Presentation Elipse

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para La
Educación U. E Colegio “Del
Santísimo”
ELIPSEELIPSEINTEGRANTES;
Emily Tovar
Freyver Andrade
Jorge Montaña
Maria Alvarez
Luis Garcia

2. ELIPSEELIPSELa elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el
lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es
constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A­B
de la elipse.

3. ELEMENTOS
DE UNADE UNA
ELIPSEELIPSEFocos: Son los
puntos fijos F
y F'.
Eje focal: Es la
recta que pasa
por los focos.
Eje secundario:
Es la mediatriz
del segmento
FF'.
Centro: Es el
punto de
intersección de
los ejes.
Radios vectores:
Son los segmentos
que van desde un
punto de la elipse a
los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es
el segmento de
longitud 2c, c es el
valor de la
semidistancia focal.

4. ELEMENTOS
DE UNADE UNA
ELIPSEELIPSE
Vértices: Son los
puntos de intersección
de la elipse con los
ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el
segmento segmento
de longitud 2a, a es el
valor del semieje
mayor.
Eje menor:Es el
segmento segmento
de longitud 2b, b es
el valor del semieje
menor.
Centro de simetría: Coincide con el
centro de la elipse, que es el punto
de intersección de los ejes de
simetría.
Ejes de simetría: Son
las rectas que
contienen al eje mayor
o al eje menor.

5. ECUACIÓNECUACIÓN
CANÓNICA DE UNACANÓNICA DE UNA
ELIPSEELIPSE
Para obtener la ecuación canónica
o ecuación reducida de la elipse
situemos un sistema de
coordenadas cartesianas con
origen O en el punto medio del
segmento FF¢ y eje de abscisas en
la dirección de la recta que une los
focos. En este sistema de referencia
las coordenadas de los focos son
F(c, 0) y F¢ (– c, 0). Si ahora P (x,
y) es un punto cualquiera de la
elipse aplicando la fórmula de la
distancia entre dos puntos:

6. ECUACIÓNECUACIÓN
CANÓNICA DE UNACANÓNICA DE UNA
ELIPSEELIPSE
DE (1) Y (2) RESULTA QUE LA RELACIÓN
es una condición necesaria y suficiente para que el punto P
(x, y) esté situado en la elipse. Eliminando los radicales
después de elevar al cuadrado y simplificar los términos
semejantes se llega a la ecuación.

7. ECUACIÓNECUACIÓN
CANÓNICA DE UNACANÓNICA DE UNA
ELIPSEELIPSE
donde hemos puesto b² = a² – c².
Las coordenadas de todo punto P (x, y) de la elipse satisface la
ecuación [4] obtenida de la ecuación [3]. Pero como toda transformación
algebraica ligada a la eliminación de radicales es susceptible de hacer
aparecer raíces extrañas, debemos asegurarnos que todo punto P cuyas
coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] está sobre la elipse. Para ello es
suficiente demostrar que los radios vectores segmentos PF y PF¢ de todo
punto P verifican la condición [1]. Supongamos entonces que las coordenadas
de un punto P (x, y) satisfacen la ecuación [4]. Despejando y² en [4] y
sustituyendo en la expresión [2] de PF, se obtiene, después de unos cuantos
cálculos elementales:

8. ECUACIÓNECUACIÓN
CANÓNICA DE UNACANÓNICA DE UNA
ELIPSEELIPSEy como el radicando es
positivo, se concluye que
De forma análoga se
establece que
Por lo tanto, para el punto
P considerado se tiene que

9. ECUACIÓNECUACIÓN
CANÓNICA DE UNACANÓNICA DE UNA
ELIPSEELIPSEEs decir
y el punto P considerado se encuentra sobre la
elipse. La ecuación [4] se denomina ecuación
canónica de la elipse.
Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de las variables x e y, la
curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al
origen. El punto O es el centro de la elipse.
Si trasladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea el
punto O¢(h, k) resulta que la ecuación de la elipse referida a estos ejes, es según
hemos demostrado antes

10. ECUACIÓNECUACIÓN
CANÓNICA DE UNACANÓNICA DE UNA
ELIPSEELIPSE
Como las ecuaciones de la translación son
la ecuación de la elipse es

11. ECUACIÓNECUACIÓN
GENERAL DE UNAGENERAL DE UNA
ELIPSEELIPSE
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y
los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas
de los focos son:
F'(­c,0) y F(c,0) Cualquier punto de la elipse
cumple:

12. Esta expresión
da lugar a:
Realizando las operaciones
llegamos a:
ECUACIÓNECUACIÓN
GENERAL DE UNAGENERAL DE UNA
ELIPSEELIPSE

13. RESOLUCIÒN DE UNRESOLUCIÒN DE UN
PROBLEMA DEPROBLEMA DE
ELIPSEELIPSELa distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de
sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de
dicha elipse.