Convolucion y Transformada de Fourier

1. Convolución
Es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera
función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una
versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de media
móvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la función
característica de un intervalo.
Uso
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de
ingeniería y matemáticas.
En estadística, como un promedio móvil ponderado.
En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variable
aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de
probabilidad.

2.  En óptica, muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Una sombra (p.
ej. la sombra en la mesa cuando se tiene la mano entre ésta y la fuente de luz) es la
convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya
sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la
imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
 En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que
represente los objetos variados que lo reflejan.
 En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema
lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución
de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
 En física, allí donde haya un sistema lineal con un principio de superposición, aparece
una operación de convolución.

3.  Convolución discreta
 Cuando se trata de hacer un
procesamiento digital de señal no
tiene sentido hablar de convoluciones
aplicando estrictamente la definición
ya que solo se dispone de valores en
instantes discretos de tiempo. Es
necesario, pues, una aproximación
numérica.
Convolución circular
cuando una función gT es periódica de
período T, entonces para aquellas
funciones f para las que existe f*g_T,
su convolución es también periódica

4.  Transformada de Fourier
 Denominada así por Joseph Fourier, es una transformación
matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o
espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la
ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación
como a la función que produce.
 En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical
continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede
simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado
coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la
señal del dominio-tiempo original.
 Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física,
la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica),
la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras
áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse
como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es
decir, {g} corresponde al espectro de frecuencias de la señal {f}.
 La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.

5. Pares transformados de uso frecuente
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo
diferente de 1/√2∏ siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la
transformada directa y un factor de 1/√2∏ en la transformada inversa. A
continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un
factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda
columna por ese factor.
 Teorema de inversión
 La idea básica del teorema de inversión es que dada una función f la transformada
de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la misma
función original, en símbolos: f^= f
 Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es siempre válido, porque el
dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo
de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una
función integrable no es necesariamente integrable.
 Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones
que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas
posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de
Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un
camino más directo para formular un enunciado:

6. Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la
transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la
transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para
una función f en este espacio, vale el teorema de inversión (1).
Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de
que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.
Uso en ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de
frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal.
Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de
una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con
mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos
de sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la
entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el
diseño de filtros de radio transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento
digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de
una imagen fotográfica o tomada con una computadora,