Teoria de exponentes

1. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
01
Curso : Álgebra.
Docente: García Saez, Edwin Carlos
TEORIA DE EXPONENTES

2. LEYES DE EXPONENTES
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de
potenciación y radicación.
1. POTENCIACIÓN
Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de
otras expresiones llamadas base y exponente.
Notación
𝑎𝑛
= 𝑃
𝑎: base
𝑛: exponente
𝑃: potencia
Definiciones:
1. Exponente natural
𝑎𝑛
= 𝑎. 𝑎. 𝑎 … … 𝑎
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
2. Exponente cero
𝑎0 = 1 ; 𝑎 ≠ 0
Nota: 00
no está definido
3. Exponente negativo
Si 𝑎 ≠ 0 ∧ n∈ℕ se define:
𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛 =
1
𝑎
𝑛
Nota:
0−𝑛 no existe

3. TEOREMAS:
Sean "𝑎" y "𝑏" números reales y "𝑚", "𝑛" enteros positivos, entonces se cumple:
1. PRODUCTO DE BASES IGUALES
𝑎𝑚
. 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
2. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
, 𝑎 ≠ 0
3. POTENCIA DE POTENCIA
𝑎𝑚 𝑛 𝑝
= 𝑎𝑚.𝑛.𝑝
4. POTENCIA DE UN PRODUCTO
𝑎. 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛
5. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
, 𝑏 ≠ 0

4. 2. RADICACIÓN EN ℝ
Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y
radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:
Notación:
𝑛
𝑏 = 𝑟 ↔ 𝑟𝑛 = 𝑏
𝑛: índice 𝑛 ≥
TEOREMAS:
Si 𝑛
𝑎 y
𝑛
𝑏 existen, entonces
se cumple:
1. EXPONENTE FRACCIONARIO
𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚
2. PRODUCTO DE RAÍCES
𝑛
𝑎 .
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎. 𝑏
3. DIVISIÓN DE RAÍCES
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
=
𝑛 𝑎
𝑏
; 𝑏 ≠ 0
4. RAÍZ DE RAÍCES
𝑚 𝑛 𝑝
𝑎 =
𝑚.𝑛.𝑝
𝑎

5. ECUACIONES EXPONENCIALES
1. A bases iguales, exponentes iguales
𝑎𝑥
= 𝑎𝑦
⇒ 𝑥 = 𝑦 ; 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1
2. Exponentes iguales, bases iguales
𝑥𝑎 = 𝑦𝑎 ⇒ 𝑥 = 𝑦 ; 𝑥 > 0 ∧ 𝑦 > 0
3. Bases y exponentes respectivamente iguales.
𝑥𝑥
= 𝑎𝑎
⇒ 𝑥 = 𝑎 ; 𝑎 ≠ 0; 1 Nota:

𝑚
𝑥𝑎
𝑛
𝑥𝑏 𝑝
𝑥𝑐 =
𝑚𝑛𝑝
𝑥 𝑎𝑛+𝑏 𝑝+𝑐

𝑚
𝑥𝑎 ÷
𝑛
𝑥𝑏 ÷
𝑝
𝑥𝑐 =
𝑚𝑛𝑝
𝑥 𝑎𝑛−𝑏 𝑝−𝑐

6. Solución
𝑀 = 7
∴
1. Simplifique 𝑀 =
5.2𝑥+2−
1
2−𝑥−4+6.2𝑥−1
2𝑥+5−15.2𝑥−2.2𝑥+3
𝑀 =
5. 2𝑥+2 − 2𝑥+4 + 3.2. 2𝑥−1
2𝑥+5 − 15. 2𝑥 − 2. 2𝑥+3
𝑀 =
5. 2𝑥+2 − 2𝑥+4 + 3. 2𝑥
2𝑥+5 − 15. 2𝑥 − 2. 2𝑥+3
𝑀 =
2𝑥. 5. 22 − 24 + 3)
2𝑥. 25 − 15 − 2. 23)
𝑀 =
20 − 16 + 3)
32 − 15 − 16)
𝑀 =
2𝑥. 5. 22 − 24 + 3)
2𝑥. 25 − 15 − 2. 23)

7. Solución
2. Efectúe
𝑅 = 818−9−2−1
+
1
16
−4−1
+ −
1
8
−3−1
+ −
1
32
5−1
𝑅 = 818−9−1/2
+
1
16
−1/4
+ −
1
8
−1/3
+ −
1
32
−5−1
𝑅 = 818−1/3
+ 16 1/4
+ −8 1/3
+ −32 −1/5
𝑅 = 811/2
+ 2 + −2) + −2)
𝑅 = 9 + 2 + −2) + −2)
𝑃 = 11 − 4
𝑃 = 7

8. Solución
3. Si 𝑥 + 𝑦 = 𝑦𝑦2
= 2, calcule el valor de
𝑁 = 𝑦𝑦𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦𝑥+𝑦
+ 2
A)6 B)0 C) 4 D) 2 E) 8
𝒙 + 𝒚 = 𝟐 ; 𝒚𝒚𝟐
= 𝟐
𝒙 + 𝒚 = 𝟐 ; 𝒚𝒚𝟐
= 2
2
2
𝒙 + 𝒚 = 𝟐 ; 𝒚 = 2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑁 = 𝑦𝑦𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦𝑥+𝑦 + 2
𝑁 = 𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦2
+ 2
𝑁 = 2. 𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦
𝑁 = 2.2 + 2
∴ 𝑁 = 6

9. Solución
∴ 𝑀 = 3
4.𝑆𝑖: 2𝑏 = 𝑎 ; 2𝑎 = 𝑏, calcule 𝑀 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 +
2222𝑎
𝑎
+ 𝑏
1
𝑎
A) 0 B)1 C) 3 D) 2 E) 4
2𝑏 𝑎
= 𝑎 𝑎
; 2𝑎 𝑏
= 𝑏 𝑏
2 𝑎𝑏 = 𝑎𝑎
2 𝑎𝑏 = 𝑏𝑏
Luego reemplazando
𝑀 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 +
2222𝑎
𝑎
+ 𝑏
1
𝑎
M=
222𝑏
𝑎
+ 𝑏
1
𝑎
𝑀=
22𝑎
𝑎
+ 2
𝑀=
2𝑏
𝑎
+ 2
𝑀=
𝑎
𝑎
+ 2

10. Solución
5. Al simplificar la expresión
𝐸 =
2𝑛+𝑚. 2𝑛−𝑚. 2𝑛+3
22𝑛+1. 2𝑛−3 , se obtiene
A) 2𝑚. B) 4. C) 16. D) 32 E) 23−𝑚+𝑛.
𝐸 =
2𝑛+𝑚. 2𝑛−𝑚. 2𝑛+3
22𝑛+1. 2𝑛−3 .
𝐸 =
2𝑛+𝑚+𝑛−𝑚+𝑛+3
22𝑛+1+𝑛−3
.
𝐸 =
23𝑛+3
23𝑛−2
𝐸 = 23𝑛+3−3𝑛+2
𝐸 = 25 = 32

11. Solución
6. Si 2−𝑥 =
1
3
, calcule
𝑅 = 4𝑥
)2
+ 8𝑥
)
1
3+ 16𝑥
)
1
2
A) 4 B) 40 C) 93 D) 100 E) 120
2−𝑥 −1 =
1
3
−1
2𝑥
= 3
𝑅 = 22)𝑥)2+ 23)𝑥)
1
3+ 24)𝑥)
1
2
𝑅 = 2𝑥)4+ 2𝑥) + 2𝑥)2
𝑅 = 3)4+ 3) +32
𝑅 = 81 + 3 + 9
𝑅 = 93

12. Solución
7. Calcule 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑥𝑎
𝑥𝑏 ∙
𝑏 𝑐 𝑥𝑏
𝑥𝑐 ∙
𝑐 𝑎 𝑥𝑐
𝑥𝑎 .
A) 8 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
𝐴 =
𝑎.𝑏 𝑥𝑎
𝑥𝑏
∙
𝑏.𝑐 𝑥𝑏
𝑥𝑐
∙
𝑐.𝑎 𝑥𝑐
𝑥𝑎
𝐴 =
𝑎𝑏
𝑥𝑎
𝑎𝑏
𝑥𝑏
∙
𝑏𝑐
𝑥𝑏
𝑏𝑐
𝑥𝑐
∙
𝑐.𝑎
𝑥𝑐
𝑐.𝑎
𝑥𝑎
𝐴 =
𝑏
𝑥
𝑎
𝑥
∙
𝑐
𝑥
𝑏
𝑥
∙
.𝑎
𝑥
𝑐.
𝑥
𝐴 = 1

13. 8. Calcule 𝑀 = 19 + 3 24 3 24 ⋯
A) 0 B) 1 C) 5 D) 6 E) 10
Solución
𝑠𝑒𝑎 ∶ 𝛿 = 3 24 3 24 ⋯
𝛿 = 3 24. 𝛿
𝛿2
= 3 24. 𝛿
2
𝛿2 2 = 3 24. 𝛿
2
𝛿4 = 9.24. 𝛿
𝛿4
= 9.24. 𝛿
𝛿3
= 216.
𝛿 = 6
𝑀 = 19 + 3 24 3 24 ⋯
𝑀 = 19 + 6
𝑀 = 25
𝑀 = 5

14. Solució
n
9. Dadas las igualdades 𝑎 =
3
3
3
3
3
3
⋰
y 𝑏𝑏𝑏⋰
= 𝑏3, halle 𝑏𝑎.
A) 1/3 B) 1/9 C) 6 D) 3 E) 5
𝑎 =
3
3
3
3
3
3
⋰
y 𝑏𝑏𝑏⋰
= 𝑏3
𝑎 =
3
3
𝑎
y 𝑏𝑏𝑏⋰
= 3
𝑎
𝑎 =
3
3 y 𝑏3 = 3
𝑎 = 3 y 𝑏 = 3
3
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜:
𝑏𝑎=
3
3
3
𝑏𝑎
= 3

15. Solució
n
10. Resuelva la ecuación 𝑥𝑥2+𝑥2
= 4 .
A)2 B) 2 C) 1/4 D) 2 2 E) 1/2
𝑥𝑥2+𝑥2
=4
𝑥𝑥2.𝑥𝑥2
=4
𝑥𝑥2.𝑥𝑥2
=4
𝒙 = 2
𝒙𝒙𝟐 𝒙𝒙𝟐
= 22
𝒙𝒙𝟐
= 2
2
2
𝒙𝒙𝟐
= 2

16. Solució
n
11. Al simplificar 𝑁 =
𝟐𝟕÷ 𝟐𝟕÷ 𝟐𝟕:÷ 𝟐𝟕÷ …
𝟑
𝟗 .
𝟑
𝟗.
𝟑
𝟗 .
𝟑
𝟗…….
Se obtiene,
A) 1. B) 6. C) 4. D) 8. E) 16.
𝑠𝑒𝑎: 𝐴 = 𝟐𝟕 ÷ 𝟐𝟕 ÷ 𝟐𝟕:÷ 𝟐𝟕 ÷ …
𝐴 = 𝟐𝟕 ÷ 𝑨
𝐴2 = 𝟐𝟕 ÷ 𝑨
2
𝐴2
= 27/𝐴
𝐴 = 3
𝑠𝑒𝑎: 𝐵 =
𝟑
𝟗 .
𝟑
𝟗.
𝟑
𝟗 .
𝟑
𝟗 … … .
𝐵 =
𝟑
𝟗 . 𝑩
𝐵3
=
3
𝟗 . 𝑩
3
𝑩𝟑 = 𝟗. 𝑩
𝑩 = 𝟑.
𝑩𝟐
= 𝟗.
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑁 =
𝟑
𝟑
𝑁 = 𝟏

17. Solució
n
12. Resuelva la ecuación xx3
=
2 3
3 .
A)
3
2 B) 3 C)
6
3 D)
6
2 E) 2
𝑥𝑥3
=
2 3
3 .
𝒙 =
6
3
𝑥𝑥3 3
=
2 3
3
3
𝑥3.𝑥3
=
2 3
3
3
𝑥3.𝑥3
= 3
3
2 3
𝑥3 .𝑥3
= 3
3. 3
2.3
𝑥3 .𝑥3
= 3
3
2
𝑥3 .𝑥3
= 3
3
𝑥3
= 3

18. Gracias

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01

20. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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21. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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22. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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23. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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24. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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25. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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26. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
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27. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
01

28. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
01
CUATRO OPERACIONES
𝐈. 𝐂𝐔𝐀𝐓𝐑𝐎 𝐎𝐏𝐄𝐑𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒
𝟏. 𝟏. 𝐀𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧
𝟏. 𝟐. 𝐒𝐮𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐜𝐢ó𝐧
𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐮𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐜𝐢ó𝐧
b) Sea el número 𝑎𝑏𝑐; 𝑎 > 𝑏 para
𝑎𝑏𝑐 − 𝑐𝑏𝑎 = 𝑥𝑦𝑧 , se cumple que
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9
𝐚) M + S + D = 2M
𝐜) En otra base para abcn − cban = xyzn ,
se cumple que x + z = y = n − 1

29. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
01
PROBLEMA 3
Un número de 4 cifras cuya suma de cifras es 25,
sumado con otro número de 3 cifras iguales da como
respuesta el número que representa en metros
cuadrados a una hectárea. Calcule la cifra de las
decenas del primer número.
A) 8
B) 9
C) 2
D) 7
E) 5
RESOLUCIÓN
Del enunciado, planteamos:
∴ Cifras de las decenas del número =c= 5
 Sea el número 𝐚 𝐛 𝐜 𝐝
 a + b + c + d = 25
a b c d
x x x
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
+ d + x = 10
c + x = 9
b + x = 9
a = 9
+
(a + b + c + d) + 3x = 37
𝐱 = 𝟒