Plática de simetría, matrices y grupos de Lie en biología 2012 04-29 - Efrain Vega

Curso de Matemáticas para biología Otto & Eleazar

Simetría y Matrices.
Efraín Vega Landa
2012-05-02

Simetría y Matrices. 2

La intención de esta plática es dar un panorama de la idea de simetría y de como las
matrices sirven para codiﬁcar la información de dicha simetría.
Ilustrar a través de algunos ejemplos la diversidad y el rango de nuevos problemas
matemáticos que surgen naturalmente de las ciencias biológicas.



Mencionamos rápidamente que la biología Matemática es un campo grande y diverso.
Estudia objetos muy variados que van desde las moléculas a ecosistemas globales.
Los métodos provienen de muchas subdisciplinas de las ciencias matemáticas:
1. Ecuaciones diferenciales Ordinarias
2. Ecuaciones diferenciales Parciales
3. Teoría de la Probabilidad
4. Análisis Numérico
5. Teoría de Control
6. Teoría de Gráﬁcas
7. Combinatoria
8. Geometría
9. Topología
10. Ciencia de la computación
11. Estadística



1 ¿Qué son las simetrías (de rotación) de un
cuadrado?



1 0 0 1 1 0 0 1
1= i= 1= i=
0 1 1 0 0 1 1 0



2 GRUPO
Estas cuatro transformaciones del plano en el plano son un ejemplo del concepto de
grupo.

Es un conjunto de elementos (en nuestro ejemplo es el conjunto de las 4 transforma-
ciones) y una regla para multiplicarlos que cumple con las siguientes propiedades:

1.- Asociativa, es decir
a (bc) = (ab) c

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
=
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0



2.- Hay un elemento que al multiplicarlo por los demás los deja igual:
1a = a1 = a

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
= =
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0

3.- Cada elemento a tiene su inverso a 1, tal que al multiplicarlo por él obtenemos al
elemento 1
a a 1
1 0 1 0
0 1 0 1
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 1 0 1
1 0 1 0



3 La multiplicación en el grupo puede ser no
conmutativa
Para ver esto notamos que el cuadrado posee también simetrías de reﬂexión:

1 0 0 1 1 0 0 1
C= Ci = C= Ci =
0 1 1 0 0 1 1 0


Notamos que

Ci 6= iC



4 Simetrías de rotación de un polígono
¿Cuántas simetrías de rotación tiene un polígono?



¿Qué pasa si el número de lados tiende a inﬁnito?

¿Cuántos elementos tendrá el grupo de rotaciones del n-ágono cuando n ! 1?

¿A qué ﬁgura geométrica tiende el n-agono cuando n ! 1?



5 ¿Cuántas simetrías de rotación tiene un círculo?

Una por cada posible ángulo de rotación.

¿cuántos ángulos hay?

Uno por cada punto en el círculo.



6 El grupo SO (2) de simetrías del círculo o de
rotaciones en el plano R2.

El grupo de simetrías del círculo tiene tantos elementos como puntos en el círculo.



7 Aplicaciones en biología



8 El grupo SO (2) de rotaciones en el plano como
ejemplo de Grupo de Lie1

1
Sophus Lie matemático noruego (1842-1899)


9 Grupo de Lie G

Es un grupo que

1.- G es una variedad diferenciable.

2.- La operación de multiplicación y de tomar inverso son suaves.



En nuestro ejemplo:

SO (2) es una variedad, un círculo



10 ¿Qué es una variedad?

Es un concepto que generaliza la idea de curva o superﬁcie



y consiste de un conjunto de puntos junto con alguna estructura local

los puntos se ven localmente como un espacio Rn.



La idea de una variedad suave se reﬁere a que cerca de un punto la variedad se
parecerá a su plano tangente.



11 La dimensión de una variedad

Localmente no distinguiremos nuestra variedad de un espacio R1, R2, R3, ... ,Rn.

Diremos en estos casos que M es una 1-variedad, 2-variedad, 3-variedad, ... , n-
variedad.



12 La n-esfera

S 0, el conjunto de puntos en R1 a distancia 1 del 0.

S 1, el conjunto de puntos en R2 a distancia 1 del (0; 0).

S 2, el conjunto de puntos en R3 a distancia 1 del (0; 0; 0).

S 3, el conjunto de puntos en R4 a distancia 1 del (0; 0; 0; 0).

S n, el conjunto de puntos en Rn+1 a distancia 1 del (0; 0; 0; :::; 0) 2 Rn+1.



13 El n-toro

T 1 = S1

T 2 = S1 S1

T 3 = S1 S1 S1

n-veces
T n = S1 S1



T 2 = S1 S1



T 3 = S1 S1 S1



El movimiento de las articulaciones de un par de codos determina una curva en el toro



14 El grupo SO (3) de simetrías de la esfera S 2 o de
rotaciones en el plano R3.

¿Cuántas simetrías (de rotación) tiene una esfera?

Tantas como rotaciones en R3 existan.

¿Cuántas rotaciones en R3 hay?


¿Cuántos ejes de giro hay?

Tantas como lineas rectas por el origen en R3

Esto nos da algo de dos dimensiones

Por cada eje de giro ¿Cuántas posibles rotaciones hay?

Tantas como puntos en el círculo.

Entonces todas las rotaciones formaran una 3-variedad.


Esta 3-variedad, SO (3), puede ser imaginada como una 3-bola en R3 identiﬁcando
antipodalmente su su frontera, que será una 2-esfera S 2



Cada posición de la articulación de la muñeca determina un punto en SO (3)

Un movimiento de la muñeca determina una curva en SO (3)


Cada posición de la articulación de la muñeca y el codo determinan un punto en
SO (2) SO (3)
que es una variedad de dimensión 5

Un movimiento simultaneo del codo y la muñeca determinan una curva en
SO (2) SO (3)



15 Variedad Biodinámica (simpliﬁcada)
Cada posición del esqueleto humano determinan un punto en
SO (2)4 SO (3)10

Al movernos determinamos una curva en dicha variedad.


Que es una variedad de dimensión cercana a 100.


Que es una variedad de dimensión mayor a 200.



16 Si creen que eso ya es demasiado...

La función energía potencial
E : R30000 ! R
estaría definida en el espacio de configuración R30000. Los valores críticos de su difer-
encial serían candidatos a ser los mínimos de dicha energía y en dichos puntos de
R30000 representarían la disposición geométrica estable de la posición de los átomos
que conforman la proteina. Esto es la forma que tendería a adoptar la proteina.
Cualquier posición inicial con coordenadas cercanas tendería al punto singular lo que
significa que posiciones cercanas de la proteina fluirán hacia la posición de equilibrio
estable.



Gracias a todos.



R. Penrose, The road to reality.
T. Gowers, The Princeton companion to mathematics.
V. Ivancevic, Applied differential geometry.
J. Weeks, The Shape of the Space.
http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group


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