El el presente pdf puede ver un resumen general de circuitos eléctricos I

1. TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I
Parte A: INTRODUCCIÓN
Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN
Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

2. FIEE-UNCP
Pág. 2
ÍNDICE
Parte A: INTRODUCCIÓN 3
A.1 Las ecuaciones diferenciales de los circuitos
eléctricos 3
A.2 Relaciones volt-amper y energía almacenada 4
A.3 Teoremas de los valores iniciales y finales 5
A.3.1 Teorema de la energía inicial 6
A.3.2 Teorema del valor inicial y final 6
A.3.3 Ejemplos de cálculo de los valores iniciales
y finales 8
Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN 13
B.1 Circuitos de primer orden 13
B.1.1 Excitación por energía almacenada 13
B.1.2 Excitación por un impulso 16
B.1.3 Excitación por un escalón 17
B.1.4 Excitación por una señal senoidal 20
B.1.5 Resonancia y variación de parámetros 21
B.2 Ejemplo de cálculo 23
Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN 26
C.1 Circuitos de segundo orden 26
C.1.1 Excitación por energía almacenada 26
C.1.1.1 Sobreamortiguado 29
C.1.1.2 Críticamente amortiguado 32
C.1.1.3 Oscilatorio armónico amortiguado 33
C.1.2 Excitación por señal senoidal 35
C.2 Ejemplo de cálculo 37
TOTAL: 44 páginas

3. FIEE-UNCP
Pág. 3
Parte A: INTRODUCCIÓN
Todo cambio de estado significa un cambio en la cantidad de la
energía del sistema, sea este mecánico, térmico o eléctrico. Como el
suministro o la disipación de energía no puede realizarse con amplitud
infinita este cambio requiere un tiempo determinado.
Se pasa de un estado al otro en forma gradual, el tiempo de
transición se denomina período transitorio. Una vez que el sistema se
estabiliza en el nuevo estado se dice que se encuentra en su período
estacionario, de régimen o forzado.
En todos los casos esa "inercia" en responder es debida a la
presencia de elementos capaces de almacenar energía: una masa, un
resorte, etc. Nuestro estudio se referirá a los circuitos eléctricos,
pero podremos observar la semejanza que existe con otros sistemas.
Esta es la base de la computación analógica para el estudio de sistemas
dinámicos.
A.1 - Las ecuaciones diferenciales de los circuitos
eléctricos.
Dado que hemos considerado que los elementos de las redes serán
lineales, bilaterales e ideales, surge que los parámetros L, C y R
son constantes, y por ello las ecuaciones diferenciales de los
circuitos serán a coeficientes constantes, y en ellas son aplicables
los teoremas de linealidad y superposición.
Ya que las ecuaciones diferenciales representan circuitos pueden
aplicarse los conceptos de estímulo y respuesta.
El tipo más simple de estímulo para una red es el provisto por
la energía acumulada inicialmente en los elementos del circuito
(inductancias y/o capacitores). Esta energía hace que la corriente
circule, pero a medida que esto ocurre la energía es disipada en las
resistencias, si existen, por lo que, con el tiempo, decrecerá hasta
cero.
La respuesta de una red excitada por almacenamiento inicial de
energía y luego dejada en libertad es una característica de la misma
y es denominada comportamiento natural, o respuesta transitoria,
porque las corrientes y tensiones (que constituyen la respuesta)
decrecen a cero luego de cierto tiempo. También se la conoce como
comportamiento libre (no forzado) ya que es producido en el circuito
en sí, sin ninguna fuente externa.
Desde el punto de vista matemático el comportamiento natural de
un circuito es la solución de la ecuación diferencial con todas las
fuentes igualadas a cero. A esta solución se la denomina función
complementaria u homogénea.
La respuesta de un circuito a una excitación por una fuente
impulsiva es muy similar al comportamiento natural. El impulso existe
sólo entre t = 0- y t = 0+. Antes y después de este intervalo es cero,
tal como sería para obtener la función complementaria de la ecuación
diferencial. La única forma por la cual el impulso afecta al circuito
es almacenar (o extraer) energía durante el período de existencia. Es
decir que, luego de pasado el impulso, la energía almacenada produce
el comportamiento natural.

4. FIEE-UNCP
Pág. 4
La respuesta de un circuito a la excitación por la función escalón
puede encontrarse por integración de la respuesta a un impulso. El
teorema de la linealidad se extiende a la integración y a la
diferenciación del estímulo y de la respuesta, ya que son operaciones
matemáticas lineales.
Alternativamente, la respuesta puede obtenerse directamente de
la ecuación diferencial apropiada. En este caso un valor final, o
solución estacionaria, existe, es proporcional a la excitación y no
decrece a cero con el tiempo. El valor estacionario es simplemente la
solución para el circuito en t = + y es idéntica al valor de corriente
continua.
La solución completa de una ecuación diferencial de circuito es
la suma del comportamiento natural y la solución estacionaria.
La solución estacionaria por sí misma no satisface las
condiciones iniciales (t=0+) en el circuito. La solución transitoria
provee una transición suave desde el estado energético inicial del
circuito, representado por los valores iniciales de las corrientes y
tensiones, al estado energético final representado por valores finales
de las corrientes y tensiones.
Una excitación más general puede descomponerse en un tren de
impulsos o escalones y tratar el caso por superposición. Es posible
también resolver directamente la ecuación diferencial correspondiente
a la excitación general.
En este caso la solución completa de la solución diferencial es
la solución transitoria más una solución que es del mismo tipo que la
excitación. Esta última se conoce también como solución estacionaria
aunque no es una constante. Un término más adecuado es el de solución
forzada.
Matemáticamente esta solución es llamada la integral particular
de la ecuación diferencial.
A.2 - Relaciones volt-amper y energía almacenada.
Para entrar en el tema reescribamos las expresiones de la ley de
Ohm para los elementos simples:
Para la resistencia: iR(t) = eR(t)·G eR(t) = iR(t)·R
Para la inductancia: iL(t) =
 

t
L dt)t(e eL(t) =
dt
)t(di
L L
Y para la capacitancia: iC(t) =
dt
)t(de
C eC(t) = dt)t(iS
t
 
A la integral de la tensión la denominamos enlaces de flujo y a
la integral de la corriente la denominamos carga eléctrica.
 

t
L dte= y dti=q
t
C
 

5. FIEE-UNCP
Pág. 5
Por lo que resulta:
qS=e  y i=
dt
dq
=
dt
de
C
La energía puede determinarse por la expresión:
dtie=WTp=W
t
 

La energía almacenada será entonces, para la inductancia:
dti
dt
di
L=dtie=W
tt
L
 
cambiando variables t por i, y asumiendo que en el origen de los
tiempos el elemento está descargado, resulta:
t=- --> i=0; t=t --> i=I
I
2
L
=WdiiL=W 2
L
I
0
L 

Y para la capacidad:
dte
dt
de
C=dtie=W
tt
C
 
cambiando variables t por e resulta:
t=- --> e=0; t=t --> e=E
E
2
C
=WdeeC=W 2
C
E
0
C 

Donde hemos verificado que, felizmente, la energía almacenada en
ambos elementos depende solamente del valor final y no de la historia
de la corriente o la tensión respectivamente.
A.3 - Teoremas de los valores iniciales y finales.
Para poder explicitar la solución a un problema presentado por
un circuito en particular no solamente debemos conocer la ley general
de su comportamiento sino que también debemos ajustar los resultados
de nuestra ecuación a los valores realmente presentes en el circuito.
Es decir que nuestra ecuación solución debe cumplir con las
condiciones de contorno establecidas en elcircuito real.
Para ello debemos estar en condiciones de calcular esas
condiciones. Debemos por establecer estrictamente el valor inicial
dela respuesta, el valor inicial de la primera derivada de la
respuesta, y el valor final o de régimen de la misma.
los teoremas siguientes nos dan las herramientas necesarias para
ello.

6. FIEE-UNCP
Pág. 6
A.3.1- Teorema de la energía inicial.
A la corriente en la inductancia la podemos expresar como:
 

t
0
0t
dtedtedtei
La primer integral es la cantidad de enlaces de flujo almacenados
en la inductancia desde el pasado hasta nuestro tiempo t = 0. Esta
cantidad neta de enlaces de flujo dividida por el coeficiente de
autoinductancia es la corriente existente en ese momento, por lo tanto
podemos expresar la corriente como:

t
0
0 dteIi
por ello una inductancia inicialmente cargada puede reemplazarse por
un generador ideal de corriente en paralelo con una inductancia
descargada.
A la tensión en el capacitor la podemos expresar como:
 

t
0
0t
dtiSdtiSdtiSe
La primer integral es la carga eléctrica almacenada en la
capacidad desde el pasado hasta nuestro tiempo t = 0. Esta cantidad
neta de carga eléctrica dividida por la capacidad es la tensión
existente en ese momento, por lo tanto podemos expresar la corriente
como:

t
0
0 dtiSEe
por ello un capacitor inicialmente cargado puede reemplazarse por un
generador ideal de tensión en serie con un capacitor descargado.
A.3.2 - Teorema del valor inicial y final.
Por la ecuación de la corriente en la inductancia, si tomamos el
instante t = 0+ nos quedará:
dte+I=i
0
0
0




como el intervalo de integración es prácticamente nulo y si la tensión
no es infinita, la integral también será nula. Por ello podemos decir
que para t = 0+ la inductancia descargada es equivalente a un circuito
abierto.
En un capacitor resultará que:
dtiS+E=e
0
0
0



y haciendo las mismas consideraciones obtendremos una tensión nula
que indicará un cortocircuito equivalente en t = 0+.

7. FIEE-UNCP
Pág. 7
Hay que hacer notar que si la excitación es infinita en ese
intervalo (un impulso) la integral tendrá un valor definido, distinto
de cero, y representará la carga cedida al (o retirada del) elemento.
Esta carga podrá sumarse algebraicamente a la inicial y tratarlo como
inicialmente cargado con el valor resultante.
Para t=+, luego de desaparecido el transitorio, la inductancia
queda con un diferencia de potencial nula y es indistinguible de un
cortocircuito; mientras que el capacitor resulta con una corriente
nula y por ende es equivalente a un circuito abierto.
Podemos decir que en ambos instantes particulares, t=0+ y t=+,
el circuito de comporta resistivamente.
Independientemente de que la corriente o la tensión sean nulas
en t=0+ deberemos evaluar también la primera derivada de las mismas,
para lo que recordaremos que:
CL iS
td
ed
ye
td
id

Esta evaluación de la derivada de la función para el instante
inicial la realizamos analizando el circuito equivalente para ese
instante.
Si conocemos la tensión en la bobina tendremos que:
L
)0(e
=)0('i=
dt
di
dt
di
L=)0(e
+
L+
L
0t0t
+
L



Por otra parte, si conocemos la corriente en el capacitor
tendremos que:
C
)0(i
=)0('e
dt
de
dt
de
C=)0(i
+
C+
C
0t0t
+
C 


tal como lo habríamos obtenido por aplicación del concepto de
dualidad.
Debemos entender que hablamos de la derivada de la función para
un instante dado y no de la derivada del valor de la función para ese
instante ya que en este caso el resultado sería siempre nulo y no
tiene significado físico.
Para el caso de una función de excitación impulsiva sabemos que
su integral está definida por el coeficiente de la misma por lo que
la carga cedida, o extraída, se evalúa fácilmente.
Para el capacitor:
(t)uI=(t)i 0A
C
I
=IS=dt(t)uIS=)0(e A
A
0
0
0A
+
C



valor que habrá que sumar algebraicamente a la tensión inicial del
capacitor E0.
Con algebraicamente queremos decir que la energía del impulso
puede aumentar o disminuir la existente en el circuito, todo dependerá

8. FIEE-UNCP
Pág. 8
de la polaridad relativa de la tensión existente y de la adquirida.
Resulta, por otra parte, obvio que la corriente que estamos
considerando es la corriente que atraviesa al condensador.
Para el inductor:
(t)uE=(t)e 0A
L
E
=E=dt(t)uE=)0(i A
A
0
0
0A
+
L 



valor que habrá que sumar algebraicamente a la corriente inicial del
inductor I0.
Para este caso valen las consideraciones hechas para el anterior.
En resumen podemos establecer el siguiente cuadro:
Elemento Tiempo inicial Tiempo final
A.3.3 - Ejemplos de cálculo de los valores iniciales y
finales.
Para completar el tema veremos algunos ejemplos de evaluación de
estos valores que constituyen las condiciones de contorno
fundamentales para determinar los coeficientes de las soluciones a
los problemas de transitorios.
Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por
una resistencia R y una inductancia L con una carga inicial indicada
como una corriente I0.
Conforme a lo demostrado hasta ahora podemos determinar los
valores iniciales y finales de las variables del circuito. Siendo el
circuito excitado por la energía almacenada en el inductor (en forma
de campo magnético), no habiendo fuente adicional y existiendo un
elemento disipador la energía se disipará. Esto significa que para el
tiempo t = + no habrán tensiones ni corrientes.
Para evaluar lo que acontece en el momento inicial utilizaremos
el circuito equivalente para ese instante:
L
C
+-
C
E0
+-
C
E0
L
I0
L
I0
I0
i(t)
R L

9. FIEE-UNCP
Pág. 9
Aquí observamos fácilmente que la corriente inicial en el
circuito es igual a la corriente inicial de la bobina. La tensión
inicial en la resistencia está dada por la ley de Ohm es decir que:
eR(0+) = i(0+)·R = I0·R
Por su parte la tensión en la bobina debe ser igual en su magnitud
y opuesta en la polaridad a la de la resistencia para que se cumpla
la segunda ley de Kirchhoff, es decir:
eL(0+) = -i(0+)·R = -I0·R
Veamos un caso excitado por energía almacenada (en la bobina como
una corriente I0 y en el capacitor como una tensión E0) y, además, por
una fuente impulsiva en t=0:
Conforme a lo demostrado hasta ahora podemos determinar los
valores iniciales y finales de las variables del circuito. El circuito
está excitado por la energía almacenada, la fuente es impulsiva y hay
una resistencia, por lo tanto para el tiempo t = + no habrán tensiones
ni corrientes.
Para evaluar lo que acontece en el momento inicial utilizaremos
el circuito equivalente para ese instante:
Si ignoramos la fuente impulsiva (que para t=0+ ya desapareció)
observamos fácilmente que la corriente inicial en el circuito es igual
+ eR(0+) -
-
+ eL(0+) -
-
I0
i(0+)
R
L
i(t)
CLR
+
-
I0
e(t)
E0+ -
I
i(0+)
R
L
+ eR(0+) -
-
+ eL(0+) -
-
+ eC(0+) -
-
E0
+
-

10. FIEE-UNCP
Pág. 10
a la corriente inicial de la bobina, tal como en el caso anterior.
Sin embargo la fuente impulsiva transfirió su energía al circuito y
debe estar en algún lado. Olvidemos por el momento la carga inicial,
que ya conocemos, y analicemos lo que ocurre con la fuente.
La fuente es de tensión consecuentemente su efecto se manifestará
en la inductancia porque, al ser un circuito abierto, admite cualquier
tensión. Para t=0+ podemos evaluar la corriente desarrollada sobre la
bobina como la inversa de la inductancia por la integral de esa
tensión, lo que nos dará:




0
0
LL dt)t(eL
1'I
que es la corriente con la que se quedó cargada la bobina por efecto
de la fuente. El sentido está dado por la polaridad de la tensión
desarrollada sobre ella en el intérvalo, es decir de izquierda a
derecha. Esto implica que se deberá, en este caso, sumar a la que
tenía inicialmente.
Otra forma de evaluarla es haciendo:
L0
0
0
L
0
L
0
LL 'IIdt)t(eL
1dt)t(eL
1dt)t(eL
1I 





El circuito equivalente para t=0+ es ahora:
Por lo tanto resulta que:
i(0+) = I0 + I'
eR(0+) = i(0+)·R = (I0 + I')·R
eC(0+) = E0
La ecuación de la segunda ley de Kirchhoff es:
eR + eL + eC = 0 luego:
eL(0+) = -(I0 + I')·R - E0
En circuitos de este tipo (de segundo orden) se requiere conocer
la derivada primera de la variable en t=0+. Para evaluarla aplicamos
la ley de Ohm:
L
ER)'II(
L
)0(e
dt
)0(di
dt
)0(di
L)0(e 00L
L




L
ER)'II(
R)0(de)t(diR)t(de 00
RR

 
I0 + I'
i(0+)
R
L
+ eR(0+) -
-
+ eL(0+) -
-
+ eC(0+) -
-
E0
+
-

11. FIEE-UNCP
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C
)'II(
)0(dedt)t(i
C
1
)t(e 0
C
t
C

 

0)t(de)t(de)t(de0)t(e)t(e)t(e CLRCLR 
De allí podemos despejar deL(0+):





C
)'II(
L
ER)'II(
R)t(de 000
L
L
ER
)'II(
C
1
L
R 0
0
2








Todo lo desarrollado es válido para circuitos lineales por la
linealidad de las operaciones de diferenciación y de integración,
cuando el límite superior es la variable.
Los ejemplos muestran los pasos a seguir para la determinación
de las condiciones de contorno. Si la fuente es escalón u otra
cualesquiera que queda aplicada a partir de t=0+ se tendrá que evaluar
el valor instantáneo de la misma y agregarlo como una fuente ideal
adicional en el circuito equivalente correspondiente. En estos casos
habrá que determinar las condiciones de contorno para t=+ que pueden
no ser cero.
Para evaluarlas se aplican los métodos normales para régimen
permanente ya que en ese instante el transitorio ha desaparecido.
Veamos un caso excitado por energía almacenada (en la bobina como
una corriente I0 y en el capacitor como una tensión E0) y, además, por
una fuente senoidal t=0:
e(t)= 25 sen(5t+30º)
I0=1 Amp. E0=20 V.
R=40 Ω L=10 Hy.
C=0,01 Fd.
Conforme a lo demostrado hasta ahora podemos determinar los
valores iniciales y finales de las variables del circuito. La fuente
es senoidal y queda aplicada desde t=0 en adelante, por lo tanto para
el tiempo t=+ es esperable tener respuesta.
Para evaluar lo que acontece en el momento inicial utilizaremos
el circuito equivalente para ese instante:
i(t)
CLR
+
-
I0
e(t)
E0+ -
I0
i(0+)
R
L
+ eR(0+) -
-
+ eL(0+) -
-
+ eC(0+) -
-
E0
+
-
+
e(0)
-

12. FIEE-UNCP
Pág. 12
La fuente senoidal nos suministra en t=0 una tensión de 12,5V.
Por lo tanto resulta que:
i(0+) = I0 = 1Amp
eR(0+) = i(0+)·R = I0·R = 40V.
eC(0+) = E0 = 20V
La ecuación de la segunda ley de Kirchhoff es:
eR + eL + eC = e(0) luego:
eL(0+) = e(0) - I0·R - E0 = 12.5 - 40 - 20 = -47.5V
En circuitos de este tipo (de segundo orden) se requiere conocer la
derivada primera de la variable en t=0+. Para evaluarla aplicamos la
ley de Ohm:
s/A75.4
10
5.47
L
)0(e
dt
)0(di
dt
)0(di
L)0(e L
L 


s/V19075.440)0(de)t(diR)t(de RR  
s/V100
01.0
1
C
)0(i
)0(dedt)t(i
C
1
)t(e C
t
C 



)t(de)t(de)t(de)t(de)t(e)t(e)t(e)t(e CLRCLR 
De allí podemos despejar deL(0+):
s/V25.19810019025.108)t(deL 
Para t=+ la energía inicial ya se ha disipado y queda un circuito
R-L-C alimentado por una tensión senoidal. Las condiciones de contorno
se determinan en forma convencional usando el cálculo simbólico.
Z = R+j[L-(1/C)] = 40+j(50-20) = 40+j30 = 50 36.87º
I = E/Z = 25 30º / 50 36.87º = 0.5 -6.87º
i(t) = 0.5 sen(5t - 6.87º)
eR(t) = i·R = 20 sen(5t - 6.87º)
eL(t) = L di/dt = 25 sen(5t + 83.13º)
 

t
C )º87.96t5sen(10dt)t(i
C
1
)t(e

13. FIEE-UNCP
Pág. 13
Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN
Habiendo determinado las características de cada uno de los
elementos, tanto en sus aspectos de energía acumulada, como circuitos
equivalentes para las condiciones límites, y pudiendo ya determinar
los valores de la variable y su primera derivada para t=0+ y el valor
para t=+, estamos en condiciones de analizar el comportamiento de
los circuitos.
Antes que nada diremos que al tener dos tipos distintos de
elementos capaces de almacenar energía: capacitores e inductancias,
pueden darse dos posibles configuraciones de la red a estudiar.
1º) Denominaremos circuitos de primer orden a aquellos que,
además de posibles resistencias y/o generadores, contienen elementos
reactivos de un solo tipo; es decir un número cualquiera de capacitores
pero ninguna inductancia, o un número cualquiera de inductores pero
ninguna capacidad.
2º) Denominaremos, por lo contrario, circuitos de segundo orden
a aquellos que contengan ambos tipos de elementos, es decir que
contengan por lo menos un capacitor y una inductancia.
La razón del nombre radica en que las ecuaciones integro-
diferenciales de equilibrio del circuito se pueden reducir a
ecuaciones diferenciales de primer o de segundo orden respectivamente.
Para el análisis del tema veremos por separado cada tipo de
circuito en su configuración más elemental. Estudiando la respuesta
para excitación por energía almacenada, o comportamiento libre, para
señal impulsiva, señal escalón y, como caso más general, la excitación
por la señal senoidal.
Veremos también la situación conocida como resonancia y la forma
de resolverla.
B.1 - Circuitos de primer orden.
Circuitos con un solo tipo de elementos almacenadores de energía,
que se describen por ecuaciones diferenciales de primer orden. Exigen
conocer la energía inicial o el valor inicial de la variable, y la
respuesta en el estado final, o de régimen, si hay una excitación del
tipo permanente sobre el circuito.
B.1.1 - Excitación por energía almacenada.
Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por
una resistencia R y una inductancia L con una carga inicial indicada
como una corriente I0.
Siendo una malla cerrada aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff:
eR + eL = 0
I0
i(t)
R L
+ eR - + eL -

14. FIEE-UNCP
Pág. 14
que, en función de la corriente resultará:
0=iR+
dt
di
L
donde, separando variables, obtenemos:
dt
L
R
-=
i
di
Si integramos entre t=0+ y t=t para el tiempo, y entre i=I0 e
i=i para la corriente:
t
L
R
-=Iln-iln=dt
L
R
-=
i
di
0
t
0
i
I0
 
o explicitando en función de la corriente:
i = I0 e-t/T
Hemos obtenido una variación exponencial decreciente que
parte del valor inicial I0 y tiende a 0 para el tiempo tendiendo a
+.
Para t = L/R =  (Tau), llamada la constante de tiempo, ya que
la dimensión es el segundo, y nos da información de la velocidad de
variación de la función en el tiempo, podemos evaluar el valor de la
variable:
0
01-
0 I37%
e
I
eI=)i( 
La derivada de la función está dada por:
eI
1
-=
dt
di t
-
0 

si la evaluamos para t = 0 nos permite obtener la pendiente a la curva
en el origen:


I
-=
dt
di 0
0t
i(t)
0,37I0
 t0
I0

15. FIEE-UNCP
Pág. 15
lo que nos dice que la recta tangente al origen corta el eje de tiempos
en t = .
Si ahora consideramos las tensiones en la resistencia y en la
inductancia tendremos que:
eRI=Ri=e
t
-
0R 
eRI-=e
LI
-=
dt
di
L=e
t
-
0
t
-0
L 

Podemos entonces decir que, partiendo de una función de la
forma:
0=f(t)
1
+(t)f


obtendremos una solución de la forma:

t
eA=f(t)
donde A es el valor inicial de la variable, que evaluamos utilizando
el circuito equivalente en t = 0, y  es la constante de tiempo del
circuito.
Consideraremos ahora circuito compuesto por una resistencia en
serie con un capacitor cargado inicialmente, cuya carga está evaluada
a través de su tensión inicial E0.
La ecuación de equilibrio resulta ahora:
0=dti
C
1
+iR
t
 
Aplicar una operación lineal a una expresión no altera las
conclusiones que podemos extraer. Por ello podemos derivar la
expresión anterior con respecto al tiempo y, teniendo en cuenta que
el límite superior de la integral es la variable, resulta:
i
RC
1
+
dt
di
=0=
dt
di
R+i
C
1
por similitud al caso anterior será:
i = I0 e-t/T
- E0 +
i(t)
R C
+ eR - + eC -

16. FIEE-UNCP
Pág. 16
Determinaremos ahora el valor de I0; la tensión inicial en el
capacitor es -E0 y debe ser eR = -eC conforme a la segunda ley de
Kirchhoff. Por ello:
I0 = E0/R por ser eC = -eR
eE=eye
R
E
=i RC
-t
0RCR
-t0

C+1)-eRC(
R
E
C
1-
=dti
C
1
=e 0RC
-t0
t
C
 
donde C0 es la constante de integración que evaluamos como:
eC(0) = -E0(1 - 1) + C0 = C0 = -E0
por la condición inicial del circuito, por lo que:
eC(t) = -E0 e -t/R*C
que verifica lo antedicho: eR + eC = 0.
La constante de integración podría haberse evitado desdoblando
la integral de 0 a 0+ y de 0+ a t.
Nuevamente hemos obtenido que, para una ecuación de equilibrio
del tipo:
f'(t) + (1/T)f(t) = 0
resulta una solución de la forma:
f(t) = A e (-t/T)
B.1.2 - Excitación por un impulso.
Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por
una resistencia R y una inductancia L con un generador impulsivo
unitario u0(t) como excitación.
La ecuación de equilibrio es ahora:
+
u0(t)
- i(t)
R L
+ eR - + eL -

17. FIEE-UNCP
Pág. 17
(t)u=Ri+
dt
di
L 0
que para t > 0+ resultará:
0=iR+
dt
di
L
y, consecuentemente, la solución será:
eI=i L
t-R
0
dado que para t=0 la inductancia descargada es un circuito abierto,
toda la tensión estará aplicada a ella. Por lo tanto podemos calcular
la corriente inicial como:
1
L
1
=dt(t)u
L
1
=)0(i 0
0
0
+
L



lo que resultará en:
e
L
1
=i L
t*-R
Si el impulso no fuera unitario, por ejemplo Au0(t), la
integración daría igual a A/L y la respuesta será:
(A/L) e(-R*t/L)
NOTA: Todas las soluciones son válidas para t>0 ya que no se
puede aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que
comienza el análisis del circuito.
Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la
solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo
debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo
simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo
tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.-
B.1.3 - Excitación por un escalón.
Veamos el circuito:
+
Eu-1(t)
- i(t)
R L
+ eR - + eL -

18. FIEE-UNCP
Pág. 18
Tenemos una malla constituida por una resistencia R y una
inductancia L con un generador escalón Eu-1(t) de amplitud E como
excitación.
Podemos en este caso suponer que habrá una solución distinta de
cero para el estado de régimen, es decir para t = +. Analicemos el
circuito:
Para t = 0 tendremos:
E=iR+
dt
di
L
separando variables:
iR-E=
dt
di
L
dt
L
R
=
i-
R
E
di
dtRi-
R
E
=diL 





integrando:
 

t
0
i
I
dtL
R
iR
E
di
0
obtenemos:
ln[(E/R)-i]/[(E/R)-I0] = -(R/L)t
como I0 = 0 resulta que:
)e-1(
R
E
=i L
t*-R
que muestra una solución compuesta de un estado transitorio, itt(t),
y un estado estacionario, iss(t):
R
E
+e
R
E
-=(t)i+(t)i=i(t) L
t*-R
sstt
A partir de la corriente podemos calcular las tensiones:
eR(t) = i(t)·R = -Ee-Rt/L + E
eL(t) = L[di(t)/dt] = e
R
E
L
R
L L
t*-R
= Ee-Rt/L
En este caso la respuesta en régimen es nula por cuanto la
inductancia representa un corto circuito, tal como hemos demostrado
antes.
Consideraremos ahora un circuito compuesto por una resistencia
en serie con un capacitor descargado inicialmente, con una excitación
de tensión escalón.

19. FIEE-UNCP
Pág. 19
Ahora la ecuación de equilibrio es:
(t)uE=dti
C
1
+iR 1-
t
 
derivando una vez para eliminar la integral:
e
R
E
=i0=i
C
1
+
dt
di
R C*R
t
-

En este caso la solución de régimen es nula ya que el capacitor
resulta un circuito abierto para t = +. Sin embargo si analizamos la
respuesta de la tensión sobre ese capacitor obtenemos una solución no
nula.
  0
RC
tt
C CeRC
R
E
C
1
=dti
C
1
e 


C0 es una constante de integración que determinaremos con la
condición de contorno para t=. El capacitor se comporta en esa
condición como un circuito abierto, por ende toda la tensión del
generador estará en sus bornes. Esto quiere decir que C0 debe ser
igual a E, con lo que la respuesta es:
eC = -Ee-t/RC + E
y en la resistencia:
eR = Ee-t/RC
A las soluciones que hemos hallado para los casos en que la
ecuación de equilibrio está dada por:
f'(t) + (1/T)f(t) = Cte
las podemos generalizar como:
f(t) = Ae-t/T + B
donde A y B las obtenemos ajustando las respuesta en t= y luego en
en t=0+.
+
Eu-1(t)
- i(t)
R
C
+ eR - + eC -

20. FIEE-UNCP
Pág. 20
B.1.4 - Excitación por una señal senoidal.
Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por
una resistencia R y una inductancia L con un generador senoidal e(t)
de amplitud E y pulsación  como excitación.
Para este caso tendremos dos componentes para la solución, una
expresión igual a los casos anteriores para la transitoria y una del
mismo tipo que la excitación para la de régimen.
e(t)= E sen(t)
Para t > 0:
tsenE=iR+
dt
di
L MAX 
tsenB+tcosB=(t)iyeA=(t)i 21ssL
t*-R
tt 
tcosB+tsenB=
dt
di
21
ss

para t =  se satisface la ecuación:
tsenE=iR+
dt
di
L MAXss
ss

+t)cosB+tsenB(-L 21 
tsenE=t)senB+tcosB(R MAX21 
0=)BR+B(Ltcos+)E-BR+B(-Ltsen 12MAX21 
La única forma que la última igualdad se verifique es que las
cantidades encerradas entre paréntesis sean nulas, por ello:
0=BR+BLy0=E-BR+BL 12MAX21 
de donde resulta:
R+)L(
EL-
=B 22
MAX
1


y:
R+)L(
ER
=B 22
MAX
2

+
e(t)
- i(t)
R L
+ eR - + eL -

21. FIEE-UNCP
Pág. 21
la solución completa será:
tsen
R+)L(
ER
+tcos
R+)L(
EL-
+eA=i 22
MAX
22
MAXL
t-R





de esta expresión debemos encontrar el valor del coeficiente A.
Para lo cual igualaremos la expresión para t = 0 con las condiciones
del circuito en ese instante inicial:
R+)L(
EL
=A0=
R+)L(
EL
-A=i(0) 22
MAX
22
MAX





Finalmente:
t)senR+tcosL(-
R+)L(
E
+e
R+)L(
EL
=i 22
MAX
L
Rt
-
22
MAX



Esta última expresión podemos trabajarla trigonométricamente y
obtener una forma más explícita para la componente de régimen, de
manera que corresponda a una función igual a la de excitación. Para
ello ponemos:



sen=
R+)L(
L-
22


cos=
R)L(
R
22
con:
R
L
tg= 1- 

con lo que resultará:
)-t(sen
R+)L(
E
+e
R+)L(
LE
=i
22
MAX
L
Rt
-
22
MAX



En esta expresión la raíz cuadrada representa el módulo de la
resistencia aparente que presenta el circuito a la excitación
senoidal, que llamamos "Impedancia" y se representa con Z. El ángulo
 es el ángulo de esa impedancia que nos muestra el desplazamiento de
fase que sufre la señal debido a la presencia de elementos reactivos
en el circuito.-
B.1.5 - Resonancia y variación de parámetros.
Cuando la función de excitación es del mismo tipo que la función
respuesta crea un efecto de resonancia que obliga a adoptar otro tipo
de método de resolución.
Supongamos una excitación exponencial igual a la respuesta
natural del circuito de primer orden. En este caso las dos componentes
de la respuesta transitoria completa son iguales y crea una
indeterminación que levantaremos mediante el método de variación de
parámetros.

22. FIEE-UNCP
Pág. 22
Supongamos:
t
e=i+
dt
di 
con: i(0) = 0
resultaría:
t
ss
t
tt eB=ieeA=i

esto nos daría una solución indeterminada. Para levantarla hacemos:
t
ss eg(t)=i

donde g(t) es una función a determinar.
A partir de esto obtenemos que:
eg(t)-e(t)g=di -t-t
ss 
y en régimen tendremos:
tttt
e=eg(t)+eg(t)-e(t)g 

esto requiere que:
C+t=g(t)1=(t)g 
La solución completa queda como:
ttt
eA+eC+et=i(t) 
para t = 0 es: i(0) = C + A = 0 con lo que finalmente resulta que:
t
te=i(t) 
NOTA: Todas las soluciones son válidas para t>0 ya que no se
puede aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que
comienza el análisis del circuito.
Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la
solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo
debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo
simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo
tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.-

23. FIEE-UNCP
Pág. 23
B.2 - Ejemplo de cálculo.
Para tener un ejemplo resolveremos un circuito R-C paralelo con
energía almacenada y una fuente de corriente senoidal que es aplicada
en el instante inicial:
Sean:
R= 10 ohms
C= 0.02 faradios
E0 = 10 voltios
i(t) = [10sen(5t+30º)]u-1(t)
Con la función escalón estamos diciendo que la fuente se enciende
instantáneamente en t=0+. Y, como esta fuente queda aplicada a partir
de ese momento para siempre, es de esperar tener una respuesta en
t=∞; por lo tanto debemos evaluar las condiciones de contorno para
ese instante en que ya desaparecieron el transitorio y la carga
inicial. El circuito nos quedará:
Donde en régimen:
e(t)= Z·i(t)
Aplicando el cálculo
simbólico:
E = Z·I = )º30senjIº30cosI(
Cj
1R
Cj
R



= (5 - j5)(8.67 + j5)=
= 68.35 - j18.35 = 70.77 -15.03º voltios
(hemos tenido en cuenta que  = 5)
Volviendo al dominio del tiempo resulta que, en régimen:
e(t) = 70.77 sen(5t - 15º) para t ∞
Para t=0+ tendremos el circuito equivalente:
Donde es:
e(0+) = -E0 = -10 V
i(0+) = I(sen 30º) = 5 A
i(t) R e(t)C
+
-
i(0+) R e(0+)
+
-
C
E0
+
-
iR
R e(t)C E0
+
+
-
-
i(t)
iC

24. FIEE-UNCP
Pág. 24
La ecuación de equilibrio del circuito está dada por la primera
ley de Kirchhoff:
iR(t)+ iC(t)= i(t)
que puesta en función de e(t) resulta:
)º30t5sen(I)t(deC
R
)t(e

dividiendo por C y ordenando queda:
)º30t5sen(
C
I
CR
)t(e
)t(de 
que es de la forma x' + (1/)x = f(t) luego podemos definir que
la constante de tiempo del circuito es  = R·C = 0.2 segundos y que
la solución será de la forma:
BAee(t)
-t
 
donde B es la solución en régimen ya determinada y A debe ser evaluada
ajustando la solución para las condiciones de contorno iniciales, es
decir que debe cumplirse:
 15º-)5(0sen70.77Ae)e(0
)-(0



reemplazando los valores tendremos que:
-10 = A - 18.32
o sea que A = 8.32 voltios y la solución completa es:
 15º-t5sen70.778.32e)te( 2.0
t-

con ella podemos obtener las corrientes en la resistencia y en la
capacidad:
 15º-t5sen7.080.83e)/Rte()t(i 2.0
t-
R 
 15º-t5cos08.70.83e-)te(dC)t(i 2.0
t-
C 
este último valor podría obtenerse despejando de la ecuación de
equilibrio del circuito. También pueden encontrarse las corrientes en
la resistencia y en la capacidad sabiendo que la forma de la solución

25. FIEE-UNCP
Pág. 25
es la misma para todas las variables y determinando las condiciones
de contorno para ellas.
Como ejemplo calculemos la corriente en el capacitor, que será
de la forma:
C
-t
CC BeA(t)i  
Determinemos las condiciones de contorno:
BC(t) = C·[de(t)/dt] = 7.08 cos(5t - 15º) Amperes
iC(0+) = i(0+) - iR(0+) = i(0+) - e(0+)/R =
iC(0+) = 5 + 10/10 = 6 Amperes
Ahora podemos determinar el valor de AC debiéndose cumplir que:
 15º-)5(0cos7.08eA)(0i
)-(0
CC



reemplazamos valores y obtenemos que:
AC = 6 - 6.83 = -0.83 Amperes
La solución completa es:
 15º-t5cos08.70.83e-)t(i 2.0
t-
C 
igual a la obtenida por el procedimiento anterior.

26. FIEE-UNCP
Pág. 26
Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN.
C.1 - Circuitos de segundo orden.
Ya vimos los circuitos de primer orden en sus configuraciones
más elementales. Estudiando la respuesta para excitación por energía
almacenada, o comportamiento libre, para señal impulsiva, señal
escalón y, como caso más general, la excitación por la señal senoidal;
también vimos el caso de resonancia.
Veremos ahora el análisis correspondiente para los circuitos de
segundo orden: Circuitos con los dos tipos de elementos almacenadores
de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de segundo
orden.
La solución no es tan simple como en el caso anterior pero su
forma es la misma. Una componente transitoria, llamada complementaria
u homogénea, y otra permanente, estacionaria o integral particular.
En estos casos requerimos dos constantes arbitrarias para evaluar
las dos formas de almacenamiento de energía. Y para poder
determinarlas exige conocer la energía inicial o el valor inicial de
la variable, y la primera derivada de la variable en t = 0+.
Si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito es
necesario, lógicamente, la respuesta en el estado final, o de régimen.
C.1.1 - Excitación por energía almacenada.
Tal como vimos en los circuitos de primer orden esta situación
nos permite evaluar la respuesta natural del circuito.
Analizaremos primero el caso del circuito en serie y considerando
una malla constituida por una resistencia R, una inductancia L con
una carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor
también cargado inicialmente con su carga representada por una tensión
inicial E0.
Siendo una malla cerrada aplicamos la segunda ley de Kirchhoff
eR + eL + eC = 0, que en función de la corriente i(t) quedará:
[1]0=dti
C
1
+iR+
dt
di
L
t
 
Debe hacerse notar aquí que, si bién no está indicado en los
circuitos como en los casos de primer orden, las polaridades de las
tensiones están definidas conforme al sentido de la corriente i(t)
I0
i(t)
R L
C
+
E0
-

27. FIEE-UNCP
Pág. 27
del circuito. Si no fuera así los signos en las ecuaciones serían
distintos.
Diferenciando una vez obtenemos:
[2]0=i
C
1
+
dt
di
R+
dt
id
L 2
2
Los valores iniciales son:
0
0
0 E=dti
C
1
yI=i(0)



Si t = 0 en [1]:
0=dti
C
i
+)i(0R+
dt
di(0)
L
0



0=E+RI+
dt
di(0)
L 00
por lo tanto:
K=)E+I(R
L
1
-=
dt
di(0)
00
Esta primera derivada de la corriente puede tomar cualquier valor
dependiendo del circuito y de la condición de carga inicial.
Como necesitamos dos constantes arbitrarias intentamos una
función consistente en la suma de dos soluciones de primer orden (nada
impide que se aplique otro método):
[3]eA+eA=i tp
2
tp
1tt
21
con: epA+epA=
dt
di tp
22
tp
11
tt 21
y: epA+epA=
dt
id tp
2
2
2
tp
1
2
12
tt
2
21
Si la ecuación [3] satisface a la ecuación [2] entonces será:
     epA+epAR+epAepAL tp
22
tp
11
tp2
22
tp2
11
2121
  0=eA+eA
C
1
+ tp
2
tp
1
21
0=
C
1
+pR+LpeA+
C
1
+pR+LpeA 2
2
2
tp
21
2
1
tp
1
21












Ya que los productos de las constantes por las exponenciales no
pueden ser nulas, porque se perdería la posibilidad de resolver el

28. FIEE-UNCP
Pág. 28
problema, deben serlo necesariamente las expresiones encerradas entre
paréntesis. Las p1 y p2 deben ser raíces de la ecuación:
0=
LC
1
+p
L
R
+p2
con lo que:
LC
1
-)
2L
R
(
2L
R
-=p
2
1,2 
o:
--=p 2
0
2
1,2 
si ponemos que:
LC
1
=y
2L
R
= 2
0
El parámetro  se lo conoce como coeficiente de amortiguamiento,
tiene la dimensión de 1/segundo, la inversa de una constante de tiempo
que nos indica la velocidad de decrecimiento del transitorio en el
tiempo. 0, por su parte, tiene las mismas dimensiones y se denomina
frecuencia angular natural, pulsación natural, o de resonancia, del
circuito. Ambos dependen exclusivamente de los elementos y estructura
de la red, y no de la excitación.
En función de la expresión de p1,2 se pueden deducir tres casos
que dependen de la relación entre  y 0:
1er caso) Si  > 0, el coeficiente de amortiguamiento es mayor
que la pulsación natural, se dice que el circuito está
sobreamortiguado, o tiene amortiguamiento hipercrítico. Los valores
de p son reales, negativos y distintos, y la solución es la suma de
dos exponenciales reales.
2do caso) Si  = 0, el coeficiente de amortiguamiento es igual
a la pulsación natural, el circuito está críticamente amortiguado, o
tiene amortiguamiento crítico. Los valores de p son reales, negativos
e iguales, y la solución es la más complicada de resolver.
3er caso) Si  < 0, el coeficiente de amortiguamiento es menor
que la pulsación natural, se dice que el circuito está subamortiguado,
o tiene amortiguamiento subcrítico, o es oscilatorio armónico
amortiguado. Los valores de p son complejos conjugados, y la solución
es la suma de dos exponenciales complejas que llevan a una función de
respuesta oscilatoria amortiguada.
4to caso) De interés teórico no realizable prácticamente, que se
obtendría si el circuito no tuviese pérdidas. En tal caso  = 0, y se
llegaría al caso oscilatorio libre o sin amortiguamiento.

29. FIEE-UNCP
Pág. 29
C.1.1.1 - Sobreamortiguado.
La solución la obtenemos de las condiciones iniciales:
i(0) = I0 y di(0)/dt = K
donde K, como vimos, puede tener cualquier valor. Para seguir nuestro
estudio en forma más simple asumiremos que K = 0, pero debe insistirse
que normalmente no es así y el cálculo real deberá desarrollarse en
cada caso teniendo en cuenta ese valor.
Bajo este supuesto tendremos:
A+A=I=i(0) 210
y:
2211 pApA=0=K=
dt
di(0)

de donde:
p-p
Ip-
=Ay
p-p
Ip
=A
12
01
2
12
02
1
e
p-p
p
I-e
p-p
p
I=i(t) tp
12
1
0
tp
12
2
0
21
con:
2
0
2
2
2
0
2
1 ---=py-+-=p 
Conforme a lo que dijimos resultan p1 y p2 negativas y, siendo |p2| >
|p1|, (p2 - p1) también negativa.
Hemos obtenido un pulso cuyo tiempo de elevación está controlado
por una constante de tiempo, p2 (la mayor), y el de decrecimiento por
la otra, p1; ambas definidas por los elementos de la red y su
p2 I0
p2 - p1
p1 I0
p2 - p1
I0
-1/p1
-1/p2
t

30. FIEE-UNCP
Pág. 30
estructura. Siendo el valor inicial dependiente del estado de carga
del circuito y por ende positivo, nulo o negativo.
Veamos ahora el planteo para el circuito en paralelo considerando
una red constituida por una resistencia R, una inductancia L con una
carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor también
cargado inicialmente con su carga representada por una tensión inicial
E0.
Siendo un montaje paralelo aplicamos la primera ley de Kirchhoff
iR + iL + iC = 0, que en función de la tensión e(t) quedará:
0=dte
L
1
+eG+
dt
de
C
t
 
En esta ecuación se ha supuesto que el sentido de las corrientes
en los elementos está definido por la polaridad de la tensión e(t)
sobre ellos, es decir es de arriba hacia abajo. De no haber sido así
los signos serían distintos.
Derivando una vez queda:
0=e
L
1
+
dt
de
G+
dt
ed
L 2
2
Con los valores iniciales:
0
0
0 I=dte
L
1
yE=)e(0




y también:
K=)IE(G
C
1
-=
dt
de(0)
00 
Si a partir de este punto hacemos el mismo desarrollo podremos
encontrar que la forma de la solución es igual pero se intercambian
los elementos por sus duales.
LC
1
=y
2RC
1
=
2C
G
= 0
2

Los valores de  y de  los podemos obtener directamente si
dividimos la derivada de la ecuación de equilibrio por el coeficiente
del término de mayor orden y denominamos  al resultante para el
término que contiene la primera derivada, y 
 al de la variable. Es
decir, para el circuito serie:
I0 e(t)
R L C
+
E0
-
+
-

31. FIEE-UNCP
Pág. 31
0=i
C
1
+
dt
di
R+
dt
id
L 2
2
0=i
LC
1
+
dt
di
L
R
+
dt
id
2
2
0=i+
dt
di
2+
dt
id 2
02
2

que define:
LC
1
=y
2L
R
= 2
0
Y para el circuito paralelo resulta:
0=e
L
1
+
dt
de
G+
dt
ed
C 2
2
0=e
LC
1
+
dt
de
C
G
+
dt
ed
2
2
0=e+
dt
de
2+
dt
ed 2
02
2

dando:
LC
1
=y
2RC
1
=
2C
G
= 2
0
El factor de amortiguamiento, que resulta ser la inversa de una
constante de tiempo, está dado por la inversa del doble de la constante
de tiempo de la inductancia para el circuito serie, y la inversa del
doble de la constante de tiempo del capacitor para el circuito
paralelo.
Por su parte la pulsación natural es la misma para ambas
configuraciones de la red.
Todas las soluciones son válidas para t > 0 ya que no se puede
aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que comienza
el análisis del circuito.
Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la
solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo
debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo
simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo
tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.-
En general la respuesta para este caso será:
(t)u)eA+eA(=i(t) -1
tp
2
tp
1
21

32. FIEE-UNCP
Pág. 32
C.1.1.2 - Críticamente amortiguado.
Pareciera ser el más fácil ya que, al ser   , las raíces p1 y
p2 son iguales y negativas. Sin embargo esta circunstancia trae dos
inconvenientes: uno es hacer indeterminados los coeficientes de las
exponenciales, al dividirse por cero, y otro el de reducirse a una
sola exponencial no nos permite tener los dos términos que se requieren
para la solución.
Volvamos entonces al caso anterior. La solución puede ponerse:
e
p-p
p
-e
p-p
p
=
I
i(t) tp
12
1tp
12
2
0
21
Si hiciéramos aquí p1 = p2 los coeficientes resultarían infinitos
haciendo indeterminada la diferencia. Para levantar esa
indeterminación podemos aplicar la regla de L'Hopital o aplicar el
concepto de variación de parámetros como a continuación.
Hacemos:
 +p=py-=p 121
obteniendo:
=e
p-+p
p
-e
p-+p
+p
=
I
i(t) t)+tp(
11
1tp
11
1
0
11 


  =...+
2!
t
+
1!
t
+1p-+p
e
=ep-+p
e
=
22
11
tp
t
11
tp 11











 













 ...+
tp-
e 1tp1
haciendo tender a  a cero:
t)+(1e=
I
i(t) t-
0

En el caso general subsisten las constantes arbitrarias y queda
la solución de la forma:
  (t)utA+Ae=i(t) 1-21
t-
I0
i(t)
tiempo

33. FIEE-UNCP
Pág. 33
C.1.1.3 - Oscilatorio armónico amortiguado.
Este caso corresponde a la condición   , que significa tener
las dos raíces complejas conjugadas al ser negativo el radicando:
d
22
01 j+-=-j+-=p 
d
22
01 j+-=-j-=p 
Donde d es la llamada pulsación forzada, o pulsación de
oscilación del circuito. Esta es la de resonancia afectada por la
amortiguación (las pérdidas) de la red.
Partimos de la misma solución general que usamos en el análisis
anterior:
=e
p-p
p
-e
p-p
p
=
I
i(t) tp
12
1tp
12
2
0
21
=ee
j-
j+-
-ee
2j-
j-- tjt-
d
dtjt-
d
d dd 





     =ej--ej+
2j
e
= tj
d
tj
d
d
t-
dd 



=
2
e+e
+
2j
e-e
e
tjtjtjtj
d
t-
dddd





























0
dd
d
t-
I
i(t)
=tcos+tsene= 










En esta expresión podemos sacar   d como factor común, y hacer
    sen q y  d =   cos q, ya que ambas son menores que la pulsación
de resonancia  .
 tcoscos+tsensene=
I
i(t)
dd
t-
d
0
0


 
con lo que:
)-t(coseI=i(t) d
t-
0 
Es decir una señal oscilante a la pulsación forzada d y atenuada
con la constante de tiempo 1/.

34. FIEE-UNCP
Pág. 34
En general tendremos:
[1](t)u)-t(coseA=i(t) 1-d
t-

[2](t)uet)cosA+tsenA(=i(t) 1-
t-
d2d1


En la expresión [1] los coeficientes de ajuste que deben
determinarse de las condiciones de contorno son A y , mientras que
en [2] son A1 y A2. La última expresión es más fácil de operar.
Si consideramos la posibilidad teórica de que las pérdidas sean
nulas, lo que implica que no habrá atenuación y que  = 0, tendremos
el llamado 4º caso:
 0201 j-=pyj=p
2
e+e
=)e+e(
2j-
j-
=
I
i(t) t-jtj
tj-tj
0
0
0
00
0o




(t)u*tcosI=i(t) 1-00 
Estas cuatro soluciones son válidas siempre como solución
transitoria, respuesta natural, de los circuitos de segundo orden.
La excitación externa y/o permanente deberá evaluarse de forma
análoga a lo realizado en la primera parte de este capítulo. Esto es:
1) Encontrar la energía transferida al circuito si tenemos una
excitación del tipo impulsiva.
2) Encontrar la respuesta forzada o permanente del circuito ante
la excitación de este tipo, evaluando la situación en régimen, t =

3) Ajustar los coeficientes de la respuesta transitoria
correspondiente al tipo de circuito que se trate para que la suma de
las dos respuestas satisfagan las condiciones de contorno en t = 0.
I0
-I0
 t
i(t)
I0 cos(-)

35. FIEE-UNCP
Pág. 35
C.1.2 - Excitación por señal senoidal.
Utilizaremos este caso como ejemplo de un circuito excitado por
una señal permanente a partir de t = 0+. Partiremos de una red en
paralelo. Sea el circuito:
con i(t) = IMAX sen t * u-1(t).
1) Análisis de la respuesta natural:
Ecuación de equilibrio:
i(t)=i+i+i CLR
tsenI=dte
L
1
+
R
e
+
dt
de
C MAX
t

 
derivando:
[1]tcosI=e
L
i
+
dt
de
R
1
+
dt
ed
C MAX2
2

dividiendo por C:
[2]tcos
C
I
=e
LC
1
+
dt
de
RC
1
+
dt
ed MAX
2
2


de donde:
LC
1
=y
2RC
1
= 0
Comparando  con  obtendremos el tipo de circuito que estamos
estudiando. Supongamos que  es mayor que , es decir que el circuito
está sobreamortiguado. En tal caso la respuesta natural será de la
forma:
eA+eA=(t)e tp
2
tp
1tt
21
con:  0
22
1 -+-=p y  0
22
2 ---=p
i(t) e(t)
R L C
+
-

36. FIEE-UNCP
Pág. 36
2) Análisis de las condiciones iniciales:
Utilizamos el circuito equivalente para t = 0+:
del que resulta: e(0+) = 0
y como es: i(0+) = 0
resulta: iC(0+) = C e'(0+) = 0
y en consecuencia: e'(0+) = 0
3) Respuesta en régimen:
Debido al tipo de excitación podemos poner que:
tcosB+tsenB=)+tBsen(=(t)e 21ss 
que implica: tsenB-tcosB=
dt
(t)ed
21
ss

y:  cosB-tsenB-=
td
(t)ed
2
2
1
2
2
ss
2
Reemplazando en la ecuación [1] obtenemos:
+t)senB-tcosB(
R
1
+t)cosB-tsenBC(- 212
2
1
2

tcosI=t)cosB+tsenB(
L
1
+ MAX21 
+B
L
1
+B
R
1
-BC-tsen 121
2





 
0=IB
L
1
+B
R
1
+BC-tcos MAX212
2





 
La resolución de esta ecuación nos permite encontrar los
coeficientes B1 y B2 :
0=B
R
1
-BC)-
L
1
( 21

i(0+
) e(0+
)
R L C
+
-

37. FIEE-UNCP
Pág. 37
I=BC)-
L
1
(+B
R
1
21 

de donde:
R
1
+)C-
L
1
(
I
R
1
=B
2
2
1


y
R
1
+)C-
L
1
(
IC)-
L
1
(
=B
2
2
2




Con esto hemos obtenido la respuesta en régimen y ahora podemos
determinar los coeficientes de la respuesta natural ajustando la suma
de las dos respuestas a las condiciones de contorno para el instante
t = 0+.
0=B+A+A=)0e( 221
+
0=B+Ap+Ap=)0(e 12211
+

de donde:
B-=A+A 221 ; B-=Ap+Ap 12211 
y luego:
p-p
B+Bp-
=A
12
122
1

y
p-p
Bp+B-
=A
12
211
2

Con esto queda resuelto el problema.
C.2 - Ejemplo de cálculo.
Para tener un ejemplo resolveremos un circuito R-L-C paralelo
con energía almacenada y una fuente de corriente senoidal que es
aplicada en el instante inicial:
Sean:
R = 10 ohmios L = 10 henrios C = 0.01 faradio
i(t) = [10sen(5t+30º)]u-1(t) amperes I0 = 10 amperes
y E0 = 10 voltios.
i(t)
iR
L CI0 E0
e(t)
+
+
-
-
R
iCiL

38. FIEE-UNCP
Pág. 38
Con la función escalón estamos diciendo que la fuente se enciende
instantáneamente en t=0+. Y, como esta fuente queda aplicada a partir
de ese momento para siempre, es de esperar tener una respuesta en
t=; por lo tanto debemos evaluar las condiciones de contorno para
ese instante en que ya desaparecieron el transitorio y la carga
inicial. El circuito nos quedará:
Donde en régimen:
e(t)= i(t)/Y
Aplicando el cálculo
simbólico:
    03,0j1,002,005,0j1,0L
1Cj
R
1
Y  =
= 0,104 16,7º mhos
E = 10 30º / 0,104 16,7º = 96,15 13,3º voltios
Pasando al dominio del tiempo será, en régimen:
e(t) = 96,15 sen(5t + 13,3º) para t ∞
Para t=0+ tendremos el circuito equivalente:
Donde es:
e(0+) = -E0 = -10 V iR(0+) = e(0+)/R = -1 A
i(0+) = I(sen 30º) = 5 A iL(0+) = I0 = 10 A
iC(0+) = i(0+) - iR(0+) - iL(0+) = - 4 A
Nos hará falta, además, la primera derivada de la variable en el
origen, para ello recordemos que la corriente en el capacitor es:
s/V400
C
)0(i
)0(detantolopory
C
)t(i
)t(de)t(deC)t(i CC
C 


La ecuación de equilibrio del circuito está dada por la primera
ley de Kirchhoff:
i(t) R e(t)L
+
-
C
i(0+) R e(0+)
+
-
L
E0
+
-C
I0

39. FIEE-UNCP
Pág. 39
iR(t) + iL(t) + iC(t)= i(t)
que puesta en función de e(t) resulta:
)º30t5sen(I)t(deCdt)t(e
L
1
R
)t(e t

 
Derivando una vez respecto al tiempo, dividiendo por C y
ordenando queda:
)º30t5cos(
C
I
5
LC
)t(e
)t(de
RC
1
dt
)t(ed
2
2

que es de la forma x" + 2 x' + 02 x = f(t), luego podemos definir
que el coeficiente de amortiguamiento del circuito es:
 = 1/2R·C = 5 segundos-1,
la pulsación natural es:
0 = LC
1 = 3,16 pps
y que la solución será de la forma:
BeAeAe(t) tp
2
tp
1
21

dado que el circuito está sobreamortiguado por ser  > 0. En la
expresión B es la solución en régimen, ya determinada, y los
coeficientes A1 y A2 deben ser evaluados ajustando la solución para
las condiciones de contorno iniciales.
Previamente calcularemos los valores de p1 y p2:
12222
1 s13,116,3-55-=-+-=p 

12222
2 s87,816,3-5-5-=--=p 

Deben cumplirse:
)13.3º)sen(5(096.15eAeA)e(0 )-8.87(0
2
)-1.13(0
1   
)13.3º)cos(5(075.804e8.87Ae1.13A-)de(0 )-8.87(0
2
)-1.13(0
1   
reemplazando los valores tendremos que:
.1222AA10 21 
85.764A8.87A1.13-400 21 

40. FIEE-UNCP
Pág. 40
21 AA12.23 
21 A8.87A1.13-85.678 
Resolviendo resulta:
A1 = -148.9 V y A2 = +116.8 V.
La solución completa es:
)13.3ºtsen(596.15e6.811e148.9-)te( t-8.87t-1.13

con ella podemos obtener las corrientes en la resistencia, la
inductancia y en la capacidad:
  


R
)13.3ºtsen(596.15e6.811e148.9-
)/Rte((t)i
t-8.87t-1.13
R
)13.3ºtsen(59.62e68.11e14.89-)t(i t-8.87t-1.13
R 




dt)te(
L
1
dt)te(
L
1
(t)i
0
-
t
-
L

 
dt))13.3ºtsen(596.15e6.811e-148.9(
L
1 t
0
t8.87-t1.13-
0
t-8.87t-1.13
0 C)13.3ºtcos(59.1e3.1e13.2I 
Aquí C0 es la constante de integración que se determina para coincidir
con la condición de contorno en t=0+, en este caso resulta ser igual
a -I0.
La corriente en la bobina es:
)13.3ºtcos(59.1e1.3e13.2)t(i t-8.87t-1.13
L 
   )13.3ºtcos(58.480e1036.0e168.3C)te(dC(t)i t-8.87t-1.13
C
)13.3ºtcos(58.4e10.36e1.68(t)i t-8.87t-1.13
C 
este último valor podría obtenerse despejando de la ecuación de
equilibrio del circuito. También pueden encontrarse las corrientes en
la resistencia, inductancia y en la capacidad sabiendo que la forma
de la solución es la misma para todas las variables y determinando
las condiciones de contorno para ellas.
Como ejemplo calculemos la corriente en la bobina, que será de
la forma:
L
t-8.87
2L
t-1.13
L1L BeAeA)t(i 
Determinemos las condiciones de contorno:

41. FIEE-UNCP
Pág. 41
  

tt
L dt)º3.13t5sen(15.96
L
1
dt)t(e
L
1
B
  )º3.13t5cos(92.1)º3.13t5cos(23.19
L
1

iL(0+) = I0 = 10 A
seg/A1
L
)0(e
)0(di)t(diL)t(e L
LLL 


Ahora podemos determinar los valores de AL1 y AL2 debiéndose
cumplir que:
)13.3º)cos(5(092.1eAeA)(0i )-8.87(0
L2
)-1.13(0
L1L   
)13.3º)sen(5(06.9e8.87Ae1.13A-)(0di )-8.87(0
L2
)-1.13(0
L1L   
reemplazando los valores tendremos que:
87.1AA10 L2L1 
21.2A8.87A1.13-1 L2L1 
L2L1 AA1.871 
L2L1 A8.87A1.13-.213 
Resolviendo resulta:
AL1 = 13.2 A y AL2 = -1.3 A.
La solución completa es:
)13.3ºtsen(51.9e3.1e13.2)t(i t-8.87t-1.13
L 
igual a la obtenida por el procedimiento anterior.