medidas de tendencia central y dispersión, formulas ejercicios y más...

1. Medidas de tendencia central y de
dispersión
Estadística Inferencial
Dr. Gonzalo Navarro

2. Contenido
– Medidas de Tendencia central
• Media,
• Mediana,
• Moda
– Medidas de dispersión
• Rango,
• Varianza y
• Desviación típica o Estándar

3. Contenido
II. Estadística inferencial
Estimación del tamaño de la muestra
– Necesidad de la muestra
– Riesgos de las muestras
– Criterios de la estimación
– Modelos de estimación
– Ejercicios de estimación.
Asociacion estadística
– Indicadores de asociación
– La Tabla de 2x2
– Validez estadística
– Formulación y comprobación de hipótesis

4. Estadistica descriptiva
• El análisis del
comportamiento de
las variables
numéricas
• Medidas de
Tendencia central
• Medidas de
Dispersión

5. Las series de datos
• Una serie de datos
es la expresión de
los diferentes
valores resultantes
de las mediciones
de una variable
• Series naturales
• Series biológicas

6. La curva normal
• La gráfica de esta función tiene
forma de campana y se conoce con
el nombre de campana de Gauss.
• Observa que la forma de la
campana y la situación respecto a
los ejes dependen de los
parámetros m (μ) y s (σ)
• .
• Este modelo representa el
comportamiento de los mediciones
en la mayoría de las variables
biológicas continuas.
• Importancia

7. Comportamiento de las
características biológicas

8. II. Medidas de tendencia central
• a) Medidas de posición Series simples
• Las principales medidas de Tendencia
central son:
• Media
• Mediana
• Moda

9. Media
• Media aritmética
• Supongamos que tenemos la siguiente serie:
4,6,6,7,9,11,13
• La Media se calcula sumando todos los términos y
dividiendo la suma (56) entre el número de términos (7)
• Media= 56 / 7 = 8.

10. Formula
Xj: Cada valor posible de X
n: Número de términos de la serie
Nota: Un inconveniente de esta medida es que
Puede verse afectada por valores extremos

11. Mediana (Me)
• Es un número que supera la mitad de los
valores de la serie y es superada por la
otra mitad
• Serie impar: 4,6,7,8,9,11,13
• Me = 8
• Nota: No está influida por valores extremos

12. Mediana (Me)
• Serie par: 4,6,6,7,9,11,13, 15
• Me = (7+9) / 2 = 8
• Nota: No está influida por valores extremos

13. Moda
• 2.- Moda: es el valor
(o valores) de la serie
de datos que mas se
repiten.
Nota: Una serie puede
tener mas de una
moda o no tener
ninguna,
• En la Serie
• 4,6,6,7,8,9,13
• Mo= 6.

14. Distribución Sesgada a la Derecha
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Moda
Mediana
Media

15. 0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Moda
Mediana
Media
Distribución Sesgada a la Izquierda

16. 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Moda
Mediana
Media
Distribución Simétrica

17. Cálculo de Media, Mediana y Moda
a partir de una Tabla de Frecuencia
Xj fj fjXj
X1
X2
.
.
Xn
f1
f 2
.
.
fn
f1X1
f 2 X2
.
.
fnXn
∑ fj ∑ fjXj
Xj fj
X1
X2
.
.
Xn
f1
f 2
.
.
fn
∑ fj

18. Cálculo de Media
a partir de una Tabla de Frecuencia
Xj fj fjXj
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
5
3
11
21
16
11
4
5
3
0
4
10
9
44
105
96
77
32
45
30
85 452
Xj fj
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
5
3
11
21
16
11
4
5
3
La Media = 452 / 85 = 5,31

19. Cálculo de Mediana
a partir de una Tabla de Frecuencia acumulada
Xj fj % %
acumu
lado
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
5
3
11
21
16
11
4
5
3
2.3
4.6
5.9
3.5
12.9
24.7
18.8
12.9
4.6
5.9
3.5
2.3
6.9
12.8
16.3
29.2
53.9
72.7
85.6
90.2
96.1
99.6
85 100
Xj fj
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
5
3
11
21
16
11
4
5
3
85
La Mediana = 5

20. Ejercicio individual 2
APLICANDO LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN CLASE
DETERMINE LOS VALORES DE: MEDIA, MEDIANA Y MODA
ALUMNO # SERIE
1. Barrantes 12,4, 23, 32, 33, 54, 32.19,20,32,44,12
2. Blandón 44,23,32,15,78,65,65,45,35,43,44
3. Escorcia 95,99,87,67,67,87,88,45,56,54,63,66
4. García 21,22,11,13,14,43,21,22,32,11,23,
5. Gonzalez. 44,43,34,35,54,46,56,44,34,34,54,55,
6. Granado 76,77,77,87,67,67,55,56,76,75,87,88,
7. Guerrero 23,32,23,24,21,14,23,24,25,32,33,
8. Herrera 77,67,68,87,86,67,66,56,65,66,68,76,
9. Huembes 12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32
10. Lainez 43,35,35,55,46,56,41,34,34,54,55, 53
11. Palacios 44,43,34,35,54,46,56,44,34,34,54,55,
12. Paz 90,99,87,67,67,88,45,56,54,63,76
13. Pérez 20,22,11,13,16,43,21,21,32,11,23,
14. Pineda 41,32,35,64,54,34,34,23,34,34,21,21

21. Ejercicio individual 2
APLICANDO LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN CLASE
DETERMINE LOS VALORES DE: MEDIA, MEDIANA Y MODA
.
ALUMNO # SERIE
15. Sanchez 4, 23, 32, 33, 54, 32.19,20,32,44,12, 12
16. Torrez 44, 44, 23, 32,15,78, 65, 65, 45, 35,
17. Vega 66, 95,99,87,67,67,87,88,45,56,54,63
18. Weil 23, 21,22,11,13,14,43,21,22,32,11,

22. Calculo de la media
• Serie simple

23. Cálculo de la Media
• (1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + .... + (1,29 * 3) + (1,30 * 3)
• Xm = ----------------------------------------------------------------
• 30
• Luego: Xm =1,25
• Por lo tanto, la estatura media de este
grupo de alumnos es de 1,25 cm.

24. Cálculo de la Mediana
• La mediana de esta
muestra es 1,26 cm,
ya que por debajo
está el 50% de los
valores de la serie.
• Esto se puede ver al
analizar la columna
de frecuencias
relativas acumuladas
Variable Frecuenciasabsolutas Frecuenciasrelativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
x x x x x
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 10,0% 100,0%

25. Cálculo de la Moda
• 4.- Moda:
• Hay 3 valores que se
repiten en 4
ocasiones:
• el 1,21,
• el 1,22
• y el 1,28,
• por lo tanto esta serie
cuenta con 3 modas.
(Serie trimodal).
Variable Frecuenciasabsolutas Frecuenciasrelativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
x x x x x
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 10,0% 100,0%

26. Medidas de dispersion

27. MEDIDAS DE DISPERSION
Cómo se alejan los valores de la Media?
• RANGO
• VARIANZA
• DESVIACION ESTANDAR
.

28. III. Medidas de dispersión
• Estudia la distribución
de los valores de la
serie, analizando si
estos se encuentran
más o menos
dispersos.
• Existen diversas
medidas de dispersión,
entre las más utilizadas
podemos destacar las
siguientes:
• Rango
• Varianza
• Desviacion típica

29. Forma de la curva normal y Desviacion estandar
CURVA A CURVA B CURVA C

30. Medidas de dispersión
• En el ejemplo de la
tabla calcule el
Rango:
• R= 130cm – 120cm
• R= 10cm
Variable Frecuenciasabsolutas Frecuenciasrelativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
x x x x x
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 10,0% 100,0%

31. Medidas de dispersión
• 2.- Varianza:
Mide la distancia
existente entre los valores de
la serie y la media.
• Expresa la medida en que los
valores tienden alejarse de la
Media.
• Se calcula como la sumatoria
de las diferencias al cuadrado
entre cada valor y la media,
multiplicadas por el número de
veces que se ha repetido cada
valor.
• La sumatoria obtenido se
divide por el tamaño de la
muestra.

32. Varianza S²
• La varianza siempre será mayor que cero.
• Mientras más se aproxima a cero, más
concentrados están los valores de la serie
alrededor de la media.
• Por el contrario, mientras mayor sea la
varianza, más dispersos están.

33. Varianza (S²)
Xj = Cada valor de la variable en la serie de datos
n = Número de individuos en la serie
S²x = Varianza de la variable X

34. Medidas de dispersión
• 3.- Desviación típica:
• Se calcula como raíz
cuadrada de la
varianza.
• S=√S² __
A B C
X y S
pequeñas
X y S
mayores
X y S
Mas grandes

35. Distribución normal y Desviación estandar
"La distribución normal desempeña una
función central en las estadísticas clásicas
tradicionales y la desviación estándar es la
manera usual de representar la dispersión
de una distribución normal.

36. Cálculo de Medidas de dispersión
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
X x X x x
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 10,0% 100,0%

37. Cálculo de Medidas
de dispersión
• 1.- Rango:
• Diferencia entre el
mayor valor de la
muestra (1,30) y el
menor valor (1,20).
• Luego el rango de
esta muestra es
• 1,30 -1,20 =0,10 m.
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada
X x X x x
1,20 1 1 3,3% 3,3%
1,21 4 5 13,3% 16,6%
1,22 4 9 13,3% 30,0%
1,23 2 11 6,6% 36,6%
1,24 1 12 3,3% 40,0%
1,25 2 14 6,6% 46,6%
1,26 3 17 10,0% 56,6%
1,27 3 20 10,0% 66,6%
1,28 4 24 13,3% 80,0%
1,29 3 27 10,0% 90,0%
1,30 3 30 10,0% 100,0%

38. Varianza
• 2.- Varianza:
• Mide la distancia existente
entre los valores de la serie y
la media.
• Se calcula como sumatoria de
las diferencias al cuadrado
entre cada valor y la media,.
• La sumatoria obtenida se
divide por el tamaño de la
muestra.

39. 3.- Desviación típica o estándar
• Se calcula como raíz
cuadrada de la
varianza.
• Varianza.
• Desviación estándar
•Expresa la dispersión de la
•distribución de los datos .

40. Ejemplo: vamos a utilizar la serie de datos de la edad, en años
cumplidos, de los alumnos de una clase y a calcular sus medidas de
dispersión.
• Dada la serie
• 30,19,21,20,20,25,27,25,28,30,19,25
• Procedemos a ordenar los datos
• 19,19,20,20,21,23,25,25,27,28,30,30
• Ahora calculemos el Rango
• 30-19 = 11

41. Cálculo de la Varianza
1. Revisar la serie
2. Calcular el valor de la Media
3. Obtener la diferencia del valor de la Media con
cada uno de los datos de la serie.
4. Calcular el cuadrado de cada diferencia
5. Sumar todos los cuadrados de las diferencias.
6. Dividir la suma anterior entre el número de
datos de la serie.
!Ya tiene usted el valor de la Varianza!

42. Calculo de la Varianza
VALOR
X
PROMEDIO
X
DIFERENCIA
X - X
DIFERENCIA
AL CUADRADO
(X - X )
VARIANZA
Σ (X-x)
19
24
24-19=5 25
19 24-19=5 25
20 24-20=4 16
20 24-20=4 16
21 24-21=3 9
23 24-23=1 1
25 24-25=--1 1
25 24-25=-1 1
27 24-27=-3 9
28 24-28=-4 16
30 24-30=-6 36
31 24-31=-7 49
11 204 204/12=17
__
2
2
/ n
_

43. Desviacion tipica o estándar
• Y sí ya tiene la Varianza
• ! Ya tiene la Desviacion estándar !
• La DE = a la Raiz cuadrada de la
Varianza

44. Respuestas
• 1.- Rango: Diferencia entre el mayor valor de la muestra (31) y el menor valor (19). Luego el
rango de esta muestra es.
• 31-19 = 21
• 2.- Varianza: recordemos que la media de esta muestra es 24. Luego, aplicamos la fórmula:
• Por lo tanto, la varianza es: 204/12=17
• 3.- Desviación estandar: es la raíz cuadrada de la varianza.
• √17 =4.1