Se utilizará el producto de intersección de variedades para dejar una idea intuitiva de la Dualidad de Poincaré, también se formulará la dualidad en términos de la cohomología de de Rham y se mostrará que la idea que relaciona entre ambas presentaciones de la dualidad de Poincaré es la siguiente: La intersección de ciclos en la homología es dual de Poincaré al producto cuña de la cohomología. Finalmente veremos como se usa esta idea para entender algunos teoremas que vinculan la geometría y la topología.

1. Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones
Dualidad de Poincaré
Efraín Vega Landa
2015-09-04

2. Dualidad de Poincaré 2
La dualidad de Poincaré
Es un resultado que relaciona los grupos de homología y cohomología de una
variedad cerrada y orientable.
Hk (M) e=Hn k
(M)
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

3. Dualidad de Poincaré 3
¿Qué es la homología de una variedad?
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

4. Dualidad de Poincaré 4
Es una sucesion de grupos
Hk =
ker @k
im@k+1
asociada a un complejo de cadenas
0
@n+1
! Cn
@n
! Cn 1
@n 1
!
@2
! C1
@1
! C0
@0
! 0
@k @k+1 = 0
extraido con la información topológica de una variedad
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5. Dualidad de Poincaré 5
La no trivialidad de cada uno de estos grupos Hk (M) está asociada con la existencia
de agujeros en la variedad
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6. Dualidad de Poincaré 6
Algunos ejemplos
S1
H0 S1
= Z
H1 S1
= Z
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7. Dualidad de Poincaré 7
S2
H0 S2
= Z
H1 S2
= 0
H1 S2
= Z
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8. Dualidad de Poincaré 8
T2
H0 T2
= Z
H1 T2
= Z2
H1 T2
= Z
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9. Dualidad de Poincaré 9
S3
H0 S3
= Z
H1 S3
= 0
H2 S3
= 0
H3 S3
= Z
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10. Dualidad de Poincaré 10
T3
H0 T3
= Z
H1 T3
= Z3
H2 T3
= Z3
H3 T3
= Z
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11. Dualidad de Poincaré 11
¿Qué es la cohomología?
Es una sucesión de grupos
Hk
=
ker k+1
im k
asociada a un complejo de cadenas "duales"
Para construirlo notamos que en el complejo de cadenas de la homología
0
@n+1
! Cn
@n
! Cn 1
@n 1
!
@2
! C1
@1
! C0
@0
! 0
los mapeos @k son lineales, así podemos tomar el complejo de espacios duales
0
n+1
Cn
n
Cn 1
n 1 2
C1
1
C0
0
0
conectados por los mapeos transpuestos k
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12. Dualidad de Poincaré 12
La idea de la dualidad de Poincaré es ver que cada funcional en Hk
(M) se puede
obtener a partir del producto de intersección con un (n k)-ciclo.
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13. Dualidad de Poincaré 13
Imaginemos un 1-ciclo y un 2-ciclo en un 3-toro T3
A 2 H1 T3
y B 2 H2 T3
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14. Dualidad de Poincaré 14
Si deformamos un poco alguno de los ciclos ¿Seguirá intersecando al otro?
Resulta ser que la intersección se preservará
Es decir, será un invariante asociado a las clases de homología de los ciclos A y B.
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15. Dualidad de Poincaré 15
Pero si deformo más pueden aparecer más puntos de intersección
¿Cómo contarlos adecuadamente?
A las intersecciones les podemos asignar un signo
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

16. Dualidad de Poincaré 16
Escogemos una orientación en los ciclos A, B y nos fijamos en el espacio tangente a
la variedad TpT3
en el punto p, donde se intersecan los ciclos.
Escogemos un par de bases para TpA y TpB, de orientación positiva.
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17. Dualidad de Poincaré 17
ip (A; B), será 1;
1 si al tomar la base de TpA y luego la de TpB formamos una base de TpT3
de
orientación positiva en M;
1 si tiene orientación negativa en M:
Definimos el número de intersección sumando sobre las intersecciones
#
(A; B) =
X
p2AB
ip (A; B)
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18. Dualidad de Poincaré 18
Resulta ser que la intersección de ciclos depende solo de las clases de homología de
los ciclos A y B
Si uno de los ciclos, por ejemplo B está en la clase del 0 entonces, el otro ciclo A lo
intersecaría en general un numero par de veces y
#
(A; B) = 0
Y es también es lineal en cada factor
vale para cada pareja de clases de homología 2 H1 T3
y 2 H2 T3
podemos encontrar ciclos A y B que representen dichas clases y al intersecarlos
transversalmente
definimos un mapeo bilineal
H1 T3
H2 T3
! Z
Llamado apareamiento de intersección.
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19. Dualidad de Poincaré 19
Finalmente, estas ideas se pueden generalizar para cualquier variedad orientable M
donde para cada pareja de clases de homología 2 Hk (M) y 2 Hn k (M)
podemos encontrar ciclos A y B suaves por trozos que las representen y al
intersecarlos transversalmente tendremos un mapeo bilineal
Hk (M) Hn k (M) ! Z
dado por
h ; i =#
(A; B)
llamado producto de intersección
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20. Dualidad de Poincaré 20
Si tomamos en el producto de intersección el orden inverso, a veces conmuta y a
veces no (en el caso de T3
hubiera sido indistinto el orden tomado)
#
(A; B) = ( 1)k(n k) #
(B; A)
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21. Dualidad de Poincaré 21
Mencionamos que se puede definir también el producto de intersección de ciclos
cuya suma de dimensiones exeda la de la variedad
Hn k1
(M) Hn k2
(M) ! Hn k1 k2
(M)
en el caso que ya vimos
n k1 + k2 = 0
y ahora podríamos tener
n k1 + k2 > 0
Un ejemplo:
en T3
podríamos tener, haciendo k1 = k2 = 1, un mapeo
H2 (M) H2 (M) ! H1 (M)
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

22. Dualidad de Poincaré 22
H2 (M) H2 (M) ! H1 (M)
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

23. Dualidad de Poincaré 23
El resultado fundamental sobre el producto de intersección es el teorema de Poincaré
Si M es una variedad cerrada y orientable, el producto de intersección
Hk (M; Z) Hn k (M; Z) ! Z
es unimodular, es decir, cada funcional lineal
Hn k (M; Z) ! Z
se expresa como el producto de intersección con alguna clase 2 Hk (M; Z)
h ; _i =#
(A; _) ;
y cualquier clase 2 Hk (M; Z) que tenga número de intersección 0 con todas las
clases en Hn k (M; Z) será una clase de torsión
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24. Dualidad de Poincaré 24
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

25. Dualidad de Poincaré 25
Otra versión del teorema de Poincaré es que el mapeo
Hk (M; Q)
P
! Hn k (M; Q) e=Hn k
(M; Q)
El isomorfismo P le asocia al k ciclo A el funcional
P (A) (B) =#
(A; B)
en Hn k (M; Q) e=Hn k
(M; Q) dado por el producto de intersección (omitiendo aquí
el hecho de que es unimodular).
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

26. Dualidad de Poincaré 26
El isomorfismo de de Rham
Hn k
dR (M) ! Hn k
(M; R)
nos garantiza que para el k-ciclo A en el funcional
P (A) (B) =#
(A; B)
existe una (n k)-forma 'n k
diferencial en Hn k
(M; R) tal que al integrarla sobre
los (n k)-ciclos B en Hn k nos da el mismo funcional
Z
B
'n k
=#
(A; B)
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27. Dualidad de Poincaré 27
Pensemos los dos puntos de vista del funcional
Z
B
'n k
=#
(A; B)
en el toro T3
, donde k = 1 y n k = 2.
El 1-ciclo A = S1
es uno de los 3 generadores de H1 T3
.
La 2-forma 'n k
= '2
es la que arroja período en el toro T2
generador de H2 T3
cuya intersección con A es distinta de cero
Z
B
'2
=#
S1
; B
Donde B corre en H2 T3
.
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

28. Dualidad de Poincaré 28
En formas diferenciales existe el producto cuña
'k1
^ k2
= !k1+k2
En particular, manda formas cerradas en formas cerradas.
Respeta las clases de cohomología, es decir, tenemos un mapeo
Hk1
dR (M) Hk2
dR ! Hk1+k2
dR (M)
y en particular si k1 + k2 = n
Hk
dR (M) Hn k
dR ! Hn
dR (M) e=R
que algo tiene de parecido con el producto de intersección
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29. Dualidad de Poincaré 29
Relacionemos el producto cuña con el producto de intersección
Tomemos un k-ciclo k
y un (n k)-ciclo n k
en M. Y tomemos (usando el teorema
de de Rham) sus formas 'n k
y k
duales de Poincaré, es decir
Z
n k
'n k
=# k
; n k
para cualquier (n k) -ciclo n k
Z
k
k
=# n k
; k
para cualquier k-ciclo vk
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30. Dualidad de Poincaré 30
Si tomamos ahora el producto de los ciclos en el producto de M con sí misma
n k k
M M
con los mapeos de proyección en cada factor
1 : M M ! M y 2 : M M ! M
resulta que
Z
n k k
1'n k
^ 2
k
=
Z
n k
'n k
Z
k
k
=# k
; n k # n k
; k
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31. Dualidad de Poincaré 31
Notamos que las parejas de ciclos
k
y n k
n k
y k
se intersecan en M si y solo sí la pareja de ciclos
k n k
y n k k
se interseca en M M y las intersecciones están relacionadas a través de
i (p1; p2) k n k
; n k k
= ( 1)n k
ip1
k
; n k
ip2
n k
; k
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32. Dualidad de Poincaré 32
de donde al tomar en cuenta todos los puntos de intersección llegamos a que
# k n k
; n k k
= ( 1)n k
h
# k
; n k # n k
; k
i
= ( 1)n k
Z
n k k
1'n k
^ 2
k
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33. Dualidad de Poincaré 33
Notamos que en la igualdad
# k n k
; n k k
= ( 1)n k
Z
n k k
1'n k
^ 2
k
los n-ciclos n k k
son arbitrarios y de hecho combinaciones lineales de ellos
generan (Fórmula de Kunneth) cualquier elemento
n
2 Hn (M M)
Por la linealidad en el producto de intersección tenemos
# k n k
; n
= ( 1)n k
Z
n
1'n k
^ 2
k
que para cualquier n-ciclo n
en M M.
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34. Dualidad de Poincaré 34
La iguladad
# k n k
; n
= ( 1)n k
Z
n
1'n k
^ 2
k
nos dice (teorema de Rham) que la n-forma en Hn
dR (M M)
1'n k
^ 2
k
es dual de Poincaré del n-ciclo en Hn (M M)
( 1)n k k n k
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35. Dualidad de Poincaré 35
Si tomamos la diagonal como nuestro n-ciclo n
n
= M M
resulta que
( 1)n k # k n k
; =
Z
1'n k
^ 2
k
=
Z
M
'n k
^ k
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36. Dualidad de Poincaré 36
Por otro lado, las intersecciones del ciclo k n k
con la diagonal se dan si y solo
sí los ciclos k
y n k
se intersecan en M y la relación es
i (p; p) ( ; ) = ( 1)n k
ip
k
; n k
y al tomar en cuenta todas las intersecciones llegamos a
# k
; n k
= ( 1)n k # k n k
; =
Z
M
'n k
^ k
La interseccion de ciclos en la homología es dual de Poincaré al producto cuña de la
cohomología
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37. Dualidad de Poincaré 37
Finalmente notamos que es el producto cuña el análogo al producto de intersección
para la cohomología de de Rham, es decir, el producto cuña induce un isomorfismo
Hk
dR (M) Hn k
dR ! Re=Hn
dR (M)
dado por
'n k
; k
!
Z
M
'n k
^ k
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38. Dualidad de Poincaré 38
Bibliografía
Phillip Griffiths & Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry
V. A. Vassiliev, Introduction to topology
Isadore Manuel Singer & John A. Thorpe, Lecture notes on elementary topology and
geometry
Raoul Bott & Loring W. Tu, Differential forms in algebraic topology
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

39. Dualidad de Poincaré 39
FIN
Gracias a todos
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