Ejercicio resuelto de identidades trigonométricas usando las Identidades Pitagóricas.

1. EJERCICIO RESUELTO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CON IDENTIDADES PITAGÓRICAS (FUNDAMENTALES) 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

2. Para demostrar identidades trigonométricas debes tener en cuenta algunos consejos: Escoge el miembro más complejo de la identidad para verificar el miembro más sencillo. Realiza operaciones de sumas, restas y multiplicación de fracciones trigonométricas. Factoriza o realiza los productos notables según convenga (a veces es mejor dejar expresada en producto notable, sobre todo en el denominador de una fracción). Algunas veces ayuda escribir un miembro de la identidad en términos de senos y cosenos. A veces puedes operar ambos miembros de la identidad, pero úsalo como último recurso. Recuerda siempre que tu objetivo es siempre llegar al miembro más sencillo. Antes de comenzar: 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

3. cot𝜃1−tan𝜃+tan𝜃1−cot𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Como puedes observar, el miembro más complejo es el que está a la izquierda, así que comenzaremos por éste y nuestro objetivo será llegar al termino de la derecha… Ejercicio resuelto 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

4. Primero cambiaremos todos los términos de tan𝜃 y cot𝜃 en términos de seno y coseno. Recuerda que: tan𝜃=𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃 y cot𝜃=cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 Por lo tanto, la nueva expresión será…. 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

5. cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃1−𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃1−cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Antes de aplicar «La ley de la oreja» en cada fracción, recuerda realizar primero la suma de fraccionarios en cada denominador. Si corres el riesgo de equivocarte, agrega un 1 para completar las fracciones de la siguiente manera: 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

6. cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃11−𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃11−cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Sumando las fracciones, nos queda: cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

7. Ahora si, aplicamos la «Ley de la oreja», es decir, producto de extremos sobre producto de medios: cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Notemos que en el denominador tenemos dos expresiones «parecidas» pero no iguales. Estas son: cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 y 𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

8. Para que la suma de las fracciones sea más sencilla, debemos convertir las expresiones dentro del paréntesis en fracciones equivalentes. Si observamos bien, lo único diferente son los signos, así que multiplicaremos a una de ellas por (-1) y cambiaremos el orden de los términos, así: 𝑠𝑒𝑛𝜃−cos𝜃=−cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 En la expresión, quedará: Segundo paréntesis Queda igual que el primero 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

9. cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃−cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Nótese que el signo menos lo anteponemos al cos𝜃, pues si lo ponemos después, parecerá una resta. De este modo hemos obtenido dos paréntesis idénticos en el denominador, pero antes de realizar operaciones con las fracciones aplicamos la «Ley de los signos». cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃−cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

10. Para realizar la resta de fracciones, debes hallar el M.C.M de los denominadores. Este es: 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 Luego la resta queda: cos3𝜃−𝑠𝑒𝑛3𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 (Tú ya debes ser competente en la resta de fracciones algebraicas) 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

11. En el denominador ha quedado una expresión factorizable como una diferencia de cubos. Recuerda que: 𝑎3−𝑏3=𝑎−𝑏𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2 Y aplicándola en el numerador, queda: cos3𝜃−𝑠𝑒𝑛3𝜃=cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃 Así que la fracción es: 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

12. cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Simplificando los términos semejantes: cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃cos𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Resulta: cos2𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

13. Para cada expresión del numerador, distribuiremos el denominador, así: cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Simplificamos términos semejantes: cos2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

14. Y resultará… cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃+1+𝑠𝑒𝑛𝜃cos𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Aplicando nuevamente las relaciones de funciones trigonométricas: cot𝜃+1+tan𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃 Y en orden: 1+tan𝜃+cot𝜃=1+tan𝜃+cot𝜃  Si es Identidad 13/02/2011 Elaborado por: Ing. Marcela Tejada