Cuadro comparativo entre los sistemas numéricos ( naturales, enteros, racionales y complejos)

1. Definición Origen Operaciones y Propiedades
Naturales
Sistema
Númerico
Proceso de Enseñanza y Aprendizaje en la
Educación Secundaria
Planteamiento y solución de un problema de
Aplicación
Por definición convencional se dirá que
cualquier miembro del siguiente conjunto,
= {0, 1, 2, 3, 4, …} es un número natural,ℕ
que en este caso empieza del cero y
prosigue hasta el infinito. De dos números
vecinos cualesquiera, el que se encuentra a
la derecha se llama siguiente o sucesivo.los
números naturales constituyen un conjunto
cerrado para las operaciones
de suma y multiplicación ya que, al operar
con cualquiera de sus elementos, el
resultado siempre será un número natural,
ejemplo: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre lo
mismo, con la resta (5-12= -7) o con
la división (4/3=1,33).
Quien colocó al conjunto de los números
naturales sobre lo que comenzaba a ser una
base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo
XIX. Este los derivó de una serie de postulados
(lo que implicaba que la existencia del conjunto
de números naturales se daba por cierta), que
después precisó Peano dentro de una lógica de
segundo orden, resultando así los famosos
cinco postulados que llevan su
nombre. Frege fue superior a ambos,
demostrando la existencia del sistema de
números naturales partiendo de principios más
fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege
perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo
que buscar un nuevo método.
Fue Zermelo quien demostró la existencia
del conjunto de números naturales, dentro de su
teoría de conjuntos y principalmente mediante
el uso del axioma de infinitud que, con una
modificación de este hecha por Adolf Fraenkel,
permite construir el conjunto de números
naturales como ordinales según Von Neumann.
Adición: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
1.-Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
2.-Conmutativa a + b = b + a
3.-
Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma, cualquiera que
sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a
Multiplicación : Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple
1.-Asociativa (a · b) · c = a · (b · c)
2.-
Conmutativa a · b = b · a
3.-Elemento neutro: El 1 es el
elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el
númeronatural a, se cumple que: a · 1 = a 4.-
Distributiva del producto respecto de la suma
a · (b + c) = a · b + a · c
Potenciación: Leyes
El bloque de contenidos de los números
naturales se imparte en 7mo grado. Comenzando
con su definición y las operaciones básicas que
si están bien definidas en los naturales, como lo
es la adición y multiplicación. Luego se
establecen las propiedades de estas operaciones
básicas, y se resuelven ejercicios y problemas de
la vida cotidiana
Una profesora tenía 600 hojas de papel, después
consiguió 330 hojas más; las repartió entre sus 45
alumnos. ¿Cuántas hojas les tocó a cada uno y
cuántas hojas sobraron?
Solución: Para saber el total de hojas
disponibles para repartir, se debe sumar las 600 hojas
disponibles mas las 330 adquiridas luego, esto sería
600+330 = 930 hojas. Para repartir sería dividir 930÷
45= 20 de esta manera, a cada estudiante le
corresponde 20 hojas. Ahora, para saber que
cantidad sobra, se multiplica las 20 hojas por la
cantidad de estudiantes 20x 45 = 900 y si habían en
total 930 hojas se restan 930-900= 30 hojas que serían
las que han sobrado

2. Definición Origen Operaciones y Propiedades
Enteros
Sistema
Númerico
Proceso de Enseñanza y Aprendizaje en la
Educación Secundaria
Planteamiento y solución de un problema de
Aplicación
Son el conjunto de todos los números
enteros con signo (positivos y negativos)
junto con el 0. Se les representa por la
letra Z. Z =
{…, -2, -1, 0, 1, 2,...}
El nombre de enteros se justifica porque estos
números positivos y negativos, siempre
representaban una cantidad de unidades no
divisibles (por ejemplo, personas). Los
números enteros negativos son el resultado
natural de las operaciones suma y resta. Su
empleo, aunque con diversas notaciones, se
remonta a la antigüedad.No fue sino hasta el
siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos
científicos europeos, aunque matemáticos
italianos del renacimiento como Tartaglia y
Cardano los hubiesen ya advertido en sus
trabajos acerca de solución de ecuaciones de
tercer grado. Sin embargo, la regla de los
signos ya era conocida previamente por los
matemáticos de la India
Adición
1.-Asociativa: a, b, c Z∈
(a + b) + c = a + (b + c) 2.-
Conmutativa:a, b Z a + b = b + a∈
3.- Elemento neutro: a Z el cero es el elemento∈
neutro de la suma, a + 0 = a
4.- Elemento opuesto: todo
número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0
Multiplicación
1. -Asociativa: b,∀
d,c Z (a · b) · c = a · (b · c) 2.-∈
Conmutativa: b, d Z a · b = b · a∀ ∈
3.- Elemento neutro: a Z a ·1 = a∀ ∈
4.-Distributiva: b,∀
d,c Z a · (b + c) = a · b + a · c∈
El bloque de contenido de los números enteros
comienza a darse en 7mo grado. Comenzando
con él porque surgen estos números enteros,
luego se plantea la definición y las operaciones
básicas que si están bien definidas en los
mismos como la adición, sustracción y
multiplicación. Luego las propiedades de estas
operaciones básicas, y resolución de ejercicios y
problemas que conlleven a los mismo.
Un grifo de agua al abrirse, llena un tanque a razón
de 4 litros por minuto, si en el momento que son las
6:00 pm hay 135 litros de agua en el tanque y el
grifo estará abierto hasta las 6:05 pm. ¿Cuantos
litros de agua habra a esa hora?
Solución:
Como cada minuto
entran 4 litros de agua, en 5 minutos habran entrado
4x5 = 20 litros de agua al tanque;
por otro
lado, a las 6:00 pm habian 135 litros entonces a las
6:05pm habran 135+20= 155 litros de agua en el
tanque

3. Definición Origen Operaciones y Propiedades
Racionales
Sistema
Númerico
Proceso de Enseñanza y Aprendizaje en la
Educación Secundaria
Planteamiento y solución de un problema de
Aplicación
Producto de los problemas en la operatoria
matemática que presentaban los números de
forma entera se inventaron los números
racionales. Los números Racionales son
todos de la forma a/b, o sea fraccionarios,
donde “a” corresponde a un número entero
llamado Numerador y “b” corresponde a
otro número entero llamado Denominador.
Se les representa por la letra Q
Q=
{a/b: a Z, b Z*}∈ ∈
En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado
Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la
serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra
horizontal para separar numerador y
denominador en las fracciones.
A principios del siglo XV, el
árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de
los números decimales tal y como los
conocemos hoy. A finales del siglo XVI,
Simon Stevin desarrolló y divulgó las
fracciones decimales que se expresaban por
medio de números decimales: décimas,
centésimas, milésimas, etc., pero los escribía
de una forma complicada; así para 456, 765
escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3). A principios del
siglo XVII, los números decimales ya
aparecieron tal y como los escribimos hoy,
separando con un punto o una coma la parte
entera de la parte decimal. Los números
decimales se impusieron, en casi todos los
países, al adoptarse el Sistema Métrico
Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en
1792.
El contenido de los números racionales
comienza a darse en 7mo grado, y comienzos de
8vo grado. Comenzando con su definición y el
surgimiento de los mismos. Luego las
operaciones básicas de los números racionales y
sus propiedades, y resolución de ejercicios y
problemas basados en los mismos.
Un coche tiene que recorrer 300 km en 3 horas, la
primera hora recorre 3/9 de la distancia, la
segunda 5/10 y la última 2/12. ¿Cuántos kilometros
recorrió cada hora? Solución:
Primera hora:
3/9 x 300 =
900/9= 100 km
Segunda hora:
5/10x
300 =1500/10 150 km
Tercera hora:
2/12x 300 = 600/12= 50 km

4. Definición Origen Operaciones y Propiedades
Complejos
Sistema
Númerico
Proceso de Enseñanza y Aprendizaje en la
Educación Secundaria
Planteamiento y solución de un problema de
Aplicación
Es cualquier expresión de la forma x + y . I
ó x + yi donde x, y son números reales,
e i= √-1. En este sentido decimos que el
complejo x + yi está escrito en forma
binómica. Aquí x es la parte real del
número, y es la parte imaginaria del número
e i significa imaginario Entonces el
conjunto de los números complejos se
puede escribir así
C = { x+ yi : x, y R };∈
i= √-1. Un
número complejo z se escribe como
z = x + iy
La referencia más importante según los
registros se encontró en el año 1545 por
Cardan. Cardan los encontró mientras
investigaba las raíces polinómicas. Se dice que
la ‘i’ se formó porque se convirtió en el
requisito de los matemáticos. Al principio,
durante el periodo inicial de las Matemáticas,
la solución de un problema relacionado con la
raíz cuadrada de un número negativo, por
ejemplo: x2+1=0 era considerado imposible de
resolver. Después de un tiempo, los expertos
llegaron con el número iota para resolver tales
ecuaciones.
L. Euler (1707–1783) introdujo la
notación i =√−1,, y visualizó los números
complejos como puntos con coordenadas
rectangulares, pero no dió un fundamento
satisfactorio para los números complejos. Euler
usó la fórmula x + iy = r (cos θ + i sin θ) y
visualizó las raíz de zn = 1 como vértices de un
polígono regular. Definió el complejo
exponencial, y demostró la identidad eiθ = cos
θ + i sin θ. Caspar Wessel, un noruego,
fue el primero en obtener y publicar una
presentación adecuada de los números
complejos. Wess utilizó lo que conocemos hoy
día como vectores. El usaba la suma geométrica
de vectores (ley del paralelogramo) y definió la
multiplicación de los vectores en los términos
que hoy llamamos adición de los ángulos
polares y multiplicación de las magnitudes.
Adición: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
1.-Asociativa
[(a +
b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)] 2.-
Conmutativa (a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)
3.-Elemento neutro
(a + b.i) + (0 + 0 i)
= (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i
4.- Elemento simétrico (a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i=
0 Multiplicación (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad
+ bc)i 1.-Asociativa
[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c +
d.i) (e + f.i)] 2.- Conmutativa
(a + b.i).(c + d.i) = (c + d.i) (a + b.i)
3.-Elemento neutro (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.
4.- Distributiva
(a +
b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)
Los números complejos comienza a darse en 4to
año de bachillerato. Empezando con la
definición y composición, la representación
grafica, las operaciones básicas, propiedades, y
la representaciones trigonométricas.