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- 1. NÚMEROS COMPLEJOS ℂ MÓDULO Y OPERACIONES
- 2. Otra aplicación impresionante es la fusión de la ingeniería con la medicina visto en el cálculo de la impedancia eléctrica Números Complejos ℂ ¿Para que sirven los números complejos? https://es.slideshare.net/SandraCruzGuerrero/automatizacion-en-hematologia?from_action=save Basado en la resistencia que ofrecen las células al paso de la corriente eléctrica, cuando atraviesan un orifico de apertura que separa dos medios con diferente potencias (uno positivo y otro negativo) - La impedancia de los leucocitos. - Concentración de la hemoglobina. - Conteo de Eritrocitos y plaquetas https://anestesiar.org/2012/pulmovista-500-drager/
- 3. Números Complejos ℂ ¿Para que sirven los números complejos? El conjunto de complejos también aparece en muchos objetos fractales https://nusgrem.es/conoces-los-numeros-complejos/ Conjunto de Mandelbrot En la física térmica, es posible obtener cantidades de energía imaginarias. https://nusgrem.es/conoces-los-numeros-complejos/
- 4. LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante reconoce y realiza operaciones con números complejos.
- 6. Un número complejo es una expresión de la forma 𝒂 + 𝒃𝒊 , donde 𝒂 y 𝒃 son números reales, 𝒊 la unidad imaginaria, dicha expresión tiene la propiedad de que 𝒊𝟐 = −𝟏. Números Complejos ℂ ¿Qué es un número complejo? En general, todo número complejo puede ser representado como: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧 𝑏 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝐼𝑚 𝑧 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎 𝒛 = 𝒂; 𝒃 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎
- 7. Dado 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 y como vector 𝒂; 𝒃 , el módulo será: 1 MÓDULO El módulo es la distancia del centro de coordenadas al punto complejo o afijo. 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 𝒂; 𝒃 Eje real Números Complejos ℂ Eje imaginario
- 8. 2 POTENCIAS DE 𝒊 𝑖23 = 𝑖2 11 ∙ 𝑖 = −1 11 ∙ 𝑖 = −𝑖 Números Complejos ℂ Ejemplo:
- 9. Sólo se cambia el signo de la parte imaginaria. 3 CONJUGADO 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ത 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 𝑧1 ∙ 𝑧2 = ഥ 𝑧 1 ∙ ഥ 𝑧 2 𝑧1 + 𝑧2 = ഥ 𝑧 1 + ഥ 𝑧 2 ഥ ഥ 𝑧 = 𝑧 PROPIEDADES: Números Complejos ℂ
- 10. 4 OPERACIONES 𝑧1 = 𝑧2 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑐 = 𝑑 Si 𝑧1 = 𝑧2. Hallar 𝑥 + 𝑦 3𝑥; 5 = 6 + 𝑦 + 2 𝑖 3𝑥 = 6 𝑥 = 2 5 = 𝑦 + 2 3 = 𝑦 𝑧1 = 3𝑥; 5 ; 𝑧2= 6 + 𝑦 + 2 𝑖 Igualdad en ℂ Números Complejos ℂ Ejemplo: 𝑥 + 𝑦 = 5
- 11. 4 OPERACIONES Hallar 𝑧1 ± 𝑧2 𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 6 + 4 + 1 𝑖 = 9 + 5𝑖 𝑧1 = 3; 4 ; 𝑧2= 6 + 𝑖 Suma en ℂ: Resta en ℂ: 𝑧1 − 𝑧2 = 3 − 6 + 4 − 1 𝑖 = −3 + 3𝑖 Números Complejos ℂ Ejemplo:
- 12. 4 OPERACIONES 𝑧 = 4 3; 4 = 4 3 + 4𝑖 Producto de una escalar por un ℂ: 𝑘 ⋅ 𝑧 = 𝑘 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏𝑖 𝑘 ⋅ 𝑧 = 𝑘𝑎; 𝑘𝑏 𝐴 = 12; 16 = 12 + 16𝑖 Producto de 2 números ℂ: 𝑧1 = 3; 4 ; 𝑧1 = 2; −5 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 3 + 4𝑖 2 − 5𝑖 = 6 − (−20) + −15 + 8 𝑖 = 26 − 7𝑖 Números Complejos ℂ Ejemplo:
- 13. 4 OPERACIONES División de 2 números ℂ: 𝑧1 = 3; 4 ; 𝑧1 = 2 − 5𝑖 . Hallar 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧2 = 3 + 4𝑖 2 − 5𝑖 = 3 + 4𝑖 2 − 5𝑖 ∙ 2 + 5𝑖 2 + 5𝑖 = 6 − 20 + 15 + 8 𝑖 22 + 52 = −14 + 23𝑖 29 = − 14 29 + 23 29 𝑖 Números Complejos ℂ Ejemplo:
- 14. Datos/Observaciones Dados 𝑧1 = 3 + 5𝑖 y 𝑧2 = −4 + 3𝑖. Determine la suma, resta, multiplicación y división de estos números complejos. Ejemplo. SOLUCIÓN: 𝑧1 + 𝑧2 = −1 + 8𝑖 𝑧1 − 𝑧2 = 7 + 2𝑖 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 3 + 5𝑖 ∙ −4 + 3𝑖 𝑧1 𝑧2 = 3 + 5𝑖 −4 + 3𝑖 ∙ −4 − 3𝑖 −4 − 3𝑖 = −12 − (−15) + −9 − 20 𝑖 16 + 9 = 3 − 29𝑖 25 = −12 − 15 = −27 − 11𝑖 = 3 25 − 29 25 𝑖 + 9 − 20 𝑖
- 15. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Sea 𝑧1 = 2 + 3𝑖; 𝑧2 = 3 − 2𝑖 ; 𝑧3 = −5 + 𝑖. Determine el valor de: 𝑀 = 𝑧2 2 − 3𝑧1 + 4 ഥ 𝑧3 − −64 + 𝑖27 SOLUCIÓN: 𝑀 = 3 − 2𝑖 2 − 3 2 + 3𝑖 + 4 −5 − 𝑖 − 8𝑖 + 𝑖27 𝑀 = 𝑧2 2 − 3𝑧1 + 4 ഥ 𝑧3 − −64 + 𝑖27 𝑀 = 5 − 12𝑖 − 6 + 9𝑖 + −20 − 4𝑖 − 8𝑖 − 𝑖 𝑀 = −21 − 34𝑖 3 − 2𝑖 2 = 3 − 2𝑖 3 − 2𝑖 = 9 − 4 + −6 − 6 𝑖 = 5 − 12𝑖 𝑖27 = 𝑖2 13 𝑖 = −1 13 𝑖 = −𝑖 −64 = 64𝑖2 = 8𝑖 ഥ 𝑧3 = −5 − 𝑖 RPTA: 𝑀 = −21 − 34𝑖 Números Complejos ℂ
- 16. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Sea 𝑧1 = −1 − 2𝑖 ; 𝑧2 = 3 − 𝑖 ; 𝑧3 = 2. Determine el valor de: 𝑃 = 𝑧3 − 2𝑧1 2𝑧2 + 𝑧1 SOLUCIÓN: 𝑃 = 𝑧3 − 2𝑧1 2𝑧2 + 𝑧1 = 2 − −2 − 4𝑖 6 − 2𝑖 + −1 − 2𝑖 = 4 + 4𝑖 5 − 4𝑖 = 20 − (−16) + −16 + 20 𝑖 = 36 + 4𝑖 Números Complejos ℂ
- 17. LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
- 18. Experiencia Grupal Desarrollar los ejercicios en equipos Equipos de 5 estudiantes Tiempo : 20 min
- 19. EJERCICIOS RETOS 1. Sea 𝑧1 = 2 + 𝑖; 𝑧2 = 1 + 2𝑖; 𝑧3 = 1 − 𝑖. Determine el valor de 𝑅 = 𝑧2 𝑧3−𝑖 + 𝑧1 𝑧2 ∙ 𝑧3. 2. Hallar los números reales 𝑥 e 𝑦 tal que: 2𝑥 − 3𝑖𝑦 − 2𝑦 − 5 − 10𝑖 = 𝑥 + 𝑦 − 2 − 𝑦 − 𝑥 + 3 𝑖. 3. Resolver el sistema de ecuaciones en ℂ. ቊ 1 + 𝑖 𝑥 − 𝑖𝑦 = 2 2 + 𝑖 𝑥 + 2 − 𝑖 𝑦 = 2𝑖 4. Efectuar y el resultado expresar en la forma binómica. 5 (1 + 𝑖)(2 − 𝑖)(3 − 𝑖) 5. Calcular 1+𝑖 𝑛 1−𝑖 𝑛−2, donde 𝑛 es un entero positivo.
- 20. Espacio de Preguntas Tiempo : 10 min Pregunta a través del chat o levantando la mano en el Zoom. Comparte tus dudas de la sesión o de los ejercicios y problemas que acaban de trabajar en los grupos. Si no tienes preguntas el profesor realizará algunas
- 21. Datos/Observaciones Conclusiones 1. Considerar en las operaciones de números complejos que el valor de 𝑖2 = −1. 2. Para dividir hay que usar el conjugado del denominador.
- 23. Datos/Observaciones FINALMENTE Excelente tu participación Recuerda que la práctica hace al maestro. Ésta sesión quedará grabada para tus consultas. PARA TI 1. Realiza los ejercicios propuestos de ésta sesión y práctica con la tarea . 2. Consulta en el FORO tus dudas.