Modelamiento Sistemas de puesta a tierra

GUSTAVO A. RAMOS L. Ph.D.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
ESPECIALIZACIÓN EN SISTEMAS DE TRANSMISIÓN Y
DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA 2009-II
CALIDAD DE LA POTENCIA ELECTRICA EN LOS SISTEMAS DE
DISTRIBUCIÓN
Ing. Gustavo Andrés Ramos L. Ph.D. gramos@uniandes.edu.co
MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN
SUELO HOMOGENEO
TABLA DE CONTENIDO
MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN
SUELO HOMOGENEO........................................................................................................3
1.1 Marco Teórico ............................................................................................................. 3
1.1.1 Formulación del Problema..........................................................................................................6
1.1.1.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un punto (x, y, z)...............14
1.1.1.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X (paralelos): ......................16
1.1.1.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un segmento conductor
dirigido en el eje Y. ............................................................................................................................18
1.1.1.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X:......................................19
1.1.1.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de conductor en coordenadas
cartesianas:22
1.1.2 Calculo de la Conductancia.......................................................................................................25
1.1.3 Calculo de la Capacitancia........................................................................................................26
1.1.4 Calculo de la Inductancia..........................................................................................................26
1.1.5 Representación de los Elementos que conforman un Sistema de Puesta a Tierra.....................26
1.1.5.1 Definición de variables....................................................................................................26
1.2 Metodología en la Solución del Problema de Análisis y Modelamiento de Sistemas
de Puesta a Tierra.................................................................................................................. 28
1.2.1 Datos de Entrada.......................................................................................................................28
1.2.2 Cálculo de los FDT...................................................................................................................28
1.2.3 Inversión de la Matriz FDT.......................................................................................................30
1.2.4 Circuito Equivalente de los Segmentos.....................................................................................31
1.2.5 Modelamiento del Sistema........................................................................................................31

2
LISTA DE FIGURAS
Figura 0.1 Conductor enterrado en suelo uniforme. .........................................................................................6
Figura 0.2 Representación de un elemento finito con elementos de circuitos...................................................6
Figura 0.3 Una fuente puntual de corriente en tierra conductora semi-infinita. ..............................................8
Figura 0.4 Método de la matriz.......................................................................................................................13
Figura 0.5 Segmento conductor en tierra........................................................................................................14
Figura 0.6 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de densidad
de corriente constante.......................................................................................................................................15
Figura 0.7 Dos segmentos de conductor en tierra...........................................................................................17
Figura 0.8 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y. ..............................................................18
Figura 0.9 Segmento de conductor dirigido en el eje X...................................................................................21
Figura 0.10 Representación de un elemento del sistema de puesta a tierra (después de la partición)...........28

3
MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO
ENTERRADO EN UN SUELO HOMOGENEO
1.1 Marco Teórico
Para el análisis del comportamiento de los sistemas de puesta a tierra se requiere
inicialmente determinar los parámetros constitutivos de los elementos que conforman estos
sistemas y del terreno en que se analizan. También se requiere determinar los parámetros
circuitales que permiten modelar el sistema de puesta a tierra como un conjunto de
electrodos en contacto con un terreno, unidos físicamente, que pueden ser representados
como circuitos eléctricos conformados por elementos eléctricos lineales.
Para determinar los parámetros de los elementos eléctricos que conforman el modelo
circuital de los electrodos es preciso hacer un análisis físico del comportamiento de señales
electromagnéticas cuando estas son inyectadas al sistema de puesta a tierra. Este análisis
correspondería al campo de la electrodinámica y la geofísica; los cuales ayudan a
determinar las ecuaciones que rigen el comportamiento de diferentes señales cuando son
inyectadas a este sistema y a su vez, plantear una metodología de estos cálculos con el fin
sistematizar el procedimiento para obtener un mayor número de resultados pertinentes y
así, realizar un análisis con el mayor número de información, obteniéndose una gran
cantidad de conclusiones importantes.
La ecuación fundamental del electromagnetismo que rige el comportamiento de las señales
electromagnéticas en los sistemas de puesta a tierra es la ecuación de Laplace para
potenciales eléctricos, pero antes de discutir con detalle la razón y las consecuencias de la
anterior afirmación, es importante desarrollar los conceptos fundamentales de Física y los
métodos matemáticos propios del electromagnetismo que nos lleven a la obtención de esta
ecuación de acuerdo a la geometría propia del problema que se pretenda resolver, y que a
partir de esta se pueda afianzar el conocimiento del fenómeno, y encontrar la mejor
formulación a la solución del problema en cuestión.

4
El campo eléctrico terrestre es estacionario cuando los vectores de su intensidad de campo
eléctrico E y de su intensidad de corriente J son invariables en el tiempo. Con base en el
análisis vectorial se pueden establecer las ecuaciones fundamentales del campo eléctrico
estacionario de la tierra:
El vector B de la inducción magnética no depende del tiempo, E es un vector con un
rotacional nulo, por lo tanto el rotacional de dicho vector es:
0E∇× =
r
(1.1)
Si se considera una curva cerrada C, de acuerdo con la anterior expresión, por la ley de la
conservación de la energía y la ley de Stokes, se tiene que el trabajo realizado al recorrer
esta curva es cero, así que:
( )
0
C
E ds⋅ =∫
r r
(1.2)
en el cual E ds⋅ representa el producto escalar del vector E con el infinitamente pequeño
vector de tramo recto ds de arco medido sobre la longitud C.
Siendo I y II puntos sobre C diferentes entre si, se tiene:
( ) ( )
0
II I
I C II C
E ds E ds⋅ + ⋅ =∫ ∫
r rr r
(1.3)
Los trayectos de unión entre I y II se pueden seleccionar a voluntad así que la diferencia de
potencial es:
, ,
( ) ( )
II I
I II II I
I C II C
V E ds E ds V= ⋅ = − ⋅ = −∫ ∫
r rr r
(1.4)
de lo cual se infiere que la diferencia de potencial depende sólo de la posición de los puntos
I y II, así que entonces la expresión:
,I II I IIV ϕ ϕ= − (1.5)
define a una función φ independiente del tiempo, la cual quedará determinada de manera
unívoca para todo punto de referencia, en el momento de adicionar una cierta constante, en
principio arbitraria, determinada por las condiciones de frontera, para cada punto de
partida. A esta función se la denomina "potencial eléctrico escalar".

5
De manera inversa, las ecuaciones (4.4) y (4.5) conducen, por medio de la operación
vectorial:
E ϕ= −∇
r
(1.6)
a la determinación de la intensidad de campo a partir de su función matriz.
También los campos de la electrostática, debido a su independencia del tiempo, se
describen por medio de un potencial escalar φ; Al analizar el campo electrostático de un
cuerpo cargado situado en el espacio considerado completamente aislante sobre la tierra
(anulando la conductividad finita de la tierra en cuya zona exista una intensidad de campo),
se infiere que predominará un potencial φ uniforme, por lo cual se asume cero. Por el
contrario, en el campo eléctrico terrestre, la densidad de corriente eléctrica j exige una finita
intensidad de campo E, cuyo valor estará dictado por la ley de Ohm:
J Eσ=
r r
(1.7)
y por lo tanto, el potencial φ de la corriente de tierra variará de un punto a otro. Entonces
se podrá determinar el valor de la constante aditiva relacionada con la expresión (4.5),
asumiendo que el campo buscado, encerrado por medio de una semiesfera con radio
ilimitado, se le puede atribuir un potencial cero; entonces, el potencial del campo de la
corriente de tierra estacionaria resultará igual al potencial del punto de referencia contra
aquella semiesfera.
La ley de la continuidad de la electricidad postula que en un campo de corriente
estacionario no existen ni pasan líneas de corriente, por lo tanto se tiene:
0J∇⋅ =
r
(1.8)
En una región del terreno donde γ es constante, con base en las leyes de Kirchhoff y de
(4.4), la fuente también es independiente del campo del campo eléctrico, es decir:
0E∇⋅ =
r
(1.9)
Así que el potencial φ satisface la ecuación de Laplace:
2
( ) 0ϕ ϕ∇⋅ ∇ = ∇ = (1.10)
Para poder integrar la expresión anterior, se debe referir además al sistema de coordenada
más conveniente al caso particular, lo cual plantea un paso importante en la determinación
de la expresión del campo buscada.

6
1.1.1 Formulación del Problema
El desarrollo del modelo de los sistemas de puesta a tierra para el cálculo de su respuesta
transitoria puede ser demostrado comenzando con un sistema simple de conductor
enterrado como se puede preciar en la Figura 1.
Un pequeño segmento de longitud lS del conductor de la Figura 4.1, es caracterizado con
una resistencia serie ∆r, una inductancia serie ∆L, conductancia a tierra remota ∆g y
capacitancia shunt ∆C. Esta representación es ilustrada en la Figura 2. Estos parámetros
son distribuidos a lo largo de la longitud lS del segmento.
Figura 0.1 Conductor enterrado en suelo uniforme.
Figura 0.2 Representación de un elemento finito con elementos de circuitos.
dS
lS
dl
(x, y, z)
AIRE
TIERRA
Conductividad

7
El valor numérico de las cantidades del circuito equivalente puede ser calculado
directamente de la conductancia y de la velocidad de las ondas electromagnéticas en el
suelo. Con base en la expresión:
S
r
c
v
ε
= (1.11)
Donde:c es la velocidad de propagación en el espacio libre.
εr es la permitividad relativa del suelo.
Con base en las ecuaciones de Maxwell:
C
g
ε
σ
∆
=
∆
(1.12)
Donde:ε es la permisividad del suelo.
σ es la conductividad del suelo.
También considerando el segmento lS como una línea de transmisión con inductancia y
capacitancia distribuida, ∆L y ∆C, respectivamente:
S
S
r
l c
v
L C ε
= =
∆ ⋅ ∆
(1.13)
Con lo anterior podemos obtener las expresiones para calcular la inductancia y capacitancia
del elemento finito:
C g
ε
σ
∆ = ⋅∆ (1.14)
2
2
0
Sl
L
c g
σ
ε
⋅
∆ =
⋅ ∆
(1.15)
Por lo tanto es necesario el conocimiento de ∆g para determinar los parámetros del
elemento finito.
Para determinar el valor de la conductancia del elemento finito del sistema de puesta a
tierra, se emplea la solución de la ecuación de Laplace, (1.10).

8
Meliopoulos y Moharan, plantean la solución de las ecuaciones con base en los factores de
distribución de tensión (F.D.T.), con lo cual es posible obtener los valores de conductancia
de los elementos finitos y determinar el valor de los parámetros del circuito equivalente por
segmento.
Los F.D.T. son utilizados para calcular la resistencia propia y de acople mutuo de
conductores rectilíneos enterrados en un suelo de resistividad homogénea. Se calcula una
matriz en la cual sus elementos se denominan F.D.T. ya que estos permiten determinar el
potencial en un punto debido a un flujo de corriente dado. Los F.D.T. están dados en
ohmios. Esta matriz es comúnmente conocida con el nombre de resistencias de puesta a
tierra propias y resistencias de puesta a tierra de acople mutuo. Sin embargo su significado
físico no se relaciona con el concepto de resistencia. El desarrollo de esta matriz se ilustra
inicialmente con el caso de la Figura 3.
(a)
(b)
Figura 0.3 Una fuente puntual de corriente en tierra conductora semi-infinita.
Zona 2
θ2 = 0
Zona 1
θ1 = 0
z
y
z
x
• A
φ
r
As
• A
As

9
Se considera una sección infinitesimal del sistema de puesta a tierra. Se asume que la
corriente IS fluye desde el conductor hacia la tierra. Esta fuente de corriente se denomina
"puntual" As.
El potencial en cualquier punto A de coordenadas (r, φ, z) en la tierra satisface la ecuación
de Laplace:
2 2
2
2 2 2
1 ( , , ) 1 ( , , ) ( , , )
( , , ) 0
V r z V r z V r z
V r z r
r r r r z
φ φ φ
φ
φ
∂ ∂ ∂ ∂ 
∇ = ⋅ + + = 
∂ ∂ ∂ ∂ 
(1.16)
Debido a la simetría del problema la solución no depende de φ. Así que V(r, φ, z)=V(r, z) y
la ecuación de Laplace queda:
2
2
2
1 ( , , ) ( , , )
( , , ) 0
V r z V r z
V r z r
r r r z
φ φ
φ
∂ ∂ ∂ 
∇ = ⋅ + = 
∂ ∂ ∂ 
(1.17)
Esta solución viene dada en términos de la función de Bessel de orden cero (0), J0, así:
( ) ( )0
1 0
( , )
4
kzSI
V r z k J kr e dkθ
πσ
∞
±
= ∫ (1.18)
Donde k es una variable auxiliar y θ(k) es una función arbitraria de k. Para problemas
específicos θ(k) se determina a partir de las condiciones de frontera. El símbolo ± significa
la propagación en el eje +z o –z.
La solución general para el potencial en la zona 2 es:
( ) ( )2 2 0
1 0
( , )
4
kzSI
V r z k J kr e dkθ
πσ
∞
−
= ∫ (1.19)
En esta ecuación el término que corresponde a la dirección +z es omitido ya que V1(r, z)
tiende a cero a medida que z crece. En otras palabras, la condición de frontera que establece
que el potencial tiende a cero cuando z tiende al infinito indica que la constante que
acompaña este término es igual a cero.
Para la zona uno (1) se tiene:
( ) ( ) ( )1 0 1 0
1 10 0
( , )
4 4
Sk z z kzS SI I
V r z J kr e dk k J kr e dkθ
πσ πσ
∞ ∞
− −
= +∫ ∫ (1.20)

10
En esta ecuación, el término que corresponde a la propagación en la dirección -z, e-kz
se
omite ya que V1(r, z) tiende a cero a medida que z decrece.
En las dos ecuaciones anteriores θ1(k) y θ2(k) son desconocidos. En la frontera que separa
ambas zonas, se debe cumplir que el potencial y la corriente deben ser funciones
constantes, entonces:
( ) ( )1 2,0 ,0V r V r= (1.21)
( ) ( )1 1 2 2,0 ,0V r V r
z z
σ σ∂ ∂
=
∂ ∂
(1.22)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 0
1 0
1 0 1 0
1 10 0
1 1
0 1 0
0 0
2 2
( ,0)
4
( ,0)
4 4
,0
4 4
,0
0
S
S
S
kzS S
kzS S
I
V r k J kr dk
I I
V r J kr e dk k J kr dk
V r I k I k
J kr e dk k J kr dk
z
V r
z
θ
πσ
θ
πσ πσ
σ
θ
π π
σ
∞
∞ ∞
∞ ∞
=
= +
∂
= − +
∂
∂
=
∂
∫
∫ ∫
∫ ∫
(1.23)
Sustituyendo en las ecuaciones determinadas de las condiciones de frontera se tiene que:
( ) ( )
( )
2 1
1 0
S
S
kz
kz
k e k
e k
θ θ
θ
= +
− + =
(1.24)
Resolviendo simultáneamente:
( )1
Skz
k eθ = (1.25)
( )2 2 Skz
k eθ = (1.26)
Sustituyendo (1.25) y (1.26) en (1.19) y (1.20) se obtiene:
( ) ( )
2 0
1 0
( , ) 2
4
Sk z zSI
V r z J kr e dk
πσ
∞
− −
= ∫ (1.27)

11
( ) ( ) ( )
1 0 0
1 10 0
( , )
4 4
S Sk z z k z zS SI I
V r z J kr e dk J kr e dk
πσ πσ
∞ ∞
− − +
= +∫ ∫ (1.28)
En adelante el interés será solo la zona 1.
Las integrales que aparecen para el potencial V1(r, z) son evaluadas utilizando la siguiente
identidad para las funciones de Bessel:
( )0 2 2
0
1ka
J kr e dk
r a
∞
⋅ =
+
∫ (1.29)
Sustituyendo en (1.28):
( ) ( )
1 2 22 2
1
1 1
( , )
4
S
S S
I
V r z
r z z r z zπσ
 
 = +
 + − + + 
(1.30)
Convirtiendo a coordenadas cartesianas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2 2 2
1
1 1
( , , )
4
S
S S S S S S
I
V x y z
x x y y z z x x y y z zπσ
 
 = +
 − + − + − − + − + + 
(1.31)
Este resultado muestra que el potencial en la zona 1 es igual a la generada por dos fuentes
puntuales de magnitud IS localizada en los puntos (xS, yS, zS) y (xS, yS, -zS) en una zona
infinita de conductividad σ1. Esto quiere decir que la interfaz entre las zonas 1 y 2 es la
imagen de la fuente puntual con respecto a la interfaz del plano, ver Figura 3 (b).
La ecuación (1.31) puede utilizarse de varias formas para permitir el análisis de un sistema
practico de puesta a tierra una vez éste ha sido dividido en pequeños segmentos. De tal
manera que la ecuación (1.31) es la relación entre el potencial de estos segmentos y la
corriente eléctrica que conduce desde la superficie de estos. Considerando el sistema
simple de la Figura 4 (a). Cada electrodo del sistema es dividido en n segmentos pequeños.
I1 es la corriente que conduce desde la superficie del segmento i y fluye en la tierra (Ver
Figura 4 (b)). La Figura también ilustra las vecindades del segmento i. Si el segmento i es
muy pequeño, éste puede ser representado mediante una fuente puntual de corriente Ii,
localizada en el centro del segmento; el potencial en la superficie del segmento es Vi (Ver
Figura 4 (c)). El mismo modelo se puede asumir para los segmentos i-1, i+1, y todos los
otros segmentos.

12
Luego se utilizan las ecuaciones básicas para obtener expresiones entre las corrientes
eléctricas Ii, i = 1, 2,..., n, y los potenciales Vi, i = 1, 2,..., n. En forma especifica:
( ), , , , , ,
1
n
i Ai Ai Ai j j j j
j
V f x y z x y z Iσ
=
= ⋅∑
Donde:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
, , , , , ,
2 2 2
1
1
14
Ai j Ai j Ai j
Ai Ai Ai j j j
Ai j Ai j Ai j
x x y y z z
f x y z x y z
x x y y z z
σ
πσ
 
+ 
− + − + − 
=  
 
  − + − + +
 
(1.32)
Con:
(xAi, yAi, zAi) : coordenadas del punto A localizado en la superficie del segmento i.
(xj, yj, zj) : coordenadas del centro del segmento j.
Ij : corriente total que sale desde la superficie del segmento j.
Debido a que la mayoría de los sistemas de puesta a tierra tienen alta conductividad todo el
sistema se encuentra esencialmente al mismo potencial de tierra (GPR). Entonces:
V1 = V2 =… = Vn = V. De la ecuación (1.31) se puede escribir en notación matricial:
[ ][ ] [ ][ ]1V FDT I= (1.33)
Donde se tiene que,
[1]: vector unidad
[I]: vector de corriente de cada segmento
[FDT]i,j = f (xAi, yAi, zAi, xj, yj, zj, σ)
[V] = G.P.R.
Las corrientes eléctricas I se calculan de:
[ ] [ ] [ ][ ]1
1I FDT V
−
= (1.34)
Así la resistencia se puede calcular para el sistema de puesta a tierra como la razón del GPR
sobre la corriente eléctrica total. La corriente eléctrica total es:
[ ] [ ]
1
1
n
t
T j
j
I I I
=
= =∑ (1.35)

13
T
V
R
I
= (1.36)
(a) Sistema de puesta a tierra simple.
(b) Segmentos pequeños i-1, i, i+1.
(c) Modelo matemático del segmento i.
Figura 0.4 Método de la matriz.
Vi i + 1i - 1
••
Corriente total I
Vi
A
Ii
•
I

14
Por lo cual este proceso se denomina el método de la matriz ya que envuelve la matriz
[FDT].
La ecuación (1.36) es determinante. Como se verá más adelante, R (FDT) es una función
dependiente de la geometría del sistema y la conductividad del suelo.
Debido al gran número de configuraciones que pueden presentar los conductores de puesta
a tierra la geometría del problema se va complicando. Para limitar posibilidades, se asumirá
que los conductores están orientados solamente a lo largo de las tres coordenadas x, y, ó z
(como es el escaso práctico) y desarrollar expresiones para el FDT en cada caso.
La derivación de estas expresiones se ilustra con base en los cuatro casos siguientes, en los
cuales se analizan las disposiciones físicas de mallas de puesta a tierra más comunes en los
sistemas de puesta a tierra para subestaciones.
1.1.1.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un
punto (x, y, z)
Figura 0.5 Segmento conductor en tierra.
z
y
x
•
(x, y, z)
•
(x1, y1, z1)
I1
2l1

15
Considerando el sistema de la Figura 5. La coordenada del centro del segmento de
conductor es (x1, y1, z1). Se asume que una corriente total I1, sale desde la superficie del
segmento conductor y fluye entre la tierra. También se asume que el flujo de corriente es
uniforme sobre la superficie de este segmento (densidad de superficie constante). El punto
(x, y, z) en la tierra es arbitrario.
El objetivo será calcular el potencial en el punto (x, y, z), debido al flujo de corriente I1,
despreciando otras fuentes de corriente eléctrica (despreciando la presencia de los demás
segmentos). Típicamente el radio del conductor es pequeño, por lo cual es razonable que la
fuente de esta corriente es una línea ideal localizada sobre el eje del segmento conductor.
La densidad de corriente de la línea es 1
12
I
l
(A/m). La corriente eléctrica de una longitud
infinitesimal de la fuente de línea, Sdx , es 1
12
SI dx
l
. La contribución de esta corriente para el
potencial en el punto (x, y, z) es:
( ) ( )
( ) ( )
1
2 22 2
1
2 22
1 1
1 1
( , , )
8
:
S
S S
I dx
dV x y z
l x x A x x A
Donde
A y y z z
πσ
− +
±
 
 = +
 − + − + 
= − + ±
(1.37)
La Figura 6 muestra por simplicidad que el segmento de conductor tiene una longitud que
se denotará 2l y la corriente total como I.
Figura 0.6 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de
densidad de corriente constante.
y
x
dxS
z
(x, y, z)
•
(x1, y1, z1)
(xS, y1, z1)

16
El potencial en el punto (x, y, z) es la contribución de todas las fuentes de corriente
infinitesimales:
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
2 22 2
1
1 1
, , , ,
8
x l
S
x l S S
I
V x y z dV x y z dx
l x x A x x Aπσ
+
− − +
 
 = = +
 − + − + 
∫ ∫ (1.38)
La integral anterior corresponde a la siguiente identidad:
( )2 2
2 2
1
lndt t t u
t u
 
= + ± 
± 
∫ (1.39)
Reemplazando obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2
1
( , , ) , , , ,
8
:
, ln
I
V x y z F x x l A F x x l A F x x l A F x x l A
l
Donde
F t u t t u
πσ − − + += − + − − − + − + − − −  
= + +
(1.40)
De acuerdo con la ecuación (4.40) y a la definición de FDT se llega a:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
, , , ,
8
FDT F x x l A F x x l A F x x l A F x x l A
l πσ − − + += − + − − − + − + − − −  
(1.41)
La ecuación (1.41) da una forma de los FDT entre un segmento de conductor de longitud 2l
paralelo al eje X y un punto (x, y, z) (resistencia transferida).
1.1.1.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X
(paralelos):
Considerando la Figura 7 el flujo de corriente I1 transferirá un potencial hacia el segmento
del conductor dos, V2.
El objetivo será calcular este potencial a lo largo del eje del segmento del conductor dos,
asumiendo la ausencia del otro conductor. Un punto en el eje de dicho segmento tendrá
coordenadas (x, y2, z2), donde x2 - l2< x < x2 + l2. El potencial en el punto (x, y2, z2) se
obtiene de la ecuación (1.41):
z
y
x

17
Figura 0.7 Dos segmentos de conductor en tierra.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2
2 1 2 1
( , , ) , , , ,
8
:
I
V x y z F x x l B F x x l B F x x l B F x x l B
l
Donde
B y y z z
πσ − − + +
±
= − + − − − + − + − − −  
= − + ±
(1.42)
El potencial promedio a lo largo del eje es:
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
1
, ,
2
x l
x l
V V x y z dx
l
+
−
= ∫ (1.43)
La anterior integral corresponde a la siguiente identidad:
( ) ( )2 2 2 2
1 , lnF t u dt t t t u t u= + + − +∫ (1.44)
Reemplazando:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1
2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
, , ,
, , ,
16
, ,
F x x l l B F x x l l B F x x l l B
I
V F x x l l B F x x l l B F x x l l B
l l
F x x l l B F x x l l B
πσ
− + −
+ − +
− +
− + + + − + + − − + − − 
 
= − + − − − − + − − − + + 
 − − − + − − − 
(1.45)
Donde:
( ) ( )2 2 2 2
2 , lnF t u t t t u t u= + + − + (1.46)
Entonces:

18
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
, , ,
1
, , ,
16
, ,
FDT F x x l l B F x x l l B F x x l l B
l l
πσ
− + −
+ − +
− +
− + + + − + + − − + − − 
 
= − + − − − − + − − − + + 
 − − − + − − − 
(1.47)
La ecuación (1.47) da una forma para los FDT entre dos segmentos de conductor de
longitudes 2l1 y 2l2 paralelos al eje X (resistencia mutua).
1.1.1.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un
segmento conductor dirigido en el eje Y.
Dicho arreglo está presentado en la Figura 8. La corriente eléctrica total del conductor
dirigido en el eje X es I1. El objetivo es calcular el potencial transferido al segmento
dirigido en el eje Y debida a la corriente del segmento, dirigido en el eje X.
Figura 0.8 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y.
Las coordenadas de un punto en el eje del conductor dirigido en Y son (x2, y, z2), donde y
varía en el intervalo y2 - l2 ≤ y ≤ y2 + l2. El potencial en el punto (x2, y, z2) debido a la
corriente del conductor dirigido en X resulta mediante la aplicación apropiada de la
ecuación (1.41):
y
x
•
2l1
(x1, y1, z1)
•
2l2
(x2, y2, z2)

19
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
1
2 2
1 2 1
( , , ) , , , ,
8
:
I
V x y z F x x l C F x x l C F x x l C F x x l C
l
Donde
C y y z z
πσ − − + +
±
= − + − − − + − + − − −  
= − + ±
(1.48)
El potencial promedio a lo largo del eje es:
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
1
, ,
2
y l
y l
V V x y z dy
l
+
−
= ∫ (1.49)
La integral anterior corresponde a la siguiente identidad:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1
, , ln
ln ln 2 tan
F t u v t t u v du
t u t u v
u u t t u v t u t u v v
v
−
= + + +
 + + + +
= − + + + + + + + + +  
 
 
∫
(1.50)
Reemplazando en la ecuación (4.49):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 11
2
1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2
, , , ,
, , , ,
16 , , , ,
, ,
F x x l y y l z z F x x l y y l z z
F x x l y y l z z F x x l y y l z zI
V
l l F x x l y y l z z F x x l y y l z z
F x x l y y l z z F x
πσ
− + − + − − − + − − − −
− − − + − + − − − − − +
=
− + − + + − − + − − + −
− − − + + + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l y y l z z
 
 
 
 
 
 − − − + 
(1.51)
Por lo tanto el FDT (resistencia transferida) para este caso:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2
, , , ,
, , , ,1
16 , , , ,
, ,
FDT
πσ
− + − + − − − + − − − −
− − − + − + − − − − − +
=
− + − + + − − + − − + −
− − − + + + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l y y l z z
 
 
 
 
 
 − − − + 
(1.52)
1.1.1.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X:
Es definido como la razón de la elevación de tensión de un segmento de conductor
enterrado a la corriente eléctrica total que fluye entre la tierra desde la superficie del
conductor. El cálculo del FDT requiere la consideración del diámetro finito del segmento.
Específicamente, en las discusiones anteriores el segmento se modeló como una fuente de
corriente en línea localizada sobre eje del conductor. Se asumió esta densidad de corriente
constante. Luego se calculó el potencial del segmento como el potencial promedio sobre la

20
superficie cilíndrica del segmento. Debido a que la longitud del segmento es típicamente
mucho mayor que el radio, la superficie de los extremos es ignorada.
Sea la longitud del segmento igual a 2l, su radio a, y la corriente total I. La densidad de
corriente de la fuente de línea es:
2
I
k
l
= .
Considerando una superficie cilíndrica infinitesimal de segmento de conductor localizada
en el punto x, como se ve en la Figura 9. La longitud infinitesimal dxS representa una
fuente infinitesimal de corriente cuya corriente es
2
SIdx
l
. Ahora considerando un punto (x,
y, z) localizado sobre la superficie cilíndrica infinitesimal. El potencial en este punto
debido a la fuente de corriente infinitesimal es:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
2 2
1 1
1 1
, ,
8
:
S
S S
Idx
dV x y z
I x x a x x A
Donde
A y y z z
πσ
+
+
 
 = +
 − + − + 
= − + +
(1.53)
Si se asume que la profundidad del conductor es mucho mayor que el radio a, entonces A+
se puede aproximar de acuerdo al siguiente procedimiento:
( ) ( )
2 2
1 1A y y z z+ = − + +
Entonces:
( ) ( )
2 22
1 1A y y z z+ = − + +
Como ( ) ( )
2 22
1 1a y y z z= − + − entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 22 2
1 1 1 1 1 1A y y z z z z z z a z z z z+ = − + + + − − − = + + − −
Usando la factorización por diferencia de cuadrados se tiene que:
2 2
14A a z z+ = +
Como 1 1entonces z z :z a ≈
2 2
14A a z+ ≅ + (1.54)
•
•
(x, y, z)
dx
dxS
φ

21
Figura 0.9 Segmento de conductor dirigido en el eje X.
El potencial en el punto (x, y, z) es la suma de las contribuciones de todas las fuentes
infinitesimales:
( ) ( )
1
1
, , , ,
x l
x l
V x y x dV x y x
+
−
= ∫ (1.55)
Sustituyendo A+ y evaluando la integral se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( , , ) , , , 4 , 4
8
I
V x y z F x x l a F x x l a F x x l a z F x x l a z
lπσ
 = − + − − − + − + + − − − +
  
(1.56)
Donde la función F1, está definida en la ecuación (1.40). De la ecuación (1.55) se ve, que
el potencial V(x, y, z) solamente depende de la coordenada X: V(x)=V(x, y, z).
Así que:
( )
1
1
1
1
2
x l
x l
V V x dx
l
+
−
= ∫ (1.57)
Evaluando la integral:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 1
1 2
2 2 2 2
2 1 2 1
2 , 2 0, 2 , 2 , 4
16 2 0, 4 2 , 4
F l a F a F l a F l a z
I
V
l F a z F l a zπσ
 − + − + +
 
=  
− + + − +  
(1.58)
Donde la función F2 está definida en la ecuación (1.46). Nótese que ( )2 0,F a a= − y
( )2 2 2 2
2 1 10, 4 4F a z a z+ = − + .

22
El FDT propio del segmento es:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 12
1
2 , 2 , 2 2 , 4 2 , 4 2 4
16
FDT F l a F l a a F l a z F l a z a z
lπσ
 = + − + + + + − + + +
  
(1.59)
La ecuación (1.58) es el FDT propio (resistencia propia) de un segmento de conductor
dirigido en el eje X.
A continuación, en la siguiente sección, se presenta un resumen de los FDT para segmentos
de conductor paralelos a cualquiera de las tres coordenadas en el plano cartesiano. Dicha
tabla se puede utilizar en el análisis de la mayoría de sistemas de puesta a tierra prácticos en
subestaciones de alta y media tensión. Dichos FDT son válidos si se asume que la tierra es
un medio conductor semi-infinito de conductividad σ constante. Esto está lejos de la
realidad, ya que la conductividad de los suelos presenta variaciones espaciales y
estacionales. Sin embargo un análisis que incluya dichas variaciones sería prácticamente
imposible. De otro lado los efectos de las variaciones de la resistividad siempre son
substanciales. En cualquier caso, la conductividad del suelo bajo una cierta distancia desde
la superficie de la tierra se mantiene aproximadamente constante (prácticamente varía con
el paso del tiempo). La conductividad de la capa superior puede variar con las condiciones
climáticas (una alta conductividad después de un día lluvioso). Es conveniente modelar la
tierra como un medio semi-infinito estratificado. Típicamente como compromiso entre la
simplicidad del modelo y la necesidad de modelar la tierra en forma estratificada, se asume
un modelo de dos capas. El análisis presentado en las secciones anteriores se puede
extender a este tipo de modelos.
1.1.1.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de
conductor en coordenadas cartesianas:
1.1.1.5.1 FDT entre un segmento de conductor y un punto. Resistencia
transferida.
EJE X:

23
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1
1
, , , ,
8
x x x xFDT F x x l A F x x l A F x x l A F x x l A
lπσ
− − + +
 = − + − − − + − + − − − 
EJE Y:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1
1
, , , ,
8
y y y yFDT F y y l A F y y l A F y y l A F y y l A
lπσ
− − + +
 = − + − − − + − + − − − 
EJE Z:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1
1
, , , ,
8
z z z zFDT F x x l A F x x l A F x x l A F x x l A
lπσ
− − − −
 = − + − − − + − + − − − 
1.1.1.5.2 FDT entre dos segmentos de conductor. Resistencia mutua.
EJE X - EJE X:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
, , ,
1
, , ,
16
, ,
FDT F x x l l B F x x l l B F x x l l B
l l
πσ
− + −
+ − +
− +
− + + + − + + − − + − − 
 
= − + − − − − + − − − + + 
 − − − + − − − 
EJE Y - EJE Y:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
, , ,
1
, , ,
16
, ,
y y y
y y y
y y
F y y l l B F y y l l B F y y l l B
FDT F y y l l B F y y l l B F y y l l B
l l
F y y l l B F y y l l B
πσ
− + −
+ − +
− +
 − + + + − + + − − + − −
 
 = − + − − − − + − − − + +
 
 − − − + − − − 

24
EJE Z - EJE Z:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
, , ,
1
, , ,
16
, ,
z z z
z z z
z z
F z z l l B F z z l l B F z z l l B
FDT F z z l l B F z z l l B F z z l l B
l l
F z z l l B F z z l l B
πσ
− − −
− − −
− −
 − + + − − + − − − − + +
 
 = − − − + + + + − + + − −
 
 + − + + + − − 
EJE X - EJE Y:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2
, , , ,
, , , ,1
16 , , , ,
, ,
FDT
πσ
− + − + − − − + − − − −
− − − + − + − − − − − +
=
− + − + + − − + − − + −
− − − + + + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l y y l z z
 
 
 
 
 
 − − − + 
EJE X - EJE Z:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2
, , , ,
, , , ,1
16 , , , ,
, ,
F x x l z z l y y F x x l z z l y y
F x x l z z l y y F x x l z z l y y
FDT
l l F x x l z z l y y F x x l z z l y y
F x x l z z l y y F x
πσ
− + − + − − − + − − − −
− − − + − + − − − − − +
=
− + + + − − − + + − − −
− − + + − + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l z z l y y
 
 
 
 
 
 − + − − 
EJE Y - EJE Z:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1
3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2
, , , ,
, , , ,1
16 , , , ,
, ,
F y y l z z l x x F y y l z z l x x
F y y l z z l x x F y y l z z l x x
FDT
l l F y y l z z l x x F y y l z z l x x
F y y l z z l x x F y
πσ
− + − + − − − + − − − −
− − − + − + − − − − − +
=
− + + + − − − + + − − −
− − + + − + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,y l z z l x x
 
 
 
 
 
 − + − − 
1.1.1.5.3 FDT propio para un segmento de conductor. Resistencia propia.
EJE X:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 12
1
2 , 2 , 2 2 , 4 2 , 4 2 4
16
lπσ
 = + − + + + + − + + +
  
EJE Y:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 12
1
2 , 2 , 2 2 , 4 2 , 4 2 4
16
lπσ
 = + − + + + + − + + +
  

25
EJE Z:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 12
1
2 , 2 , 2 2 2 , 2 2 , 2 2 ,
16
FDT F l a F l a a F z l a F z l a F z a
lπσ
 = + − + + + + − − 
Notas:
La longitud del segmento i es 21i
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
x
y
z
x
y
z
A y y z z
A x x z z
A x x y y
B y y z z
B x x z z
B x x y y
±
±
±
±
±
−
= − + ±
= − + ±
= − + −
= − + ±
= − + ±
= − + −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1
3
, ln
, ln
, , ln ln 2 tan
F t u t t u
F t u t t t u t u
t u t u v
F t u v u u t t u v t u t u v v
v
−
= + +
= + + − +
 + + + +
= − + + + + + + + + +  
 
 
Con las fórmulas del resumen anterior y con ayuda de las ecuaciones (1.14) y (1.15) se
pueden calcular los valores de todos los segmentos componentes del sistema de puesta a
tierra, ya sea un solo conductor (contrapeso o varilla), malla horizontal, y malla con
varillas.
1.1.2 Calculo de la Conductancia
Se obtiene a partir de la matriz de resistencias o FDT. Dado que [ ] [ ] 1
Y R
−
= . Invirtiendo la
matriz [R] para obtener 1a matriz de conductancia [Y], se puede decir que:
El valor negativo del elemento Yij para i diferente de j es igual a la conductancia de un
elemento conectado entre los segmentos i y j.

26
1
n
ij
j
Y
=
∑ , conductancia de un elemento de circuito equivalente conectado entre el
segmento i y la tierra remota.
1
1 1
n n
ij g
i j
Y R−
= =
=∑∑ , donde Rg es la resistencia de puesta a tierra.
1.1.3 Calculo de la Capacitancia
De la ecuación (1.14) se obtiene el valor de la capacidad de cada segmento de acuerdo con
la conductancia a tierra remota hallada en 1.1.2.
1.1.4 Calculo de la Inductancia
De la ecuación (1.15) se obtiene el valor de la inductancia de cada segmento de acuerdo
con la conductancia a tierra remota hallada en 1.1.2.
El valor de conductancia y capacidad se divide entre dos para efectos del modelo, pues
según la Figura 2 y su adecuación al EMTP, el segmento se modela como un segmento PI.
1.1.5 Representación de los Elementos que conforman un Sistema de
Puesta a Tierra
Se modelan los elementos que conforman el sistema de puesta a tierra como parámetros
concentrados, ya que este modelo permite un adecuado y eficiente desarrollo
computacional y una gran flexibilidad para modelar sistemas de puesta a tierra de múltiple
configuraciones geométricas.
1.1.5.1 Definición de variables
Las variables utilizadas se resumen a continuación:
K : Nodo inicial del segmento.
M : Nodo final del segmento.
G : Conductancia a tierra remota. (Mohs)
R : Resistencia óhmica del conductor. (Ohmios)

27
L : Inductancia. (Henrios)
C : Capacitancia. (Faradios)
σ : Conductividad del medio. (1/ohmios · m)
a : Radio del conductor. (Metros)
I : Corriente que emana el conductor hacia tierra.
[V] : Potencial del sistema.
(x, y, z) : Ubicación espacial de un punto.
L : Longitud del segmento
[R] : Matriz de resistencias.
[M] : Matriz de admitancias.
Rg : Resistencia de puesta a tierra del sistema.
A : Área de las placas paralelas del sistema.
ε : Permitividad del suelo.
εr : Permitividad relativa.
ε0 : Permitividad del espacio libre.
c : Velocidad de la luz en el espacio libre.
En la representación de dicho sistema se tiene en cuenta: El segmento se encuentra
representado por medio de su resistencia serie, inductancia serie, conductancia y
capacitancia a tierra remota.
El equivalente PI es un modelo sencillo y adecuado para el trabajo con parámetros
concentrados. La Figura 10 describe la representación circuital de un elemento del sistema
entre dos nodos diferentes.

28
Figura 0.10 Representación de un elemento del sistema de puesta a tierra (después de la partición).
1.2 Metodología en la Solución del Problema de Análisis y
Modelamiento de Sistemas de Puesta a Tierra
Con base en lo expuesto en la formulación del problema, así como en la representación de
dichos sistemas se procede a definir una metodología, con la cual se integre los diversos
pasos en el proceso de modelamiento de los sistemas de puesta a tierra.
1.2.1 Datos de Entrada
Los datos de entrada necesarios para la solución de este problema son: Las dimensiones del
sistema de puesta a tierra, resistividad y permitividad relativa del terreno, calibre de los
conductores, profundidad de enterramiento del sistema y la fuente de excitación o disturbio
que afecta al sistema.
1.2.2 Cálculo de los FDT
Se realiza el cálculo de los FDT de acuerdo con la configuración geométrica del sistema,
las fórmulas de 1.1.1.5. Se debe determinar la segmentación del sistema, la cual se realiza
por cruces de conductores en el caso de mallas, y teniendo en cuenta la exactitud requerida

29
para el modelo, cabe anotar que a un mayor número de segmentos se obtiene un mejor
modelo pero con un mayor tiempo de cálculo del sistema.
Luego de la segmentación se hace necesario seguir un método de ordenamiento del sistema
el cual permita la numeración de estos, de la siguiente forma:
Para los conductores horizontales, se organizan de tal manera que en un sistema
coordenado XY, los conductores se agrupen de acuerdo con sus coordenadas iniciales y
finales, partiendo de la menor coordenada XY y manteniendo la ordenada Y constante se
recorre en orden ascendente la abscisa X hasta alcanzar su valor máximo en X, se pasa al
siguiente valor en orden ascendente, de la ordenada Y, y se repite el recorrido de las
abscisas. Y, así sucesivamente se obtiene un orden en el cual se recorren los conductores
en el plano de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.
Para los conductores verticales, la organización es análoga a la de los conductores
horizontales. Pero en este caso los conductores en el plano se recorren de abajo hacia
arriba y de izquierda a derecha.
Para las varillas de puesta a tierra, las cuales son vistas como puntos en el plano
coordenado XY, su organización final se hace de izquierda a derecha y de abajo hacia
arriba.
Con este ordenamiento y los datos de entrada de resistividad del terreno, características del
conductor, profundidad de enterramiento, se aplican las fórmulas de 1.1.1.5 y se determinan
los factores de distribución de tensión o matriz de resistencias, en el siguiente orden:
FDT para segmentos horizontales FDTH, verticales FDTV y varillas FDTB.
FDT mutua para segmentos horizontales y verticales FDTHV.
FDT mutua para segmentos horizontales y varillas FDTHB.
FDT mutua para segmentos verticales y varillas FDTVB.

30
Con estas matrices se conforma la FDT del sistema total, la cual tiene la estructura de la
Tabla 1. Donde M es el número de segmentos horizontales, N el número de conductores
verticales y LO el número de varillas.
Cabe anotar que cuando se trata de un solo conductor en cualquier dirección la matriz
resultante será solo una de las matrices de la diagonal principal de la matriz mostrada en la
Tabla 1.
Tabla 0.1 Matriz FDT de un sistema de puesta a tierra
1.2.3 Inversión de la Matriz FDT
Se invierte la matriz FDT del sistema total. Esta matriz resultante es la matriz de
admitancias del sistema, y con la cual se pueden hallar el resto de componentes del circuito
equivalente de cada segmento.
1,1 1,M
FDTH
M,1 M,M
1,M+1 1,M+N
FDTHV
M,M+1 M,M+N
1,M+N+1 1,M+N+LO
FDTHB
M,M+N+1 M,M+N+LO
M+1,1 M+1,M
FDTVH
M+N,1 M+N,M
M+1,M+1 M+1,M+N
FDTV
M+N,M+1 M+N,M+N
M+1,M+N+1 M+1,M+N+LO
FDTVB
M+N,M+N+1 M+N,M+N+LO
M+N+1,1 M+N+1,M
FDTBH
M+N+LO,1 M+N+LO,M
M+N+1,M+1 M+N+1,M+N
FDTBV
M+N+LO,M+1 M+N+LO,M+N
M+N+1,M+N+1 M+N+1,M+N+LO
FDTB
M+N+LO,M+N+1 M+N+LO,M+N+LO

31
1.2.4 Circuito Equivalente de los Segmentos
Con la matriz de admitancias del sistema segmentado se obtienen las conductancias a tierra
remota de todos los segmentos de conductor, sumando cada fila de la matriz. También se
obtiene la resistencia de puesta a tierra del sistema, Rg, sumando todos los elementos de la
matriz de admitancias del sistema, y luego invirtiendo dicho resultado.
Luego se obtienen los valores de capacidad e inductancia del sistema con las ecuaciones
(1.14) y (1.15), para lo cual se emplean los valores de conductividad y permitividad relativa
del terreno, longitud del segmento y la velocidad de la luz en el espacio libre. La resistencia
serie del segmento de conductor se halla con base en el valor de la resistencia por unidad de
longitud, el cual aparece en las tablas de fabricantes de cables, y su longitud de segmento.
Con el objeto de utilizar el circuito PI se determina la mitad de la conductancia y
capacitancia obtenidas de la matriz de admitancias del sistema para todos los segmentos.
Con esto se logra la representación del sistema de puesta a tierra con base en la partición en
segmentos del conductor y su representación como elementos del circuito, los cuales
pueden ser modelados en un paquete de simulación.
1.2.5 Modelamiento del Sistema
La solución de los transitorios en el sistema de puesta a tierra se puede resolver mediante el
método de integración trapezoidal para la solución de los transitorios electromagnéticos, el
cual consiste en reemplazar los elementos por circuitos de acompañamiento resistivo
equivalentes y fuentes de historia pasada que reconstruyen el efecto de los elementos no
resistivos. El algoritmo es muy conocido, ya que es el mismo utilizado por el EMTP de
amplia utilización en nuestro medio y de gran reconocimiento a escala mundial.
En este paso se introducen los datos de resistencia e inductancia serie del segmento de
conductor, capacidad a tierra remota y el valor de conductancia a tierra remota se introduce
con el valor de resistencia, el cual es el valor inverso. Con base en el ordenamiento de
segmentos se realiza la numeración de nodos y como parte final se aplica la fuente con la
cual se desea analizar el comportamiento del sistema.

Modelamiento Sistemas de puesta a tierra

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Modelamiento Sistemas de puesta a tierra

Similar a Modelamiento Sistemas de puesta a tierra (20)

Más de Gilberto Mejía

Más de Gilberto Mejía (20)

Último

Último (20)

Modelamiento Sistemas de puesta a tierra