Objetivo 2 de Matemática III COD 733 para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 2. Calcular las integrales impropias, los criterios y propiedades
correspondientes.
Ejercicio 1
Determine la convergencia o divergencia de
¥ -
( 2)
2
arctg x
3 3 ( )4
dx
x
-
∫
Solución
Justificación: Primero voy a hacer algunos comentarios acerca de lo que
es una integral impropia. En muchas ocasiones resolvemos integrales
denominadas definidas por algunos autores y propias por otros, y se
caracterizan porque la función f es continua y acotada en un intervalo cerrado
[a,b] y se representan así:
∫ f ( x )
dx
b
a
Ahora bien, las integrales que no son propias, es decir, impropias, son
aquellas donde el intervalo de integración es infinito o que la función no esta
acotada, es decir, cuando la función tiene un número finito de discontinuidades
infinitas en alguno de los extremos de integración o en un punto que pertenece
al intervalo de integración.
A las primeras integrales (el intervalo de integración es infinito) algunos
autores las llaman de primera especie y a las segundas (función no acotada)
las llaman integrales impropias de segunda especie, e inclusive hay autores
que definen un tercer grupo, llamándolas de tercera especie a aquellas que son
mixtas, es decir, tienen características de las integrales impropias de primera y
segunda especie y normalmente se resuelven dividiéndola en 2 integrales, una
de primera y otra de segunda especie y aplicar la resolución correspondiente a
cada una.
Ahora bien, la pregunta es: ¿Cómo calculo una integral impropia?
Respuesta: Se calculan de la siguiente manera:
Integrales impropias de primera especie (limite de integración infinito)
b
¥
∫ = ∫
Caso 1: ( ) lim ( )
f x dx f x dx
b
®¥
a a

2. b b
∫ = ∫
Caso 2: ( ) lim ( )
f x dx f x dx
a
a
®-¥
-¥
c b
∫ = ∫ + ∫
Caso 3: ( ) lim ( ) lim ( )
f x dx f x dx f x dx
a b
a c
¥
®-¥ ®¥
-¥
Para los 2 primeros casos, si los limites existen y son finitos, se concluirá
que la integral CONVERGE, en caso contrario, es decir, que el límite exista y
sea infinito o que no exista se concluirá que la integral DIVERGE.
En el tercer caso, se cumple el mismo criterio de convergencia o
divergencia ya mencionado, con la salvedad de que la integral original
∫ f (x)dx
diverge si alguna de las integrales de la derecha diverge.
¥
-¥
Integrales impropias de segunda especie (función no acotada)
Caso 1: f (x) tiene una discontinuidad infinita en el extremo inferior a ,
recuerda que una discontinuidad infinita de una función es cuando:
= ¥ = -¥
lim f ( x ) o lim f ( x
)
x a x a
® ®
Estas condiciones son las que se tenían que cumplir cuando en
Matemática 2 se te pedía hallar asíntotas verticales.
En este caso se escribirá:
b b
∫ = ∫
( ) lim ( )
f x dx f x dx
® +
c a
a c
Observa que el límite tiende a a por la derecha, porque estamos dentro
del intervalo de integración.
Caso 2: f (x) tiene una discontinuidad infinita en el extremo superior b .
En este caso se escribirá:
b c
∫ = ∫
( ) lim ( )
f x dx f x dx
® -
c b
a a
Observa que el límite tiende a b por la izquierda, porque estamos dentro
del intervalo de integración.

3. Caso 3: f (x) tiene una discontinuidad infinita en un punto c que
pertenece al intervalo de integración cÎ[a,b] , en este caso se escribirá.
b c b d b
∫ = ∫ + ∫ = ∫ + ∫
( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
® - ® +
d c d c
a a c a d
Gráficamente la situación del intervalo sería:
Para los 2 primeros casos, si los limites existen y son finitos, se concluirá
que la integral CONVERGE, en caso contrario, es decir, que el límite exista y
sea infinito o que no exista se concluirá que la integral DIVERGE.
En el tercer caso, se cumple el mismo criterio de convergencia o
divergencia ya mencionado, con la salvedad de que la integral original
∫ f (x)dx
diverge si alguna de las integrales de la derecha diverge.
¥
-¥
A manera general, se trabajará calculando la primitiva de la función
integrando y se evaluara en los límites correspondientes de integración para
finalmente calcular el límite.
Ahora bien, hay casos, donde calcular la primitiva puede ser complicado,
e incluso, no existir la primitiva, en estos casos hay criterios que salvan la
situación y al aplicarse podemos saber si una integral impropia converge o no,
te nombraré 2 de los más usados:

4. Cuadro Nº 1
Comentarios de la tabla:
A) La integral modelo denotada por la letra M y m en el teorema de
comparación es la conocida por ti y tú la construyes sabiendo que converge o
diverge según tomes el valor de n señalado en la tabla, por ejemplo:
¥
∫ converge porque n = 3 >1 (Integral de primera especie)
· La integral 3
5
dx
x
· La integral
dx
x -
∫ diverge porque n = 5 >1 (Integral de segunda
( )
7
5
2 2
especie)
¥ ¥
∫ = ∫ diverge porque
dx dx
x
· La integral 1
x
5 5 2
1
n = < 1
(Integral de primera
2
especie)
· La integral
¥
∫ diverge porque n =1 =1 (Integral de primera especie)
5
dx
x
· La integral
7 7
∫ ∫ converge porque
( ) ( )
1
3
2 2 2 2
3 dx =
dx
x x
- -
1
n = < 1
(Integral de
3
segunda especie)
7
dx
x - ∫ diverge porque n =1 =1 (Integral de segunda
· La integral ( 2
)
2 especie)

5. B) La integral problema es la que te dan en el ejercicio, en la tabla viene
¥
∫ para las de primera especie y por ( )
representada por ( )
a
f x dx
b
∫ f x dx para
a
las de segunda especie.
C) En el teorema de comparación para las integrales de primera especie
¥
∫ ( )
:
a
f x dx
A manera general nos quieren decir que si la integral seleccionada por ti,
¥
∫ )
es decir, la integral modelo, (ésta integral modelo vamos a denotarla ( )
a
g x dx
converge y se cumple:
¥ ¥
∫ £ ∫
( ) ( )
f x dx g x dx
a a
Entonces puedes concluir que la integral problema ( )
a
f x dx
¥
∫
CONVERGE.
¥
∫ diverge y se cumple:
Si por el contrario, la integral modelo ( )
a
g x dx
¥ ¥
∫ ³ ∫
( ) ( )
g x dx f x dx
a a
¥
∫ DIVERGE.
Entonces puedes concluir que la integral problema ( )
a
f x dx
D) En el teorema de comparación para las integrales de segunda
b
∫ f x dx :
especie ( )
a

6. A manera general nos quieren decir que si la integral seleccionada por ti,
b
∫ g x dx )
es decir, la integral modelo, (ésta integral modelo vamos a denotarla ( )
a
converge y se cumple:
b b
∫ f ( x ) dx £ ∫ g ( x )
dx
a a
b
∫ f x dx
Entonces puedes concluir que la integral problema ( )
a
CONVERGE.
b
∫ g x dx diverge y se cumple:
Si por el contrario, la integral modelo ( )
a
b b
∫ g ( x ) dx ³ ∫ f ( x )
dx
a a
b
∫ f x dx DIVERGE.
Entonces puedes concluir que la integral problema ( )
a
E) En el criterio del cociente, lo que quiere decir, tanto para las integrales
de primera como de segunda especie, es que si el límite ES FINITO Y
DISTINTO DE CERO, ambas integrales convergen o ambas divergen, según la
integral modelo que tengas.
Si este límite llega a darte cero (0) lo único que puedes concluir es que si
la integral modelo converge, entonces la integral problema también
CONVERGE, más no puedes concluir nada acerca de la divergencia.
Después de haber hecho estos comentarios que servirán para toda la
guía procederé a resolver el ejercicio planteado.

7. ¥ -
( 2)
2
arctg x
3 3 ( )4
dx
x
-
∫
Observa que la integral es de primera especie, es decir, tiene límite de
integración infinito, NO es de segunda especie porque la función integrando
( 2)
2
arctg x
3 ( x
)4
-
-
no tiene discontinuidades infinitas en el intervalo de integración
[3,¥). Siendo así las cosas, podemos escribir:
b
- = -
- -
( 2) ( 2)
arctg x arctg x
∫ lim
∫
dx dx
3 ( x 2 ) 4 b
3 3
3 ( x
2
) 4 ¥
®¥
Pasemos entonces a calcular la primitiva:
( 2)
2
arctg x
( )3 4
dx
x
-
-
∫
Estamos en presencia de una integral por partes, por contener el
integrando la función inversa de la tangente, tal como se explicó en detalle en
el objetivo 1, por lo tanto, se procederá así:
( )4
t x
3 4
3
( 2
( 2)
2 (
)
2)
u arc
dx
dv
arctg x
I dx
x
x
 g
-  = ®
= -
 =
-

-

∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
'
2
= - = -
3 4
3 4
2
( 2)
( 2)
( 2) 1
1 ( 2)
-
1 ( 2)
( 2
)
dx
dv dx
d
x
u arctg x du
x du dx
x
x v v
x

  
    ® ®
  
 
+ - =
=
= =
-

+
 - ∫ ∫
La integral de dv se calculará así:
-  = - - -
4 4 4
3 3 3
dx dx u x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= = -  ® - = -  = -
4 4 3
3
2
( 2) ( 2)
( 2) ( 2)
x dx x dx u du
x du dx x
4 1
4 1 3 3
3
3
1
3
u u
4 1
1
3 3
u du
u
- + -
- = = = -
- + -
∫
= - ® = -
3 3
3
( - 2) 4 ( - 2 ) 1 ( 1 -
2
) 3 3
dx
v
x x x
∫

8. Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
- -
- - -
( ) ( ) 1 1
3 3
2
3 3
2
1
( 2)
1 (
. .
)
.
2 2
I u v v du arctg x
x
dx
x x
= - =
+
- - ∫ ∫
dx
= - - +
I arctg x
∫
( ) 1 - 3
( - ) ( + -
2 ) 3
3
( 2) 3
2 2 1 ( 2)
x x x
Esta última integral se resuelve a través del cambio x - 2 = z3 , para
eliminar la raíz de la integral, así:
3
2
 - 2
=

 =
3
x z
dx z dz
Sustituyendo este cambio de variable, se tiene:
2 2 2
3 3 3
∫ dx = ∫ z dz = ∫ z dz =
z
dz
+ + ∫ ∫
3 3 3 3
( - ) ( + - ) ( + ) ( +
)
3 2 3 3 3 2 6
2 1 ( 2) 1 ( ) 1
x x z z z z
=
( ) 9
z 1 6 ( 1
6 ) zdz
z z
Esta última integral la podemos escribir:
zdz zdz
z z
∫ =
∫
9 9
( 1 + 6 ) ( +
( 2 ) 3
1
) Y con el cambio de variable:
2
 = 

= 2
® = 2
w z
dw
dw zdz zdz
Así:
9
zdz dw
z w
∫ =
∫
( ( ) ) 3 3 2
9
+ +
1 2 1
Recordando: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 )
Se tiene: 13 + w3 = (w+1)(12 - (1)w+ w2 ) = (w+1)(w2 - w+1)
Nuestra integral se transforma en:
9 dw 9
dw
2 1 w 2 w 1 w w
1
∫ =
∫
+ + - + 3 ( )( 2 )
Separando en fracciones parciales, método de integración explicado en
detalle en el Objetivo 1:
1
= + +
A Bw C
( )( 2 ) 2
+ - + + - +
1 1 1 1
w w w w w w

9. - + + + +
1 1 1
( )( )
( ) ( )( )
A w w Bw C w
( )( )
2
=
+ 2 - + + 2
- +
1 1 1 1
w w w w w w
1
( w+1 )( w 2 - w+1
)
( - + ) + ( + )( +
)
1 1
1 1
A w w Bw C w
( )( )
2
2
w w w
=
+ - +
1 = (Aw2 - Aw+ A)+ (Bw2 +Cw+ Bw+C)
1 = ( A+ B)w2 + (B +C - A)w+ A+C
 + = 0
 = -
   + - = ® + - = ®- + - - = ® = =
  + =  
= - Entonces:
1
A B B A
B C A 0 B C A 0 A 1 A A 0 3 A 1
A
A C C A
3
1 1
1 1 2
B = - y C = 1
- =
3 3 3
Así:
- +
1 2
dw dw w
9 9 1 9 3 3
2 1 2 3 1 2 1
∫ = ∫ +
∫
+ 3 + 2
- + dw
w w w w
9 dw 3 dw 9 1 wdw 9 2
dw
2 1 w 2 w 1 2 3 w w 1 2 3 w w
1
∫ = ∫ - ∫ +
∫
+ 3 + 2 - + 2
- + 9 3 3
dw dw wdw dw
w w w w w w
∫ = ∫ - ∫ +
3
∫
+ 3 + 2 - + 2
- + 2 1 2 1 2 1 1
La primera de estas integrales es directa:
3 3
ln 1
dw
2 1 2
w
w
= +
+ ∫
La segunda y tercera integral, se resuelven completando cuadrados en
el denominador:
Para la segunda:
3 ∫ wdw 3 ∫ wdw 3
∫
wdw
2 w w
1 2 1 1 2 1 3
- = - = -
- +      -  - +  -  +
2 2 2
1
w w
2 4 2 4
   
Con el cambio de variable:
1 1
2 2
 R = w - ® w = R
+  dR =
dw

Se tiene:

10. 1
   + 
R dR
3 2 3 RdR 3 1 dR 3 RdR 3
dR
2 3 2 3 2 2 3 2 3 4 3
-   = - - = - -
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
+ + + + +
2 2 2 2 2
R R R R R
4 4 4 4 4
Para la tercera:
dw dw dw
∫ = ∫ =
∫
2 2 2 3 3 3
- +      -  - +  -  +
1 1 1 1 3
1
2 4 2 4
w w
w w
   
Con el mismo cambio de variable:
1 1
2 2
 R = w - ® w = R
+  dR =
dw

se tiene:
dw dR
∫ ∫
2
 -  + 2
 
+  
=
3 3
1 3 3
2 4 4
w R
Al sumar la segunda y tercera integral se tiene:
+ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
- + = - -
2
+
2 3
- + 2
- 2 + 2
2
+
3
3
3
3 3
3
2 1 1 3
4
4
4
4
wdw dw RdR
w w w
dR dR
w R R R
Como las integrales destacadas en azul son iguales se suman
algebraicamente:
R - +    - 
wdw dw RdR
w w
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
2
2
3 3
3
2 1 3
3
3
4 3
4
1 2
4
d
w w R  
R
= - +
- + - + + +
3 3 9
wdw dw RdR dR
w w w w R R
∫ ∫ ∫ ∫
- + = - +
- + - + + +
2 2
2 2
3
2 1 1 2 3 4 3
4 4
Y estas 2 últimas integrales son inmediatas, haré un cambio de variable
en la primera de ellas para que visualices mejor:
b b b b
 = + 
R 2
d
RdR d
R d d RdR RdR
∫ ∫ ∫

- ® ®- = - = - 2
3
3 4 3 2 3 1 3 ln
2 3 2 2 2 4
b b b b
+ = = 
2
4 2
Devolviendo este cambio:
3 3 3
- = -   2
+  
RdR
2
ln
2 3 4 4
4
R
R
+  
∫

11. En la segunda integral
9
4 2
3
4
dR
R +
∫ , se compara con la integral de tabla:
du 1 u
∫
=   arctg
2 + 2
  u a a  a
 Al comparar se tiene: 2 3 3
a = a =
4 2
Entonces:
9 9 1 9 2
4 3 4 3 3 2 3 3
dR R R
2
arctg arctg
4 2 2
R
 
   
=   =  
+      
 
∫
Como:
1
2
R = w- se tiene:
  1
  3 wdw dw
3   1  2
 2
w
- - + = - - + 3 + 9    2
 3 ln
   w  arctg
  2 w 2 - w + 1 w 2
- w
+ 1 4    2  4   2 3  3
  
 
∫ ∫
3 wdw dw 3 9 2 w
1
( 2 )
∫ ∫
3 ln 1
2 2
w w arctg
2 w w 1 w w
1 4 2 3 3
 - 
- + = - - + +   - + - +  
Por lo tanto:
9 dw 3 3 9 2 w
1
( 2 )
3
ln 1 ln 1
w w w arctg
2 1 w
2 4 2 3 3
 - 
= + - - + +   +  
∫
Como w = z2 , se tiene:
zdz z
2
2 4 2
( ) ( ) ( ) 6
3 3 9 2 1
9 ln 1 ln 1
z z z arctg
1 z
2 4 2 3 3
 -  = + - - + +  
+  
∫
Y como x - 2 = z3z = 3 x - 2
 - -  = - + - - - - + +   - + -    
dx ( ) ( 3 ( ) 2 ) ( 3 ( ) 4 3 ( ) 2
) 3 ( x
)2
( ) 3 2
3 3 9 2 2 1
3 ln 2 1 ln 2 2 1
x x x arctg
2 1 ( 2) 2 4 2 3 3
x x
∫
Finalmente nuestra integral original es:
-  - -  = - + - + - - - - + +   -    
I arctg x x x x arctg
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 2 1
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1
x
2 2 4 2 3 3
x

12. Para calcular el límite:
( 2)
3 3 ( )4
lim
2
b
b
arctg x
dx
x ®¥
-
-
∫ , evaluamos esta primitiva
entre 3 y b , obteniendo:
-  - -  - + - + - - - - + +   -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 2 1
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1
2 2 4 2 3 3
b
3
x
arctg x x x x arctg
x
-  - -  - + - + - - - - + +   - -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 2 1
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1
b
arctg b b b b arctg
2 2 4 2 3 3
b
-  - -  - + - + - - - - + +   -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 3 2 1
(3 2) ln 3 2 1 ln 3 2 3 2 1
arctg arctg
3 2 2 4 2 3 3
La dos últimas escrituras destacadas en azul son continuas, es decir
evalué en b , en la primera línea y le reste la evaluación en 3 en la segunda
línea.
Continuando con la evaluación:
-  - -  - + - + - - - - + +   - -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 2 1
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1
b
arctg b b b b arctg
2 2 4 2 3 3
b
 - 
( ) ( ) 3 3 9 2 1
- 3 arctg (1) + ln 2 - ln 1 - 1 + 1
+ arctg
 
2 4 2 3 3
 
-  - -  - + - + - - - - + +   - -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 2 1
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1
b
arctg b b b b arctg
2 2 4 2 3 3
b
- p + + p
3 3 ln ( ) 9
2
4 2 2 3 6
-  - -  - + - + - - - - + +   - -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2
3 2 3 4 3 2
3
3 3 3 9 2 2 1
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1
b
arctg b b b b arctg
2 2 4 2 3 3
b
- p + + p
3 3 ln ( ) 3
2
4 2 4 3
p p -  - -  - + - + - - - - + +   + - - -    
( )
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
3 2 3 4 3 2
( )
3
3 3 3 9 2 b
2 1 3 3 3
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1 ln 2
arctg b b b b arctg
2 2 4 2 3 3 4 2 4 3
b

13. a
Aplicando las propiedades de logaritmo: b ln a = ln ab y ln ln ln
a b
b
= - , se tiene:
p p -  - -  - + - + - - - - + +   + - - -    
( )
( ) 3 ( 3 3 ( ) 2
3 ( ) 2 2 3 ( ) 4 3 ( ) 2 ) 4
( )
3
3 9 2 b
2 1 3 3 3
( 2) ln 2 1 ln 2 2 1 ln 2
arctg b b b b arctg
2 2 3 3 4 2 4 3
b
 
 - +   - -  - - +   +   + - - -      - - - +     
3 2 1 9 2 2 1 3 3 3
( )
( ( ) )
( ( ) ( ) )
b b
( ) ( )
3
3 2 2 3 2
( 2) ln ln 2
arctg b arctg
3
3
2 2 3 3 4 2 4 3
3 4 3 2 4
2 2 1
b
b b
p p
2 1 2 2 1 3 9 3 3 3
( )
( ( ) )
( ( ) ( ) )
b b
( ) ( )
3
3 2 3 2
( 2) ln ln 2
arctg b arctg
3
3
2 2 3 3 4 2 4 3
3 4 3 2 4
2 2 1
b
b b
p p
 
-  - +   - -  - +   +   + - - -      - - - +     
 
 
 - +   - -  - - +   +   + - - -      
2 1 2 2 1 3 9 3 3 3
( )
( ( ) )
( ( ) ( ) )
b b
( ) ( )
3
3 2 3 2
( 2) ln ln 2
arctg b arctg
3 2 3
2 2 3 3 4 2 4 3
3 4 3 2 4
2 2 1
b
b b
p p
  - - - +            
 
 - +   - -  - - +   +   + - - -      - - - +   
2 1 2 2 1 3 9 3 3 3
( )
( ( ) )
( ( ) ( ) )
b b
( ) ( )
3
3 2 3 2
( 2) ln ln 2
arctg b arctg
3
3
2 2 3 3 4 2 4 3
3 4 3 2 2
2 2 1
b
b b
p p
 
Aplicaré el límite cuando b®¥, a cada una de las expresiones
anteriores:
Primer límite:
3 3 3 3
lim arctg ( b 2) arctg ( 2) arctg
( ) . 0. 0
b 2 2 2 2
3 ( b
) 3 ( ) 3 ( )
p p
®¥
- - = - ¥ - = - ¥ = - = =
- ¥ - ¥ ¥
Segundo límite:
( ) ( ) ( )
9 23 b
2 2 1 9 23 2 2 1 9 1 9
lim
b 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
arctg arctg arctg arctg
®¥
 - -   ¥- -  ¥ -         =   =   = ¥ =  
   
p = p
9 9
.
2 3 2 4 3
Tercer límite:
p p p p
( ) ( ) 3 3 3 3 3 3
lim ln 2 ln 2
b ®¥
4 2 4 3 4 2 4 3
 
 - -  = - -
 
Porque el límite de una constante, es constante.

14. Cuarto y último límite:
( ( ) )
( ( ) ( ) )
( ( ) )
( ( ) ( ) )
 3   3

 3 b - 2 2 + 1   3 b
- 2 2
+ 1

  =      
 - - - +   - - - +     
limln limln
3 3
®¥ ®¥
b b
4 2 2 3 4 3 2 3 3
2 2 1 2 2 1
b b b b
  ( 3 2 
  3 ( ) 2 )
 - +  6  3 - 2
 +      =
 ( ( - ) - ( - )  + )
 
- - - +  
( ( ) )
( ( ) ( ) )
2 1 2 1
b b
limln limln
3 4 3
®¥ ®¥
b b
3 4 3 2 3 4 3 2
2 2 1 2 2 1
b b b b
Su sustituimos por infinito se tiene:
( 6
3 ( 2 ) 2
1
)
( ( ) ( ) )
4 3
3 4 3 2
limln
2 2 1
b
b
b b
®¥
- + ¥ =
- - - + ¥
Por lo tanto dividimos entre el término de mayor grado:
( ( ) )
( ( ) ( ) )
  - +  ( - )
+ 
6
6 3 2 3 2
2 1 2 1
 4

b b
b b
4 6
=  
4 3 4 3 3 4 3 2 3 4 3 2
- - - +   ( - ) - ( - )
+  
 4

 
®¥ ®¥
b b
4
3
limln limln
2 2 1 2 2 1
b b b b
b b
  ( - )
+     -  +     
  =  
6 6
3 2 3 2
2 1 2 1
b b
b b b
2 2 2
3 3 3
limln limln
4 3 4 3 3 4 3 2 3 4 3 2
®¥ ®¥
 - - - +   - -     - +     
   
b b
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 1 2 2 1
b b b b
4 4 4 4
3 3 3 3
b b b b
 3  ( b - 2 )
2  1  +   b
- 2 2
 + 1
  3 b 2 2   b 2 2

 b 3  =  b
3

limln limln
4 3 4 3 3 4 3 2 4 2
®¥ ®¥
 - -   - -   - +   - +     
   
b b
( ) ( )
6 6
( )
3
( ) ( )
2 2 1 2 2 1
b b b b
3 3
b b b b b b
3 4 3 4 4 4 4 4
3 3
6 6
  b - 2  2     + 1    b
2  2
1
3   3
 - 
+    b  2    b b
 2

 b 3  =  b
3

limln limln
4 3 4 3
®¥ ®¥
b b
 4   b - 2  - b 2 - 4 b + 4 1   4 2
 3   3 +    b 3  - 2  - b - b
4 1

3
4
+ +    b  b 4 4    b b  b 4 b 4 b
4 4

   
b b
3 3

15. 6 6
2 2
2 1 2 1
1 1
3 3
2 2
3 3
limln ln
4 3 4 3
4 4
2 1 4 4 1 2 1 4 4 1
1 1
3 3 3 3
2 3 4 4 2 3 4 4
3 3
b
b
b
b b b b
b
®¥
   
  -  +    -  +            ¥  
  =  ¥ 
   
  -  - - + +    -  - - + +            ¥  ¥ ¥ ¥ 
   ¥ 
( ( ) )
( ( ) )
- + +
1 0 0 1 0 1
( )
( )
6
3 2 6
ln ln ln ln1 0
4 4 4 3 3
1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
3 4 3
= = = =
- - - + + - +
Sumando los valores obtenidos en los 4 límites, tenemos el resultado de
nuestra integral:
¥ arctg ( x
- 2) = + 9 p + 3 p - 3 - 3
p +
( ) 3 4 3
( )
0 ln 2 0
dx
2 4 3 4 2 4 3
x
-
∫
¥ - = p + p - = p + p - = p + p -
( 2) 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
arctg x
( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3
( )
ln 2 ln 2 ln 2
dx
2 4 3 4 2 2 3 3 4 2 2 3 4 2
x
-
∫
¥ -   = + - =  +  -
( 2) 3 3 3 3 3 3ln 2
arctg x
( ) 3 4 3
( )
ln 2
dx
2 2 4 2 2 4 2
x
p p p
-  
∫
Como el límite existe y es un resultado finito, concluimos que la integral
converge.
Ahora bien, el trabajo fue laborioso, y supongo que hasta este momento,
en este primer ejercicio, quizás estés impresionada e impresionado, y te
preguntes ¿Cómo voy a resolver tamaña integral? Acaso ¿así son todas las
integrales impropias?, afortunadamente no todas las integrales impropias son
como esta, normalmente, su primitiva se calcula relativamente fácil, de hecho,
las integrales impropias son relativamente fáciles de resolver, tal como veras
en el resto de la guía.
Recuerdas cuando te mencione, en la página 3 de ésta guía: “Ahora
bien, hay casos, donde calcular la primitiva puede ser complicado, e incluso, no
existir la primitiva, en estos casos hay criterios que salvan la situación y al
aplicarse podemos saber si una integral impropia converge o no…”
Pues desarrolle ésta integra con toda intención de que caigas en la
cuenta, que NO ES NECESARIO OBTENER LA PRIMITIVA Y MUCHO
MENOS OBTENER EL VALOR DE LA INTEGRAL, porque la pregunta es:

16. DETERMINE LA CONVERGENCIA DE UNA INTEGRAL, ES DECIR,
¿CONVERGE O DIVERGE? La pregunta no es INDIQUE EL VALOR DE LA
INTEGRAL, fíjate que son preguntas bien distintas, en fin, s se nos presenta
este ejercicio, y observas que la primitiva es complicada de resolver, pues es
momento de pensar en otro camino, y ése otro camino es, los criterios que te
mencione.
Pasaré a resolver esta misma integral aplicando los criterios explicados
en el cuadro número 1 y de otra manera, para que selecciones la que más te
parezca sencilla.
Primera forma
Observemos de nuevo la integral original:
¥ -
( 2)
2
arctg x
3 3 ( )4
dx
x
-
∫
Si queremos aplicar el criterio de comparación en este caso, donde
tenemos una función inversa trigonométrica, a saber, arco tangente de equis
menos dos, aprovechamos de formar nuestra desigualdad de la siguiente
manera:
Como los límites de integración pertenecen al intervalo [3,¥), se
plantea:
3 £ x < ¥
Ahora la idea es formar la función inversa, para luego completar la
función integrando completa, observa que el argumento de la función arco
tangente es x - 2 , por lo tanto restamos 2 en todas las expresiones de la
desigualdad anterior:
3- 2 £ x - 2 < ¥ - 2
1£ x - 2 < ¥
Ahora se aplica la función arctg en todos los miembros de la expresión,
así:
arctg (1) £ arctg (x - 2) < arctg (¥)
p = p = p = ¥p = ¥
Recordando que: tg 1 arctg (1) y tg arctg
( )
4 4 2 2
Entonces:

17. p £ - < p
( 2)
arctg x
4 2
Ahora, para terminar de formar la función integrando, se debe dividir
toda la expresión de la desigualdad entre ( )3 x - 2 4 y podemos hacerlo, porque
esta expresión no es cero en el intervalo [3,¥) y tampoco altera los signos de
relación porque siempre es positiva en este intervalo, porque su argumento
esta elevado a una potencia par, por lo tanto vale escribir:
p arctg ( x
- 2
)
£ <
p
3 ( - )
4 3 ( - ) 4 3 ( -
) 4
4 x 2 x 2 2 x
2
Aplicando integral en toda la expresión anterior, se tiene:
( )
( ) ( ) 3 4 3 4 3 4 3 3 3
¥ p ¥ - ¥ p
∫ ∫ ∫
( )
2
arctg x
£ <
dx dx dx
- - -
4 x 2 x 2 2 x
2
Recordando el criterio de comparación que se explico en detalle en la
página 5 de esta guía en el apartado “C” que señala:
“A manera general nos quieren decir que si la integral seleccionada por
ti, es decir, la integral modelo, (ésta integral modelo vamos a denotarla
¥
∫ ( )
) converge y se cumple:
a
g x dx
¥ ¥
∫ £ ∫
( ) ( )
f x dx g x dx
a a
Entonces puedes concluir que la integral problema ( )
a
f x dx
¥
∫
CONVERGE”.
¥ ¥
∫ £ ∫ con la
Si comparamos la desigualdad del criterio ( ) ( )
f x dx g x dx
a a
desigualdad ya obtenida:
( )
( ) ( ) 3 4 3 4 3 3
¥ - ¥ p
2
2 2 2
arctg x
∫ <
∫
dx dx
- -
x x
Podemos ver claramente que la integral modelo en este caso es:
¥ ¥ p
( ) dx
3 ( )
3 2 3 x
2
4 g x dx
=
-
∫ ∫

18. Veamos si esta integral converge:
Podemos escribir:
p
3 3 ( )4
lim
®¥ -
2 2
b
b
dx
x
∫
Calculemos su función primitiva:
p p dx  u = x - 2
p dx p du
p -
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= ® ® = = - -  = -
dx u du
x x du dx x u
( ) ( ) ( )
4
3
4 4 4 4 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
4 1
4 1 3 3
3
3 1
1
3
u u
2 2 4 2 1 2 1
3 3
u du
u
p p p p - + -
- = = = -
- + -
∫
Devolviendo el cambio u = x - 2 , se tiene finalmente:
p - 3 p 1 - 3 p
1
dx
= = - - -
( ) ( ) ( ) 4 1 3 3 3
2 x 2 2 x 2 2 x
2
∫
Evaluando esta integral de 3 a b , se tiene:
b
- 3 p 1 - 3 p  1    =  - 1 = -  3 p  1
- 
3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )
1
2 2 2 2 3 2 2 2
-  - -   - 
x b b
3
Aplicando el límite, se tiene:
-   -   -   -   -  -  =  -  =  -  =  -  = - =  -   -   ¥ -  ¥ 
p p p p p p
3 1 3 1 3 1 3 1 3 3
lim 1 lim 1 1 1 1
b 2 b 2 2 b b 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( )
®¥ ®¥
3 3 3
Por lo tanto la integral
¥ ¥ p
∫ ( ) ∫ dx
converge, y como se
3 ( )
3 2 3 x
2
4 g x dx
=
-
cumple:
( )
( ) ( ) 3 4 3 4 3 3
¥ - ¥ p
2
2 2 2
arctg x
∫ <
∫
dx dx
- -
x x
¥ ( -
)
Se concluye que la integral 2
2
arctg x
∫ dada también converge.
( )3 4 3
dx
x
-
OBSERVA LA GRAN DIFERENCIA ENTRE ESTE CAMINO
APLICANDO EL CRITERIO DE COMPARACIÓN Y EL PRIMER CAMINO
ENGORROSO Y COMPLEJO PARA LLEGAR A LA MISMA CONCLUSIÓN
¿CUÁL CAMINO TOMARÁS? CREO QUE LA RESPUESTA ES OBVIA.

19. Segunda forma
Supongamos que deseas aplicar el criterio del cociente explicado
anteriormente.
Este criterio nos indica:
Vamos a formar una integral modelo que sepamos su naturaleza, es
decir, que converge:
¥
∫ Sabemos que converge porque: n = 2 >1
2
3
dx
x
Aplicando el límite del criterio:
( )
( ) ( )
 arctg x
- 
 
 3 x - 4  x 2
arctg x
- = = ¥     3 ( - )
4
¥
 
 
®¥ ®¥
2
2
2 . 2
lim lim
1 2 x x
x
x
Entonces:
( )
( ) ( )
( )
-
2 2
. 2
x arctg x x
= -
lim lim .lim 2
3 4 3 4
2 2 x x x
arctg x
x x ®¥ ®¥ ®¥
- -
· El límite:
2
x
x ®¥
lim 0
( )
3 4
2 x
=
-
porque el exponente del denominador es
mayor que el del numerador.
· lim arctg ( x 2) arctg
( )
p
x ®¥
2
- = ¥ =
Por lo tanto:
( )
( )
( )
2
. 2
x arctg x
lim 0 . 0
x
3 x
2 4
2 p
®¥
-   =   =
-  
¥
∫ converge, también converge:
Se concluye que como 2
3
dx
x

20. ( )
¥ -
2
2
arctg x
3 3 ( )4
dx
x
-
∫
¥ ( -
)
Respuesta: La integral 2
2
arctg x
∫ converge
( )3 4 3
dx
x
-
Ejercicio 2
Determina la convergencia o divergencia de la integral:
1
arcsen x
0 1
dx
- x ∫
Solución
Justificación: Estamos en presencia de una integral de segunda especie,
porque la función integrando
arcsen x
1
- x
, no es acotada en el extremo superior
x =1, es decir, tiene una discontinuidad infinita porque:
arcsen x arcsen
1 lim
2 x 1
1 x
1 1 0
p
®
= = ®¥
- -
Por lo tanto, podemos escribir:
1
arcsen x arcsen x
∫ lim
∫
- - b
=
dx dx
x x ® -
1 b
1
1
0 0
Calculemos la primitiva de
arcsen x
1
- x
, es decir:
arcsen x
1
dx
- x ∫
Estamos en presencia de una integral por partes, por contener el
integrando la función inversa de seno, tal como se explicó en detalle en el
objetivo 1, por lo tanto, se procederá así:
1
= 
u arcsen
1
arcsen x
I d x
x
x
x v
d
x
d =
= ®
-   -
∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

21. ( )
( )
1
1
2
x x dx du dx
= = =
= - - -
u arcsen x x x x x
2
2
1
'
1 1 1 2
1 1 1
2
1
2
1 1 2 1
dx
dv
x dx u x du du u
dv v u du
x du dx u
u
- +
-
= 
-  = -
= ® ® = - = - = - = - -  = - -
+



  ®
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Luego la integral de dv es:
1
2
v = - = - 2
u
u
1
2
Como u =1- x , finalmente se tiene:
v = -2 1- x
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
∫ ∫
2 1
- . . 2 1 2 1 .
dx
u du arcsen x
x x
I = v - v = - - x - - - x
I = -2 1- xarcsen x + 2 1- x .
2
dx
x 1- x
∫
2 1
dx
I arcsen x
x
= - - x + ∫
Es sencillo resolver la integral:
1 1
1 1 2 2
2
dx dx x x
1
2
2
x dx x
1 1
1
2 2
x
x
- +
- = = = = =
- +
∫ ∫ ∫
Por lo tanto nuestra integral es:
2 1 2
arcsen x
1
dx xarcsen x x
x
= - - +
- ∫
Evaluando de 0 a b , se tiene:
b
2 1 2 2 1 2 ( 2 1 0 0 2 0 )
- - xarcsen x + x = - - barcsen b + b - - - arcsen +
0
-2 1- barcsen b + 2 b - (-2(0) + 0) = -2 1- barcsen b + 2 b
Aplicando el límite, se tiene:
( ) 1
lim 2 1 2
b
barcsen b b
® -
- - +

22. p  - - + = -   + = + =
( 2 1 1 1 2 1) 2(0) 2 0 2 2
2
arcsen
 
En conclusión:
Respuesta: La integral
1
- ∫ por lo tanto converge.
0
2
arcsen x
1
dx
x
=
Ejercicio 3
Hallar el número positivo “ a ” que satisfaga la ecuación:
¥
=
dx dx
x x
+ + ∫ ∫
2 2
a
1 1
0 a
Solución
Justificación: Primero calcularemos la primitiva de las integrales dadas,
que en este caso, es la misma primitiva:
dx
1 2
arctgx
x
=
+ ∫
Ahora evaluaremos cada integral, la de la izquierda sería:
a dx a
( ) ( ) ( ) 2
0
0 0
arctgx arctg a arctg arctg a arctg a
1 x
0
= = - = - =
+ ∫
La integral de la derecha es:
¥ dx
¥ p
= arctgx = arctg ( ¥ ) - arctg ( a ) = -
arctg ( a
) 1 x 2 a
2 a
+ ∫
Recuerda que: arctg
( ) 2
¥ = p
Sustituyendo en la igualdad, se tiene:
= p -
( ) ( ) 2
arctg a arctg a
Ahora procedemos a despejar “ a ” que es el valor pedido:
+ = p ® = p ® = p = p
( ) ( ) 2 ( ) ( )
arctg a arctg a arctg a arctg a
2 2 2.2 4
Aplicando tangente en ambos miembros de la última igualdad, se tiene:
p    =  ® =  
( ) 1
tg arctg a tg a
4
Por lo tanto:

23. Respuesta: El valor de “ a ” para que se cumpla la igualdad
¥
=
dx dx
x x
∫ ∫ es a =1.
+ 2 + 2
a
1 1
0 a
Ejercicio 4
Determinar los valores de “ p ” para los cuales converge la integral:
( ( 2 ))
2 ln
p
dx
I
x x
¥
= ∫
Solución
Justificación: Estamos en presencia de una integral impropia de primera
especie, por ende podemos escribir:
dx
x x ®¥ ∫
( ( 2 ))
2
lim
ln
b
b p
Vamos a calcular la primitiva necesaria, a través, de la integral:
(ln ( 2 ))
p
dx
x x
∫
Con el cambio de variable:
( ( ))
( 2 )
2
 = =
ln 2ln
ln 2
2
p
u x x
dx
dx dx du
x x du
x x

= ® = 
∫
Así:
dx du u
= = - =
- + ∫ ∫ ∫
( ( )) ( )
- +
1
2
1 1 1
p
p
p p
u du
ln 2 2 2 1
x x u p
Devolviendo el cambio hecho, se tiene:
1 ( 2ln
x
) - p +
1 2 p
1
- +
Evaluando de 2 a “b ”, se tiene:
p p p b
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2ln 1 2ln 2ln 2
2 1 2 1 1
- +  - + - + 
x b
p p p
2
=  - 
- +  - + - + 
Aplicando el límite:

24. 1 ( 2ln ) - + 1 ( 2ln 2 ) - + 1 1 ( 2ln ) - + 1 (2ln 2) - +
1
 b p p   b
p p

lim  -  = lim
 - 
b ®¥ 2  - p + 1 - p + 1  2 b
®¥
 - p + 1 - p
+ 1

1 ( 2ln ) - + 1 ( 2ln 2 ) - + 1 1 ( 2ln ) - + 1 ( 2ln 2
) - +
1  b p p   b
p p

 lim - lim  =  lim
- 
 - p + - p +   - p + - p
+ 
2 b ®¥ 1 b ®¥ 1 2 b
®¥
1 1
Analizando el límite:
( ) 1 2ln
lim
p
1
b
b
p
- +
®¥ - +
Sabemos que lim2ln 2ln
b
b
®¥
= ¥ = ¥
Por lo tanto en el límite se tendría la expresión:
( ) 1
- + ¥
- +
1
p
p
Este término: ( ) - p+1 ¥ puede ser cero o infinito.
Recuerda las propiedades de infinito: ( ) 0 y ( ) -K +K ¥ = ¥ = ¥.
Es decir, si el exponente de ( ) - p+1 ¥ es negativo, el término es cero, y si
es positivo nos genera infinito, por lo tanto:
Para tener una integral convergente conviene que: ( ) 1 0 - p+ ¥ = , es decir,
que el exponente sea negativo:
- p +1< 0⇒ p >1
Entonces, para p >1 la integral converge y se tendría el valor de la
misma así:
1 ( 2ln ) - + 1 ( 2ln 2 ) - + 1 1 ( 2ln 2 ) - + 1 1 ( 2ln 2
) - +
1  p p   p   p

 lim -  =  0
-  = -  
 - + - +   - +   - + 
2 b
1 1 2 1 2 1
b
p p p p
®¥
Por otro lado, si el término ( ) - p+1 ¥ = ¥ la integral diverge, y para que
( ) - p+1 ¥ = ¥ el exponente debe ser positivo, es decir:
- p +1 > 0⇒ p <1
Entonces, para p <1 la integral diverge, se ve claramente que si
intentaras obtener un valor bajo la condición p <1 de divergencia, tendrías:

25. ( ) - + ( ) - + ( ) - +
[ ]
   
 -  = ¥-  = ¥ = ¥
 - + - +   - + 
1 2ln 1 2ln 2 1 1 2ln 2 1 1
lim
p p p
2 b
1 1 2 1 2
b
p p p
®¥
la pregunta lógica hasta ahora es: ¿Qué sucede si p =1?, ¿converge? o
¿diverge?, para dar respuesta a estas preguntas, calculamos la integral para
p =1, así:
dx
x x ∫
ln ( 2 )
Con el cambio de variable:
( ( ))
( 2 )
2
 = =
ln 2ln
u x x
ln 2
2
dx
x x dx dx du du
x x

= ® = 
∫
Así:
dx du
∫ = ∫ =
( 2 )
1 1
ln
ln 2 2
u
x x u
Devolviendo el cambio hecho, se tiene:
dx
∫ =
( 2 )
1
ln 2ln
ln 2
x
x x
Evaluando de 2 a “b ”, se tiene:
b
x =  b - 
1 1
ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2
2 2
2
Aplicando el límite:
[ ] 1 1 1
lim ln 2ln b
ln 2ln 2 ln 2ln 2
b ®¥
2 2 2
 -  = ¥ -  = ¥ = ¥
En conclusión para p =1 la integral diverge.
Respuesta: Para p >1 la integral converge y para p £1 la integral
diverge.
Ejercicio 5
Determina la convergencia o divergencia de la integral
¥
= ∫ -
I e xsenxdx
0
Solución

26. Justificación: Estamos en presencia de una integral de romera especie,
por tener un intervalo de integración infinito: [0,¥) , por lo tanto podemos
escribir:
I e- senxdx
= ∫
0
lim
b
x
b
®¥
Vamos a calcular la primitiva: e-xsenxdx ∫
Estamos en presencia de una integral por partes, por contener el
integrando una función exponencial multiplicada por la función seno de equis,
tal como se explicó en detalle en el objetivo 1, por lo tanto, se procederá así:
x
=
u e x
I e
dv senxd
senxd
x
- x
 -
=
=
®
∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
cos
- -
= =
   ®
x du e xd
u e x

v senxdx
= =
® = -
d dv senxdx v x
 
-
∫ ∫
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
I = u.v - ∫ v.du = -cos xe-x - ∫ -cos x.(-e-x )dx
I = -cos xe-x - ∫ cos x.e-xdx
Como la integral que se genera es de la misma naturaleza que la
original, se integra de nuevo por partes:
= 
co
s
s
co . x
u e x
dv x
e dx
dx
x -
-
®
=
∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
 u - x   du =
e - xd
x
 ®
 v
= cos = cos
® =
dv xdx v se
e
d xdx nx

-

=
∫ ∫
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
I = u.v - ∫ v.du = senxe-x - ∫ senx.(-e-x )dx
I = senxe-x + ∫ senx.e-xdx
Sustituyendo este ultimo resultado en la resolución de nuestra integral
original, se tiene:
I = -cos xe-x - ∫ cos x.e-xdx = -cos xe-x -(senxe-x + ∫ senx.e-xdx)

27. Observa que por repetirse la misma integral original, se resolverá de
ahora en adelante como una ecuación, con el objetivo de despejar la integral
original, tal como te mencione en el recuadro de tip’s que se encuentra en el
objetivo 1 de matemática 3 (733).
I = -cos xe-x -(senxe-x + ∫ senx.e-xdx) = -cos xe-x - senxe-x - ∫ senx.e-xdx
I = -cos xe-x - senxe-x - I ®I + I = -cos xe-x - senxe-x ®2I = -e-x (cos x + senx)
Finalmente:
( ) 1
I = ∫ e-xsenxdx = - e-x cos
x + senx
2
Evaluando de 0 a “b ”, se tiene:
x b b
( ) ( ) 0 ( ) 1 1 1
- e- x + senx = - e- b + senb + e + sen
cos cos cos 0 0
2 0 2 2
x b b b
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1
- e- cos x + senx = - e- cos b + senb + 1 + 0 = - e- cos
b + senb +
2 0 2 2 2 2
Aplicando el límite:
1 1
b
( ) lim cos
2 2
b
e- b senb
®¥
  - + +   
El siguiente límite es interesante, y se resuelve a través de un análisis,
me refiero a:
lim e- b (cos b senb
)
b
®¥
+
Este límite lo podemos escribir:
 cos
b + senb

 
 
lim b b
®¥ e
Si intentas sustituir el infinito, te encontraras que el límite cuando equis
tiende a infinito del senb y el cosb no existen, porque son funciones periódicas
que oscilan siempre entre -1 y 1, la gráfica de esta situación es:

28. Sin embargo, al estar dividida esta función cosb + senb entre la función
exponencial eb , nos encontramos que ésta ( eb ) crece mucho más rápido que la
función cosb + senb que solo toma valores entre menos uno y uno, observa la
gráfica de la función exponencial:
Fíjate que esta gráfica crece tan rápido que apenas en x = 6 ya se
pierde de vista.

29. Todo lo anterior nos lleva a concluir que el límite
 cos
b + senb

 
 
lim b b
®¥ e
es
cero, por tener un denominador muy grande, al compararlo con el numerador,
por ende:
 cos
b + senb
   =
 
lim 0 b b
®¥ e
Si graficamos la función
cos
+ podrás observar que ciertamente el
x senx
e
x
análisis hecho es el correcto:
Observa que esta gráfica también es oscilante pero con tendencia a cero
en el infinito. Observa en el siguiente gráfico el detalle en la diferencia de una
función oscilante hacia el infinito cuyo límite NO existe a una función oscilante
hacia el infinito cuyo límite SI existe:

30. En conclusión se tiene:
1 ( ) 1 1 ( ) 1 1
b
lim cos 0
2 2 2 2 2
b
e- b senb
®¥
  - + +  = - + =  
Por lo tanto:
Respuesta:
¥
= ∫ - = por ende converge.
0
1
2
I e xsenxdx
Ejercicio 6
Determine la convergencia o divergencia de:
3
0
1
1
dx
x -
∫
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una integral
impropia de segunda especie, ya que la función no esta acotada en x =1, es
decir, la función posee una discontinuidad infinita en ese punto que pertenece
al intervalo de integración:
1
1 1 1
= = ®¥
lim
x® x 1 1 1 0
- -
1Î[0,3].
Antes de resolver esta situación, aplicaremos la definición de valor
absoluto a la función integrando.
La definición del valor absoluto es:

31. - £
=   >
( ) si ( ) 0
( )
f x f x
( ) si ( ) 0
f x
f x f x
Entonces:
( 1) si 1 0
1
- x - x
- £
1 si 1 0
x
x x
- = 
 - - >
 - £
1 si 1
- 1
=   - >
x x
1 si 1
x
x x
Por lo tanto podemos escribir:
3 1 3
1 1 1
1 1 1
∫ = ∫ +
∫
dx dx dx
- - -
x x x
0 0 1
Aplicando el estudio de integral impropia de segunda especie, podemos
escribir:
3 b
3
1 1 1
∫ lim ∫ lim
∫
dx dx dx
x x x ® - ® +
1 b 1 1 c
1
1
0 0
c
= +
- - -
Obteniendo la primitiva de cada integral, se tiene:
1 1
1 1 2 2
2
u x du du u u
dx u du u x
x du dx u
1
2
1 1
2 2 1
1 1 1 1
2 2
u
- +
 = - -
® ®- = - = - = - = - = - = - - -  = - - +
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
1 1 2 2
2
u x du du u u
dx u du u x
1
2
1 1
2 2 1
1 1 1 1
2 2
x du dx u
u
- +
 = - -
® ® = = = = = = - -  = - +
∫ ∫ ∫ ∫
Evaluando la primera primitiva de 0 a b , se tiene:
b
2 1 2 1 ( 2 1 0 ) 2 1 2
- - x = - - b - - - = - - b +
0
Evaluando la segunda primitiva de c a 3 , se tiene:
( ) 3
- = - - - = - -
2 x 1 2 3 1 2 c 1 2 2 2 c 1
c
Aplicando los límites correspondientes, se tiene:
3
dx = ( - - b + ) + ( - c
-
) x ® 1 - ® 1
+
0
1
lim 2 1 2 lim 2 2 2 1
1 b c
-
∫
3
0
1
2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2
1
dx
x
= - - + + - - = - + + - = +
-
∫
Por lo tanto:

32. Respuesta:
3
∫ por ende, converge.
0
1
2 2 2
1
dx
x
= +
-
Ejercicio 7
Determine la convergencia o divergencia de 3 2
0
x e x dx
¥
- ∫ .
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una integral impropia de
primera especie, es decir, intervalo de integración infinito. Entonces podemos
escribir:
b
3 2 3 2
- -
∫ = ∫
x x
lim
x e dx x e dx
b
¥
®¥
0 0
Pasemos a calcular la primitiva:
Conviene escribir la integral así:
∫ x3e-x2dx = ∫ x2+1e-x2dx = ∫ x2x1e-x2dx = ∫ x2e-x2 xdx
Observa como la derivada de la función roja: x2 es precisamente
semejante a la parte destacada en azul: xdx .
Entonces, practicando el cambio de variable:
2
 = 

= 2
= 2
w x
dw
dw xdx xdx
Así:
2 2 1
∫ x e-x xdx = ∫ we-wdw
2
Hemos llegado así, a una integral que se resuelve por el método de
integración por partes:
1
2
=
=
u w -
w
∫
w I we dw
-
dv e dw

= ®
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
= du
=
dw
   ®
w
- = - -
w dv e wdw w
dv e w
v e
u
d

 = ∫ ∫ ® = -
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
1
I = u . v - ∫ v . du =  -- eww- ∫ -e-w .
dw
2

33. -
- - - - - = - + ∫ = - -  = +
( ) 1
w w w
. 1
2 2
w
e w e d w
e
I w e w e w
Devolviendo el cambio:
∫ - = - +
( )
2
-
2 2 2 1
2
x
x e
x e xdx x
Evaluando esta primitiva de 0 a b , se tiene:
b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- - x 2 - - b 2 - - 02  - - b 2   - - b
2
+ = + -  +  = + +   = + +    
2 2 2 2 2 1 1
e e e e e
1 1 0 1 1 1 1
x b b b
2 2 2 2 2 2 2
0
Aplicando el límite, se tiene:
- 2
  ( + ) +  = - ( + )
+
 
2 2 2 1 1 1
b
b
e
-
-
lim b 1 lim e b
1 lim
2 2 2 2
®¥ ®¥ ®¥
b b b
El primer límite se calcula aplicando L`Hopital, que consiste en derivar el
numerador y el denominador independientemente, pero antes escribimos el
límite así:
1  2
 - lim e b
2
( 1 b
+ 1
¥ b
2 + 1 ) = - lim
  = 2 b 2
b  b
2
 ¥
e
-
®¥ ®¥
Aplicando L`Hopital:
( )
( ) ( ) 2 2 2 2
2 ' 2
 +  + -   = - = - = - = -
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2
lim lim lim lim lim
2 b b 2 b b 2 b b 2 b b 2 2 b
b b b b b
®¥  e 
®¥ ' e ®¥ e b 2 '
®¥ e b ®¥
1 1
lim
2 b®¥ eb
= -
2 eb 2b 2
Y este último límite es:
1 1 1 1 1 1 1
lim . . . ( 0 ) 0
2 ®¥ eb 2 2 e¥ 2
b2 2
- = - = - = - =
¥
El segundo límite, se trata del límite de una constante que es igual a la
constante, es decir:
1 1
=
lim
b®¥ 2 2
Así:
( ) 3 2 2 2
∫ = - + + = + =
0
1 1 1 1
lim 1 lim 0
2 2 2 2
x b
x e dx e b
b b
¥
- -
®¥ ®¥
Por lo tanto:

34. ¥
∫ - = , por lo tanto la integral
Respuesta: La integral impropia es 3 2
0
1
2
x e x dx
planteada converge.
Ejercicio 8
Determinar la convergencia o divergencia de la integral impropia:
0 1
1
dx
∫
-¥ x -
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una integral
impropia de primera especie, ya que el intervalo de integración es infinito.
Antes de resolver esta situación, aplicaremos la definición de valor
absoluto a la función integrando.
La definición del valor absoluto es:
- £
=   >
( ) si ( ) 0
( )
f x f x
( ) si ( ) 0
f x
f x f x
Entonces:
( 1) si 1 0
1
- x - x
- £
1 si 1 0
x
x x
- = 
 - - >
 - £
1 si 1
- 1
=   - >
x x
1 si 1
x
x x
Debido a que el intervalo de integración es: (-¥,0] , todo éste intervalo
pertenece a x £1, por lo tanto podemos escribir:
0 0 1 1
∫ =
∫
dx dx
- 1 1
-
-¥ x -¥ x
Aplicando el estudio de integral impropia de primera especie, podemos
escribir:
0 0 1 1
∫ lim
∫
- - dx dx
x ®-¥ x
1 a 1
a
-¥
=
Obteniendo la primitiva de la integral, se tiene:
1 1
1 1 2 2
2
u x du du u u
dx u du u x
x du dx u
1
2
1 1
2 2 1
1 1 1 1
2 2
u
- +
 = - -
® ®- = - = - = - = - = - = - - -  = - - +
∫ ∫ ∫ ∫

35. Evaluando la primitiva de a a 0, se tiene:
( ) 0
- - = - - - - - = - + -
2 1 x 2 1 0 2 1 a 2 2 1 a
a
Aplicando el límite, se tiene:
( ) ( )
0 1
- ∫
Por lo tanto:
= - + - = - + - -¥ = - + +¥ = - +¥ = ¥
lim lim 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
a 1 a
a
dx a
®-¥ x ®-¥
Respuesta:
0 1
∫ por ende, la integral impropia diverge.
1
dx
-¥ x
= ¥
-
Ejercicio 9
Estudie la convergencia o divergencia de la integral
1
+
- ∫
1
1
1
x
dx
x -
Solución
Justificación: Estamos en presencia de una integral de segunda especie,
porque la función integrando no esta acotada en x =1, es decir, tiene una
discontinuidad infinita en ése punto, tal como se verifica:
1
+ = + = = ¥ = ¥
- -
1 x
1 1 2
lim
x ® 1 x
1 1 0
Por lo tanto podemos escribir:
1
b
∫ 1 + = ∫
1
+
- - x x
dx lim
dx
x ® - x
1 b
1
1
- -
1 1
Pasemos a calcular la primitiva presente:
1
1
x
dx
x
+
- ∫
En este caso, podemos multiplicar por la conjugada del denominador,
con el objetivo de eliminar la raíz cuadrada de la parte superior de la integral,
así:
( )( )
( )( )
∫ 1 + 1 + 1
+ =
∫
1 - 1 - 1
+ x x x
dx dx
x x x
Recordando que: (a - b)(a + b) = a2 - b2 , se tiene:
( )
2 ( )2
( )
+ + + = = = +
- - - - -
1 1 1
1
1
x x x
∫ dx ∫ dx ∫ dx
∫ ∫
x x
2 2 2 2 2 2
x x
1 1 x 1 x
1
x
x
d d

36. La primera integral, destacada en azul, es inmediata, porque en la tabla
de integrales encontramos:
1 x
2 2
  =  
dx arcsen
a x a
-  
∫
En este caso a2 =1a =1, por lo tanto:
2
1
( )
1
dx arcsen x
x
=
-
∫
La segunda integral se resuelve con un sencillo cambio de variable:
 = -  ® ®- = - = - = -
2 1 1 1 2
x du du u
∫ ∫ ∫ ∫
dx du u 2
du
u x
2 1
2
1
1 1 1 1
1 x du 2 xdx xdx 2 u 2 2 2 1 2 u
1 2
- +
-
-  = - = - - + 
1
1 2 1 1
- = - 2
u = - 2 u = - u
u
2 1 2 2
2
Devolviendo el cambio, se tiene:
2
2
1
1
x
dx x
x
= - -
-
∫
Por lo tanto nuestra primitiva es:
( 2 ) ( ) 2 1
+ = + - - = - -
- ∫
x
dx ( x x arcsen x 1
x
x
1
arcsen ) 1
Evaluando esta primitiva de -1 a b , se tiene:
b
( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ( 1) 1 ( 1)2 )
arcsen x - - x = arcsen b - - b - arcsen - - - -
1
-
Tomando el límite, se tiene:
∫
+ x
dx =  arcsen ( b ) - - b 2 - ( arcsen
( - ) - - )
 -   ® 1 - x ® 1
-
1
1
lim lim 1 1 1 1
1
b
b b
-
∫
+ =  ( ) - - 2 - ( ( - ) - - )
 -   1
1
1
lim 1 1 1 1 1 1
1
b
b
x
dx arcsen arcsen
® - x
-
Recordando:
p  p   = ® =
 
· sen 1 arcsen
(1)
2 2
 p  p  -  = - ®- = -
 
· sen 1 arcsen
( 1)
2 2

37. Entonces se tiene:
( ) ( ( ) ) 1
1
∫
1
+ = - - - -
- x
dx arcsen arcsen
x -
1 0 1 0
1
1
+   + = - -  = + = = = -   ∫ 2
1
1 x
2 2
dx
1 x
2 2 2 2 2 2
p p p p p p p
-
p =p
Por lo tanto:
Respuesta: La integral converge, porque
1
+ =
- ∫ .
1
1
1
x
dx
x
p
-
Ejercicio 10
Determinar la convergencia o divergencia de la integral:
2
x
- ∫
Solución
I dx
x
1
1 =
Justificación: Estamos en presencia de una integral impropia de segunda
especie, porque la función no esta acotada en: x =1, porque:
1
1 1
x
lim
x ® x
1 1 1 0
= = ®¥
- -
Por lo tanto, podemos escribir:
2 2
x x
- - ∫ ∫
dx dx
x ® 1
x
1
lim
1 a 1
a
=
Vamos a proceder a calcular la primitiva:
1
x
dx
x - ∫
En este caso, como dentro de la raíz esta un binomio de primer grado,
eliminaremos la raíz con el cambio de variable:
 - = = +

 =
1 2 1 2
x z x z
2
dx zdz
Así:
( 1 + 2 ) 2 ( 1
+
2 )
x z zdz z z
- ∫ ∫
= =
2
2
1
dx
x z
dz
+
z ( ) 2 1
2 z
2 3
+ ∫ ∫
= 2 1 + = 2 + 2 = 2
+
z dz z z z
2 1 3
De x -1 = z2 , se tiene: z = x -1 , entonces:
( )2 3
2 1 1
1 3
x
dx x x
x
= - + -
- ∫

38. Evaluando esta primitiva de a a 2, se tiene:
2 ( )3 2 2 ( )3 2 ( )3
  - + - = - + - -  - + -   
2 x 1 x 1 2 2 1 2 1 2 a 1 a
1
a
3 3 3
Aplicando el límite:
 =  + ( )  (  -  - + - )
 -      
2
3 3
1
1
2 2
lim 2 1 1 2 1 1
1 a 3 3
x
dx a a
x ®
∫
( )
2
3
1
2 2
2 2 1 1 1 1
1 3 3
x
dx
x
    =  + -  - + -   -    
∫
( ) ( )
2
1
2 2
2 2 0 0
1 3 3
x
dx
x
    =  + -  +   -    
∫
2
 +  =  -  = -   ∫
1
6 2 8
0
1 3 3
x
dx
x
Por lo tanto:
Respuesta: La integral converge, porque
2
- ∫ .
1
8
1 3
x
dx
x
=
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Determina la convergencia o divergencia de la integral:

39. 0 5
3 x dx
∫
+ e-
-¥ Ejercicio 2
Determina la convergencia o divergencia de:
dx
x x
9 4 2
¥
-¥ - + ∫
Ejercicio 3
Estudia la convergencia o divergencia de la integral:
( )
1
∫ x ln 4x dx
0
Ejercicio 4
Estudia la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:
dx
x -
( )
3
2
∫
1 1
Ejercicio 5
Determina si la siguiente integral
4
∫ es convergente o
x 2
+ x - 0
1
6
dx
divergente.
Ejercicio 6
Determina los valores de “ c ” para los cuales converge la integral
impropia:
0
= ∫
I xecxdx
-¥
Ejercicio 7
Calcula si existe la integral:
dx
( )( )
2
2
1 1 9
I
x x
=
- - ∫
Ejercicio 8
Determina si la siguiente integral converge:
3
3
1
1
dx
x
¥
- ∫
Ejercicio 9

40. Estudie la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:
1
( 1
) 0
dx
x x
¥
+ ∫
Ejercicio 10
Determina la convergencia o divergencia de:
( )
10 1
ln ln ln e
dx
x x x ∫