Integrales sustituciones-trigonometricas

INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2008

quintere@hotmail.com
quintere@gmail.com
quintere2006@yahoo.com

RESUMEN
METODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA
Un buen numero de integrales que contienen polinomios de segundo grado, se pueden transformar a
integrales directas o inmediatas si se utilizan sustituciones de variables que contienen funciones
trigonometricas que transforman la expresión en una identidad trigonométrica

a2 + x2 → x = a tg z → x2 = a2 tg2 z a2 - x2 → x = a sen z → x2 = a2 sen2 z

Reemplazando Reemplazando
a2 + x2 = a2 + (a2 tg2 z ) a2 - x2 = a2 - (a2 sen2 z )
a2 + x2 = {a2 + a2 tg2 z} a2 - x2 = {a2 - a2 sen2 z}
a2 + x2 = { a2 (1 + tg2 z )} a2 - x2 = { a2 (1 - sen2 z )}
a2 + x2 = a2 (sec2 z ) a2 - x2 = a2 (cos2 z )

x2 - a2 → x = a sec z → x2 = a2 sec2 z

Reemplazando
x2 - a2 = (a2 sec2 z ) – a2
x2 - a2 = { a2 sec2 z - a2 }
x2 - a2 = { a2 (sec2 z -1 )}
x2 - a2 = a2 (tg2 z )

1

TABLA DE INTEGRALES
∫ du = u + c
∫ a du = a u + c donde a es una constante
u n +1
∫ u n du = + c ⇒ n ≠ -1
n +1
du
∫ = Ln u + c
u
au
∫ a u du = + c donde a. > 0 y a ≠ 1
Ln a
u u
∫ e du = e + c

∫ sen u du = - cos u + c

∫ cos u du = sen u + c

2
∫ sec u du = tg u + c

2
∫ csc u du = - ctg u + c

∫ sec u tg u du = sec u + c

∫ csc u ctg u du = - csc u + c

∫ tg u du = Ln sec u +c

∫ ctg u du = Ln sen u +c

∫ sec u du = Ln sec u + tg u +c
1
∫ csc u du = Ln csc u - ctg u + c = Ln tg u +c
2

2

Las siguientes integrales se pueden usar para resolver en forma directa, además se pueden
demostrar
dx 1 ⎛x⎞
∫ = arc tg ⎜ ⎟ + c
a 2 + x2 a ⎝a⎠
dy 1 a+x
∫ = Ln +c
a 2 - x2 2 a a-x

dx 1 x-a
∫ 2 2= Ln +c
x -a 2a x+a

dx ⎛x⎞
∫ = arc sen ⎜ ⎟ + c
a2 - x2 ⎝a⎠

dx
∫ = Ln x + x 2 - a 2 + c
x2 - a2
dx 1 ⎛x⎞
∫ = arc sec ⎜ ⎟ + c donde a > 0
a ⎝a⎠
x x2 - a2

x 2 a2
2 2
∫ a + x dx = a + x2 + Ln a2 + x2 + x + C1
2 2

2 2 x a2
∫ x − a dx = x2 - a2 + Ln x2 - a2 + x + C1
2 2

2 2 a2 x x 2
∫ a -x = arc sen + a − x2 + c
2 a 2
dx 1 x2 + a2 - a
∫ = Ln +c
a x
x x2 + a2

x 2 dx x 2
2 + a 2 - a Ln x 2 + a 2 + x
∫ = a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = x + c1
2 2
x2 + a2

dx a2 - x2
∫ = - +c
x2 a2 - x2 a2 x

a2 - x2 a2 - x2 x
∫ dx = - - arc sen +c
x 2 x a

3

x 2 dx x x
∫ = - arc sen +c
32 a
⎜a − x ⎞
⎛ 2 2
⎟ a2 - x2
⎝ ⎠

Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral

dx 1 ⎛x⎞
∫ = arc tg ⎜ ⎟ + c
a2 + x2 a ⎝a⎠

dx
∫
a 2 + x2

dx a sec 2 z dz a2 + x2 ⇒ x = a tg z
∫ =∫
a2 + x2 a 2 sec 2 z

a sec 2 z dz 1 x = a tg z
∫ =∫ dz
a 2 sec 2 z a x2 = a2 tg2 z

si x = a tg z ⇒ dx = a sec 2 z dz
1 1 1
∫ dz = ∫ dz = (z ) + c
a a a a + x2 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tg 2 z
x
Reemplazando a 2 + x 2 = a 2 ⎛1 + tg 2 z ⎞
⎜ ⎟
z ⎝ ⎠

∫
1
dx
= (z ) + c a 2 + x 2 = a 2 ⎛ sec 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a2 + x2 a a

x
si x = a tg z ⇒ tg z =
a
dx 1 ⎛x⎞
∫ = arc tg ⎜ ⎟ + c ⎛x⎞
a 2 + x2 a ⎝a⎠ z = arc tg ⎜ ⎟
⎝a⎠

4


dx
∫ =
a2 - x2
a2 - x2 ⇒ x = a sen z
dx a cos z dz
∫ = ∫
a2 -x2 a 2 cos 2 z
(x )2 = a 2 sen 2 z dz
Simplificando
dx dz 1 1 1 Si x = a sen z → dx = a cos z dz
∫ = ∫ = ∫ dz = ∫ sec z dz
a2 - x2 a cos z a cos z a
a 2 - (x )2 = a 2 - a 2 sen 2 z
a 2 - x 2 = a 2 (1 - sen 2 z )
Tabla de integrales
a 2 - x 2 = a 2 (cos 2 z )
∫ sec z dz = ln sec z + tg z + c
x
si x = a sen z ⇒ sen z =
a
Reemplazando

1 1 a2 - x2 a
∫ sec z dz = Ln sec z + tg z + c si cos z = ⇒ sec z =
a
a a a2 - x2
x
tg z =
1 1 a x
∫ sec z dz = Ln + +c a2 - x2
a a
a2 - x2 a2 - x2

1 1 a+x
∫ sec z dz = Ln +c
a a
a2 - x2

1 1 (a + x )2 +c=
1 (a + x )(a + x ) + c
∫ sec z dz = Ln Ln
a a (2) ⎛ 2 ⎞
2 2a a2 − x2
⎜ a − x2 ⎟ a x
⎝ ⎠
Cancelando términos semejantes
z
1
Ln
(a + x )(a + x ) + c = 1 Ln a + x + c a2 - x2
2a (a − x )(a + x ) 2a a-x

dx 1 a+x
∫ = Ln +c
a2 - x2 2a a-x

5


dx
∫ =
x2 - a2
dx a sec z tg z dz x2 -a2 ⇒ x = a sec z
∫ = ∫
x2 - a2 a 2 tg 2 z x 2 = a 2 sec 2 z

Si x = a sec z → dx = a sec z tg z dz
sec z dz 1 1 1
∫ = ∫ dz
a tg z a cos z tg z x 2 - a 2 = a 2 sec 2 z - a 2
x 2 - a 2 = a 2 (sec 2 z - 1)
1 1 1 1 cos z
∫ ctg z dz = ∫ dz x 2 - a 2 = a 2 (tg 2 z )
a cos z a cos z sen z

1 1 1 x
∫ dz = ∫ csc z dz si x = a sec z ⇒ sec z =
a sen z a a
⎛x⎞
Tabla de integrales z = arc sec ⎜ ⎟
⎝a⎠
∫ csc z dz = ln csc z - ctg z + c si sec z =
x
⇒ cos z =
a
a x
x2 -a2 a
1 1 si tg z = ⇒ cot z =
∫ csc z dz = Ln csc z - ctg z + c a
x2 -a2
a a
x2 -a2 x
Reemplazando si sen z = ⇒ csc z =
x
x2 -a2
1 1 x a
Ln csc z - ctg z + c = Ln - +c
a a
x2 -a2 x2 -a2

1
Ln
x -a
+c =
1
Ln
(x - a )2 +c
a 2a 2 x
x2 -a2 ⎛ 2 2
⎜ x -a
⎞
⎟
⎜
⎝
⎟
⎠ x2 - a2
z
1
Ln
(x - a )(x − a ) + c =
1
Ln
(x - a )(x − a ) + c
2a x2 -a2 2a (x - a )(x + a ) a

Cancelando términos semejantes

1 x-a
Ln +c
2a x+a

dx 1 x-a
∫ = Ln +c
x 2 - a 2 2a x+a

6


dx ⎛x⎞
∫ = arc sen ⎜ ⎟ + c
⎝a⎠ a 2 - x 2 ⇒ x = a sen z
a2 - x2

dx
=∫
a cos z dz x 2 = a 2 sen 2 z
∫
a cos z
a2 - x2
Si x = a sen z → dx = a cos z dz

a cos z dz
∫ = ∫ dz a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
a cos z

Tabla de integrales a2 - x2 = a 2 ⎛1 - sen 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

∫ dz = z + c
a2 - x2 = a 2 ⎛ cos 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

∫ dz = z + c
a 2 - x 2 = a cos z
Reemplazando
x
⎛x⎞ si x = a sen z ⇒ sen z =
z + c = arc sen ⎜ ⎟ + c a
⎝a⎠
⎛x⎞
z = arc sen ⎜ ⎟
⎝a⎠

x
dx ⎛x⎞ tg z =
∫ = arc sen ⎜ ⎟ + c
⎝a⎠ a2 - x2
a2 - x2

a
x
z

a2 - x2

7

dx
∫
x2 - a2 x 2 - a 2 ⇒ x = a sec z

dx a sec z tg z dz x = a sec z
∫ =∫
x2 - a2
(a tg z )
x 2 = a 2 sec 2 z
∫ sec z dz =
si x = a sec z ⇒ dx = a sec z tg z dz

Tabla de integrales x2 - a2 = a 2 sec 2 z - a 2
x2 - a2 = a 2 (sec 2 z - 1)

Reemplazando
x2 - a2 = a 2 (tg 2 z )
∫ sec z dz = Ln sec z + tg z + c
x 2 - a 2 = a tg z
x x2 - a2
∫ sec z dz = Ln + +c x a
a a sec z = cos z =
a x

x + x2 - a2
∫ sec z dz = Ln +c
a

2 2
∫ sec z dz = Ln x + x - a - Ln a + c
x
Cancelando términos semejantes x2 - a2

Pero c1 = - Ln a + c z
2 2 a
∫ sec z dz = Ln x + x - a + c1

dx 2 2
∫ 2 2 = Ln x + x − a + c
x -a

8


dx 1 ⎛x⎞
∫ = arc sec ⎜ ⎟ + c donde a > 0
a ⎝a⎠
x x2 - a2

dx
∫
x x2 -a2 x 2 − a 2 ⇒ x = a sec z

dx a sec z tg z dz 1
∫ =∫ = ∫ dz x 2 = a 2 sec 2 z
x x2 - a2
(a sec z ) a tg z a
Si x = a sec z → dx = a sec z tg z dz
1
∫ dz =
a x2 -a2 = a 2 sec 2 z - a 2

Tabla de integrales x2 - a2 = a 2 ⎛ sec 2 z - 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ dz = z + c
x2 - a2 = a 2 ⎛ tg 2
⎜ z⎞
⎟
⎝ ⎠
1 1
∫ dz = (z ) + c
a a x 2 - a 2 = a tg z

Reemplazando x
si x = a sec z ⇒ sec z =
a
1
(z ) + c = 1 arc sec ⎛ x ⎞ + c
⎜ ⎟
a a ⎝a⎠ ⎛x⎞
z = arc sec ⎜ ⎟
⎝a⎠
dx 1 ⎛x⎞
∫ = arc sec ⎜ ⎟ + c
a ⎝a⎠
x x2 - a2

x
x2 - a2
z
a

9


2 2
∫ a + x dx
a2 + x2 ⇒ x = a tg z
2 2 dx = a sec z ⎛ a sec 2 z dz ⎞ = a 2 sec 3 z dz
∫ a +x ∫ ⎜ ⎟ ∫
⎝ ⎠ x = a tg z
x 2 = a 2 tg 2 z
a 2 ∫ sec 3 z dz =

Se resuelve la integral a 2 ∫ sec 3 z dz por partes
∫ u dv = u * v - ∫ v du
a2 + x2 = a 2 + a 2 tg 2 z
a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 ∫ sec 2 z * sec z dz
a2 + x2 = a 2 (1 + tg 2 z )

a 2 + x 2 = a 2 ⎛ sec 2 z ⎞
Se resuelve por partes
⎜ ⎟
u = sec z dv = sec2 z ⎝ ⎠
2
du = sec z tg z dz ∫ dv = ∫ sec z dz a 2 + x 2 = a sec z
v = tg z

∫ u dv = u * v - ∫ v du

a 2 ∫ sec 2 z * sec z dz = a 2 [sec z * tg z - ∫ (tg z ) * sec z * tgz dz ]

a 2 ⎡sec z * tgz - ∫ tg 2 z * sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦

Reemplazando la Identidad trigonométrica
tg2 z = sec2 z - 1

a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ ⎛ sec 2 - 1⎞ * sec z dz ⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦

a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ sec 3 z dz + ∫ sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦

a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ sec 3 z dz + ∫ sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦

a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 sec z * tg z - a 2 ∫ sec 3 z dz + a 2 ∫ sec z dz

Ordenando como una ecuación cualquiera y simplificando los términos semejantes

a 2 ∫ sec 3 z dz + a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 sec z * tg z + a 2 ∫ sec z dz

2a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 sec z * tg z + a 2 ∫ sec z dz

Dividiendo la ecuación por 2

10

a2 a2
a 2 ∫ sec 3 z dz = sec z * tg z + ∫ sec z dz
2 2

Tabla de integrales

x
si x = a tg z ⇒ tg z =
a
a2 a2 a
a 2 ∫ sec 3 z dz = sec z * tg z + Ln sec z + tg z + c cos z =
2 2
a2 + x2
2 2
2 + x 2 dx = a sec z * tg z + a Ln sec z + tg z + c
∫ a
2 2
a 2 + x 2 = a sec z
⎛ ⎞
2 2 a 2 ⎜ a2 + x2 ⎟ ⎛ x ⎞ a2 a2 + x2 x
∫ a + x dx = ⎜ ⎟ * ⎜ a ⎟ + 2 Ln + +c
2 ⎜
⎝
a ⎟ ⎝ ⎠
⎠
a a a2 + x2
sec z =
a

⎛ ⎞
2 2 a2 ⎜ x a2 + x2 ⎟ a2 a2 + x2 + x
∫ a + x dx = ⎟ + 2 Ln +c
2 ⎜
⎜ a2 ⎟ a
⎝ ⎠

2 + x 2 dx = 1 ⎛ x a 2 + x 2 ⎞ a2 a2 + x2 + x
∫ a ⎜ ⎟ + Ln +c
2⎜⎝
⎟
⎠ 2 a

Propiedad de los logaritmos

2 2 1⎛ ⎞ a2 a2
∫ a + x dx = ⎜ x a2 + x2 ⎟ + Ln a2 + x2 + x - Ln a + c
2⎜
⎝
⎟
⎠ 2 2
a2 + x2
x
a2 z
C1 = - Ln a + c
2
a

2
2 + x 2 dx = x a 2 + x 2 + a Ln a2 + x2 + x + C1
∫ a
2 2

11


2 2 dx
∫ x -a
x2 - a2 ⇒ x = a sec z
∫ x - a dx = ∫ a tg z (a sec z tg z dz ) = ∫ a sec z tg z dz
2 2 2 2
x = a sec z

a 2 ∫ tg 2 z sec z dz = x 2 = a 2 sec 2 z

Identidades trigonometricas si x = a sec z ⇒ dx = a sec z tg z dz

tg 2 z = sec 2 z - 1 x2 - a2 = a 2 sec 2 z - a 2

a 2 ∫ tg 2 z sec z dz = a 2 ∫ ⎛ sec 2 z − 1⎞ sec z dz x2 - a2 = a 2 (sec 2 z - 1)
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a 2 ∫ ⎛ sec 2 z − 1⎞ sec z dz = a 2 ∫ sec 2 z sec z dz - a 2 ∫ sec z dz
⎜ ⎟ x 2 - a 2 = a 2 ⎛ tg 2 z ⎞
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠

a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = x 2 - a 2 = a tg z

Se resuelve la integral a 2 ∫ sec 3 z dz por partes
∫ u dv = u * v - ∫ v du

u = sec z dv = sec2 z
2
du = sec z tg z dz ∫ dv = ∫ sec z dz
v = tg z

∫ u dv = u * v - ∫ v du

a 2 ∫ sec 2 z * sec z dz = a 2 [sec z * tg z - ∫ (tg z ) * sec z * tgz dz ]

a 2 ⎡sec z * tgz - ∫ tg 2 z * sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
tg2 z = sec2 z - 1

a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ ⎛ sec 2 - 1⎞ * sec z dz ⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦

a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ sec 3 z dz + ∫ sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦

⎢
⎣ ⎥
⎦
12


Ordenando como una ecuación cualquiera y simplificando los términos semejantes




a2 a2
a 2 ∫ sec 3 z dz = sec z * tg z + ∫ sec z dz
2 2

Tabla de integrales

x = a sec z

x
Regresando a la integral inicial después de resolver a 2 ∫ sec 3 z dz si x = a sec z ⇒ sec z =
a
por partes.
a2 a2 a
a 2 ∫ sec 3 z dz - ⎛ a 2 ∫ sec z dz ⎞ =
⎜ ⎟ sec z * tg z + ⎛ 2 ⎞
∫ sec z dz - ⎜ a ∫ sec z dz ⎟ cos z =
⎝ ⎠ 2 2 ⎝ ⎠ x
a2 a2 2
sec z * tg z + ∫ sec z dz - a ∫ sec z dz
2 2 x 2 - a 2 = a tg z
Se reducen términos semejantes
x2 − a2
a2 a2 tg z =
a
sec z * tg z - ∫ sec z dz
2 2

aplicando la tabla de integrales
a2 a2
sec z * tg z - Ln sec z + tg z + c
2 2

Reemplazando
2 2 a2 a2 x x2 − a2
∫ x - a dz = sec z * tg z - Ln sec z + tg z + c
2 2
z
⎛ ⎞
a2 ⎛ x ⎞ ⎜ x2 -a2 ⎟ a2 x x2 -a2
∫ x 2 - a 2 dz = ⎜ ⎟ *⎜ ⎟ - 2 Ln a + +c a
2 ⎝a⎠ ⎜ a ⎟ a
⎝ ⎠

⎛ ⎞
2 2 a2 ⎜ x x2 - a2 ⎟ a2 x + x2 - a2
∫ x - a dz = - Ln +c
2 ⎜
⎜ a2
⎟
⎟ 2 a
⎝ ⎠

2 2 x a2 x + x2 -a2
∫ x - a dz = x2 -a2 - Ln +c
2 2 a

13

Propiedad de los logaritmos

2 2
2 - a 2 dz = x x 2 - a 2 - a Ln x + x 2 - a 2 + a Ln a + c
∫ x
2 2 2

Pero:
a2
C1 = Ln a + c
2

2 2 x a2
∫ x − a dx = x2 - a2 + Ln x2 - a2 + x + C1
2 2

14

2 2
∫ a - x dx

2 - x 2 dx = a cos z * (a cos z dz ) = a 2 cos 2 z dz
∫ a ∫ ∫

a 2 - x 2 ⇒ x = a sen z

1
cos 2 z = (1 + cos2z ) x 2 = a 2 sen 2 z
2
Si x = asen z → dx = a cos z dz
1 2
a 2 ∫ cos 2 z dz = a 2 ∫ (1 + cos 2 z ) dz = a ∫ (1 + cos 2 z ) dz a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
2 2

a2 a2 a2 - x2 = a 2 ⎛1 - sen 2
⎜ z⎞
⎟
∫ dz + ∫ cos 2z dz ⎝ ⎠
2 2

a2 a2 ⎛ 1 ⎞ a2 - x2 = a 2 ⎛ cos 2
⎜ z⎞
⎟
z + ⎜ sen 2z ⎟ + c ⎝ ⎠
2 2 ⎝2 ⎠

a2 ⎛ a2 ⎞ a 2 - x 2 = a cos z
z + ⎜ sen 2z ⎟ + c
2 ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ x
a
⎛x⎞
z = arc sen ⎜ ⎟
sen 2 z = 2 sen z cos z ⎝a⎠ a2 - x2
cos z =
a
x
tg z =
a2 ⎛ a2 ⎞ a2 a2 a2 - x2
z + ⎜ sen 2z ⎟ + c = z + (2 sen z cos z ) + c
2 ⎜ 4 ⎟ 2 4
⎝ ⎠

Reemplazando
⎛ ⎞
a2 ⎡ ⎛ x ⎞⎤ a2 ⎜ x a2 - x2 ⎟ a
arc sec⎜ ⎟⎥ + *
2 ⎢ 2 ⎜a ⎟ x
⎣ ⎝ a ⎠⎦ ⎜ a ⎟
⎝ ⎠
z
⎛ ⎞
a2 x a2 ⎜ x* a2 - x2 ⎟ a2 x 1⎛ ⎞
arc sec + ⎟ +c = arc sec + ⎜x a2 - x2 ⎟ +c
2 a 2 ⎜
⎜ a2 ⎟ 2 a 2⎜
⎝
⎟
⎠ a2 − x2
⎝ ⎠

2 2 a2 x x
∫ a -x = arc sen + a2 − x2 − + c
2 a 2

15

dx
∫
x x2 + a2
dx a sec 2 z dz x2 + a2 ⇒ x = a tg z
∫ =∫
a tg z (a sec z )
x x2 + a2
x = a tg z
x2 = a2 tg2 z
1 sec z dz
∫
a tg z
1
dz
1 cos z
∫
1
= ∫
1
dz x 2 + a 2 = a 2 tg 2 z + a 2
a sen z a sen z
cos z
x 2 + a 2 = a 2 ⎛ tg 2 z + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
∫ csc z dz
a
x 2 + a 2 = a 2 ⎛ sec 2 z ⎞
⎜ ⎟
Tabla de integrales ⎝ ⎠

∫ csc z dz = ln csc z - ctg z + c x 2 + a 2 = a sec z

x
1 1 si x = a tg z ⇒ tg z =
∫ csc z dz = Ln csc z - ctg z + c a
a a
x2 + a2 a
csc z = ctg z =
Reemplazando x x
1 1 x2 + a2 a
Ln csc z - ctg z + c = Ln - +c
a a x x

x2 + a 2
x

dx 1 x2 + a2 - a z
∫ = Ln +c
x x 2 + a2 a x a

16


x 2 dx
∫
x2 + a2
x2 + a2 ⇒ x = a tg z
a 2 tg 2 z ⎛ a sec 2 z dz ⎞
⎜ ⎟ x = a tg z
x 2 dx ⎝ ⎠
∫ =∫
2 + a2 a sec z
x x2 = a2 tg2 z

a 2 ∫ tg 2 z sec z dz si x = a tg z ⇒ dx = a sec 2 z dz

Identidad trigonometrica
x 2 + a 2 = a 2 tg 2 z + a 2
tg2 z = sec2 z - 1
x 2 + a 2 = a 2 ⎛ tg 2 z + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

a 2 ∫ tg 2 z sec z dz = a 2 ∫ ⎛ sec 2 z - 1⎞ (sec z dz )
⎜ ⎟ x 2 + a 2 = a 2 ⎛ sec 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz x 2 + a 2 = a sec z

x 2 dx x = a tg z ⇒ tg z =
x
∫ = a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz si
x2 + a2
a

Esta solución se resuelve primero la integral a 2 ∫ sec 3 z dz por partes y después la otra
integral
∫ u dv = u * v - ∫ v du


2
v = tg z

∫ u dv = u * v - ∫ v du
2
a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 ∫ sec z * sec z dz = a 2 [sec z * tg z - ∫ (tg z ) * sec z * tgz dz ]

a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 ⎡sec z * tgz - ∫ tg 2 z * sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
Reemplazando la Identidad trigonométrica tg2 z = sec2 z - 1

a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ ⎛ sec 2 z - 1⎞ * sec z dz ⎤ = a 2 ⎡sec z * tg z - ∫ sec 3 z dz + ∫ sec z dz ⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎢
⎣ ⎥
⎦

17

⎢
⎣ ⎥
⎦
ordenando como una ecuación cualquiera y reduciendo términos semejantes



Dividiendo la ecuación por 2 se obtiene la primera parte de la solución

a2 a2
a 2 ∫ sec 3 z dz = sec z * tg z + ∫ sec z dz si x = a tg z ⇒ tg z =
x
2 2 a
a x2 + a2
cos z = sec z =
x2 + a2
a
La integral inicial es : a
ctg z =
x 2 dx x
∫ = a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz
x2 + a2
Se reemplaza en la integral inicial y se sigue resolviendo la integral

a2 a2
a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = sec z * tg z + 2
∫ sec z dz - a ∫ sec z dz
2 2
Reduciendo términos semejantes
x2 + a2
a2 1 x
a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = sec z * tg z - a 2 ∫ sec z dz + c
2 2 z
Tabla de integrales
a

2 a2
2 sec 3 z dz - a 2 sec z dz = a sec z * tg z
a ∫ - Ln sec z + tg z + c
∫
2 2
Reemplazando
a2 a2
a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = sec z * tg z - Ln sec z + tg z + c
2 2
⎛ ⎞
a2 ⎜ x2 + a2 ⎟ x a2 x2 + a2 x
a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = ⎟ * a - 2 Ln + +c
2 ⎜
⎜ a ⎟ a a
⎝ ⎠

18

⎛ ⎞
a2 ⎜ x x2 + a2 ⎟ a2 x2 + a2 + x
a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = - Ln +c
2 ⎜
⎜ a2
⎟
⎟ 2 a
⎝ ⎠

x a2 x2 + a2 + x
a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = x2 + a2 - Ln +c
2 2 a

x 2 dx x a2 a2
∫ = a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = x2 + a2 - Ln x 2 + a 2 + x + Ln a + c
2 2 2
x2 + a2

1 2
Pero: C1 = a Ln a + c
2

x 2 dx x a2
∫ = a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = x2 + a2 - Ln x 2 + a 2 + x + c1
2 2
x2 + a2

19


dx
∫
x2 a2 - x2
a 2 - x 2 ⇒ x = a sen z
dx a cos z dz
∫ =∫ x = a sen z
x2 a2 - x2 a 2 sen 2 z (a cos z )
x 2 = a 2 sen 2 z

1 1 si x = a sen z ⇒ dx = a cos z dz
∫ dz
a 2 sen 2 z
a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
1 2
∫ csc z dz
a2
a2 - x2 = a 2 ⎛1 - sen 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tabla de integrales

2 a2 - x2 = a 2 ⎛ cos 2 z ⎞
⎜ ⎟
∫ csc z dz = - ctg z + c ⎝ ⎠

a 2 - x 2 = a cos z

1 1 x
2 si x = a sen z ⇒ sen z =
∫ csc z dz = - ctg z + c a
a 2 a 2
x a2 − x2
tg z = ctg z =
Reemplazando x
a2 - x2
1 1 a2 - x2
- (ctg z) + c = - ( ) +c
a2 a2 x

dx a2 - x2
∫ = - +c
x2 a2 - x2 a2 x
a
x
z

a2 - x2

20


a2 - x2
∫ dx
x2
a 2 - x 2 ⇒ x = a sen z

a 2 - x 2 dx (a cos z) (a cos z dz ) x = a sen z
∫ =∫
x 2 a 2 sen 2 z x 2 = a 2 sen 2 z

a 2 cos 2 z si x = a sen z ⇒ dx = a cos z dz
∫ dz
a 2 sen 2 z
a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
2
∫ ctg z dz
a2 - x2 = a 2 ⎛1 - sen 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Identidad trigonometrica

ctg2 z = csc2 z - 1
a2 - x2 = a 2 ⎛ cos 2
⎜ z⎞
⎟
⎝ ⎠

a 2 - x 2 = a cos z
2 ⎛ 2 ⎞
∫ ctg z dz = ∫ ⎜ csc z - 1⎟ dz
⎝ ⎠
x
⎛ 2 ⎞ 2 a
∫ ⎜ csc z - 1⎟ dz = ∫ csc z dz - ∫ dz
⎝ ⎠
⎛x⎞
z = arc sen ⎜ ⎟
Tabla de integrales ⎝a⎠
2
∫ csc z dz = - ctg z + c x a2 − x2
tg z = ctg z =
x
a2 - x2

Reemplazando
2 z dz - dz = - ctg z -z +c
∫ csc ∫

a2 - x2 a2 - x2 ⎛x⎞
∫ dx = - - arc sen ⎜ ⎟ + c
x2 x ⎝a⎠

a
x
z

a2 - x2

21


x 2 dx
∫
32 32
⎛a 2 − x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎛a 2 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⇒ x = a sen z
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ a 2 sen 2 z ⎞ (a cos z dz )
⎜ ⎟
x 2 dx ⎝ ⎠ sen 2 z dz
∫ =∫ =∫ x 2 = a 2 sen 2 z
a 3 cos 3 z cos 2 z
32
⎛a 2 − x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ si x = a sen z ⇒ dx = a cos z dz
2
∫ tg z dz
32 32
⎛a 2 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ = ⎛ a 2 - a 2 sen 2 z ⎞
⎜ ⎟
Identidad trigonometrica ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
32 32
⎛a 2 - x 2 ⎞ ⎡ ⎤
tg2 z = sec2 z - 1 ⎜ ⎟ = ⎢a 2 ⎛1 - sen 2 z ⎞⎥
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦

32 ⎡ ⎛ ⎤
32
2 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎛a 2 - x 2 ⎞ = ⎢a 2 ⎜ cos 2 z ⎞⎥
∫ tg z dz = ∫ ⎜ sec z - 1 ⎟ dz = ∫ sec z dz - ∫ dz ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦
Tabla de integrales 32
⎛a 2 - x 2 ⎞
⎜ ⎟ = a 3 cos 3 z
⎝ ⎠
2
∫ sec z dz = tg z + c x
Tabla de integrales si x = a sen z ⇒ sen z =
∫ dz = z + c a
x
z = arc sen
2 a
∫ sec z dz - ∫ dz = tg z - z + c
x
Reemplazando tg z =
x x a2 - x2
tg z - z + c = - arc sen + c
a
a2 - x2

x 2 dx x x
∫ = - arc sen +c
32 a
⎛a2 − x2 ⎞
⎜ ⎟ a2 - x2
⎝ ⎠
a
x
z

a2 - x2

22

INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS
Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 1

dx a 2 - x 2 ⇒ x = a sen z
∫
x2 4 - x2
4 - x2 = 22 - x 2
dx 2 cos z dz
∫ =∫ 22 - x 2 ⇒ x = 2 sen z
x2 4 - x2 4 sen 2 z (2 cos z )
x = 2 sen z
1 dz
∫ x 2 = 4 sen 2 z
4 sen 2 z
si x = 2 sen z ⇒ dx = 2 cos z dz
1 1 1 2
∫ dz = ∫ csc z dz
4 sen 2 z 4
4- x2 = 4 - 4 sen 2 z

Tabla de integrales
4- x2 = 4 ⎛1 - sen 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
∫ csc z dz = - ctg z + c
4 - x2 = 4 ⎛ cos 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

1 2 1 4 - x 2 = 2 cos z
∫ csc z dz = - ctg z + c
4 4
x
si x = 2 sen z ⇒ sen z =
Reemplazando 2

1 1 4 - x2 x 4 − x2
- (ctg z) + c = - ( ) +c tg z = ctg z =
x
4 4 x 4 - x2

dx 4 - x2
∫ = - +c
4x
x2 4 - x2 2 x

z

4 - x2

23

Problema # 2

4 - x 2 dx a 2 - x 2 ⇒ x = a sen z
∫
x2
4 - x2 = 22 - x 2

4 - x 2 dx 2 cos z (2 cos z dz ) 22 - x 2 ⇒ x = 2 sen z
∫ =∫
x2 4 sen 2 z
x = 2 sen z
x 2 = 4 sen 2 z
cos 2 z
∫ dz
sen 2 z si x = 2 sen z ⇒ dx = 2 cos z dz

4- x2 = 4 - 4 sen 2 z
2
∫ ctg z dz

Identidad trigonométrica 4 - x2 = 4 ⎛1 - sen 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ctg2 z = csc2 z - 1

2 ⎛ 2 ⎞ 4- x2 = 4 ⎛ cos 2
⎜ z⎞
⎟
∫ ctg z dz = ∫ ⎜ csc z - 1⎟ dz ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞ 2 4 - x 2 = 2 cos z
∫ ⎜ csc z - 1⎟ dz = ∫ csc z dz - ∫ 1dz
⎝ ⎠
x
si x = 2 sen z ⇒ sen z =
Tabla de integrales 2
x ⎛x⎞
∫ dz = z + c 2 sen z = ⇒ z = arc sen ⎜ ⎟
∫ csc z dz = - ctg z + c 2 ⎝2⎠

x 4 − x2
tg z = ctg z =
2 x
∫ csc z dz - ∫ 1dz = - ctg z - z + c 4 - x2

Reemplazando
⎛ ⎞
⎜ 4 - x2 ⎟ ⎛x⎞
- ctg z - z + c = - ⎜ ⎟ - arc sen⎜ 2 ⎟ + c
⎜ x ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠

⎡ ⎤
4 - x 2 dx 4 - x2 ⎥ - arc sen ⎡ x ⎤ + c 2 x
∫ = - ⎢ ⎢2⎥
⎢ ⎥
x2 ⎢
⎣
x
⎥
⎦
⎣ ⎦
z

4 - x2

24

Problema # 3
dx x2 + a2 ⇒ x = a tg z
∫
x x2 + 4
x 2 + 4 = x 2 + 2 2 ⇒ x = 2 tg z
dx 2 sec 2 z dz
∫ =∫ x = 2 tg z
2 tg z (2 sec z )
x x2 + 4 x2 = 4 tg2 z

1 sec z dz
∫ si x = 2 tg z ⇒ dx = 2 sec 2 z dz
2 tg z

1 x 2 + 4 = 4 tg 2 z + 4
dz
1 cos z
∫
sen z x 2 + 4 = 4 ⎛ tg 2 z + 1⎞
⎜ ⎟
2 ⎝ ⎠
cos z
x 2 + 4 = 4 ⎛ sec 2 z ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
∫ dz
2 sen z
x 2 + 4 = 2 sec z
1
∫ csc z dz x
2 si x = 2 tg z ⇒ tg z =
2
x2 + 4 2
Tabla de integrales csc z = ctg z =
x x

∫ csc z dz = ln csc z - ctg z + c

1 1
∫ csc z dz = Ln csc z - ctg z + c 4 + x2
2 2 x
Reemplazando z
1 1 x2 + 4 2
Ln csc z - ctg z + c = Ln - +c 2
2 2 x x

dx 1 x2 + 4 - 2
∫ = Ln +c
2 x
x x2 + 4

25

Problema # 4
x 2 dx x2 + a2 ⇒ x = a tg z
∫
x2 + 6

x 2 dx
6 tg 2 z ⎛ 6 sec 2 z dz ⎞
⎜
⎝
⎟
⎠
x2 + 6 = x2 + ( 6 )2 ⇒ x = 6 tg z
∫ =∫
x2 + 6
6 sec z x = 6 tg z

6 ∫ tg 2 z sec z dz x2 = 6 tg2 z

Identidad trigonometrica si x = 6 tg z ⇒ dx = 6 sec 2 z dz

tg2 z = sec2 z - 1
x 2 + 6 = 6 tg 2 z + 6

6 ∫ tg 2 z sec z dz = 6 ∫ ⎛ sec 2 z - 1⎞ (sec z dz )
⎜ ⎟ x 2 + 6 = 6 ⎛ tg 2 z + 1⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x 2 + 6 = 6 ⎛ sec 2 z ⎞
⎜ ⎟
6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz ⎝ ⎠

Tabla de integrales
x2 + 6 = 6 sec z
x
si x = 6 tg z ⇒ tg z =
6

x 2 dx
∫ = 6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz
x2 + 6

Se resuelve primero la integral 6 ∫ sec 3 z dz por partes
∫ u dv = u * v - ∫ v du
6 ∫ sec 3 z dz = 6 ∫ sec 2 z * sec z dz

2
v = tg z

6 ∫ sec 2 z * sec z dz = 6[sec z * tg z - ∫ (tg z ) * sec z * tgz dz ]

6[sec z * tg z - ∫ (tg z ) * sec z * tgz dz ] = 6 ⎡sec z * tgz - ∫ tg 2 z * sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦

Reemplazando la Identidad trigonométrica tg2 z = sec2 z - 1

6 ⎡sec z * tgz - ∫ tg 2 z sec z dz ⎤ = 6 ⎡sec z * tg z - ∫ ⎛ sec 2 - 1⎞ * sec z dz ⎤
⎜ ⎟
⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎢
⎣ ⎝ ⎠ ⎥
⎦

26

6 ⎡sec z * tg z - ∫ ⎛ sec 2 - 1⎞ * sec z dz ⎤ = 6 ⎡sec z * tg z - ∫ sec 3 z dz + ∫ sec z dz ⎤
⎜ ⎟
⎢
⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢
⎦ ⎣ ⎥
⎦
6 ∫ sec 3 z dz = 6 ⎡sec z * tg z - ∫ sec 3 z dz + ∫ sec z dz ⎤
⎢
⎣ ⎥
⎦
6 ∫ sec 3 z dz = 6 sec z * tg z - 6 ∫ sec 3 z dz + 6 ∫ sec z dz

ordenando como una ecuación cualquiera y reduciendo términos semejantes

6 ∫ sec 3 z dz + 6 ∫ sec 3 z dz = 6 sec z * tg z + 6 ∫ sec z dz
12 ∫ sec 3 z dz = 6 sec z * tg z + 6 ∫ sec z dz

6 ∫ sec 3 z dz = 3sec z * tg z + 3∫ sec z dz
Tabla de integrales


6 ∫ sec 3 z dz = 3sec z * tg z + 3 Ln sec z + tg z + c

La integral inicial es :

x 2 dx
∫ = 6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz
x2 + 6

6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz = 3 sec z * tg z + 3 Ln sec z + tg z - 6 ∫ sec z dz

6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz = 3 sec z * tg z + 3 Ln sec z + tg z - 6 Ln sec z + tg z + c

6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz = 3 sec z * tg z - 3 Ln sec z + tg z + c

x
6

x2 + 6 cos z =
6
sec z =
x2 + 6
x x2 + 6 6

z ctg z =
6
x
6

Reemplazando

6 ∫ sec 3 z dz - 6 ∫ sec z dz = 3 sec z * tg z - 3 Ln sec z + tg z + c
27

⎛ 2 ⎞
3 z dz - 6 sec z dz = 3 ⎜ x + 6 ⎟ x x2 + 6 x
6 ∫ sec ∫ ⎜ ⎟ * - 3 Ln + +c
⎜ 6 ⎟ 6 6 6
⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞
3 z dz - 6 sec z dz = 3 ⎜ x x + 6 ⎟ x2 + 6 + x
6 ∫ sec ∫ ⎜ ⎟ - 3 Ln +c
⎜ 6 ⎟ 6
⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞
3 z dz - 6 sec z dz = ⎜ x x + 6 ⎟ x2 + 6 + x
6 ∫ sec ∫ ⎜ ⎟ - 3 Ln +c
⎜ 2 ⎟ 6
⎝ ⎠

⎛ ⎞
x 2 dx 2
3 z dz - 6 sec z dz = ⎜ x x + 6 ⎟ x2 + 6 + x
∫ = 6 ∫ sec ∫ ⎜ ⎟ - 3 Ln +c
⎜ 2 ⎟ 6
x2 + 6 ⎝ ⎠

⎛ ⎞
x 2 dx ⎜ x x2 + 6 ⎟ x2 + 6 + x
∫ = ⎜ ⎟ - 3 Ln +c
⎜ 2 ⎟ 6
x2 + 6 ⎝ ⎠

28

Problema # 5
x 2 - a 2 ⇒ x = a sec z
x
∫ dx x 2 - 25 = x 2 - 5 2 ⇒ x = 5 sec z
x 2 − 25
x 5 sec z (5 sec z tg z dz) x = 5 sec z
∫ dx = ∫
5 tg z
x 2 − 25 X2 = 25 sec2 z

5∫ sec 2 z dz = si x = 5 sec z ⇒ dx = 5 sec z tg z dz
x 2 - 25 = 25 sec 2 z - 25
Tabla de integrales
x 2 - 25 = 25 (sec 2 z - 1)
2
∫ sec z dz = tg z + c x 2 - 25 = 25 (tg 2 z )

5∫ sec 2 z dz = 5 tg z + c x 2 - 25 = 5 tg z

Reemplazando x
si x = 5 sec z ⇒ sec z =
⎛ x − 25 ⎞ 5
5 (tg z ) + c = 5 ⎜
⎜
⎟+c
⎟
⎝ 5 ⎠ x 5
5 (tg z ) + c = ( )
x − 25 + c
si sec z =
5
⇒ cos z =
x
x 2 - 25
x sen z =
∫ dx = ( x 2 - 25 ) + c x
x 2 − 25 2 - 25
x
tg z =
5

x
x 2 - 25
z

5

29

Problema # 6 32
dx ⎛a 2 + x 2 ⎞
⎜ ⎟ ⇒ x = a tg z
∫ ⎝ ⎠
3
3 3
⎛2 + x2 ⎞ 2
⎜
⎝
⎟
⎠ ⎜
⎝
⎟
⎠ ⎢ ( )
⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = ⎡ 2 2 + x 2 ⎤ 2 ⇒ x = 2 tg z
⎥
⎣ ⎦
dx 2 sec 2 z dz
∫ =∫
3 2 2 sec 3 z
⎛2 + x2 ⎞ 2
⎜ ⎟
x = 2 tg z
⎝ ⎠
x 2 = 2 tg 2 z
1 1
∫ dz
2 sec si x = 2 tg z ⇒ dx = 2 sec 2 z dz
3 3
1
2
∫ cos z dz ⎜
⎝
⎟
⎠ ⎢
⎣
( )
⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = ⎡ 2 2 + 2 tg 2 z ⎤ 2
⎥
⎦
1 3 3
sen z + c
2 ⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = ⎡2 + 2 tg 2 z ⎤ 2
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎥
⎦
Reemplazando 3 3
⎛ ⎞ ⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = ⎡2⎛1 + tg 2 z ⎞ ⎤ 2
⎜ ⎟
1 1⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎜
⎣ ⎝
⎟⎥
⎠⎦
(sen z) + c = ⎜ ⎟+c
2 2⎜ 2 ⎟ 3
⎝ 2+x ⎠ 3
⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = ⎡2⎛ sec 2 z ⎞ ⎤ 2
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢ ⎜
⎣ ⎝
⎟⎥
⎠⎦
dx x
∫ = +c 3
3
2 2 + x2 ⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = [2 ]3 2 * ⎡sec 2 z ⎤
32
⎛2 + x2 ⎞ 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎥
⎦
⎝ ⎠
3
⎛ 2 + x 2 ⎞ 2 = 2 2 * sec 3 z
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
2
x
sen z =
2 + x2
2 + x2
x x
sen z =
z 2 + x2
2

30

Problema # 7 32
⎛x2 - a2 ⎞
⎜ ⎟ ⇒ x = a sec z
dx ⎝ ⎠
∫ 32
32 32 ⎛ 4x 2 9 ⎞
⎛ 4x 2 − 9 ⎞ ⎡ 4 x 2 - 9⎤
⎜ ⎟ = ⎜ - ⎟
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎜ 4 4⎟
3 ⎝ ⎠
sec z tg z dz 32
dx ⎡ 2⎤
∫ =∫ 2 ⎡4x 2 - 9⎤
32 ⎛3⎞ 3
32
27 tg 3 z = ⎢x 2 - ⎜ ⎟ ⎥ ⇒ x = sec z
⎛ 4x 2 − 9 ⎞ ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎢ ⎝2⎠ ⎥ 2
⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
1
3
1 sec z dz 1 cos z x= sec z
∫ = ∫ dz 2
18 tg 2 z 18 sen 2 z
9
x 2 = sec 2 z
cos 2 z 4
1 cos z
∫ 3 3
18 sen 2 z si x = sec z ⇒ dx = sec z tg z dz
2 2
32 32
1 cos z 1 ⎛ 4x 2 - 9 ⎞ ⎡ ⎛ 9 ⎞ ⎤
∫ * dz ⎜ ⎟ = ⎢4⎜ sec 2 z ⎟ - 9⎥
18 sen z sen z ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎦
32 ⎡ 32
1 ⎛ 4x 2 - 9 ⎞
⎜ ⎟ = ⎢⎛ 9 sec 2 z ⎞ - 9⎤
⎜ ⎟ ⎥
∫ ctg z csc z dz ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦
18 32
32 ⎡
⎛ 4x 2 - 9 ⎞
⎜ ⎟ = ⎢(9 ) ⎛ sec 2 z - 1⎞ ⎤
⎜ ⎟⎥
Solución por cambio de variable ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦
u = csc z
du = - csc z ctg z dz 32 32
⎛ 4x 2 - 9 ⎞
⎜ ⎟ = ⎡(9 ) ⎛ tg 2 z ⎞ ⎤
⎢ ⎜ ⎟⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦
1 1
- ∫ du = - u+c 32 32
18 18 ⎛ 4x 2 - 9 ⎞
⎜ ⎟ = ⎡3 2 ⎤ 3 2 ⎡ tg 2 z⎤
⎝ ⎠ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢
⎣ ⎥
⎦
Reemplazando 32
⎛ 4x 2 - 9 ⎞
⎜ ⎟ = 33 tg 3 z
1 1 ⎝ ⎠
- u + c = - csc z + c
18 18 32
⎛ 4x 2 - 9 ⎞
⎜ ⎟ = 27 tg 3 z
⎝ ⎠
Reemplazando
4x 2 - 9
1 ⎛ 2x ⎞
2x 3
1 ⎜ ⎟+c sec z = cos z = sen z =
- csc z + c = - ⎜ ⎟ 3 2x 2x
18 18 ⎜ 2 ⎟
⎝ 4x - 9 ⎠ 2x
csc z =
1 ⎛ 2x ⎞
⎜ ⎟+c= - 1⎢
⎡ x ⎤
⎥+c 4x 2 − 9
- ⎜
18 ⎜ 2 -9 ⎟
⎟ 9⎢ 2 -9 ⎥
⎝ 4x ⎠ ⎣ 4x ⎦

dx x
∫ = - +c 2x
32
9 4x 2 - 9
4x2 - 9
⎛ 4x 2 − 9 ⎟
⎜ ⎞
⎝ ⎠
z

3

31

Problema # 8

∫
dw w 2 - a 2 ⇒ w = a sec z
w2 w2 -7
w2 -7 = w2 - 7
dw 7 sec z tg z dz
∫ =∫ w2 - 7
w2 w2 -7 (
7 sec 2 z 7 tg z) ⇒ w = 7 sec z

w = 7 sec z
1 1
∫ dz w 2 = 7 sec 2 z
7 sec z
si w = 7 sec z ⇒ dw = 7 sec z tg z dz
1
∫ cos z dz
7
1 w2 -7 = 7 sec 2 z - 7
sen z + c
7
w2 -7 = 7 ⎛ sec 2 z - 1⎞
⎜ ⎟
Reemplazando ⎝ ⎠

1 1 w2 - 7
(sen z) + c = ( ) + c w2 -7 = 7 ⎛ tg 2 z ⎞
⎜ ⎟
7 7 w ⎝ ⎠
w2 - 7 = 7 tg z
dw w2 -7
∫ = +c
7w
w2 w2 -7
w
si w = 7 sec z ⇒ sec z =
7

7 w2 -7
cos z = sen z =
w w
w
w2 - 7
z

7

32

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