el siguiente triángulo
oblicuángulo:
Datos: Incógnitas:
a = 10 m b = ?
B = 30º c = ?
C = 120º A = ?
Solución:
El tercer ángulo es:
CBACBA  º180º180
º30º120º30º180  AA
Lado “c”:
Aplicando el teorema de los senos:
º30
º1201010
º120 sen
senm
c
Asen
m
sen
c 

Con ayuda del profesor y una calculadora:
mc
m
c 32.17
5.0
867.010



Lado “b”:
 10 30º10
10
30º 30º
m senmb
b b m
sen sen A sen
    
Ejem. 3.6.- Resolver:
Datos: Incógnitas:
a = 30 m c = ?
b = 25 m C = ?
A = 100º B = ?
Solución:
Ángulo “B”: Aplica el teorema de los senos:
30
10025
º100
3025 sen
Bsen
senBsen


)82083.0(82083.0 1
 senBBsen
º2.55B
Ángulo “C”:
BACCBA  º180º180
º8.24º2.55º100º180  CC
Lado “c”: Aplica el teorema de los senos:
º100
º8.2430
º100
30
º8.24 sen
sen
c
sensen
c 

mc 78.12
98.0
42.030




RESOLVER LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1. En los triángulos mostrados determinar los
valores de a y b.
a =…… b = …....
a =…… b = …... a =…… b = …...
a =…… b = …... a =…… b = …... a =…… b = …...
a =…… b = …... a =…… b = …...
a =…… b = …...
2. Determine los valores del < y r, a partir de
la relación entre los lados del triángulo
mostrado.
 =…… r = …....  =…. r = …..  =.… r = …..
 =…… r = …....  =…. r = …..
 =.… r = …..
 =…… r = …....
 =.… r = …...  =…. r = …..
RESOLVER LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1. En los triángulos mostrados determinar los
valores de los lados y ángulos.
b =…… c = …... C =…… a =…… b = …... A =……
a =…… B = …... C =…… A =…… B = …... C =……
c =…… B = …... A =…… A =…… B = …... C =……
a =…… r = …... C =…… b =…… r = …... C =……
b =…… r = …... C =…… b =…… r = …... C =……

Cap. 4
MAGNITUDES VECTORIALES
EN LA TIERRA Y EL COSMOS
MÉTODOS ANALÍTICOS
Contenido:

Practicamos y valoramos las operaciones con
magnitudes vectoriales, a través de las operaciones de
la suma y resta de vectores para obtener una
resultante en forma gráfica y analítica, en beneficio de
la preparación académica del estudiante.
VECTORES
- Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas. Haga clic izquierdo en educa plus.org
- En la barra que aparece hacer clic en física. Luego click en la pestaña de vectores
- De la ventana que aparece selecciona las siguientes actividades y practique. Investiga cómo funcionan.
Asigne valores con ayuda del profesor(a). Practica nuevas situaciones.
Suma y Resta de vectores, método del paralelogramo
SUMA Y RESTA DE VECTORES CON GEOGEBRA
Descargue el software GEOGEBRA, un pequeño manual de uso y practique con operaciones vectoriales

Introducción.- Luego de haber aprendido a realizar
operaciones con vectores aplicando los métodos
gráficos; en este tema conoceremos los métodos
analíticos de resolución de vectores, para eso
necesitas conocer los elementos básicos de la
trigonometría, resolver triángulos rectángulos y
oblicuángulos.
Magnitud vectorial.- Una cantidad vectorial se
especifica totalmente por una magnitud y una
dirección.
Consiste en un número, una unidad y una
dirección.
Las cantidades vectoriales son representadas por
medio de vectores.
Algunas cantidades vectoriales comunes son:
La velocidad, aceleración, el desplazamiento,
la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento,
etc.
Ejemplo:
Una velocidad de (30 m/s, 60º), quiere decir
"velocidad de 30 m/s en una dirección de 60º desde
el origen del punto de referencia dado".
La velocidad es una magnitud vectorial
Vectores.- Un vector es un segmento de recta
orientado cuya longitud es proporcional al valor
numérico de la magnitud que representa.
Sus elementos son:
1. Punto de aplicación.- Es el origen del vector
(O)
2. Dirección.- Es la línea de acción del vector o
las líneas rectas paralelas a él (L). Queda
definida por el ángulo θ
3. Sentido.- Está indicado por la punta de la flecha
(A)
4. Módulo, intensidad o magnitud.- Es el valor
numérico del vector, o la longitud del mismo
(OA)
Representación de vectores.- Para dibujar
vectores en el plano se utiliza un sistema de
referencia, que puede ser un sistema de ejes
coordenados, un sistema de ejes cardinales.
Coordenadas
rectangulares Ejes cardinales
a) Representación rectangular.- Un vector se
representa en el sistema de ejes coordenados XY,
colocando el punto de aplicación en el origen (0, 0) y
el extremo en un punto del plano.
b) Representación polar.- La longitud de un vector
representado en forma rectangular, nos da su
módulo, su ángulo de inclinación, nos da su
dirección.
Para representar un vector en forma polar, es
suficiente conocer su módulo y su ángulo.
V = Módulo o longitud de
= Ángulo formado por y el eje “X” positivo
Ejem. 4.1.- Representar los siguientes vectores:
O
A L
),( yx VVV 

Absisa Ordenada
),( yx VVV 

Absisa Ordenada
Módulo Dirección
),( VV 

Módulo Dirección
),( VV 

V

 V

(3,4)A   5,5B  
 4, 2C     2, 4D  

El diagrama de ejes de a lado muestra los vectores
dados en coordenadas rectangulares.
Ejem. 4.2.- Representar los siguientes vectores
dados en forma polar:
Vector equipolente.- Es un vector equivalente o
igual a otro: Misma dirección, modulo y sentido.
Los vectores A y B son equipolentes
Métodos gráficos para la suma de vectores.- Con
ayuda de dos escuadras y un transportador, se
determina la magnitud y dirección del vector
resultante o suma de varios vectores componentes.
1.- Método del paralelogramo.- Se dibujan los dos
vectores dados haciendo coincidir sus orígenes,
luego se trazan líneas paralelas para formar un
paralelogramo, el vector resultante empieza en el
origen y termina en la intersección de las líneas
trazadas.
2.- Método del triángulo.- Se trazan los dos
vectores uno a continuación del otro para luego
formar un triángulo, el vector resultante se traza
desde el primer origen y termina en la última cabeza.
La suma de con es conmutativa, se expresa
como:
3.- Método del polígono.- Es una continuación del
método del triángulo, válido para dos o más vectores
concurrentes.
El vector suma o resultante, se expresa como:
X
Y
)º40,4( cmA 

)º120,3( cmB 

)º200,3( cmC 

)º60,5.2(  cmD

40º
X
120º
200º
–60º
Y
B
A
A B
R A B B A   
R A B C D   

Se trazan los vectores uno a continuación de otro y
luego formar un polígono con una recta, el vector
resultante se traza del primer origen hasta la última
cabeza.
En el caso de que el origen del primer vector
coincida con el extremo del último vector, la
resultante es nula, y se dice que el sistema de
vectores está en equilibrio.
Resta de vectores.- Para obtener el vector
resultante de una resta o diferencia se puede usar
la regla del paralelogramo o triángulo teniendo en
cuenta el vector opuesto:
 ABABR


Existe un procedimiento abreviado:
Unir los extremos de ambos vectores (dirección)
y trazar la flecha (sentido) del sustraendo al
minuendo.
Métodos analíticos para la suma de vectores.-
Recordar temas básicos de la trigonometría, como
el teorema de Pitágoras y la definición de las
funciones trigonométricas.
1. Vectores colinealesy del mismo sentido.-
Ángulo entre vectores 0º
El módulo de la resultante está dado por:
2. Vectores colinealesde diferente sentido.-
Ángulo entre vectores 180º
3. Vectores perpendiculares.- Ángulo entre
vectores 90º
Teorema de Pitágoras:
La dirección:
4. Vectores que forman cualquier ángulo.-
α = ángulo entre los dos vectores componentes
Módulo de :
Dirección de :
+
R A B 
–
R A B 
+
2 2
R A B 
adyacentecat
opuestocat
.
.
tan 
tan
B
A
 
R

2 2
2 cosR A B AB   
R

B sen
sen
R

 

Resultante máxima y mínima.- De dos vectores:
- La resultante de dos vectores es máxima cuando
estos se encuentran en la misma dirección y
sentido ( θ = 0º )
- La resultante de dos vectores es mínima, cuando
estos se encuentran en la misma dirección; pero
de sentidos contrarios ( θ = 180º )
Ejem. 4.3.- Halla el módulo de la resultante de dos
vectores colineales del mismo sentido de 70 N y
80 N.
Datos:
A = 70 N
B = 80 N
R = ?
El módulo es: R = A + B = 70 N + 80 N
La dirección de la resultante es la misma de sus
componentes, en este caso horizontal.
Ejem. 4.4.- Se tiene dos vectores perpendiculares,
A = 20 m y B = 30 m. Calcular el módulo de la
resultante y su dirección.
Datos:
A = 20 m
B = 30 m
α = 90º
R = ?
θ = ?
Módulo de la resultante:
   2222
3020 mmBAR 
mmmmR 1.361300900400 222

Dirección de la resultante:
Ejem. 4.5.- Dos vectores A = 200 km y B = 300 km
forman 60º entre sí. Calcular el módulo de la
resultante y su dirección.
Datos:
A = 200 km
B = 300 km
α = 60º
R = ?
θ = ?
cos222
ABBAR 
º60cos)300)(200(2)300()200( 22
kmkmkmkmR 
22222
5.01200009000040000 kmkmkmR 
22222
600009000040000 kmkmkmR 
kmkmR 9.435190000 22

Ejem. 4.6.- Se tienen dos vectores cuyos módulos
son U = 35 kp y V = 50 kp y que forman 120º.
Calcular el módulo de la resultante y su dirección.
Datos:
U = 35 kp
V = 50 kp
α = 120º
R = ?
θ = ?
120
tan 0.667 tan (0.667) 33.7º
30
A m
B m
  
     
     
1
200 60º 200 0.866
0.397
435.9 435.9
(0.397) 23.4º
km sen kmA sen
sen
R km km
sen


 

   
 

      
)5.0(350025001225
º120cos503525035
cos2
222
22
22



kpkpkpR
kpkpkpkpR
UVVUR 
kpkpR
kpkpkpR
4.441975
175025001225
2
222


Ejem. 4.7.- Un avión vuela en dirección sur-norte
con una velocidad de 50 m/s, el viento sopla de
oeste a este con una velocidad de 30 m/s. Calcular
la velocidad resultante del avión con respecto a la
Tierra.
Datos: Incógnitas:
V1 = 50 m/s R = ?
V2 = 30 m/s θ = ?
Por el teorema de Pitágoras:
La dirección de la resultante:
Componentes rectangulares de un vector.- Se
denominan así a las proyecciones rectangulares de
un vector sobre los ejes coordenados.
Se puede expresar un vector en función de otros dos
ubicados sobre los ejes X e Y.
Los módulos de éstas componentes se obtienen a
partir de las funciones trigonométricas:
Componente horizontal Componente vertical
Ejem. 4.8.- Para el vector que se muestra, se tienen
los siguientes datos: A = 20 m;  = 50º
Hallar los módulos de sus componentes
rectangulares
     35 120º 35 0.866
0.683
44.4 44.4
kp sen kpU sen
sen
R kp kp



   
1
(0.683) 43ºsen 
 
V2
E
N
V1
V
2
2
2
1 VVR  22
)/30()/50( smsmR 
smR /31.58
667.1
/30
/50
tan
2
1

sm
sm
V
V

º0.59667.1tan  arc
O
X
Y
yx RRR


 coscos AA
A
A
x
x

 senAA
A
A
sen y
y

cosxA A  yA Asen
O
X
Y

Solución:
Componente horizontal:
xA A cos 20m cos50º 20m 0.643      
xA 12.86m
Componente vertical:
yA A sen 20m sen50º 20m 0.766      
xA 15.32m
Suma de varios vectores aplicando componentes
rectangulares:
- Descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares.
- Hallar la resultante en el eje X y Y, por el método
de vectores colineales.
- Hallar el módulo del vector resultante aplicando
el teorema de Pitágoras.
- Hallar la dirección de la resultante con la función
tangente:
Ejem. 4.9.- Hallar la resultante.
Datos:
A = 30 N B = 50 N C = 25 N
D = 60 N E = 40 N
Solución:
1º) Descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares:
2º) Determinar la resultante horizontal y vertical, por
la suma de vectores componentes colineales,
horizontales y verticales:
CUADRO RESUMEN
V
A = 30 70º 30 cos70º 30 sen 70º
B = 50 150º 50 cos 150º 50 sen 150º
C = 25 0º 25 cos 0º 25 sen 0º
D = 60 –30º 60 cos(-30º) 60 sen(-30º)
E = 40 270º 40 cos 270º 40 sen 270º
43.92 –16.81
3º) Graficando las sumatorias horizontal y vertical,
se tienen dos vectores perpendiculares:
4º) Con Pitágoras se obtiene el módulo de R:
       2222
81.1692.43  yx VVR
NR 03.47
La dirección de la resultante:
3827.0
92.43
81.16






N
N
V
V
tg
x
y

º9.20
2 2
x yR V V  
tan
y
x
V
V
 


 cosVVx  senVVy 
 xV  yV

Vectores unitarios cartesianos.- Son aquellos
vectores que tienen como módulo la unidad de
medida de medida y las direcciones coinciden con
los ejes cartesianos.
Los vectores cartesianos son:
i = Tiene dirección del eje X positivo
i = Tiene dirección del eje X negativo
j = Tiene dirección del eje Y positivo
j = Tiene dirección del eje Y negativo
Representación de un vector en función de los
vectores unitarios:
  jViVVVVV yxyx 

;
Modulo: 22
yx VVV 
Dirección:
x
y
V
V
tg 
Ejemplos:
  jiAA 545;4 

  jiBB 262;6 

  iCC 40;4 

Suma de vectores aplicando los vectores
unitarios.- Para estas operaciones, se deben sumar
o restar cada uno de los componentes unitarios de
cada vector:
Ejemplos:
1) Sumar: jiA 54 

con jiB 32 

jiBAR )35()24( 

jiR 26 

2) Sean los vectores:
A = 2 i + 2 j B = 2 i + j
Hallar el módulo de: A + B
Solución: Vector resultante:
R = A + B
R = (2 i + 2 j) + (2 i + j)
R = (2 + 2) i + (2 + 1) j
R = 4 i + 3 j
534 22
R
13
0.75 (0.75) 37º
4
tg tg  
    

1. Copia en tu cuaderno. Sumar aplicando los
métodos del paralelogramo y el triángulo:
2. Copia en tu cuaderno. Sumar aplicando el
método del polígono:
3. Copia en tu cuaderno y suma los siguientes
vectores (elige el método):
4. Copia en tu cuaderno y realiza las dos
restas de los siguientes pares de vectores:
Restar: a – b
Restar: b – a
Problemas del 5 al 8. Realizar la suma de vectores
representándolos en una hoja cuadriculada. Graficar
el vector resultante y expresarlo con sus vectores
unitarios (i ; j):
= (–2, 4) = (5, 2) = (1, –3)
= (–7, 4) = (–4, 0)
5. Sumar: +
Resp: R = 3 i + 6 j
6. Sumar: +
Resp: R = 6 i – j
7. Sumar:
Resp: R = – 9 i – 2 j
8. Sumar:
Resp: R = 8 i – 7 j
9. ¿Cuál es la resultante de un par de fuerzas,
una de 100 N hacia arriba y una de 75 N hacia
abajo (Solución gráfica y analítica)
Escala: 1 cm : 25 km
Resp: 25 N hacia arriba
10. Un auto viaja 40 km hacia el este y 70 km hacia
el sur, ¿cuál es su desplazamiento resultante?
(Solución gráfica y analítica)
Escala: 1 cm : 20 km
Resp: 80.6 km
11. Una mujer camina 4 km hacia el este y después
camina 8 km hacia el norte.
a) Aplique el método del triángulo para hallar
su desplazamiento resultante.
b) Compruebe el resultado con el método del
paralelogramo.
Escala: 1 cm : 2 km
c) Verifique ambos con el método analítico.
Resp: 8.94 km ; 63.4º



12. Se tienen dos fuerzas iguales de 10 N cada
una, como muestra la figura, determinar el valor
de su resultante.
Resp: 17.3 N
13. Encontrar la magnitud del vector A + B
sabiendo que A = 5 unid., B = 8 unid.
Resp: 9.4 unidades
14. Hallar el vector resultante de dos vectores
fuerzas de 15 N y 6 N cuando forman un ángulo
de: a) 90º b) de 50º y c) de 75º.
(Solución gráfica y analítica)
Resp: a) 16.2 N; 21.8º; b) 19.4 N; 13.7º; c) 17.5 N; 19.3º
15. Determine el módulo de la resultante de dos
vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si
forman un ángulo de 53º.
Resp: 20 unidades
16. Dados: A = (250 N , 0º) y B = (300 N , 150º) .
Hallar gráfica y analíticamente la resultante.
Escala: 1 cm : 50 N
Resp: 150.3 N
17. Dados: A = (60 kp , 0º) y B = (90 kp, 35º)
Calcular el vector suma aplicando el método del
triángulo y en forma analítica.
Escala: 1 cm : 20 kp
Resp: 144 kp
18. Calcular el vector resultante por el método del
paralelogramo y del triángulo, de los siguientes
sistemas de vectores. Escala: 1 cm : 10 N
Resp: 26.8 N
19. Calcule la resultante mediante los métodos del
polígono y por descomposición.
(Vuelva a dibujar con la escala)
Escala: 1 cm : 40 N
Resp: 35.87 N ; - 8.6º con el eje +X
20. Un trabajador de topografía inicia su tarea en la
esquina sudeste de una parcela y registra los
siguientes desplazamientos: A = 600 m, Norte;
B = 400 m, Oeste; C = 200 m, Sur; y D = 100
m; Este. ¿Cuál es el desplazamiento neto
desde el punto de partida?
Resuelva por el método del polígono y por
descomposición.
Escala: 1 cm : 100 m
Resp: 500 m ; 126.9º
21. Sean los vectores:
A = 15 i + 12 j B = 3 i + 7 j
Hallar el módulo de: A – B
Resp:13 unidades
22. Sean los vectores:
A = 5 i + 3 j B = 7 i + 2 j
Hallar el módulo de: A + B
Resp: 13 unidades
23. En el sistema vectorial mostrado, determine el
módulo del vector resultante.
Resp: R = 0i + 1j ; Módulo = 1 unidad
24. Determine el módulo del vector resultante.
Resp: R = 4i + 3j ; Módulo = 5 unidades
A
B
C

1. Una de las siguientes magnitudes es escalar:
a) La aceleración b) La velocidad
c) La fuerza d) El tiempo
2. Una de las siguientes magnitudes es vectorial:
a) La masa b) El tiempo
c) La fuerza d) La densidad
3. La suma de dos vectores A y B que aparecen
en la figura es igual a:
A = 3 u
B = 4 u
a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 7 u
4. La suma de dos vectores A y B es máxima
cuando el ángulo entre ellos es:
a) 90º b) 180º c) 45º d) 0º
5. La suma de dos vectores A y B es mínima
cuando el ángulo entre ellos es de:
a) 90º b) 180º c) 45º d) 0º
6. Se tiene un vector de 4 unidades hacia el norte,
uno de 8 unidades hacia el sur y otro de 3
unidades hacia el oeste. El vector resultante
mide:
a) 9 u b) 8 u c) 5 u d) 15 u
7. Calcular la resultante de dos fuerzas de 10 y 30
kgf si forman un ángulo de 60º.
a) 36.06 kgf b) 10 kgf
c) 40 kgf d) 50 kgf
8. Los módulos de dos vectores perpendiculares
son 8 cm y 6 cm respetivamente. El vector
resultante de ambos es:
a) 3 cm b) 13 cm c) 10 cm d) 14 cm
9. Si a un desplazamiento de 45 m al Norte se le
añade uno de 60 m al Sur; el vector resultante
es:
a) 15 m al N b) 105 m al S
c) 15 m al S d) 105 m al S
10. Si a un desplazamiento de 30 m al Este se le
añade uno de 15 m al Oeste; el vector
resultante es:
a) 45 m al N b) 15 m al O
c) 15 m al E d) 45 m al E
11. Dos vectores de magnitudes iguales a 10 kp y
20 kp, forman un ángulo de 37º. ¿Cuál es el
valor de la suma de estos vectores?
a) 30 kp b) 28.6 kp c) 13.4 kp d) 10 kp
12. Dos fuerzas de 30 lbf y 40 lbf forman un ángulo
de 90º, luego la resultante de estas fuerzas es:
a) 30 lbf b) 40 lbf c) 50 lbf d) 60 lbf
13. Determine el módulo de la resultante de dos
vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si
forman un ángulo de 53º.
a) 32 b) 28 c) 20 d) 30
14. Hallar la resultante de los siguientes vectores,
sabiendo que: A = 6 N y B = 8 N
a) 15 N b) 10 N
c) 14 N d) 20 N
15. En la figura mostrada el módulo de los vectores
es A = 12 u; B = 5 u. Determine el módulo del
vector resultante.
a) 26 u b) 14 u.
c) 16 u. d) 13 u.
16. Hallar el vector resultante:
a) d2
b) a
c) a2
d) b2
17.Hallar el vector resultante.
a) c
b) b2
c) c2
d) a2

Cap. 5
CINEMÁTICA I
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORME EN LA MADRE TIERRA
Contenido:

Valoramos la importancia del movimiento de los cuerpos
mediante el conocimiento de las variables de la
cinemática, para determinar rapidez, velocidad,
desplazamiento, distancia y tiempo, que permitan asumir
con responsabilidad el buen uso de los instrumentos de
medida en la comunidad.
DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO
Ingresa a Educaplus, luego Física, después selecciona Movimientos y luego Distancia y desplazamiento
y luego Laboratorio virtual de cinemática, investiga con ayuda del profesor y practica por tu cuenta:

Introducción.- La cinemática se ocupa de describir
los movimientos y determinar cuáles son sus
características sin importar las causas que lo
originan.
Movimiento.- El movimiento es el cambio de
posición en función del tiempo que experimenta un
objeto o partícula con respecto a un sistema o punto
de referencia.
Posición de un punto.- La posición de un punto se
determina mediante un sistema de referencia fijo,
que puede ser un sistema de ejes coordenados.
Una dimensión.- Cuando un objeto se mueve por
una recta, realiza un movimiento en una dimensión.
Para determinar su posición sólo necesitamos
indicar a qué distancia del origen se encuentra.
Sistema de referencia: Eje X (Origen O)
- Posición del punto A: + 4
- Posición del punto C: – 5
- Posición del punto B: + 7
Trayectoria.- La trayectoria es la línea formada por
las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.
a) Trayectoria rectilínea: Un automóvil viajando en
una carretera plana y recta.
b) Trayectoria parabólica: Lanzamiento de un
proyectil, cañón.
c) Trayectoria circular: Una silla de un carrusel en
movimiento
Distancia recorrida.- Magnitud escalar. Es la
medida o longitud de la trayectoria.
Desplazamiento efectuado.- Magnitud vectorial.
Es un vector que representa el desplazamiento
realizado entre dos puntos.
Desplazamiento = Posición Final – Posición Inicial
12 xxx 
Dónde:
x : Representa el desplazamiento
: Posición en el instante final de observación
: Posición en el instante inicial de observación
Distancia y desplazamiento.- El desplazamiento
puede ser positivo, nulo o negativo dependiendo
de la posición relativa entre el instante final e inicial.
C O A B
–X +X
X1 X2
ΔX
O
2x 2t
1x 1t

Ejem. 5.1.- Una persona se pasea en línea recta en
una pieza de 3 m entre ambas paredes. Después de
dar 10 vueltas completas, retorna a su silla donde se
encontraba sentada inicialmente. ¿Qué distancia
recorrió? ¿Cuál fue su desplazamiento?
Solución: Como la posición inicial y final es la
misma, el desplazamiento es nulo:
La distancia recorrida es la suma de sus idas y
vueltas dentro de la pieza, por lo tanto es:
Distancia: x = 6 ( 10 m) = 60 m
Ejem. 5.2.- Una partícula situada en el eje X en el
punto 5 m se mueve hasta la posición 2 m, ¿cuál es
su desplazamiento?
Desplazamiento:
Resumiendo:
Distancia: Es magnitud o valor numérico
Desplazamiento: Es magnitud y dirección
Rapidez.- Es una magnitud escalar que relaciona la
distancia recorrida con el tiempo.
Rapidez media.- La rapidez media de un móvil es
el cociente entre la distancia que recorre y el tiempo
que emplea. Si la rapidez media de un coche es 80
km/h, esto quiere decir que el coche recorre una
distancia de 80 km en cada hora.
Velocidad.- Es una magnitud vectorial que
relaciona el desplazamiento con el tiempo.
Velocidad media.- La velocidad media de un móvil
es el cociente entre el desplazamiento efectuado y
el tiempo que emplea.
Si la velocidad de un coche es 80 km/h al NE, esto
quiere decir que el coche se mueve con una rapidez
de 80 km/h en una dirección NE.
Unidades de rapidez y velocidad.- Se expresa en
dimensiones de longitud sobre tiempo:
Rapidez y velocidad.- Son dos magnitudes
cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia.
Recuerda que la distancia recorrida y el
desplazamiento efectuado por un móvil son dos
magnitudes diferentes. Precisamente por eso,
cuando las relacionamos con el tiempo, también
obtenemos dos magnitudes diferentes:
- La rapidez es una magnitud escalar que
relaciona la distancia recorrida con el tiempo.
- La velocidad es una magnitud vectorial que
relaciona el desplazamiento (o cambio de
posición) con el tiempo.
- La rapidez es el escalar de la velocidad,
importa su módulo.
- La velocidad es un vector, importa su módulo,
dirección y sentido.
- Cuando varía la rapidez solo puede hacerlo en su
módulo.
- Cuando varía la velocidad, puede hacerlo en su
módulo, en su dirección y/o en su sentido.
- El "velocímetro" de un automóvil nos indica
rapidez instantánea y no rapidez media, y
mucho menos velocidad.
0final inicialx x x   
2 1 2 5 3x x x m m m      
empleadotiempo
recorridaciadis
mediaRapidez
tan

x
v
t
   ;
m cm
v
s s

desplazamiento
Velocidad media
tiempoempleado

x
v
t



  ; ; ;
m cm km milla
v
s s h h


Ejm. 5.3.- Un automóvil viaja por una carretera con
una velocidad de 20 m/s rumbo al norte. Indicar cuál
es la rapidez y su velocidad:
Movimiento rectilíneo uniforme (M. R. U.).- Se
caracteriza por:
 Movimiento que se realiza en una sola dirección
(horizontal o vertical)
 La velocidad es constante; implica magnitud y
dirección inalterables.
 Describe desplazamientos iguales en tiempos
iguales.
 La velocidad, se denomina “velocidad media”
La fórmula del M.R.U. es:
Gráficas del M.R.U.- Supongamos que un automóvil
se mueve a 100 km/h.
Gráfica desplazamiento – tiempo:
A 0 h le corresponde 0 km
A 1 h le corresponde 100 km
Variable independiente: El tiempo
Variable dependiente: El desplazamiento
Gráfica velocidad – tiempo:
La gráfica velocidad–tiempo, es una recta horizontal
porque el valor de la velocidad se mantiene
constante.
El área comprendida entre “v” y “t”, representa la
distancia recorrida por el móvil.
Ejem. 5.4.- Transformar 72 km/h en m/s:
Ejem. 5.5.- Un móvil con Movimiento Rectilíneo
Uniforme (MRU) tiene una rapidez de 4 m/s. Calcula
la distancia que recorre en 6 s.
Solución:
De la ecuación:
Despejando:
nortealsmV /20
Rapidez: solo módulo
Velocidad: módulo, dirección y sentido
nortealsmV /20
Rapidez: solo módulo
Velocidad: módulo, dirección y sentido
0
2 s
10 m 20 m 30 m
2 s 2 s
x
v
t
 .x v t x
t
v

tvxtvA 
v
t
t
v
s
m
s
h
km
m
h
km
v 20
3600
1
1
1000
27 
x
v
t

  . 4 / 6 24x v t m s s m  

Ejem. 5.6.- Un velocista corre los 100 m planos en
10 s. Calcula su rapidez media.
Ejem. 5.7.- Calcula el tiempo que demora un
automóvil en recorrer 800 m, con una rapidez media
de 20 m/s.
Ejem. 5.8.- Un barco navega hacia el oriente
recorriendo 4 millas en 2 horas. ¿Cuánto es su
rapidez media? ¿Cuánto es su velocidad media?
Datos:
x = 40 millas
t = 2 h
v = ?
Solución: Conversión de unidades:
Rapidez media:
Velocidad media:
v = 8.94 m/s hacia el oriente.
Ejem. 5.9.- Un automóvil parte de Sucre a Potosí
con una rapidez promedio de 60 km/h la distancia
entre ambas ciudades es de 162 km. ¿Qué tiempo
empleará en recorrerla?
Datos:
v = 60 km/h
x = 162 km
t = ?
Solución:
hkm
km
v
x
t
t
x
v
/60
162

min4227.2 hht 
Ejem. 5.10.- Un muchacho para bajar por una
escalera empleó 30 s. ¿Cuánto demoraría en subir
la misma escalera si lo hace con el triple de
velocidad?
Cuando el muchacho baja: L vb30g ..... (1)
Cuando el muchacho sube: L 3vbtg ..... (2)
Resolviendo (1) y (2), se tiene: t 10 s
Ejem. 5.11.- Dos atletas parten juntos en la misma
dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 3m/s,
después de 1 minuto. ¿Qué distancia los separa?
Solución:
De la ecuación: d
v d v.t
t
  
Para el más veloz:
11d v .t 4 m/ s 60 s 240 m   
Para el más lento:
22d v .t 3 m/ s 60 s 180 m   
La separación entre atletas es:
1 2x d d 240 m 180 m   
x 60 m
100
10 /
10
mx
v m s
t s
  
800
40
20 /
mx
t s
v m s
  
1609
40 * 64360
1
m
x milas m
milla
 
3600
2 * 7200
1
s
t h s
h
 
64360
8.94
7200
mx m
v
t s s
  
x

PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
1. Objetivo General:
- Describir las características del movimiento rectilíneo uniforme.
2. Objetivos específicos:
- Construir e interpretar la gráfica de la posición en función al tiempo.
- Relacionar la pendiente de la gráfica distancia vs. tiempo, con la rapidez media.
- Calcular la rapidez media para diferentes distancias de un tipo de movimiento.
3. Fundamento teórico:
- La cinemática se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que los produce.
- El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza por mantener la velocidad constante.
- La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se define como:
- La distancia recorrida por un móvil con una velocidad constante es una función lineal:
4. Material:
- Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet o del CD (Teoría del error)
- Cronómetro
5. Procedimiento:
tiempo
ciadis
mediaRapidez
tan

t
x
v 
tvx 

1. Inicie el programa de M.R.U. creado o el disponible en el software.
2. Ponga a funcionar el experimento virtual, mida el tiempo tres veces para cada tramo. Halle el promedio.
3. Proceda para distancias de: 6.0, 8.0, 10.0, 12.0 y 14.0 m
4. Anote los resultados en la tabla I.
TABLA I Tabulación de tiempos y distancias
Ensayo Tiempo para:
x = 6
Tiempo para:
x = 8
Tiempo para:
x = 10
Tiempo para:
x = 12
Tiempo para:
x = 14
1
2
3
Tiempo
promedio
5. Traslade los datos a la tabla II
6. Calcule los valores de la rapidez en cada tramo. Halle el promedio de ellos y anote en la tabla III (medida
experimental)
TABLA II Tabulación de datos experimentales
Distancia: x (m) 6 8 10 12 14
Tiempo: t (s)
Rapidez: (m/s)
Velocidad experimental promedio: Vexp.= ………………
7. Grafique los pares de datos distancia (x) vs. tiempo (t). de la tabla II.
8. Corrija la curva aplicando regresión lineal. Consulte las páginas 20 y 21 del Cap. 2 Teoría del error.
9. Obtenga la pendiente de la curva.
10.La pendiente representa a la rapidez del móvil. Anote su valor en la tabla III Resultado analítico)
11.Determine el error porcentual, considerando como VMP la pendiente. (Consulte el Cap. 2)
TABLA III Tabulación de resultados
Rapidez:
Resultados
analíticos
Resultados
experimentales
Er E%
v (m/s)
6. Discusión y análisis de resultados:
(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, etc.)
1. ¿Qué factores influyen para una toma mejor de tiempos?
2. ¿Cómo son las rapideces obtenidas en la tabla II? ¿Existe mucha dispersión?
3. Para la construcción de la gráfica y posterior corrección mediante regresión lineal de los pares de datos x
vs. t ¿Cómo hizo el trabajo? (manualmente, con RL de la calculadora o Excel) ¿Cuál cree es más
conveniente por la facilidad?
4. La pendiente de la gráfica ¿qué representa?
5. ¿Estos dos valores finales difieren mucho?
6. ¿El error porcentual es aceptable o no?
7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
t
x
v 

1. ¿Qué velocidad tiene un ciclista que recorre 0.5
km en 5.5 min?
Resp: 1.52 m/s
2. Un automóvil viajó 86.4 km. con una velocidad
constante de 8 m/s, ¿Cuántas horas se
requiere para el viaje?
Resp: 3 horas
3. El sonido viaja por el aire con una rapidez de
340 m/s, disparando un cañón, ¿en cuánto
tiempo más se oirá el disparo a 1360 m de
distancia?
Resp: 4 seg.
4. La velocidad de un avión es de 980 km/h,
mientras que un segundo avión tiene una
velocidad de 300 m/s. ¿Cuál es más veloz?
Resp: El segundo
5. A las 9: 30 horas se informa en la estación que
un avión se halla a 108 km del aeropuerto, halle
la velocidad del avión, supuesta constante,
sabiendo que aterrizará en el aeropuerto a las
11 horas.
Resp: 72 km/h
6. Un estudiante, para llegar a la escuela, camina
3 cuadras al este y 4 cuadras al norte, esto le
toma alrededor de 20 minutos, conociendo que
el estudiante tiene una rapidez de 0.8 m/s.
Calcule la longitud de cada cuadra supuesta de
igual medida.
Resp: 137.14 m
7. ¿Cuánto tiempo tardará un niño en patines, que
puede desarrollar una velocidad de 7.4 m/s,
recorrer una distancia de 120 m?
Resp: 16.2 s
8. Una rueda se desliza por un camino horizontal.
Si se mueve a razón de 8 m/s, ¿cuánto tardará
en recorrer 100 m?
Resp: 12.5 s
9. Un atleta corre una maratón de 42 kilómetros
en 2 horas y 15 min. ¿Cuál es su velocidad?
Resp: 5.18 m/s
10. Un auto de juguete avanza según los siguientes
pisos: en madera a 0.5 m/s; en cemento a 0.4
m/s, en baldosa a 0.8 m/s. ¿Cuánto tarda en
recorrer una distancia total de 20 metros,
repartidos en 4 metros de madera, 2.5 metros
de cemento y el resto en baldosa?
Resp: 31.13 s
11. Un automóvil recorre 40 km en media hora.
a) ¿Cuál es su rapidez?
b) Si mantiene esa rapidez, ¿cuánto tardará en
recorrer 320 km, desde que partió?
Resp: a) 80 km/h; b) 4 h
12. Un atleta recorre 100 m en 10 s. a) ¿Con qué
rapidez se desplaza?, b) ¿qué distancia
recorrería en una hora? (si pudiera mantener
esa rapidez).
Resp: a) 10 m/s, b) 36 km
13. Un bus en el trayecto Sucre - Tarabuco, tarda
una hora y tres cuartos. Si la distancia que
recorre es de 110 km, ¿con qué rapidez se
desplazó? Exprese el resultado en km/h.
Resp: 62.86 km/h
14. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s.
¿Cuánto tarda un espectador de un partido de
fútbol en escuchar el ruido de un "chute" que se
lanza a 127.5 m de distancia de él?
Resp: 0.375 s
15. Un mach es la velocidad del sonido. Un avión
supersónico viaja a 2.5 mach. ¿Cuánto tardará
en recorrer 2448 km?
Resp: 0.8 h = 48 min
16. Desde un mismo punto parten un automóvil, a
razón de 72 km/h, y una motocicleta, a razón de
15 m/s. a) ¿Qué distancia los separará al cabo
de media hora si se dirigen hacia un mismo
lugar?, b) ¿Qué distancia los separará al cabo
de media hora si parten en una misma dirección
pero en sentidos contrarios?
Resp: a) 9000 m; b) 63000 m
17. ¿Qué distancia hay entre la Tierra y el sol si la
luz de este astro tarda 8 min 20 seg en recorrer
la distancia que los separa?
Resp: 1.5x108
km
18. Un hombre conduciendo un camión a velocidad
constante de 25 m/s, observa el pueblo a 2.5
km ¿en qué tiempo llegará a su destino?
Resp: 1 min y 60 seg.

1. Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si
su posición final está a 1250 m del punto de
referencia, el ciclista inició su recorrido desde
una posición de:
a) 750 m b) 1250 m c) 500 m d) N. A.
2. Un auto viaja en línea recta 200 km; luego
regresa 100 km empleando un tiempo de 5 horas
en todo el recorrido, se movió con velocidad
media de:
a) 60 km/h b) 20 km/h
c) 40 km/h d) 30 km/h
3. La rapidez media del auto del problema anterior
fue:
a) 60 km/h b) 20 km/h
c) 40 km/h d) 30 km/h
4. Un ciclista que se mueve a razón de 6 m/s, en un
cuarto de hora recorre una distancia de:
a) 5400 km b) 90 m
c) 90 km d) 5400 m
5. Un coche de carreras recorre la distancia de
2000 m en 1.5 min. ¿Cuál es su rapidez?
a) 22.2 m/s b) 1333.3 m/s
c) 180000 m d) N. A.
6. El desplazamiento es un:
a) Escalar b) Vector
c) La rapidez d) La velocidad
7. Un autobús parte de Sucre a las 7:30 de la
mañana y llega a Potosí a las 12:30, si la
distancia recorrida es de 160 km, su rapidez
media es:
a) 40 km/h b) 60 km/h
c) 32 km/h d) 50 km/h
8. Señala el valor de la siguiente velocidad en
unidades del S.I.: v = 36 km/h
a) 200 m/s b) 72 m/s
c) 20 km/h d) 10 m/s
9. Un coche recorre 3 km en 2 min. Calcula su
velocidad en m/s.
a) 25 m/s b) 30 m/s c) 1.5 m/s d) N. A.
10. Un avión se desplaza a una velocidad de 1080
km/h. Calcula la velocidad en m/s
a) 108 m/s b) 300 m/s c) 600 m/s d) N. A.
11. Un coche avanza con una velocidad de 8 m/s.
Calcula el espacio recorrido en un tiempo de 4
segundos.
a) 16 m b) 32 m c) 2 m d) N. A.
12. ¿Qué magnitud permanece constante en un
movimiento rectilíneo uniforme?
a) El tiempo b) La velocidad
c) El espacio d) N. A.
13. ¿Cuántos metros recorre en 10 s un coche que
se mueve a una velocidad de 36 km/h?
a) 360 m b) 3.6 m c) 100 m d) N. A.
14. Un móvil que va con M.R.U. inicia su
movimiento en x = –12 m y luego de 8 s está en
x = + 28 m, hallar su velocidad.
a) 4 m/s b) 3 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s
15. Javier un joven estudiante, desea saber a qué
distancia se encuentra el cerro más próximo,
para lo cual emite un grito y cronómetro en
mano, comprueba que el eco escucha luego de
3s. ¿Cuál es esa distancia en metros?
(velocidad del sonido = 340 m/s)
a) 500 m b) 510 m c) 450 m d) 400 m
16. Dos atletas parten juntos en la misma dirección
y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s,
después de 1 minuto. ¿Qué distancia los
separa?
a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 150 m
17. Una moto y un auto se encuentran a una
distancia de 1000 m. Si parten simultáneamente
en la misma dirección y con velocidades de 25
m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En qué tiempo
se produce el encuentro?
a) 16 s b) 20 s c) 25 s d) 30 s
18. Dos móviles con velocidades constantes de 40 y
25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven
en la misma recta alejándose el uno del otro.
¿Después de cuánto tiempo estarán separados
13 km?
a) 100 s b) 200 s c) 150 s d) 125 s

Cap. 6
CINEMÁTICA II
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO
EN LA MADRE TIERRA
CONTENIDO:

Valoramos los procesos de movimiento acelerado
estudiando y analizando las características y efectos
de los cambios de velocidad, recurriendo al trabajo
práctico de laboratorio y solución de problemas
numéricos, que permita a los estudiantes aplicar a
situaciones creativas en el contexto que les rodea.
CINEMÁTICA CON EDUCAPLUS
Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Movimiento en una dirección.

Introducción.- Muchas personas piensan que
cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad,
su aceleración también es grande; que si se mueve
con velocidad pequeña es porque su aceleración es
pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su
aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un
error!
- Una aceleración grande significa que la velocidad
cambia rápidamente.
- Una aceleración pequeña significa que la
velocidad cambia lentamente.
- Una aceleración cero significa que la velocidad
no cambia.
Aceleración.- Los conceptos de velocidad y
aceleración están relacionados, pero muchas veces
se hace una interpretación incorrecta de esta
relación.
La aceleración relaciona los cambios de la
velocidad con el tiempo en el que se producen, es
decir que mide cómo de rápidos son los cambios de
velocidad:
“La aceleración es una magnitud vectorial, se
define como la razón de cambio de la velocidad
respecto al tiempo”
“Un objeto se acelera cuando su rapidez
aumenta, cuando su rapidez disminuye o cuando
cambia la dirección de movimiento”
Aceleración media.- Es el cociente de la variación
de la velocidad entre el intervalo de tiempo.
a = Aceleración
= Velocidad final
= Velocidad inicial
= Tiempo empleado
Unidades:
Ejem. 6.1.- Un objeto que posee una aceleración
constante de 5 m/s2. Su velocidad se incrementa 5
m/s cada segundo, supongamos que el objeto tiene
una velocidad inicial (v0) de 20 m/s en t0 = 0 s,
entonces sus rapideces para diferentes tiempos
serán:
t (s) 0 1 2 3 4 5
v (m/s) 20 25 30 35 40 45
Incremento de velocidad cada segundo:
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(M. R. U. V.).- Se caracteriza por:
 Su trayectoria es una línea recta.
 Los cambios de velocidad son iguales en
intervalos de tiempos iguales.
 El móvil recorre distancias diferentes en tiempos
iguales.
 El cuerpo se mueve con velocidad
uniformemente variable.
 La aceleración del móvil es constante.
Ecuaciones del M.R.U.V.– Las ecuaciones del
movimiento rectilíneo, son de tipo vectorial
(velocidad, aceleración y desplazamiento son
magnitudes vectoriales).
- Si la velocidad y la aceleración tienen sentidos
opuestos, el móvil desacelera, va frenando.
- Si la velocidad y la aceleración tienen igual
sentido, el móvil acelera, aumenta su rapidez.
- Si el móvil parte del reposo, la velocidad inicial es
cero.
- Si el móvil va frenando y se detiene, la velocidad
final es cero.
t
vv
tt
vv
t
v
a 0
0
0 







v
0v
t
  2 2
;
m cm
a
s s

smsmsmvvv /5/20/250 
2
/5
1
/5
sm
s
sm
t
v
a 




v0 = Velocidad inicial v = Velocidad final
a = Aceleración x = Desplazamiento
a) Velocidad en función del tiempo: De la
definición de la aceleración:
b) Velocidad en función del desplazamiento:
c) Desplazamiento en función del tiempo:
También es importante considerar la ecuación:
d) Velocidad media o promedio:
Gráficas del movimiento uniformemente variado:
a) Velocidad -vs- tiempo.- Es una recta, cuya
pendiente es la aceleración media del móvil:
- La inclinación de la recta depende de la
aceleración.
- Para calcular v0 determinar el punto de corte
de la recta con el eje “v”.
- Para calcular la aceleración del movimiento,
calcular la pendiente de la recta
- El área comprendida entre la pendiente las
verticales y el eje de los tiempos representa la
distancia recorrida por el móvil.
b) Desplazamiento -vs- tiempo.- La gráfica es una
parábola:
- La aceleración es positiva si la parábola se abre
hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo.
- Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor
aceleración
- La parábola siempre pasa por el origen,
(desplazamiento inicial x0 = 0)
- Si es cóncava hacia arriba el movimiento es
acelerado.
t
vv
a 0

0v v at 
2 2
0 2v v a x 
21
0 2x v t at 
0
2
v v
x t
 
  
 
x
v
t

2
ov v
v


t
v2
v
v1
t2t1
-
-
tan
v v
a
t t

 
  
 
O
t
x

c) Aceleración -vs-tiempo.- La gráfica es una recta
horizontal:
Ejem. 6.2.- Un tren que viaja sobre rieles rectos
tiene una velocidad inicial de 45 km/h. Se aplica una
aceleración uniforme de 1.50 m/s2 conforme el tren
recorre 200 m.
a) ¿Cuál es la velocidad del tren al final de este
desplazamiento?
b) ¿Cuánto tiempo toma al tren recorrer los 200 m?
Datos:
a = 1.50 m/s2
x = 200 m
a) v = ? b) t = ?
Solución:
a) Haciendo uso de la ecuación, velocidad final en
función del desplazamiento:
b) El tiempo con la ecuación de la velocidad en
función del tiempo:
st
sm
smsm
a
vv
ttavv
10
/50.1
/5.12/5.27
2
0
0





Ejem. 6.3.- Un automóvil que va a 85 km/h en un
camino recto se detiene en 10 s. ¿Qué tan lejos
viajó el auto durante ese tiempo?
Datos:
vo = 85 km/h = 23.6 m/s v = 0
t = 10 s x = ?
Solución:
Ejem. 6.4.- Un automóvil que viaja sobre un camino
recto a 90 km/h disminuye la velocidad a 40 km/h en
5 s. ¿Cuál es su aceleración promedio?
Datos:
t = 5 s a = ?
Solución:
Ejem. 6.5.- Un bote de motor parte del reposo en un
lago y acelera en línea recta a razón de 3 m/s2
durante 8 s. ¿Qué tan lejos viajó el bote durante ese
tiempo? ¿Qué velocidad alcanzó?
Datos:
vo = 0 a = 3 m/s2
t = 8 s x = ? v = ?
Solución: Cálculo de la distancia recorrida:
La velocidad del bote al final de los 8 s, es:
t
a
s
m
s
h
km
m
h
km
v 5.12
3600
1
*
1
1000
*450 
2 2 2 2
0
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 (12.5 / ) 2(1.50 / )(200 )
156.25 / 600 / 756.25 /
756.25 / 27.5 /
v v a x m s m s m
v m s m s m s
v m s m s
   
  
 
20
/36.2
10
/230
sm
s
sm
t
vv
a 




2 2 21 1
0 2 2(23.6 / )(10 ) ( 2.36 / )(10 )x v t at m s s m s s    
236 118 118x m m m  
s
m
s
h
km
m
h
km
v 25
3600
1
*
1
1000
*900 
s
m
s
h
km
m
h
km
v 11
3600
1
*
1
1000
*40 
20 11 / 25 / 13 /
2.8 /
5 5
v v m s m s m sv
a m s
t t s s
  
     

mssmssmtatvx 96)64()/3()8()/3( 22
2
122
2
12
2
1
0 
smssmtavv /24)8()/3( 2
0 

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