Cartel para un congreso.

1. Una clase de soluciones estelares
Estevez Delgado, Gabino
Facultad de Qu´ımico Farmacobiolog´ıa, UMSNH, gabinoestevez@yahoo.com.mx
Estevez Delgado, Joaqu´ın, Corona Patricio Gabino, Rojas S´anchez Adriana, and L´opez Bola˜nos Eduardo
Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´aticas, UMSNH,
joaquin@fismat.umich.mx, gcorona@fismat.umich.mx,
arojas@fismat.umich.mx, elopez@fismat.umich.mx
El inter´es sobre la estructura y las consecuencias de las soluciones a las ecuaciones que describen soluciones interiores de estrellas
relativistas est´aticas y esf´ericamente sim´etricas ha sido una cuesti´on que ha estado presente desde hace siglos. Construir soluciones
anal´ıticas a´un en el caso est´atico y esf´ericamente sim´etrico no es una tarea sencilla, debido a la no linealidad de las ecuaciones. La
construcci´on de soluciones contribuye a entender mejor y resolver algunos problemas astrof´ısicos presentes cuando se tiene un campo
gravitacional fuerte. Considerando una forma espec´ıfica para la funci´on de masa estelar hemos podido construir una clase de soluciones
estelares f´ısicamente aceptables, asociadas a un fluido perfecto. Sus caractersticas con relaci´on a la presi´on, densidad y velocidad del
sonido son analizadas.
En [1] se presenta un analisis de 127 soluciones estelares de estas solo 16 pasan
la pruebas de regularidqad y condiciones fisicas, y unicamente 9 tiene una veloci-
dad del sonido mon´otona decreciente. Recientemente se han contruido otras solu-
ciones f´ısicamente aceptables [2]. Siguiendo una estrategia similar a la presentada
en [2] contruimos una soluci´on estelar nueva. Para el caso est´atico y esf´ericamene
sim´etrico la m´etrica puede expresarse como:
ds
2
= −e
2ν(r)
dt
2
+ e
2λ(r)
dr
2
+ r
2
(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
) (1)
Para un tensor de energ´ıa moemento asociado a un fluido perfecto las ecuaciones
de Einstein implican:
1
r2
[r(1 − e
−2λ
)]
′
= ρ −
1
r2
(1 − e
−2λ
) +
2ν′
r
e
−2λ
= P (2)
e
−2λ
(ν
′′
+ ν
′
+
ν′
r
− ν
′
λ
′
−
λ′
r
) = P (3)
Hemos tomamos las unidades tales que c = 1 y 8πG
c4 = 1. Este sistema de ecuacio-
nes determina el comportamiento del campo gravitacional para un fluido perfecto.
Haciendo el siguiente cambio de variables [2]
x = Cr
2
, Z(x) = e
−2λ(r)
, A
2
y
2
(x) = e
2ν(r)
, (4)
Donde A y C son constantes arbitrarias obtenemos el siguiente conjunto de ecua-
ciones:
1 − Z
x
− 2 ˙Z =
ρ
C
4Z
˙y
y
+
Z − 1
x
=
ρ
C
(5)
4Zx
2
¨y + 2Zx
2
˙y + ( ˙Zx − Z + 1)y = 0 (6)
La ventaja de este sistema de ecuaciones es que la ´ultima ecuaci´on podemos
verla como una ecuaci´on diferencial de segundo orden no homog´oenea en y y lineal
de primer orden no homog´eneo en Z para un y y Z dadas respectivamente. De
acuerdo a las condiciones de regularidad de la geometr´ıa en el origen (determinados
por el escalar de Kretschmann) elegimos [3]: y(x) =
a1x+b1
ax+b
. Con esta forma de y,
reemplazandola en (6) es posible contruir una soluci´on para la ecuaci´on que resulta
en Z con a1 = 15s, b1 = 1, b = 1, a = s, y su forma exacta es:
Z(x) = 1 −
((32s(9s2x2 + 34sx + 33) − (1 + sx)4)C1)x
(3sx + 7)3(5sx + 1)
(7)
donde C1 es una constante de integraci´on. De aqui en adelante por simplicidad
supondremos C1 = 0 en cuyo caso:
ρ(x) = −
32Cs(−72s3x3 − 1434s2x2 − 2048sx − 693 + 135s4x4)
k(k(5sx + 1)2(3sx + 7)4)
(8)
P (x) = −
256s(−3sx − 14 + 3s2x2)C
(7 + 15sx)(5sx + 1)(3sx + 7)3
(9)
Es conveniente reexpresar la solucion en la forma estandar en el que la m´etrica es
[4]:
ds
2
= −e
−2φ
dt
2
+ dr
2
+ (1 − 2
m(r)
r
)
−1
dr
2
+ r
2
dΩ
2
(10)
donde m(r) representa la funci´on de masa de la estrella, y con respecto a la cual
la densidad y presi´on son: 8ρ = 1
r2
dm
dr
8P =
2(r−2m)
r2
dΦ
dr
− 2m
r3
La solucion sera f´ısicamente aceptable si satisface las siguientes condiciones [2]
1. tǫ(−∞, ∞) r > 0 θǫ(0, π) Φǫ(0, 2π) l´ımr→0
m(r)
r3 = C1
l´ımr→0
1
r
dΦ
dr
= C2 l´ımr→0
d2Φ
dr2 = C3
donde C1, C2, C3, son constantes. Adem´as para la densidad y las presiones
requerimos
2. ρ(r) > 0 y P (r) > 0 en el interior de la estrella i.e. 0 < rb (donde el rb
es el radio de la estrella)
3. Sobre la frontera, i.e. r = rb, ρ(rb) ≥ 0 y P (rb) = 0
4. La densidad y presiones deben ser mon´otonas decrecientes i.e.
dρ
dr
< 0
dP
dr
< 0
5. La velocidad del sonido no puede ser m´as r´apida que la velocidad de la luz
Luego de redefinir las constantes tenemos que la densidad, la presi´on y la masa
estan dadas por:
ρ(r) =
32(2r0
2r2(36r4 + 717r0
2r2 + 1024r0
4) + 693r0
8 − 135r8)r0
2
k(5r2 + r0
2)2(3r2 + 7r0
2)4
(11)
P (r) =
256(3r0
2r2 + 14r0
4 − 3r4)r0
4
(7r0
2 + 15r2)(5r2 + r0
2)(3r2 + 7r0
2)3
(12)
m(r) =
16(9r4 + 34r0
2r2 + 33r0
4)r3r0
2
3r2 + 7(r0
2)3(5r2 + r0
2)
(13)
Se puede verificar de manera directa que las condiciones 1 a 5 se satisfacen. Por
ejemplo existe un valor de r en donde la presi´on se anula, este define la frontera y
esta dado por
rb =
3 +
√
177r0
√
6
> 0 (14)
de donde la masa de la estrella M = m(rb) =
3+
√
177(81
√
3−11
√
59)
√
2r0
1176
> 0.
Por otro lado la densidad y la presion central son:
Pc =
512
343r0
2
ρc =
3168
343r0
2
(15)
En la g’rafica presentada se observa el comportamiento de la densidad, la pre-
si´on y la masa. En esta se tiene que P < ρ y visualmente tambi´en se corrobora que
esta soluci´on cumplen con las condiciones (1 a 5). Como conclusi´on tenemos que
hemos sido capaces de construir una nueva soluci´on fisicamente aceptable.
Referencias:
1. Physical Aceptability of Isolated, Static, Spherically Symmetric, Perfect
Fluid Solutions or Einsteins Equations.M.S.R. Delgaty and Kayll Lake,
gr-qc/9809013v1 2Sep 1998.
2. S.K. Maurya Y.K. ,Gupta, A family of physically realizable perfect fluid
speres representing a quark stars in general relativity, Astrophisys Space
Sci, DOI 10.1007/10509-011-0810-Y
3. Joaquin Estevez Delgado y Gabino Estevez Delgado, Reporte de Investi-
gaci´on (2012)
4. R.Wald, General Relativity, The University of Chicago (1984).