Apuntes alterna

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 1
PMR/pmr Mayo de 2002
Análisis de Circuitos en Corriente Alterna
1. Introducción:
Continuando con el estudio de los principios básicos que rigen el comportamiento de
los circuitos eléctricos y electrónicos, el presente apunte centra la atención en los
circuitos excitados por señales sinusoidales alternas de corriente o de votaje. La teoría
de circuitos de corriente alterna es fundamental para la comprensión de los fenómenos
que se producen en cualquier equipo electrónico.
Se definirá inicialmente que es una señal de corriente alterna y se describirá
brevemente los parámetros más importantes que se utilizan para caracterizar
cuantitativamente una señal de este tipo, haciendo énfasis en la fase, a continuación,
se analizarán las relaciones básicas de corriente, voltaje y fase en resistencias,
condensadoresm bobinas y circuitos RL, RC, RLC serie y paralelo.
A lo largo del estudio se introducirá una serie de conceptos, técnicas y convenciones
que nos permitirán analizar los circuitos de corriente alterna por los mismos métodos
generales utilizados para el análisis de circuitos de corriente continua.
2. Conceptos Básicos de Corriente Alterna
Una corriente alterna (AC) se caracteriza, fundamentalmente, porque su polaridad o
sentido de circulación a través de un circuito no es único y porque no tiene un valor
constante a través del tiempo sino que este varía cíclica o periódicamente. En la figura
1. Se ilustra gráficamente, desde este punto de vista, la diferencia entre una corriente
continua y una corriente alterna.
A
t1
+
-
Tiempo(t)
A
mp
litu
d
0
a) DC
A1
t1
+
-
Tiempo(t)
A
mp
litu
d
0
b) AC A2
1 Ciclo
Figura 1: Corriente Alterna vs corriente continua
En ambos casos, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical la amplitud o
la intensidad de la corriente. El punto t1 marca el instante en el cual se cierra el

circuito y comienza a circular la corriente. Las porciones positivas de cada gráfica
indican los intervalos de tiempo durante los cuales la corriente circula en una dirección
y las porciones negativas los intervalos durante los cuales lo hace en dirección
opuesta.
En el caso CC o DC (figura 1-a), la corriente arranca de cero y crece instantáneamente
hasta alcanzar un valor constante (A). En el caso AC (figura 1-b), la corriente
comienza en cero, se incrementa progresivamente hasta alcanzar un valor máximo
positivos (A1) y luego regresar gradualmente a cero. A partir de este instante, la
dirección de circulación de la corriente se invierte y se repite el proceso.
Lo anterior implica que la corriente crece progresivamente desde cero hasta alcanzar
un máximo valor negativo (A2) y luego disminuye gradualmente hasta retornar otra
vez a cero, finalizando lo que se denomina un ciclo y dando origen al ciclo siguiente. El
número de veces que se repite el ciclo en un segundo se denomina la frecuencia de la
señal, se ampliara este y otros conceptos mas adelante.
La forma de onda mostrada en la figura 1-b corresponde a una señal sinusoidal y es la
que se utilizará a los largo del apunte para analizar el comportamiento de los circuitos
de corriente alterna. No obstante, los circuitos electrónicos en general pueden ser
excitados por formas de onda que no son necesariamente sinusoidales; la figura 2
muestra algunos ejemplos.
+
-
0
t
C u a d r a d a
+
-
0
D i e n t e d e S i e r r a
+
-
0
R i z a d o
+
-
0
P u l s o s
Figura 2: Otras forma de Ondas
Todas estas señales tienen un patrón regular: son periódicas, esto es sus formas de
onda se repiten exactamente en el tiempo a intervalos regulares. Como se ilustra en la
figura 3, cualquier señal periódica compleja siempre es el resultado de la superposición
o suma de varias señales sinusoidales relacionadas armónicamente, es decir cuyas
frecuencias son múltiplos enteros de la fundamental.

+
-
t
+
-
+
-
F u n d a m e n t a l
( f0
)
+
(f=2f
0
)
Segundo
Armónico
=
O n d a
Compleja
Resultante
t
t
Figura 3: Construcción de una forma de Onda Compleja
Analizando el comportamiento de un circuito para cada una de estas señales
sinusoidales puras (la fundamental y sus armónicos), y superponiendo los resultados
parciales, resulta relativamente sencillo determinara la respuesta final del mismo
cuando es excitado por la onda compleja original. Esta técnica se conoce como
“Análisis de Fourier” y esta basada en el teorema del mismo nombre.
Según el teorema de Fourier, una señal periódica cualquiera puede subdividirse
siempre en un cierto número, finito o infinito, de señales sinusoidales puras. Esta
circunstancia favorable evita que tener que desarrollar una nueva teoría de circuitos
electrónicos para cada tipo de onda posible y facilita el análisis de circuitos excitados
por señales complejas mediante la teoría general de circuitos de corriente alterna
existente.

3 Parámetros de una señal de corriente alterna.
Los principales parámetros que caracterizan una señal alterna, de corriente o voltaje,
pura (figura 4) son su amplitud máxima, su frecuencia y su fase, Otros parámetros
relacionados con la amplitud máxima son el valor instantáneo, el valor pico a pico, el
valor promedio y el valor eficaz.
t
0
I m a x
O r i g e n
i(t)
-Imax
t=T/4
t=3T/4
1 Ciclo
Figura 4: Señal de Corriente Alterna Pura
La amplitud máxima se denomina también “valor pico o peak” y se refiere al máximo
valor positivo o negativo, que alcanza la señal durante un ciclo. El valor pico de una
señal de voltaje se mide en volts (V) y el de una señal de corriente en Amperes (A).
Se debe observar que en una señal sinusoidal pura, los valores peak de los semiciclos
positivo y negativo son exactamente iguales y no ocurren al mismo tiempo. Sin
embargo, este no es el caso general y, en una señal real, los dos semiciclos pueden no
ser simétricos.
En adición al valor peak, otras formas de caracterizar la amplitud de una señal de
corriente alterna son los valores instantáneos, peak a peak, promedio y eficaz o rms.
En la figura 5 se comparan gráficamente estos conceptos, validos tanto para señales
de voltaje como de corriente.

pk-pk
pk
rms
prom
prom: promedio
rms:eficaz
pk-pk:pico a pico
Figura 5 Valores peak, peak a peak, promedio y eficaz
El Valor Instantáneo es el que tiene la señal en cualquier instante de tiempo y se
puede expresar en forma general mediante una ecuación del tipo:
( )θπ ±⋅= ftSenpeakValorinstáneoValor 2
En la expresión anterior, π es una constante adimensional ( 14.3≈ ). f es la
frecuencia de la señal en hertz (Hz), t es el tiempo en segundos (s) y θ es el ángulo
de fase en radianes (rad). Este último específica el desplazamiento de la forma de
onda a la izquierda o a la derecha del origen. Los conceptos de frecuencia y fase se
aclararán más adelante.
El valor peak a peak es numéricamente igual al doble del valor peak y corresponde al
medido entre los puntos de amplitud máxima de un ciclo de la señal. El Valor
promedio se define como el promedio aritmético de todos los valores que adopta la
señal durante un semiciclo y es aproximadamente igual al 63.7% del valor peak. Esto
es:
picoValorpeakpeakValor ⋅= 2
peakValorpromedioValor ⋅≈ 637.0
El valor eficaz o rms (root-mean-square: raíz cuadrática media) de una señal de
corriente alterna es el que produce en un elemento resistivo la misma disipación de
potencia que una corriente continua de igual valor. En la figura 6 se ilustra
prácticamente este concepto. Inicialmente, con el interruptor en la posición A, la
lámpara es excitada por la señal alterna de voltaje y disipa, por ejemplo, 750 mW.

Fuente
AC Lámpara Fuente DC
Variable
A B
Figura 6 Concepto de Valor eficaz
A continuación, con el interruptor en la posición B, la lámpara se excita con el voltaje
continuo y se varía este último hasta que produzca en la resistencia la misma
disipación de potencia que el voltaje alterno. Cuando esto suceda, el valor del voltaje
continuo corresponderá exactamente al valor eficaz del voltaje alterno.
Numéricamente, el valor eficaz de una señal de corriente o de voltaje está dado por:
peakValorrmsValor ⋅≈ 707.0
A menos que se especifique otra cosa, siempre que hablemos de la magnitud de un
voltaje o de una corriente AC nos estaremos refiriendo a su valor rms. Por ejemplo, los
tomacorrientes caseros de 220 V, 50 Hz, proporcionan una onda seno de voltaje que
se repite 50 veces por segundo y tiene un valor rms de 220 V, un valor peak de 311 V
y un valor peak a peak de 622 V.
Para evaluar matemáticamente el valor rms de señales no sinusoidales pero periódicas
deben utilizarse técnicas de cálculo integral. En la práctica, la forma más exacta de
determinar el valor rms es estos casos es medir el calor producido por la señal en una
resistencia conocida y compararlo con el valor de la corriente continua necesario para
producir el mismo efecto. Los valores rms son muy usados en audio, acústica,
potencia, etc.
La frecuencia (f) se refiere al número de ciclos que se repiten por segundo y se mide
en hertz (Hz). La duración de un ciclo se denomina período (T) y se mide en
segundos (s). Entre más alta la frecuencia de una señal, menor es su período y
viceversa. La frecuencia y el período se relacionan matemáticamente mediante las
siguientes fórmulas:
f
T
1
=
T
f
1
=
Las señales con frecuencia desde ≈20 Hz hasta ≈20 kHz se denominan señales de
audio frecuencia (AF) debido a que las vibraciones de partículas de aire que nuestros
oídos reconocen como sonidos ocurren a esas frecuencias. Las señales de audio se

utilizan para por ejemplo para excitar parlantes y así crear ondas de sonido, es decir
tonos o notas audibles.
Las señales con frecuencias por encima de 2 kHz se denominan señales de radio
frecuencia debido a que pueden propagarse a través del espacio en forma de
radiaciones electromagnéticas. Las señale de radio se utilizan para excitar antenas y
comunicar por vía electromagnética puntos distantes. La tabla de la figura 7 resume la
clasificación de las ondas de radio según su frecuencia.
Designación Rango
VLF Muy bajas frecuencias 10 kHz - 30kHz
LF Bajas frecuencias 20 kHz – 300kHz
MF Medias frecuencias 300 kHz – 3MHz
HF Altas frecuencias 3 MHz – 30MHz
VHF Muy altas frecuencias 30 MHz – 300MHz
UHF Ultra Altas Frecuencias 300 MHz – 3 GHz
SHF Super Altas Frecuencias 3 GHz – 30GHz
EHF Extremadamente Altas
Frecuencias
30 GHz – 300GHz
Figura 7: Espectro de frecuencia de radio
4 Concepto de fase. Fasores
El concepto de fase es importante cuando una señal se compara con otra de la misma
frecuencia. Dos señales están en fase cuando alcanzan valores correlativos (por
ejemplo sus amplitudes máximas) al mismo tiempo y están desfasadas cuando la una
los alcanza antes o después de la otra. En el primer caso, se dice que la primera señal
esta adelantada con respecto a la segunda y en el segundo que está atrasada.
La fase puede ser medida en unidades de tiempo (segundos). Sin embargo, existe un
método más conveniente. Consiste en dividir un ciclo en 360 partes o grados
hexagesimales, como se ilustra en la figura 8, y especificar el intervalo de tiempo o
diferencia de fase bajo consideración en éstas unidades. Un grado de fase es, por
tanto, 1/360 de ciclo.

1 ciclo
1/2 ciclo
0° 90° 180°
270°
360°
Figura 8: Angulos de fase de un ciclo
La razón de escoger el grado como unidad de medida de la fase se debe a que, en una
señal alterna, el valor de la corriente en cualquier instante es proporcional al seno del
número de grados transcurridos desde el instante en que comienza el ciclo. Sin
embargo no existe un ángulo real, en el sentido geométrico del término, asociado con
una corriente alterna.
La fase puede también expresarse en radianes (rad), gradientes (gra) o en cualquier
otra unidad de medida de ángulos. En el primer caso, que es el más común, un ciclo
completo (360 °) se divide en 2π ( 28.6≈ ) partes iguales o radianes. Por tanto, 1
rad= °≈
°
296.57
2
360
π
. En el segundo caso, un ciclo completo se divide en 400 partes
iguales o gradientes. Por lo tanto rad3
1071.15!9.0gra1 −
⋅≈°≈ .
La figura 9 ilustra gráficamente el concepto de fase, aplicado a dos señales de la
misma frecuencia que comienzan sus ciclos a tiempos ligeramente diferentes. En este
caso, la corriente A adelanta a la corriente B en 60° puesto que el ciclo de A comienza
60 ° antes que el de B. Es igualmente correcto decir que B está retrasada 60° con
respecto a A.

0° 90° 180°
270°
360°
1 ciclo=360°
Señal A
Señal B
Figura 9: Diferencia de fase entre dos señales
En la figura 10 se ilustran dos casos especiales importantes de diferencia de fase. En el
primer caso (figura 10-a), B está retrasada 90° con respecto a A, es decir su ciclo
comienza un cuarto de ciclo más tarde que el de A. Mientras una señal está pasando
por cero, la otra está en su punto de amplitud máxima, y viceversa. Se dice también
que A y B están en cuadratura de fase.
0° 90° 180°
270°
360°
Señal A
Señal B
(1/4 de Ciclo)
a) A y B en
cuadratura de
fase
0° 90° 180°
270°
360°
Señal A
Señal B
(1/4 de Ciclo)
b) A y B en
contrafase
Figura 10: Casos Especiales de diferencia de fase

En el caso mostrado en la figura 10-b, las señales A y B están 180° fuera de fase o en
contrafase. Bajo esta circunstancia, no tiene mucho sentido hablar de adelanto o de
retraso de una señal con respecto a la otra porque B siempre es positiva mientras A es
negativa, y viceversa. Las señales mostrada en la figura 10 pueden corresponder a dos
corrientes, dos voltajes o un voltaje y una corriente, en circuitos separados o en el
mismo circuito.
Si A y B representan dos Voltajes (o dos corrientes) en el mismo circuito, el voltaje (o
la corriente) total o resultante es también una onda seno puesto que la suma de
cualquier número de ondas seno de la misma frecuencia es siempre una onda seno de
la misma frecuencia. Cuando se comparan señales de distintas frecuencias, las
diferencias de fase se especifican con respecto a la de más baja frecuencia,
Para comparar las fases de voltajes y corrientes alternos de la misma frecuencia
resulta conveniente representarlos como fasores. Un fasor es un método gráfico y
analítico de caracterizar una señal sinusoidal especificando únicamente su magnitud y
fase. De este modo, una señal de corriente alterna con una amplitud máxima de Im y
ángulo de fase θ puede representarse concisamente como
θ∠= ImI
Gráficamente, este fasor puede representarse mediante una flecha dirigida como se
indica en la figura 11. La longitud de la flecha indica la magnitud del voltaje o la
corriente y el ángulo que forma con respecto a la horizontal indica su fase. Aunque la
magnitud de un fasor puede corresponder al valor peak, peak a peak o rms, en lo
sucesivo mientras no se especifique los contrario, asumiremos que se trata del valor
rms.
Señal de referencia
de fase
Im
-Im
q
i(t)=ImSen(2 ft+ )qp
Im
Eje de referencia
q
Figura 11: Concepto de Fasor
El ángulo de fase de una onda sólo puede especificarse con respecto a otra tomada
como referencia. En la figura 12, por ejemplo, se muestran dos ondas de voltaje (Va y
Vb) que están en cuadratura, es decir 90° fuera de fase, y sus representaciones
fasoriales correspondientes. En este caso, Vb adelanta a Va en 90°. Este último actúa
como fasor de referencia y se le asigna un ángulo de fase de 0°.

VB
q=90°
VA
90°
180°
270° 360°
VB
VA
t
Figura 12:Representación fasorial de señales en cuadratura
El ángulo de fase entre dos señales de la misma frecuencia corresponde naturalmente,
a una diferencia especificada de tiempo. El tiempo asociado con un ángulo de fase θ,
expresado en grados, se relaciona con el período (T) mediante la siguiente fórmula:
°
⋅=
360
θ
θ Tt
Ejemplo:
Dos señales sinusoidales de 1KHz representan entre sí una diferencia de fase de 60°.
Calcule el tiempo de desfase.
Solución: El período de las señales es simplemente:
][1)(101
)(101
11 3
3
mss
Hzf
T =⋅=
⋅
== −
Puesto que !60°=θ , entonces:
( ) mst 167.0360/601 =⋅=θ
Por tanto, una señal está retardada ][167 sµ con respecto a la otra. Este tiempo
corresponde a una diferencia de fase de 60°.

5. Relaciones de voltaje, corriente y fase en circuitos resistivos
de corriente alterna
Cuando se aplica un voltaje alterno a una resistencia pura (figura 13) circula a través
de esta última una corriente alterna de la misma frecuencia y la misma fase.
Asumiendo que el ángulo de fase del voltaje es 0°, la corriente y el voltaje a través de
una resistencia se pueden describir fasorialmente así:
00 ∠=∠= VVII
R
i(t)=im
S e n w t
V(t)=Vm
S e n w t
I = i
m
0°
VR
V = V
m
0°
V(t), i(t)
t0
V(t), i(t)
t0
V
R
I
R I V
Figura 13: Relaciones de fase en un circuito resistivo
Al estar en fase la corriente con el voltaje, los circuitos puramente resistivos se pueden
analizar con los mismo métodos empleados para el análisis de circuitos de corriente
continua. En el caso de la figura 13, la magnitud de la corriente producida a través de
una resistencia puede evaluarse, aplicando directamente la ley de Ohm, mediante la
fórmula:
R
V
I =

En esta expresión, I es la magnitud del voltaje y R el valor de la resistencia. Si el
voltaje se expresa en valor peak o rms, la magnitud de la corriente calculada
corresponde también al valor peak o rms. Los siguientes ejemplos aclaran el uso de la
Ley de Ohm en el análisis de circuitos resisitivos de corriente alterna sencillos.
Ejemplo1: Evalué la corriente total It y las caídas de voltaje V1 y V2 en el circuito
serie de la figura 14, ][101 Ω=R , ][202 Ω=R
R
2
I
T
v
T
V 2
120 V
6 0 H z
R
1
V
1
Figura 14: Circuito Resistivo Serie
Este problema se desarrollará en clases.
Ejemplo 2. Evalue la corriente total It y las corrientes I1 e I2 en el circuito resistivo
paralelo de la figura 15, ][101 Ω=R , ][202 Ω=R
R 2
I
T
120 V
6 0 H z
I
1
R 1
I
2
Figura 15: Circuito Resistivo Paralelo
Este problema se desarrollará en clases.
Como hemos visto hasta el momento, en una resistencia el voltaje y la corriente están
en fase. Esta circunstancia facilita el análisis directo de los circuitos resistivos de
corriente alterna con los mismos métodos y técnicas empleados en el caso de la
corriente continua (Ley de kirchhoff, circuito equivalente, etc).

5.1 Relaciones de Voltaje, corriente y fase en condensadores y bobinas.
Concepto de Reactancia.
Inductor:
Un inductor o bobina es un dispositivo electrónico que almacena corriente entre sus
terminales, en otras palabras se opone a los cambios de corrientes que puedan existir,
esto lo efectúa mediante el almacenamiento de energía magnética.
Símbolo del inductor:
Condensador:
El Condensador es un dispositivo que almacena voltaje entre sus terminales, en otras
palabras se opone a los cambios a los cambios de voltaje que puedan existir, esto lo
efectúa mediante el almacenamiento de energía eléctrica.
Símbolo del Condensador:
Cuando se aplica un voltaje alterno a una bobina o inductancia pura (figura 16) la
corriente se retrasa con respecto al voltaje 90°. Asumiendo que el ángulo de fase del
voltaje es 90°, la corriente y el voltaje a través de una inductancia se pueden describir
fasorialmente así:
°∠= 0ll II °∠= 90ll VV
La magnitud de la corriente producida a través de la inductancia se puede evaluar
como sigue:
fL
V
Il
π2
=

I
L
V
L
t0
V(t), i(t)
t
0
V
L
IL
IL
f
L
V L
90°
Figura 16: Circuito Inductivo
En esta expresión, 28.62 =π es una constante, f es la frecuencia en Hertz (Hz) y L la
inductancia en Henrios (H). El efecto combinado de la frecuencia y la inductancia se
denomina reactancia inductiva y mide la oposición que presenta la bobina al paso de la
corriente alterna. La reactancia inductiva se designa como LX , se mide en ohms ][Ω y
se calcula mediante la siguiente fórmula:
LfXL ⋅⋅= π2
Por tanto, la reactancia de una bobina es directamente porporcional a la frecuencia (f).
A medida que aumenta la frecuencia, aumenta la reactancia y disminuye la corriente, y
viceversa. El término fπ2 se denomina comúnmente frecuencia angular, se designa
como ω y se mide en radianes por segundo (rad/s). La magnitud de la corriente a
través de la bobina se puede expresar en términos de XL y ω así:
L
V
X
V
I L
L
L
L
⋅
==
ω

Ejemplo: Si en el circuito de la figura 16 ][65.2 HL = , VVL 120= y Hzf 50= ,
entonces:
3145028.6 =×=ω rad/s
][1.83265.2314 Ω=×=LX
)(][1441.832/120 rmsmAIL ==
Cuando se aplica un voltaje alterno a un condensador o capacitancia pura (figura 3.17)
la corriente se adelanta con respecto al voltaje 90°. Asumiendo que el ángulo de fase
del voltaje es 0°, la corriente y el voltaje a través de una capacitancia se pueden
describir fasorialmente así:
I
C
V
C
t0
V(t), i(t)
t0
V C
V C
IC
f
C
V C
90°
Figura 17: Circuito Capacitivo
°∠= 90CC II °∠= 0cc VV
La magnitud de la corriente producida a través de la capacitancia se puede evaluar
como sigue:
CfVI Cc ⋅⋅⋅= π2

En esta expresión, 28.62 ≈π , f es la frecuencia en Hertz (Hz) y C la inductancia en
faradios (F). El efecto combinado de la frecuencia y la capacitancia se denomina
reactacia capacitiva y mide la oposición que presenta el condensador al paso de la
corriente alterna. La reactancia capacitiva se designa como Xc, se mide en ohms [ Ω ]
y se calcula mediante la siguiente fórmula:
Cf
XC
⋅⋅
=
π2
1
Por tanto, la reactancia de un condensador es inversamente proporcional a la
frecuencia (f). A medida que aumenta la frecuencia, disminuye la reactancia y
aumenta la corriente, y viceversa. El término fπ2 sigue siendo la frecuencia angular
ω, medida en radianes por segundo (rad/s). La magnitud de la corriente a través del
condensador se puede expresar en términos de Xc y ω así:
CV
Xc
V
I ⋅⋅== ω
Ejemplo. Si en el circuito de la figura 17, FC µ30= , Vc=20[mV] y f=1 kHz, entonces:
628010128.6 3
=××=ω rad/s
][31.5)10306280/(1 6
Ω=××= −
CX
)(][77.331.5/20 rmsmAI ==
Como es posible derivar del análisis anterior, las bobina o inductancias presentan una
fuerte oposición a las altas frecuencias y los condensadores una fuerte oposición a las
bajas frecuencias. Combinando reactancias capacitivas e inductivas se pueden
controlar determinadas bandas de frecuencia. Esta característica se aprovecha
ventajosamente en filtros, ecualizadores y variados dispositivos electrónicos.
5.2 Circuitos RL, RC, RLC en configuración Serie
Cuando un circuito contiene tanto resistencias como reactancias (bobinas y/o
condensadores), su efecto combinado se denomina impedancia. Definida en términos
sencillos, la impedancia es la oposición que presenta un circuito al paso de la corriente
alterna y es una generalización de los conceptos de resistencia y reactancia. La
impedancia se simboliza con la letra Z y se mide en ohms ][Ω . La reactancia y la
resistencia que forman una impedancia pueden conectarse en serie o en paralelo,
como se ilustra en la figura 18. En ambos casos, la caja X simboliza la reactancia
inductiva o capacitiva. En el circuito serie (figura 18-a), la corriente a través de los dos
elementos (IT ) es la misma pero los voltajes sobre la resistencia (VR) y la reactancia
(VX) son diferentes.

IT
V T
f
X
RV
R
V
X
IT
V T
f
IR
IX
R X
Figura 18: Circuito Serie y paralelo.
En el caso de un circuito paralelo (figura 18-b), el voltaje aplicado a ambos elementos
(VT ) es el mismo pero las corrientes IR e IX que fluyen a través de las ramas resistivas
y reactiva, respectivamente, son diferentes. Hay que recordar que tanto el voltaje y la
corriente de entrada (VT e IT ) como las corrientes IR e IX y los voltajes VR y VX son
cantidades fasoriales, esto es, poseen una magnitud y una fase.
La magnitud de la impedancia del circuito serie (ZS) de la figura 18-a y el ángulo de
desfase (θ) entre la corriente IT y el voltaje VT se evalúan mediante las siguientes
fórmulas:
R
X
TanXRZS
122 −
=+= θ
Estas relaciones se pueden representar gráficamente mediante un triángulos de
impedancias, como se indica en la figura 19. La fórmula de ZS es similar a la utilizada
en geometría para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando se conocen
sus catetos. En este caso la hipotenusa corresponde a la impedancia ZS, la base a la
resistencia R y la altura a la reactancia X.
qq
9 0 °
R
X
22
XRZ S
+=
Figura 19: Triángulo de impedancia
Para el circuito paralelo de la figura 18-b, la magnitud de la impedancia (ZP ) está dado
por:
22
XR
R
Z X
P
+
=

Tanto en este caso como en el anterior, X es la magnitud de la reactancia (capacitiva o
inductiva). El valor rms de la corriente total IT se evalúan como sigue:
Z
V
I T
T =
siendo VT el valor rms del voltaje de entras y Z la impedancia (serie o paralelo, según
el caso) calculada por las fórmulas precedentes.
Si hay dos o más reactancias del mismo tipo en un circuito, la reactancia equivalente
se evalúa utilizando las mismas reglas de resistencias conectadas en serie o en
paralelo. Por ejemplo, la reactancia equivalente a la asociación de 2 reactancias X1 y X2
en serie es:
21 XXXT +=
del mismo modo, la reactancia equivalente a la asociación de dos reactancias del
mismo tipo, X1 y X2 en paralelo es, simplemente:
21
21
XX
XX
XT
+
=
La situación es diferente cuando se combinan, en serie o en paralelo reactancias de
tipo opuesto, es decir un condensador (reactancia capacitiva) y una bobina (reactancia
inductiva), como se muestra en la figura 20. En estos casos, debe tenerse en cuenta
que la corriente está adelantada 90° con respecto al voltaje en un condensador y
retrasada 90° con respecto al mismo en una bobina.
IT
V T
f
X
C
X L
V
L
V
C
IT
V T
f
X C
X L
IL
IC
Figura 20: Circuitos con reactancias opuestas
Como resultado de lo anterior, en el circuito serie de la figura 20-a, el voltaje VL a
través de la reactancia inductiva XL es de polaridad opuesta al voltaje VC a través de
la reactancia capacitiva XC. De este modo, si establecemos que XL es positiva y XC es
negativa (una convención muy común), entonces VT =VL-VC y la reactancia resultante
es:
CLT XXX −=

Observar que XT es negativa si XC es mayor que XL. Esto significa que la reactancia
equivalente, en este caso es capacitiva y el circuito se comporta como un condensador.
Así mismo, si XC es menor que XL, la reactancia resultante es positiva y el circuito se
comporta como una bobina. En el caso particular que XL y XC sean iguales, la
reactancia total es cero y el circuito se comporta como un cortocircuito.
Del mismo modo, en el circuito paralelo de la figura 20-b, la corriente IL a través de XL
es de polaridad opuesta a la corriente IC a través de XC. Estableciendo la misma
convención previa (XL positiva y XC negativa), la corriente a través del circuito es
IT =IL-IC y la reactancia equivalente es:
CL
CL
T
XX
XX
X
−
−=
Note ahora que XT es negativa (capacitiva) si XL es mayor que XC y positiva (inductiva)
si XL es menor que XC. En el caso particular que XL y XC sean iguales, la reactancia
total es infinitamente grande y el circuito se comporta como un circuito abierto. De
todas formas, XT siempre es menor que la mayor de las reactancias en un circuito
paralelo.
5.2.1 Notación Compleja
Los circuitos constituidos por reactancias y resistencias en cualquier combinación, serie
o paralelo, se denominan genericamente circuitos complejos. El término complejo
implica que, debido a los voltajes y las corrientes no están en fase, los valores de
reactancia y resistencia no pueden ser combinados artiméticamente, es decir sumados
como números reales.
La notación compleja para expresar la impedancia de un circuito serie tiene la forma:
jXRZ ±=
siendo )1(−=j y 12
−=j . La componente resistiva de una impedancia ( R ) se
denomina su parte real y la componente reactiva (X) su parte inmaginaria. Si la
reactancia es inductiva, el signo del operador imaginario j es positivo y si es capacitiva
el signo de j es negativo. Utilizando esta notación, la impedancia de los circuitos RL,
RC, RLC serie anteriores puede expresarse como sigue:
)( CLRLC
XCRC
LRL
XXjRZ
jRZ
jXRZ
−+=
−=
+=
El concepto de impedancia es muy importante por ejemplo en sistemas de sonido; los
preamplificadores para micrófonos de condensador, deben tener una impedancia de
entrada muy elevada debido a que estos componentes son de alta impedancia y se
comportan como circuitos RC. Del mismo modo, los amplificadores de potencia deben
tener una baja impedancia de salida debido a que los parlantes a impulsar son
dispositivos de baja impedancia y se comportan como circuitos RL.

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