2 ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

Razonamiento
y
demostración
Comunicación
Matemática
Resolución
de
problemas
Aplica
propiedades
de
las
desigualdades
al
resolver
inecuaciones
de
primer
y
segundo
grado
con
una
incógnita.
Aplica
propiedades
del
valor
absoluto
al
resolver
ecuaciones
e
inecuaciones.
Relaciona
propiedades
y
teoremas
para
hallar
el
conjunto
solución
de
inecuaciones
de
primer
y
segundo
grado.
Relaciona
el
concepto
de
valor
absoluto
y
sus
propiedades
al
hallar
el
conjunto
solución
de
ecuaciones
e
inecuaciones.
Analiza
expresiones
matemáticas,
su
simbología
y
propiedades
al
resolver
inecuaciones
de
primer
y
segundo
grado.
Analiza
definiciones
y
teoremas
en
sus
procedi-
mientos
al
resolver
ecuaciones
e
inecuaciones
con
valor
absoluto.
Aprendizajes
esperados
1.
2.
Educación
de
calidad
para
el
bien
común
Actitudes
ante
el
Área
Comunica
con
seguridad
sus
resultados
matemáticos.
Muestra
perseverancia
para
la
obtención
de
resultados
de
situaciones
problemáticas.
1.
2.
Valores
Solidaridad
Responsabilidad
Tema
Transversal
1.
2.
1.
2.
Los
números
han
acompañado
a
la
humanidad
desde
los
tiempos
más
antiguos
y
siguen
hoy
al
servicio
de
nuestro
progreso.
A
lo
largo
del
tiempo,
distintas
clases
de
números
han
ido
surgiendo
para
resolver
problemas
cada
vez
más
complejos.
El
conjunto
de
números
naturales,
enteros,
racio-nales,
irracionales,
reales,
imaginarios
o
complejos
son
hoy
en
día
importantes
para
el
desarrollo
de
la
ciencia
y
tecnología.
Un
ejemplo
claro
de
este
desarrollo
es
la
Estación
Espacial
Internacional
(ISS)
que
vemos
en
la
foto,
en
la
cual
todos
sus
instrumentos
son
calibrados
con
una
preci-
sión
más
allá
de
los
milésimos
de
milímetros
para
poder
brindarnos
información
constante
del
universo
observable.
Ecu
ac
ion
es
e
ine
cu
ac
ion
es
co
n
va
lor
ab
so
lut
o
Unida
d
2

24 MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche
Colocar los números del 1 al 7, sin repetir, en cada uno de los siete círculos del tablero
que se presenta, de modo que todos los tríos alineados sumen 14.
Tres en Raya Numérico
Resuelve Resuelve
Resuelve
Resuelve
Resuelve
5x 7 4
− > − Halla la suma de los
valores enteros que
cumplen:
5 2x 3 13
< − ≤
x 10 x 40
− = −
Resuelve
Resuelve
x 22 x 2
− = −
x 4 30
− <
Da el máximo valor ente-
ro.
Si
3 x 2
− ≤ <
Halla el maxi-
mo valor de
2
x
2
x
Si
Halla el máximo valor
de
El mínimo valor de
es...
x: real positivo
Si: 6<x<24
2<y<3
Calcula el míni-
mo y máximo
valor entero de
x/y
4 6
2
3
1
5 7

25
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 2
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
1 Resuelve: 2 Resuelve:
9(x - 4) - 6(5-x) £ 3(2+x)
Rpta.
Rpta. C.S. = 〈–∞; – 5〉
3 Resuelve
3(x – 4) + 5(x – 2) < 2(x – 6) – 4(5 – x)
4 Resuelve
3x – (2x – 1) ≤ 7x – (3 – 5x) – x+24
Rpta. C.S. = [–2 ; +∞〉
6 Resuelve –1 – 1 2
x
5
5
< <
+
5 Resuelve
x
x
1
4
2 2
# #
+
+
Rpta. x ∈ 〈–5; 10〉
Rpta. x∈ 〈 – ∞ ; – 6]
“Demostrando responsabilidad desarrollo los
siguientes ejercicios”
Rpta. +
9x - 36 - 30 + 6x ≤ 6 + 3x
15x - 66 ≤ 6 + 3x
12x ≤ 72
x ≤ 6
C.S. = á- ¥ ; 6]
3x - 12 + 5x - 10 < 2x - 12 - 20 + 4x
2x < -10
x < -5
C.S. = á- ¥ ; -5
-¥ < x + 4 ≤ -2
-¥ < x ≤ -6
C.S. = á- ¥ ; -6]
18(x - 4) - 10(x - 4) > 5x + 7
18x - 72 - 10x + 40 > 5x + 7
3x > 39
x > 13
C.S. = á13 ; ¥
3x - 2x + 1 ≤ 7x - 3 +5x - x + 24
-20 ≤ 10 x
-2 ≤ x
C.S. = [-2 ; +¥
0 < x+5 < 15
-5 < x < 10
C.S. = á-5 ; 10

Libro de Actividades - Cuarto grado de secundaria
7 Indica la cantidad de valores enteros de x que
satisfacen la inecuación
– 4x – 5 ≤ 2x + 7< x +16
Rpta. 11
8 El mínimo valor de x que satisface la inecuación
x x x a
3
2
2 12
5
$
+ + + , es 2. Halla “a”.
Rpta. 47
9 Resuelve – 3
x
3
5
3
2 3
< <
Rpta. x ∈ 〈4 ; 6〉
10 Resuelve 4<
x
x
5
2
2
9
<
+
+
Rpta. x ∈ – ; –
6 5
7
6
11 Resuelve el sistema

–
–
x x
x x
5
4 7
6
4 5
3
2 1 4
>
$
+
+
_ i
Z
[

]
]
]
]

–
– 5
x x x
x x
2 3
1 2
4
2
1 25
<
<
+ +
+
_ i
Z
[

]
]
]
]
Rpta. C.S. = – ; –
16
4
3 14 Rpta. C.S. = 〈– 14 ; 10〉
-4x - 5 ≤ 2x + 7 2x + 7 < x + 16
-12 ≤ 6x x < 9
x ≥ -2
⇒ x = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Cantidad devalores de “x” = 11
5 < 2x - 3 < 9
8 < 2x < 12
4 < x < 6
C.S. = á4 ; 6
i) 24x + 42 > 20 x - 25

ii) 2x - 2 > 3x + 12
x < -14
12x + 8x + 6x ≥ a + 5
26x ≥ a + 5

mínimos valor de “x” ® = 2
a = 47
i) 3x + 2x - 2 < 6x + 12
-14 < x
ii) 8x - 40 + x < 50
x < 10
C.S. = á-14 ; 10

27
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
Rpta.
Rpta:
1 Resuelve:
a) 3x + 4 < 2x + 1
b) 5x - 12 ≥ 3x - 4
Rpta.
Rpta. C.S. = 〈–∞ ; – 35]
2 Resuelve 3 –
x x x
7
3
15
2
3 3
13
$
+ +
3 Indica la suma de todos los valores enteros de x
que satisfacen la inecuación
– – 2 3
x x x x
3 2 6
8
< <
+ +
5 Resuelve el sistema:

6 Resuelve el sistema:
Rpta. – 6
4 Si x
3 Î á0; 4ñ halla el mínimo valor entero que
puede tomar P(x) = 4x – 1.
Rpta. 3
...... Œ ...... Œ
......
“Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que
detenerte hasta lograr tu cometido”
a)
b)
x < -3 ⇒ C.S. = á- ; -3
2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4
C.S. = [ 4; +¥
2x - 3x < x + 8 x + 8 <-12x + 18
-2x < 8 13x < 10
x > -4
Valores enteros de “x” = {-3; -2; -1; 0}
Suma = -6
Œ 8 - x < x + 12
- 4 < 2x
- 2 < x

5x - 2 ≤ 48
x ≤ 10 C.S. = á-2 ; 10]
-4x ≥ 140
x ≤ -35
C.S. = á-¥ ; -35]
mínimo valor de x = 1
⇒ P(x) mínimo
P(1) = 4(1) - 1 = 3
Œ 5x - 7 ≤ 12x + 14 -21 ≤ 7x
x ≥ -3

6x + 2 < 37 - x ® 7x < 35
x < 5
C.S. = [-3 ; 5
.......

entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
Rpta. C.S. 〈1; 4〉
1 Resuelve x2 – 5x + 4 < 0
Rpta. x ∈ 〈–¥; 0〉 È 〈4; +¥〉
3 Resuelve x2 – 4x > 0
Rpta. x∈
5 Resuelve x2 – 3x – 2 ≥ 0
2 Resuelve 4x2+12x+9>0
4 Resuelve:
Rpta. R – –
2
3
% /
Rpta. x = 3
6 Resuelve (x+3)2–(x–1)2 > (x–2)2+44
Rpta. ∅
(x - 4)(x - 1) < 0
x - 4 = 0 ; x - 1 = 0
x = 4 x = 1
C.S. = 1 ; 4
x(x-4) > 0
x = 0 x = 4

T.C.P
.
T.C.P
.
(2x + 3)2 > 0
(x - 3)2 ≤ 0
⇒ x - 3 = 0
x = 3
C.S. = {3}
x2 + 6x + 9 - x2 + 2x - 1 > x2 - 4x + 4 + 44
x2 - 12x + 40 < 0
(x - 6)2 - 36 + 40 < 0
(x - 6)2 < -4 (no hay solución
C.S. = Æ

29
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
Rpta. x ∈ 〈–¥; –1〉 È 〈5; +¥〉
7 Resuelve x2 – 4x – 5 > 0
Rpta. x ∈ [3/2; 4]
8 Resuelve 2x2 – 11x + 12 ≤ 0
9 Resuelve x2–16x+64 ≤ 0
Rpta. 8
10 Resuelve x2+(x–3)(x–2)>2
12 Resuelve:
Rpta. 
11 ¿Para cuántos valores enteros de n el C.S. de la
inecuación x2–nx+4>0 es todos los reales?
Rpta. 7 Rpta. x 
“Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que
detenerte hasta lograr tu cometido”
T.C.P
.
T.C.P
.
(x - 5) (x + 1) > 0
x = 5 x = -1
(x - 8)2 ≤ 0
x - 8 = 0
x = 8
C.S. = {8}
Si: D < 0 ⇒ C.S. = R
Luego
(-n)2 - 4(1)(4) < 0
n2 - 16 < 0
(n - 4)(n + 4) < 0
n ∈ -4 ; 4
Valores enteros de “n” = 7
n = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}
(2x - 3)(x - 4) ≤ 0
x = 4
x2 + x2 - 5x + 6 - 2 > 0
2x2 - 5x + 4 > 0
C.S. = R
x2 - 2x + 1 + 4 > 0
(x - 1)2 > - 4
C.S. = R

entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
Rpta. {5; 2,5}
1 Resuelve 4x–15 =5
Rpta. – ;
2
2
1
% /
2 Resuelve 6x+2=2x – 6
Rpta. {3; 7}
3 Resuelve 2x–8 = x–1
Rpta.
7
8
4 Resuelve –
x
2
3 5 =2x+1
6 Halla la suma de las soluciones en
4x2+8x–33 =12
Rpta. – 4
5 Resuelve 2
– 2
x x
6 2
+ =
_ i
Rpta. –
3
4
% /
4x - 15 = 5 4x - 15 = -5
4x = 20 4x = 10
x = 5 x = 2,5
c.s. = {5 ; 2,5}
i) x - 1 ≥ 0 ® x ≥ 1 (condición)
ii) 2x - 8 = x - 1 2x - 8 = -x + 1
x = 7 3x = 9
x = 3
c.s. = {3 ; 7}
|x + 6 | = 2 - 2x
i) 2 - 2x ≥ 0 ® x ≤ 1 (condición)
ii) x + 6 = 2 - 2x x + 6 = -2 + 2x
x = 8 No
cumple
6x + 2 = 2x - 6 6x + 2 = -(2x - 6)
4x = -8 8x = 4
x = -2
i) (condición)
ii)

4x2 + 8x - 33 = 12 Ú 4x2 + 8x - 33 = -12
4x2+ 8x - 45 = 0 4x2 + 8x - 21 = 0

No cumple

31
7 Halla el producto de las soluciones en
x2 – 8x+15 = 0
Rpta. 225
8 Resuelve 2x–816
Rpta. C.S.= 〈–4; 12〉
9 Resuelve 3–2x x+10
Rpta. C.S. = 〈–∞; –7/3〉 ∪ 〈13; +∞〉
10 Resuelve 2x–5≥ x–1
Rpta. C.S.=〈–∞;2] ∪ [4; +∞〉
11 Halla la suma de los valores enteros de x que
verifican la ecuación
2 – x+2x – 10=x – 8
Rpta. 14
12 Resuelve x – 3– 8 6
Rpta. C.S. =〈–∞; –11〉 ∪ 〈1;5〉 ∪ 〈17; +¥〉
|x|2 - 8 |x| + 15 = 0
|x| -3
|x| -5
(|x| - 3) (|x| - 5) = 0
|x|= 3 |x|= 3
(x = 3 x = -3) (x = 5 x = -5)
P = (3)(-3)(5)(-5)
P = 225
|2x - 3| |x + 10|
(2x - 3)2 - (x + 10)2 0
[(2x - 3)] + (x + 10) [(2x - 3) - (x + 10)] 0
(3x + 7) (x - 13) 0
3x + 7 = 0 Ú x - 13 = 0
x = 13
|2 - x| + |2x - 10| = |(2x - 10)| + (2 - x)|
(2x - 10)(2 - x) ≥ 0
(x - 5)(x - 2) ≤ 0
x = 5 x = 2
Luego: x ∈ [2 ; 5]
Suma de enteros = 2 + 3 + 4 +5 = 14
-16 2x - 8 16
-8 2x 24
-4 x 12
x ∈ -4 ; 12
c.s. = á-4 ; 12
i) 2x - 5 ≥ x - 1 2x - 5 ≤ -x + 1
x ≥ 4 3x ≤ 6
x ≤ 2

|x - 3| -8 6 |x - 3| -8 -6
|x - 3| 14 |x - 3| 2
(x - 3 14 x - 3 -14) -2 x - 3 2
(x 17 x -11) (1 x 5)
+
-

1 Resuelve – – 1
x x
5 2 2
=
_ i
Rpta. f
2 Resuelve
x2+x+2+2x–9=(x+3)(x+2)
Rpta. 6
5
% /
Rpta. –
4
11
3 Resuelve x+20= 9 – 3x 4 Resuelve 9
x
7
2 5 #
+
Rpta. C.S. = [–34 ; 29]
5 ¿Cuántos valores enteros de x verifican la inecua-
ción
x2 – 3x – 10 0
Rpta. 9
6 Resuelve x – 2 – 10 4
Rpta. C.S. = 〈–12; –4〉 ∪ 〈8; 16〉
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
|5x - 2| = x - 1
i) x - 1 ≥ 0 ® x ≥ 1
ii) 5x - 2 = x - 1 5x - 2 = -x + 1

no cumple no cumple
C.S. = Æ
i) 9 - 3x ≥ 0 ® x ≤ 3
ii) x + 20 = 9 - 3x x + 20 = -9 + 3x
4x = -11 -2x = -29

no cumple
|x|2 - 3|x| - 10 0
(|x| - 5)(|x| + 2) 0
|x| 5 |x| -2
(-5 x 5) (x -2 x 2)
C.S. = -5 ; 5
x2 + x + 2 + |2x - 9| = x2 + 5x + 6
|2x - 9| = 4x + 4
4x + 4 ≥ 0 ® (2x - 9 = 4x + 4 2x - 9 = -4x - 4)
4x ≥ -4 ® (2x = -13 6x = 5)
x ≥ -1 ®

D = 12 - 4(1)(2) ⇒ D = -7

-63 ≤ 2x + 5 ≤ 63
-34 ≤ x ≤ 29
C.S. = [-34 ; 29]
-4 |x - 2| - 10 4
6 |x - 2| 14
|x - 2| 6 |x - 2| 14
(x - 2 6 x - 2 -6) (-14 x - 2 14)
(x 8 x -4) (-12 x 16)

33
Razonamiento y demostración
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido.
1. C 6. C 11. A
2. C 7. E 12. E
3. C 8. E 13. D
4. D 9. E 14. B
5. A 10. D 15. D
Clave de
Respuestas
1 Resuelve 4x – 3 5x + 8
A) 〈–∞; –11〉 B) 〈11; +∞〉 C) 〈–11; +∞〉
D) 〈–11; 11〉 E) 〈–5; +∞〉
2 Resuelve x2 ≥ 64
A) x ≥ 8 B) x ≤ 8 C)x≥8∨x≤–8
D) x∈∅ E) x∈
4 Resuelve 3x2 – 10x+3 0
A) x∈ ;
3
1 3 B) x∈〈–∞ ;
3
1〉
C) x∈〈3;+∞〉 D) x∈〈–∞;
3
1〉 ∪ 〈3;+∞〉
E) x ∈〈–∞; 1〉 ∪ 〈2; +∞〉
3 Calcula el conjunto solución aplicando propiedades:
A) B) C)
D) E)
5 Resuelve 2x+810
A) x∈〈–∞; –9〉 ∪ 〈1; +∞〉
B) x∈〈–9; 1〉
C) x∈〈–6; 4〉
D) x∈〈–∞; 0] ∪ 〈3;+∞〉
E) x∈〈–∞; –8〉 ∪ 〈2; +∞〉
6 Resuelve 3x+9x–4
A) x∈ ;
2
1 3 B) x∈ È
C) x∈ – ; –
2
13
4
5 D) x∈〈–2; 4〉 E) x∈
7 Resuelve 4x–2=x+1
A) {1} B) {1/5} C) {2}
D) {1; 2} E) {1;1/5}
8 Resuelve 2x–1= x – 2
A) {1} B) {1;–1} C) {–1}
D) {2} E) ∅
9 Resuelve 4x–2x – 1
A) x
3
1 B) x
5
3 C) x1
D) x∈ E) x∈∅
10 Resuelve 6x – 12x–2
A) x∈〈2;+∞〉 B) x∈〈0;1〉 C) x∈〈–∞; 1〉
D) x∈–{2} E) x∈
11 Resuelve
x
x
2
7
6
3
2
9
# #
+
+
A) x∈ – ; –
7
5
1 6
7
6
9 C B) x∈ – ; –
6
2
1 5
3
2
9 C
C) x∈[–7; –6] D) x∈ – ;
7
5
1 6
9
E) x∈〈–∞ ; –6〉
12 Resuelve
– –
–
x x
x x
x
x
3 10
3 40
2
3
2
2
+ =
+
A) {4; –2} B) {2; 3} C) {–2}
D) {6} E) {4}
13 Resuelve 6x–2+5=x
A) C.S.= –
5
3
% / B) C.S. = {1} C) C.S.= – ;
5
3 1
% /
D) C.S. = ∅ E) C.S. = {7}
14 Resuelve4x–16≤ 2x–4
A) C.S.=[2; 6] B) C.S. = ;
3
3
1 6
9 C
C) C.S. = 〈–¥; 6] D) C.S. = ;
2 3
3
1
9 C
E) C.S. = [3; 6]
15 Resuelve x–80 30–x
A) C.S. = 〈55;+∞〉
B) C.S. = 〈0; 50〉
C) C.S. = 〈0; 55〉
D) C.S. = 
E) C.S. = ∅

Comunicación matemática
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
Clave de
Respuestas
1. D
2. A
3. B
4. C
5. E
6. D
7. B
8. D
9. B
10. B
1
Si [–3; +∞〉 es el conjunto solución de la inecuación
– –
x x a
2
3 5
3
2

_ i , ¿cuál es el valor de a?
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
9
El intervalo que no pertenece al sistema siguiente:
A) 8, -5 B) -7, -3 C) -5, 7
D) [-7, 3] E) -7, 3]
2 Si x∈〈2; 4〉, ¿a qué intervalo pertenece E?
E = –
x
2
4 6
A) 〈1; 5〉 B) 〈0; 4〉 C) 〈2; 6〉
D) 〈4;8〉 E) 〈3;9〉
3 Si x∈[2;5], calcula la suma del menor y mayor valor
que puede tomar P = x
x 10
+ .
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
4 Calcula la suma de todos los valores enteros positivos
de x que satisfacen la inecuación
(4x – 3)2 ≤ 169
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
5 Si –3 x 1, ¿entre qué valores está comprendido
P = x
2
5 3
+ ?
A) –4P6 B) –2P4 C) –6P8
D) –3P6 E) –6P4
6 Halla la suma de todos los valores enteros de x que
no satisfacen la siguiente inecuación
(x–3)216
A) 24 B) 25 C) 26
D) 27 E) 28
7 Halla la suma de las soluciones de la ecuación
x2+2x–4 = 4
A) –2 B) –4 C) 0
D) 5 E) 3
8 ¿Cuántos valores enteros de x satisfacen el siguiente
sistema?
–
–
x x
x x
3
6
4
5

*
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
10 ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador
14 satisfacen el siguiente sistema?
–
3 2
x
x x
3
2 1
9
5

+ +
_ i
A) 3 B)4 C) 5
D) 6 E) 7
11 Señala la suma de las soluciones enteras de la
inecuación x2 – 2x ≤ 6
A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 0
12 Dados los conjuntos:
A = {x∈/x2–2x–150}
B = {x∈/x2–9x+14≤0}
halla A ∩ B.
A) [2; 5〉 B) [2; 7] C) [2; 7〉
D) 〈–3; 5〉 E) 〈–3; 7]
13 Si x∈〈2; 10〉, ¿a qué intervalo pertenece
x
x
2
1 2
+ ?
A) 〈3;4〉 B) ;
4
1
2
1 C) ;
20
21
4
5
D) ;
4
3
5
4 E) 〈4; 6〉
14 Halla la suma de las soluciones enteras de
4x–4+–2x+2=7x+32
A) –40 B) 32 C) –28
D) 16 E) –35
15 Indica el menor valor entero que pertenece al con-
junto solución de la inecuación
A) 0 B) 1 C) -2 D) 3 E) 4
11. C
12. A
13. C
14. A
15. C

35
Resolución de problemas
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 ¿Para qué valor de k en la inecuación
x x x k
2 3 4 12
5
#
+ + + el máximo valor de x es 1?
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
2 Si {x1 ; x2} es el conjunto solución de la ecuación
3x–10 = x–1
calcula 2x1+4x2 si x1 x2
A) 17 B) 18 C) 19
D) 20 E) 21
3 El conjunto solución de la inecuación x2+mx+16 0
estodoslosreales.¿Cuántosvaloresenterospuedetomar
m?
A) 13 B)14 C) 15
D) 16 E) 17
5 Halla la suma de los valores enteros que hacen que
la expresión x2 – 16x sea menor que 7
A) 20 B) 136 C) 22
D) 23 E) 25
6 La suma de los valores enteros que cumplen con la
inecuación:
x2 – 8x + 15 0 es:
A) 9 B) 11 C) -12
D) 15 E) 21
7 Si x es un número real tal que -2 x 1, entonces
x2 satisface la relación
A) 0 £ x2 1 B) 1 £ x2 4
C) 0 x2 4 D) 1 x2 4
E) 0 £ x2 4
8 ¿Cuántos valores enteros toma “x” en
(x + 1)2 – x x2 + 1
- 3 x + 7 1
A) 1 B) 2 C) 0
D) 5 E) 6
9 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
I. (x – 3)3 x3 – 27; si x 3
II.
(x – 3)2 x2 – 9, si x 3
III. x4 + 81 (x2 – 9)2
A) sólo I B) I y II C) II y III
D) I y III E) todas
10 Halla la suma de las soluciones de la siguiente
ecuación 2 – –6
x x
2
1 7
2
1
2
+ + =
A) 4 B) –2 C) 0
D) 5 E) –3
11 Resuelve – 0
x x
6
5
3
1
+ + =
A) C.S. = {2} B) C.S. = {–1;7}
C) C.S.={7} D) C.S. ={8}
E) C.S. = ∅
12 Dada la inecuación
24x–18+72x–9≥20x–90+x–12,
halla la suma de los primeros veinte valores enteros
positivos de x que satisfacen dicha inecuación.
A) 300 B) 310 C) 320
D) 330 E) 340
13 Resuelve x3–1 (4 – 2x)(x2+x+1)
A) x3 B) x2 C) x5/3
D) 3x6 E) 0x6
14 Calcula la suma de las soluciones enteras de la
siguiente inecuación
2x – 7 x – 2+x – 5
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
15 Halla la suma de las soluciones enteras negativas de
la ecuación
x2 – x + 19=2x2 – x + 3 +16 – x2
A) –14 B) –13 C) –12 D) –11 E) –10
4 Luego de resolver x2 ≤ nx ; n∈+,
la suma de todos los valores enteros de x que satis-
facen la inecuación es 2010n. Halla n.
A) 4017 B) 4018 C) 4019 D) 4020 E) 4021
Clave de
Respuestas
1. A
2. D
3. C
4. C
5. B
6. C
7. E
8. A
9. D
10. B
11. C
12. D
13. C
14. D
15. E

Solucionario - Razonamiento y demostración
1
4x - 3 5x + 8
-11 x
C.S. = -11 ; + ¥ Rpta. C
2
x2 ≥ 64
x2 - 64 ≥ 0
(x - 8)(x + 8) ≥ 0
x ≥ 8 x ≤ -8 Rpta. C
3
6x - 2 ≥ 8x - 32
30 ≥ 2x
15 ≥ x
C.S. = -¥ ; 15] Rpta. C
4
3x2 - 10x + 3 0
(3x - 1)(x - 3) 0
Rpta. D
5
|2x + 8| 10
2x + 8 10 2x + 8 -10
x 1 x -9
C.S. = -¥ ; -9 1 ; +¥ Rpta. A
7
|4x - 2| = x + 1
x + 1 ≥ 0 (4x - 2 = x + 1 4x - 2 = -x - 1)
x ≥ -1 (x = 1 )
Rpta. E
8
|2x - 1| = x - 2
x - 2 ≥ 0 (2x - 1 = x - 2 2x - 1 = -x + 2)
x ≥ 2 (x = -1 x = 1)
C.S. = Æ Rpta. E
9 4x - 2 x - 1
x - 1 0 (-x + 1 4x - 2 x - 1)
x 1
C.S. = Æ Rpta. E
10
|6x - 12| x - 2
6x - 12 x - 2 6x - 12 -x + 2
x 2 x 2
C.S. = -{2} Rpta. D
11
6 |3x + 9| |x - 4|
(3x + 9)2 (x - 4)2
3x + 9)2 - (x - 4)2 0
(3x + 9 + x - 4)(3x + 9 - x + 4) 0
(4x + 5)(2x + 13) 0
Rpta. C
Rpta. A

37
12
13
13
14
|x + 8| = |3x|
x + 8 = 3x x + 8 = -3x
x = 4 x = -2
C.S. = {4} Rpta. E
|6x - 2| + 5 = x
|6x - 2| = x - 5
x - 5 ≥ 0 (6x - 2 = x - 5 6x - 2 = -x + 5)
x ≥ 5
C.S. = Æ
|x - 80| 30 - x
x - 80 30 - x x - 80 x - 30
x 55 x ∈ R
C.S. = R
|4x - 16| ≤ 2x - 4
2x - 4 ≥ 0 (-2x + 4 ≤ 4x - 16 ≤ 2x - 4)
x ≥ 2 (20 ≤ 6x 2x ≤ 12)
x ≥ 2
Rpta. D
Rpta. D
Rpta. B
Solucionario - Comunicación Matemática
1
9x - 45 ≥ 4x - 6a
5x ≥ 45 - 6a

Luego:

45 - 6a = -15
a = 10 Rpta. D
2 2 x 4
8 4x 16
2 4x - 6 10

E ∈ 1 ; 5 Rpta. A
3 2 ≤ x ≤ 5
Rpta. B
3 ≤ p ≤ 6
Suma pedida = 3 + 6 = 9
4 (4x - 3)2 ≤ 169
(4x - 3)2 - 169 ≤ 0
(4x - 3 + 13)(4x - 3 - 13) ≤ 0
(4x + 10)(4x - 16) ≤ 0

Valores enteros positivos = 1 + 2 + 3 +4 = 10
Rpta. C
Rpta. D
Rpta. E
Rpta. B
Rpta. B
Rpta. C
Rpta. A
Rpta. C
Rpta. D
Rpta. D
6 (x - 3)2 16
(x - 3)2 - 16 0
(x - 3 + 4)(x - 3 - 4) 0
(x + 1)(x - 7) 0
C.S. =
Valores que no satisfacen =
-1 +0 +1+ 2 +3 +4 +5 +6 +7 = 27
5 -3 x 1
-15 5x 5
-12 5x + 3 8
-6 5x + 3 4
-6 P 4
10
2x - 2 9x + 6 27x + 18 x + 5

Luego:

n = {-15; -14; -13; .... ; -8}
Fracciones irreductibles =
Son 4 fracciones
7
|x2 + 2x - 4| = 4
x2 + 2x - 4 = 4 x2 + 2x - 4 = -4
x2 + 2x -8 = 0 x2 + 12x = 0
(x + 4)(x - 2) = 0 x(x + 2) = 0
x = -4 x = 2 x = 0 x = -2
Sol. = -4 +2 + 0 + -2 = -4
11
x2 - 2x ≤ 6
x2 - 2x + 1 ≤ 7
(x - 1)2 ≤ 7

-1,6 ≤ x ≤ 3,6 x ⇒ {-1; 0; 1; 2; 3}
Suma = 5
12
(x - 5)(x + 3) 0
-3 x 5
A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
B = {x ∈ R /x2 - 9x - 14 ≤ 0}
(x - 7)(x - 2) ≤ 0
2 ≤ x ≤ 7
B = {2; 3; 4; 5; 6; 7}
= {2; 3; 4}}
= [2 ; 5
13
2 x 10
4 2x 20

8
9
C.S. = 9 ; 20
Valores enteros de “x” = {10; 11; 12; ... ; 19}
# valores (x) = 9
2

39
Rpta. A
Rpta. D
Rpta. C
Rpta. E
Rpta. B
Rpta. D
Rpta. A
1
6x + 4x + 3x k + 5

Dato: k = 8
2
|3x - 10| = x - 1
x - 1 ≥ 0 (3x - 10 = x - 1 3x - 10 = -x + 1)
x ≥ 1 (x = 9/2 x = 11/4)

Piden; = 20.
3
x2 + mx + 16 0
D2 0
m2 - 4(1)(16) 0
m2 - 64 0
(m - 8)(m + 8) 0
-8 m 8
8
C.S. = 0 ; 2
Valores enteros de “x” = {1}
# Valores enteros = 1
9
I. (x - 3)3 x3 - 27 ; x 3
x3 - 9x2 + 27x - 27 x3 - 27
9x2 - 27x 0
x(x - 3) 0
Rpta. A
Rpta. C
Rpta. C
Rpta. c
14
|4x - 4| + |-2x + 2| = |7x + 32|
4|x - 1| + 2|x - 1| = |7x + 32|
|6x - 6| = |7x + 32|
6x - 6 = 7x + 32 6x - 6 = -7x - 32
x = -38 x = -2
Sol. = -38 - 2 = -40
4
x2 ≤ nx
x2 - nx ≤ 0
x(x - n) ≤ 0
0 ≤ x ≤ n
x = {0; 1; 2; .... : n}
Luego:
n = 4 019
5
x2 - 16x 7
x2 - 16x + 64 71
(x - 8)2 71

0,4 x 16,4
Valores enteros de x = {0; 1; 2; 3; .... ; 16}
Suma =

6
x2 - 8x + 15 0
(x - 5)(x - 3) 0
C.S. = -¥ ; 3 5 ; +¥
Suma = {... -7 + -6 + -5 + -4 + -3 + -2 + -1
+ 0 +1 +2} + {6 ; 7 ; ... }
Suma = -12
7
-2 x 1 ® 0 ≤ x2 4
15

C.S. = {-2 ; 7}
Menor valor entero = -2
Solucionario - Resolución de Problemas
Luego: m = {-7; -6; -5; ... ; 7}
# Valores de “m” = 15

C.S. = -¥ ; 0 3 ;¥ (verdaderos)
II. (x - 3)2 x2 - 9; Si x 3
x2 - 6x + 9 x2 - 9
6x - 18 0
x 3 Falso
III. x4 + 81 ≥ (x2 - 9)2
x4 + 81 ≥ x4 - 18x2 + 81
18x2 ≥ 0 ® x = R (verdadero) Rpta. D
Rpta. B
Rpta. C
Rpta. D
Rpta. C
Rpta. D
Rpta. E
10

x1 + x2 + x3 + x4 = -2
11

|x + 5| = 2x - 2
2x - 2 ≥ 0 (x + 5 = 2x - 2 x + 5 = 2 - 2x)
x ≥ 1 (x = 7 x = -1)
C.S. = {7}
12 2|4x - 18| + 7|2x - 9| ≥ |20x - 90| + |x - 12|
4|2x - 9| + 7|2x - 9| - 10|2x - 9| ≥ |x - 12|
|2x - 9| ≥ |x - 12|
(2x - 9)2 - (x - 12)2 ≥ 0
(2x - 9 + x - 12)(2x - 9 - x + 12) ≥ 0
(3x - 21)(x + 3) ≥ 0
c.s. = -¥ ; -3] [7 ; ¥
Suma 20 enteros positivos = 7 + 8 + 9 + ... + 26
Suma = 330
13 |x3 - 1| (4 - 2x)(x2 + x + 1)
|x - 1| |x2 + x + 1| (4 - 2x) (x2 + x + 1)
x2 + x + 1 0 ; x ∈ R
|x - 1| 4 - 2x
x - 1 4 - 2x x - 1 2x - 4

14 |2x - 7| |x - 2| + |x - 5|
(x - 2) (x - 5) 0
C.S. = 2 ; 5
x = {3 ; 4}
Suma = 7
15 |x2 - x + 19| = |2x2 - x + 3| + |16 - x2|
(2x2 - x + 3)(16 - x2) ≥ 0
2x2 - x + 3 0 ; x ∈ R
16 - x2 ≥ 0
(x + 4)(x - 4) ≤ 0
-4 ≤ x ≤ 4
Soluciones negativas = {-4; -3; -2; -1}
Suma = -10

41
Razonamiento y demostración
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
1 Resuelve: 2 Resuelve:
2x – 8 £ 5x – (x + 3)
3 Aplica propiedades y resuelve: 4 Aplica propiedades y resuelve:
2x2 – 9x + 4 0
5 Aplica propiedades y determina el conjunto so-
lución.
(x – 1)2 + 6 = 5 x – 1
6 Aplica propiedades y halla el conjunto solución:
5x + 3 4x + 9
21x - 7 x + 93
20x 100
x 5
C.S. = 5 ; ¥

x + 2 - 4x + 4 0 ; x ¹ 1
3x -6
x -2
|x - 1|2 - 5|x - 1| + 6 = 0
(|x - 1| - 3)(|x - 1| - 2) = 0
|x - 1| = 3 |x - 1| = 2
x - 1 = 3 x - 1 = -3 x - 1 = 2 x - 1 = -2
x1 = 4 x2 = -2 x3 = 3 x4 = -1
C.S. = {-2 ; -1 ; 3 ; 4}
2x - 8 ≤ 5x - x - 3
2x - 8 ≤ 4x - 3
-2x ≤ 5
2x ≥ -5

(2x - 1)(x - 4) 0
(5x + 3)2 - (4x + 9)2 0
(5x + 3 + 4x + 9)(5x + 3 - 4x - 9) 0
(9x + 12)(x - 6) 0

Comunicación matemática
entrelosdemas”
1 Indica a que intervalo pertenece 2 Indica el intervalo al que pertenece:
; si:
3 Encuentra la suma de los valores enteros que no
cumplen con la siguiente inecuación
x2 – 7x + 12 0
4 Dada la siguiente inecuación:
Determina la suma del máximo y mínimo valor
entero que toma “x” en el conjunto solución.
5 Aplica propiedades y resuelve x2 – 2x – 25 = 10
Indica la suma de sus soluciones
6 Determina ¿Cuántos números enteros satisfacen
la siguiente inecuación x – 3 1
-5 x 4
-15 3x 12
-17 3x - 2 10
(x - 4)(x - 3) 0
C.S. = - ¥; 3 4 ; ¥
Valores enteros que no cumplen
= {3 ; 4]
Suma = 7
|x2 - 2x - 25| = 10
x2 - 2x - 25 = 10 x2 - 2x - 25 = -10
x2 - 2x - 35 = 0 x2 - 2x - 15 = 0
(x - 7)(x + 5) = 0 (x - 5)(x + 3) = 0
x = 7 x = -5 x = 5 x = -3
Suma: 7 +-5 + 5 + -3 = 4
-1 x - 3 1
2 x 4
valores enteros = {3}
# Valores enteros = 1
-3 ≤ x ≤ 4
-6 ≤ 2x ≤ 8
-3 ≤ 2x + 3 ≤ 11
(10x - 20 ≤ 6x - 48) (4x - 32 5x + 5)
x ≤ -7 x -37
Mínimo entero: -36
Máximo entero: -7
Suma: -43

43
Resolución de problemas
entrelosdemas”
3 2x – 1 -2
2 Resuelve en “x”

Siendo: 0 a b
3 Resuelve:
4x – 10 + 15 – 6x = 2x - 5 + 20
4 ¿Para qué valor de “a” en la inecuación:
El mínimo valor de “x” en el C.S es -7?
5 Resuelve: 2 x – 2 x + 3
¿Cuántas soluciones enteras se obtienen?
6 Al resolver:
 x – 1 3 – x obtenemos como:
C.S = R - a;b Hallar “a + b”
3 2x - 1 2x - 1 ≥ -2
2 x
2|2x - 5| + 3|2x - 5| - |2x - 5| = 20
4|2x - 5| = 20
2x - 5 = 5 2x - 5 = -5
x = 5 x = 0
C.S.= {5 ; 0}
|2x - 4| x + 3
x + 3 0 (-x - 3 2x - 4 x + 3)
x -3
Sol. enteroes = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} # Sol. = 5
ax - b2 bx - a2 ; ab ¹ 0
a2 - b2 bx - ax
(a - b)(a + b) x (b - a)
x a + b
C.S. = (a + b) ; + ¥
3x + 3a - 7x + 7a ≥ 21 - 5x + 2
x ≥ 23 - 10a
23 - 10a = -7
a = 3
x - 1 ≥ 3 - x
x - 1 ≥ 3 - x x - 1 ≥ x - 3
x ≥ 2 -1 ≥ -3
C.S. = [2 ; +¥ = R - -¥ ; 2
a + b = -¥ + 2 = -¥
Luego:

Nombre del ALUMNO:…………………………...........................................
Equipo:…………………..............................................................................
INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en
tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego
completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación.
REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad?
2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo?
3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo?
4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros?
5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
auTOEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES:
ASPECTOS A EVALUAR:
1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo.
2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo.
3. Cumplió con lo elaborado.
4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones.
5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.
Nombre del evaluador: ………………………..............................................
Equipo: ……………….................................................................................
En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo
sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos
a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.
Compañeros
Aspectos a evaluar
Comentarios
1 2 3 4 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
COEVALUACIÓN

45
Responde de manera personal las siguientes preguntas:
1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema?

...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
2. ¿Cómo he superado estas dificultades?

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................
3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado?

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................
4. ¿Cómo me sentí durante el desarrollo de la clase?

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................
HETEROEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de
trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el
recuadro realizando un comentario sobre tu participación.
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad?
2. ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo?
3. ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo?
4. ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros?
5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:
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METACOGNICIÓN

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