En este trabajo intento dar algunos aportes sobre la riqueza pedagógica de las demostraciones matemáticas, así como también una métodica general a seguir, tomando en cuenta cuales son los errores más comunes al realizarlas!!!

1. Universidad Católica Redemptoris Maters
UNICA
I año Sabatino
Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática
Educación Secundaria
Catedrático: Lic. Francisco S. Hernández Mendoza. Carrera: Matemática.
Algunas Reflexiones sobre las Demostraciones en Matemática
La importancia de las demostraciones en la enseñanza de la Matemática en la
educación secundaria, radica en que, ayuda al estudiante al desarrollo y
aprendizaje de estrategias, formas de pensamientos y métodos vinculados a la
verificación de los teoremas.
Demostrar es una acción mental que tiene un trasfondo pedagógico muy valioso,
en la medida en que, ésta se considere como un método diseñado para
comprobar verdades matemáticas ya probadas, con el fin de generar comprensión
de éstas por parte de quién hace la demostración.
Las demostraciones se aceptan como pruebas en tanto y cuanto éstas se traten
como un conjunto de explicaciones que, toman una forma y estructura particular,
por tal efecto son una secuencia de enunciados organizados según reglas
determinadas. Dichos enunciados se reconocen como verdaderos cuando son
deducidos a partir de los que proceden con ayuda de una regla de deducción
tomada a su vez de un conjunto de reglas bien definidas.
En el desarrollo de las demostraciones juegan un papel muy determinante, una
actividad intelectual que se denomina razonamiento, la cual consiste en la
manipulación de informaciones para, a partir de ciertos datos, producir nuevas
informaciones, a esta manera de razonar se le conoce con el nombre de
razonamiento deductivo.
En el proceso de una demostración siempre se conocen (aunque no se
comprendan completamente) el principio (Hipótesis) y el fin (Tesis), sin embargo
no se sabe cuál es el camino para ir de uno a otro. Para descubrir este camino es
necesario planificarlo antes de recorrerlo, lo que obliga a pensar
recursivamente.
El pensamiento recursivo presenta como principal dificultad, la necesidad de
presentar las causas o consecuencias de una proposición matemática, sin
conocer a fondo aún de donde vienen o hacia donde van respectivamente. Para
comprender esto, conviene hacer uso de la siguiente analogía: “La construcción
de un puente, es un proceso en donde siempre hay dos terrenos por conectar, en
ese sentido la elaboración del mismo se puede comenzar en ambos sentidos;
desde el inicio hacia el fin y desde el fin al inicio, con el fin de encontrarse en el
medio con el avance en las dos vías”.
En algunos entornos en donde se enseña matemática en el nivel superior, se ha
promovido la idea de que, las demostraciones se deben escribir con rigor.

2. Es cierto que, esta ciencia es de carácter deductivo y exacto; sin embargo, no
quien sabe escribir rigurosamente, necesariamente sabe demostrar proposiciones
matemáticas. No, el orden de la causalidad no es ese. Se debe más bien
proponer, que el orden de causalidad se dé a partir de la comprensión de la
prueba. Es decir, la escritura rigurosa debe ser consecuencia de haber entendido
la estructuración y elementos asociados a la demostración.
Tratando de seguir esta línea reflexiva, se puede afirmar que, la demostración de
una proposición matemática implica convencer a otras personas, mediante el
recurso de la argumentación, de la veracidad de dicha proposición.
Es decir, demostrar es construir verdades que, se constituyen como tal por la
aceptación de una comunidad matemática o, de manera contraria, una
comunidad matemática se construye porque cree en las mismas verdades
demostradas bajo las mismas reglas.
Lograr esta aceptación por parte de la comunidad matemática, depende de
algunos factores que son inherentes a la demostración.
En primer lugar, la persona que convence y las personas que se pretenden
convencer deben hablar el mismo idioma. Y esto está más allá de que sólo
compartan el mismo lenguaje verbal, sino que ambas partes deben compartir los
mismos lenguajes lógico y conceptual, todo esto para poder llevar la
argumentación sobre las mismas bases, por caminos conocidos y aceptados por
toda la comunidad.
De acuerdo a lo anterior, para que ocurra la demostración matemática debe
suceder que en la comunidad matemática se compartan tres tipos de lenguaje, a
saber:
1. Lenguaje verbal: se trata del lenguaje en el que están escritas las palabras
por medio de las cuales se comunica la prueba.
2. Lenguaje lógico: se trata de la estructura que subyace a la argumentación
y que depende de la teoría lógica usada para probar.
3. Lenguaje conceptual: se trata de los significados de los términos (verbales
y matemáticos) que se usan para construir la prueba.
Compartir estos tres tipos de lenguajes, es lo que permitirá construir y comunicar
las argumentaciones matemáticas que luego se constituirán en una demostración.
En términos procedimentales, una demostración matemática es una serie de
proposiciones, cada una de las cuales se sigue lógicamente de las anteriores; que
empieza desde algunas proposiciones que se asume (o se conoce) que son
ciertas; y que termina con la proposición que contiene el hecho que se busca
probar. De esto se puede deducir que una demostración matemática tiene tres
parte secuenciadas en su escritura: un inicio, un desarrollo y un cierre; sin
embargo, estas partes no están necesariamente secuenciadas así en el proceso
de pensamiento para la construcción de la prueba.

3. Antes de proporcionar una metódica o procedimiento general a utilizar en la
realización de una demostración matemática, es beneficioso destacar y comentar
algunos de los errores lógicos más comunes que se cometen al momento de
realizar demostraciones:
1. Usar la tesis como hipótesis y demostrar la hipótesis: Esto es un error
porque la implicación p⇒q no necesariamente tiene el mismo valor de
verdad de la implicación q⇒ p.
2. Demostrar dando saltos demasiado largos entre las proposiciones:
Está relacionado a, no justificar una afirmación que no es obvia, no hacer
explícitos demasiados pasos entre dos afirmaciones, usar un teorema sin
demostrarlo, usar un teorema sin mencionarlo.
3. Usar proposiciones falsas como soporte de la demostración: Cada una
de las afirmaciones que se hagan al demostrar una proposición matemática
debe tener sustento en afirmaciones cuya veracidad ha sido demostrada,
por eso es importante ir paso por paso verificando que así sea.
4. Demostración verbal: Aunque no es un error como tal, sí es una mala
práctica escribir en palabras no matemáticas (o por lo menos no “muy
matemáticas”) afirmaciones sobre una demostración; esto es señal común
de que se tiene la idea sobre la demostración, pero hace falta depurarla
aún más.
5. Usar una lógica incorrecta: Este error es muy común y es grave. En esta
categoría se incluye, negar una afirmación incorrectamente, probar el
recíproco de una proposición en vez de la proposición.
6. Hacer suposiciones incorrectas: Las suposiciones correctas aligeran el
peso de una prueba y pueden ayudar a entender mejor el proceso de
demostración, sin embargo, las suposiciones incorrectas pueden aligerar
este peso demasiado y hacer que la demostración sea errónea.
7. Sobre las definiciones: Es normal que se usen definiciones correctas,
pero mal empleadas, no obstante, es más normal que se usen malas
definiciones. Pero este es un error muy evitable, pues sólo requiere de una
cuidadosa lectura de las definiciones para hacer una justa correspondencia
con las circunstancias de la demostración que se está llevando a cabo.
8. Asumir demasiado: En el caso de que, no se esté seguro de usar algo o
no, porque no se ha confirmado que sea cierto, el consejo es hacer uso de
prudencia y probarlo antes de usarlo.

4. En la realización o desarrollo de una demostración matemática, es muy ventajoso
seguir este procedimiento generalizado:
1. Identificar la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si
dicha tesis tiene diversos casos).
2. Determinar las proposiciones que componen la hipótesis.
3. Comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.
4. Comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis.
5. Escoger la estrategia de demostración más apropiada.
6. Aplicar la estrategia escogida.
7. Leer la demostración escrita para revisar que no se hayan cometido errores
lógicos o disciplinares, resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.
Con el propósito de comprender este método se harán una serie de comentarios
al respecto de cara a que, el mismo sea aprovechado de la mejor manera:
1. Antes de analizar la hipótesis, se analiza la proposición que compone la
tesis, esto se debe a que, desde el punto de vista estratégico, la
comprensión de la tesis permite tener posteriormente una “comprensión
dirigida” de la hipótesis, es decir, permite leer la hipótesis con preguntas
claras que le dan mayor significado a las proposiciones que la componen.
2. La debida comprensión de las proposiciones que están incluidas en la tesis
y la hipótesis requiere que se entiendan los tres tipos de lenguaje en los
que están escritas (verbal, lógico y conceptual). De esta comprensión
dependen los tres mecanismos que se presentan como indispensables para
llegar a demostrar una proposición: escoger la estrategia más adecuada,
deducir progresivamente y abstraer regresivamente.
3. La re-lectura de la demostración es vital no sólo para la detección de
errores, sino para profundizar en su comprensión. Esta profundización en la
comprensión se evidencia cuando la persona que está demostrando la
proposición es capaz de expresarse más claro y con menos palabras.
A manera de conclusión se puede decir que, es innegable que la demostración es
el pilar de la construcción matemática, de hecho esto se puede ver en los diversos
usos que tiene. Demostrar proposiciones, es tal vez la forma más eficiente de
ganar profunda comprensión sobre éstas; a través de la demostración, los
matemáticos en formación desarrollan los procesos de pensamiento matemático
que les permitirán desenvolverse en su profesión; y, como es obvio, la
demostración es la forma como las matemáticas se desarrollan, conjeturando y

5. probando cada vez más y más útiles proposiciones que hacen avanzar no sólo a
esta área del conocimiento, sino a todas aquellas que se nutren con su verdades.
Bibliografía Consultada:
• J. Nápoles Valdés, La enseñanza de la demostración matemática: Tesis
doctoral (2002).
• D. Solow, Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, México:
Ed. Limusa (1993).