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Ejercicios resueltos identidades

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Ejercicio resuelto de identidades trigonométricas usando las Identidades Pitagóricas.

Publicado en: Educación

Ejercicios resueltos identidades

  1. 1. EJERCICIO RESUELTO<br />IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS<br />CON<br />IDENTIDADES PITAGÓRICAS (FUNDAMENTALES)<br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  2. 2. Para demostrar identidades trigonométricas debes tener en cuenta algunos consejos:<br />Escoge el miembro más complejo de la identidad para verificar el miembro más sencillo.<br />Realiza operaciones de sumas, restas y multiplicación de fracciones trigonométricas.<br />Factoriza o realiza los productos notables según convenga (a veces es mejor dejar expresada en producto notable, sobre todo en el denominador de una fracción).<br />Algunas veces ayuda escribir un miembro de la identidad en términos de senos y cosenos.<br />A veces puedes operar ambos miembros de la identidad, pero úsalo como último recurso.<br />Recuerda siempre que tu objetivo es siempre llegar al miembro más sencillo.<br />Antes de comenzar:<br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  3. 3. cot𝜃1−tan𝜃+tan𝜃1−cot𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Como puedes observar, el miembro más complejo es el que está a la izquierda, así que comenzaremos por éste y nuestro objetivo será llegar al termino de la derecha…<br /> <br />Ejercicio resuelto<br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  4. 4. Primero cambiaremos todos los términos de tan𝜃 y cot𝜃 en términos de seno y coseno.<br />Recuerda que:<br />tan𝜃=𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃 y cot𝜃=cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃<br />Por lo tanto, la nueva expresión será….<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  5. 5. cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃1−𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃1−cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Antes de aplicar «La ley de la oreja» en cada fracción, recuerda realizar primero la suma de fraccionarios en cada denominador.<br />Si corres el riesgo de equivocarte, agrega un 1 para completar las fracciones de la siguiente manera:<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  6. 6. cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃11−𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃11−cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Sumando las fracciones, nos queda:<br />cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  7. 7. Ahora si, aplicamos la «Ley de la oreja», es decir, producto de extremos sobre producto de medios:<br />cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Notemos que en el denominador tenemos dos expresiones «parecidas» pero no iguales. Estas son:<br />cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 y 𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  8. 8. Para que la suma de las fracciones sea más sencilla, debemos convertir las expresiones dentro del paréntesis en fracciones equivalentes. <br />Si observamos bien, lo único diferente son los signos, así que multiplicaremos a una de ellas por (-1) y cambiaremos el orden de los términos, así:<br />𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃=−cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃<br />En la expresión, quedará:<br /> <br />Segundo paréntesis<br />Queda igual que el primero<br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  9. 9. cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃−cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Nótese que el signo menos lo anteponemos al cos𝜃, pues si lo ponemos después, parecerá una resta.<br />De este modo hemos obtenido dos paréntesis idénticos en el denominador, pero antes de realizar operaciones con las fracciones aplicamos la «Ley de los signos».<br />cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃−cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  10. 10. Para realizar la resta de fracciones, debes hallar el M.C.M de los denominadores. <br />Este es:<br />𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃<br />Luego la resta queda:<br />cos3𝜃−𝑠𝑒𝑛3𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />(Tú ya debes ser competente en la resta de fracciones algebraicas)<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  11. 11. En el denominador ha quedado una expresión factorizable como una diferencia de cubos.<br />Recuerda que:<br />𝑎3−𝑏3=𝑎−𝑏𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2<br />Y aplicándola en el numerador, queda:<br />cos3𝜃−𝑠𝑒𝑛3𝜃=cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃<br />Así que la fracción es:<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  12. 12. cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Simplificando los términos semejantes:<br />cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Resulta:<br />cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  13. 13. Para cada expresión del numerador, distribuiremos el denominador, así:<br />cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Simplificamos términos semejantes:<br />cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />
  14. 14. Y resultará…<br />cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+1+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Aplicando nuevamente las relaciones de funciones trigonométricas:<br />cot𝜃+1+tan𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br />Y en orden:<br />1+tan𝜃+cot𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃<br /> Si es Identidad<br /> <br />13/02/2011<br />Elaborado por: Ing. Marcela Tejada <br />

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