mapas de karnaugh

1. Clase 06:
Mapas de Karnaugh
Ing. Christian Lezama Cuellar
1

3. MAURICE KARNAUGH
3
Ingeniero de telecomunicaciones estadounidense.
Graduado en la universidad de Yale en el 1952, es
actualmente gobernador emérito del ICCC (International
Council for Computer Communication). Ha trabajado como
investigador en los Laboratorios Bell desde 1952 a 1966 y
en el centro de investigación de IBM de 1966 a 1993. Así
mismo, ha impartido de informática en el Politécnico de
Nueva York de 1980 a 1999, y desde 1975 es miembro del
IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por
sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos
en las telecomunicaciones.Es el creador del método tabular
o mapa de Karnaugh.

4. Tabla o mapa de Karnaugh, Kmap
Procedimiento gráfico para la simplificación de
funciones algebraicas de un número de
variables relativamente pequeño
(en la práctica se puede utilizar para funciones de hasta seis variables).
4

5. Tabla o mapa de Karnaugh
5
Un diagrama o
mapa de
Karnaugh es una
tabla de verdad
dispuesta de
manera adecuada
para determinar
por inspección la
expresión mínima
de suma de
productos de una
función lógica.

6. Construcción con 2 variables
6
Mapa K
1
0
10B
A
A B Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
0 1
1 0

7. Construcción con 3 variables
7
A B C Z
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Mapa K
1
0
10110100BC
A
1 1 00
1 1 10

8. Construcción con 4 variables
8
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Mapa K
00 01 11 10
00
01
11
10
1 1 01
1 1 00
0 1 11
0 0 10
CD
AB

9. Reglas de simplificación
1. Las agrupaciones son exclusivamente de
unos. Esto implica que ningún grupo puede contener
ningún cero.
9
1
0
10B
A
0
1
INCORRECTO
1
0
10B
A
1 1
CORRECTO

10. Reglas de simplificación
2. Las agrupaciones únicamente pueden hacerse
en horizontal y vertical. Esto implica que las
diagonales están prohibidas.
10
INCORRECTO
1
0
10B
A
0 1
1 0
CORRECTO
1
0
10B
A
0 1
1 1

11. Reglas de simplificación
3. Los grupos han de contener 2n elementos. Es
decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8... número de unos.
11
CORRECTO
1
0
10B
A
1 1
0 0
CORRECTO
1
0
10B
A
1 1
1 1
Grupo
de 02
Grupo
de 04

12. Reglas de simplificación
4. Cada grupo ha de ser tan grande como sea
posible. Tal y como lo ilustramos en el ejemplo.
12
1
0
10110100BC
A
1 1 11
0 0 11
CORRECTO
1
0
10110100BC
A
1 1 11
0 0 11
INCORRECTO
No se a cumplido ninguna
regla pero el resultado no
esta optimizado

13. Reglas de simplificación
5. Todos los unos tienen que pertenecer como
mínimo a un grupo. Aunque pueden pertenecer a más
de uno.
13
1
0
10110100BC
A
0 0 11
0 1 00
CORRECTO
El 1 se encuentra en al
menos un grupo
Grupo 1
Grupo 2

14. Reglas de simplificación
6. Pueden existir solapamiento de grupos.
14
1
0
10110100BC
A
1 1 11
0 0 11
CORRECTO
1
0
10110100BC
A
1 1 11
0 0 11
INCORRECTO
Los grupos se solopan
Los grupos no se
solopan

15. Reglas de simplificación
7. La formación de grupos también se puede
producir con las celdas extremas de la tabla. De
tal forma que la parte inferior se podría agrupar con la
superior y la izquierda con la derecha tal y como se explica
en el ejemplo.
15
1
0
10110100BC
A
1 0 10
1 0 10
CORRECTO
Celda Superior
Celda derecha
Celda izquierda
Celda inferior

16. Reglas de simplificación
8. Tiene que resultar el menor número de grupos
posibles siempre y cuando no contradiga
ninguna de las reglas anteriores. Esto es el número
de grupos ha de ser minimal.
•
16
1
0
10110100BC
A
1 1 11
1 1 11
CORRECTO
1
0
10110100BC
A
1 1 11
1 1 11
INCORRECTO
No se a cumplido ninguna
regla pero el resultado no
esta optimizado

17. A
A
BB1
0
10A
B
1
0
10A
B
A
A
B B

18. BB
1
0
10110100
BA
C
1
0
10110100
BA
C
1
0
10110100
BA
C
A A A
C
C

19. A
11
10
01
00
10110100BA
DC
10
11
01
00
10110100BA
DC
10
11
01
00
10110100BA
DC
10
11
01
00
10110100BA
DC
A A
BB
A
A
A
A
A

20. ¿Cómo podemos
agrupar dos unos? 1
1
1
0
10AB
11
11
1
0
10110100BA
C
1
1
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
2 variables
3 variables 4 variables

21. ¿Cómo podemos
agrupar cuatro unos?
11
11
1
0
10AB
1111
1
0
10110100BA
C
11
11
1
0
10110100BA
C
11
11
1
0
10110100BA
C
11
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
11
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
1
1
1
1
10
11
01
00
10110100
BA
DC
11
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
2
v
a
r
i
a
b
l
e
s
3 variables
4 variables

22. ¿Cómo podemos
agrupar ocho unos? 1111
1
0
10110100BA
C
10
11
01
00
10110100
BA
DC
11
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
3 variables
4 variables
1111
1111
1111
1
1
1
1
Dado el mapa K de una determinada función los pasos a seguir son:
1. Enlazar la mayor cantidad de unos de la tabla con la menor cantidad posible de lazos.
2. Indicar en punteado los lazos que tienen todos sus unos compartidos con otros lazos, o sea los implicantes
primos no esenciales.
3. Probar que los implicantes primos cubren todos los “unos” del diagrama con la menor cantidad posible de
lazos
4. Realizar un diagrama para cada solución mínima .
5.Hallar las coordenadas de cada mintérmino y formar el producto correspondiente, desechando las variables
que no intervendrán en el mismo. Tener presente que en general un lazo de dos permitirá eliminar “n”
variables.

23. ¿Cómo simplificar los mintérminos?
1º Se simplifican los mintérminos que son adyacentes y se toman o agrupan de 2, 4, 8,
16...2n . Dos mintérminos son adyacentes cuando difieren en una letra.La suma de dos
mintérminos adyacentes es igual al producto de las variables que tienen en común.
1
1
1
10
11
01
00
10110100BA
DC
ABCD
+
=1
DCBA
DCBA
CBA(D+D)=CBA
De sumar 2 mintérminos queda CBA
2º Los mintérminos que no son adyacentes no se pueden simplificar (A, B, C, D)
3º Si tomo dos mintérminos se elimina una variable, si tomo cuatro se eliminan dos variables
11
11
1
0
10110100
BA
C
ABC + + +ABC ABC ABC =
= (A+A)BC + BC(A+A) = B(C+C) = B

24. 1111
11
11
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
1111
11
11
11
10
11
01
00
10110100
BA
DC
Una misma función puede tener dos o
más soluciones

25. Lazos redundantes
Algunas veces aunque se tenga
en cuenta todos los lazos
mayores posibles, un
subconjunto de ellos puede
cubrir todos los “unos” de esa
función, en estos casos existe un
lazo redundante que viola el
principio de que los “unos”
queden enlazados con el menor
número de lazos posibles.
11
11
11
11
CBAABDCBADBADCZ 
10
11
01
00
10110100
BA
DC
Esta suma de productos no es mínima,
dado que si bien se han tenido en cuenta
los mayores lazos posibles, en este caso
con un subconjunto. El lazo dibujado en
línea punteada que corresponde al
producto CD es redundante, pues agrega
un sumando innecesario
10
11
01
00
10110100
BA
DC
11
11
11
11
CBAABDCBADBAZ 

26. Cuando una variable de salida no se puede definir
con un cero o con un uno en la tabla de verdad se
coloca una “x” que significa redundancia o “no
preocuparse”
Esto sucede cuando no nos interesa la función de
salida o cuando se trata de estados prohibidos que
no forman parte de algún código.
La redundancia se puede usar como un comodín, se
puede tomar como uno o cero individualmente

27. Ejemplo: realizar un circuito que (a la salida) encienda una
lámpara cuando en su entrada viene el código del 3 y el
código es el BCD natural
X1111
X0111
X1011
X0011
X1101
X0101
01001
00001
01110
00110
01010
00010
11100
00100
01000
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
000000
N°ZABCD
Estados prohibidos
del BCD Natural
BCD
Natural
(0-15)
3

28. xx00
xxxx
0000
0100
10
11
01
00
10110100
BA
DC
A
B
C
Z
Z = ABC Z = ABCD

29. 2- Fijar los 1 de las expresiones
z= A’B’C + A’BC
z=A’B’C’D’ + A’B’C’D+A’B’CD+A’B’CD’
+AB’C’D’+AB’CD+AB’CD’

30. 3 – Simplificación (1)
Z= AB’+AB=A Z=A’B + AB = B
Z=A’B’+A’B = A’ Z=A’B’+AB’= B’

31. 3- Simplificación(2)
• Para tres Variables.
Z= A’B’C’ + AB’C’ + ABC + ABC’
Z= (A’+A)B’C ‘+ AB(C+C’)
Z=B’C’ + AB

32. 3- Simplificación(3)
Z=A’B’C’+A’BC’ = A’C’ Z= AB’C’ + ABC’ = AC’

33. 3 – Variables Casos

34. Cuando una variable aparece en forma
complementada (X’) y no complementada (X)
dentro de un agrupamiento, esa variable se
elimina de la expresión. Las variables que son
iguales en todos agrupamientos deben aparecer
al final de la expresión.
Conclusión

35. 4 Variables Caso 1

36. 4 Variables Bloques

37. 4 Variables Casos Varios
Alternativas ?

38. 4 Variables Casos Varios(2)

39. Condición No Importa
C' C
A'B' 0 0
A'B 0 X
AB 1 1
AB' X 1
C' C
A'B' 0 0
A'B 0 0
AB 1 1
AB' 1 1
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 X
1 0 0 X
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Z=A

40. Resumen
1.- Dibujar la cuadrícula correspondiente al número de
variables de la función
2.- Sombrear la zona correspondiente a la función (1)
3.- Recubrir dicha zona con bloques que sean lo mayores
posible
4.- Si se puede quitar algún bloque de forma que la zona
cubierta siga siendo la misma
5.- La expresión simplificada de f se corresponde a la suma
de los monomios correspondientes a los bloques que
queden

41. Ejemplos
Mapas de Karnaugh

42. Ejemplo 1
Diseñar un circuito lógico
combinatorio que detecte,
mediante UNOS, los números
pares para una combinación de 3
variables de entrada.
DEC A B C Z
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
Función canónica

43. Ejemplo 1 Solución
C'(A + B)
A 0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1
1 1 0 0 1
BC
BC'AC'
AB'C' + A'BC' + ABC'

44. Ejemplo 2- Circuito Velocímetro
• Se tienen 3 Códigos del ABC
• Las lámparas deben incrementarse de dos niveles en
dos.
• L1 ON  001
• L1 & L2 001 y 010 etc
• Los codigo 110 y 111 no responde.

45. Solución: Tabla de Verdad
ABC L1 L2 L3 L4 L5
000 0 0 0 0 0
001 1 0 0 0 0
010 1 1 0 0 0
011 1 1 1 0 0
100 1 1 1 1 0
101 1 1 1 1 1
110 X X X X X
111 X X X X X
45

46. Solución

47. Solución: Diseño de Circuito