En esta charla veremos que la curvatura puede ser vista a través del Corchete de Lie. Para ello motivaremos los conceptos requeridos como: variedad, grupo, grupo de Lie, álgebra de Lie, corchete de Lie, Conexiones y Curvatura, todos aplicados al caso particular del grupo de rotaciones tridimensional

1. Grupos de Lie
y
Curvatura
Coloquio de
Orientación Matemática
Efraín Vega

2. ¿Qué es una variedad?

3. Es un espacio
que localmente
es como
ℝ, ℝ², ℝ³,..., ℝⁿ,..

12. ?

13. es variedad
para casi todo
valor de c

14. ¿Por qué son importantes las variedades?

15. Nuestro universo (sin tomar en cuenta
el tiempo) es una 3-variedad

16. El espacio-tiempo es una 4-variedad

17. Una familia de variedades: el conjunto de
rectas por el origen en ℝ, ℝ², ℝ³,...,ℝⁿ,..

18. : el conjunto de rectas por el origen en ℝ⁴

20. Otra familia de variedades (medios hermanos
complejos de los espacios proyectivos): el conjunto de
rectas complejas por el origen en

21. Fibración
de Hopf

22. Fibración de Hopf

23. ¿Qué es un grupo?

24. Es un conjunto (G,∗) con una
operación que satisface las
propiedades:
1. Cerradura
2. Asociativa
3. ∃ Elemento neutro
4. ∃ Elemento inverso
Grupo

28. Las rotaciones en el plano, SO(2), son un
grupo de Lie, un círculo

29. Las rotaciones en el espacio, SO(3), forman
un grupo de Lie de dimensión 3

30. ¡Y resulta ser !

31. Además, podemos asociar a cada rotación
un marco ortonormal y a este, un elemento
del haz tangente de la esfera .
De modo que SO(3) resulta ser también el
haz tangente unitario de la esfera

32. Usando las
simetrías de un
grupo de Lie,
podemos construir
para cada vector
en alguno de sus
espacios tangentes
un campo vectorial
especial.
Podemos tomar el espacio tangente a la identidad.

33. Podemos interpretar el conjunto
de campos asociados a cada
vector en el espacio tangente a la
identidad como el álgebra de Lie
de nuestro grupo de Lie

34. ¿Quién es la operación
del álgebra de Lie?
El Corchete de Lie
Daremos una
interpretación dinámica
del corchete de Lie

35. Dados dos flujos,
generados por X y
Y, podemos fluir un
cierto tiempo por
uno y luego por el
otro ¿Qué pasa si
lo hacemos al
revés?
¿Llegamos al mismo punto?

36. La cuestión anterior es equivalente a
preguntarnos si regresamos al punto
inicial después de viajar un cierto
tiempo por el flujo X, luego el mismo
tiempo por el flujo Y, luego por -X y
finalmente por -Y.

37. Sí regresamos al mismo punto
Ejemplo de dos flujos en el plano que conmutan

38. No regresamos
al mismo punto,
Ejemplo de dos
flujos en el plano
que no conmutan

42. El corchete de Lie nos
da un nuevo campo que
en cada punto
representa la mitad
de la aceleración
con la cual se
“abre” el cuadrilátero
al correr el tiempo t

43. ¿Quién es el corchete de Lie en SO(3)?

47. ¿Suena conocido?
¡Es el producto cruz!

48. ¿Y la curvatura?
Conexiones

49. Conexión
Nos da todos los posibles
transportes paralelos que
contienen la información
del “permanecer
constante” al movernos de
una fibra a otra.
Si depende de la
trayectoria hay curvatura

50. Un ejemplo de una conexión

51. La conexión tiene
curvatura porque el
transporte paralelo
depende de la
trayectoria

52. Curvatura 0
La conexión no tiene
curvatura porque el
transporte paralelo no
depende de la
trayectoria

53. Consideremos ahora el haz tangente unitario
de la 2-esfera, ya vimos que es

54. La curvatura de la conexión de la 2-esfera, se
puede obtener como el corchete de lie de
ciertos flujos en el haz tangente unitario
La curvatura de la conexión de una variedad
se puede obtener como el corchete de lie de
ciertos flujos en el haz tangente (unitario o no)

55. Referencias e imágenes
● Francisco Villalobos
● Debrayes sobre la curvatura, Efraín Vega
● Wolfram Demonstration Project
● Wikipedia
● Visual Geometry and Topology, Fomenko
● Homotopic Topology, Fomenko
● Camino a la Realidad, Penrose
● Gravitation, Misner
● Moda fe y fantasía, Penrose
● Amor y matemáticas, Frenkel
● Ordinary Differential equations, Arnold
● Lie bracket and Curvature Samelson, Hans
● http://xahlee.info/MathGraphicsGallery_dir/sphere_projection/sphere_pr
oj_illus.png
● https://moodle.capilanou.ca/mod/book/view.php?id=328667&chapterid=
1396
● http://mathonline.wikidot.com/the-group-of-symmetries-of-the-square
¡Gracias!