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COMPENDIO 01 - CHIPANA PRE U.pdf
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3
La Academia Preuniversitaria
“CHIPANA”, saluda a todos los estudiantes que han depositado su confianza en
nosotros y que diariamente se esfuerzan por lograr el difícil reto de ingresar en la
universidad.
Conscientes del rol protagónico que tenemos en este primer año, en el medio
preuniversitario, ponemos en manos de nuestros alumnos el compendio.
Este compendio académico está elaborado de acuerdo al prospecto de admisión de
la UNCP y otras universidades del país.
Finalmente esperamos jóvenes estudiantes que toda la información del presente
libro, contribuye a acrecentar su conocimiento y en posesión de ello concretar la
ansiada meta de ingresar en la universidad.
LA DIRECCIÓN
Presentación
COMPENDIO 01 - CHIPANA PRE U.pdf
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111
5
1. CONCEPTO
Se entiende por conjunto a toda agrupación de
objetos reales o imaginarios, que tienen una o más
características comunes, estos objetos reales o
imaginarios son llamados elementos del conjunto de
manera que un conjunto está bien definido si es
posible conocer todos sus elementos.
2. NOTACIÓN
Generalmente se denota a los conjuntos con letras
mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos
separados por comas y encerrados por signos de
colección (llaves, corchetes), etc. Ejm:
 
si
,
la
,
sol
,
fa
,
mi
,
re
,
do
A =
 
Chile
....
,
Argentina
,
Bolivia
,
Perú
,
Ecuador
P=
 
u
o
i
e
a
B ,
,
,
,
=
Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n)
Nos indica el número de elementos diferentes que
tiene el conjunto considerado.
Ejm:
  ( ) 3
A
n
17
;
12
;
8
A =
→
=
  ( ) 4
B
n
17
;
11
;
11
;
11
;
11
;
6
;
6
;
6
;
9
;
9
B =
→
=
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:
Por Extensión o Forma Tabular:
Cuando se indican a todos y a cada uno de los
elementos del conjunto.
Por comprensión o Forma Constructiva:
Cuando se define al conjunto enunciando las
propiedades comunes que caracterizan a los
elementos de dicho conjunto.
Ejemplo:
4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Relación de Pertenencia ()
Un elemento pertenece () a un conjunto si forma
parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación
de pertenencia se emplea de elemento a conjunto.
b) Relación de Inclusión (  ):
Se dice que A está incluido en el conjunto B (A  B),
cuando todo elemento de A pertenece a B.
c) Igualdad de Conjuntos:
Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los
mismos elementos.
5. CLASES DE CONJUNTO
a) Conjunto Vacío
Es aquel conjunto que no posee elementos; también
se le llama conjunto nulo.
b) Conjunto Unitario
Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama
conjunto Singlentón
c) Conjunto Universal
Es el conjunto que dentro del cual están todos los
demás conjuntos, teniendo una referencia se
representa por el símbolo U.
d) Conjunto Potencia
Está formado por todos los subconjuntos que es
posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por
“P”.
Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A.
A = {a, b, c}
P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};}
Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la
fórmula: 2n
, de donde “n” es el número de elementos
del conjunto.
Número de subconjuntos = 2n
= 23
= 8
01 TEORÍA DE CONJUNTOS
6
01. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de C?
C = { 0; {1}; 1; 0; 1; { {1} } }
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
02. Dados los conjuntos:
A = {x/x es hombre}
B = {x/x es peruano}
C = {x/x es médico}
Expresar mediante operaciones el conjunto:
“Hombres peruanos que no son médicos”
a) A (BUC) b) A (BUC)’
c) (AUB) C d) (AB) C’
e) (AB)UC
03. Un conjunto tiene 128 subconjuntos en total.
¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos
tendrá?
a) 6 b) 42 c) 35
d) 21 e) 7
04. Dados dos conjuntos comparables cuyos
cardinales se diferencian en 3, además la
diferencia entre los cardinales de sus
conjuntos potencias es 112. ¿Cuántos
elementos tiene la intersección de dichos
conjuntos?
a) 0 b) 1 c) 4
d) 6 e) 7
05. Se dispone de 5 tarros de pintura de
diferentes colores, los cuales se combinaron
para obtener colores distintos a los que se
tiene. ¿Cuántos colores más se podrían
obtener?
a) 32 b) 31 c) 25
d) 26 e) 30
06. Una persona como huevos o plátanos en el
desayuno de cada mañana durante el mes de
marzo. Si durante 25 mañanas come huevos
y 18 mañanas come plátanos, ¿cuántas
mañanas come huevos y plátanos?
a) 15 b) 13 c) 10
d) 5 e) 12
07. 120 alumnos rindieron una prueba que
contiene los cursos: A, B y C con los
resultados siguientes:
Se anularon 10 pruebas y el resto aprobó por
lo menos un curso. Los que aprobaron A
desaprobaron B y C. 20 alumnos aprobaron
B y C.
¿Cuántos aprobaron un solo curso?
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 100
08. Al final de una jornada de cacería de liebres y
conejos, 21 cazadores regresaron con por lo
menos un animal, 9 no sólo cazaron liebres
sino también conejos: 16 cazaron por lo
menos un conejo y 22 regresaron sin haber
cazado liebre alguna. ¿Cuántos no cazaron
conejos?
a) 5 b) 20 c) 11
d) 15 e) 18
09. Hay 65 banderas que tienen por lo menos 2
colores, 25 tienen rojo y azul, 15 rojo y
blanco, 35 blanco y azul. ¿Cuántas banderas
tienen los 3 colores mencionados?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 10 e) 11
10. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres
aprobaron Aritmética, 6 hombres aprobaron
Literatura, 5 hombres y 8 mujeres no
aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en
total; 5 alumnos aprobaron los 2 cursos y 11
aprobaron sólo Aritmética. ¿Cuántas mujeres
aprobaron solo Literatura?
a) 3 b) 2 c) 5
d) 6 e) 7
11. En una encuesta sobre preferencias de jugos
de frutas de fresa, papaya y naranja se
encontró que: el número de personas que
gustan de jugo surtido es:
•¼ de los que gustan solamente jugo de
fresas.
111
7
•½ de los que gustan solamente jugo de
papaya.
•1/5 de los que gustan solamente jugo de
naranja.
•½ de los que gustan solamente jugo de
fresas y naranja.
•1/3 de los que gustan solamente jugo de
papaya y naranja.
•Igual al número de personas que gustan
solamente de jugo de fresas y papaya.
•1/3 de los que no gustan de ninguno de los
3 jugos señalados.
Si se sabe que el número de encuestados fue
de 420. Hallar el número de personas que no
gustan de ninguno de los 3 jugos.
a) 40 b) 50 c) 60
d) 80 e) 100
12. De un lote de 1000 pantalones se planea
eliminar aquellos que tengan 2 fallas y se
venden a la mitad de precio aquellos que
tengan solo 1 falla. Si luego de la inspección
no se eliminan 922 pantalones y los que se
vendieron a mitad de precio es el doble del
número de pantalones que se eliminan.
¿Cuántos pantalones se vendieron sin
descuento?
a) 784 b) 836 c) 844
d) 766 e) 704
13. A un matrimonio asistieron 150 personas, el
número de hombres es el doble del número
de mujeres. De los hombres 23 no usan reloj
pero si tienen terno y 42 tienen reloj. De las
mujeres, las que no usan minifalda son tantas
como los hombres que no usan terno ni reloj
y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres
usan minifalda pero no reloj?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 9
14. De un grupo de ingenieros, economistas y
abogados:
•20 tienen 2 profesiones, 12 de ellos son
mujeres.
•Hay igual cantidad de ingenieros-
economistas, economistas-abogados y
solamente abogados, tanto en los hombres
como en caso de las mujeres.
•Hay tantos economistas hombres como
mujeres ingenieros.
•Hay tanto ingenieros hombres como
mujeres economistas.
•En total hay 12 mujeres con solo una
profesion. ¿Cuantos hombres hay con solo
una profesion?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
15. Si:n(AUB) = 15 n(AB) = 3 n(A) –
n(B) = 2
Calcular: n(AB) – n(A)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
01. Dado el conjunto:
A =    
 
5
;
3
;
2
;
3
;
5
;
2
Indicar cuantas de las siguientes
proposiciones son verdaderas.
I)   A

3 III)  A

5
;
2 V) A

2
II)  A

5
;
2 IV) A

7 VI)
A


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
02. El Conjunto:








−
= X
X
X
X
X
B ;
21
2 3
Está incluido en:
a) {2; 4; 6} b) {1;2} c) {1; 8;
5}
d) {1} e) {0;2;3}
03. Sea: ( )
 
8
4
/
1
3 



+
= x
x
A
Indicar el número de elementos del conjunto
A
a) 3 b) 4 c) 8
d) 7 e) 13
04. Sabiendo que el siguiente conjunto es
unitario:
8
 
12
;
3
2
; −
+
+
= a
m
a
m
D
Calcular: m2
+ a2
a) 80 b) 74 c) 90
d) 104 e) 39
05. La región sombreada corresponde a:
A B a) (AB) UC
C b) (A-B)U(B-A)
c) (AUB)  C
d) (AUB) U C
e) (AB) U C
INDICADORES DE LOGRO:
- Determinar la diferencia entre la idea de número y
su representación.
- Especificar el orden y el lugar que ocupa una cifra
según su posición en un numeral.
- Determinar el valor relativo de las cifras de un
numeral, a través de la descomposición
polinómica.
- Transformar un numeral de un sistema de
numeración a otro sistema, utilizando diferentes
métodos.
PROPIEDAD:
Un mismo número escrito en diferentes sistemas de
numeración cumple que «A mayor numeral aparente
le corresponde menor base» o «A menor numeral
aparente le corresponde mayor base»
n
abcd n
abcd + m
xyz
-
= Se cumple : m > n
- +
DE LAS CIFRAS:
Las cifras o dígitos son símbolos convencionales que
se utilizan para escribir los numerales.
Un numeral tiene un valor absoluto y un valor de
posición o relativo.
VALOR ABSOLUTO (VA): Es el valor que posee
por sí mismo independientemente de su ubicación.
VALOR RELATIVO (VR): Es el valor que tiene una
cifra de acuerdo al orden o ubicación que ocupa
dentro de un numeral.
1
Representación literal de los números
Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas
se van a representar mediante letras minúsculas,
considerando que:
a. Las letras diferentes no necesariamente indican
cifras diferentes; a menos que lo señalen.
Ejemplo: ab  {10 ; 11 ; 12 ; .... ; 99}
b. Toda expresión entre paréntesis representa una
cifra.
Ejemplo: (a 2)(b 5)(c 8)
+ + −
; tiene 3 cifras
c. La cifra de mayor orden debe ser diferente de
cero:
Ejemplo: mnp
entonces
02 NUMERACIÓN Y CONTEO
DE NÚMEROS
111
9
SISTEMAS DE NUMERACIÓN MÁS
COMUNES
BASE SISTEMA CIFRAS UTILIZADAS
2 Binario 0; 1
3 Ternario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  ; 
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN
NUMERAL:
Viene a ser la suma indicada de los valores relativos
de cada una de sus cifras; es decir, de acuerdo al
orden que ocupan en el numeral.
Ejemplos:
n
ab a.n b
= +
3 2
n
abcd a.n b.n c.n d
= + + +
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA POR
BLOQUES:
2
n n n
abab ab .n ab
= +
CAMBIOS DE BASE:
1. De base n a base 10 (n 10):
• Expresar 23146 en base 10
Por Descomposición Polinómica (DP)
2314(6) = 2. 63 + 3. 62 + 1.6 + 4 = 550
• Expresar 13225 en base 10
Por Ruffini:
1 3 2 2
5  5 40 210
1 8 42 212
Entonces: 13225 = 212
2. De base 10 a base m (m 10):
• Expresar 465 en base 6
Usando Divisiones Sucesivas
Luego: 465 = 20536
3. De base "n" a base nk (k ):
• Se forman grupos de k cifras; a partir del orden
uno.
• Cada grupo así formado se descompone
polinomicamente, dicho resultado es la cifra en
la nueva base(nk).
4. De base "nk" a base n (k ):
• Cada cifra del numeral de la base nk genera un
grupo de k cifras en base n.
• Las cifras de cada grupo se obtienen por
divisiones sucesivas entre n.
NUMERAL CAPICÚA: Es aquel número cuyas
cifras equidistantes de los extremos son iguales
(leído de derecha a izquierda y viceversa
representa el mismo numeral).
PROPIEDADES:
A. Numeral de cifras máximas
k
n
"k " cifras
(n 1)(n 1)...(n 1) n 1
− − − = −
1
4444444442 4444444443
B. Bases sucesivas
b0
1b
1c c0n
1dn
1a a b c d n a0 a.b.c n
= + + + + =
C. Cantidad de numerales con cierta cantidad de
cifras.
k 1 k
n
"k"cifras
n abc...p n
−
 
CONTEO
En el caso específico, que se desee conocer la
cantidad de elementos que posee un conjunto de
números, se debe de diferenciar los casos que se
puedan presentar:
I) Si los números forman parte de una sucesión
numérica.
II) Si los números admiten condiciones particulares
entre ellos.
I. Progresión Aritmética (P.A.)
Es una sucesión numérica en la que cada término
es igual al anterior más una cantidad constante
llamada razón, la cual se calcula mediante la
sustracción de dos términos consecutivos.
En forma general:
P.A: a1 ; a2 ; a3 ;………… ; an
Donde:
* a1 : primer término
* a2 : segundo término
* a3 : tercer término
* an : enésimo término (último término)
10
* n : Cantidad de términos (lugar del
último término)
* r : razón de la progresión aritmética.
Además:
* Si r < 0 P.A. decreciente
* Si r > 0 P.A. creciente
Fórmulas importantes:
* Número de términos (n)
n 1
a a
n 1
r
−
 
= +
 
 
* Término general (an):
n 1
a a (n 1).r
= + −
II. Paginación
Utilizando tipos de imprenta se considera un
problema: el determinar los necesarios para
numerar las páginas de un libro; es decir, calcular
la cantidad de cifras necesarias para escribir todos
los enteros desde 1 hasta N, y para ello
aplicaremos de manera práctica lo siguiente:
1 N
"k " cifras
C (N 1)K 111....11
→ = + − 1
44424443
Donde: "k" es el número de cifras que tiene N.
01. Si A es el menor numeral de tres cifras
diferentes del sistema decimal y B es el
mayor numeral de tres cifras, las cuales
suman 14, calcule A+B.
a) 962 b) 974 c) 983
d) 1052 e) 1073
02. Al imprimir un libro se utilizan 810 tipos de
imprenta. ¿Cuántos tipos se usarían al
numerar el mismo libro en base 7?
a) 589 b) 858 c) 861
d) 863 e) 864
03. Si: =
(n)
abab 221
Calcula: a + b + n.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
04. Si el numeral
(c+2b)4(3c)(b + a)a es
capicúa, determine el valor de (a × b × c)2.
a) 25 b) 9 c) 16
d) 36 e) 4
05. La suma del segundo y quinto término de
una PA es 32, y el término de lugar
diecinueve excede al término de séptimo
lugar en 48. Halla el término de lugar 16.
a) 11 b) 22 c) 66
d) 44 e) 55
06. Se cumple que:
(16)
(n)
121 540
(15) (n)
=
Calcula el valor de n.
a) 8 b) 9 C) 10
d) 7 e) 11
07. Al expresar el numeral 111...112 de m cifras
en la base 6 se representa como
(3a)(3a)a
Calcula el valor de: m + a.
a) 6 b) 10 c) 8
d) 7 e) 9
08. La cantidad de números enteros
comprendidos entre 300 y 500 que se
pueden formar usando solo las cifras 3, 4 y 5
es igual a:
a) 44 b) 24 c) 30
d) 18 e) 52
09. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen al
menos una cifra 2 en su escritura?
a) 225 b) 156 c) 200
d) 252 e) 250
10. ¿Cuántos numerales de la forma:
(6)
ab(2a-b)
existen?
a) 36 b) 28 c) 21
d) 17 e) 18
111
11
11. Un número de tres cifras del sistema de base
7 se escribe en el sistema de base 9 con las
mismas cifras, pero colocadas en orden
inverso.
Entonces la suma de las cifras de este
número escrito en base 7 es:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. La siguiente progresión aritmética de razón r,
posee 3b términos, además, el primer y
último término son 111 y 514,
respectivamente. Halla: b + r.
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
13. En la siguiente progresión aritmética de 36
términos, calcula la suma.
(n) (n) (n) (n)
a5 ; a7 ; b1 ; ....; 1ba
a) 4300n b) 2304n
c) 4400n d) 2300n
e) 3400n
14. Si:
2
(n)
(n )
12abcd 653
=
, halle el valor de (a
+ b + c + d – n).
a) 0 b) 2 c) 3
d) 1 e) 4
15. ¿Cuántos números se escriben con tres cifras
en los sistemas heptanario, nonario y
undecimal?
a) 222 b) 256 c) 332
d) 228 e) 242
01. En una PA se tiene que la diferencia entre el
decimotercer término y el octavo término es
15; además, la suma del sexto y noveno
termino es 55. Calcula el vigésimo término.
a) 65 b) 68 c) 74
d) 82 e) 94
02. Dadas las siguientes PA
8; 11; 14; 17; ………………….. y
7; 11; 15; 19; ………………….
¿Cuántos términos comunes de dos cifras
tienen?
a) 11 b) 3 c) 7
d) 8 e) 9
03. ¿Cuántos ceros sin valor hay en
0001; 0002; 0003 …………………… 7000?
a) 1107 b) 1108 c) 1109
d) 1110 e) 1121
04. Calcular el trigésimo tercer término en la
progresión aritmética: 13; 20, 27; . . .
a) 230 b) 216 c) 237
d) 224 e) 307
05. Hallar la cantidad de términos de la siguiente
P.A: 5
)
4
(
;
.....
;
9
;
3 +
a
a
a
a) 42 b) 10 c) 9
d) 8 e) 20
12
DEFINICIÓN:
Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a
una parte de la aritmética que comprende el estudio
de las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división.
1. ADICIÓN (+):
Es una operación directa en la cual, para 2
números cualesquiera llamados sumandos, se
obtiene un tercer número que es el resultado de
reunir las unidades de los números iniciales. A este
resultado se le llama suma o suma total.
2. SUSTRACCIÓN (-):
Es una operación inversa a la adición en el cual
para dos números llamados minuendo y
sustraendo, se obtiene un tercer número llamado
resta o diferencia.
PROPIEDAD:
a).- S + D = M
b).- M + S + D = 2M
3. MULTIPLICACIÓN:
Es una operación directa, que para dos números
llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene
un tercer número llamado producto, el cual es
igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo
indica el multiplicador.
4. DIVISIÓN:
Operación inversa a la multiplicación, en la cual,
para dos números llamados dividendo y divisor
(este último diferente de cero) , se encuentra un
tercer número llamado cociente, de modo que el
producto del divisor y el cociente sea el dividendo.
5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A)
Llama así, a lo que le falta a un número para ser igual
a una unidad de orden inmediato superior a su cifra
de mayor orden:
Número
Unidad de
orden
inmediato
superior
C.A
24 102 = 100 100 – 24 = 76
327
103 =
1000
1000 - 327 =
673
945
104 =
10000
10000 – 945 =
55
01. Hallar: a + b + c + d; si:
abcd
15 + 487278 = 15
abcd
a) 12 b) 18 c) 20
d)21 e) 25
02. Si: pq
ab+ = 136, c+ r = 15;
tu
de+ = 152
Hallar: S = pqrtu
abcde +
Dar como respuesta la suma de las cifras de S.
a) 20 b) 24 c) 26
d)28 e) 32
03. Si: ( )
2
−
=
− n
m
ba
ab
Calcular: nm
mn +
03 CUATRO OPERACIONES
a + b = S
sumandos suma
M: minuendo
M – S = D S: sustraendo
D : diferencia
D→ dividendo
D  d = q  d x q = D d→ divisor(0)
q→ cociente
a → multiplicando
axb = a+a+a+...+a = P b → multiplicador
b sumandos p → producto
111
13
a) 132 b) 117 c) 121
d) 93 e) 47
04. Si: CPU
UU
PP
CC =
+
+
Hallar: C + P + U
a) 10 b) 15 c) 17
d) 18 e) 20
05. Si: 6
bd
bac
cab =
−
Hallar: b + c - d
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
06. Si: 5
mn
cba
abc =
− ; además;
a2
+ c2
+ n2
= 188. Hallar “a + c”
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
07. Hallar el C.A. del menor número de cifras
distintas que se puede formar con todos los
dígitos primos.
Dar como respuesta la suma de cifras del C.A.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 27 e) 35
08. Si: C.A.
( ) ( )( )
c
b
a
dbc 4
2
9
7






=
Hallar: a2
+ b2
+ c2
a) 14 b) 49 c) 72
d) 94 e) 13
09. Hallar: (a – b + c)
Si: C.A.
( ) ( ) ( )
ccc
A
C
bbb
A
C
aaa .
.
.
. +
+ = 669
Y C.A .(a) + C.A. (b) = 5 (a  b  c)
a) 3 b) 9 c) 4
d) 7 e) 6
10. Si se cumple que:
C.A.
  )
8
(
)
8
( acb
cba =
C.A.
  )
12
(
)
12
( xyz
)
c
2
)(
b
2
)(
a
2
( =
Calcule: x + y + z
a) 12 b) 10 c) 15
d) 14 e) 13
11. Se sabe que:
7. N = ……… 184
9. N = ……… 808
Calcular la suma de las tres últimas cifras de 32
N.
a) 18 b) 21 c) 23
d) 24 e) 27
12. ¿Cuál es el menor número que multiplicado por
21 da un producto cuyas cifras son todas cuatro?
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
13. Un número de 4 cifras es multiplicado por el
mayor número de 3 cifras del sistema decimal,
obteniéndose como producto un número que
termina en 2643. Dar como respuesta la suma de
las 4 cifras del número indicado.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 23
14. La suma de 4 términos de una división entera
inexacta es igual a 544. Hallar el dividendo si el
cociente es 12 y el resto la mitad del divisor
a) 456 b) 469 c) 475
d) 421 e) 424
15. El producto de 2 números es 1599. Si se dividen
entre un tercero, los cocientes son 4 y 5,
obteniéndose en el primer caso un resto máximo
y en el segundo un resto mínimo. ¿Cuál es la
suma de los números?
a) 60 b) 72 c) 80
d) 7 e) 25
01. Calcular: a + b + c si al dividir abc entre
bc se obtiene 11 de cociente y 80 de resto.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
02. Un número es tal que multiplicándolo por: 2;
5; 6; 7; 8 y 11 respectivamente resultan como
14
producto los siguientes números, cuyas
formas son:
defabc
y
fabcde
;
bcdefa
;
efabcd
;
cdefab
;
abcdef
Determinar el número sabiendo que:
a + b + c + d + e + f = 27
a) 76963 b) 76023
c) 79623 d) 76923
e) 76293
03. Reconstruir la siguiente división y dar como
respuesta la suma de las cifras del cociente.
3 * * * * 2 6 2 a) 11
* * * * * * b) 12
* * 5 * c) 13
* * 4 * d) 14
- * * * * e) 15
* * * 6
- - - -
04. En la siguiente división hallar la suma de las
cifras del dividendo:
* * 8 * * * 7 a) 27
2 * * * * * b) 37
2 * * c) 17
* * * d) 32
- * 9 * e) 24
* * 9
- - * 4
* *
- -
05. Hallar la suma de (n + 1) números
consecutivos, tal que al dividir el mayor entre
el menor se obtiene (n - 13) de residuo.
Siendo “n” el mayor posible.
a) 654 b) 659
c) 663 d) 676
e) 696
1. DEFINICIÓN:
Un número A es divisible entre otro B, cuando
la división de A entre B es entera y exacta.
A B donde : K  Z
0 K → A = BK
Se lee :
• A “es divisible por” B
• B “es divisible de“ A
• B “divide a“ A
También:
A “es múltiplo de” B
B “es factor de” A
Notación : A =

B
2. OBSERVACIONES:
a) El cero es múltiplo de cualquier número
entero positivo.
b) El cero no es divisor a la unidad de ningún
número.
c) Todo número es divisor de la unidad.
d) Los conceptos de divisibilidad y
multiplicidad son equivalentes en el
conjunto de los números enteros.
e) Un número negativo puede ser múltiple de
otro positivo.
3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Son condiciones que consiste en analizar las
cifras de un número, para determinar si es
divisible o no respecto a cierto módulo. En caso
de no serlo nos dará a conocer el residuo.
3.1. DIVISIBILIDAD POR 2
Cuando termina en cero o cifra.
N =

2
abc = → c = cero o par.
04 DIVISIBILIDAD
111
15
3.2DIVISIBILIDAD POR 3
Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de
3.
N =

3
abc = → a + b + c =

3
3.3DIVISIBILIDAD POR 4
Cuando sus dos últimas cifras son ceros o
múltiplo de 4.
N =

4
abcd = →

4
oo
cd 
=
3.4DIVISIBILIDAD POR 5
Cuando la última cifra es cero o cinco.
N =

5
abcd = → d = 0 v 5
3.5DIVISIBILIDAD POR 6
Cuando es divisible por 2 y también por 3.
N =

6
abcd = →


3
2 
3.6DIVISIBILIDAD POR 7

7
h
g
f
e
d
c
b
a =
3 1-2 -3-1 2 3 1
h + 3g + 2f – e – 3d – 2c + b + 3a =

7
3.7DIVISIBILIDAD POR 8
Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo
de 8.
N =

8
abcd = →

8
000
bcd 
=
3.8DIVISIBILIDAD POR 9
Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de
9.
N =

9
abcd = → a+ b + c =

9
3.9DIVISIBILIDAD POR 11
Cuando la suma de sus cifras de orden impar
menos la suma de las cifras de orden par; es
0 o múltiplo de 11.
N =

11
f
e
d
c
b
a =
- + - + - +
01. ¿Cuántos números múltiplos de 7 hay entre
35 y 216?
a) 23 b) 24 c) 25
d) 26 e) 27
02. Si: “6N” es 24
33
o
+ . ¿Qué residuo se obtiene
al dividir “N” entre 11?
a) 3 b) 0 c) 4
d) 2 e) 5
03. ¿Cuántos valores puede tomar ab , si:
o
132
ab
.
15
....
ab
.
3
ab
.
2
ab =
+
+
+
+
a) 9 b) 10 c) 12
d) 11 e) 8
04. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema
de base 6, son divisibles entre 4 pero no por
6?
a) 16 b) 46 c) 30
d) 18 e) 20
05. En cierto salón de clase se observa que la
quinta parte usan lentes y la novena parte
son varones. ¿Cuántas mujeres hay, si el total
del alumnado está comprendido entre 60 y
105?
a) 85 b) 45 c) 90
d) 80 e) 95
06. El Emir Abdel Azir se hizo famoso por varios
motivos, él tuvo más de 39 hijos. De hecho,
el historiador Ahmed Aab afirma en uno de
sus escritos que todos los hijos del Emir eran
mellizos, excepto 39; todos eran trillizos,
excepto 39; todos eran cuatrillizos, excepto
39. El número de hijos del Emir fue:
a) 109 b) 48 c) 85
d) 78 e) 57
07. Un número de tres cifras múltiplo de 11, es
tal que dividido entre 8 y 9 los residuos son 1
16
y 6 respectivamente. Hallar el producto de
cifras de dicho número.
a) 64 b) 80 c) 35
d) 48 e) 40
08. Si:
o
9
abc = ;
o
5
cba = ;
o
13
ca =
Hallar: a . b . c
a) 140 b) 150 c) 210
d) 120 e) 105
09. Si el numeral b
361
a
7 es divisible entre 55,
pero no entre 2. Hallar el valor de “a”.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. Al dividir: b
13
a
28 entre 36, el residuo es 4.
Calcular: a.b
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
11. Si: yz
6
xy es divisible entre 875, entonces
xyz es múltiplo de:
a) 11 b) 13 c) 17
d) 23 e) 29
12. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras,
son múltiplos de 13?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
13. ¿Cuántos pares ordenados de números
enteros positivos ( m , n ) son soluciones de
la ecuación:
2m + 3n = 27
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
14. Con 241 soles se han comprado videos a 38
soles cada uno, y casetts a 17 soles cada uno.
¿Cuántos objetos se han comprado?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 36
15. Anacleto podría ahorrar S/. 20 diariamente,
pero cada vez que sale con Adolfina gasta S/.
9 y cuando sale con su novia gasta S/. 6. Si
todos los días sale con una de ellas y ya tiene
ahorrado S/. 258. ¿Cuántos días salió con
Adolfina?
a) 20 b) 21 c) 9
d) 12 e) 24
16. ¿Cuál es el residuo de dividir E entre 8?
1206
6
4
2
2413
.....
13
9
5
E +
+
+
+
=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
17. La cantidad de dinero que dispone Carla es
de S/. 205; si ella va a comprar polos, blusas
y jeans. ¿Cuántos artículos podrá comprar si
no le sobró ni le faltó dinero?(Se sabe
además que los polos costaban S/. 15, las
blusas S/. 39 y los jeans S/. 52; cada uno)
a) 7 b) 8 c) 9
d) 6 e) 4
18. Un ventero recibió 6 barriles de cerveza,
cuyos contenidos eran: 15, 16, 18, 19, 20 y
31 litros; luego se presentan dos clientes: Uno
compra tres barriles y el otro dos, con la
particularidad que el segundo compró la
mitad de litros que compró el primero. Si no
hubo que destapar ningún barril al momento
de venderlos. ¿Cuál era la capacidad del
barril que no se vendió?
a) 15 b) 18 c) 19
d) 20 e) 31
19. Un comerciante compró casacas, pantalones
y polos. Cada casaca costó 100 soles, cada
pantalón 50 soles y cada polo 5 soles; si
compró en total 100 prendas con 1000 soles.
¿Cuántos polos compró?
a) 50 b) 10 c) 85
d) 90 e) 70
20. Si: dd
)
b
3
(
dda
)
2
c
(
c
)
b
2
(
!
ab +
=
111
17
Calcular: a + b + c + d
a) 6 b) 10 c) 11
d) 13 e) 9
1. DEFINICIÓN
Número primo o primo absoluto, es aquel que
solamente tiene 2 divisores, la unidad y si mismo. El
menor y único número par primo es el 2, lo únicos
números consecutivos que son primos absolutos son
el 2 y el 3.
La siguiente es la sucesión de los números primos.
2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19; 23; 29; . . .
2. CLASIFICACIÓN
2.1. NÚMERO SIMPLE .- Un número simple es el
que tiene no más de dos divisores. Son números
simples la unidad y los números primos.
2.2. NÚMERO COMPUESTO.- Es el que tiene mas
de dos divisores, la siguiente es la sucesión de
los números compuestos:
4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; . . .
2.3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ, COPRIMOS
O PRIMOS RELATIVOS (PESI)
Dos o más números son primos entre si (PESI).
Cuando no tienen otro divisor común que la
unidad, aunque cada uno separadamente no sea
primo.
Ejemplo:
a. 11; 12 y 15
b. 10; 8 y 9
2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA
Todo entero mayor que la unidad, se puede
descomponer como la multiplicación de sus
factores primos diferentes entre sí, elevados a
ciertos exponentes enteros positivos. Esta
descomposición es única y se llama
descomposición canónica.
Ejemplo:
144 = 24 . 32
En general:
Sea: N = A . B . C
Donde: A, B y C son números primos
Se cumple lo siguiente:
05 NÚMEROS PRIMOS – MCD
- MCM
18
2.4.1 CANTIDAD DE DIVISORES [D(N)]
D(N) = ( + 1) ( + 1) (+1)
2.4.2 SUMA DE DIVISORES [SD(N)]
SD(N) =










−
−










−
−










−
−
+

+

+

1
C
1
C
.
1
B
1
B
.
1
A
1
A
1
1
1
2.4.3 SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS
DIVISORES [SID(N)]
SID(N) = N
SD )
N
(
2.4.4 PRODUCTO DE DIVISORES DE UN
NÚMERO [PD(N)]
PD(N) = 2
)
N
(
D
N
2.4.5 INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN
DE EULER [(N)]
Es la cantidad de números enteros positivos
menores que un número dado y primos con él.
Sea : “N” un número compuesto.
N = A . B . C . . . . . . (D.C)
Se calcula :
(N) = A-1 (A-1) . B-1(B-1) . C-1(C-1)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
I. DEFINICIÓN: Es el mayor de los divisores
comunes a un grupo de números.
Sean los Sus divisores
Números
24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48 1,2, 3,4, 6,8, 12,16, 24,48
Los divisores
comunes de 1, 2, 3, 4, 6, 12
los 3 números
El mayor MCD = 12
divisor común
II. PROPIEDADES:
- Si 2 números son divisibles el menor es el MCD.
Ejm: (8 y 24) su MCD = 8
- El MCD de un grupo de números PESI es la
unidad
Ejm: (3; 8 ; 25) su MCD = 1
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
I. DEFINICIÓN: Es el menor de los múltiplos
comunes a un grupo de números.
Sean los Sus múltiplos
Números
9 9,18,27,36,45, 54,63,72,81,.....
12 12,24,36,48,60,72,84,......
18 18, 36, 54, 72, 90, .........
Los múltiplos
comunes a los 36; 72; .........
3 números
El menor
Múltiplo común MCM = 36
II. PROPIEDADES:
- Si 2 números son divisibles el mayor es el MCM.
Ejm: (8; 24) su MCM = 24
- El MCM de dos números PESI es igual a su
producto.
Ejm: MCM (3; 5) = 15
CÁLCULO DEL MCM Y MCD
1. Por descomposición canónica simultánea.
Ejm: Calcular el MCM y MCD de 24 y 56
Cálculo del MCM
24 56 2
12 28 2
6 14 2
3 7 3
1 7 7
1 1
MCM = 23.3.7 = 168
Cálculo del MCD
MCD = 23 = 8
2. Con los números descompuestos canónicamente.
Ejm: Si: A = 22.3.5.7
B = 2.33.11.13
¿Cuál es el MCD y MCM de A y B?
MCD(A, B) = 2.3
111
19
"Se toman los factores primos comunes con los
menores exponentes".
MCM(A, B) = 22.33. 5.7.11.13
"Se toman todos los factores primos comunes y no
comunes tomando en cuenta que los factores
primos comunes lleven los mayores exponentes".
3. Por divisiones sucesivas (Algoritmo de
EUCLIDES).
Se utiliza en forma directa para la obtención del
MCD de 2 números.
Ejm: Calcular el MCD de 408 y 180
EN GENERAL:
Dados los números A y B (A > B)
MCD(A, B) = rn–1
NOTA: Las divisiones se pueden hacer por defecto o
por exceso.
01. Si los números: n
4 ; 16 y 18 son PESI. Hallar
la suma de valores de “n”.
a) 18 b) 30 c) 24
d) 20 e) 25
02. ¿Cuántos divisores tiene:
10
12
4
4
N −
= ?
a) 48 b) 22 c) 84
d) 88 e) 46
03. El cociente de dividir “N” entre “a”, se divide
entre “b” y el nuevo cociente se divide entre
“c”; obteniéndose “c” como cociente final. Si
todas las divisiones resultaron exactas,
¿Cuántos divisores tiene “N”, sabiendo que
a, b y c son primos absolutos?
a) 12 b) 8 c) 18
d) 9 e) 15
04. Con respecto al número 450, hallar:
I. Número de divisores
II. Número de divisores primos
III. Número de divisores compuestos
IV. Número de divisores no primos
V. Número de divisores simples
a) 4; 3; 13; 14; 4 b) 18; 4; 14; 15; 3
c) 18; 4; 14; 13; 3 d) 18; 3; 14; 15; 4
e) 18; 3; 15; 14;
05. De los divisores de 18 000
I. ¿Cuántos son divisibles por 20?
II. ¿Cuántos son impares?
III.¿Cuántos son múltiplos de 6, pero no de
5?
a) 27; 12; 10 b) 27; 12; 8
c) 27; 10; 8 d) 36; 12; 8
e) 36; 10; 8
06. Sabiendo que:
n
p
)
1
p
3
.(
)
1
p
.(
p
N +
+
= está
descompuesto canónicamente y además
posee 24 divisores. Hallar “n”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Determinar el mayor exponente de 7,
contenido en 200!.
a) 24 b) 40 c) 32
d) 19 e) 29
08. ¿En cuántos ceros termina 144!?
a) 28 b) 33 c) 29
d) 34 e) 36
09. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras y
tienen como suma de cifras un número par?
a) 7 b) 5 c) 6
d) 4 e) 3
10. Hallar un número que admite sólo 2 factores
primos y posee 6 divisores, además la suma
de éstos es 28. Dar como respuesta la suma
de cifras del número.
a) 19 b) 12 c) 7
d) 5 e)3
11. La suma de los números “a” y “b” es 651; el
cociente entre su MCM y MCD es 108, luego:
a – b, es:
a) 340 b) 240 c) 560
20
d) 250 e) 483
12. Halla el MCD de
0
a
)
a
2
( y 0
)
a
2
(
a . Dar
como respuesta la suma de las soluciones
posibles.
a) 30 b) 680 c) 120
d) 300 e) 20
13. ¿Cuál es el mayor número tal que al dividir
1828 y 2456 entre dicho número, se obtiene
como residuos 19 y 26, respectivamente?
a) 27 b) 32 c) 51
d) 76 e) 19
14. Dados 3 números A, B y C. Se sabe que el
MCD(A,B) = 30 y MCD(B,C) = 198. ¿Cuál
es el MCD de A, B y C?
a) 46 b) 22 c) 8
d) 6 e) 40
15. Halla la diferencia de dos números enteros
sabiendo que su MCD es 48 y que su suma
es 288.
a) 198 b) 120 c) 182
d) 124 e) 192
01. Se tiene un terreno rectangular cuyas
dimensiones son: 15,75 y 17,5 km; se ha
cercado con estacas a igual distancia una de
otra, de tal modo que ella se encuentra
comprendida entre 3
58
,
0

y 1,75 km. ¿Cuál es
el número de estacas empleadas?
a) 76 b) 84 c) 78
d) 92 e) 62
02. ¿Cuál es el mcm de cuatro números enteros
que forman una progresión geométrica?
a) El producto de los medios
b) El término mayor
c) El producto del primero y el cuarto
d) El cociente del mayor entre el menor
e) El término menor
03. Tres reglas de igual longitud, 240 cm están
divididos en partes iguales numeradas en
cada regla. La primera, en 300 partes; la
segunda, en 200 partes, y la tercera, en 96
partes. Se hacen coincidir los extremos de las
tres reglas. Determina qué otras divisiones,
además de los extremos, coinciden en las 3.
a) 3 coincidencias más
b) 5 coincidencias más
c) 12 coincidencias más
d) 8 coincidencias más
e) 6 coincidencias más
04. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 30 el
número 396 para obtener otro que sea el
mcm de 490 números enteros distintos?
a) 6 b) 3 c) 4
d) 5 e) 2
05. Las longitudes de las circunferencias de las
ruedas delanteras y traseras de una
locomotora son respectivamente: 250 y 425
cm. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la
locomotora para que una de las ruedas de
2870 vueltas más que la otra?
a) 15 928 m b) 12 841 m
c) 16 344 m d) 17 425 m
e) 14 543 m
COMPENDIO 01 - CHIPANA PRE U.pdf
COMPENDIO 01 - CHIPANA PRE U.pdf
111
23
En este capítulo, trataremos dos operaciones:
 
( )
n n
POTENCIACIÓN RADICACIÓN
n 1
x p x p / x p 0
 −
=  =  
I. POTENCIACIÓN:
Es una operación matemática, que consiste en hallar
un tercer elemento a partir de otros dos llamados base
y exponente.
n
p : potencia; p
p x x : base; x
n : exponente; n
A. definiciones:
1. EXPONENTE NATURAL
n
n veces
x x x x x ; n ; x
Nota:
2020
" 2020 " veces
2021 2021 2021 ... 2021 2021

; puesto
que 2020 no es un número natural.
2. EXPONENTE CERO
0
x 1 ; x 0 ; x
Nota:
La base x debe ser un número real distinto de cero.
0
0 No está definido
3. EXPONENTE NEGATIVO
n
n
1
x ; x 0 x ; n 0
x
Corolario:
n n n
n
x y y
; xy 0
y x x
−
   
= = 
   
 
 
I.I. TEOREMAS:
1. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES
m n m n
x x x ; x ; x 0
2. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
m
m n
n
x x ; x 0 ; x
x
3. POTENCIA DE POTENCIA
p
n
m m n p
x x ; x
NOTA:
p
p n
n
m m
Exponente de exponente
Potencia de potencia
x x
4. CADENA DE EXPONENTES
= = = =
d
c m
b b n
a a a p
x x x x y
=m =n =p
5. POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN
n n n
x y x y ; x, y n
6. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN
n n
n
x x ; x ; y 0 ; n
y y
II. RADICACIÓN:
Es una operación matemática, que consiste en hallar
un tercer elemento a partir de otros dos llamados
radicando e índice.
n
n : Índice n 1
x b x : radicando
b : es la raíz enésima de x
01 TEORÍA DE EXPONENTES
EN R
24
A. DEFINICIÓN:
1. EXPONENTE FRACCIONARIO
m
n m
n
x x ; n 1
B. TEOREMAS:
1. RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN
n
n n
x y x y ; n ; n 2
Si: n par x 0 y 0
2. RAÍZ DE UNA DIVISIÓN:
n
n
n
x x ;
y y
y 0
Si: n par x 0 y 0

= →   
3. RAÍZ DE RAÍZ
n p n m p
m
x x
 
=
;
m,n,p x
Si: mnp par x 0
  
= → 
iii. RADICALES CON BASES IGUALES
1.
 
    + +
=
p m n p
m n ( n )p
x x x x
 +  +
2.
 
    − +
  =
p m n p
m n ( n )p
x x x x
 −  +
LOGARITMOS EN R
1. DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Sean los números reales "a" y "b", si a 0, a 1 y b 0
  
,
el número real "x" se denomina logaritmo del número
"b" en base "a" y se denota por logab si y solo si
x
a b
= . De la definición se tiene:
a
x
x log b a b
=  =
Donde:a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
x: logaritmo de b en la base a
Ejemplo:
2
x 6 x
log 64 x 64 2 2 2
=  =  =
Luego: 2
log 64 6
=
3. COLOGARITMO
Sea un número "b" real positivo, en cualquier base
o real positiva diferente de 1, tenemos:
a a a
1
colog b = log log b
b
  = −
 
 
Ejemplo:
3
3
1
colog log 81 4
81
= =
4. ANTILOGARITMO
Siendo a y b números reales y positivos, donde
a  1, se define el antilogaritmo de la siguiente
manera:
log b x b antilog x
a a
=  =
Ejemplo:
2 2
antilog 5 32 log 32 5
=  =
4. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO
Si: b 0,b 1 a 0
   
se cumple:
x
b b b
log b 1 log 1 0 log b x
= = =
log a
b
b a
=
Ejemplo:
log 2021
7
7 2021
=
5. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS
Sea la base real a, tal que
a 0 a 1
  
.
1. Sea M y N reales, tal que: MN > 0
a a a
log MN log M log N
= +
2. Sea M y N reales, tal que:
M
0
N

a a a
M
log log M log N
N
  = −
 
 
3. Sea M real, tal que
n
n M 0
  
n
a a
log M nlog M
=
4. Sea M real, tal que: M 0, p q
   
111
25
p
q a
a
p
log M log M ; q 0
q
= 
Corolario
Si se eleva a un exponente "n" y se extrae raíz
enésima a la base y número del logaritmo, el
valor del logaritmo no se altera.
n
a n n
a a
n
log M log M log M ; M 0
= = 
5. Cambio de base: c 0 c 1
  
Sea la base "c" donde
c
a
c
log b
log b
log a
=
Corolario:
( )
b a
a
1 1
log a log b
log b
−
= =
6. Regla de la cadena:
Si:
a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1 d 0
       
se cumple:
a b c a
log b log c log d log d
  =
b a
log a .log b 1
=
7. SISTEMAS DE LOGARITMOS
Cada base de logaritmos determina un sistema de
logaritmos, en consecuencia, existen infinitos sistemas
de logaritmos para una base positiva y diferente de 1;
los sistemas más importantes son:
1. Sistema decimal o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la
base es 10.
Notación:
10
log N logN
=
Se lee: Logaritmo de "N"
En general:
,
(característica) (mantisa)
Parte Parte
LogN
entera decimal
 
=
2. Sistema hiperbólico o Neperiano
Es aquel sistema cuya base es el número
trascendental:
1 1 1 1
e e 2,7182...
0! 1! 2! 3!
= + + + + → 
Notación: e
log N LnN
=
Teorema:
Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a
la característica más uno.
Es decir:
( )
de
#
cifras
N característica 1
= +
8. ECUACIÓN EXPONENCIAL
Sea:
a = b x = log b
x
a

Ejemplo:
Calcula el valor de "x" en: 6 = 4
x
6 6
6
x
6
Tomando log , a ambos miembros
Se tiene: log 6 = log 4 x=log 4

9. ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Sea: f(x) > 0 g(x) > 0, además: a 0 a 1
  
.
Entonces
(x) (x) (x) (x)
a a
log f log g f = g
= 
Ejemplo:
Calcula el valor de «x» en: 7 7
log (2x 5) log 3
− =
I. Restricción:
5
2x 5 0 x
2
−   
II. 7 7
log (2x 5) log 3 2x 5 3 donde : x 4
− =  − = =
10. INECUACIÓN EXPONENCIAL
I.
log a log b; si c>1
a b
log a log b; si 0<c<1
x
c c
x
x
c c
 

  
 

II.
log a log b; si c>1
a b
log a log b; si 0<c<1
x
c c
x
x
c c
 

  
 

11. INECUACIÓN LOGARÍTMICA
Si a>1; f > g > 0
log f log g
Si 0<a<1; 0 < f < g
(x) (x)
a (x) a (x)
(x) (x)


 


FUNCIÓN EXPONENCIAL
Dado un número real a, tal que a 0 a 1
   ; se
denomina función exponencial de base a, a la función
que asocia a cada x real el número ax, y = f(x) =
ax
Caso I
Si la gráfica tiene la forma siguiente:
26
Propiedades
1) f(0) = a0 = 1, entonces (0; 1) pertenece a la
función.
2) Si r < s entonces ar < as, ó si s > r entonces
as > ar.
3) Si r < 0 entonces ar < 1.
4) Si m < 0 entonces am < 1.
Caso II
Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
0 r s
m
1
y
x
y=a (a>1)
ar
as
x
Es una función
creciente
am
Propiedades
1) f(0) = a0 = 1, entonces (0; 1) pertenece a la
función.
2) Si r < s entonces ar > as, ó si s > r entonces as <
ar.
3) Si r < s entonces ar > 1.
4) Si m > s entonces am < 1.
Funciones Logarítmicas
Dado un número real "b" (b 0 b 1)
  
denominamos función logarítmica de base b a la
función de f de R+
en qué asocia a cada x el número
de logbx.
Observaciones
a) Tenemos: b
y
y log x x b
=  =
De donde concluimos que las funciones
exponenciales y logarítmicas son inversas una
de la otra.
b) Para la función
( ) b
x
y f log x
= =
Dominio Df 0, x 0
= = +   
Rango b
f y log x
= =  = 
Caso I
Si b > 1, la gráfica tiene la forma siguiente:
log m
log r
b
m
r
b
b
log s
es una
función
creciente
y=log x
b
s
1 x
y
0
Propiedades
1. ( ) b
1
f log 1 0
= =
, entonces, (1;0) pertenece a la
función.
2. Si: b b
r s entonces log r log s
 
3. Si: b
r 1 entonces log r 0
 
4. Si: b
0 m 1 entonces log m 0
  
Caso II
Si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma siguiente:
m
y
x
log m
b
es una función
decreciente
1
r
log r log s
b b
s
log x
b
y=
0
Propiedades
1.
( ) b
1
f log 1 0
= =
, entonces, (1;0) pertenece a la
función.
2. Si: r < s entonces b b
log r log s

.
3. Si: r > 1 entonces b
log r 0

.
4. Si: 0 < m < 1 entonces b
log m 0

.
01. Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I.
2
3 2 1
1 1 1
4
3 4 41
− − −
 
     
 
+ − =
     
 
     
 
II. 8Veces
2.2.2....2 256
=
III.
8
8 Veces
5 5 5 ... 5 5
+ + + + =
a) VVF b) VFV c) VVF
d) FVF e) FFV
02. Determina el exponente final de "x", luego de
simplificar la siguiente expresión:
− − −
=
4 6 6 2022
3 ( 2) 2 ( 1)
A x .x .x .x
111
27
a) 64 b) 82 c) 27
d) 145 e) 8
03. Sean:
1
1 1 3
2 27
25 1
A 2 ; B
125
 
− 
 
 
= =  
 
Determina el valor de:
A
L
B 1
=
−
a) 5 b) 6 c) 9
d) 8 e) 4
04. Si se tiene la expresión:
( )
( )
2 5
x
3
5 24
"x"Veces
4 1
4 64
4.4.4...4 4 .2
   
 
   
=
 
   
 
 
   
 
 
 
Determina el valor de: L = x + 1
a) 4 b) 5 c) 8
d) 6 e) 3
05. Si se tiene la expresión:
( )
x 4
3 5 5
2 3
b b b b
+
=
Determina el valor de:
L = x2
+ x + 1
a) 31 b) 3 c) 7
d) 21 e) 43
06. Determina el valor de:
27 8
J log 9 log 16
= +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Determina el valor de:
 
+
 
=
 
 
log 4
2
log 2 log 3
5 8
2022
5 8
L
log 2022
a) 1 b) 4 c) 9
d) 25 e) 36
08. Si:
2 3 n 36
3 3 3 3 3
log 5 log 5 log 5 ... log 5 log 5
+ + + + =
Determina el valor de: 2
J log n
=
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
09. Determinar el valor de:
81 8 4 5
L log 8.log 4.log 5.log 3
=
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8
d) 1/3 e) 1/9
10. Resuelve la ecuación:
x
log (7x 6) 2
− =
a)
 
1
b)
 
3
c)
 
1;6
d)
 
6
e)
 
1;3
11. Para medir las grandes distancias en el
universo, entre planetas, estrellas, etc., en vez
de metros, kilómetros, etc. Se utiliza "año luz"
(distancia que recorre la luz en un año que
equivale aproximadamente a 9,46.1015 m).
Si una de las estrellas más cercanas a
nosotros tiene una distancia aproximada de 3
años luz. Determina la distancia en
kilómetros.
a) 2,838.1013 km
b) 28,38.1013 km
c) 283,8.1013 km
d) 2838.1013 km
e) 23,88.1013 km
12. Si:
x
2x 7
x x ; x 1
= 
Determina el valor de:
2x
L 8x
=
a) 64 b) 25 c) 36
d) 81 e) 98
13. Si el exponente final de "j" en:
10 10 10 10
3 5 7
L j j j j ...
=
Presenta la expresión irreductible:
a
b donde
"a" representa la edad de Fernanda y "b" la
edad de su abuela Ana.
Determine la suma de ambas edades.
28
a) 92 b) 76 c) 84
d) 98 e) 87
14. Sea:
m n p
4
m n n p m p
+ + =
+ + +
Determina el valor de:
−
− +
+
−
+
 
 
=  
 
 
1
n p
m n 5
n p
m n
m p
m p
2022 . 2022
M
2022
a) 2022 b) 20222 c) 2022
d)
5
2022 e) 1
15. Si se tiene:
a a 1 2 b 1
a 2 b 27
− −
=  =
dónde:
 
a;b +

Se sabe que la edad de Alejandro es "36a" y
la edad de Nicolas es "60b".
Determina la suma de ambas edades.
a) 18 b) 24 c) 42
d) 54 e) 38
16. Si "x" cumple con la ecuación:
4
24
logx
5
10
x
x
 
 
=
 
 
donde: x > 100.
Determina el valor de:
4 2
J antilog (logx) colog (logx)
= +
a) 254 b) 126 c) 142
d) 223 e) 322
17. Si:
6 12
log 15 m y log 18 n
= =
Determina 25
log 24
en términos de "m" y "n".
a)
n 5
4(2n m mn 1)
+
− − −
b)
n 5
3(2n m mn 1)
+
− − −
c)
n 5
5(2n m mn 1)
−
− − −
d)
n 5
2(2n m mn 1)
−
− − −
e)
n 1
5(2n m mn 1)
+
− − −
18. Sea:
m n
a
m n
−
=
+
n p
b
n p
−
=
+
p m
c
m p
−
=
+
donde: m; n; p son números reales positivos
y diferentes.
Determina el valor de:
2m 2n 2p
m n n p m p
(a 1)(b 1)(c 1)
log (a 1) log (b 1) log (c 1)
J
log (1 a)(1 b)(1 c)
     
     
+ + +
     
+ + +
+ + + + +
=
− − −
a) 1 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3
19. Sabiendo que:
2 1
x
2
2
+
 
=
 
 
1
1
8 7 2
y
z
y .z 2
=
Determina el valor de:
1
2
2 2
zy(x )
L
2
−
=
a) 8 b) 4 c) 2
d) 1 e) 16
20. Si se cumple:
2 3 4 5
x x x x
x .... ln(x 1)
2 3 4 5
− + − + − = +
para: 1 x 1
−  
Determina el valor de:
2
1 1 1 1
1 3 5 7
... antilog 3
2
3 5 7
2 2 2 2
2 3
4 2
e
J
log 2 colog 256
− − − −
+ + + + +
 
 
 
=  
 
−
 
 
 
a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 25
01. Si:
x 2
3 18
+
=
Determina el valor de:
x
x
3 x
L 3 .9
 
=  
 
a) 2 b) 4 c) 16
d) 32 e) 64
02. Determina un valor aproximado de:
111
29
3
3
3
16
A
16
16
=
a) 8 b) 7 c) 0
d) 2 e) 4
03. Reduce:
4
9 2 16 2 25 2
L
2
+ +
=
a) 9 b) 12 c) 25
d) 1 e) 2
04. Si log 2 = a y log 3 = b.
Determina el logaritmo de 5 en base 6 en
términos de "a" y "b".
a) 1 b)
a b
a b
+
− c)
a b
ab
+
d)
1 a
a b
−
+ e)
a 1
a b
−
+
05. Determina el valor de "x", si:
1
3log(2x) 2logx log
4
 
+ =  
 
a) 1/2 b) 1 c) -5
d) 2 e) -1/2
Polinomios
Definición: Se denominará polinomio a toda
expresión algebraica racional entera respecto de toda
variable que figura en dicha expresión. Los
polinomios pueden clasificarse como:
Monomio: Polinomio de un término.
Binomio: Polinomio de dos términos.
Trinomio: Polinomio de tres términos.
Para ‘‘n’’ términos, se denominará polinomio de ‘‘n’’
términos
Polinomio de una variable
P(x) = a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + ... + an–1 x +
an
0 1 2 3 n
a ,a ,a ,a ,............,a → Coeficientes
x → Variable
0
a 0
 → Coeficiente Principal
n
a → Término Independiente
n +
 → Grado
Ejemplo:
Polinomio Mónico o Normalizado (Unitario)
El polinomio mónico, es un polinomio de coeficientes
enteros y de una sola variable, cuyo coeficiente
principal es 1.
1. Valor numérico de una Expresión Matemática:
Consiste en sustituir las variables por números o
constantes efectuando las operaciones indicadas, el
valor resultante recibe el nombre de valor numérico
de la expresión matemática.
2. Cambio de Variable:
Consiste en reemplazar una o más variables de la
expresión matemática por una nueva variable o
nuevas variables.
3. GRADO DE UN POLINOMIO
Es una característica de todo polinomio.
02 EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
30
A) Grado Relativo (G.R.)
Es con respecto a cada variable.
B) Grado Absoluto (G.A.)
También llamado "GRADO"; con respecto al
polinomio.
• En un polinomio de una sola variable el grado
absoluto y relativo son iguales.
OPERACIONES CON GRADOS
Dados los polinomios P(x) de grado ‘‘m’’ y Q(x) de
grado ‘‘n’’, siendo m > n.
Operación Procedimiento Grado
Resultante
Adición:
(x)
Q
(x)
P + m
Sustracción:
m
Multiplicación:
m + n
División:
(x)
Q
(x)
P  m − n
Potenciación:
 k
(x)
P
mk
Radicación:
k
(x)
P k
m
−
(x)
P (x)
Q
(x)
Q
(x)
P .
En la división de polinomios, se
restan los grados; el grado del
polinomio numerador menos el
grado del polinomio denominador.
En la adición o sustracción de
polinomios se conserva el grado
del polinomio de mayor grado.
En la multiplicación de polinomios
se suman los grados de los
factores.
Multiplicamos el grado del
polinomio base por el exponente.
Dividimos el grado del polinomio
radicando entre el índice del
radical.
4. POLINOMIOS ESPECIALES O IMPORTANTES
4.1 Polinomio homogéneo
Es aquel que posee, sus términos de igual grado,
mínimo debe tener dos variables.
Teorema:

 =  
(x;y)
n
(kx;ky) (x;y)
Si P es un polinomio homogéneo de grado n 1
se cumple : P k P ; k
4.2 Polinomio ordenado
Es aquel polinomio donde los exponentes de la
variable en referencia van aumentando o
disminuyendo.
4.3 Polinomio completo
Es aquel que presenta TODOS los exponentes de la
variable, desde el cero hasta el valor máximo.
NOTA: N términos G.A. 1
 = +
4.4 Polinomios idénticos
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando
tienen los mismos valores numéricos para cualquier
valor que se asigne a sus variables.
Es decir:
P Q
(x) (x)
VN VN
   
   
=
Notación:
(x) (x)
P Q

Teorema:
Dos o más polinomios del mismo grado son idénticos,
si y solo si sus términos semejantes poseen los
mismos coeficientes.
4.5 Polinomio idénticamente nulo
Un polinomio es idénticamente nulo si sus
valores numéricos para cualquier valor o valores
asignados a las variables resultan ser siempre cero.
Notación:
(x;y)
P 0

Teorema:
Un polinomio de la forma:
n n 1 n 2
(x) 0 1 2 n
P a x a x a x ... a
− −
= + + +
es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son
ceros, es decir: 0 1 2 n
a a a ... a 0
= = = = =
4.6 Polinomio constante
Es el polinomio de una o más variables, que
tiene la siguiente forma: (x)
P k ; k {0}
=  −
.
Definición: El grado de un polinomio constante es
cero.
Teorema: Dado el polinomio constante (x)
P k
=
, el
valor numérico de P para cualquier valor de "x",
siempre es k.
01. Dado el polinomio:
8
5 n n 2 n 1
(x)
P nx 3x 5x 2n
− − −
= + − +
Determina la suma de coeficientes de P(x)
a) 4 b) 7 c) 6
d) 17 e) 3
02. Sea el polinomio:
2 2
a 6b 4a 4 b 9 m n
(x;y)
P 3x y 5x y x y
− +
= + −
Si (x,y)
P
reduce a un monomio.
Determina el valor de:
n
L
a b m
=
+ +
111
31
a) 2 b) 1 c) 0
d) 4 e) ½
03. Si:
(x)
(x)
(x 2) (x 1) (x 1)
P 3x 1
Q 4x 3
H P Q
− + −
= +
= +
= +
Determina el valor de: H(0)
a) 16 b) 15 c) 13
d) 17 e) 14
04. Sean:
(x 2) (Q x)
(x)
P 2x 3 y P 2x 1
+ +
= + = +
Determina el valor de: (x) (2019)
Q .Q
a) 0 b) 2019 c) 2019x
d) 1 e) x
05. Con respecto al polinomio:
5 4
(x)
P 2(2x 3) 3(x 2) 2x 3
= − + − + +
Determina cuántas proposiciones son
correctas:
I. Es de quinto grado.
II. Su coeficiente principal es 2.
III. El término independiente es 3.
IV. La suma de sus coeficientes es 10.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
06. Relaciona cada polinomio del primer bloque
con su respectivo grado que figura en el
bloque posterior.
8 6 3
2
(x ;y)
2 3 6
(x,y)
2 3 4 3 2
(x)
6 4 5 6 5 7 9
(x;y)
P 7x y z E.17
Q 2x (x y ) 5x L.11
R (x 1) (x 2) (x 3) I.6
S x y x y z x yz T.16
A.10
= −
= − −
= − − −
= − +
a) PE, QI, RT, SL b) PA, QT, RL, SE
c) PI, QT, RL, SE d) PA, QI, RT, SL
e) PA, QI, RT, SE
07. Dado el polinomio:
n 3 m 2 n n 2 m 3 nm
(x,y)
P x y z x y z
+ − + −
= +
Si: (x) (y) (P)
G.R G.R 3 y G.A 13
− = =
Determina el valor de: E = 2n – m
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
08. Sea:
m n m n
m 3 2 6 m
(x;y)
P mx (xy ) x y
− +
= + +
un polinomio homogéneo.
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. m + n = – 1
II. 2m – n = 5
III. 5m + 3n = 7
a) VVV b) VFV c) FVF
d) FVV e) VFF
09. Determina un valor de "m" si el polinomio:
2n n
n 15 (n 1) 1 3n 3
(x)
2
m m 3
P 7 x x x
... x
− − + −
− +
= + + + +
+
es completo y ordenado de (4nn) términos
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
10. Si tenemos:
3 2
(x 1)
(x 1)
Q x 7x x 1
P (x a)(x b)(x c) 7x
+
−
= + + −
= − − − +
tal que
(x) (x)
Q P

. Determina el valor de: abc.
a) 17 b) -17 c) 13
d) -13 e) 39
11. Si:
2n 3 n 2 n
(x)
Q (n 2)x ax x n
− −
= − + − −
Se reduce a un polinomio lineal y mónico,
además
(x ) 0
0
Q =
. Determina el valor de:
2
0
x 1
+
a) 17 b) 2 c) 5
d) 10 e) 26
12. Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I.
= − − − 
(x)
P 2(x 2022) (2x )
es un
polinomio constante
32
II.
= − −
3 2 6
2
(x;y )
P x (x y ) 2022xy
es un
polinomio homogéneo
III.
2 10 4 5
(2x)
P 8x x 6x 32x
= + − +
es un
polinomio Mónico.
IV.
2 2 3
(x)
P x 2x 1 a a a ....
= + + + + + +
es un
polinomio completo y ordenado.
a) FVVF b) VVVF c) VFVF
d) VVVV e) VVFV
13. Dado el polinomio:
2 n 3 n 1
(x)
2 3 7 n 17
2n 17
P (7x 3) (2x 1)
(n x 9) (2x 3)
(5x 7n)(5x 1)
− +
−
−
= − −
+ − +
+ − −
Tiene como término independiente 126.
Determina el valor de "n".
a) 32 b) 20 c) 16
d) 18 e) 12
14. Sabiendo que el grado de:
3 2
(x) (x)
P Q
 

 
 
es igual a 15, además el grado de:
4 3
3
(x) (x)
P Q
 
+
 
 
es igual a 12, si se sabe que el grado de P(x)
es menor que 10. Determina el grado de:
5 6
(x) (x) (x) (x)
6
(x) (x)
P .Q P .Q
P Q
 
−
 
 

 
 
a) 2 b) 5 c) 3
d) 7 e) 8
15. Si (x)
P ax b
, calcule
(P P )
(B)
nparéntesis
( P )
P
Siendo
n
n
b(a 1)
B
a (a 1)
a) 0 b) 1 c)
n 1
a 1
a 1
d) 4 e)
n 1
b 1
b 1
16. Dada la identidad:
3 2 3
2x 5 a b(x 3) c(x 3) d(x 3)
para todo x , determina el valor de
E = (a + b)(c + d)
a) 121 b) 360 c) 1562
d) 3752 e) 4772
17. Dada las expresiones algebraicas
(x) (x)
1 1
f 1 y g 1
x x
 +  −
Determina el equivalente de
( )
g(x)
f
en
términos de (x)
f
.
a)
(x)
(x)
f 3
f 2
−
+
b)
(x)
(x)
f 3
f 2
−
−
c)
(x)
(x)
f 2
f 3
+
−
d)
(x)
(x)
f 2
f 3
−
−
e)
(x)
(x)
f 2
f 3
+
+
18. Si P(x) un polinomio definido en tal que:
(x) (y) (u) (w) (xu yw)
P P P P P −
   
+ + =
   
para todo x; y;u; w ∈ . Determina un valor
de: (2018) ( 2018)
P P −
+
a) 2018 b) -2018 c) 1
d) ¼ e) ½
19. Si:
2
(x 1)
f x 4x 17
− = − +
Simplifica la siguiente expresión:
(f 2) (f )
(x) (x)
(x)
f f
f
+ −
a) 4 b) x c) x + 1
d) 1 e) x/2
20. Sea
(x)
P
un polinomio definido en , que
cumple:
(P P )
(x) (y)
P x y
+ = +
para todo x; y ∈ .
Determina la cantidad de posibles valores de
P(2019)
a) 0 b) 2019 c) 1
d) 3 e) 2
01. Sean P y Q dos polinomios tal que:
x
x
P
P Q
y
x
P
Q 8x 7
Determina el equivalente de x x
P Q
a) 6x+4 b) 2x+1 c) 3x+2
111
33
d) x+4 e) 6x+1
02. Dado el polinomio:
a 2 b 5 a 3 b a 1 b 6
(x;y)
P x y 22x y x y
− + − − +
= + +
GR(x) = 4 y GA(P) = 17
Determina el valor de (b - a )
a) -1 b) 1 c) 0
d) 1 e) 2
03. Determina el valor de a y b de la identidad:
4a 7 b 8 b 7 a 8
b x b y a x a y
a) 1 y 3 b)
1 1
y
2 3 c)
1 1
y
4 2
d) 1 y 1/4 e) 0 y 1
04. Relaciona, según corresponda:
A. Polinomio homogéneo
B. Polinomio completo
C. Polinomio constante
1)
7 7
(x)
P x y 7
2)
2 3
(x)
P x 7 x x
3)
3
3 6 15 12
(2x;y )
P 8x y y 2xy
4)
2 2
(x)
P x 7 x
a) A3 - B2 - C4
b) A4 - B3 - C2
c) A2 - B3 - C4
d) A4 - B2 - C3
e) A3 - B4 - C2
05. Si:
n n n
2 2 n-2 2 n-1
(x)
P (2 1) (2 2)x (2 3)x ...
es completo y ordenado. Determina su
grado.
a) 253 b) 254 c) 256
d) 265 e) 128
Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas,
los cuales se pueden obtener por simple inspección y
directamente, también conocidas como identidades
algebraicas. Los principales productos notables son:
01. Trinomio cuadrado perfecto (tcp)
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
....... TCP
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
....... TCP
Nota: (a – b)2n
= (b – a)2n
;
Teorema:
= + + 
=
2
(x)
2
Todo trinomio de la forma : P ax bx c ; a 0
es cuadrado perfecto si y sólo si: b 4ac
COROLARIO:
IDENTIDADES DE LEGENDRE
(a + b)2
+ (a – b)2
= 2(a2
+ b2
)
(a + b)2
– (a – b)2
= 4ab
(a + b)4
– (a – b)4
= 8ab(a2
+ b2
)
02. DIFERENCIA DE CUADRADOS
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
a b a – b a – b ; a b b – a b – a
+ = + =
En
general: (an
+ bn
)(an
– bn
) = a2n
– b2n
03. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL
CUADRADO
( )
2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c ab bc ac
+ + = + + + + +
04. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b) .......
Identidad de Cauchy
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
(a – b)3
= a3
– b3
– 3ab(a – b) .......
Identidad de Cauchy
(a + b)3
+ (a – b)3
= 2a(a2
+ 3b2
)
(a + b)3
– (a – b)3
= 2b(b2
+ 3a2
)
(a + b)6
– (a – b)6
= 4ab(a2
+ 3b2
)(b2
+ 3a2
)
05. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b)(a2
– ab + b2
) = a3
+ b3
(a – b)(a2
+ ab + b2
) = a3
– b3
06. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO
(a+b+c)3
=a3
+b3
+c3
+3(a+b)(a+c)(b+c)
( ) ( )( )
3 3 3 3
3 3
a b c a b c a b c ab ca bc – abc
+ + = + + + + + + +
( ) ( )( ) ( )
3 2 2 2 3 3 3
3 2 6
a b c a b c a b c – a b c abc
+ + = + + + + + + +
03 PRODUCTOS NOTABLES
34
07. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN
TÉRMINO en COMÚN (REGLAS DE STEVEN)
(x+a)(x+b)=x2
+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b)(x+c)=x3
+(a+b+c)x2
+(ab+ca+bc)x
+abc
08. IDENTIDAD TRINÓMICA O DE ARGAN’D
(a2
+a+1)(a2
–a+1)=a4
+a2
+1
(a2
+ab+b2
)(a2
–ab+b2
)=a4
+a2
b2
+b4
En general:
(a2n
+an
bm
+b2m
)(a2n
–an
bm
+b2m
)
= a4n
+a2n
b2m
+b4m
09. IDENTIDAD DE GAUSS
( )( )
3 3 3 2 2 2
3
a b c – abc a b c a b c – ab – bc – ac
+ + = + + + +
10. IDENTIDADES AUXILIARES
a2
+b2
+c2
–ab–bc–ca=[(a–b)2
+(a–c)2
+(b–c)2
]
(a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
(a–b)3
+(b–c)3
+(c–a)3
=3(a–b)(b–c)(c–a)
11. IDENTIDADES CONDICIONALES
I. Si: a + b + c = 0
Entonces se cumple las siguientes relaciones:
a3
+b3
+c3
=3abc
a2
+b2
+c2
= –2(ab+bc+ca)
a4
+b4
+c4
=2[(ab)2
+(bc)2
+(ca)2
]
a5
+b5
+c5
= –5abc(ab+ca+bc)
2 2 2 3 3 3 5 5 5
a b c a b c a b c
2 3 5
  
+ + + + + +
   =
  
  
2 2 2 5 5 5 7 7 7
a b c a b c a b c
2 5 7
  
+ + + + + +
=
  
  
  
II. Si: a2
+b2
+c2
= ab + ac + bc / a; b; c 
Entonces se cumple: a = b = c
III. Si: a3
+b3
+c3
= 3abc
Entonces se cumple:
a=b=c a + b + c = 0  
a;b;c 
IV. Si: a2
+b2
+c2
+ ….. +n2
=0
Entonces se cumple: a=b=c= …..=n=0
En general: Si
2 2 2 2
a b c ..... n 0
   
+ + + + =
Entonces se cumple:
a=b=c= …..=n=0
BINOMIO DE NEWTON
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
1. NOTACIÓN: 
n! ó n ; n
Se lee “factorial de n” o “n factorial"
2. DEFINICIÓN:
=


= 
      


1 si n 1
n!
1 2 3 ... n; si n n 2
3. POR CONVENCIÓN:
0! 1
=
4. PROPIEDADES:
= − = → =
n! n(n 1)! ; si a! b! a b
Semifactorial (n!!)
  =


= = 
  =


1 3 5....n si n impar
n n!!
2 4 6....n si n par
Ojo n!! (n!)!

NÚMERO COMBINATORIO
El número combinatorio se representa así:
n n
k k n;k
C ; C ; C
1. DEFINICIÓN:
=
−
n
k
n!
C
k!(n k )! +
 
  
0
;0 k n
;n,k n k
Consecuencia:
=
n
0
C 1 =
n
n
C 1 =
n
1
C n
2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
COMBINATORIOS:
Suma de números combinatorios:
+
+ +
+ =
n n n 1
k k 1 k 1
C C C
Ejemplo:
+ =
5 5 6
2 1 2
C C C
Combinaciones complementarias:
−
=
m m
k m k
C C
Ejemplo:
=
7 7
3 4
C C
Igualdad de números combinatorios:
Si:
=


=  

+ =


n n
p k
p k
C C
p k n
DEGRADACIÓN DE ÍNDICES
1. Ambos Índices:
−
−
=
n n 1
r 1
r
n
C C
r r 0

2. Solo Índice Inferior:
−
− +
=
n n
r 1
r
n r 1
C C
r r 0

3. Solo Índice Superior:
−
= 
−
n n 1
r r
n
C C ; n r
n r
111
35
DESARROLLO DEL BINOMIO de newton

n
(a b)
Caso 1: Si “n” es un número natural.
− −
 =  + 
n n n n n 1 n n 2 2 n n
0 1 2 n
(a b) C a C a b C a b C b
Término general:
En:
=  
n
( x,y )
A ( x y) ; n
−
+
→
=  + =
n n k k
k 1 k
t C x ( y ) ; k 1 lugar buscado de
izquierda a derecha
−
+

=  + =
n k n k
k 1 k
t C x ( y ) ; k 1 lugar buscado de
derecha a izquierda
PROPIEDADES:
En general:
p q n
(x;y)
A (ax by )
= +
1) El número de términos de su desarrollo es
"n+1"
2) La suma de sus coeficientes de su desarrollo
es:
n
x 1; y 1
coef (a b)
= =
= +

3) La suma de exponentes de su desarrollo es:
n(n 1)
exp onentes (p q)
2
+
= +

Caso particular:
= + 
n
( x,y )
A ( x y) ; n
a) El desarrollo es un polinomio homogéneo,
completo y ordenado de grado “n”.
b) El número de términos de su desarrollo es “n +
1”.
c) Los coeficientes de los términos equidistantes de
los extremos son iguales.
d) La suma de sus coeficientes de su desarrollo es
2n.
e) La suma de exponentes de su desarrollo es:
 = +
exponentes (n)(n 1)
Caso 2: Si “n” es un número real (no natural)
COEFICIENTE BINOMIAL
  − −  − + 
  =

 
 
n n(n 1)(n 2) (n k 1) n
k
k!
k
n
k
n;k n
0
0 k n k
0
n
Nota : C
k
+
 
+
  
 
  
 
Forma General del Desarrollo:
Buscamos el desarrollo de: + 
n
(1 x ) ; " n"
no
natural.
     
     
+ = + + +
     
     
n 2
n n n
(1 x) x x
0 1 2
1. Término general
k
k 1
n
t x
k
+
 
=  
 
; donde “n” es cualquier número
racional.
2. Número de términos
En la expansión de (1 – x)n, cuando “n” no es
natural, el número de términos es ilimitado.
01. Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
− = −
+ − − =
+ − = −
2 2
2 2
2 2 4
I. (x 9) x 81
II. (x 5) (x 5) 20x
III. (x 10)(x 10) x 10
a) VVF b) VFV c) FFV
d) FVV e) FVF
02. Si se cumple:
+ = =
2 2
a b 40 y ab 12
Determina un valor de:
L = a + b
a) 2 b) -6 c) 4
d) -7 e) 8
03. Si se cumple que:
= +
x 3 8
Determina el valor de:
36
= +
1
A x
x
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
04. Si tenemos: + − =
2
x 3x 4 0
Determina el valor de:
= + + + +
A x(x 1)(x 2)(x 3) 12
a) 7 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
05. Si se cumple que:
= 
= −  −
3
3
x 64; x 4
y 27 y 3
Determina el valor de:
= + + − +
2 2
N (x 4x 20)(y 3y 15)
a) 21 b) 24 c) 18
d) 36 e) 38
06. Reduce:
+ + + +
= + +
+ +
(x 1)! (x 2)! x 1
A 3
(x 3)! x 2
a) 1 b) 2 c) x + 3
d) 4 e) +
1
x 2
07. Simplifica la expresión:
 
+ +
= +
 
+
 
2
7 7 8
2020
4 5 6
2020
8 8
2 3
C C C
A C
C C
a) 1 b) 4 c) 25
d) 36 e) 64
08. Dado el binomio:
( )
= −
8
4 3
(x;y)
P 2022x 2020y
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. La suma de exponentes de su
desarrollo es 252.
II. La suma de sus coeficientes es 256.
III. El término central ocupa el lugar 5.
a) VVV b) FVV c) FFV
d) VVF e) FFF
09. En el desarrollo de:
( )
= +
12
4 2
(x;y)
P x y
Determina el grado del término de lugar seis.
a) 26 b) 24 c) 18
d) 36 e) 38
10. Determina el lugar del término independiente
en el desarrollo de:
 
= +
 
 
8
5
(x; 5
2022
P x
x
a) 4 b) 6 c) 7
d) 5 e) 8
11. Si
+ = − +
+ = − +
+ = − +
2 2
2 2
2 2
x y 4xy 14
x z 4xz 16
z y 4zy 18
Determina el valor del área del cuadrado.
a) 48 b) 24 c) 56
d) 64 e) 38
12. Si se cumple que:
+ + =


=


+ + =

6 6 6
a b c 0
abc 2
a b c 20
Determina el valor de:
+ +
=
+ + +
3 3 3
3 3 3
(ab) (ac) (bc)
A
a b c 2
a) 1 b) 2 c) 5
d) 4 e) 8
13. Si:   
a;b
, tal que:
+ = + −
2 2
a 2b 2(ab a 1)
Determina el valor de:
+ +
= + +
− −
2 2 4 2
2 2 4 2
a 3b a 14b
J 2
a 3b a 14b
111
37
a) 12 b) 24 c) 38
d) 22 e) 36
14. Determina el coeficiente de x11
en el
desarrollo de:
 
= +
 
 
12
3
(x; 2
1
P x
x
a) 524 b) 456 c) 825
d) 635 e) 792
15. Sea:
 
 
= +
 
 
40
1
4
(x; 1
2
1
P x
x
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. El número de términos racionales es 11.
II. El número de términos irracionales es 30.
III. El número de términos enteros es 4.
IV. El número de términos fraccionarios es 7.
a) VVVV b) VFVV c) VFFV
d) FVFV e) FFVV
16. Si se tiene que:
( )
+ + + + = + + −
12 12 12 6 6 6 18 18 18 6 6 6
3(a b c ) a b c 2(a b c ) 6a b c
además: + + =
12 12 12
(ab) (ac) (bc) 25
Determina el valor de:
+ +
=
24 24 24
a b c
A
10
a) 1 b) 6 c) 7
d) 4 e) 5
17. En la expansión del trinomio:
= + + 
3 2 n
(x,y,z)
P (x xy z ) ; n
se tiene un término de la forma:
+
11 2 n 4
tx y z
Determina el valor de:
=
t
L
n
a) 1430 b) 1850 c) 1240
d) 1580 e) 1620
18. Si Luciana tiene "n+8" soles, donde "n"
representa el coeficiente del término que
contiene ax2
en el desarrollo de:
−
= −
1
2
(x)
P (1 4x)
Si gasta
n
3 soles. ¿Cuánto le queda?
a) s/ 12 b) s/ 14 c) s/ 18
d) s/ 15 e) s/ 17
19. Si:
− = − +
− = − +
− = − +
2 2
2 2
2 2
x y x xy y
y z y yz z
z x z xz x
Determina el valor de:
− + + + +
=
 
+ +
 
9 9 9 6 6 5
3 3 3 3
4(x y z )(x y z )
A
(xyz) (xy) (xz) (yz)
a) -6 b) -12 c) 12
d) 24 e) -24
20. Si el coeficiente máximo del desarrollo de:
 
= +
 
 
10
(x)
1 2
P x
3 3
Presenta la forma:
+
 
 
 
2a 1
2
40 2
a a
Determina el valor de:
= + +
2
A a a 2
a) 14 b) 32 c) 22
d) 44 e) 74
01. Si se cumple que:
a + b = 4
a3
+ b3
= 12
Determina el valor de:
L = 6ab
a) 52 b) 13 c) 32
d) 42 e) 26
02. Reduce:
+ − −
=
4 4
( 7 1) ( 7 1)
A
4 7
a) 8 b) 4 c) 2
d) 1 e) 16
03. Si: {x; y; z}  , tal que:
38
+ − + − = −
2 2 2
x (y 7) (z 63) 12x 36
Determina el valor de:
=
xyz
L
2
a) 63 b) 72 c) 81
d) 58 e) 45
04. Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. El número de términos de su desarrollo de:
( )
= +
24
32
(x)
P x 2019
es 25
II. La suma de coeficientes de su desarrollo
de:
= − 7
(x;y)
F (5x 3y)
es 128
III. El número de términos de su desarrollo
de:
= + + 5
(x;y;z)
Q (2x 3y 4z)
es 6
a) FFF b) VVV c) VVF
d) FFV e) VFV
05. Determina el coeficiente de x78 en el
desarrollo de:
 
= +
 
 
30
3
(x)
1
P x
x
a) 4020 b) 3040 c) 3050
d) 4060 e) 4050
1. DEFINICIÓN
Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados no
nulos llamados dividendo y divisor,
respectivamente, efectuar la división consiste en
hallar otros dos únicos polinomios llamados
cociente q(x) y residuo R(x), de tal manera que
cumplan la siguiente identidad.
D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
Identidad fundamental de la división de Euclides
2. CLASES DE DIVISIÓN
A.DIVISIÓN EXACTA:
Es división exacta R(x) = 0; D(x) = d(x) . q(x)
B.DIVISIÓN INEXACTA:
Es división inexacta R(x)  0;
D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
Observación:
Si R(x) = 0, tenemos: D(x)=d(x) . q(x) , luego
podemos decir:
· d(x) es divisor de D(x)
· d(x) es factor de D(x)
· D(x) es divisible por d(x)
3. PROPIEDADES DE GRADO
A. o[q(x)] = o[D(x)] – o[d(x)]
B. Si R(x) es distinto del nulo, entonces:
Máximo o[R(x)] = o[d(x)] – 1
(1) (1) (1) (1)
(0) (0) (0) (0)
D d q R
IMPORTANTE :
D d q R
= +
= +
4. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
A.MÉTODO DE GUILLERMO HORNER
Es un método general para dividir polinomios de
cualquier grado.
Sea la división:
4 3 2
0 1 2 3 4
2
0 1 2
a x a x a x a x a
b x b x b
+ + + +
+ +
Dónde: a0  0 y b0  0
04 DIVISIÓN ENTERA DE
POLINOMIOS
111
39
a0 a1 a2 a3 a4
b0
-b1
-b2
q0 q1 q2 r0 r1
Coeficientes del D(x)
Coeficientes del
Q(x)
Coeficientes del
R(x)
Coeficientes
del
d
(x)
q(x) = q0 x2 + q1 x + q2 ; R(x) = r0 x + r1
B.REGLA DE PAOLO RUFFINI
Es un caso particular del Método de Horner, se
aplica cuando el divisor es de primer grado o
transformable a esta forma.
Sea la división:
4 3 2
0 1 2 3 4
a x a x a x a x a
Ax B
+ + + +
+
Dónde: a0  0 y A  0.
Se presentan dos casos:
Caso I: Cuando A = 1
a0 a1 a2 a3 a4
x+B=0
x=-B
q0 q1 q2 q3 R
Coeficientes del D(x)
Coeficientes del
Q(x)
Resto
q(x) = q0 x3 + q1 x2 + q2 x + q3 R(x) = R
Caso II: Cuando A  1
a0 a1 a2 a3 a4
Ax+B=0
b1 b2 b3
R
Coeficientes del D(x)
Coeficientes del
Q (x)
Resto
B
x
A
= −
a0
q1 q2 q3
q0
A

q(x) = q0 x3 + q1 x2 + q2 x + q3 R(x) = R
C. TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para hallar el resto en una división de
polinomios, sin efectuarla, es decir, de una manera
directa.
(x)
(x)
(x)
b
a
"En toda división de la forma P (ax b); a 0, el residuo
es igual al valor numérico de P cuando x toma el valor de
b
"
a
P
Es decir : Resto P
ax b
Enunciado:
 
−
 
 
 + 
 
−
 
 
 =
+
COCIENTES NOTABLES
Denominaremos cocientes notables (C.N.) a los
cocientes que se obtienen en forma directa, es decir,
sin necesidad de efectuar la operación de división. Las
divisiones que originan a estos cocientes notables son
de la forma:
n
m
b
a
 
 
Número de
Términos del
C.N.
m n
a b
= =
Condición
necesaria
Dónde: N ; N 2
+
 
Mediante la combinación de los signos se
presentarán 4 casos:
n n
x y
x y
−
−
n 1 n 2 n 3 2 n 1
x x y x y ... y
− − − −
+ + + + Nulo  
n 
División
indicada Residuo
n n
x y
x y
−
+
n 1 n 2 n 3 2 n 1
n 1 n 2 n 3 2 n 1
x x y x y ... y
x x y x y ... y
− − − −
− − − −
− + − −
− + − +
n n
x y
x y
+
+
n n
x y
x y
+
−
n 1 n 2 n 3 2 n 1
x x y x y ... y
− − − −
+ + + +
n 1 n 2 n 3 2 n 1
n 1 n 2 n 3 2 n 1
x x y x y ... y
x x y x y ... y
− − − −
− − − −
− + − +
− + − −
Nulo; si n par
-2y; si n impar
n
Nulo; si n impar
2y; si n par
n
2y;
n
 
n 
Teorema:
n n
x y
x y
−
−
→
− −
= =
n k k 1
k
t x y ; k 1;2;3;...n

− −
= k 1 n k
k
t x y
Dado: , un término cualesquiera es igual:
También:
k
t
Importante: Para aplicar la fórmula, la división
debe tener la forma de divisiones notables.
Ejemplo:
Si la división:
28 42
2 3
x y
x y
−
−
, genera un cociente
notable.
Determina el 6
t
Resolución:
40
x28
y42
x2
y3
14 14
2 14 6 3 6 1 16 15
6 6
t (x ) (y ) t x y
− −
= → =
Observación: La misma fórmula puede aplicarse
para los casos:
n n
x a
x a
+
+ y
n n
x a
x a
−
+ ,
Nota: término de lugar par :( )
término de lugar impar :( )
−
+
Así tendremos:
k 1
k
n
1
k
a
x
( 1)
tk =
Ejemplos:
1. Si la división:
a 5 b 1
2 3
x y
x y
+ −
−
−
genera un cociente notable
de ocho términos. Determina el valor de: L a b
= +
Resolución:
Genera un cociente notable, si:
a 5 b 1
8
2 3
+ −
= =
a 5 16 y b 1 24
+ = − =
a = 11 y b = 25
L a b 11 25
= + = +
L 36
=
2. Del cociente notable generado de la siguiente
división:
24 48
2 4
x y
x y
−
−
, determina el término de lugar
ocho.
Resolución:
24 48 2 12 4 12
2 4 2 4
x y (x ) (y )
x y x y
− −
=
− −
Dónde: n = 12 ^ k = 8
Por fórmula:
tk = an – k . bk – 1
t8 = (x2)12 – 8 . (y4)8 – 1
t8 = (x2)4 . (y4)7
t8 = x8y28
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el
resto de dividirlos es cero; es decir: si en
0
(x) (x)
P d R
  =
entonces (x)
P
es divisible entre
(x)
d
.
Esto significa que existe un único polinomio (x)
q
tal
que (x) (x) (x)
P q .d
=
También se dice (x)
d
es un divisor o factor del
polinomio (x)
P
NOTA:
Si un polinomio (x)
P
es divisible por x – a entonces se
dice x – a es un factor de (x)
P
PROPIEDADES
I) Si un polinomio (x)
P
se anula para x = a entonces
dicho polinomio es divisible por x – a
II) Si un polinomio (x)
P
es divisible separadamente
por x + a; x + b; x + c, entonces también es divisible
por el productos: (x + a)(x+b)(x + c).
1 2
(x) (x) (x) (x)
(x) (x)
P (x a).q P (x b).q
P (x a)(x b) .q
= −  = −
 = − −
 
 
III) Si un polinomio (x)
P
es divisible por el producto
(x-a)(x-b)(x-c), entonces (x)
P
es divisible
separadamente por x + a; x + b; x + c
Si un polinomio (x)
P
es divisible entre el producto (x -
a)(x - b), entonces (x)
P
será divisible separadamente
entre (x - a) y (x - b).
1 2
(x) (x)
(x) (x) (x) (x)
P (x a)(x b) .q
P (x a).q P (x b).q
= − −
 
 
 = −  = −
IV) Si un polinomio se divide entre varias expresiones
separadamente nos da el mismo resto, entonces al
dividir dicho polinomio entre el producto de dichas
expresiones también se obtienen el mismo resto.
1 2
(x) (x) (x) (x)
(x) (x)
P (x a).q R P (x b).q R
P (x a)(x b) .q R
= − +  = − +
 = − − +
 
 
V) Si el dividendo y al divisor se les multiplica por un
polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera,
pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.
VI) Si al dividendo y al divisor se les divide por un
polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera,
pero el resto queda dividido por dicho polinomio.
111
41
01. Si la división:
+ + + +
+ −
12 6 2
2
x 3x 4x ax b
x x 2
deja un resto:
= +
(x)
R 8x 4
Determina el valor de: L = a + b
a) 4 b) 5 c) 3
d) 6 e) 8
02. Si la siguiente división:
+ + + +
+ +
4 3 2
2
x 2x 6x ax b
x x 3
es exacta.
Determina el valor de: L = a + b
a) 18 b) 12 c) 15
d) 11 e) 17
03. Determina el resto de la división:
+ − +
− +
4 2
2
3x 12x 3x 2
x a x
si se sabe que dicho resto, es un polinomio
constante.
a) 12 b) 15 c) 18
d) 14 e) 17
04. En la siguiente división:
+ + +
−
3 2
4x 6x 4x 1
1
x
2
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Su cociente es:
= + +
2
(x)
q 4x 8x 8
.
II. Su resto es: R(x) = 5
III. La suma de coeficientes de su cociente
es 10.
a) VFV b) VVF c) FVF
d) FFV e) FVV
05. Determina el cociente de la siguiente división:
− + − +
−
4 3 2
8x 6x 3x 5x 7
2x 1
a)
= − + −
3 2
(x)
q 4x x x 2
b)
= + − +
3 2
(x)
q 4x x x 2
c)
= − + +
3 2
(x)
q 4x 2x x 1
d)
= − + −
3 2
(x)
q 8x 2x 2x 4
e)
= + + −
3 2
(x)
q 8x 4x 2x 4
06. Determina el resto en la división:
− + −
−
100
(3x 2) 2019x 1
x 1
a)
=
(x)
R 2017
b)
=
(x)
R 2019
c)
=
(x)
R 2081
d)
=
(x)
R 2061
e)
=
(x)
R 2072
07. Determina el resto en la división:
+ + + +
+ −
2 2 2
2
(x 5x 1) 6x 31x
x 5x 3
a)
= +
(x)
R x 32
b)
= +
(x)
R 34x 1
c)
= +
(x)
R 43x 1
d)
= +
(x)
R x 43
e)
= +
(x)
R x 34
08. Si la división genera un cociente notable de 6
términos.
−
−
a b
4 3
x y
x y
Determina el valor de: L = a + b
a) 42 b) 38 c) 12
d) 24 e) 56
09. Si la división:
−
−
84 48
7 4
x y
x y
Genera un cociente notable.
Determina el término de lugar siete.
a)
28 12
x y b)
35 24
x y c)
42 28
x y
d)
14 12
x y e)
21 20
x y
10. Si la siguiente división:
−
−
a b
5 3
x y
x y
genera un cociente notable, además un
término de su desarrollo es:
20 15
x y
Determina el valor de: L = a + b
42
a) 40 b) 28 c) 18
d) 80 e) 56
11. Si al dividir:
= + +
12
(x)
P x x 3
entre
= −
2
(x)
d x x
, se obtiene un resto de la forma:
= +
(x)
R mx n
Determina: R(x)
a)
= +
(x)
R 2x 1
b)
= +
(x)
R 4x 5
c)
= +
(x)
R 3x 2
d)
= +
(x)
R 2x 3
e)
= +
(x)
R 5x 2
12. Al realizar la división:
+ + + +
+ +
4 3 2
2
ax bx 21x 8x 7
x x 2
se obtiene como resto 3.
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. a + b = 19.
II. ab = 88.
III. El cociente es:
= + +
2
(x)
q 2x 3x 8
a) VVF b) VVV c) VFV
d) FFV e) FVV
13. Determina el número de términos del
cociente notable generado por los siguientes
términos consecutivos:
70 12 63 15
... x y x y ...
a) 14 b) 15 c) 10
d) 12 e) 21
14. Al efectuar la división:
+ + +
+ + + + +
−
a 14 a 13 a 12
x x x ... x 1
x 1
se obtiene que la suma de coeficientes del
cociente es once veces el resto.
Si:
+ + +
+ + + + +
a 7 a 6 a 5
x x x ... x 1, representa la
cantidad de libros que Fernanda debe
colocar en cajas que contengan "x+1" libros.
Determina cuántos libros le sobrarán.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
15. En la siguiente división:
− − −
+ + + + − + + +
−
b 1 b 2 b 3 2
2x 3x 4x ..... (b 1)x bx b 1
2x 1
La suma de coeficientes del cociente es 36.
Si el resto presenta la forma: R(x) = a
Determina el valor de: L = a + b
a) 18 b) 14 c) 12
d) 25 e) 27
16. Un profesor de Álgebra de la ACADEMIA
PRE - UNIVERSITARIA CHIPANA le pide a
sus estudiantes que efectúen la siguiente
división:
+ −
− +
247
2
x x 3
x x 1
* El estudiante Alberto afirma que la suma de
coeficientes del cociente es 0.
* El estudiante Daniel asegura que el residuo
es: 2x2
– x + 3.
* El estudiante Javier asevera que el grado
del cociente es 245.
Determina que estudiante o estudiantes
dieron la respuesta correcta.
a) Javier
b) Daniel y Javier
c) Alberto y Daniel
d) Alberto y Javier
e) Alberto, Daniel y Javier
17. Si la división:
−
−
55 55
3
3
x x
x x
genera un cociente notable.
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Tiene 6 términos racionales enteros.
II. Tiene 5 términos racionales fraccionarios.
III. Tiene 45 términos irracionales.
a) VFV b) VVV c) VVF
d) FVF e) FFV
18. Determina el valor numérico del término
central del desarrollo del cociente notable
generado por:
 
+ − −
 
+
 
123 123
2 2
1 (x y) (x y)
2 y(3x y )
111
43
para: = =
x 145; y 12
a) 1 b) 145 c) 4 145
d) 145 e) 144
19. Si el residuo de la división:
+
+ + + + +
299
5 4 3 2
x 1
x x x x x 1
se divide entre: − − −
2
( x x 1) , se obtiene
como cociente q(x)
Determina el valor de:
 
+
=  
 
 
( 2 )
q
(3) (4)
(5)
q q
J
q
a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 25
20. Determina el residuo de la división:
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
99 88 77 66 55 44 33 22 11
9 8 7 6 5 4 3 2
x x x x x x x x x 5
x x x x x x x x x 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
01. Luego de realizar la división:
+ + + +
+ +
4 3 2
2
3x 7x ax bx c
x 2x 2
se obtiene un cociente, cuya suma de
coeficientes
es 7 y como resto: R(x) = x + 4
Determina lo correcto:
I. a + b + c = 30
II. a – b + c = 12
III. a + b – c = 11
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I y II
e) II y III
02. Dada la división:
− + −
−
5 3
x 3x 5x 10
x 2
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Su cociente es:
= + + + +
4 3 2
(x)
q x 2x x 2x 9
II. Su resto es: R(x) = 7.
III. Es una división exacta.
a) VFF b) VVF c) FFV
d) FVF e) VFV
03. Al efectuar la división:
− + + −
−
10 8 3
2
x 4x x x 1
x 4
se obtiene un resto de la forma:
R(X) = ax – b
Compara:
COLUMNA A COLUMNA B
El valor de: "a" El valor de: "b"
a) A es mayor que B
b) A es menor que B
c) A es igual a B
d) No se puede determinar
e) ¡No utilice esta opción!
04. Si la división:
−
−
93 124
3 4
x y
x y
genera un cociente notable.
Determina el grado absoluto del término de
lugar 22.
a) 75 b) 92 c) 81
d) 121 e) 111
05. Determina el valor numérico del tercer
término del cociente notable generado por
+ + −
+
5 5
(a 3) (b 3)
a b
para: a = 5; b = 5
a) 128 b) 256 c) 625
d) 324 e) 450
44
DEFINICIONES PREVIAS:
Factor o divisor:
Un polinomio es factor de otro cuando lo divide
exactamente, por lo cual también es denominado
divisor.
Ejemplo:
x2
+ 7x + 12  (x + 3)(x + 4)
x + 3
x + 4
x2
+ 7x + 12
1
F
A
C
T
O
R
E
S
Tipos de factores:
Sea el polinomio: = − −
2 2
(x;y)
P 4a x (x y)
= − 2
1
f 4a
=
2
f x
= −
3
f x y
= 2
4
f x
= −
5
f x(x y)
= −
2
6
f x (x y)
Factores
Totales
Factor
Constante
Factores
Primos
Factores
Compuestos
Factores
Algebraicos
Dónde:
Nº F. P. = 2
Nº F. T. = (2+1)(1+1) = 6
Nº F. A. = Nº F. T. – 1 = 6 – 1 = 5
Nº F. No P. = Nº F. A. – Nº F. P. = 5 – 2 = 3
Factor algebraico:
Es aquel polinomio no constante que está contenido
en forma exacta en otro polinomio.
Sea el polinomio: E(x) = 5(x–5)(x+7)2 los factores
algebraicos de E(x) son:
2
2
(x 5);(x 7);(x 5)(x 7);(x 7) ;(x 5)(x 7)
− + − + + − +
Conteo de factores:




−
−
−
−
= )
n
x
......(
)
3
x
(
)
2
x
(
)
1
x
(
P )
x
(
tenemos
primos)
no
factores
(o
primos
factores
#
lgebraicos
a
factores
#
compuestos
factores
#
1
factores
#
algebraicos
factores
#
)
n
x
(
);...;
3
x
(
);
2
x
(
);
1
x
(
n
primos
factores
#
)
1
)...(
1
)(
1
)(
1
(
factores
#
−
=
−
=
−
−
−
−
→
=
+

+

+

+

=
II. DEFINICIÓN SOBRE FACTORIZACIÓN:
Es un proceso de transformaciones sucesivas en la
cual un polinomio se expresa como una
multiplicación indicada de sus factores primos, dentro
de un campo numérico.
Polinomio primo o irreductible:
Es aquel polinomio que no acepta transformación a
multiplicación indicada de dos o más polinomios no
constantes.
III. CRITERIO DE FACTORIZACIÓN:
A. Criterio del factor común y/o agrupación de
términos
El factor común es el factor que más se repite en
todos los términos de una expresión, para
factorizar se extrae el factor común pero elevado
a su menor exponente.
B. Criterio de las identidades
En estos casos se debe tener en cuenta los
diversos productos notables.
C. Criterio del aspa simple:
Se utilizan en polinomios que adoptan la forma:
2n n m 2m
(x;y)
P ax bx y cy
= + +
Pasos a seguir:
• Descomponer los extremos, a los cuales
vamos a llamar términos fijos.
• Multiplicar en aspa y sumar los resultados y
nos reproduzca el término central.
• Los factores serán las sumas horizontales.
D.Criterio del aspa doble:
Este criterio se utiliza para factorizar polinomios
que tienen la siguiente forma:
2n n m 2m n m
(x;y)
P Ax Bx y Cy Dx Ey F
= + + + + +
Pasos a seguir:
• Se adecúa el polinomio a dicha forma, en
caso falte uno o más términos se completa
con ceros.
• A los tres primeros términos se le aplica el
aspa simple para comprobar el término
Bxnym.
• Luego el último término se descompone en 2
factores primos con la finalidad de
comprobar los términos Dxn y Eym,
utilizando para ello dos veces el aspa simple.
• Los factores serán las sumas horizontales.
05 FACTORIZACIÓN DE
POLINOMIOS
111
45
E. Criterio del aspa doble especial:
Este criterio se utiliza para factorizar polinomios
que tienen la siguiente forma:
4n 3n 2n n
(x;y)
P Ax Bx Cx Dx E
= + + + +
El método consiste en descomponer los
términos extremos de tal manera que al efectuar
el producto en aspa y sumar los resultados nos
dé un valor igual o próximo al término central,
la cantidad que falte o sobre será la que se
descomponga en los términos centrales de los
nuevos dos factores de tal manera que
comprueba cada uno de los términos del
polinomio.
F. Criterio de los divisores binomios:
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier
grado y de una sola variable que aceptan
factores binomios de la forma: (ax  b).
Raíz de un polinomio:
Es el valor o conjunto de valores que tienen la
propiedad de anular a un determinado
polinomio.
Regla para calcular las posibles raíces racionales
de un polinomio
 
 
=   
 
 
Divisores de Término Independiente
P.R.R.
Divisores de Coeficiente Principal
Teorema del factor
Sea P(x) un polinomio de grado n 1

(x) (x)
es raíz de P (x )es factor de P
  − 
MCD.- El máximo común divisor de dos o más
expresiones algebraicas es otra expresión algebraica
entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado
que divide exactamente a cada una de ellas.
Ejemplo: Hallar el MCD de 36 y 24
Solución
Divisores de 36 Divisores de 24
1 2 3 4 6 12 18 36 1 2 3 4 6 8 12 24
MCD = 12
 MCD (36, 24) = 12
MCM.- De dos o más expresiones Algebraicas es
otra expresión algebraica entera de menor coeficiente
numérico y de menor grado que es divisible
exactamente entre cada una de las expresiones dada.
Ejemplo
Múltiplos de 5:
5 10 15 20 25 30 60 120
Múltiplos de 6:
6 12 18 24 30 60 120
 MCM (5, 6) = 30
1. Si dos o más expresiones son primos entre sí, es
MCD es la unidad y su MCM el producto de ellas.
2. Dada dos expresiones algebraicas A y B, su
M.C.D. por su M.C.M. es igual al producto de A
por B.
3.
M.C.D. (A, B) x M.C.M. (A, B) = A x B
Para determinar el M.C.D. ó M.C.M. de dos o más
expresiones algebraicas se aplican las siguientes
reglas:
1. Se descomponen en sus factores primos cada
una de las expresiones dadas.
2. El M.C.D está determinado por el producto de
los factores comunes con sus menores
exponentes.
3. El M.C.M. está determinado por el producto de
los factores comunes y no comunes con sus
mayores exponentes.
01. Determina el valor de "a + b" si se sabe que
el polinomio (x)
f x 1
= −
es un factor del
polinomio:
4 3 2
(x)
P 4x ax 11x bx 1
= + − + +
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 4
02. Con respecto al polinomio:
3 3
(a;b)
P ab(2ab 1) (ab 1) (ab 1)
= − − +
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
PROPIEDADES
M.C.D. y M.C.M. POR
FACTORIZACIÓN
46
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Un factor primo es (ab)
II. Tiene cinco factores primos
III. Tiene 2 factores primos de segundo grado
a) FVF b) FVV c) FFV
d) VVF e) VFF
03. Determina el número de factores primos que
presenta el siguiente polinomio:
5 4 4 3 3 5 2 4
(x;y)
P x y x y x y x y
= + + +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04. Determina la suma de los factores primos de:
2
(x;y)
P x 25 y(2x y)
= − − −
a) 2x + 2y b) 2x – 2y
c) x + y d) x – y
e) x + y + 10
05. Si V(x) representa el factor primo común de
los polinomios:
2
(x)
2
(x)
P 3x x 14
Q x 4x 12
= − −
= − −
Determina el valor de: V(4)
a) 12 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
06. Determina el número de factores primos de:
2 2
(x;y)
P 4x 12xy 9y 20x 30y 25
= − + + − +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Según el esquema del aspa doble:
Determina el valor de:
L = a + b + c + d + e + f
a) 34 b) 33 c) 31
d) 30 e) 32
08. Las edades de dos hermanos están
representadas por los factores primos del
polinomio:
4 3 2
(x)
P x 2x 4x 3x 28
= + + + −
Determina la edad del hermano mayor.
a) x2
+ x + 6 b) x2
+ x – 4
c) x2
+ x + 7 d) x2
– x + 4
e) x2
+ x – 7
09. Dado el siguiente polinomio:
3 2
(x)
P x 2x 1
= − +
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Tiene 2 factores primos.
II. Un factor primo es: x – 1.
III. Un factor primo es: x2+ x + 1.
a) VVF b) VFFc) VFV
d) FFV e) FFF
10. Sean los polinomios:
4 3 3
(x)
2 5 2
(x)
P (x 5) (x 8) (x 6)
Q (x 5) (x 6) (x 7)
= + + +
= + + −
Determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I.
4 5 3 2
MCM(P,Q) (x 5) (x 6) (x 8) (x 7)
= + + + −
II.
2 3
MCD(P,Q) (x 5) (x 6)
= + +
III. MCM(P,Q).MCM(P,Q) (x 5)(x 6)(x 8)(x 7)
= + + + −
a) VVF b) VFV c) FFF
d) FVF e) FFV
11. El polinomio:
(x)
P (x 3)(x 2)(x 1)x 3
= − − − −
Admite ser descompuesto en dos factores
primos cuadráticos. Determina cuál de ellos
posee menor valor numérico para cualquier
valor de "x".
a) x2
– 3x + 1 b) x2
+ 3x + 2
111
47
c) x2
+ 3x – 1 d) x2
– 3x – 1
e) x2
– x + 2
12. Determina la suma de los factores primos del
polinomio:
4 2
(x)
P x 8x 36
= + +
a) 2x2
+ 12 b) 2x2
+ 24
c) 2x2
+ 18 d) x2
+ 18
e) x2
+ 6
13. Un factor primo del polinomio:
3 2
(x)
P 20x 16x x 1
= − + +
Tiene la forma:
a
(cx a)
+
Determina el valor de:
L = a + c
a) 4 b) 3 c) 6
d) 8 e) 2
14. Determina el número de factores primos que
presenta el siguiente polinomio:
3 3 3 3 3 3
(x)
P (x a) (b c) (x b) (c a) (x c) (a b)
= − − + − − + − −
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
15. Determina el MCD de los polinomios:
4
(x)
2
(x)
P x 1
Q x 4x 3
= −
= + +
a) x – 2 b) x – 1
c) x – 3 d) x + 3
e) x + 1
16. Con respecto a los polinomios:
2
(x)
2
(x)
A ax x b
B ax 5x b
= − −
= − +
El MCM es:
3 2
x 3x 4x 12
− − +
Determina el valor de:
L = a + b
a) 8 b) 2 c) 7
d) 6 e) 5
17. Sean los polinomios:
11 9 8 7
(x)
V x ax x 2x
= + + +
y otro P(x) mónico de quinto grado
Si el MCD de ambos es:
2
x x 1
+ +
Determina el valor de "a".
a) 1 b) 5 c) 3
d) 2 e) 0
18. La factorización del polinomio:
2 3 3
(x)
V (x 1)(x 2)(x 3) 2(2x 3x 3)
= − − − + − +
es:
n n n
(x)
V x (x c) (x ax a)
= + + −
Determina el valor de:
L = n – ac
a) 5 b) 0 c) -4
d) -1 e) 3
19. Un factor primo del polinomio:
10 7 5 4 2
(x)
P x x 7x 12x 7x 12
= − − − + +
tiene la forma:
5 2
(ax bx c)
− −
Determina el valor de:
L = a + b + c
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 0
20. Determina la suma de coeficientes de un
factor primo de:
13 8 7 2
(x)
V x 2x x 2x 4
= + − + +
a) 3 b) 4 c) 5
d) 8 e) 6
01. Luego de factorizar el polinomio:
6 4 2
(x)
V x x 2x 1
= − + −
Determina el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
02. Si un factor primo del polinomio:
2
(x)
P (3x 1) 9x 7
= − − −
48
es de la forma:
( )
b
ax c
+
donde: c > 0
Determina el valor de:
L = ab + ac
a) 6 b) 4 c) 2
d) 1 e) 5
03. Determina el número de factores primos del
polinomio:
2 2 4 4
(x;y)
P 16x y (x y) (x y)
= + − − +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04. Un factor primo de:
4 2
(x)
V x 2x 9
= + +
tiene la forma: xa + bx + c
donde: b > 0.
Determina el valor de: L = a + b + c
a) 5 b) 7 c) 9
d) 2 e) 0
05. Sean los polinomios:
4 2
(x)
2 3
(x)
V x x 2x 1
P (x x 1) (x 1)
= − − −
= + + +
Determina la suma de coeficientes del
MCM(v;p)
a) -50 b) -52 c) -54
d) -56 e) -58
COMPENDIO 01 - CHIPANA PRE U.pdf
COMPENDIO 01 - CHIPANA PRE U.pdf
111
51
SEGMENTOS
Es la porción de línea recta comprendida entre dos
puntos.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- Llamado
también punto bisector, es aquel punto que divide a
un segmento en dos segmentos congruentes; es decir,
dicho punto lo divide por la mitad.
OPERACIONES CON SEGMENTOS:
a) Adición:
b) Sustracción:
ÁNGULOS
DEFINICIÓN.- Es la figura geométrica
determinada por la reunión de dosrayos que tienen el
mismo origen.
ELEMENTOS:
• Lados: OA y OB
• vértice: O
NOTACIÓN
Ángulo AOB: A O B; se lee el ángulo AOB
Medida del ángulo AOB: mAOB
BISECTIZ:
Es el rayo que parte del vértice del ángulo y que
forma con sus lados ángulos de igual medida.
CLASIFICACIÓN:
SEGÚN SU MEDIDA:
A) ÁNGULO AGUDO.- Es aquel ángulo cuya
medida es mayor que 0º y menor que 90º.
B) ÁNGULO RECTO.-
lado
A
vértice

O B
lado

 = 90º
01 SEGMENTOS Y ÁNGULOS
ELEMENTOS
A, B: Extremos
AB : Segmento AB
A B
2
AB
MB
AM =
=
A M B
AC
BC
AB =
+
A B C
QR
PQ
PR =
−
P Q R
A
X


O B
0º   
90º

52
 + = 90º
C) ÁNGULO OBTUSO.- Es aquel ángulo cuya
medidaes mayor de 90º y menor de 180º.
SEGÚN LA POSICIÓN:
A) ÁNGULOS CONSECUTIVOS.- Son dos
o más ángulos que tienen un vértice común y
cada uno de ellos es adyacente con su
anterior.
B) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE.- Son dos ángulos que tienen el
mismo vértice y además los lados de uno de
ellos son las prolongaciones de los lados del
otro en sentido contrario.
SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS:
A) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.- Son
dos ángulos cuya suma de sus medidas es
igual a 90º
COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO (C): Es lo
que le falta a la medida de un ángulo para que sea
90°
B) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.- Son dos
ángulos cuya suma de sus medidas es igual a
180º
SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO (C): Es lo que
le falta a la medida de un ángulo para que sea 180°
PROPIEDADES:
01.
02.
03.
04.
05.




 
 +  =
180º
90º    180º
Ángulo adyacente: Son dos ángulos que
tienen unvértice común y están situados
a distinto lado de unlado común.
lado común


 


111
53
54
01. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D y E. Si AB = 4, CD
= 6, AD = 3(DE) y 3(DE) + 2(BC) = 25,
Calcule BC.
a) 6 b) 4,5 c) 7
d) 2 e) 5
02. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si AB = BC, 2(BD)
– AC = 4. Calcule CD
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 2,5
03. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Sea M punto
medio de BC, CD = 2(AB) y AM = 12,
calcule BD.
a) 18 b) 20 c) 28
d) 24 e) 16
04. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D y E tal que: (AD)(BE)
= 80m2, calcule; AD – BE, si AC + BC +
CD + CE = 18m. (AD > BE)
a) 3 m b) 2 m c) 2,5 m
d) 3,5 m e) 4 m
05. Sean los puntos consecutivos A, B, C y D si
(AB)(CD) = (AD)(BC) y
+ + =
a b c d
AB AD CD BC .
Calcule a + b + c + d
a) 3 b) 2 c) 6
d) 4 e) 5
06. Se ubican los puntos consecutivos y
colineales A, B, C y D tal que M es punto
medio de AD. Si BC = 2m,
+ =
1 1 3
AB CD 8 y
AM = 7m. calcule AD.
a) 16 m b) 18 m c) 14 m
d) 15 m e) 12 m
07. Si el suplemento del suplemento del
suplemento de un ángulo es igual que el
triple del mismo ángulo, calcule el
complemento del complemento del ángulo.
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 20° e) 80°
08. En el gráfico mostrado, ,
Calcule
a) 70° b) 55° c) 50°
d) 60° e) 85°
09. Según el gráfico, ,
calcule .
a) 70° b) 55° c) 40°
d) 64° e) 80°
10. En el gráfico mostrado, y
es bisectriz del ángulo AOD. Calcule
.
a) 30° b) 45° c) 20°
d) 25° e) 40°
11. En el gráfico 1 2
L / /L . Calcule “x”
111
55
a) 85° b) 100° c) 95°
d) 110° e) 90°
12. En el gráfico 1 2
L / /L y 3 4
L / /L . Calcule “x”
a) 20° b) 40° c) 35°
d) 80° e) 50°
13. En el gráfico 1 2
L / /L . Calcule “α”
a) 18° b) 45° C) 36°
d) 20° e) 24°
14. En el gráfico, . Si
es bisectriz del ángulo AOC, calcule
a) 120° b) 90° c) 150°
d) 75° e) 60°
15. En el gráfico 1 2
L / /L . Calcule “”
a) 20° b) 12° c) 18°
d) 24° e) 22°
56
01. A partir del gráfico, 11(BC) = 5(AB) y AC =
16. Calcule BC
a) 11 b) 4 c) 8
d) 6,5 e) 5
02. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si CD = 5(AB) y
5(BC) + CD = 20, calcule AC.
a) 5 b) 3,5 c) 4
d) 2 e) 6
03. El suplemento del complemento de un
ángulo excede en 80° al complemento del
mismo ángulo. Calcule el suplemento del
ángulo.
a) 140° b) 60° c) 40°
d) 80° e) 100°
04. En el gráfico 1 2
L / /L . Calcule “”
a) 60° b) 75° c) 80°
d) 30° e) 40°
05. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COA, de modo que
calcule .
a) 120° b) 90° c) 150°
d) 75° e) 60°
111
57
Definición del triángulo:
Es aquella figura geométrica formada al unir tres
puntos no colineales mediante segmentos de recta.
Elementos de un triángulo
• Vértice: A, B y C
• Lados: AB, BC y AC
También del gráfico, indicamos:
• Medida de los ángulos internos: , β, 
• Medida de los ángulos externos: , , 
• Perímetro (2P): 2P = a + b + c
• Semiperímetro (p):
Notación
Triángulo ABC: ABC
Teoremas Fundamentales:
1. La suma de medidas de los ángulos internos de
un triángulo es 180°.
2. La suma de las medidas de los ángulos externos
uno por cada vértice es 360°
3. La suma de las medidas de dos ángulos internos
resulta el ángulo exterior del tercer ángulo
interior
4. En un mismo triángulo, al ángulo interno de
mayor medida se le opone el lado de mayor
longitud y viceversa.
Condición de existencia del triángulo: En todo
triángulo la longitud de un lado está comprendida
entre la diferencia y suma de las longitudes de los
otros lados.
 + + = 360º
 + = 
02 TRIÁNGULOS
 + +  = 180º
58
01. En el gráfico AD = AE, CD = CF, calcule
a) 80° b) 65° c) 20°
d) 35° e) 50°
02. En el gráfico, los triángulos ABC y CPQ son
isósceles de bases AC y CQ, respectivamente.
Calcule x
a) 70° b) 35° c) 60°
d) 55° e) 30°
03. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero y
BC = BD. Calcule α
a) 10° b) 12° c) 20°
d) 18° e) 15°
111
59
04. En el gráfico, AB = AC y DC = DE. Calcule
x.
a) 80° b) 75° c) 70°
d) 85° e) 60°
05. En el gráfico, AB = AD = BC. Calcule α
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 45° e) 75°
06. En un triángulo isósceles ABC (AB = AC), en
la prolongación de CB se ubica el punto D,
tal que AD = DC y . Calcule
a) 30° b) 15° c) 25°
d) 45° e) 50°
07. En un triángulo ABC, en la región exterior
relativa a BC se ubica el punto P, tal que
y . Si
 
=
AP BC M
y BP = 8, calcule BM.
a) 4 b) 2 c) 8
d) 6 e) 3
08. En el gráfico, AB = BC y AC = CE = ED.
Calcule α.
a) 36° b) 42° c) 18°
d) 25° e) 54°
09. En un triángulo ABC, se ubica el punto
exterior D en la región exterior relativa al
lado AC, tal que AD = BD = CD y
. Calcule
a) 20° b) 40° c) 15°
d) 35° e) 10°
10. En el gráfico, AB = 5 y AE = 1. Calcule CD /
DE.
a) 0,5 b) 1 c) 4
d) 2 e) 1,5
11. En un triángulo isósceles ABC de base AC,
en AB se ubica el punto F y en BC los puntos
E y D (B, E, D y C en ese orden), tal que AC
= AD = FD = EF = BE. Calcule
a) 4 b) 2/5 c) 4/7
d) 3/7 e) 3/5
12. Según el gráfico, AB = BC = CD. Calcule α
a) 15° b) 20° c) 30°
60
d) 35° e) 40°
13. Según el gráfico, AB = AD = CD. Calcule α
a) 15° b) 10° c) 6°
d) 20° e) 12°
14. Dado el triángulo ABC en las prolongaciones
de AB y AC se ubican los puntos M y T
respectivamente, tal que: ,
AC = 6cm y BC = 4cm. Calcule la suma del
máximo y mínimo valor entero de AB.
a) 13cm b) 14cm c) 15cm
d) 12cm e) 10cm
15. En un triángulo ABC se traza la altura BH y
en su prolongación se ubica el punto E, tal
que la y
. Calcule
.
a) 10° b) 15° c) 12°
d) 30° e) 18°
01. A partir del gráfico calcule α
a) 35° b) 10° c) 18°
d) 20° e) 15°
02. En el gráfico calcule “x + y”
a) 64° b) 44° c) 32°
d) 58° e) 76°
03. A partir del gráfico calcule x
a)
+
2a b
2 b)
+
a 2b
3 c)
+
a 3b
2
d)
+
a b
2 e)
+
a b
6
111
61
04. En el gráfico, a + b = 240°. Calcule α
a) 24° b) 18° c) 36°
d) 23° e) 51°
05. En el gráfico, . Calcule x.
a) 65° b) 70° c) 40°
d) 80° e) 55°
62
03 CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
111
63
64
01. En el gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes. Calcule α.
a) 20° b) 50° c) 30°
d) 40° e) 10°
02. En el gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes. Calcule x.
a) 40° b) 35° c) 55°
d) 50° e) 60°
03. En el gráfico, AM=PQ. Calcule x.
a) 40° b) 50° c) 30°
d) 20° e) 25°
04. Se tiene un triángulo isósceles ABC recto en
B. se ubica el punto M en la región exterior
relativa a AC, tal que m . Si AM
= 1 y BM = 4. Calcule MC.
a) 13 b) 8 c) 2 3
d) 7 e) 5
05. En el gráfico, AP=QC. Calcule x.
a) 35° b) 20° c) 15°
d) 25° e) 30°
06. En el gráfico, ABC y EBD son triángulos
equiláteros. Calcule α.
a) 30° b) 20° c) 60°
d) 50° e) 40°
07. Según el gráfico, ABC y CED son triángulos
equiláteros. Calcule α
a) 50° b) 40° c) 75°
d) 60° e) 80°
111
65
08. En el gráfico mostrado, BC = CD y AC = 3.
Calcule AD.
a) 9 b) 12 c) 6
d) 15 e) 10
09. Del gráfico, BC = AD + 12. Calcule CE.
a) 6 b) 4 c) 8
d) 12 e) 3
10. En un triángulo ABC se traza la ceviana
interior BD, de modo que CD = 2(AB),
y . Calcule
.
a) 80° b) 60° c) 45°
d) 70° e) 53°
11. En el gráfico, AB = 4. Calcule BC.
a) 5 b) 6 c) 8
d) 15 e) 9
12. En un triángulo isósceles ABC de base AC, se
traza la altura BH y . Calcule
BH / AC.
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 3 e) 0,5
13. En un triángulo ABC (obtuso en B) se traza la
mediana CM y la altura BH, si MC = 5 y BH
= 6, calcule .
a) 24° b) 30° c) 45°
d) 60° e) 37°
14. En un triángulo ABC, se traza la altura BH en
la cual se ubica el punto P, de modo que: AB
= PC, . Calcule .
a) 22°30’ b) 53° c) 45°
d) 36° e) 37°
15. Dado un triángulo ABC, se ubica un punto
interior P tal que: BC = AP,
.
Calcule .
a) 30° b) 35° c) 40°
d) 37° e) 45°
66
01. Del gráfico, ABC y DBE son triángulos
congruentes, tal que AC = DE. Calcule x.
a) 60° b) 75° c) 50°
d) 85° e) 65°
02. Según el gráfico, BC = ED y AC = 5.
Calcule EC.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
03. Según el gráfico las regiones sombreadas son
congruentes. Calcule 
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 80° e) 70°
04. Según el gráfico, los triángulos son
congruentes. Calcule AB + 2(AC).
a) 8 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
05. Según el gráfico, CD = 12. Calcule AB.
a) 8 b) 5 c) 6
d) 10 e) 3
111
67
04 POLÍGONOS Y
CUADRILÁTEROS
68
111
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  • 3. 3 La Academia Preuniversitaria “CHIPANA”, saluda a todos los estudiantes que han depositado su confianza en nosotros y que diariamente se esfuerzan por lograr el difícil reto de ingresar en la universidad. Conscientes del rol protagónico que tenemos en este primer año, en el medio preuniversitario, ponemos en manos de nuestros alumnos el compendio. Este compendio académico está elaborado de acuerdo al prospecto de admisión de la UNCP y otras universidades del país. Finalmente esperamos jóvenes estudiantes que toda la información del presente libro, contribuye a acrecentar su conocimiento y en posesión de ello concretar la ansiada meta de ingresar en la universidad. LA DIRECCIÓN Presentación
  • 7. 111 5 1. CONCEPTO Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios, que tienen una o más características comunes, estos objetos reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de manera que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. 2. NOTACIÓN Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm:   si , la , sol , fa , mi , re , do A =   Chile .... , Argentina , Bolivia , Perú , Ecuador P=   u o i e a B , , , , = Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n) Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto considerado. Ejm:   ( ) 3 A n 17 ; 12 ; 8 A = → =   ( ) 4 B n 17 ; 11 ; 11 ; 11 ; 11 ; 6 ; 6 ; 6 ; 9 ; 9 B = → = 3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras: Por Extensión o Forma Tabular: Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del conjunto. Por comprensión o Forma Constructiva: Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto. Ejemplo: 4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS a) Relación de Pertenencia () Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia se emplea de elemento a conjunto. b) Relación de Inclusión (  ): Se dice que A está incluido en el conjunto B (A  B), cuando todo elemento de A pertenece a B. c) Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos elementos. 5. CLASES DE CONJUNTO a) Conjunto Vacío Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama conjunto nulo. b) Conjunto Unitario Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama conjunto Singlentón c) Conjunto Universal Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, teniendo una referencia se representa por el símbolo U. d) Conjunto Potencia Está formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por “P”. Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A. A = {a, b, c} P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};} Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la fórmula: 2n , de donde “n” es el número de elementos del conjunto. Número de subconjuntos = 2n = 23 = 8 01 TEORÍA DE CONJUNTOS
  • 8. 6 01. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de C? C = { 0; {1}; 1; 0; 1; { {1} } } a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 02. Dados los conjuntos: A = {x/x es hombre} B = {x/x es peruano} C = {x/x es médico} Expresar mediante operaciones el conjunto: “Hombres peruanos que no son médicos” a) A (BUC) b) A (BUC)’ c) (AUB) C d) (AB) C’ e) (AB)UC 03. Un conjunto tiene 128 subconjuntos en total. ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos tendrá? a) 6 b) 42 c) 35 d) 21 e) 7 04. Dados dos conjuntos comparables cuyos cardinales se diferencian en 3, además la diferencia entre los cardinales de sus conjuntos potencias es 112. ¿Cuántos elementos tiene la intersección de dichos conjuntos? a) 0 b) 1 c) 4 d) 6 e) 7 05. Se dispone de 5 tarros de pintura de diferentes colores, los cuales se combinaron para obtener colores distintos a los que se tiene. ¿Cuántos colores más se podrían obtener? a) 32 b) 31 c) 25 d) 26 e) 30 06. Una persona como huevos o plátanos en el desayuno de cada mañana durante el mes de marzo. Si durante 25 mañanas come huevos y 18 mañanas come plátanos, ¿cuántas mañanas come huevos y plátanos? a) 15 b) 13 c) 10 d) 5 e) 12 07. 120 alumnos rindieron una prueba que contiene los cursos: A, B y C con los resultados siguientes: Se anularon 10 pruebas y el resto aprobó por lo menos un curso. Los que aprobaron A desaprobaron B y C. 20 alumnos aprobaron B y C. ¿Cuántos aprobaron un solo curso? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 08. Al final de una jornada de cacería de liebres y conejos, 21 cazadores regresaron con por lo menos un animal, 9 no sólo cazaron liebres sino también conejos: 16 cazaron por lo menos un conejo y 22 regresaron sin haber cazado liebre alguna. ¿Cuántos no cazaron conejos? a) 5 b) 20 c) 11 d) 15 e) 18 09. Hay 65 banderas que tienen por lo menos 2 colores, 25 tienen rojo y azul, 15 rojo y blanco, 35 blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 10. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Aritmética, 6 hombres aprobaron Literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total; 5 alumnos aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron sólo Aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Literatura? a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 7 11. En una encuesta sobre preferencias de jugos de frutas de fresa, papaya y naranja se encontró que: el número de personas que gustan de jugo surtido es: •¼ de los que gustan solamente jugo de fresas.
  • 9. 111 7 •½ de los que gustan solamente jugo de papaya. •1/5 de los que gustan solamente jugo de naranja. •½ de los que gustan solamente jugo de fresas y naranja. •1/3 de los que gustan solamente jugo de papaya y naranja. •Igual al número de personas que gustan solamente de jugo de fresas y papaya. •1/3 de los que no gustan de ninguno de los 3 jugos señalados. Si se sabe que el número de encuestados fue de 420. Hallar el número de personas que no gustan de ninguno de los 3 jugos. a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 e) 100 12. De un lote de 1000 pantalones se planea eliminar aquellos que tengan 2 fallas y se venden a la mitad de precio aquellos que tengan solo 1 falla. Si luego de la inspección no se eliminan 922 pantalones y los que se vendieron a mitad de precio es el doble del número de pantalones que se eliminan. ¿Cuántos pantalones se vendieron sin descuento? a) 784 b) 836 c) 844 d) 766 e) 704 13. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de hombres es el doble del número de mujeres. De los hombres 23 no usan reloj pero si tienen terno y 42 tienen reloj. De las mujeres, las que no usan minifalda son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda pero no reloj? a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 14. De un grupo de ingenieros, economistas y abogados: •20 tienen 2 profesiones, 12 de ellos son mujeres. •Hay igual cantidad de ingenieros- economistas, economistas-abogados y solamente abogados, tanto en los hombres como en caso de las mujeres. •Hay tantos economistas hombres como mujeres ingenieros. •Hay tanto ingenieros hombres como mujeres economistas. •En total hay 12 mujeres con solo una profesion. ¿Cuantos hombres hay con solo una profesion? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 15. Si:n(AUB) = 15 n(AB) = 3 n(A) – n(B) = 2 Calcular: n(AB) – n(A) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 01. Dado el conjunto: A =       5 ; 3 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 Indicar cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas. I)   A  3 III)  A  5 ; 2 V) A  2 II)  A  5 ; 2 IV) A  7 VI) A   a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. El Conjunto:         − = X X X X X B ; 21 2 3 Está incluido en: a) {2; 4; 6} b) {1;2} c) {1; 8; 5} d) {1} e) {0;2;3} 03. Sea: ( )   8 4 / 1 3     + = x x A Indicar el número de elementos del conjunto A a) 3 b) 4 c) 8 d) 7 e) 13 04. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:
  • 10. 8   12 ; 3 2 ; − + + = a m a m D Calcular: m2 + a2 a) 80 b) 74 c) 90 d) 104 e) 39 05. La región sombreada corresponde a: A B a) (AB) UC C b) (A-B)U(B-A) c) (AUB)  C d) (AUB) U C e) (AB) U C INDICADORES DE LOGRO: - Determinar la diferencia entre la idea de número y su representación. - Especificar el orden y el lugar que ocupa una cifra según su posición en un numeral. - Determinar el valor relativo de las cifras de un numeral, a través de la descomposición polinómica. - Transformar un numeral de un sistema de numeración a otro sistema, utilizando diferentes métodos. PROPIEDAD: Un mismo número escrito en diferentes sistemas de numeración cumple que «A mayor numeral aparente le corresponde menor base» o «A menor numeral aparente le corresponde mayor base» n abcd n abcd + m xyz - = Se cumple : m > n - + DE LAS CIFRAS: Las cifras o dígitos son símbolos convencionales que se utilizan para escribir los numerales. Un numeral tiene un valor absoluto y un valor de posición o relativo. VALOR ABSOLUTO (VA): Es el valor que posee por sí mismo independientemente de su ubicación. VALOR RELATIVO (VR): Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden o ubicación que ocupa dentro de un numeral. 1 Representación literal de los números Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se van a representar mediante letras minúsculas, considerando que: a. Las letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes; a menos que lo señalen. Ejemplo: ab  {10 ; 11 ; 12 ; .... ; 99} b. Toda expresión entre paréntesis representa una cifra. Ejemplo: (a 2)(b 5)(c 8) + + − ; tiene 3 cifras c. La cifra de mayor orden debe ser diferente de cero: Ejemplo: mnp entonces 02 NUMERACIÓN Y CONTEO DE NÚMEROS
  • 11. 111 9 SISTEMAS DE NUMERACIÓN MÁS COMUNES BASE SISTEMA CIFRAS UTILIZADAS 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  ;  DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL: Viene a ser la suma indicada de los valores relativos de cada una de sus cifras; es decir, de acuerdo al orden que ocupan en el numeral. Ejemplos: n ab a.n b = + 3 2 n abcd a.n b.n c.n d = + + + DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA POR BLOQUES: 2 n n n abab ab .n ab = + CAMBIOS DE BASE: 1. De base n a base 10 (n 10): • Expresar 23146 en base 10 Por Descomposición Polinómica (DP) 2314(6) = 2. 63 + 3. 62 + 1.6 + 4 = 550 • Expresar 13225 en base 10 Por Ruffini: 1 3 2 2 5  5 40 210 1 8 42 212 Entonces: 13225 = 212 2. De base 10 a base m (m 10): • Expresar 465 en base 6 Usando Divisiones Sucesivas Luego: 465 = 20536 3. De base "n" a base nk (k ): • Se forman grupos de k cifras; a partir del orden uno. • Cada grupo así formado se descompone polinomicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva base(nk). 4. De base "nk" a base n (k ): • Cada cifra del numeral de la base nk genera un grupo de k cifras en base n. • Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones sucesivas entre n. NUMERAL CAPICÚA: Es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales (leído de derecha a izquierda y viceversa representa el mismo numeral). PROPIEDADES: A. Numeral de cifras máximas k n "k " cifras (n 1)(n 1)...(n 1) n 1 − − − = − 1 4444444442 4444444443 B. Bases sucesivas b0 1b 1c c0n 1dn 1a a b c d n a0 a.b.c n = + + + + = C. Cantidad de numerales con cierta cantidad de cifras. k 1 k n "k"cifras n abc...p n −   CONTEO En el caso específico, que se desee conocer la cantidad de elementos que posee un conjunto de números, se debe de diferenciar los casos que se puedan presentar: I) Si los números forman parte de una sucesión numérica. II) Si los números admiten condiciones particulares entre ellos. I. Progresión Aritmética (P.A.) Es una sucesión numérica en la que cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón, la cual se calcula mediante la sustracción de dos términos consecutivos. En forma general: P.A: a1 ; a2 ; a3 ;………… ; an Donde: * a1 : primer término * a2 : segundo término * a3 : tercer término * an : enésimo término (último término)
  • 12. 10 * n : Cantidad de términos (lugar del último término) * r : razón de la progresión aritmética. Además: * Si r < 0 P.A. decreciente * Si r > 0 P.A. creciente Fórmulas importantes: * Número de términos (n) n 1 a a n 1 r −   = +     * Término general (an): n 1 a a (n 1).r = + − II. Paginación Utilizando tipos de imprenta se considera un problema: el determinar los necesarios para numerar las páginas de un libro; es decir, calcular la cantidad de cifras necesarias para escribir todos los enteros desde 1 hasta N, y para ello aplicaremos de manera práctica lo siguiente: 1 N "k " cifras C (N 1)K 111....11 → = + − 1 44424443 Donde: "k" es el número de cifras que tiene N. 01. Si A es el menor numeral de tres cifras diferentes del sistema decimal y B es el mayor numeral de tres cifras, las cuales suman 14, calcule A+B. a) 962 b) 974 c) 983 d) 1052 e) 1073 02. Al imprimir un libro se utilizan 810 tipos de imprenta. ¿Cuántos tipos se usarían al numerar el mismo libro en base 7? a) 589 b) 858 c) 861 d) 863 e) 864 03. Si: = (n) abab 221 Calcula: a + b + n. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 04. Si el numeral (c+2b)4(3c)(b + a)a es capicúa, determine el valor de (a × b × c)2. a) 25 b) 9 c) 16 d) 36 e) 4 05. La suma del segundo y quinto término de una PA es 32, y el término de lugar diecinueve excede al término de séptimo lugar en 48. Halla el término de lugar 16. a) 11 b) 22 c) 66 d) 44 e) 55 06. Se cumple que: (16) (n) 121 540 (15) (n) = Calcula el valor de n. a) 8 b) 9 C) 10 d) 7 e) 11 07. Al expresar el numeral 111...112 de m cifras en la base 6 se representa como (3a)(3a)a Calcula el valor de: m + a. a) 6 b) 10 c) 8 d) 7 e) 9 08. La cantidad de números enteros comprendidos entre 300 y 500 que se pueden formar usando solo las cifras 3, 4 y 5 es igual a: a) 44 b) 24 c) 30 d) 18 e) 52 09. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen al menos una cifra 2 en su escritura? a) 225 b) 156 c) 200 d) 252 e) 250 10. ¿Cuántos numerales de la forma: (6) ab(2a-b) existen? a) 36 b) 28 c) 21 d) 17 e) 18
  • 13. 111 11 11. Un número de tres cifras del sistema de base 7 se escribe en el sistema de base 9 con las mismas cifras, pero colocadas en orden inverso. Entonces la suma de las cifras de este número escrito en base 7 es: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 12. La siguiente progresión aritmética de razón r, posee 3b términos, además, el primer y último término son 111 y 514, respectivamente. Halla: b + r. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 13. En la siguiente progresión aritmética de 36 términos, calcula la suma. (n) (n) (n) (n) a5 ; a7 ; b1 ; ....; 1ba a) 4300n b) 2304n c) 4400n d) 2300n e) 3400n 14. Si: 2 (n) (n ) 12abcd 653 = , halle el valor de (a + b + c + d – n). a) 0 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4 15. ¿Cuántos números se escriben con tres cifras en los sistemas heptanario, nonario y undecimal? a) 222 b) 256 c) 332 d) 228 e) 242 01. En una PA se tiene que la diferencia entre el decimotercer término y el octavo término es 15; además, la suma del sexto y noveno termino es 55. Calcula el vigésimo término. a) 65 b) 68 c) 74 d) 82 e) 94 02. Dadas las siguientes PA 8; 11; 14; 17; ………………….. y 7; 11; 15; 19; …………………. ¿Cuántos términos comunes de dos cifras tienen? a) 11 b) 3 c) 7 d) 8 e) 9 03. ¿Cuántos ceros sin valor hay en 0001; 0002; 0003 …………………… 7000? a) 1107 b) 1108 c) 1109 d) 1110 e) 1121 04. Calcular el trigésimo tercer término en la progresión aritmética: 13; 20, 27; . . . a) 230 b) 216 c) 237 d) 224 e) 307 05. Hallar la cantidad de términos de la siguiente P.A: 5 ) 4 ( ; ..... ; 9 ; 3 + a a a a) 42 b) 10 c) 9 d) 8 e) 20
  • 14. 12 DEFINICIÓN: Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. 1. ADICIÓN (+): Es una operación directa en la cual, para 2 números cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer número que es el resultado de reunir las unidades de los números iniciales. A este resultado se le llama suma o suma total. 2. SUSTRACCIÓN (-): Es una operación inversa a la adición en el cual para dos números llamados minuendo y sustraendo, se obtiene un tercer número llamado resta o diferencia. PROPIEDAD: a).- S + D = M b).- M + S + D = 2M 3. MULTIPLICACIÓN: Es una operación directa, que para dos números llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene un tercer número llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indica el multiplicador. 4. DIVISIÓN: Operación inversa a la multiplicación, en la cual, para dos números llamados dividendo y divisor (este último diferente de cero) , se encuentra un tercer número llamado cociente, de modo que el producto del divisor y el cociente sea el dividendo. 5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A) Llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior a su cifra de mayor orden: Número Unidad de orden inmediato superior C.A 24 102 = 100 100 – 24 = 76 327 103 = 1000 1000 - 327 = 673 945 104 = 10000 10000 – 945 = 55 01. Hallar: a + b + c + d; si: abcd 15 + 487278 = 15 abcd a) 12 b) 18 c) 20 d)21 e) 25 02. Si: pq ab+ = 136, c+ r = 15; tu de+ = 152 Hallar: S = pqrtu abcde + Dar como respuesta la suma de las cifras de S. a) 20 b) 24 c) 26 d)28 e) 32 03. Si: ( ) 2 − = − n m ba ab Calcular: nm mn + 03 CUATRO OPERACIONES a + b = S sumandos suma M: minuendo M – S = D S: sustraendo D : diferencia D→ dividendo D  d = q  d x q = D d→ divisor(0) q→ cociente a → multiplicando axb = a+a+a+...+a = P b → multiplicador b sumandos p → producto
  • 15. 111 13 a) 132 b) 117 c) 121 d) 93 e) 47 04. Si: CPU UU PP CC = + + Hallar: C + P + U a) 10 b) 15 c) 17 d) 18 e) 20 05. Si: 6 bd bac cab = − Hallar: b + c - d a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 06. Si: 5 mn cba abc = − ; además; a2 + c2 + n2 = 188. Hallar “a + c” a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 07. Hallar el C.A. del menor número de cifras distintas que se puede formar con todos los dígitos primos. Dar como respuesta la suma de cifras del C.A. a) 20 b) 30 c) 40 d) 27 e) 35 08. Si: C.A. ( ) ( )( ) c b a dbc 4 2 9 7       = Hallar: a2 + b2 + c2 a) 14 b) 49 c) 72 d) 94 e) 13 09. Hallar: (a – b + c) Si: C.A. ( ) ( ) ( ) ccc A C bbb A C aaa . . . . + + = 669 Y C.A .(a) + C.A. (b) = 5 (a  b  c) a) 3 b) 9 c) 4 d) 7 e) 6 10. Si se cumple que: C.A.   ) 8 ( ) 8 ( acb cba = C.A.   ) 12 ( ) 12 ( xyz ) c 2 )( b 2 )( a 2 ( = Calcule: x + y + z a) 12 b) 10 c) 15 d) 14 e) 13 11. Se sabe que: 7. N = ……… 184 9. N = ……… 808 Calcular la suma de las tres últimas cifras de 32 N. a) 18 b) 21 c) 23 d) 24 e) 27 12. ¿Cuál es el menor número que multiplicado por 21 da un producto cuyas cifras son todas cuatro? Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 13. Un número de 4 cifras es multiplicado por el mayor número de 3 cifras del sistema decimal, obteniéndose como producto un número que termina en 2643. Dar como respuesta la suma de las 4 cifras del número indicado. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 23 14. La suma de 4 términos de una división entera inexacta es igual a 544. Hallar el dividendo si el cociente es 12 y el resto la mitad del divisor a) 456 b) 469 c) 475 d) 421 e) 424 15. El producto de 2 números es 1599. Si se dividen entre un tercero, los cocientes son 4 y 5, obteniéndose en el primer caso un resto máximo y en el segundo un resto mínimo. ¿Cuál es la suma de los números? a) 60 b) 72 c) 80 d) 7 e) 25 01. Calcular: a + b + c si al dividir abc entre bc se obtiene 11 de cociente y 80 de resto. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 02. Un número es tal que multiplicándolo por: 2; 5; 6; 7; 8 y 11 respectivamente resultan como
  • 16. 14 producto los siguientes números, cuyas formas son: defabc y fabcde ; bcdefa ; efabcd ; cdefab ; abcdef Determinar el número sabiendo que: a + b + c + d + e + f = 27 a) 76963 b) 76023 c) 79623 d) 76923 e) 76293 03. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 3 * * * * 2 6 2 a) 11 * * * * * * b) 12 * * 5 * c) 13 * * 4 * d) 14 - * * * * e) 15 * * * 6 - - - - 04. En la siguiente división hallar la suma de las cifras del dividendo: * * 8 * * * 7 a) 27 2 * * * * * b) 37 2 * * c) 17 * * * d) 32 - * 9 * e) 24 * * 9 - - * 4 * * - - 05. Hallar la suma de (n + 1) números consecutivos, tal que al dividir el mayor entre el menor se obtiene (n - 13) de residuo. Siendo “n” el mayor posible. a) 654 b) 659 c) 663 d) 676 e) 696 1. DEFINICIÓN: Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta. A B donde : K  Z 0 K → A = BK Se lee : • A “es divisible por” B • B “es divisible de“ A • B “divide a“ A También: A “es múltiplo de” B B “es factor de” A Notación : A =  B 2. OBSERVACIONES: a) El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo. b) El cero no es divisor a la unidad de ningún número. c) Todo número es divisor de la unidad. d) Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros. e) Un número negativo puede ser múltiple de otro positivo. 3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son condiciones que consiste en analizar las cifras de un número, para determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de no serlo nos dará a conocer el residuo. 3.1. DIVISIBILIDAD POR 2 Cuando termina en cero o cifra. N =  2 abc = → c = cero o par. 04 DIVISIBILIDAD
  • 17. 111 15 3.2DIVISIBILIDAD POR 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. N =  3 abc = → a + b + c =  3 3.3DIVISIBILIDAD POR 4 Cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. N =  4 abcd = →  4 oo cd  = 3.4DIVISIBILIDAD POR 5 Cuando la última cifra es cero o cinco. N =  5 abcd = → d = 0 v 5 3.5DIVISIBILIDAD POR 6 Cuando es divisible por 2 y también por 3. N =  6 abcd = →   3 2  3.6DIVISIBILIDAD POR 7  7 h g f e d c b a = 3 1-2 -3-1 2 3 1 h + 3g + 2f – e – 3d – 2c + b + 3a =  7 3.7DIVISIBILIDAD POR 8 Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo de 8. N =  8 abcd = →  8 000 bcd  = 3.8DIVISIBILIDAD POR 9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. N =  9 abcd = → a+ b + c =  9 3.9DIVISIBILIDAD POR 11 Cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par; es 0 o múltiplo de 11. N =  11 f e d c b a = - + - + - + 01. ¿Cuántos números múltiplos de 7 hay entre 35 y 216? a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 02. Si: “6N” es 24 33 o + . ¿Qué residuo se obtiene al dividir “N” entre 11? a) 3 b) 0 c) 4 d) 2 e) 5 03. ¿Cuántos valores puede tomar ab , si: o 132 ab . 15 .... ab . 3 ab . 2 ab = + + + + a) 9 b) 10 c) 12 d) 11 e) 8 04. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema de base 6, son divisibles entre 4 pero no por 6? a) 16 b) 46 c) 30 d) 18 e) 20 05. En cierto salón de clase se observa que la quinta parte usan lentes y la novena parte son varones. ¿Cuántas mujeres hay, si el total del alumnado está comprendido entre 60 y 105? a) 85 b) 45 c) 90 d) 80 e) 95 06. El Emir Abdel Azir se hizo famoso por varios motivos, él tuvo más de 39 hijos. De hecho, el historiador Ahmed Aab afirma en uno de sus escritos que todos los hijos del Emir eran mellizos, excepto 39; todos eran trillizos, excepto 39; todos eran cuatrillizos, excepto 39. El número de hijos del Emir fue: a) 109 b) 48 c) 85 d) 78 e) 57 07. Un número de tres cifras múltiplo de 11, es tal que dividido entre 8 y 9 los residuos son 1
  • 18. 16 y 6 respectivamente. Hallar el producto de cifras de dicho número. a) 64 b) 80 c) 35 d) 48 e) 40 08. Si: o 9 abc = ; o 5 cba = ; o 13 ca = Hallar: a . b . c a) 140 b) 150 c) 210 d) 120 e) 105 09. Si el numeral b 361 a 7 es divisible entre 55, pero no entre 2. Hallar el valor de “a”. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. Al dividir: b 13 a 28 entre 36, el residuo es 4. Calcular: a.b a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 11. Si: yz 6 xy es divisible entre 875, entonces xyz es múltiplo de: a) 11 b) 13 c) 17 d) 23 e) 29 12. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras, son múltiplos de 13? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 13. ¿Cuántos pares ordenados de números enteros positivos ( m , n ) son soluciones de la ecuación: 2m + 3n = 27 a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 14. Con 241 soles se han comprado videos a 38 soles cada uno, y casetts a 17 soles cada uno. ¿Cuántos objetos se han comprado? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 36 15. Anacleto podría ahorrar S/. 20 diariamente, pero cada vez que sale con Adolfina gasta S/. 9 y cuando sale con su novia gasta S/. 6. Si todos los días sale con una de ellas y ya tiene ahorrado S/. 258. ¿Cuántos días salió con Adolfina? a) 20 b) 21 c) 9 d) 12 e) 24 16. ¿Cuál es el residuo de dividir E entre 8? 1206 6 4 2 2413 ..... 13 9 5 E + + + + = a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 17. La cantidad de dinero que dispone Carla es de S/. 205; si ella va a comprar polos, blusas y jeans. ¿Cuántos artículos podrá comprar si no le sobró ni le faltó dinero?(Se sabe además que los polos costaban S/. 15, las blusas S/. 39 y los jeans S/. 52; cada uno) a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 4 18. Un ventero recibió 6 barriles de cerveza, cuyos contenidos eran: 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros; luego se presentan dos clientes: Uno compra tres barriles y el otro dos, con la particularidad que el segundo compró la mitad de litros que compró el primero. Si no hubo que destapar ningún barril al momento de venderlos. ¿Cuál era la capacidad del barril que no se vendió? a) 15 b) 18 c) 19 d) 20 e) 31 19. Un comerciante compró casacas, pantalones y polos. Cada casaca costó 100 soles, cada pantalón 50 soles y cada polo 5 soles; si compró en total 100 prendas con 1000 soles. ¿Cuántos polos compró? a) 50 b) 10 c) 85 d) 90 e) 70 20. Si: dd ) b 3 ( dda ) 2 c ( c ) b 2 ( ! ab + =
  • 19. 111 17 Calcular: a + b + c + d a) 6 b) 10 c) 11 d) 13 e) 9 1. DEFINICIÓN Número primo o primo absoluto, es aquel que solamente tiene 2 divisores, la unidad y si mismo. El menor y único número par primo es el 2, lo únicos números consecutivos que son primos absolutos son el 2 y el 3. La siguiente es la sucesión de los números primos. 2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19; 23; 29; . . . 2. CLASIFICACIÓN 2.1. NÚMERO SIMPLE .- Un número simple es el que tiene no más de dos divisores. Son números simples la unidad y los números primos. 2.2. NÚMERO COMPUESTO.- Es el que tiene mas de dos divisores, la siguiente es la sucesión de los números compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; . . . 2.3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ, COPRIMOS O PRIMOS RELATIVOS (PESI) Dos o más números son primos entre si (PESI). Cuando no tienen otro divisor común que la unidad, aunque cada uno separadamente no sea primo. Ejemplo: a. 11; 12 y 15 b. 10; 8 y 9 2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica. Ejemplo: 144 = 24 . 32 En general: Sea: N = A . B . C Donde: A, B y C son números primos Se cumple lo siguiente: 05 NÚMEROS PRIMOS – MCD - MCM
  • 20. 18 2.4.1 CANTIDAD DE DIVISORES [D(N)] D(N) = ( + 1) ( + 1) (+1) 2.4.2 SUMA DE DIVISORES [SD(N)] SD(N) =           − −           − −           − − +  +  +  1 C 1 C . 1 B 1 B . 1 A 1 A 1 1 1 2.4.3 SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES [SID(N)] SID(N) = N SD ) N ( 2.4.4 PRODUCTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO [PD(N)] PD(N) = 2 ) N ( D N 2.4.5 INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER [(N)] Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea : “N” un número compuesto. N = A . B . C . . . . . . (D.C) Se calcula : (N) = A-1 (A-1) . B-1(B-1) . C-1(C-1) MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) I. DEFINICIÓN: Es el mayor de los divisores comunes a un grupo de números. Sean los Sus divisores Números 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 48 1,2, 3,4, 6,8, 12,16, 24,48 Los divisores comunes de 1, 2, 3, 4, 6, 12 los 3 números El mayor MCD = 12 divisor común II. PROPIEDADES: - Si 2 números son divisibles el menor es el MCD. Ejm: (8 y 24) su MCD = 8 - El MCD de un grupo de números PESI es la unidad Ejm: (3; 8 ; 25) su MCD = 1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) I. DEFINICIÓN: Es el menor de los múltiplos comunes a un grupo de números. Sean los Sus múltiplos Números 9 9,18,27,36,45, 54,63,72,81,..... 12 12,24,36,48,60,72,84,...... 18 18, 36, 54, 72, 90, ......... Los múltiplos comunes a los 36; 72; ......... 3 números El menor Múltiplo común MCM = 36 II. PROPIEDADES: - Si 2 números son divisibles el mayor es el MCM. Ejm: (8; 24) su MCM = 24 - El MCM de dos números PESI es igual a su producto. Ejm: MCM (3; 5) = 15 CÁLCULO DEL MCM Y MCD 1. Por descomposición canónica simultánea. Ejm: Calcular el MCM y MCD de 24 y 56 Cálculo del MCM 24 56 2 12 28 2 6 14 2 3 7 3 1 7 7 1 1 MCM = 23.3.7 = 168 Cálculo del MCD MCD = 23 = 8 2. Con los números descompuestos canónicamente. Ejm: Si: A = 22.3.5.7 B = 2.33.11.13 ¿Cuál es el MCD y MCM de A y B? MCD(A, B) = 2.3
  • 21. 111 19 "Se toman los factores primos comunes con los menores exponentes". MCM(A, B) = 22.33. 5.7.11.13 "Se toman todos los factores primos comunes y no comunes tomando en cuenta que los factores primos comunes lleven los mayores exponentes". 3. Por divisiones sucesivas (Algoritmo de EUCLIDES). Se utiliza en forma directa para la obtención del MCD de 2 números. Ejm: Calcular el MCD de 408 y 180 EN GENERAL: Dados los números A y B (A > B) MCD(A, B) = rn–1 NOTA: Las divisiones se pueden hacer por defecto o por exceso. 01. Si los números: n 4 ; 16 y 18 son PESI. Hallar la suma de valores de “n”. a) 18 b) 30 c) 24 d) 20 e) 25 02. ¿Cuántos divisores tiene: 10 12 4 4 N − = ? a) 48 b) 22 c) 84 d) 88 e) 46 03. El cociente de dividir “N” entre “a”, se divide entre “b” y el nuevo cociente se divide entre “c”; obteniéndose “c” como cociente final. Si todas las divisiones resultaron exactas, ¿Cuántos divisores tiene “N”, sabiendo que a, b y c son primos absolutos? a) 12 b) 8 c) 18 d) 9 e) 15 04. Con respecto al número 450, hallar: I. Número de divisores II. Número de divisores primos III. Número de divisores compuestos IV. Número de divisores no primos V. Número de divisores simples a) 4; 3; 13; 14; 4 b) 18; 4; 14; 15; 3 c) 18; 4; 14; 13; 3 d) 18; 3; 14; 15; 4 e) 18; 3; 15; 14; 05. De los divisores de 18 000 I. ¿Cuántos son divisibles por 20? II. ¿Cuántos son impares? III.¿Cuántos son múltiplos de 6, pero no de 5? a) 27; 12; 10 b) 27; 12; 8 c) 27; 10; 8 d) 36; 12; 8 e) 36; 10; 8 06. Sabiendo que: n p ) 1 p 3 .( ) 1 p .( p N + + = está descompuesto canónicamente y además posee 24 divisores. Hallar “n”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Determinar el mayor exponente de 7, contenido en 200!. a) 24 b) 40 c) 32 d) 19 e) 29 08. ¿En cuántos ceros termina 144!? a) 28 b) 33 c) 29 d) 34 e) 36 09. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras y tienen como suma de cifras un número par? a) 7 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3 10. Hallar un número que admite sólo 2 factores primos y posee 6 divisores, además la suma de éstos es 28. Dar como respuesta la suma de cifras del número. a) 19 b) 12 c) 7 d) 5 e)3 11. La suma de los números “a” y “b” es 651; el cociente entre su MCM y MCD es 108, luego: a – b, es: a) 340 b) 240 c) 560
  • 22. 20 d) 250 e) 483 12. Halla el MCD de 0 a ) a 2 ( y 0 ) a 2 ( a . Dar como respuesta la suma de las soluciones posibles. a) 30 b) 680 c) 120 d) 300 e) 20 13. ¿Cuál es el mayor número tal que al dividir 1828 y 2456 entre dicho número, se obtiene como residuos 19 y 26, respectivamente? a) 27 b) 32 c) 51 d) 76 e) 19 14. Dados 3 números A, B y C. Se sabe que el MCD(A,B) = 30 y MCD(B,C) = 198. ¿Cuál es el MCD de A, B y C? a) 46 b) 22 c) 8 d) 6 e) 40 15. Halla la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y que su suma es 288. a) 198 b) 120 c) 182 d) 124 e) 192 01. Se tiene un terreno rectangular cuyas dimensiones son: 15,75 y 17,5 km; se ha cercado con estacas a igual distancia una de otra, de tal modo que ella se encuentra comprendida entre 3 58 , 0  y 1,75 km. ¿Cuál es el número de estacas empleadas? a) 76 b) 84 c) 78 d) 92 e) 62 02. ¿Cuál es el mcm de cuatro números enteros que forman una progresión geométrica? a) El producto de los medios b) El término mayor c) El producto del primero y el cuarto d) El cociente del mayor entre el menor e) El término menor 03. Tres reglas de igual longitud, 240 cm están divididos en partes iguales numeradas en cada regla. La primera, en 300 partes; la segunda, en 200 partes, y la tercera, en 96 partes. Se hacen coincidir los extremos de las tres reglas. Determina qué otras divisiones, además de los extremos, coinciden en las 3. a) 3 coincidencias más b) 5 coincidencias más c) 12 coincidencias más d) 8 coincidencias más e) 6 coincidencias más 04. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 30 el número 396 para obtener otro que sea el mcm de 490 números enteros distintos? a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 05. Las longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locomotora son respectivamente: 250 y 425 cm. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la locomotora para que una de las ruedas de 2870 vueltas más que la otra? a) 15 928 m b) 12 841 m c) 16 344 m d) 17 425 m e) 14 543 m
  • 25. 111 23 En este capítulo, trataremos dos operaciones:   ( ) n n POTENCIACIÓN RADICACIÓN n 1 x p x p / x p 0  − =  =   I. POTENCIACIÓN: Es una operación matemática, que consiste en hallar un tercer elemento a partir de otros dos llamados base y exponente. n p : potencia; p p x x : base; x n : exponente; n A. definiciones: 1. EXPONENTE NATURAL n n veces x x x x x ; n ; x Nota: 2020 " 2020 " veces 2021 2021 2021 ... 2021 2021  ; puesto que 2020 no es un número natural. 2. EXPONENTE CERO 0 x 1 ; x 0 ; x Nota: La base x debe ser un número real distinto de cero. 0 0 No está definido 3. EXPONENTE NEGATIVO n n 1 x ; x 0 x ; n 0 x Corolario: n n n n x y y ; xy 0 y x x −     = =          I.I. TEOREMAS: 1. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES m n m n x x x ; x ; x 0 2. DIVISIÓN DE BASES IGUALES m m n n x x ; x 0 ; x x 3. POTENCIA DE POTENCIA p n m m n p x x ; x NOTA: p p n n m m Exponente de exponente Potencia de potencia x x 4. CADENA DE EXPONENTES = = = = d c m b b n a a a p x x x x y =m =n =p 5. POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN n n n x y x y ; x, y n 6. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN n n n x x ; x ; y 0 ; n y y II. RADICACIÓN: Es una operación matemática, que consiste en hallar un tercer elemento a partir de otros dos llamados radicando e índice. n n : Índice n 1 x b x : radicando b : es la raíz enésima de x 01 TEORÍA DE EXPONENTES EN R
  • 26. 24 A. DEFINICIÓN: 1. EXPONENTE FRACCIONARIO m n m n x x ; n 1 B. TEOREMAS: 1. RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN n n n x y x y ; n ; n 2 Si: n par x 0 y 0 2. RAÍZ DE UNA DIVISIÓN: n n n x x ; y y y 0 Si: n par x 0 y 0  = →    3. RAÍZ DE RAÍZ n p n m p m x x   = ; m,n,p x Si: mnp par x 0    = →  iii. RADICALES CON BASES IGUALES 1.       + + = p m n p m n ( n )p x x x x  +  + 2.       − +   = p m n p m n ( n )p x x x x  −  + LOGARITMOS EN R 1. DEFINICIÓN DE LOGARITMO Sean los números reales "a" y "b", si a 0, a 1 y b 0    , el número real "x" se denomina logaritmo del número "b" en base "a" y se denota por logab si y solo si x a b = . De la definición se tiene: a x x log b a b =  = Donde:a: base del logaritmo b: número del logaritmo x: logaritmo de b en la base a Ejemplo: 2 x 6 x log 64 x 64 2 2 2 =  =  = Luego: 2 log 64 6 = 3. COLOGARITMO Sea un número "b" real positivo, en cualquier base o real positiva diferente de 1, tenemos: a a a 1 colog b = log log b b   = −     Ejemplo: 3 3 1 colog log 81 4 81 = = 4. ANTILOGARITMO Siendo a y b números reales y positivos, donde a  1, se define el antilogaritmo de la siguiente manera: log b x b antilog x a a =  = Ejemplo: 2 2 antilog 5 32 log 32 5 =  = 4. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO Si: b 0,b 1 a 0     se cumple: x b b b log b 1 log 1 0 log b x = = = log a b b a = Ejemplo: log 2021 7 7 2021 = 5. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS Sea la base real a, tal que a 0 a 1    . 1. Sea M y N reales, tal que: MN > 0 a a a log MN log M log N = + 2. Sea M y N reales, tal que: M 0 N  a a a M log log M log N N   = −     3. Sea M real, tal que n n M 0    n a a log M nlog M = 4. Sea M real, tal que: M 0, p q    
  • 27. 111 25 p q a a p log M log M ; q 0 q =  Corolario Si se eleva a un exponente "n" y se extrae raíz enésima a la base y número del logaritmo, el valor del logaritmo no se altera. n a n n a a n log M log M log M ; M 0 = =  5. Cambio de base: c 0 c 1    Sea la base "c" donde c a c log b log b log a = Corolario: ( ) b a a 1 1 log a log b log b − = = 6. Regla de la cadena: Si: a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1 d 0         se cumple: a b c a log b log c log d log d   = b a log a .log b 1 = 7. SISTEMAS DE LOGARITMOS Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos, en consecuencia, existen infinitos sistemas de logaritmos para una base positiva y diferente de 1; los sistemas más importantes son: 1. Sistema decimal o de Briggs Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10. Notación: 10 log N logN = Se lee: Logaritmo de "N" En general: , (característica) (mantisa) Parte Parte LogN entera decimal   = 2. Sistema hiperbólico o Neperiano Es aquel sistema cuya base es el número trascendental: 1 1 1 1 e e 2,7182... 0! 1! 2! 3! = + + + + →  Notación: e log N LnN = Teorema: Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la característica más uno. Es decir: ( ) de # cifras N característica 1 = + 8. ECUACIÓN EXPONENCIAL Sea: a = b x = log b x a  Ejemplo: Calcula el valor de "x" en: 6 = 4 x 6 6 6 x 6 Tomando log , a ambos miembros Se tiene: log 6 = log 4 x=log 4  9. ECUACIÓN LOGARÍTMICA Sea: f(x) > 0 g(x) > 0, además: a 0 a 1    . Entonces (x) (x) (x) (x) a a log f log g f = g =  Ejemplo: Calcula el valor de «x» en: 7 7 log (2x 5) log 3 − = I. Restricción: 5 2x 5 0 x 2 −    II. 7 7 log (2x 5) log 3 2x 5 3 donde : x 4 − =  − = = 10. INECUACIÓN EXPONENCIAL I. log a log b; si c>1 a b log a log b; si 0<c<1 x c c x x c c          II. log a log b; si c>1 a b log a log b; si 0<c<1 x c c x x c c          11. INECUACIÓN LOGARÍTMICA Si a>1; f > g > 0 log f log g Si 0<a<1; 0 < f < g (x) (x) a (x) a (x) (x) (x)       FUNCIÓN EXPONENCIAL Dado un número real a, tal que a 0 a 1    ; se denomina función exponencial de base a, a la función que asocia a cada x real el número ax, y = f(x) = ax Caso I Si la gráfica tiene la forma siguiente:
  • 28. 26 Propiedades 1) f(0) = a0 = 1, entonces (0; 1) pertenece a la función. 2) Si r < s entonces ar < as, ó si s > r entonces as > ar. 3) Si r < 0 entonces ar < 1. 4) Si m < 0 entonces am < 1. Caso II Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente: 0 r s m 1 y x y=a (a>1) ar as x Es una función creciente am Propiedades 1) f(0) = a0 = 1, entonces (0; 1) pertenece a la función. 2) Si r < s entonces ar > as, ó si s > r entonces as < ar. 3) Si r < s entonces ar > 1. 4) Si m > s entonces am < 1. Funciones Logarítmicas Dado un número real "b" (b 0 b 1)    denominamos función logarítmica de base b a la función de f de R+ en qué asocia a cada x el número de logbx. Observaciones a) Tenemos: b y y log x x b =  = De donde concluimos que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de la otra. b) Para la función ( ) b x y f log x = = Dominio Df 0, x 0 = = +    Rango b f y log x = =  =  Caso I Si b > 1, la gráfica tiene la forma siguiente: log m log r b m r b b log s es una función creciente y=log x b s 1 x y 0 Propiedades 1. ( ) b 1 f log 1 0 = = , entonces, (1;0) pertenece a la función. 2. Si: b b r s entonces log r log s   3. Si: b r 1 entonces log r 0   4. Si: b 0 m 1 entonces log m 0    Caso II Si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma siguiente: m y x log m b es una función decreciente 1 r log r log s b b s log x b y= 0 Propiedades 1. ( ) b 1 f log 1 0 = = , entonces, (1;0) pertenece a la función. 2. Si: r < s entonces b b log r log s  . 3. Si: r > 1 entonces b log r 0  . 4. Si: 0 < m < 1 entonces b log m 0  . 01. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 2 3 2 1 1 1 1 4 3 4 41 − − −           + − =                 II. 8Veces 2.2.2....2 256 = III. 8 8 Veces 5 5 5 ... 5 5 + + + + = a) VVF b) VFV c) VVF d) FVF e) FFV 02. Determina el exponente final de "x", luego de simplificar la siguiente expresión: − − − = 4 6 6 2022 3 ( 2) 2 ( 1) A x .x .x .x
  • 29. 111 27 a) 64 b) 82 c) 27 d) 145 e) 8 03. Sean: 1 1 1 3 2 27 25 1 A 2 ; B 125   −      = =     Determina el valor de: A L B 1 = − a) 5 b) 6 c) 9 d) 8 e) 4 04. Si se tiene la expresión: ( ) ( ) 2 5 x 3 5 24 "x"Veces 4 1 4 64 4.4.4...4 4 .2           =                     Determina el valor de: L = x + 1 a) 4 b) 5 c) 8 d) 6 e) 3 05. Si se tiene la expresión: ( ) x 4 3 5 5 2 3 b b b b + = Determina el valor de: L = x2 + x + 1 a) 31 b) 3 c) 7 d) 21 e) 43 06. Determina el valor de: 27 8 J log 9 log 16 = + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Determina el valor de:   +   =     log 4 2 log 2 log 3 5 8 2022 5 8 L log 2022 a) 1 b) 4 c) 9 d) 25 e) 36 08. Si: 2 3 n 36 3 3 3 3 3 log 5 log 5 log 5 ... log 5 log 5 + + + + = Determina el valor de: 2 J log n = a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 09. Determinar el valor de: 81 8 4 5 L log 8.log 4.log 5.log 3 = a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/3 e) 1/9 10. Resuelve la ecuación: x log (7x 6) 2 − = a)   1 b)   3 c)   1;6 d)   6 e)   1;3 11. Para medir las grandes distancias en el universo, entre planetas, estrellas, etc., en vez de metros, kilómetros, etc. Se utiliza "año luz" (distancia que recorre la luz en un año que equivale aproximadamente a 9,46.1015 m). Si una de las estrellas más cercanas a nosotros tiene una distancia aproximada de 3 años luz. Determina la distancia en kilómetros. a) 2,838.1013 km b) 28,38.1013 km c) 283,8.1013 km d) 2838.1013 km e) 23,88.1013 km 12. Si: x 2x 7 x x ; x 1 =  Determina el valor de: 2x L 8x = a) 64 b) 25 c) 36 d) 81 e) 98 13. Si el exponente final de "j" en: 10 10 10 10 3 5 7 L j j j j ... = Presenta la expresión irreductible: a b donde "a" representa la edad de Fernanda y "b" la edad de su abuela Ana. Determine la suma de ambas edades.
  • 30. 28 a) 92 b) 76 c) 84 d) 98 e) 87 14. Sea: m n p 4 m n n p m p + + = + + + Determina el valor de: − − + + − +     =       1 n p m n 5 n p m n m p m p 2022 . 2022 M 2022 a) 2022 b) 20222 c) 2022 d) 5 2022 e) 1 15. Si se tiene: a a 1 2 b 1 a 2 b 27 − − =  = dónde:   a;b +  Se sabe que la edad de Alejandro es "36a" y la edad de Nicolas es "60b". Determina la suma de ambas edades. a) 18 b) 24 c) 42 d) 54 e) 38 16. Si "x" cumple con la ecuación: 4 24 logx 5 10 x x     =     donde: x > 100. Determina el valor de: 4 2 J antilog (logx) colog (logx) = + a) 254 b) 126 c) 142 d) 223 e) 322 17. Si: 6 12 log 15 m y log 18 n = = Determina 25 log 24 en términos de "m" y "n". a) n 5 4(2n m mn 1) + − − − b) n 5 3(2n m mn 1) + − − − c) n 5 5(2n m mn 1) − − − − d) n 5 2(2n m mn 1) − − − − e) n 1 5(2n m mn 1) + − − − 18. Sea: m n a m n − = + n p b n p − = + p m c m p − = + donde: m; n; p son números reales positivos y diferentes. Determina el valor de: 2m 2n 2p m n n p m p (a 1)(b 1)(c 1) log (a 1) log (b 1) log (c 1) J log (1 a)(1 b)(1 c)             + + +       + + + + + + + + = − − − a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3 19. Sabiendo que: 2 1 x 2 2 +   =     1 1 8 7 2 y z y .z 2 = Determina el valor de: 1 2 2 2 zy(x ) L 2 − = a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) 16 20. Si se cumple: 2 3 4 5 x x x x x .... ln(x 1) 2 3 4 5 − + − + − = + para: 1 x 1 −   Determina el valor de: 2 1 1 1 1 1 3 5 7 ... antilog 3 2 3 5 7 2 2 2 2 2 3 4 2 e J log 2 colog 256 − − − − + + + + +       =     −       a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 01. Si: x 2 3 18 + = Determina el valor de: x x 3 x L 3 .9   =     a) 2 b) 4 c) 16 d) 32 e) 64 02. Determina un valor aproximado de:
  • 31. 111 29 3 3 3 16 A 16 16 = a) 8 b) 7 c) 0 d) 2 e) 4 03. Reduce: 4 9 2 16 2 25 2 L 2 + + = a) 9 b) 12 c) 25 d) 1 e) 2 04. Si log 2 = a y log 3 = b. Determina el logaritmo de 5 en base 6 en términos de "a" y "b". a) 1 b) a b a b + − c) a b ab + d) 1 a a b − + e) a 1 a b − + 05. Determina el valor de "x", si: 1 3log(2x) 2logx log 4   + =     a) 1/2 b) 1 c) -5 d) 2 e) -1/2 Polinomios Definición: Se denominará polinomio a toda expresión algebraica racional entera respecto de toda variable que figura en dicha expresión. Los polinomios pueden clasificarse como: Monomio: Polinomio de un término. Binomio: Polinomio de dos términos. Trinomio: Polinomio de tres términos. Para ‘‘n’’ términos, se denominará polinomio de ‘‘n’’ términos Polinomio de una variable P(x) = a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + ... + an–1 x + an 0 1 2 3 n a ,a ,a ,a ,............,a → Coeficientes x → Variable 0 a 0  → Coeficiente Principal n a → Término Independiente n +  → Grado Ejemplo: Polinomio Mónico o Normalizado (Unitario) El polinomio mónico, es un polinomio de coeficientes enteros y de una sola variable, cuyo coeficiente principal es 1. 1. Valor numérico de una Expresión Matemática: Consiste en sustituir las variables por números o constantes efectuando las operaciones indicadas, el valor resultante recibe el nombre de valor numérico de la expresión matemática. 2. Cambio de Variable: Consiste en reemplazar una o más variables de la expresión matemática por una nueva variable o nuevas variables. 3. GRADO DE UN POLINOMIO Es una característica de todo polinomio. 02 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
  • 32. 30 A) Grado Relativo (G.R.) Es con respecto a cada variable. B) Grado Absoluto (G.A.) También llamado "GRADO"; con respecto al polinomio. • En un polinomio de una sola variable el grado absoluto y relativo son iguales. OPERACIONES CON GRADOS Dados los polinomios P(x) de grado ‘‘m’’ y Q(x) de grado ‘‘n’’, siendo m > n. Operación Procedimiento Grado Resultante Adición: (x) Q (x) P + m Sustracción: m Multiplicación: m + n División: (x) Q (x) P  m − n Potenciación:  k (x) P mk Radicación: k (x) P k m − (x) P (x) Q (x) Q (x) P . En la división de polinomios, se restan los grados; el grado del polinomio numerador menos el grado del polinomio denominador. En la adición o sustracción de polinomios se conserva el grado del polinomio de mayor grado. En la multiplicación de polinomios se suman los grados de los factores. Multiplicamos el grado del polinomio base por el exponente. Dividimos el grado del polinomio radicando entre el índice del radical. 4. POLINOMIOS ESPECIALES O IMPORTANTES 4.1 Polinomio homogéneo Es aquel que posee, sus términos de igual grado, mínimo debe tener dos variables. Teorema:   =   (x;y) n (kx;ky) (x;y) Si P es un polinomio homogéneo de grado n 1 se cumple : P k P ; k 4.2 Polinomio ordenado Es aquel polinomio donde los exponentes de la variable en referencia van aumentando o disminuyendo. 4.3 Polinomio completo Es aquel que presenta TODOS los exponentes de la variable, desde el cero hasta el valor máximo. NOTA: N términos G.A. 1  = + 4.4 Polinomios idénticos Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor que se asigne a sus variables. Es decir: P Q (x) (x) VN VN         = Notación: (x) (x) P Q  Teorema: Dos o más polinomios del mismo grado son idénticos, si y solo si sus términos semejantes poseen los mismos coeficientes. 4.5 Polinomio idénticamente nulo Un polinomio es idénticamente nulo si sus valores numéricos para cualquier valor o valores asignados a las variables resultan ser siempre cero. Notación: (x;y) P 0  Teorema: Un polinomio de la forma: n n 1 n 2 (x) 0 1 2 n P a x a x a x ... a − − = + + + es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son ceros, es decir: 0 1 2 n a a a ... a 0 = = = = = 4.6 Polinomio constante Es el polinomio de una o más variables, que tiene la siguiente forma: (x) P k ; k {0} =  − . Definición: El grado de un polinomio constante es cero. Teorema: Dado el polinomio constante (x) P k = , el valor numérico de P para cualquier valor de "x", siempre es k. 01. Dado el polinomio: 8 5 n n 2 n 1 (x) P nx 3x 5x 2n − − − = + − + Determina la suma de coeficientes de P(x) a) 4 b) 7 c) 6 d) 17 e) 3 02. Sea el polinomio: 2 2 a 6b 4a 4 b 9 m n (x;y) P 3x y 5x y x y − + = + − Si (x,y) P reduce a un monomio. Determina el valor de: n L a b m = + +
  • 33. 111 31 a) 2 b) 1 c) 0 d) 4 e) ½ 03. Si: (x) (x) (x 2) (x 1) (x 1) P 3x 1 Q 4x 3 H P Q − + − = + = + = + Determina el valor de: H(0) a) 16 b) 15 c) 13 d) 17 e) 14 04. Sean: (x 2) (Q x) (x) P 2x 3 y P 2x 1 + + = + = + Determina el valor de: (x) (2019) Q .Q a) 0 b) 2019 c) 2019x d) 1 e) x 05. Con respecto al polinomio: 5 4 (x) P 2(2x 3) 3(x 2) 2x 3 = − + − + + Determina cuántas proposiciones son correctas: I. Es de quinto grado. II. Su coeficiente principal es 2. III. El término independiente es 3. IV. La suma de sus coeficientes es 10. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 06. Relaciona cada polinomio del primer bloque con su respectivo grado que figura en el bloque posterior. 8 6 3 2 (x ;y) 2 3 6 (x,y) 2 3 4 3 2 (x) 6 4 5 6 5 7 9 (x;y) P 7x y z E.17 Q 2x (x y ) 5x L.11 R (x 1) (x 2) (x 3) I.6 S x y x y z x yz T.16 A.10 = − = − − = − − − = − + a) PE, QI, RT, SL b) PA, QT, RL, SE c) PI, QT, RL, SE d) PA, QI, RT, SL e) PA, QI, RT, SE 07. Dado el polinomio: n 3 m 2 n n 2 m 3 nm (x,y) P x y z x y z + − + − = + Si: (x) (y) (P) G.R G.R 3 y G.A 13 − = = Determina el valor de: E = 2n – m a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 08. Sea: m n m n m 3 2 6 m (x;y) P mx (xy ) x y − + = + + un polinomio homogéneo. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. m + n = – 1 II. 2m – n = 5 III. 5m + 3n = 7 a) VVV b) VFV c) FVF d) FVV e) VFF 09. Determina un valor de "m" si el polinomio: 2n n n 15 (n 1) 1 3n 3 (x) 2 m m 3 P 7 x x x ... x − − + − − + = + + + + + es completo y ordenado de (4nn) términos a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 10. Si tenemos: 3 2 (x 1) (x 1) Q x 7x x 1 P (x a)(x b)(x c) 7x + − = + + − = − − − + tal que (x) (x) Q P  . Determina el valor de: abc. a) 17 b) -17 c) 13 d) -13 e) 39 11. Si: 2n 3 n 2 n (x) Q (n 2)x ax x n − − = − + − − Se reduce a un polinomio lineal y mónico, además (x ) 0 0 Q = . Determina el valor de: 2 0 x 1 + a) 17 b) 2 c) 5 d) 10 e) 26 12. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. = − − −  (x) P 2(x 2022) (2x ) es un polinomio constante
  • 34. 32 II. = − − 3 2 6 2 (x;y ) P x (x y ) 2022xy es un polinomio homogéneo III. 2 10 4 5 (2x) P 8x x 6x 32x = + − + es un polinomio Mónico. IV. 2 2 3 (x) P x 2x 1 a a a .... = + + + + + + es un polinomio completo y ordenado. a) FVVF b) VVVF c) VFVF d) VVVV e) VVFV 13. Dado el polinomio: 2 n 3 n 1 (x) 2 3 7 n 17 2n 17 P (7x 3) (2x 1) (n x 9) (2x 3) (5x 7n)(5x 1) − + − − = − − + − + + − − Tiene como término independiente 126. Determina el valor de "n". a) 32 b) 20 c) 16 d) 18 e) 12 14. Sabiendo que el grado de: 3 2 (x) (x) P Q        es igual a 15, además el grado de: 4 3 3 (x) (x) P Q   +     es igual a 12, si se sabe que el grado de P(x) es menor que 10. Determina el grado de: 5 6 (x) (x) (x) (x) 6 (x) (x) P .Q P .Q P Q   −          a) 2 b) 5 c) 3 d) 7 e) 8 15. Si (x) P ax b , calcule (P P ) (B) nparéntesis ( P ) P Siendo n n b(a 1) B a (a 1) a) 0 b) 1 c) n 1 a 1 a 1 d) 4 e) n 1 b 1 b 1 16. Dada la identidad: 3 2 3 2x 5 a b(x 3) c(x 3) d(x 3) para todo x , determina el valor de E = (a + b)(c + d) a) 121 b) 360 c) 1562 d) 3752 e) 4772 17. Dada las expresiones algebraicas (x) (x) 1 1 f 1 y g 1 x x  +  − Determina el equivalente de ( ) g(x) f en términos de (x) f . a) (x) (x) f 3 f 2 − + b) (x) (x) f 3 f 2 − − c) (x) (x) f 2 f 3 + − d) (x) (x) f 2 f 3 − − e) (x) (x) f 2 f 3 + + 18. Si P(x) un polinomio definido en tal que: (x) (y) (u) (w) (xu yw) P P P P P −     + + =     para todo x; y;u; w ∈ . Determina un valor de: (2018) ( 2018) P P − + a) 2018 b) -2018 c) 1 d) ¼ e) ½ 19. Si: 2 (x 1) f x 4x 17 − = − + Simplifica la siguiente expresión: (f 2) (f ) (x) (x) (x) f f f + − a) 4 b) x c) x + 1 d) 1 e) x/2 20. Sea (x) P un polinomio definido en , que cumple: (P P ) (x) (y) P x y + = + para todo x; y ∈ . Determina la cantidad de posibles valores de P(2019) a) 0 b) 2019 c) 1 d) 3 e) 2 01. Sean P y Q dos polinomios tal que: x x P P Q y x P Q 8x 7 Determina el equivalente de x x P Q a) 6x+4 b) 2x+1 c) 3x+2
  • 35. 111 33 d) x+4 e) 6x+1 02. Dado el polinomio: a 2 b 5 a 3 b a 1 b 6 (x;y) P x y 22x y x y − + − − + = + + GR(x) = 4 y GA(P) = 17 Determina el valor de (b - a ) a) -1 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 03. Determina el valor de a y b de la identidad: 4a 7 b 8 b 7 a 8 b x b y a x a y a) 1 y 3 b) 1 1 y 2 3 c) 1 1 y 4 2 d) 1 y 1/4 e) 0 y 1 04. Relaciona, según corresponda: A. Polinomio homogéneo B. Polinomio completo C. Polinomio constante 1) 7 7 (x) P x y 7 2) 2 3 (x) P x 7 x x 3) 3 3 6 15 12 (2x;y ) P 8x y y 2xy 4) 2 2 (x) P x 7 x a) A3 - B2 - C4 b) A4 - B3 - C2 c) A2 - B3 - C4 d) A4 - B2 - C3 e) A3 - B4 - C2 05. Si: n n n 2 2 n-2 2 n-1 (x) P (2 1) (2 2)x (2 3)x ... es completo y ordenado. Determina su grado. a) 253 b) 254 c) 256 d) 265 e) 128 Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, los cuales se pueden obtener por simple inspección y directamente, también conocidas como identidades algebraicas. Los principales productos notables son: 01. Trinomio cuadrado perfecto (tcp) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ....... TCP (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ....... TCP Nota: (a – b)2n = (b – a)2n ; Teorema: = + +  = 2 (x) 2 Todo trinomio de la forma : P ax bx c ; a 0 es cuadrado perfecto si y sólo si: b 4ac COROLARIO: IDENTIDADES DE LEGENDRE (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2 ) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2 ) 02. DIFERENCIA DE CUADRADOS ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 a b a – b a – b ; a b b – a b – a + = + = En general: (an + bn )(an – bn ) = a2n – b2n 03. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ac + + = + + + + + 04. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ....... Identidad de Cauchy (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) ....... Identidad de Cauchy (a + b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2 ) (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(b2 + 3a2 ) (a + b)6 – (a – b)6 = 4ab(a2 + 3b2 )(b2 + 3a2 ) 05. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS (a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3 06. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO (a+b+c)3 =a3 +b3 +c3 +3(a+b)(a+c)(b+c) ( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c ab ca bc – abc + + = + + + + + + + ( ) ( )( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 3 3 2 6 a b c a b c a b c – a b c abc + + = + + + + + + + 03 PRODUCTOS NOTABLES
  • 36. 34 07. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO en COMÚN (REGLAS DE STEVEN) (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab (x+a)(x+b)(x+c)=x3 +(a+b+c)x2 +(ab+ca+bc)x +abc 08. IDENTIDAD TRINÓMICA O DE ARGAN’D (a2 +a+1)(a2 –a+1)=a4 +a2 +1 (a2 +ab+b2 )(a2 –ab+b2 )=a4 +a2 b2 +b4 En general: (a2n +an bm +b2m )(a2n –an bm +b2m ) = a4n +a2n b2m +b4m 09. IDENTIDAD DE GAUSS ( )( ) 3 3 3 2 2 2 3 a b c – abc a b c a b c – ab – bc – ac + + = + + + + 10. IDENTIDADES AUXILIARES a2 +b2 +c2 –ab–bc–ca=[(a–b)2 +(a–c)2 +(b–c)2 ] (a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca) (a–b)3 +(b–c)3 +(c–a)3 =3(a–b)(b–c)(c–a) 11. IDENTIDADES CONDICIONALES I. Si: a + b + c = 0 Entonces se cumple las siguientes relaciones: a3 +b3 +c3 =3abc a2 +b2 +c2 = –2(ab+bc+ca) a4 +b4 +c4 =2[(ab)2 +(bc)2 +(ca)2 ] a5 +b5 +c5 = –5abc(ab+ca+bc) 2 2 2 3 3 3 5 5 5 a b c a b c a b c 2 3 5    + + + + + +    =       2 2 2 5 5 5 7 7 7 a b c a b c a b c 2 5 7    + + + + + + =          II. Si: a2 +b2 +c2 = ab + ac + bc / a; b; c  Entonces se cumple: a = b = c III. Si: a3 +b3 +c3 = 3abc Entonces se cumple: a=b=c a + b + c = 0   a;b;c  IV. Si: a2 +b2 +c2 + ….. +n2 =0 Entonces se cumple: a=b=c= …..=n=0 En general: Si 2 2 2 2 a b c ..... n 0     + + + + = Entonces se cumple: a=b=c= …..=n=0 BINOMIO DE NEWTON FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 1. NOTACIÓN:  n! ó n ; n Se lee “factorial de n” o “n factorial" 2. DEFINICIÓN: =   =           1 si n 1 n! 1 2 3 ... n; si n n 2 3. POR CONVENCIÓN: 0! 1 = 4. PROPIEDADES: = − = → = n! n(n 1)! ; si a! b! a b Semifactorial (n!!)   =   = =    =   1 3 5....n si n impar n n!! 2 4 6....n si n par Ojo n!! (n!)!  NÚMERO COMBINATORIO El número combinatorio se representa así: n n k k n;k C ; C ; C 1. DEFINICIÓN: = − n k n! C k!(n k )! +      0 ;0 k n ;n,k n k Consecuencia: = n 0 C 1 = n n C 1 = n 1 C n 2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS: Suma de números combinatorios: + + + + = n n n 1 k k 1 k 1 C C C Ejemplo: + = 5 5 6 2 1 2 C C C Combinaciones complementarias: − = m m k m k C C Ejemplo: = 7 7 3 4 C C Igualdad de números combinatorios: Si: =   =    + =   n n p k p k C C p k n DEGRADACIÓN DE ÍNDICES 1. Ambos Índices: − − = n n 1 r 1 r n C C r r 0  2. Solo Índice Inferior: − − + = n n r 1 r n r 1 C C r r 0  3. Solo Índice Superior: − =  − n n 1 r r n C C ; n r n r
  • 37. 111 35 DESARROLLO DEL BINOMIO de newton  n (a b) Caso 1: Si “n” es un número natural. − −  =  +  n n n n n 1 n n 2 2 n n 0 1 2 n (a b) C a C a b C a b C b Término general: En: =   n ( x,y ) A ( x y) ; n − + → =  + = n n k k k 1 k t C x ( y ) ; k 1 lugar buscado de izquierda a derecha − +  =  + = n k n k k 1 k t C x ( y ) ; k 1 lugar buscado de derecha a izquierda PROPIEDADES: En general: p q n (x;y) A (ax by ) = + 1) El número de términos de su desarrollo es "n+1" 2) La suma de sus coeficientes de su desarrollo es: n x 1; y 1 coef (a b) = = = +  3) La suma de exponentes de su desarrollo es: n(n 1) exp onentes (p q) 2 + = +  Caso particular: = +  n ( x,y ) A ( x y) ; n a) El desarrollo es un polinomio homogéneo, completo y ordenado de grado “n”. b) El número de términos de su desarrollo es “n + 1”. c) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales. d) La suma de sus coeficientes de su desarrollo es 2n. e) La suma de exponentes de su desarrollo es:  = + exponentes (n)(n 1) Caso 2: Si “n” es un número real (no natural) COEFICIENTE BINOMIAL   − −  − +    =      n n(n 1)(n 2) (n k 1) n k k! k n k n;k n 0 0 k n k 0 n Nota : C k +   +           Forma General del Desarrollo: Buscamos el desarrollo de: +  n (1 x ) ; " n" no natural.             + = + + +             n 2 n n n (1 x) x x 0 1 2 1. Término general k k 1 n t x k +   =     ; donde “n” es cualquier número racional. 2. Número de términos En la expansión de (1 – x)n, cuando “n” no es natural, el número de términos es ilimitado. 01. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: − = − + − − = + − = − 2 2 2 2 2 2 4 I. (x 9) x 81 II. (x 5) (x 5) 20x III. (x 10)(x 10) x 10 a) VVF b) VFV c) FFV d) FVV e) FVF 02. Si se cumple: + = = 2 2 a b 40 y ab 12 Determina un valor de: L = a + b a) 2 b) -6 c) 4 d) -7 e) 8 03. Si se cumple que: = + x 3 8 Determina el valor de:
  • 38. 36 = + 1 A x x a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 04. Si tenemos: + − = 2 x 3x 4 0 Determina el valor de: = + + + + A x(x 1)(x 2)(x 3) 12 a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 05. Si se cumple que: =  = −  − 3 3 x 64; x 4 y 27 y 3 Determina el valor de: = + + − + 2 2 N (x 4x 20)(y 3y 15) a) 21 b) 24 c) 18 d) 36 e) 38 06. Reduce: + + + + = + + + + (x 1)! (x 2)! x 1 A 3 (x 3)! x 2 a) 1 b) 2 c) x + 3 d) 4 e) + 1 x 2 07. Simplifica la expresión:   + + = +   +   2 7 7 8 2020 4 5 6 2020 8 8 2 3 C C C A C C C a) 1 b) 4 c) 25 d) 36 e) 64 08. Dado el binomio: ( ) = − 8 4 3 (x;y) P 2022x 2020y Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La suma de exponentes de su desarrollo es 252. II. La suma de sus coeficientes es 256. III. El término central ocupa el lugar 5. a) VVV b) FVV c) FFV d) VVF e) FFF 09. En el desarrollo de: ( ) = + 12 4 2 (x;y) P x y Determina el grado del término de lugar seis. a) 26 b) 24 c) 18 d) 36 e) 38 10. Determina el lugar del término independiente en el desarrollo de:   = +     8 5 (x; 5 2022 P x x a) 4 b) 6 c) 7 d) 5 e) 8 11. Si + = − + + = − + + = − + 2 2 2 2 2 2 x y 4xy 14 x z 4xz 16 z y 4zy 18 Determina el valor del área del cuadrado. a) 48 b) 24 c) 56 d) 64 e) 38 12. Si se cumple que: + + =   =   + + =  6 6 6 a b c 0 abc 2 a b c 20 Determina el valor de: + + = + + + 3 3 3 3 3 3 (ab) (ac) (bc) A a b c 2 a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 8 13. Si:    a;b , tal que: + = + − 2 2 a 2b 2(ab a 1) Determina el valor de: + + = + + − − 2 2 4 2 2 2 4 2 a 3b a 14b J 2 a 3b a 14b
  • 39. 111 37 a) 12 b) 24 c) 38 d) 22 e) 36 14. Determina el coeficiente de x11 en el desarrollo de:   = +     12 3 (x; 2 1 P x x a) 524 b) 456 c) 825 d) 635 e) 792 15. Sea:     = +     40 1 4 (x; 1 2 1 P x x Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El número de términos racionales es 11. II. El número de términos irracionales es 30. III. El número de términos enteros es 4. IV. El número de términos fraccionarios es 7. a) VVVV b) VFVV c) VFFV d) FVFV e) FFVV 16. Si se tiene que: ( ) + + + + = + + − 12 12 12 6 6 6 18 18 18 6 6 6 3(a b c ) a b c 2(a b c ) 6a b c además: + + = 12 12 12 (ab) (ac) (bc) 25 Determina el valor de: + + = 24 24 24 a b c A 10 a) 1 b) 6 c) 7 d) 4 e) 5 17. En la expansión del trinomio: = + +  3 2 n (x,y,z) P (x xy z ) ; n se tiene un término de la forma: + 11 2 n 4 tx y z Determina el valor de: = t L n a) 1430 b) 1850 c) 1240 d) 1580 e) 1620 18. Si Luciana tiene "n+8" soles, donde "n" representa el coeficiente del término que contiene ax2 en el desarrollo de: − = − 1 2 (x) P (1 4x) Si gasta n 3 soles. ¿Cuánto le queda? a) s/ 12 b) s/ 14 c) s/ 18 d) s/ 15 e) s/ 17 19. Si: − = − + − = − + − = − + 2 2 2 2 2 2 x y x xy y y z y yz z z x z xz x Determina el valor de: − + + + + =   + +   9 9 9 6 6 5 3 3 3 3 4(x y z )(x y z ) A (xyz) (xy) (xz) (yz) a) -6 b) -12 c) 12 d) 24 e) -24 20. Si el coeficiente máximo del desarrollo de:   = +     10 (x) 1 2 P x 3 3 Presenta la forma: +       2a 1 2 40 2 a a Determina el valor de: = + + 2 A a a 2 a) 14 b) 32 c) 22 d) 44 e) 74 01. Si se cumple que: a + b = 4 a3 + b3 = 12 Determina el valor de: L = 6ab a) 52 b) 13 c) 32 d) 42 e) 26 02. Reduce: + − − = 4 4 ( 7 1) ( 7 1) A 4 7 a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) 16 03. Si: {x; y; z}  , tal que:
  • 40. 38 + − + − = − 2 2 2 x (y 7) (z 63) 12x 36 Determina el valor de: = xyz L 2 a) 63 b) 72 c) 81 d) 58 e) 45 04. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El número de términos de su desarrollo de: ( ) = + 24 32 (x) P x 2019 es 25 II. La suma de coeficientes de su desarrollo de: = − 7 (x;y) F (5x 3y) es 128 III. El número de términos de su desarrollo de: = + + 5 (x;y;z) Q (2x 3y 4z) es 6 a) FFF b) VVV c) VVF d) FFV e) VFV 05. Determina el coeficiente de x78 en el desarrollo de:   = +     30 3 (x) 1 P x x a) 4020 b) 3040 c) 3050 d) 4060 e) 4050 1. DEFINICIÓN Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados no nulos llamados dividendo y divisor, respectivamente, efectuar la división consiste en hallar otros dos únicos polinomios llamados cociente q(x) y residuo R(x), de tal manera que cumplan la siguiente identidad. D(x) = d(x) . q(x) + R(x) Identidad fundamental de la división de Euclides 2. CLASES DE DIVISIÓN A.DIVISIÓN EXACTA: Es división exacta R(x) = 0; D(x) = d(x) . q(x) B.DIVISIÓN INEXACTA: Es división inexacta R(x)  0; D(x) = d(x) . q(x) + R(x) Observación: Si R(x) = 0, tenemos: D(x)=d(x) . q(x) , luego podemos decir: · d(x) es divisor de D(x) · d(x) es factor de D(x) · D(x) es divisible por d(x) 3. PROPIEDADES DE GRADO A. o[q(x)] = o[D(x)] – o[d(x)] B. Si R(x) es distinto del nulo, entonces: Máximo o[R(x)] = o[d(x)] – 1 (1) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) D d q R IMPORTANTE : D d q R = + = + 4. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS A.MÉTODO DE GUILLERMO HORNER Es un método general para dividir polinomios de cualquier grado. Sea la división: 4 3 2 0 1 2 3 4 2 0 1 2 a x a x a x a x a b x b x b + + + + + + Dónde: a0  0 y b0  0 04 DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
  • 41. 111 39 a0 a1 a2 a3 a4 b0 -b1 -b2 q0 q1 q2 r0 r1 Coeficientes del D(x) Coeficientes del Q(x) Coeficientes del R(x) Coeficientes del d (x) q(x) = q0 x2 + q1 x + q2 ; R(x) = r0 x + r1 B.REGLA DE PAOLO RUFFINI Es un caso particular del Método de Horner, se aplica cuando el divisor es de primer grado o transformable a esta forma. Sea la división: 4 3 2 0 1 2 3 4 a x a x a x a x a Ax B + + + + + Dónde: a0  0 y A  0. Se presentan dos casos: Caso I: Cuando A = 1 a0 a1 a2 a3 a4 x+B=0 x=-B q0 q1 q2 q3 R Coeficientes del D(x) Coeficientes del Q(x) Resto q(x) = q0 x3 + q1 x2 + q2 x + q3 R(x) = R Caso II: Cuando A  1 a0 a1 a2 a3 a4 Ax+B=0 b1 b2 b3 R Coeficientes del D(x) Coeficientes del Q (x) Resto B x A = − a0 q1 q2 q3 q0 A  q(x) = q0 x3 + q1 x2 + q2 x + q3 R(x) = R C. TEOREMA DEL RESTO Se utiliza para hallar el resto en una división de polinomios, sin efectuarla, es decir, de una manera directa. (x) (x) (x) b a "En toda división de la forma P (ax b); a 0, el residuo es igual al valor numérico de P cuando x toma el valor de b " a P Es decir : Resto P ax b Enunciado:   −      +    −      = + COCIENTES NOTABLES Denominaremos cocientes notables (C.N.) a los cocientes que se obtienen en forma directa, es decir, sin necesidad de efectuar la operación de división. Las divisiones que originan a estos cocientes notables son de la forma: n m b a     Número de Términos del C.N. m n a b = = Condición necesaria Dónde: N ; N 2 +   Mediante la combinación de los signos se presentarán 4 casos: n n x y x y − − n 1 n 2 n 3 2 n 1 x x y x y ... y − − − − + + + + Nulo   n  División indicada Residuo n n x y x y − + n 1 n 2 n 3 2 n 1 n 1 n 2 n 3 2 n 1 x x y x y ... y x x y x y ... y − − − − − − − − − + − − − + − + n n x y x y + + n n x y x y + − n 1 n 2 n 3 2 n 1 x x y x y ... y − − − − + + + + n 1 n 2 n 3 2 n 1 n 1 n 2 n 3 2 n 1 x x y x y ... y x x y x y ... y − − − − − − − − − + − + − + − − Nulo; si n par -2y; si n impar n Nulo; si n impar 2y; si n par n 2y; n   n  Teorema: n n x y x y − − → − − = = n k k 1 k t x y ; k 1;2;3;...n  − − = k 1 n k k t x y Dado: , un término cualesquiera es igual: También: k t Importante: Para aplicar la fórmula, la división debe tener la forma de divisiones notables. Ejemplo: Si la división: 28 42 2 3 x y x y − − , genera un cociente notable. Determina el 6 t Resolución:
  • 42. 40 x28 y42 x2 y3 14 14 2 14 6 3 6 1 16 15 6 6 t (x ) (y ) t x y − − = → = Observación: La misma fórmula puede aplicarse para los casos: n n x a x a + + y n n x a x a − + , Nota: término de lugar par :( ) término de lugar impar :( ) − + Así tendremos: k 1 k n 1 k a x ( 1) tk = Ejemplos: 1. Si la división: a 5 b 1 2 3 x y x y + − − − genera un cociente notable de ocho términos. Determina el valor de: L a b = + Resolución: Genera un cociente notable, si: a 5 b 1 8 2 3 + − = = a 5 16 y b 1 24 + = − = a = 11 y b = 25 L a b 11 25 = + = + L 36 = 2. Del cociente notable generado de la siguiente división: 24 48 2 4 x y x y − − , determina el término de lugar ocho. Resolución: 24 48 2 12 4 12 2 4 2 4 x y (x ) (y ) x y x y − − = − − Dónde: n = 12 ^ k = 8 Por fórmula: tk = an – k . bk – 1 t8 = (x2)12 – 8 . (y4)8 – 1 t8 = (x2)4 . (y4)7 t8 = x8y28 DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el resto de dividirlos es cero; es decir: si en 0 (x) (x) P d R   = entonces (x) P es divisible entre (x) d . Esto significa que existe un único polinomio (x) q tal que (x) (x) (x) P q .d = También se dice (x) d es un divisor o factor del polinomio (x) P NOTA: Si un polinomio (x) P es divisible por x – a entonces se dice x – a es un factor de (x) P PROPIEDADES I) Si un polinomio (x) P se anula para x = a entonces dicho polinomio es divisible por x – a II) Si un polinomio (x) P es divisible separadamente por x + a; x + b; x + c, entonces también es divisible por el productos: (x + a)(x+b)(x + c). 1 2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) P (x a).q P (x b).q P (x a)(x b) .q = −  = −  = − −     III) Si un polinomio (x) P es divisible por el producto (x-a)(x-b)(x-c), entonces (x) P es divisible separadamente por x + a; x + b; x + c Si un polinomio (x) P es divisible entre el producto (x - a)(x - b), entonces (x) P será divisible separadamente entre (x - a) y (x - b). 1 2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) P (x a)(x b) .q P (x a).q P (x b).q = − −      = −  = − IV) Si un polinomio se divide entre varias expresiones separadamente nos da el mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de dichas expresiones también se obtienen el mismo resto. 1 2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) P (x a).q R P (x b).q R P (x a)(x b) .q R = − +  = − +  = − − +     V) Si el dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio. VI) Si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera, pero el resto queda dividido por dicho polinomio.
  • 43. 111 41 01. Si la división: + + + + + − 12 6 2 2 x 3x 4x ax b x x 2 deja un resto: = + (x) R 8x 4 Determina el valor de: L = a + b a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 8 02. Si la siguiente división: + + + + + + 4 3 2 2 x 2x 6x ax b x x 3 es exacta. Determina el valor de: L = a + b a) 18 b) 12 c) 15 d) 11 e) 17 03. Determina el resto de la división: + − + − + 4 2 2 3x 12x 3x 2 x a x si se sabe que dicho resto, es un polinomio constante. a) 12 b) 15 c) 18 d) 14 e) 17 04. En la siguiente división: + + + − 3 2 4x 6x 4x 1 1 x 2 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Su cociente es: = + + 2 (x) q 4x 8x 8 . II. Su resto es: R(x) = 5 III. La suma de coeficientes de su cociente es 10. a) VFV b) VVF c) FVF d) FFV e) FVV 05. Determina el cociente de la siguiente división: − + − + − 4 3 2 8x 6x 3x 5x 7 2x 1 a) = − + − 3 2 (x) q 4x x x 2 b) = + − + 3 2 (x) q 4x x x 2 c) = − + + 3 2 (x) q 4x 2x x 1 d) = − + − 3 2 (x) q 8x 2x 2x 4 e) = + + − 3 2 (x) q 8x 4x 2x 4 06. Determina el resto en la división: − + − − 100 (3x 2) 2019x 1 x 1 a) = (x) R 2017 b) = (x) R 2019 c) = (x) R 2081 d) = (x) R 2061 e) = (x) R 2072 07. Determina el resto en la división: + + + + + − 2 2 2 2 (x 5x 1) 6x 31x x 5x 3 a) = + (x) R x 32 b) = + (x) R 34x 1 c) = + (x) R 43x 1 d) = + (x) R x 43 e) = + (x) R x 34 08. Si la división genera un cociente notable de 6 términos. − − a b 4 3 x y x y Determina el valor de: L = a + b a) 42 b) 38 c) 12 d) 24 e) 56 09. Si la división: − − 84 48 7 4 x y x y Genera un cociente notable. Determina el término de lugar siete. a) 28 12 x y b) 35 24 x y c) 42 28 x y d) 14 12 x y e) 21 20 x y 10. Si la siguiente división: − − a b 5 3 x y x y genera un cociente notable, además un término de su desarrollo es: 20 15 x y Determina el valor de: L = a + b
  • 44. 42 a) 40 b) 28 c) 18 d) 80 e) 56 11. Si al dividir: = + + 12 (x) P x x 3 entre = − 2 (x) d x x , se obtiene un resto de la forma: = + (x) R mx n Determina: R(x) a) = + (x) R 2x 1 b) = + (x) R 4x 5 c) = + (x) R 3x 2 d) = + (x) R 2x 3 e) = + (x) R 5x 2 12. Al realizar la división: + + + + + + 4 3 2 2 ax bx 21x 8x 7 x x 2 se obtiene como resto 3. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. a + b = 19. II. ab = 88. III. El cociente es: = + + 2 (x) q 2x 3x 8 a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV 13. Determina el número de términos del cociente notable generado por los siguientes términos consecutivos: 70 12 63 15 ... x y x y ... a) 14 b) 15 c) 10 d) 12 e) 21 14. Al efectuar la división: + + + + + + + + − a 14 a 13 a 12 x x x ... x 1 x 1 se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es once veces el resto. Si: + + + + + + + + a 7 a 6 a 5 x x x ... x 1, representa la cantidad de libros que Fernanda debe colocar en cajas que contengan "x+1" libros. Determina cuántos libros le sobrarán. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 15. En la siguiente división: − − − + + + + − + + + − b 1 b 2 b 3 2 2x 3x 4x ..... (b 1)x bx b 1 2x 1 La suma de coeficientes del cociente es 36. Si el resto presenta la forma: R(x) = a Determina el valor de: L = a + b a) 18 b) 14 c) 12 d) 25 e) 27 16. Un profesor de Álgebra de la ACADEMIA PRE - UNIVERSITARIA CHIPANA le pide a sus estudiantes que efectúen la siguiente división: + − − + 247 2 x x 3 x x 1 * El estudiante Alberto afirma que la suma de coeficientes del cociente es 0. * El estudiante Daniel asegura que el residuo es: 2x2 – x + 3. * El estudiante Javier asevera que el grado del cociente es 245. Determina que estudiante o estudiantes dieron la respuesta correcta. a) Javier b) Daniel y Javier c) Alberto y Daniel d) Alberto y Javier e) Alberto, Daniel y Javier 17. Si la división: − − 55 55 3 3 x x x x genera un cociente notable. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Tiene 6 términos racionales enteros. II. Tiene 5 términos racionales fraccionarios. III. Tiene 45 términos irracionales. a) VFV b) VVV c) VVF d) FVF e) FFV 18. Determina el valor numérico del término central del desarrollo del cociente notable generado por:   + − −   +   123 123 2 2 1 (x y) (x y) 2 y(3x y )
  • 45. 111 43 para: = = x 145; y 12 a) 1 b) 145 c) 4 145 d) 145 e) 144 19. Si el residuo de la división: + + + + + + 299 5 4 3 2 x 1 x x x x x 1 se divide entre: − − − 2 ( x x 1) , se obtiene como cociente q(x) Determina el valor de:   + =       ( 2 ) q (3) (4) (5) q q J q a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 20. Determina el residuo de la división: + + + + + + + + + + + + + + + + + + 99 88 77 66 55 44 33 22 11 9 8 7 6 5 4 3 2 x x x x x x x x x 5 x x x x x x x x x 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 01. Luego de realizar la división: + + + + + + 4 3 2 2 3x 7x ax bx c x 2x 2 se obtiene un cociente, cuya suma de coeficientes es 7 y como resto: R(x) = x + 4 Determina lo correcto: I. a + b + c = 30 II. a – b + c = 12 III. a + b – c = 11 a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III 02. Dada la división: − + − − 5 3 x 3x 5x 10 x 2 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Su cociente es: = + + + + 4 3 2 (x) q x 2x x 2x 9 II. Su resto es: R(x) = 7. III. Es una división exacta. a) VFF b) VVF c) FFV d) FVF e) VFV 03. Al efectuar la división: − + + − − 10 8 3 2 x 4x x x 1 x 4 se obtiene un resto de la forma: R(X) = ax – b Compara: COLUMNA A COLUMNA B El valor de: "a" El valor de: "b" a) A es mayor que B b) A es menor que B c) A es igual a B d) No se puede determinar e) ¡No utilice esta opción! 04. Si la división: − − 93 124 3 4 x y x y genera un cociente notable. Determina el grado absoluto del término de lugar 22. a) 75 b) 92 c) 81 d) 121 e) 111 05. Determina el valor numérico del tercer término del cociente notable generado por + + − + 5 5 (a 3) (b 3) a b para: a = 5; b = 5 a) 128 b) 256 c) 625 d) 324 e) 450
  • 46. 44 DEFINICIONES PREVIAS: Factor o divisor: Un polinomio es factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual también es denominado divisor. Ejemplo: x2 + 7x + 12  (x + 3)(x + 4) x + 3 x + 4 x2 + 7x + 12 1 F A C T O R E S Tipos de factores: Sea el polinomio: = − − 2 2 (x;y) P 4a x (x y) = − 2 1 f 4a = 2 f x = − 3 f x y = 2 4 f x = − 5 f x(x y) = − 2 6 f x (x y) Factores Totales Factor Constante Factores Primos Factores Compuestos Factores Algebraicos Dónde: Nº F. P. = 2 Nº F. T. = (2+1)(1+1) = 6 Nº F. A. = Nº F. T. – 1 = 6 – 1 = 5 Nº F. No P. = Nº F. A. – Nº F. P. = 5 – 2 = 3 Factor algebraico: Es aquel polinomio no constante que está contenido en forma exacta en otro polinomio. Sea el polinomio: E(x) = 5(x–5)(x+7)2 los factores algebraicos de E(x) son: 2 2 (x 5);(x 7);(x 5)(x 7);(x 7) ;(x 5)(x 7) − + − + + − + Conteo de factores:     − − − − = ) n x ......( ) 3 x ( ) 2 x ( ) 1 x ( P ) x ( tenemos primos) no factores (o primos factores # lgebraicos a factores # compuestos factores # 1 factores # algebraicos factores # ) n x ( );...; 3 x ( ); 2 x ( ); 1 x ( n primos factores # ) 1 )...( 1 )( 1 )( 1 ( factores # − = − = − − − − → = +  +  +  +  = II. DEFINICIÓN SOBRE FACTORIZACIÓN: Es un proceso de transformaciones sucesivas en la cual un polinomio se expresa como una multiplicación indicada de sus factores primos, dentro de un campo numérico. Polinomio primo o irreductible: Es aquel polinomio que no acepta transformación a multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes. III. CRITERIO DE FACTORIZACIÓN: A. Criterio del factor común y/o agrupación de términos El factor común es el factor que más se repite en todos los términos de una expresión, para factorizar se extrae el factor común pero elevado a su menor exponente. B. Criterio de las identidades En estos casos se debe tener en cuenta los diversos productos notables. C. Criterio del aspa simple: Se utilizan en polinomios que adoptan la forma: 2n n m 2m (x;y) P ax bx y cy = + + Pasos a seguir: • Descomponer los extremos, a los cuales vamos a llamar términos fijos. • Multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos reproduzca el término central. • Los factores serán las sumas horizontales. D.Criterio del aspa doble: Este criterio se utiliza para factorizar polinomios que tienen la siguiente forma: 2n n m 2m n m (x;y) P Ax Bx y Cy Dx Ey F = + + + + + Pasos a seguir: • Se adecúa el polinomio a dicha forma, en caso falte uno o más términos se completa con ceros. • A los tres primeros términos se le aplica el aspa simple para comprobar el término Bxnym. • Luego el último término se descompone en 2 factores primos con la finalidad de comprobar los términos Dxn y Eym, utilizando para ello dos veces el aspa simple. • Los factores serán las sumas horizontales. 05 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
  • 47. 111 45 E. Criterio del aspa doble especial: Este criterio se utiliza para factorizar polinomios que tienen la siguiente forma: 4n 3n 2n n (x;y) P Ax Bx Cx Dx E = + + + + El método consiste en descomponer los términos extremos de tal manera que al efectuar el producto en aspa y sumar los resultados nos dé un valor igual o próximo al término central, la cantidad que falte o sobre será la que se descomponga en los términos centrales de los nuevos dos factores de tal manera que comprueba cada uno de los términos del polinomio. F. Criterio de los divisores binomios: Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma: (ax  b). Raíz de un polinomio: Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular a un determinado polinomio. Regla para calcular las posibles raíces racionales de un polinomio     =        Divisores de Término Independiente P.R.R. Divisores de Coeficiente Principal Teorema del factor Sea P(x) un polinomio de grado n 1  (x) (x) es raíz de P (x )es factor de P   −  MCD.- El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas. Ejemplo: Hallar el MCD de 36 y 24 Solución Divisores de 36 Divisores de 24 1 2 3 4 6 12 18 36 1 2 3 4 6 8 12 24 MCD = 12  MCD (36, 24) = 12 MCM.- De dos o más expresiones Algebraicas es otra expresión algebraica entera de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente entre cada una de las expresiones dada. Ejemplo Múltiplos de 5: 5 10 15 20 25 30 60 120 Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 60 120  MCM (5, 6) = 30 1. Si dos o más expresiones son primos entre sí, es MCD es la unidad y su MCM el producto de ellas. 2. Dada dos expresiones algebraicas A y B, su M.C.D. por su M.C.M. es igual al producto de A por B. 3. M.C.D. (A, B) x M.C.M. (A, B) = A x B Para determinar el M.C.D. ó M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas se aplican las siguientes reglas: 1. Se descomponen en sus factores primos cada una de las expresiones dadas. 2. El M.C.D está determinado por el producto de los factores comunes con sus menores exponentes. 3. El M.C.M. está determinado por el producto de los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes. 01. Determina el valor de "a + b" si se sabe que el polinomio (x) f x 1 = − es un factor del polinomio: 4 3 2 (x) P 4x ax 11x bx 1 = + − + + a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4 02. Con respecto al polinomio: 3 3 (a;b) P ab(2ab 1) (ab 1) (ab 1) = − − + MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) PROPIEDADES M.C.D. y M.C.M. POR FACTORIZACIÓN
  • 48. 46 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Un factor primo es (ab) II. Tiene cinco factores primos III. Tiene 2 factores primos de segundo grado a) FVF b) FVV c) FFV d) VVF e) VFF 03. Determina el número de factores primos que presenta el siguiente polinomio: 5 4 4 3 3 5 2 4 (x;y) P x y x y x y x y = + + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Determina la suma de los factores primos de: 2 (x;y) P x 25 y(2x y) = − − − a) 2x + 2y b) 2x – 2y c) x + y d) x – y e) x + y + 10 05. Si V(x) representa el factor primo común de los polinomios: 2 (x) 2 (x) P 3x x 14 Q x 4x 12 = − − = − − Determina el valor de: V(4) a) 12 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 06. Determina el número de factores primos de: 2 2 (x;y) P 4x 12xy 9y 20x 30y 25 = − + + − + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Según el esquema del aspa doble: Determina el valor de: L = a + b + c + d + e + f a) 34 b) 33 c) 31 d) 30 e) 32 08. Las edades de dos hermanos están representadas por los factores primos del polinomio: 4 3 2 (x) P x 2x 4x 3x 28 = + + + − Determina la edad del hermano mayor. a) x2 + x + 6 b) x2 + x – 4 c) x2 + x + 7 d) x2 – x + 4 e) x2 + x – 7 09. Dado el siguiente polinomio: 3 2 (x) P x 2x 1 = − + Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Tiene 2 factores primos. II. Un factor primo es: x – 1. III. Un factor primo es: x2+ x + 1. a) VVF b) VFFc) VFV d) FFV e) FFF 10. Sean los polinomios: 4 3 3 (x) 2 5 2 (x) P (x 5) (x 8) (x 6) Q (x 5) (x 6) (x 7) = + + + = + + − Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 4 5 3 2 MCM(P,Q) (x 5) (x 6) (x 8) (x 7) = + + + − II. 2 3 MCD(P,Q) (x 5) (x 6) = + + III. MCM(P,Q).MCM(P,Q) (x 5)(x 6)(x 8)(x 7) = + + + − a) VVF b) VFV c) FFF d) FVF e) FFV 11. El polinomio: (x) P (x 3)(x 2)(x 1)x 3 = − − − − Admite ser descompuesto en dos factores primos cuadráticos. Determina cuál de ellos posee menor valor numérico para cualquier valor de "x". a) x2 – 3x + 1 b) x2 + 3x + 2
  • 49. 111 47 c) x2 + 3x – 1 d) x2 – 3x – 1 e) x2 – x + 2 12. Determina la suma de los factores primos del polinomio: 4 2 (x) P x 8x 36 = + + a) 2x2 + 12 b) 2x2 + 24 c) 2x2 + 18 d) x2 + 18 e) x2 + 6 13. Un factor primo del polinomio: 3 2 (x) P 20x 16x x 1 = − + + Tiene la forma: a (cx a) + Determina el valor de: L = a + c a) 4 b) 3 c) 6 d) 8 e) 2 14. Determina el número de factores primos que presenta el siguiente polinomio: 3 3 3 3 3 3 (x) P (x a) (b c) (x b) (c a) (x c) (a b) = − − + − − + − − a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 15. Determina el MCD de los polinomios: 4 (x) 2 (x) P x 1 Q x 4x 3 = − = + + a) x – 2 b) x – 1 c) x – 3 d) x + 3 e) x + 1 16. Con respecto a los polinomios: 2 (x) 2 (x) A ax x b B ax 5x b = − − = − + El MCM es: 3 2 x 3x 4x 12 − − + Determina el valor de: L = a + b a) 8 b) 2 c) 7 d) 6 e) 5 17. Sean los polinomios: 11 9 8 7 (x) V x ax x 2x = + + + y otro P(x) mónico de quinto grado Si el MCD de ambos es: 2 x x 1 + + Determina el valor de "a". a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 0 18. La factorización del polinomio: 2 3 3 (x) V (x 1)(x 2)(x 3) 2(2x 3x 3) = − − − + − + es: n n n (x) V x (x c) (x ax a) = + + − Determina el valor de: L = n – ac a) 5 b) 0 c) -4 d) -1 e) 3 19. Un factor primo del polinomio: 10 7 5 4 2 (x) P x x 7x 12x 7x 12 = − − − + + tiene la forma: 5 2 (ax bx c) − − Determina el valor de: L = a + b + c a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 20. Determina la suma de coeficientes de un factor primo de: 13 8 7 2 (x) V x 2x x 2x 4 = + − + + a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 6 01. Luego de factorizar el polinomio: 6 4 2 (x) V x x 2x 1 = − + − Determina el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si un factor primo del polinomio: 2 (x) P (3x 1) 9x 7 = − − −
  • 50. 48 es de la forma: ( ) b ax c + donde: c > 0 Determina el valor de: L = ab + ac a) 6 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 03. Determina el número de factores primos del polinomio: 2 2 4 4 (x;y) P 16x y (x y) (x y) = + − − + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Un factor primo de: 4 2 (x) V x 2x 9 = + + tiene la forma: xa + bx + c donde: b > 0. Determina el valor de: L = a + b + c a) 5 b) 7 c) 9 d) 2 e) 0 05. Sean los polinomios: 4 2 (x) 2 3 (x) V x x 2x 1 P (x x 1) (x 1) = − − − = + + + Determina la suma de coeficientes del MCM(v;p) a) -50 b) -52 c) -54 d) -56 e) -58
  • 53. 111 51 SEGMENTOS Es la porción de línea recta comprendida entre dos puntos. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- Llamado también punto bisector, es aquel punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes; es decir, dicho punto lo divide por la mitad. OPERACIONES CON SEGMENTOS: a) Adición: b) Sustracción: ÁNGULOS DEFINICIÓN.- Es la figura geométrica determinada por la reunión de dosrayos que tienen el mismo origen. ELEMENTOS: • Lados: OA y OB • vértice: O NOTACIÓN Ángulo AOB: A O B; se lee el ángulo AOB Medida del ángulo AOB: mAOB BISECTIZ: Es el rayo que parte del vértice del ángulo y que forma con sus lados ángulos de igual medida. CLASIFICACIÓN: SEGÚN SU MEDIDA: A) ÁNGULO AGUDO.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º. B) ÁNGULO RECTO.- lado A vértice  O B lado   = 90º 01 SEGMENTOS Y ÁNGULOS ELEMENTOS A, B: Extremos AB : Segmento AB A B 2 AB MB AM = = A M B AC BC AB = + A B C QR PQ PR = − P Q R A X   O B 0º    90º 
  • 54. 52  + = 90º C) ÁNGULO OBTUSO.- Es aquel ángulo cuya medidaes mayor de 90º y menor de 180º. SEGÚN LA POSICIÓN: A) ÁNGULOS CONSECUTIVOS.- Son dos o más ángulos que tienen un vértice común y cada uno de ellos es adyacente con su anterior. B) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.- Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario. SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS: A) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90º COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO (C): Es lo que le falta a la medida de un ángulo para que sea 90° B) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180º SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO (C): Es lo que le falta a la medida de un ángulo para que sea 180° PROPIEDADES: 01. 02. 03. 04. 05.        +  = 180º 90º    180º Ángulo adyacente: Son dos ángulos que tienen unvértice común y están situados a distinto lado de unlado común. lado común      
  • 56. 54 01. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si AB = 4, CD = 6, AD = 3(DE) y 3(DE) + 2(BC) = 25, Calcule BC. a) 6 b) 4,5 c) 7 d) 2 e) 5 02. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si AB = BC, 2(BD) – AC = 4. Calcule CD a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2,5 03. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Sea M punto medio de BC, CD = 2(AB) y AM = 12, calcule BD. a) 18 b) 20 c) 28 d) 24 e) 16 04. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que: (AD)(BE) = 80m2, calcule; AD – BE, si AC + BC + CD + CE = 18m. (AD > BE) a) 3 m b) 2 m c) 2,5 m d) 3,5 m e) 4 m 05. Sean los puntos consecutivos A, B, C y D si (AB)(CD) = (AD)(BC) y + + = a b c d AB AD CD BC . Calcule a + b + c + d a) 3 b) 2 c) 6 d) 4 e) 5 06. Se ubican los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D tal que M es punto medio de AD. Si BC = 2m, + = 1 1 3 AB CD 8 y AM = 7m. calcule AD. a) 16 m b) 18 m c) 14 m d) 15 m e) 12 m 07. Si el suplemento del suplemento del suplemento de un ángulo es igual que el triple del mismo ángulo, calcule el complemento del complemento del ángulo. a) 30° b) 45° c) 60° d) 20° e) 80° 08. En el gráfico mostrado, , Calcule a) 70° b) 55° c) 50° d) 60° e) 85° 09. Según el gráfico, , calcule . a) 70° b) 55° c) 40° d) 64° e) 80° 10. En el gráfico mostrado, y es bisectriz del ángulo AOD. Calcule . a) 30° b) 45° c) 20° d) 25° e) 40° 11. En el gráfico 1 2 L / /L . Calcule “x”
  • 57. 111 55 a) 85° b) 100° c) 95° d) 110° e) 90° 12. En el gráfico 1 2 L / /L y 3 4 L / /L . Calcule “x” a) 20° b) 40° c) 35° d) 80° e) 50° 13. En el gráfico 1 2 L / /L . Calcule “α” a) 18° b) 45° C) 36° d) 20° e) 24° 14. En el gráfico, . Si es bisectriz del ángulo AOC, calcule a) 120° b) 90° c) 150° d) 75° e) 60° 15. En el gráfico 1 2 L / /L . Calcule “” a) 20° b) 12° c) 18° d) 24° e) 22°
  • 58. 56 01. A partir del gráfico, 11(BC) = 5(AB) y AC = 16. Calcule BC a) 11 b) 4 c) 8 d) 6,5 e) 5 02. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si CD = 5(AB) y 5(BC) + CD = 20, calcule AC. a) 5 b) 3,5 c) 4 d) 2 e) 6 03. El suplemento del complemento de un ángulo excede en 80° al complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del ángulo. a) 140° b) 60° c) 40° d) 80° e) 100° 04. En el gráfico 1 2 L / /L . Calcule “” a) 60° b) 75° c) 80° d) 30° e) 40° 05. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COA, de modo que calcule . a) 120° b) 90° c) 150° d) 75° e) 60°
  • 59. 111 57 Definición del triángulo: Es aquella figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. Elementos de un triángulo • Vértice: A, B y C • Lados: AB, BC y AC También del gráfico, indicamos: • Medida de los ángulos internos: , β,  • Medida de los ángulos externos: , ,  • Perímetro (2P): 2P = a + b + c • Semiperímetro (p): Notación Triángulo ABC: ABC Teoremas Fundamentales: 1. La suma de medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. 2. La suma de las medidas de los ángulos externos uno por cada vértice es 360° 3. La suma de las medidas de dos ángulos internos resulta el ángulo exterior del tercer ángulo interior 4. En un mismo triángulo, al ángulo interno de mayor medida se le opone el lado de mayor longitud y viceversa. Condición de existencia del triángulo: En todo triángulo la longitud de un lado está comprendida entre la diferencia y suma de las longitudes de los otros lados.  + + = 360º  + =  02 TRIÁNGULOS  + +  = 180º
  • 60. 58 01. En el gráfico AD = AE, CD = CF, calcule a) 80° b) 65° c) 20° d) 35° e) 50° 02. En el gráfico, los triángulos ABC y CPQ son isósceles de bases AC y CQ, respectivamente. Calcule x a) 70° b) 35° c) 60° d) 55° e) 30° 03. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero y BC = BD. Calcule α a) 10° b) 12° c) 20° d) 18° e) 15°
  • 61. 111 59 04. En el gráfico, AB = AC y DC = DE. Calcule x. a) 80° b) 75° c) 70° d) 85° e) 60° 05. En el gráfico, AB = AD = BC. Calcule α a) 40° b) 50° c) 60° d) 45° e) 75° 06. En un triángulo isósceles ABC (AB = AC), en la prolongación de CB se ubica el punto D, tal que AD = DC y . Calcule a) 30° b) 15° c) 25° d) 45° e) 50° 07. En un triángulo ABC, en la región exterior relativa a BC se ubica el punto P, tal que y . Si   = AP BC M y BP = 8, calcule BM. a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3 08. En el gráfico, AB = BC y AC = CE = ED. Calcule α. a) 36° b) 42° c) 18° d) 25° e) 54° 09. En un triángulo ABC, se ubica el punto exterior D en la región exterior relativa al lado AC, tal que AD = BD = CD y . Calcule a) 20° b) 40° c) 15° d) 35° e) 10° 10. En el gráfico, AB = 5 y AE = 1. Calcule CD / DE. a) 0,5 b) 1 c) 4 d) 2 e) 1,5 11. En un triángulo isósceles ABC de base AC, en AB se ubica el punto F y en BC los puntos E y D (B, E, D y C en ese orden), tal que AC = AD = FD = EF = BE. Calcule a) 4 b) 2/5 c) 4/7 d) 3/7 e) 3/5 12. Según el gráfico, AB = BC = CD. Calcule α a) 15° b) 20° c) 30°
  • 62. 60 d) 35° e) 40° 13. Según el gráfico, AB = AD = CD. Calcule α a) 15° b) 10° c) 6° d) 20° e) 12° 14. Dado el triángulo ABC en las prolongaciones de AB y AC se ubican los puntos M y T respectivamente, tal que: , AC = 6cm y BC = 4cm. Calcule la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. a) 13cm b) 14cm c) 15cm d) 12cm e) 10cm 15. En un triángulo ABC se traza la altura BH y en su prolongación se ubica el punto E, tal que la y . Calcule . a) 10° b) 15° c) 12° d) 30° e) 18° 01. A partir del gráfico calcule α a) 35° b) 10° c) 18° d) 20° e) 15° 02. En el gráfico calcule “x + y” a) 64° b) 44° c) 32° d) 58° e) 76° 03. A partir del gráfico calcule x a) + 2a b 2 b) + a 2b 3 c) + a 3b 2 d) + a b 2 e) + a b 6
  • 63. 111 61 04. En el gráfico, a + b = 240°. Calcule α a) 24° b) 18° c) 36° d) 23° e) 51° 05. En el gráfico, . Calcule x. a) 65° b) 70° c) 40° d) 80° e) 55°
  • 66. 64 01. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Calcule α. a) 20° b) 50° c) 30° d) 40° e) 10° 02. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Calcule x. a) 40° b) 35° c) 55° d) 50° e) 60° 03. En el gráfico, AM=PQ. Calcule x. a) 40° b) 50° c) 30° d) 20° e) 25° 04. Se tiene un triángulo isósceles ABC recto en B. se ubica el punto M en la región exterior relativa a AC, tal que m . Si AM = 1 y BM = 4. Calcule MC. a) 13 b) 8 c) 2 3 d) 7 e) 5 05. En el gráfico, AP=QC. Calcule x. a) 35° b) 20° c) 15° d) 25° e) 30° 06. En el gráfico, ABC y EBD son triángulos equiláteros. Calcule α. a) 30° b) 20° c) 60° d) 50° e) 40° 07. Según el gráfico, ABC y CED son triángulos equiláteros. Calcule α a) 50° b) 40° c) 75° d) 60° e) 80°
  • 67. 111 65 08. En el gráfico mostrado, BC = CD y AC = 3. Calcule AD. a) 9 b) 12 c) 6 d) 15 e) 10 09. Del gráfico, BC = AD + 12. Calcule CE. a) 6 b) 4 c) 8 d) 12 e) 3 10. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD, de modo que CD = 2(AB), y . Calcule . a) 80° b) 60° c) 45° d) 70° e) 53° 11. En el gráfico, AB = 4. Calcule BC. a) 5 b) 6 c) 8 d) 15 e) 9 12. En un triángulo isósceles ABC de base AC, se traza la altura BH y . Calcule BH / AC. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 3 e) 0,5 13. En un triángulo ABC (obtuso en B) se traza la mediana CM y la altura BH, si MC = 5 y BH = 6, calcule . a) 24° b) 30° c) 45° d) 60° e) 37° 14. En un triángulo ABC, se traza la altura BH en la cual se ubica el punto P, de modo que: AB = PC, . Calcule . a) 22°30’ b) 53° c) 45° d) 36° e) 37° 15. Dado un triángulo ABC, se ubica un punto interior P tal que: BC = AP, . Calcule . a) 30° b) 35° c) 40° d) 37° e) 45°
  • 68. 66 01. Del gráfico, ABC y DBE son triángulos congruentes, tal que AC = DE. Calcule x. a) 60° b) 75° c) 50° d) 85° e) 65° 02. Según el gráfico, BC = ED y AC = 5. Calcule EC. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 03. Según el gráfico las regiones sombreadas son congruentes. Calcule  a) 40° b) 50° c) 60° d) 80° e) 70° 04. Según el gráfico, los triángulos son congruentes. Calcule AB + 2(AC). a) 8 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 05. Según el gráfico, CD = 12. Calcule AB. a) 8 b) 5 c) 6 d) 10 e) 3
  • 70. 68