Curvatura extrínseca e intrínseca, transporte paralelo y conexiones Plática dada por Efraín Vega (Facultad de Ciencias de la UNAM) en el Coloquio de Orientación Matemática el jueves 25 de julio del 2019 en el Auloa Sotero Prieto 3 del Amoxcalli en la Facultad de Ciencias de la UNAM Video proporcionado por Ciencias TV Video de la plática https://youtu.be/LS2AeoyEhiE Foto de miniatura del video https://photos.app.goo.gl/szG2CWw3WmS5oLqu5 Presentación de la plática https://es.slideshare.net/efrainvega338 Efraín Vega en: La Facultad de Ciencias de la UNAM http://www.fciencias.unam.mx/directorio/30581 YouTube https://www.youtube.com/user/efveglan Otras pláticas de Efraín Vega https://www.youtube.com/playlist?list=PLrg-5oUhFeipthTQFwVeQHY5_C0MNybio Página del Coloquio de Orientación Matemática https://www.facebook.com/ColoquioOrientacionMatematicaFC/ Otras pláticas del Coloquio de Orientación Matemática https://www.youtube.com/playlist?list=PLrg-5oUhFeir0kD4pFAGWs3mY_lR0Shd9 Album de fotos miniatura de los videos del Coloquio de Orientación Matemática https://goo.gl/photos/dxoDbFCCL1GyPif7A Agradecemos el apoyo de Itza García, Francisco Rivera, Fernanda y Efraín Vega quienes grabaron y publicaron las pláticas quienes grabaron y publicaron las pláticas universo.math http://universo.math.org.mx/ https://www.facebook.com/universo.math Departamento de Matemáticas del CINVESTAV http://www.math.cinvestav.mx/ Facultad de Ciencias de la UNAM http://www.fciencias.unam.mx/ https://www.facebook.com/Facultad-de-Ciencias-214278861928417/?fref=t La banda que coopero en la vaquita para reponer el equipo que nos robaron en noviembre del 2017 https://www.facebook.com/Ciencias.TV/videos/426024461479542/

1. Curvatura extrínseca
e intrínseca,
transporte
paralelo y
conexiones
Coloquio de Orientación Matemática
Efraín Vega y
Genaro de la Vega

2. Geometría extrínseca

3. ¿Qué es una variedad?

4. Es un espacio
que localmente
es como
ℝ, ℝ², ℝ³,..., ℝⁿ,..

13. ?

14. es variedad
para casi todo
valor de c

15. ¿Por qué son importantes las variedades?

16. Nuestro universo (sin tomar en cuenta
el tiempo) es una 3-variedad
Nadie sabe cual...

17. El espacio-tiempo es una 4-variedad

18. En esta charla abordaremos ideas sobre la
curvatura de curvas y superficies, que son
variedades de dimensión 1 y 2
Dimensión 2Dimensión 1

19. ¿Qué significa que se curven?
Dimensión 1 Dimensión 2

20. Idea parecida a la que usamos al derivar:
¿Cuál es la recta que más se parece?

21. Dimensión 1
¿Cuál es la Circunferencia que más se parece?

22. Dimensión 1
Los centros de las
circunferencias
que más se
parecen forman
una curva:
la evoluta
cáustica

23. Dimensión 1
La curvatura k de
una circunferencia
de radio r
La velocidad con la que
gira el vector tangente
(o el vector normal)
k=1/r

24. En el caso de superficies
¿La esfera que más se parece?
Dimensión 1 Dimensión 2

25. Dimensión 2

26. Dimensión 2

27. La curvatura en dos dimensiones no es solo la
“magnitud” con que se curva una superficie,
sino también la manera como se curva
Dimensión 2

28. Estas dos superficies se curvan de manera
distinta en el punto correspondiente

29. ?

31. Dimensión 2

33. ¿Qué es la “curvatura”
de una superficie?

34. La curvaturas media y de Gauss tienen que ver
con los invariantes de esta forma cuadrática o
de la matriz Hessiana de f: serán su traza y
determinante respectivamente

35. Motivaremos la curvatura de Gauss partiendo del
caso de curvas, introduciendo el mapeo de Gauss

36. La curvatura de Gauss es la velocidad con que
varía el vector normal

37. También la curvatura se puede ver como el factor de
alargamiento (determinante 1-dimensional) de la
diferencial de la aplicación de Gauss

38. Usamos el enfoque anterior de la aplicación
de Gauss para llegar a la curvatura de Gauss
de una superficie
Dimensión 1 Dimensión 2

39. Mapeo de Gauss
SuperficiesCurvas

41. Curvatura de Gauss es el factor de expansión, es
decir, el determinante de la diferencial de la
aplicación de Gauss
Curvatura de Gauss
positiva

42. Los eigenvalores de la diferencial de la aplicación de Gauss

43. Curvatura de
Gauss positiva

44. Curvatura de Gauss negativa

45. Curvatura de Gauss Cero

46. Geometría intrínseca

47. Imaginen que los convierten en
Planilandios

48. Forman parte de la superficie pero no pueden salir
de ella, NI VERLA DESDE AFUERA

49. Supongamos que nuestro mundo es
una esfera
¿Qué trayectorias siguen los rayos de luz?

50. Hagamos un poco de trampa y veamos
la superficie desde afuera para motivar
ideas que finalmente no dependerán de
que las vimos desde afuera.
¿Cuál es la
aceleración del fotón?

51. La aceleración que siente el objeto al viajar en el
mundo 3D, ¿es sentida por el objeto al ser
considerado como parte del mundo 2D?

52. La aceleración que siente el objeto al viajar en el
mundo 2D es la proyección de la aceleración 3D al
espacio tangente a la esfera, la componente
normal no la siente un ser 2D

53. En los círculos máximos la proyección de la
aceleración 3D al mundo 2D (plano tangente a la
esfera) es nula, por ello un habitante 2D no sentira
aceleración alguna al viajar en tales círculos

54. Círculos máximos = Líneas rectas para un ser 2D
GEODÉSICAS

55. ¿Cómo es entonces un campo el campo de
velocidades para el planilandio?
CONSTANTE

56. ¿Habrá otros campos constantes a lo largo de una
geodésica?

57. Si el ángulo que forma con el vector velocidad de
la geodésica es constante
Entonces la derivada del campo será nula para un
ser 2D, y por lo tanto dicho campo será constante

58. A los campos constantes para un ser 2D a lo largo
de una curva (puede ser o no geodésica) se les
llama CAMPOS PARALELOS

59. ¡Ya sabemos transportar paralelamente a lo largo
de geodésicas!

60. Transportemos un vector de un punto a otro
usando dos geodésicas distintas
¿Llegamos al mismo vector?

61. ¡No!

62. ¡Eso no pasa en el plano Euclidiano!

63. Curvatura
intrínseca
Ese fenómeno manifiesta la existencia de
El transporte
paralelo depende
de la trayectoria

64. Conexiones

65. Un haz fibrado

66. El haz tangente

67. El haz tangente
de la esfera
El haz tangente
unitario de la esfera

68. Conexión
Nos da todos los posibles
transportes paralelos que
contienen la información
del “permanecer
constante” al movernos de
una fibra a otra.
Si depende de la
trayectoria hay curvatura

69. Un ejemplo de una conexión

70. La conexión tiene
curvatura porque el
transporte paralelo
depende de la
trayectoria

71. Curvatura 0
La conexión no tiene
curvatura porque el
transporte paralelo no
depende de la
trayectoria

72. Las rotaciones en el espacio, SO(3), forman
un grupo de Lie de dimensión 3

73. ¡Y resulta ser !

74. Además, podemos asociar a cada rotación
un marco ortonormal y a este, un elemento
del haz tangente de la esfera .
De modo que SO(3) resulta ser también el
haz tangente unitario de la esfera

75. Fibración
de Hopf

76. Fibración de Hopf

77. ¿Y la curvatura?
Conexiones

80. Consideremos ahora el haz tangente unitario
de la 2-esfera, ya vimos que es

81. Referencias e imágenes
● Genaro de la Vega
● Francisco Villalobos
● Debrayes sobre la curvatura, Efraín Vega
● Wikipedia
● Visual Geometry and Topology, Fomenko
● Homotopic Topology, Fomenko
● Camino a la Realidad, Penrose
● Gravitation, Misner
● Moda fe y fantasía, Penrose
● Ordinary Differential equations, Arnold
● http://xahlee.info/MathGraphicsGallery_dir/sphere_projection/sphere_pr
oj_illus.png
● https://moodle.capilanou.ca/mod/book/view.php?id=328667&chapterid=
1396
● http://mathonline.wikidot.com/the-group-of-symmetries-of-the-square
¡Gracias!