Este documento explica la transformada de Fourier, que descompone una función en el dominio del tiempo en su espectro de frecuencias. Define formalmente la transformada de Fourier y su inversa, y describe algunas de sus propiedades clave como la linealidad, cambios de escala y traslación. También resume aplicaciones comunes de la transformada de Fourier como el análisis de señales, diseño de filtros y procesamiento de imágenes.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION SAN CRISTOBAL
MATEMATICA IV
Transformada
de Fourier
REALIZADO POR
Hisham Radwan Abou Assali
Cedula: V-25.843.213
Escuela Ingeniería Civil
San Cristóbal, 01 agosto de 2016

2. Definicion
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda
auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que
finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida
que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las
frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de
Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función
Definición Formal
Sea una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de es la función
{ } ̂ ∫
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa
simple demuestra que la transformada de Fourier { }es una función acotada. Además
por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse { } es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida por:
{ ̂} ∫ ̂ Nótese que la única
Propiedades básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
La transformada de Fourier relaciona una función
en el dominio del tiempo, mostrada en rojo, con
una función en el dominio de la frecuencia,
mostrado en azul. Las frecuencias componentes,
extendidas para todo el espectro de frecuencia,
son representadas como picos en el dominio de
la frecuencia.

3. Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente
 Cambio de escala:
 Traslación:
 Traslación en la variable transformada:
 Transformada de la derivada: Si y su derivada son integrables,
 Derivada de la transformada: Si y son integrables, la transformada de
Fourier es diferenciable
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones y en la recta de la manera
siguiente:

4. Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los
resultados como el que sigue: Si y g son funciones absolutamente integrables, la
convolución también es integrable, y vale la igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable
transformada,
pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier
Tabla de transformadas básicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de
√
siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor
de en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus
transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe
multiplicar la segunda columna por ese factor.
Funcion Transformada
1
(Función unitaria de Heaviside)
1

5. Teorema de inversión
La idea básica del teorema de inversión es que dada una función , la transformada de
Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de resulta en la misma función original,
en símbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es siempre válido, porque el dominio de
la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es
invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es
necesariamente integrable.
Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean
invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más
natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente
decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado:
Teorema. El espacio de funciones complejas definidas en la recta tales que y la
transformada de Fourier de sean integrables, es invariante tanto por la transformada de
Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función en este
espacio, vale el teorema de inversión (1).
Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la
transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.
La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz

6. El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en
e infinitamente diferenciables tales que para todo y enteros no negativos
Donde es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo
Teorema
Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones
lineales
Además vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con
coeficientes polinomiales, es decir de la forma
donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
y

7. la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las
ecuaciones diferenciales tanto para la teoría como para su resolución práctica.
Uso en ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así
obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil
saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el
dominio de la frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y,
por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados,
si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad
espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes,
como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o
tomada con una computadora, véase ondícula (wavelet).
Interpretación geométrica
Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:
la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la función y
la exponencial compleja evaluado sobre todo el rango de frecuencias . Por la
interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada
tiene un valor mayor, más parecido tiene con una exponencial compleja.

8. ejercicios