Guia 2 Analisis de sistemas

1. Modelos Matemáticos Simples: Ecuaciones Diferenciales y Transformación Fasorial J. Benavides S.
LA TRANSFORMACIÓN FASORIAL
Regresando al primer ejemplo:
Consideremos la ec. (2) (para el
sistema mecánico con la ecuación (2`) el caso es similar), con una entrada: ( ) cosmv t V tω= y
recordando que:
cosj t
e t j sen tω
ω ω= +
se ve que: { }( ) Re cosj t
m mv t V e V tω
ω= =
Reescribiendo la ec. (2), pero con: ˆ( ) j t
mv t V e ω
= , se tiene:
ˆ 1ˆ ˆ j t
m
di
Ri L i dt V e
dt C
ω
+ + =∫ (4)
Esta ec. (4) no es la misma ec.(2), pero tiene la particularidad que si tomamos la parte real de ambos
miembros corresponde a la ec.(2). Del mismo modo, la parte real de la solución de la ec.(4) será la
solución de la ec.(2).
Por las propiedades de la función exponencial (especificamente que sus derivadas e integrales también
son exponenciales), la solución de la ec. (4) será de la forma:
( )ˆ( ) j t j j t
m mi t I e I e eω ϕ ϕ ω+
= = (5)
que puede ponerse como: ˆˆ( ) j t
mi t I e ω
= (6)
Donde, definimos el número complejo: ˆ j
m mI I e ϕ
= (7)
Reemplazando (6) en (4) se tiene:
1ˆ ˆ ˆj t j t j t j t
m m m mR I e j LI e I e V e
j C
ω ω ω ω
ω
ω
+ + = (8)
Se observa que todos los términos de la ec. (8) contienen el factor ejωt
por lo que se puede simplificar,
quedando la ecuación algebraica con números complejos siguiente:
1ˆ
m mI R j L V
C
ω
ω
  
+ − =  ÷
  
(9)
De donde resulta:
ˆ
1
m
m
V
I
R j L
C
ω
ω
=
 
+ − ÷
 
(10)
1
( ) ( ) (2)
di
Ri L i t dt v t
dt C
+ + =∫

2. Modelos Matemáticos Simples: Ecuaciones Diferenciales y Transformación Fasorial J. Benavides S.
O lo que es lo mismo:
1
2
2
ˆ ( )
1
/ R
L
Cm
m
V
I arctg
R L
C
ω
ω
ω
ω
−
= −
 
+ − ÷
 
(11)
Definiendo el módulo y el ángulo de ˆ
mI como sigue:
2
2 1
m
m
V
I
R L
C
ω
ω
=
 
+ − ÷
 
y
1
( )R
L
C
arctg
ω
ω
ϕ
−
= −
Tendremos, abreviadamente:
ˆ j
m m mI I I e ϕ
ϕ= ∠ = (12)
La solución de la ecuación (4) para ˆˆ( ) j t
mi t I e ω
= se obtiene reponiendo el término ejωt
que fue
simplificado en la ecuación (8), o sea:
( )ˆˆ( ) j t j j t j t
m m mi t I e I e e I eω ϕ ω ω ϕ+
= = =
La solución de la ecuación original de nuestro sistema (2), debe ser necesariamente la parte real de la
solución de la ecuación (4), es decir:
{ } { } { } { } ( ) ( ){ }( )ˆˆ( ) Re ( ) Re Re Re Re cosj t j j t j t
m m m mi t i t I e I e e I e I t jsen tω ϕ ω ω ϕ
ω ϕ ω ϕ+
 = = = = = + + +  ,
Es decir, finalmente:
( )
1
( ) cos
( ) cos ( )R
m
L
C
m
i t I t
i t I t arctg
ω
ω
ω ϕ
ω
−
= +
 
= − ÷
 ÷
 
(13)
Se denominan:
ˆ
mI = el fasor asociado a la corriente senoidal i(t).
mI = el módulo o valor máximo de i(t). Corresponde a 2 RMSI .
ϕ = la fase o desfase de la corriente i(t) en relación a v(t).
ˆ( )i t = el fasor rotatorio (es una variable intermedia poco mencionada, también llamada versor)
En resumen, para resolver la ecuación integrodiferencial (2), se ha resuelto la ecuación algebraica (9)
cuya solución es el fasor dado por (11), retornando al dominio del tiempo para obtener la solución de
(2) dada por (13).
2
( ), ( )v t i t
Ecuaciones Diferenciales
ˆ( ) ( )
ˆ( ) ( )
j t
m
j t
m
v t v t V e
i t i t I e
ω
ω
⇒ =
⇒ =
ˆ ˆ,m mV I
Ecuaciones Algebraicas
con númeroscomplejos
{ }ˆ( ) Re j t
mi t I e ω
=
Dominio del Tiempo Dominio del FasorTransformación
Retorno al Dominio del Tiempo

3. Modelos Matemáticos Simples: Ecuaciones Diferenciales y Transformación Fasorial J. Benavides S.
Caso de Sistemas con Múltiples Entradas Senoidales de Frecuencias Diferentes.
Si un sistema tiene múltiples entradas senoidales de la misma frecuencia, se puede aplicar el principio
de superposición y el método fasorial simultáneamente. En ese caso, se obtendrán fasores parciales de
la solución para cada variable, las que se sumarán para obtener el fasor resultante total y luego aplicar
la transformación fasorial inversa, obteniendo la solución total en el dominio del tiempo.
Si las entradas son de diferente frecuencia, también se puede usar superposición y transformación
fasorial. Pero en este caso, se deberá encontrar la solución parcial en el dominio del tiempo para cada
frecuencia y luego sumar dichas soluciones. Veamos ese proceso para un caso específico.
Siendo las tensiones:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
( ) cos( )
( ) cos( )
( ) cos( )
v t V t
v t V t
v t V t
ω δ
ω δ
ω δ
= −
= −
= −
Tarea: Resolver i(t) y dibujar los resultados de las corrientes
parciales y total para:
R = 100 [Ω]
L = 0,1 [H]
C = 10 [μF]
V1 = 15 [V], ω1=100[Rad/seg], δ1=0º
V2 = 20 [V], ω2=200[Rad/seg], δ2=30º
V3 = 25 [V], ω3=300[Rad/seg], δ3=45º
3

4. Modelos Matemáticos Simples: Ecuaciones Diferenciales y Transformación Fasorial J. Benavides S.
Resolvamos este ejemplo para el caso general.
a) Con 1 1 1 1 1 1 1
ˆ( ) cos( )v t V t V Vω δ δ= − ⇒ = ∠− :
´
b) Con 2 2 2 2 2 2 2
ˆ( ) cos( )v t V t V Vω δ δ= − ⇒ = ∠− :
c) Con 3 3 3 3 3 3 3
ˆ( ) cos( )v t V t V Vω δ δ= − ⇒ = ∠ − :
Finalmente, la corriente total por superposición será: 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t i t= + +
Por lo tanto: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ) cos cos cosi t I t I t I tω ϕ δ ω ϕ δ ω ϕ δ= + − + + − + + −
4
1
ˆV
1( )i t 1
ˆI
1 1Lj L jXω @
R
1
1
1
Cj jX
Cω
− −@
( )
1 1
1
1 11
1 1 1 1
1
1 11
1
1
( )
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
ˆ1
ˆ ( ) :
( ) ( )
( ) cos
L C
R R
j
L
X XC
V V V
I
ZZ
R j L
C
I I I e Fasor dei
arctg arctg
i t I t
ϕ δ
ω
ω
δ
ϕ
ω
ω
ϕ δ
ϕ
ω ϕ δ
−
−
−
∠ −
= = =
∠ − 
+ − ÷ ÷
 
= ∠ − =
= − = −
= + −
1( )v t
2
ˆV
2 ( )i t 2
ˆI
2 2Lj L jXω @
R
2
2
1
Cj jX
Cω
− −@
( )
2 2
2
2 22
2 2 2 2
2
2 22
2
2
( )
2 2 2 2 2 2
1
2
2 2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ1
ˆ ( ) :
( ) ( )
( ) cos
L C
R R
j
L
X XC
V V V
I
ZZ
R j L
C
I I I e Fasor dei
arctg arctg
i t I t
ϕ δ
ω
ω
δ
ϕ
ω
ω
ϕ δ
ϕ
ω ϕ δ
−
−
−
∠ −
= = =
∠ − 
+ − ÷ ÷
 
= ∠ − =
= − = −
= + −
2 ( )v t
( )
3 3
3
3 3 3
3 3 3 3
3
3 33
3
3
( )
3 3 3 3 3 3
1
3
3 3 3 3 3
ˆ ˆ
ˆ
ˆ1
ˆ ( ) :
( ) ( )
( ) cos
L C
R R
j
L
C X X
V V V
I
ZZ
R j L
C
I I I e Fasor dei
arctg arctg
i t I t
ϕ δ
ω
ω
δ
ϕ
ω
ω
ϕ δ
ϕ
ω ϕ δ
−
−
−
∠ −
= = =
∠ − 
+ − ÷ ÷
 
= ∠ − =
= − = −
= + −
3
ˆV
3 ( )i t 3
ˆI
3 3Lj L jXω @
R
1
1
1
Cj jX
Cω
− −@
3( )v t
⇒
⇒
⇒