Este documento presenta una guía de trabajo para un taller sobre los pitagóricos. Propone una serie de ejercicios y preguntas para explorar las propiedades de los números naturales mediante el uso de fichas. Los estudiantes deben formar arreglos lineales y rectangulares para descubrir números como los cuadrados y oblongos, y expresar sus características a través de sumas y productos. El objetivo es que los participantes descubran conceptos matemáticos de forma concreta antes de expresarlos de manera abstracta.

1. TALLER: LOS PITAGÓRICOS
GUIA DE TRABAJO 1
PRIMERA PARTE:
1. Representen los números haciendo filas consecutivas de fichas hasta llegar a
una fila de 25 o más fichas.
¿Cuál es la primera fila de fichas que les permite pensar en una línea?
□□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □ □ □ □ □ □ □ ...
Llamemos número lineal al número de fichas de una fila.
Por ejemplo, el cinco y el ocho son números lineales .
¿Cuál creen ustedes que debe ser el primer número lineal?.¿Por qué?.
Hagan una lista de números lineales. ¿Cuáles son los números lineales?.
Discútanlo.
2. Traten de convertir en arreglos rectangulares rellenos de varias filas y varias
columnas, las filas de fichas que formaron anteriormente.
□□ □□□□ □□□ □□□□
□□ □□□□ □ □ □ □
□□□□ □□□ □□□□
rellenos no rellenos
¿Cuál resultó ser el primer número rectangular?.
Llamemos número rectangular al número de fichas de un arreglo rectangular
relleno
Por ejemplo el doce es un número rectangular.
3. Entre los rectángulos que construyeron anteriormente hay algunos que son
especiales. ¿Cuáles?
¿Conoce algún nombre para estos números?

2. 4. ¿Cuáles arreglos lineales permitieron formar arreglos rectangulares?. Haga
una lista del número de fichas utilizado en cada arreglo.
¿Cuáles arreglos lineales no se dejaron volver rectangulares?. Haga una lista.
¿Tiene alguna conjetura acerca del tipo de números involucrados en cada
caso?.Compruébela con las fichas y si le funciona aumente la lista.
5. Observe nuevamente los arreglos. Tanto para los que permanecieron lineales
como para los que se dejaron volver rectangulares indique un producto o los
productos que sean iguales al número de fichas utilizado en cada arreglo.
Recuerde anotar el producto correspondiente a los rectangulares cuando
formaban un arreglo lineal.
Con base en sus observaciones, escriban para cada número el conjunto de sus
factores.
6. ¿Cómo caracterizan ahora a los números lineales que no se dejan volver
rectangulares?
¿Afianza esta caracterización el hecho de que el número uno quedara excluido
inicialmente?
¿Cómo caracterizan los otros números?.
7. ¿Qué temas creen ustedes que se podrían desarrollar con esta actividad y en
qué grado? ¡Discútanlo!
SEGUNDA PARTE
1. Representen los números con las fichas formando filas consecutivas hasta
llegar a 25. Empiecen por el número uno.
□ □□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □□□□□□□...
2. De cada representación traten de formar parejas de fichas sin que sobre ni
falte alguna ficha.
Hagan la lista del número de fichas de las filas que permitieron formar parejas
sin que sobrara ni faltara alguna ficha, y la lista del número de fichas donde
sobro o faltó alguna ficha.
3. ¿Es esta una clasificación de los números de contar?. ¿Qué nombre le darían
a cada clase?
4. Para cada uno de los arreglos que sí permitieron formar parejas completas
escriban un producto que de cuenta de ese hecho.
¿Cuál sería la expresión general de un número que pertenezca a esta clase?

3. Hagan lo mismo para cada número perteneciente a la otra clase.
5. Ubíquense fuera de la escuela Pitagórica y en el país de los números
naturales. ¿Cómo orientarían a un alumno de 5º grado para que complete la
lista de los números pares?.
¿Permite el material concreto hacer esto?
¿Qué procesos matemáticos generan este arte de completación teórica?
6. Dejen en su mesa los arreglos lineales y rectangulares de esta actividad con
ellos vamos a seguir jugando pensando y conjeturando.
GUIA DE TRABAJO 2
¡Construyamos otros tipos de números!
PRIMERA PARTE : Con los números impares.
1. Visualicen los arreglos correspondientes a los números impares. A partir
del primero y agregando, en su orden, las fichas de los otros impares
formen arreglos rectangulares consecutivos.
En el ejercicio de agregar fichas traten de establecer cierto orden que deje ver
por dónde va creciendo la figura.
□ □ □ □
□ □ □ □ □ □ □
□ □ □ □ □ □ □ □ □
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □
2. ¿Cuál es la forma de los arreglos que van obteniendo?
Observen cómo las fichas que se agregan aumentan el tamaño de la figura
pero esta sigue conservando su forma, su esencia. La parte de los arreglos
que se va agregando y que cumple con la condición anterior los pitagóricos la
llamaron “gnomon”. En este caso el gnomon tiene forma de escuadra.
3. ¿Cuál es para ustedes el primer número cuadrado? ¿Por qué?
4. Expresen mediante sumas el número de fichas de cada arreglo cuadrado
obtenido. Estas sumas deben dar cuenta de cómo se obtiene un número
cuadrado. Escriban de una vez la lista de los números cuadrados
empezando por el que consideren el primero de ellos.
Sumas 1+ 3 ...
Números cuadrados 1 4 ...

4. 5. ¿Cuál es el cuarto número cuadrado?. ¿Cuántos sumandos impares
intervienen en su formación?. ¿Cuál es el décimo número cuadrado?.
¿Cuántos sumandos impares lo forman?
6. ¿Cuál sería la suma de los veinte primeros números impares?. En la lista
de los números cuadrados, ¿cuál es el ordinal que le correspondería a esta
suma?.
7. Con base en los numerales 4 y 5, ¿cómo caracterizan un número
cuadrado?.
8. Para los niños ¿cuál sería el primer número cuadrado?.
La suma de números impares consecutivos a partir de uno es un número
cuadrado.
9. Discutan una expresión para el n-ésimo número cuadrado. Verifíquenla con
nuevos arreglos.
10. Ahora expresen mediante un producto el número de fichas de cada arreglo
cuadrado. ¿Qué particularidad tienen estos productos?. ¿Creen ustedes
que ahora si el número uno podrá ser admitido por los niños en la lista de
los números cuadrados?.
El pensamiento matemático se desprende de lo concreto para construir
mundos cada vez más abstractos y hasta llegar a olvidarse de lo concreto
que le dio origen.
11. ¿Tienen otra forma de caracterizar los números cuadrados?. ¿Cuál es la
expresión general para el n-ésimo número cuadrado?.
12. Comparen la expresión general que obtuvieron en el numeral 9 con la
anterior.
El producto de dos factores iguales es un número cuadrado.
13. La igualdad: 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n - 1 ) = n2 es objeto de demostración
en los primeros semestres universitarios, para tal efecto ¿creen ustedes
que tendría sentido que estos estudiantes jugaran con las fichas, como tal
vez lo hacía Pitágoras?.

5. SEGUNDA PARTE : Con los números pares.
1. Con los arreglos que representan números pares realicen una actividad
similar ala que hicieron para obtener los números cuadrados a partir de los
impares.
2. En la formación de los arreglos rectangulares consecutivos que van
obteniendo ¿qué regularidades observan?
3. Hagan una lista de los números de fichas que intervienen en la formación
de cada arreglo.
Llamamos a estos números, números oblongos.
4. Expresen el número de fichas de cada oblongo mediante una suma que de
cuenta de cómo se forman estos números.
5. Cuál, consideran ustedes, es el primer oblongo?
6. Expresen el número de fichas de cada arreglo rectangular mediante el
producto del número de fichas de sus lados. ¿Qué relación encuentran
entre los dos factores? .
7. ¿Creen ustedes que el número dos podría pertenecer a la lista de los
oblongos?. ¿Por qué? .
8. Escriban otros números oblongos.
9. ¿Cuál es el tercer número oblongo?. ¿Cuál es la suma de los tres primeros
números pares?.
Exprésenle tercer oblongo como un producto. ¿Cuál es el menor de los dos
factores?.
10. ¿Cuál es la suma de los diez primeros números pares, a partir del 2?.
11. Encuentren una expresión para el n-ésimo número oblongo como suma de
dos números pares. ¡Verifíquenla!.
12. Encuentren una expresión general para el n-ésimo número oblongo como
producto de dos factores.
13. Con base en las expresiones obtenidas en el 10 y 11 ¿qué pueden
concluir?. Expresen su conclusión mediante una igualdad matemática.
¡Verifíquenla!.

6. Acciones Características Características Comunicación Tipo de
fundamentales conceptuales procedimentales matemática problema
Qué conceptos Qué Que tipo de Qué
Qué acciones o matemáticos procedimientos o representaciones características
haceres demanda exige el reglas de acción utiliza la tiene el
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resolver el su resolución. resolución. poner en juego complejidad
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planteado . relaciones
(contrasta, que involucra
compara, infiere, y en cuanto a
traduce, etc.) lo rutinario de
la situación
propuesta.