Nombre: Ines Maria Blanco Hernandez Matematica IV Secc: U

1. Transformada de Fourier
Nombre: Ines María Blanco Hernández
CI: 24.355.312
Industrial
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión-San Cristóbal

2.  Es una transformación matemática empleada para transformar
señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia,
teniendo muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es
reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación
de transformación como a la función que produce.
 En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un
sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la
transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un
conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes
de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de
frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
 La transformada de Fourier es una aplicación que hace
corresponder a una función F de valores complejos y definidos
en la recta, con otra función F (ω) definida de la manera
siguiente:
Consideremos:

3. La primera integral que obtiene F (ω) se denomina
transformada de Fourier de F (t), y la segunda se
denomina transformada inversa de Fourier.
 Para una función no periódica P-->∞

4. Definición Formal
La transformada de Fourier es básicamente el espectro
de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso
es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda
auditiva y la transforma en una descomposición en
distintas frecuencias (que es lo que finalmente se
escucha). El oído humano va percibiendo distintas
frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo,
la transformada de Fourier contiene todas las
frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal;
es decir se obtiene un sólo espectro de frecuencias para
toda la función.

5. Teoremas básicos sobre la
transformada de Fourier
•Linealidad:
•Cambio de Escala:
•Translación en el Tiempo:
•Traslación en la variable
transformada:
•Transformada de la derivada:
Si f y su derivada son
integrables:

6. •Derivada de la Transformada si f y t =
f(t) son integrales, la transformada de
Fourier F(f) es diferenciable:
Convolucion y Transformada de Fourier
La convolución de dos funciones f y g
en la recta de la manera siguiente:
La convolución también es integrable, y vale la
igualdad:

7. Demostraciones:

9. Transformada de Fourier de Señales Generalizadas
Uno de los problemas que tiene el concepto de
transformada de Fourier es que para calcular F(x) es
necesario asumir que x ∈ L 1 (R) también podemos
ampliar dicho calculo al caso en que x (t) es una señal de
energía finita, x ∈ L 2 (R). Si tenemos en cuenta que para
toda función φ ∈ S se tiene que F(φ) ∈ S), entonces
podemos definir la transformada de Fourier de una señal
generalizada x ∈ G del siguiente modo:
Sea x ∈ G una función generalizada arbitraria.
Definimos su transformada de Fourier(generalizada)
F(x) mediante la fórmula siguiente:
F(x){φ} = x{F(φ)}

10. El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso
muy extenso de las transformadas de Fourier ya que en
principio no hay grandes restricciones para las funciones
generalizadas. En particular, esto se hará notar en el estudio
del teorema del muestreo clásico. Ahora, para que la
transformada de Fourier que acabamos de introducir sea útil es
imprescindible comprobar que las propiedades básicas de la
transformada de Fourier clásica se conservan.
Teorema de inversión de Fourier para señales
generalizadas
Sea x (t) ∈ G una función generalizada.
Entonces para toda señal φ ∈ S se tiene que:

12. Tabla de transformaciones Básicas

13. Gracias!!