Guia de matematica

Matemática I FC-1001

MATEMÀTICA I

CIU-NUL
CAMURI GRANDE, Sep - Dic 2011


Presentación

La guía práctica de matemáticas I del CIU (Ciclo de Iniciación Universitaria), aspira a
contribuir a la enseñanza - aprendizaje de esta asignatura, con un enfoque didáctico.

“La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo.”
Galileo

Autores:

Deninse Farias
Andrés Hernández


UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
SEDE DEL LITORAL
Departamento de Formación General
Y Ciencias Básicas

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Trimestre: Sep.- Dic. 2011 Asignatura: Matemática I

Semana Fecha Contenidos Evaluación
1 Teoría de Conjuntos, notación,
pertenencia, inclusión e igualdad de
conjuntos, el conjunto vacío, unión e
intersección de conjuntos, diferencia y
complemento, producto cartesiano
2 Conjuntos numéricos, el conjunto de
los números naturales (N), operaciones
con números enteros (Z), el conjunto de
los números racionales (Q)
3 El conjunto de los números irracionales
(I), el conjunto de los números reales
(R), ejercicios prácticos
4 Repaso y evaluación 1er Parcial
5 Potenciación y Radicación, Potencia de
exponente entero positivo, Radicación,
Radicales semejantes, operaciones
con radicales.
6 Expresiones Algebraicas, Elementos y
tipos de expresiones algebraicas,
expresiones algebraicas con signos de
agrupación.
7 Producto de dos binomio, Polinomios,
Ejercicios.
8 Repaso y evaluación 2do Parcial
9 Factorización, Casos básicos para la
factorización de polinomios,
10 Ejercicios propuestos
11 Ejercicios de repaso 3er Parcial
12 Entregas de calificaciones


UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA
SEDE DEL LITORAL
MATEMÁTICA I

1. DATOS GENERALES

Asignatura: Código:
Matemáticas I FC - 1001

Departamento: Unidades crédito:
Formación General y Ciencias Básicas 04
Horas semanales: 6 Trimestre: Sep – Dic 2010
AUTOR: DENINSE FARIAS, ANDRÉS HERNÁNDEZ

REVISADA: JOSE VILORIA

2. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN

El propósito del CIU, es ofrecer un programa de formación para el ingreso a las
carreras universitarias que se dictan en la Universidad Simón Bolívar, con el fin de
facilitar, enriquecer y consolidar los conocimientos y la formación integral de los
aspirantes a estas carreras.
El plan de estudio presenta una secuencia de contenidos orientados al
desarrollo y consolidación de estrategias para resolver problemas geométricos y sobre
trigonometría. En tal sentido, el curso de Matemáticas III cierra este ciclo de
formación.
Se trata de una asignatura teórico-práctica, orientada a consolidar los
contenidos programáticos, no estudiados o no consolidados en el bachillerato. En esta
etapa se espera afianzar esos contenidos para que el estudiante desarrolle un
pensamiento lógico formal en la resolución de problemas de estos tópicos.


3. PROPÓSITO

Consolidar en los estudiantes conocimientos básicos, destrezas y habilidades
matemáticas para el éxito en las carreras universitarias seleccionadas y desarrollar en
ellos una actitud positiva hacia el estudio y hacia su persona que contribuya al
fortalecimiento de un profesional integral con un alto compromiso con el desarrollo del
país.

4. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar el razonamiento abstracto y concreto de los estudiantes
garantizando la comprensión de los problemas referente a Teoría de Conjuntos,
Conjuntos numéricos, expresiones algebraicas, potenciación y radicación, así como el
planteamiento de sus soluciones.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Definir conceptos necesarios para resolver los diferentes tipos de ejercicios.
2. Identificar adecuadamente los símbolos a utilizar en la teoría de conjuntos.
3. Definir los diferentes tipos de conjuntos (Unión, intersección, Vacío, Diferencia,
complemento, producto cartesiano).
4. Identificar los diferentes tipos de conjuntos numéricos.
5. Realizar operaciones con los conjuntos numéricos.
6. Identificar las expresiones algebraicas.
7. Realizar operaciones donde se utilicen expresiones algebraicas.
8. Identificar los diferentes tipos de potencia.
9. Definir los elementos de una raíz.
10. Identificar cuáles son las propiedades de la potenciación y la radicación.
11. Realizar ejercicios donde se utilicen expresiones algebraicas usando raíces.
12. Realizar operaciones elementales usando raíces.
13. Realizar ejercicios donde se utilice la factorización.
14. Propiciar la participación en clases de los estudiantes para la resolución de
problemas.


5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO

Capítulo 1 TEORÍA DE CONJUNTOS

 Notación
 Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos
 El conjunto vacío
 Unión e intersección de conjuntos
 Diferencia y complemento
 Producto Cartesiano

Capítulo 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

 El conjunto de los números naturales (N)
 Definición y caracterización
 Operaciones con números naturales
 Insuficiencia de los números naturales
 El conjunto de los números enteros (Z)
 Operaciones con números enteros
 Insuficiencia de los números enteros
 El conjunto de los números racionales (Q)
 Fracciones equivalentes
 Operaciones con números racionales
 2.3.4 Insuficiencia de los números racionales
 2.4 El conjunto de los números irracionales (I)
 2.4.1 Definición y caracterización
 Aproximación de un número irracional
 El conjunto de los números reales (R)
 Definición
 Representación gráfica de los números reales


 Orden en el conjunto de los números reales

Capítulo 3 POTENCIAS Y RADICALES

 Potencias
 Radicales
 Introducción de cantidades bajo el signo radical
 Reducción de Radicales al mínimo común índice
 Operaciones Radicales
 Racionalización de un Monomio
 Racionalización de un Binomio

Capítulo 4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 Expresiones Algebraicas
 Elementos y tipos de expresiones algebraicas
 Términos Semejantes
 Expresiones Algebraicas con signos de agrupación
 Producto de dos Binomios
 Un Binomio por su conjugado
 El cuadrado de un Binomio
 Polinomios

Capítulo 5 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 Conceptos básicos
 Casos básicos para la factorización
 Ejercicios propuestos


7. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Por parte del profesor:
 Iniciar el desarrollo de la clase dando definiciones, y posteriormente ejemplos
que van desde lo más simple hasta lo más complejo.
 Por medio de lluvias de ideas los estudiantes realizaran un resumen de la clase
anterior.
 Consignarles a los estudiantes distintos tipos de ejercicios para resolver en sus
casas y después corregir esos ejercicios en el pizarrón, en la siguiente clase.
 Por parte de los alumnos:
 Poner atención a la exposición dada por el docente sobre los contenidos
programáticos.
 Participar activamente en clase a fin de aclarar cualquier duda que se le
presente.
 Resolver ejercicios variados, aplicando la teoría vista en el aula de clases.
 Prepararse para los exámenes parciales, resolviendo diversos ejercicios dados
por el profesor.

8. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

El plan de Evaluación se organizara en la escala de 1 a 100 puntos. Se realizaran tres
evaluaciones departamentales durante el trimestre, en las semanas 4,8 y 11 con una
ponderación de 30, 30 y 25 puntos, respectivamente y 15 puntos para intervenciones
y asistencia

Actividades Puntuación
1ª evaluación 30
2ª evaluación 30
3ª evaluación 25
Examen final 15
Total actividades 100


9. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Buron Orejas, Javier (1993). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición.
Bilbao: Ediciones mensajero

Hoffmann, Jorge G. (1998). Matemática. Caracas: Editorial Sphinx

Mendiola, Esteban. (1998). Matemática 7º. Caracas: Editorial Biosfera
Suárez Bracho, Estrella. (2002). Matemática 7º. Caracas: Editorial Santillana


Contenido
1 Teoría de Conjuntos 1
1.1 Notación ………………………………..................................... 1
1.2 Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos…………….. 1
1.3 El conjunto vacío………………………………………………... 3
1.4 Unión e intersección de conjuntos…………………………….. 3
1.5 Diferencia y complemento……………………………………… 5
1.6 Producto Cartesiano……………………………………………. 6

2 Conjuntos Numéricos 8
2.1 El conjunto de los números naturales (N)……………………. 8
2.1.1 Definición y caracterización………………………………….. 8
2.1.2 Operaciones con números naturales……………………….. 9
2.1.3 Insuficiencia de los números naturales…………………….. 10
2.2 El conjunto de los números enteros (Z)………………………. 10
2.2.2 Operaciones con números enteros…………………………..12
2.2.3 Insuficiencia de los números enteros……………………….. 13
2.3 El conjunto de los números racionales (Q)…………………….14
2.3.2 Fracciones equivalentes………………………………………. 15
2.3.3 Operaciones con números racionales………………………. 15
2.3.4 Insuficiencia de los números racionales…………………….. 17
2.4 El conjunto de los números irracionales (I)……………………. 18
2.4.1 Definición y caracterización…………………………………… 18
2.4.2 Aproximación de un número irracional………………………. 19
2.5 El conjunto de los números reales (R)…………………………. 20


2.5.1 Definición……………………………………………………….. 20
2.5.2 Representación gráfica de los números reales…………….. 20
2.5.3 Orden en el conjunto de los números reales……………….. 21

3 Potencias y Radicales……………………………………………… 22
3.1 Radicales………………………………………………………….. 23
3.2 Simplificación de Radicales …………..………………………… 25
3.3 Introducción de Cantidades Bajo el Signo Radical…………… 25
3.4 Radicales Semejantes ………………………………………….. 26
3.5 Reducción de Radicales al Mínimo Común Índice…………… 26
3.6 Operaciones con Radicales ………………………………….... 27
3.7 Racionalización de un Monomio……………………………….. 31
3.8 Racionalización de un Binomio ……………………………….. 32
3.9 Sección de ejercicios ………….………………………………. 33

4 Expresiones Algebraicas 36
4.1 Tipos de Expresiones Algebraicas ………..…………………... 38
4.2 Términos Semejantes…………………………………………… 38
4.3 Expresiones Algebraicas con Signos de Agrupación.............. 39
4.4 Producto de dos Binomios …………………………………….. 40
4.4.1 Un binomio por su conjugado ……………………………... 40
4.4.2 El Cuadrado de un binomio ……………………………….. 40
4.5 Polinomios …………………………………………………..…… 41

5 Factorización de expresiones Algebraicas …………………… 43
5.1 Conceptos básicos ……………………………………………… 43
5.2 Casos básicos para la factorización de polinomios ………… 43
5.3 Ejercicios propuestos…………………………………………… 53


Capítulo 1

Teoría de Conjuntos
Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos bien definidos.
Son ejemplos de conjuntos:
(i) el conjunto de todos los números reales positivos,
(ii) el conjunto de todos los estudiantes de la Sede del Litoral de la USB,
(iii) el conjunto de todos los países que han sido campeones mundiales de fútbol.
Los objetos que integran un conjunto, se denominan elementos del conjunto.

1.1 Notación

Por lo general se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras
minúsculas para representar sus elementos. Si A es un conjunto y a, b, c, d, e son sus
elementos, escribimos A = {a, b, c, d, e} para definir al conjunto A. Esta manera de
definir al conjunto, nombrando explícitamente cada uno de sus elementos, se
denomina definición por extensión. Si un conjunto A está definido mediante una
propiedad P(x) que deben cumplir sus elementos x, escribimos A = {x: P(x)}, donde “:”
se lee “tal que". Esta forma de definir un conjunto se denomina definición por
comprensión.
Así, por ejemplo, el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} puede definirse por comprensión como
A = {x: 1 ≤ x ≤ 5, x 2 N}, siendo N el conjunto de los enteros positivos.

1.2 Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos
Para señalar el hecho de que un objeto x es miembro de un conjunto A, se empleará
la notación
x A
Indicaremos que el objeto x no es miembro de A, escribiendo x A.

1


Ejemplos:

1) 2 {1, 2, 3}
2) Brasil {x: x es campeón mundial de fútbol}
3) 4 {x: x 2 – x – 2 = 0}

Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos, denotándose
este hecho por A = B, es decir x A si y solamente si x B. Esto significa que la
igualdad de conjuntos no depende de cómo estén definidos los conjuntos, sino de si
tienen o no los mismos elementos.
Otra importante noción es la de inclusión de conjuntos.
Sean A y B conjuntos. Decimos que A está incluido en B si y solamente si cada
elemento de A es elemento de B, es decir, si x A entonces x B. Usaremos la
Notación A B para referirnos a esta situación y diremos que A es un subconjunto
de B. Obsérvese que todo conjunto A es subconjunto de sí mismo. Cualquier
subconjunto de A que sea diferente de A, es llamado subconjunto propio de A. Así,
si B es un subconjunto propio de A, escribiremos B A.

Ejemplos:

1) {1, 2, 3} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
2) {x: x vive en Caracas} {x: x vive en Venezuela}
3) {x: x es un entero} {x: x es un número racional}
La relación A B no excluye la posibilidad de que B A. Si ambas relaciones se
dan simultáneamente, los conjuntos tienen los mismos elementos y se dice que son
iguales, lo cual se denota por A = B. Es decir,

A = B si y solamente si A ByB A

2


1.3 El conjunto vacío

Consideremos el conjunto {x: x ≠ x}, es obvio que este conjunto carece de elementos.
Un conjunto como el anterior que no contiene elementos es llamado conjunto vacío, y
es denotado por Ø. Observe que el conjunto Ø es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos:

1) {x: x = 1 y x ≠ 1} = Ø
2) {x: x es un entero y 0 < x < 1} = Ø
3) {x: x es un número real y x 2 + 1 = 0} = Ø

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A,
y se denotará ρ(A).
Entonces la relación B A es equivalente a decir B ρ (A).

Ejemplos:

1) Si A = {a, b}, entonces ρ (A) = {Ø, {a}, {b} ,A}
2) Si a A entonces {a} ρ (A)

1.4 Unión e intersección de conjuntos

Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B. Denotamos por A ∩ B al conjunto de
todos los objetos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Entonces

A ∩ B = {x: x Ay x B}

A ∩ B es llamado intersección de A y B.

3


Ejemplos:

1) {1, 2, 4} ∩ {2, 3, 4} = {2, 4}
2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, ::: } ∩ {0,- 1, - 2, - 3, - 4, - 5; ::: } = {0}
3) {1, 5, 6} ∩ {2, 3, 4} = Ø
4) {x R: x 1} ∩ {x R: x 8} = {x R: 1 x 8}
5) {x R: x - 3} ∩ {x R: x 4} = {x 2 R : x 4}

Cuando A ∩ B = Ø, como en el ejemplo 3, se dice que los conjuntos A y B son
disjuntos.

Recuerde los siguientes hechos obvios acerca de la intersección de conjuntos:
i. A ∩ A = A
ii. Ley conmutativa de la intersección de conjuntos: A ∩ B = B ∩ A
iii. A ∩ Ø = Ø
iv. Si B A entonces A ∩ B = B

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Se define AUB como el conjunto conformado
por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y todos los que pertenecen al
conjunto B.
El nuevo conjunto A U B es llamado unión de A y B.

Ejemplos:

1) {1, 2, 3, 5, 6} U {2, 3, 4, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
2) {x R: x - 8} U {x R: x - 2} = R

3. {- 1 2 , 0, 1, 2} U Ø = {- 1 2 , 0, 1, 2}

Evidentemente se tienen los siguientes hechos sobre la unión de conjuntos:
i. A U A = A
ii. Ley conmutativa de la unión de conjuntos: A U B = B U A

4


iii. A U Ø = A
iv. Si B A entonces A U B = A

Otras propiedades importantes de la unión e intersección de conjuntos:
i. A ∩ B AyA∩B B
ii. A A UB y B AUB
iii. Leyes asociativas:
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
iv. A B si y solamente si A ∩ B = A
v. A B si y solamente si A U B = B
vi. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
vii. A ∩ B = A U B si y solamente si A = B

1.5 Diferencia y complemento

Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B. Definimos A – B como el conjunto de
todos los elementos que están en A y no están en B. Esto es:
A – B = {x: x Ayx B}
A – B es llamado diferencia de A y B.

Ejemplos:

1. {1, 2, 3} – {1, 4} = {2, 3}
2. {1, 2, 3} – {4, 5, 6} = {1, 2, 3}

3. {1, 2} – {1, 2, 4, 5} = Ø
4. {x: x es un entero} – {x: x es un entero par} = {x: x es un entero impar}

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Nótense los siguientes hechos evidentes:
i. A –B A
ii. A – Ø = A

Cuando en un determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes
de uno dado U, se suele considerar a dicho conjunto U como conjunto universal o
referencial. Por ejemplo, si un conjunto es el de los números racionales, el conjunto
universal correspondiente es el conjunto de los números reales. Si consideramos
separadamente a los estudiantes de las diferentes carreras de TSU de la Sede del
Litoral de la USB, el conjunto universal en este caso será la totalidad de los
estudiantes de dicha sede.
Si A es un subconjunto del conjunto universal U, se define el complemento de A,
c
denotado por A , de la siguiente forma:
c
A ={x:x U yx A}

Ejemplos:
1. Sea U el conjunto de todos los enteros. Sean A y B los conjuntos de los enteros
c c
pares y de los enteros impares, respectivamente. Entonces A = B y B = A.
2. sean A = {x: x es un entero positivo} y B = {x: x es un entero negativo}.
c
Entonces A = {0} U B

La operación de calcular el complemento de un conjunto satisface las relaciones
dadas a continuación, denominadas Leyes de Morgan:
c c c
i. (A U B) = A ∩ B
c c c
ii. (A ∩ B) = A U B

1.6 Producto Cartesiano

Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano A £ B es el conjunto de todos los pares
ordenados (a, b) tales que a 2 A y b 2 B. Entonces

6


A x B = {(a, b): a Ayb B}

Ejemplo:

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {a, b, c}. Entonces
A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2 a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3,c),
(4, a), (4, b), (4, c), (5, a), (5, b), (5, c)}
Ya que el producto cartesiano está formado por pares ordenados, se tendrá que
A x B = B x A si y solo si A = B

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Capítulo 2
Conjuntos Numéricos
2.1 El conjunto de los números naturales (N)

Históricamente los primeros números que aparecen en la vida del hombre son los
números naturales: 1, 2, 3, :::, que le sirvieron en situaciones donde requirió
representar cantidades cuando necesitó contar. Independientemente de lo que se
tenga, si varios elementos están relacionados por una o varias propiedad(es) P, existe
un número natural que representa la cantidad que se tiene. Así en situaciones, como
por ejemplo:

2.1.1 Definición y caracterización.
Un concepto de número natural no existe, sin embargo, observándolos podemos

decir:

Definición: Los números naturales son aquellos números positivos con parte decimal
nula (cero). El conjunto de los números naturales es infinito y se representa como:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, :::}

8


Caracterización: Los números naturales se caracterizan por tener dos propiedades:
son positivos y con parte decimal nula (cero).
Si requerimos identificar si un número h se encuentra en N debemos verificar que éste
tenga las dos únicas propiedades de un número natural, en este caso si el número h
esta en N se dice que éste “pertenece a" N y esta situación se representa como:

h N

Caso contrario, h “no pertenece a" N se expresa como:

h N

Esta última situación ocurre cuando h no cumple con alguna de las dos características
que posee el conjunto de los números naturales.

2.1.2 Operaciones con números naturales.
Dos operaciones están definidas en el conjunto de los Números Naturales (N), son
estas:
1. Adición: si a y b son dos números naturales se define el nuevo número natural,
como:

Propiedades de la adición:
i. Para todo par n, m N se tiene que: n + m = m + n. (Conmutativa)
ii. Para todo n N se tiene que: n + 0 = n = 0 + n . (Elemento Neutro)
iii. Para todo grupo de números naturales, por ejemplo a, b, c, d N se tiene
que: (a + b) + (c + d) = a + (b + c) + d = a + (b + c + d) = (a + b + c) + d.
(Asociativa)

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2. Multiplicación: si a es un número natural y se suma b-veces se define el
nuevo número natural, como:

Propiedades de la multiplicación:
i. Para todo par n, m N se tiene que: n · m = m · n. (Conmutativa)
ii. Para todo n N se tiene que: 1 · n = n = n · 1.(Elemento Neutro)
iii. Para todo grupo de números naturales, por ejemplo a, b, c, d se tiene que:
(a · b) · (c · d) = a · (b · c)· d = a · (b · c · d) = (a · b · c) · d. (Asociativa)

Consecuencia directa de la definición tenemos que para todo número natural n se
tiene que:
n · 0 = 0 = 0 · n. (Todo número multiplicado por cero resulta cero)

2.1.3 Insuficiencia de los números naturales.
La siguiente situación evidencia el hecho que N es insuficiente, en efecto, dados
cualesquiera dos números naturales a y b, ¿cuál es el número natural c tal que
a + c = b? Esta situación, por ejemplo, está dada por:
7+c=3 c=?

En virtud de esto último se hace necesario contar con un nuevo conjunto que de
respuesta a esta situación y cumpla con todo lo válido en el conjunto de los números
naturales.

2.2 El conjunto de los números enteros (Z)
A partir del conjunto de los números naturales (N) se construye un nuevo conjunto, el
de los números enteros, el cual se obtiene de manera que para cada número natural n

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se define el número entero – n (conocido como el negativo correspondiente a n). Con
la particularidad que si n = 0 entonces – n = – 0 = 0.


Definición: Los números enteros son aquellos números positivos o negativos
con parte decimal nula (cero). Este es un conjunto numérico infinito y se representa
como:

Z = {····,–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ····· }

Observe que este conjunto contiene al conjunto de los números naturales o en forma
equivalente se dice que los números naturales están contenidos en Z, esto se expresa
como:

N Z ò equivalentemente Z N

Caracterización: Así tendremos que si un número p es entero entonces tiene parte
decimal nula (cero) y es:
Positivo
Negativo ò
p =0

Así tenemos por ejemplo que los siguientes números son enteros: –306, 4, 2008, 0,
–3333, esto se expresa como:

–306 Z, 4 Z, 2008 Z, 0 Z, –3333 Z

Con estos números podemos dar respuesta a la anterior situación planteada:
7+c=3 c=–4

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Con este conjunto podemos plantear o representar situaciones como por ejemplo:
La temperatura T en una madrugada en Los Teques es 70C bajo cero,
T = –70C.
Tengo deuda de 5.023 Bs.; -5.023 Bs.
El litoral guaireño se encuentra a una distancia de 19 Km. de Caracas; d=19
Km.

2.2.2 Operaciones con números enteros.
Al igual que en N, en el conjunto de los números enteros se definen de la misma
manera las operaciones de adición y multiplicación, con las siguientes leyes de
signos:

Para la adición:
Si dos números enteros a y b tienen el mismo signo, al sumarlos se obtiene el
nuevo número entero, el cual posee este signo. Así por ejemplo:

(– 4) + (–19) = –23 (dos negativos)

37 + 15 = 52 (dos positivos)
Si dos números enteros a y b tienen diferente signo, el número que resulta al
sumarlos a + b, adquiere el signo de aquel que tenga mayor valor absoluto. Así
por ejemplo:

–19 + 4 = (–19) + 4 = 4 + (–19) = 4 – 19 = –15 (–19 con mayor valor absoluto)
8 –6 = 8 + (–6) = (–6) + 8 = –6 + 8 = 2 (8 con mayor valor absoluto)

Esta operación en Z cumple cada una de las propiedades de la adición en N y
adicional a estas cumple otra:

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Propiedad de Elemento Opuesto: para cada número entero n existe su elemento
opuesto –n, salvo el caso que n = 0, donde su opuesto es el mismo. Con esta
propiedad se tiene que:

n + (–n) = n – n = 0 = (–n) + n = –n + n

Para la multiplicación:
Al multiplicar dos números enteros a y b, distintos de cero y con el mismo
signo, resulta un nuevo número entero ab siempre positivo. Así por ejemplo:

(–5) · (–17) = 85 (dos enteros negativos)

12 · 16 = 192 (dos enteros positivos)

Si multiplicamos dos números enteros a y b, distintos de cero y con diferentes
signos, obtenemos siempre un nuevo entero negativo. Así por ejemplo:

8 · (– 7) = (– 7) · 8 = – 56

(– 9) · 9 = 9 · (– 9) = – 81

En esta operación se cumplen cada una de las propiedades de la multiplicación en N.
Adicional a éstas se define una propiedad que involucra ambas operaciones (adición y
multiplicación):

Propiedad distributiva: para todo trío de números enteros a, b y c se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c = b · a + c · a = (b + c) · a

2.2.3 Insuficiencia de los números enteros.
Una situación que pone en evidencia el hecho de que Z es insuficiente es la siguiente:
dados cualesquiera dos números enteros a y b, ¿cuál es el número entero c tal que

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a · c = b? Esta situación, por ejemplo está dada por:

(– 4) · c = 3 c=?

Consecuencia de ello es necesario un nuevo conjunto con el que se pueda dar
respuesta a esta situación y cumpla con todo lo válido en el conjunto de los números
enteros.

2.3 El conjunto de los números racionales (Q)

Buscando un nuevo conjunto con el que se pueda dar respuesta a la anterior
situación, pero sin perder el trabajo desarrollado hasta ahora, tenemos que:


Definición: Los números racionales son aquellos números positivos o
negativos, incluyendo el cero, con parte decimal nula (cero), finita o infinita periódica.
Este es un conjunto numérico infinito y se representa como:

m
Q={ : m, n Z, con n ≠ 0} (también conocidos como fracciones)
n

m
Expresión decimal de un racional: Para cada número racional , existe su
n
expresión decimal (ED), dada por:

ED = cociente de m ÷ n:

Así, por ejemplo, se tiene que:
7
1. Para su expresión decimal es: - 1,75. (Parte decimal finito)
4

14


25
2. Para su expresión decimal es: 2,777... (Parte decimal infinita periódica)
9
42
3. Para su expresión decimal es: - 14. (Parte decimal nula)
3

2.3.2 Fracciones equivalentes.

a m
Si dos números racionales y tienen la misma expresión decimal entonces ellos
b n
son equivalentes, la equivalencia se maneja como igualdad y se expresa como:

a m
a n b m
b n

Ejemplos:

3 24
1. y son equivalentes ya que 3 · 32 = 96 = 4 · 24.
4 32

12 5
2. y no son equivalentes ya que 12 · 4 = 48 ≠ 50 = 10 · 5.
10 4

Con esto podemos decir que dado cualquier número racional (fracción) existe su
fracción equivalente irreducible la cual se obtiene simplificando a este, como por
ejemplo:
64 26 26 4 22 4
48 24 3 3 3 3

64 4
Así, en vez de trabajar con , trabajaríamos con su equivalente irreducible .
48 3

2.3.3 Operaciones con números racionales.
En este conjunto están definidas las mismas operaciones de adición y multiplicación,
sin perder lo desarrollado anteriormente.

15


a m
1. Adición: Para cualesquiera dos racionales de la forma y se define la suma
b n
de ellos como:

En el caso particular que tengan igual denominador (n = b) se tiene:

Esto nos lleva a que esta operación también puede definirse llevando cada sumando a
fracciones equivalentes que tengan igual denominador. Como por ejemplo:

Propiedades:
Las mismas que para la adición en Z : Conmutativa, asociativa, elemento neutro (el
cero) y elemento opuesto.

a m
2. Multiplicación: Para cada par de racionales y , se define la multiplicación
b n
entre ellos como:

Propiedades:

Acá también se tienen las mismas propiedades de la multiplicación en Z agregándole
la propiedad de elemento inverso, esta es:

16


m
Para cada Z (distinto del cero) existe su inverso dado por:
n

En virtud de ello se tiene particularmente que “al multiplicar un racional por su inverso
resulta la unidad (1)":

Adicional a estas operaciones también se define:

a m
3. Cociente: Para cada par de racionales, se define el cociente de entre
b n
m
(para ≠ 0) como el nuevo racional dado por:
n

De la misma definición podemos deducir o ver la división como una multiplicación:

2.3.4 Insuficiencia de los números racionales.
Con este conjunto no es posible dar respuesta a la siguiente situación: ¿Cuál es el
racional que al multiplicarlo por él mismo resulta otro? Esto se expresa como:

17


Por ejemplo:

1
r2= r=?
2

2
a 1 a 1 a2 1
Sea r = entonces r 2 = = = =
b 2 b 2 b2 2
a
Por tanto debe ser tal que:
b
a2 = 1 y b2 = 2

Para la primera igualdad se tiene que a = 1 ò a = – 1, pero no hay respuesta para la
segunda igualdad.

2.4 El conjunto de los números irracionales (I)
La existencia de números con parte decimal infinita y no periódica como por ejemplo
el número evidencia el hecho de que hay un conjunto de números con estas
características.


Definición: El conjunto de los números irracionales se define como aquel donde todos
sus números tienen parte decimal infinita no periódica y se denota por el símbolo .

Son ejemplos de números irracionales los siguientes:

e, 2 , , 7 , 3 5 , etc.

De la definición se deduce que”los conjuntos y Q son disjuntos", lo que quiere decir
que no tienen elementos en común. Esto se expresa como:
Q∩ =Ø

18


Se cumple siempre que:

La operación entre un número racional y un irracional resulta un número
irracional.
La operación entre dos números irracionales distintos resulta un número
irracional.

Algunos números irracionales pueden obtenerse en forma geométrica, como por
ejemplo:

2.4.2 Aproximación de un número irracional.
Con el objetivo de dar un valor aproximado de un número irracional que resulte de una
operación se tiene que existen dos maneras de aproximar un número irracional:
Defecto: se consideran los primeros decimales.
Exceso: considerando los primeros decimales el último se incrementa en uno.

Así por ejemplo se tiene que:

a) 7 + 5 = 7 + 2, 236 = 9, 236 (Usando aproximación por defecto con tres
decimales).
b) 7 + 5 = 7 + 2, 24 = 9, 24 (Usando aproximación por exceso con dos decimales).
Con estos dos conjuntos se plantea lo siguiente:

19


2.5 El conjunto de los números reales (R)
2.5.1 Definición.

Definición: El conjunto de los números reales se denota como R y se define
mediante la unión de los números racionales y los irracionales. Es decir:

R=QU

En este nuevo conjunto están definidas cada una de las operaciones dadas en los
anteriores conjuntos y sus propiedades. Es un importante conjunto ya que CASI
TODO curso de matemática esta basado en él.

2.5.2 Representación gráfica de los números reales.

Los números reales pueden ser representados mediante la conocida recta real:

En ella cualquier número real tiene su lugar.

1 3 10
Ejemplo: Al representar los números reales: , 11,1 8, , se tiene que:
2 3

20


2.5.3 Orden en el conjunto de los números reales.
Con esta recta se induce en los números reales un orden el cual consiste en: Si a, b y
c son números reales ubicados en la recta real como

Entonces se cumple que:

b “es menor que" c ya que está a la izquierda de c en la recta real y se expresa
como b < c. También se tiene que b < a y c < a.
a “es mayor que" c ya que está a la derecha de c en la recta real y se expresa
como a > c. También se tiene que a > b y c > b.

21


Capítulo 3

Potencias y Radicales
El producto de n veces un mismo valor a puede expresarse en forma resumida como:

a.a  a an
n veces

La expresión de la derecha la llamamos potencia, la base será el valor a y el
exponente el entero positivo n.

Presentamos un conjunto de propiedades de las potencias que llamamos
potenciación.

Para a, b R y n, m Z se cumple que:

m
i) a1 a ii) an a n.m

an
iii) a n .a m an m
iv) am
an m
siempre que a 0.

n 1 a m am
v) a a n siempre que a 0 vi) b bm

m n b n
vii) a.b a m .bm viii)
a
b a

Otra propiedad es que todo número real a 0 elevado a la cero es uno, es decir

a 0 1 para todo a 0

Esto es consecuencia de otras propiedades, en efecto: si n R 0 entonces

an
a0 an n
an
1

22


Como algunos ejemplos se tienen:

w3
1) w4
w3 4
w 1 1
w1
1
w

2 2 2
2) x 5 .d k .4 x 5 . d k .4 2 x 5.2 .d k .2 .16 16 x10 .d 2 k
2 2 2 2
x2 . y6 .z8 x2 . y6 .z8 2 y 6 .1 2 z2
2 6 0 z2 z4
3) 4 8
z .x . 4 x . y .z 2
z . y6 . 6 2 y12
z 2 .x y

3.1 Radicales

Se plantea el siguiente problema ” dados a R y n Z 1 ¿qué valor debe tener b
n
para que; b a ?.”

La solución existirá sólo en los siguientes casos:
1-. Cuando n 0 entonces a 1 y el problema tiene como solución cualquier número
real excepto el cero ya que b 0 1 para todo b 0 .
2-. Si n es par entonces a 0 , ya que b 2 k jamás es negativo.
3-. Para el caso en que n es impar no importa el valor de a.

Ante este problema surge la pregunta; ¿Qué forma tiene b?. La siguiente definición
da respuesta a esta pregunta.
1
n n
Para a, b R y n Z 1 , se tiene que b a n
a si y sólo si b a (según
el valor de b). La expresión n a se conoce como un radical y se lee “raíz n-ésima de a”
y está definida; para todo valor real a cuando n es impar y sólo para a 0 cuando n
es par. Al valor n se le llama índice de la raíz y al valor a lo llamamos cantidad
subradical ó radicando.

Sólo cuando particularmente el índice es 2 ( n 2 ), éste se sobreentiende leyéndose
“raíz cuadrada de” y se lee la cantidad subradical. Cuando el índice es 3 se lee “raíz
cúbica de” y se lee la cantidad subradical. Consecuencia de esta definición se tiene
que n 0 0 y n 1 1 .

En esta definición, el valor b existe en los casos 2 y 3. Es por ello que aseguramos por
ejemplo que:

23


a) 3 ”no existe”, ya que n 2 (es par) pero a 3 0.

5
b) 3 es un número real.

Proposición: Para todo x R 0 (x es un real no negativo) entonces
2
x x .


2 2 2 2
2 9 9 9 3 2
4 4 2 ; 4 4 4 2 ; 5 5

Cuando se tiene la expresión; m.n a , el valor m se le conoce como el coeficiente de
ese radical. Además se desprende el siguiente conjunto de propiedades de los
radicales al cual llamamos Radicación:

Para n, m Z y a, b R se tiene que:

m
i) n
ak n
a k .m ii) n
a - n
a siempre que n sea impar

m
iii)
n
am a n
iv) n
an a siempre que n sea par.

n m n.m
v) a a vi) n
an a siempre que n sea impar
n
n n n a a
vii) a.b a .n b viii) b n
b siempre que b 0

A continuación damos algunos ejemplos donde se aplican diversas de estas
propiedades:

4 1
1) 1200 2 4.3.5 2 2 4 . 3. 5 2 2 2.3 2.5 2 2. 3.5 20. 3
3 3 3
3 x 1 x 1 x 1 x 1 1 3
2) 8 3
8 3 3 2 2 . x 1
2
2 2 2
3) x4. y3 x4 . y3 x8 .y 3

24


Una herramienta que se desprende de esto, para el caso particular; n 2 y a 0
existe un real no negativo c tal que a c2 entonces a c2 c . En función de
esto se tiene por ejemplo que:
2
1-. 4 2 , ya que 4 2 2 y por tanto 4 2 2.

9 3 9 32 3 2 9 32 3 2 3
2-. 25 5 , ya que 25 52 5 y por tanto 25 52 5 5 .

3.2 Simplificación de Radicales.

Simplificar un radical consiste en aplicarle a éste todas las posibles propiedades de la
radicación de manera que se obtenga un radical de expresión más simple. En un
anterior ejemplo se aplicó radicación al radical 1200 . Esto nos dice que este radical
se simplificó llevándolo a la forma más simple; 20. 3 , este proceso también es
conocido como reducción de un radical a su forma más simple.

3.3 Introducción de Cantidades Bajo el Signo Radical.

Este es el proceso inverso a la simplificación de radicales. Para introducir un
coeficiente numérico o literal bajo el signo radical, se eleva dicho coeficiente a la
potencia que indique el índice del radical, quedando la correspondiente potencia en
forma multiplicativa en la cantidad subradical. Cuando el coeficiente de un radical es 1
el radical es entero, lo que nos dice que al introducir el coeficiente dentro de un
radical se obtiene un radical entero.

Así por ejemplo:

2 a = 2 2.a = 4 a

Otro ejemplo que se presenta al hacer entero el radical 3a2 3
a 2b

3
3a2 3
a 2b = 3
3a 2 a 2 b = 3 33 a 6 a 2 b = 3 27 a 8 b

Asegurando que 4a y 3
27 a 8 b son dos radicales enteros.

25


3.4 Radicales Semejantes.

Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más simple, tienen
el mismo índice y la misma cantidad subradical. Así como ejemplo tenemos que:

1. Son semejantes los siguientes radicales: 5
2x 3 y 4.5 2 x 3 .

2. Pese a que los siguientes no cumplen la condición para ser semejantes

7 4
243 x y 2 3x

Para este ejemplo (no siempre es posible) podemos aplicarle reglas de radicación al
primero

243 x 4
243 x 4
3 5. x 3.4 3.x .

7 4
Siendo éste último semejante al radical; 2 3x .

Nota: Si de entrada dos o mas radicales no cumplen la condición de ser semejantes,
entonces pueda que al aplicarles propiedades de radicación no lo resulten.

3. No son semejantes los radicales

a.b y 25 a 4 .b

En efecto, al simplificar el segundo se tiene que; 25.a 3 .b 5 2.a 4 .b 5.a 2 . b .

3.5 Reducción de Radicales al Mínimo Común Índice

Esta operación tiene por objeto convertir dos o más radicales de distinto índice en
radicales equivalentes a los dados, que tengan el mismo índice, para ello se aplica la
siguiente REGLA:

Se halla el mínimo común múltiplo de los índices, quien será el índice común, y
se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice
común entre el índice de su radical.

Ejemplos: En cada caso reduzca al mínimo común índice:

26


x.y 5
2
6 3 a
1. Para; y 9 .

El mínimo común índice (m.c.m entre 6 y 3) es 6. Este es el índice común. Por tanto,
se tienen los siguientes radicales semejantes correspondientes:

6
x. y 5 6
x. y 5

2 2
3 a 6 a2 6 a
4

9 9 81

2. Para; 3 , 3 3a , 4 2 .
El mínimo común múltiplo de los índices (2, 3 y 4) es 12. Este es el índice común.
Entonces tendremos:

12 6 12
3 3 729
4
3
3a 2 12
3a 2 12
81 .a 8
4 12 3 12
2 2 8

3.6 Operaciones con Radicales.

Existen sólo tres operaciones con radicales: adición, producto y cociente. Cada una de
ellas se realiza según la igualdad o no de sus índices.

Adición o Suma de Radicales.

La suma de dos o más radicales está definida sólo cuando éstos son semejantes, es
decir que para sumar radicales sus índices deben ser iguales y además deben tener la
misma cantidad subradical. Al sumar dos radicales sólo debemos sumar
algebraicamente sus coeficientes, resultando un radical con el mismo índice y el
mismo radicando que los radicales que se suman. En caso de que falle la igualdad de
los índices y/o la de sus radicándos la suma queda expresada. Lo anterior se traduce
en cuatro casos:

n
-. a. x b.m y a.n x b.m y . Siempre que n m y x y.
n
-. a. x b.n y a.n x b.n y . Pese a que tienen iguales índices pero x y.

-. a.n y b.m y a.n y b.m y . Ya que tienen radicándos iguales pero n m .

27


-. a.n x b.n x (a b).n x . Ya que tanto los índices son iguales como sus
cantidades subradicales.

Además es inmediato el hecho que la suma de una expresión no radical z con un
radical, t.m w igual queda expresada, es decir:

z t.m w z t.m w
En virtud de que los radicales son expresiones reales se tiene que para esta
operación se cumplen cada una de las propiedades de la suma de números reales.

Ejemplo: de ser posible efectúe cada operación.

3 3
1-. 6. a b a b 6 1 .3 a b 5.3 a b

34
2 3 3. 3 4
48 34
2 3 3.4 3 4
2 4.3 34
2 3 3.4 3 2.4 3
2-.
3
2 3 2 .4 3 13 4
2. 3

3-. 4. x a 3. x 4 3. x a x a

Producto o Multiplicación de Radicales.

La multiplicación de dos o más radicales está definida según la igualdad o no de sus
índices, en virtud de ello se presentan dos casos:

Con igual índice:

Si dos o más radicales con igual índice se encuentran multiplicando se procede a
multiplicar los respectivos coeficientes, resultado que da el nuevo coeficiente. El
radical que resulta tiene el mismo índice y el radicando es el producto de todos los
radicándos. Esto se traduce en la siguiente regla:

a.n u .b.n w ab.n u.w
Observe que en este caso, efectuar esta operación equivale a aplicar la propiedad vii)
de la radicación.

Ejemplos: en cada caso efectúe el producto de radicales.
5 2 3 2
3
1-. 2. 5 x . y . x 2 y 2 .3 5.x 7
28


3x.6 a 4b .2 y.3 b 4 .6 7a 2 6 xy.6 a 4b .6 b 4 .6 7a 2
2-.
6 xy.6 7a 6 .b 5 6 xya.6 7b 5
1 1 1 6
3-. 3 . 2 . 18 3 . 36 3 .6 3 2
El producto de radicales igual hereda todas las propiedades del producto de números
reales.

Con índices diferentes

Para el producto de radicales con diferentes índices se multiplican los coeficientes y
todos los radicales se reducen al mínimo común índice, expresándose como un
producto de radicales de igual índice.

Ejemplos: en cada caso efectúe el producto de radicales.

1-. 5.10 3.4. 2 20.10 3.10 25 20.10 96
9 4 6
2a 3 .4 y .2a.9 y 3 . 3 .6 2a 2
4 3a 4 .36 y .36 y 3 .36 2a 2
2-.
3a 4 .36 64. y 21.a12
3 2
3-. 3 x . 4 .3 2 x 5
3
6
3 x . 4 .6 2 x 5
3 3. 108 .x13
4 6

Cociente o División de Radicales.

Cuando se tiene un cociente de dos radicales decimos que también estamos ante una
división de radicales, bien sea tengan éstos igual o diferentes índices. Esta nueva
operación se define análogamente como en la anterior multiplicación de radicales,
donde se presentan dos casos:

Con igual índice:
Ante un cociente de dos radicales donde estos poseen el mismo índice decimos que
esto lo vemos también como una división de radicales con igual índice, es decir:

a.n u
a.n u b.n w
b.n w

Esta operación se efectúa; primero dividiendo los respectivos coeficientes y
obteniéndose un nuevo radical donde el índice es el mismo, y su radicando es el
29


n
cociente o resultado de dividir el radicando del radical a entre (sobre) el radicando
del radical n b , es decir que:

a.n u an u
. a b .n u w
b.n w b w
Nota: Observe que en este caso la operación corresponde (equivale) a la ya
estudiada propiedad viii) de la radicación.


5.3 24 24 2 3.3 3 5.3 24
1-. 3 5.3 5. 3 5.3 . También 3 5.3 24 16 5.3 1,5
16 16 24 2 16

3.7 a.x 3 3 a1 4 . x 3 1 x3
2-. .7 .7
6.7 y 2 .a 4 2.3 y2 2 y 2 .a 3
4 4
20 mn 20 mn 20 mn 4
3-. 4
4 4m
5n 5n 5n

Con índices diferentes

Para el cociente (división) de dos radicales con diferentes índices se procede de forma
similar que para el caso de la multiplicación de radicales con diferente índice; primero
se dividen los coeficientes y los radicales se reducen al mínimo común índice,
expresándose como un cociente de radicales de igual índice.
Ejemplos: en cada caso efectúe el cociente o división de radicales.

12. 2 12.6 23 23 8 
1-. 2.
6 2.6 2.6 2,6
6.6 3 6.6 3 3 3

2
6
x3. y 2 12
x3. y 2 24
x3. y 2 24
x6 .y 4 x6 .y 4 x6
24 24
2-. 8 2 8 2 2 3 24 6 y6 y2
y y 24
y y

30


Racionalización de Numeradores o Denominadores.

Este es un proceso que permite, en un cociente, eliminar expresiones radicales
encontradas en el numerador o denominador. Estudiaremos dos casos: Monomio y
binomio. En cada caso el proceso es el mismo, se trate de racionalizar el numerador
o el denominador.

3.7 Racionalización de un Monomio.

Es el caso que se presenta al querer eliminar del numerador (o denominador) el único
u.n w Numerador
sumando, siendo éste un radical, es decir o ,
Denominador u.n w
respectivamente. Consiste en multiplicar el cociente dado por un cociente de radicales
(equivalente a la unidad (1)), que tenga el mismo radical en el numerador que en el
n
a
denominador; n 1 , de manera que la cantidad subradical a multiplicada por la
a
cantidad subradical w del radical a eliminar resulte una potencia con exponente igual
al índice del radical a eliminar n , es decir que al racionalizar:

El numerador:

n
u.n w u.n w n
a u.n w.a u.n M
Denominador Deno min ador n a NuevoDenomin ador NuevoDenomin ador
u.M
NuevoDenomin ador

El procedimiento es el mismo si se quiere racionalizar el denominador.

Ejemplos. Racionalice cada numerador.

3
a2 3
a2 3
a 3
a 2 .3 a 3
a3 a
1-. 3
x x a x.3 a x.3 a x.3 a

3.4 x. y 2 3.4 x. y 2 4
x3.y 2 3.4 x 4 . y 4 3.x. y 3xy
2-.
x x 4
x3.y 2 x .4 x 3 . y 2 4
x 2 .4 x 3 . y 2 4
x5.y 2

Ejemplos. Racionalice cada denominador.

31


5. 2 5. 2 a b 5. 2. a b 5. 2. a b
1-.
3. a b 3. a b a b 3. a b
2 3. a b

1 1 1 5
34.c 3 5
34.c 3 5
81c 3 5
81c 3
2-. 5
3.c 7 c.5 3.c 2 c.5 3.c 2 5
34.c 3 c.5 35.c 5 c.3.c 3c 2

3.8 Racionalización de un Binomio.

Es el caso en que de un cociente se quiere eliminar del numerador o denominador la
suma (o diferencia) entre dos radicales de índice 2, es decir a b o entre un
radical de índice 2 y un sumando no radical, es decir a b ó a b . Consiste en
multiplicar por un cociente equivalente a la unidad (1) que contenga el conjugado de la
suma a eliminar (el conjugado de m n es m  n ), tanto en el numerador como en el
denominador, es decir que al querer racionalizar:

El numerador.

2 2
a b a b a b a b a b
Deno min ador Deno min ador a b NuevoDenomin ador NuevoDenomin ador

El denominador.

Numerador Numerador a b NuevoNumer
ador NuevoNumer
ador
2 2
a b a b a b a b a b

Ejemplo. Racionalice cada numerador.

2 2
5 2 5 2 5 2 5 2 5 4 1
1-.
3 3 5 2 3. 5 2 3. 5 3.2 3. 5 6

2 2
7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 4.3 5
2-.
5 5 7 2 3 5. 7 2 3 35 2 15 35 2 15
5
2 15 35

Ejemplo. Racionalice cada denominador.
32


2 x 2 x x 3 2 x. x 3 2 x. x 3
2 2
x 3 x 3 x 3 x 3. x 3 x 3
1-.
2 x. x 3
x 3
1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
2-. 2
3 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
2
2 2 9 4.2 1

3.9 Sección de ejercicios.
1-. Simplifique los siguientes planteamientos aplicando todas las posibles propiedades
de potenciación y/o radicación.
1
4 3 6 3
i) 3y3 4y2 ii x3 3 iii) a2
1 3 2
x6 y3 3 a 2 b 3 1
iv) v) vi) 3
1
b a 4x5 y 2
x4 y2 2

3 3
4 2 3 5 2
a b 3 y
vii) viii) 128 ix)
c 2d 2 1

y3
0 0
x) 5 xy 7 10 x 3 y 3 xi) 3
27 x 3 y 67 z 12 xii) 3 y 3 4y2
1 5
232 2 2 4 1 2 3
2 2
xiii) xiv) x xv) 3x 2x
2 12 0 2 3
3 3
2
y
xvi) 3
128 xvii) 1
xviii) 4
81r 5 s 8
3
y

2-. Transforme los siguientes radicales en enteros radicales.
13
i) 3 48 ii) 128 iii) 50 a 2 b
2
1 3 25
iv) 108 a 5 b 7 v) 125 mn 6 vi) 32 x 2 y 11
2 5 5
1
vii) 2 xy.3 128 x 2 y 8 viii) 5a b ix) 2
2
x) 3a 2a 2 xi) 5 x 2 ay 3 3b xii) ab 2 3 a 2 b
xiii) 4m3 2m 2 xiv) 2a 4 8ab3

33


3-. En cada grupo de radicales efectúe la reducción al mínimo común índice.

i) 5 x , 3 4 x 2 y , 6 7a 3b ii) 2 , 3 3, 4 5 , 6 7
iii) 4
3a , 5 2b 2 , 10 7 x 3 iv) 3
2ab , 5 3a 2 x , 15 5a 3 x 2
v) 4
8a 2 x 3 , 6 3a 5 m 4 vi) 3
x 2 , 6 2 y 3 , 9 5m 7
1
vii) 3, 3 4 , 4 8 viii) 33 a 2 , 6 b 3 ,49 x 5
2
ix) 2m ,35 a 3 x 4 ,210 x 7 y 2 x) a b, 3 a b, a b

4-. Resuelva cada una de las siguientes adiciones.
1 3
i) 2 9 2 30 2 40 2 ii) 2 5 5 5
2 4
13 23 13
iii) 2 m2n 16 mn 2 4mn 2 9m 2 n iv) 2 2 2
3 3 6
33 13
v) 11 11 23 11 vi) 175 243 63 2 75
5 4
vii) 450 4 320 3 80 5 800 viii) a b 3a b 7a b

5-. Efectúe cada uno de los siguientes productos.
5
i) 5 21.2 3 ii) 3 15 .123 50 iii) 3. 6
6
1 1 1 33 1 6
iv) 33 45 . 3 15 .43 20 v) . . 243 vi) 3
a 2 b 2 .24 3a 3b
6 2 3 2 9
23 3 1
vii) 4m 2 . 5 16 m 4 n viii) 2 x .5 4 x .10 ix) x .3 2 x 2
3 4 16 x 2

6-. Efectúe las siguientes divisiones con radicales.
1
3 xy
2 3
i) 4 6 2 3 ii) iii) 75 x 2 y 3 3xy
3 x 4
33 16 a 5 5 1 10 2
iv) v) vi) 9x 3
3x 2
3
4. 2 a 2 6 2 3 3

3 4 9 2 2 1 6
18 x 3 y 4 z 5
vii) 3m 27 m viii) 3 4ab 2a 2 ix)
3 10 4
3.x 2 y 2 z 3

34


7-. En cada caso racionalice el numerador.

2 x 2
i) ii) iii) 3
3 4 3
a b 3 2 5 1
iv) v) vi)
b a 2 2 3
5 2 4 2 x 2 2
vii) viii) ix)
2 1 2 5 2 x 2 2

8-. En cada caso racionalice el denominador.

3 6 1
i) ii) 3
iii)
2 5 3x 5a 25 x 3
4

3 2 4 2
iv) v) vi)
3 2 5 2 3 2 5 2
5 2 7 2 3 7 x 2 2
vii) viii) ix)
4 5 3 7 3 7 x 2 2
a b a b
x)
a b a b

35


Capítulo 4

Expresiones Algebraicas
En el estudio de situaciones relacionadas a cualquier área (social o no social) es
frecuente el uso de símbolos para representar un (o los) elemento(s) de un conjunto y
en el primer capítulo se dijo que usualmente la letra x representa cualquier elemento
del conjunto. Se establece universalmente que para representar: un conjunto se usan
letras mayúsculas y minúsculas para sus elementos. También se presenta la
necesidad de expresar alguna propiedad numérica (o no) que deben cumplir o
satisfacer los elementos pertenecientes a un conjunto, esta situación la hemos
llamado, en el estudio de la Teoría de conjuntos, “la propiedad del conjunto”. Así por
ejemplo se tiene que si el conjunto E contiene todos los pares positivos se representa
como:

E x Z:x 0 x 2.n n N
2,4,6,8,10 ,12 ,
Para el caso en que los elementos de un conjunto numérico específico C satisfacen
una propiedad numérica P en el primer capítulo se estableció que lo expresamos
como:

C x : P( x )

Donde P (x) es una condición que debe satisfacer cada x C . Así por ejemplo:

C x: x 3 2

Es el conjunto donde si x C entonces la propiedad P que éste debe cumplir es
que “si le sumamos 3 resulta 2”. Es inmediato que este es el conjunto unitario formado
por el elemento -1, es decir que:

C x: x 3 2 1

36


Por otra parte, de lo estudiado en los capítulos 2 y 3 se puede deducir que todo
número real n pudiese expresarse de infinitas formas. Así por ejemplo; el 3 puede
expresarse como:
1-. La suma del 2 y el 1. Pudiendo expresar 3 2 1 ó 3 1 2 .
6
2-. La mitad de 6 y escribimos 3 .
2
3-. El doble de 5 menos 7 y esto lo expresamos 3 2.5 7 .

En función de esto podemos plantear expresiones donde se vinculen, mediante
operaciones numéricas, números constantes con letras (una o varias) que representan
números, es decir por ejemplo para expresar:

1-. “Los enteros positivos pares” usamos la expresión; 2x con x Z .
Entendiéndose que 2 x es la expresión que indica los enteros pares. Estos también
son conocidos como los múltiplos de 2.

2-. “El triple del cuadrado de un número menos la mitad de otro” usamos:
x
3y2
2.
2n 1
3-. “La cuarta parte de cualquier número impar” usamos; .
4

4-. “La diferencia de dos cuadrados” usamos; a2 x2
Llamamos expresión algebraica a todo planteamiento por medio de una o varias
operaciones numéricas se relacionen números y/o letras que representan números.
Son algunos ejemplos los anteriores y los siguientes:

2
1-. 3x 5 xy 2 y .
5a3 x 2 1
2-. x a
3-. 3 y 7 2 y

En el particular caso en que se tiene una expresión algebraica donde hay varios
sumandos llamamos término a cada sumando. En cada término sus elementos se
multiplican entre ellos y cada uno de estos a su vez se les llama factores. El siguiente
es un ejemplo de un término; 5mz 3 5 .m.z 3 .

Sus factores son tres: -5, m y z3 .
37


4.1 Tipos de Expresiones Algebraicas.

Una suma de expresiones algebraicas se clasifica según el número de términos que
ésta posea, y la llamamos:
3 a
6 x2 y
Monomio: si posee un solo término. Son tres ejemplos: 5 ; 3a 5 ; a 1 .

Binomio: si solo contiene dos términos, como ejemplos tenemos los siguientes 2:

7
3 x2 1 ; 5y
4
xyz3

Trinomio: para los que en total poseen tres términos. Así como ejemplo damos los
siguientes dos trinomios.

x3 9 xy
z 2 x3 z ;
2
4 3

Establecemos que cada término contiene: un coeficiente (con su respectivo signo), el
cual en algunos términos puede ser número o letras(s) y una o varias variables, cada
una con su respectivo exponente. El coeficiente siempre está multiplicando a la (o las)
variable (o variables) y cuando no aparece se sobreentiende que es la unidad (1).

Existen sólo dos tipos de términos; los llamados independientes, que no tienen
variable alguna (se pueden ver como que tienen variable con exponente cero), son
solo coeficientes, y los términos dependientes que contrariamente si aparecen con
variables.

Ejemplo. Para las siguientes expresiones algebraicas determine sus coeficientes.

2
i) 4 3.
2
Sus coeficientes son: 1, -4, y -3. Además y 4 son sus términos dependientes
y -3 el independiente.

5y4
ii) xyz3 .
3x
5
Tiene como coeficientes: 3 y 1. Es un binomio donde sus términos sólo son
dependientes.

4.2. Términos Semejantes.

En una misma expresión algebraica dos o más términos se dicen semejantes si sólo
difieren en sus coeficientes, es decir que contienen las mismas variables cada una

38


con el mismo respectivo exponente. En particular dos o más términos independientes
son semejantes. Así por ejemplo los siguientes son tres términos semejantes;

xm 4 xm 4 2m 4 x
7 ; y
w 3w w

Cuando en una misma expresión algebraica existen varios términos semejantes, sólo
los coeficientes de éstos se suman algebraicamente, quedando de éstos un sólo
termino con las mismas variables. A continuación damos dos ejemplos de expresiones
algebraicas que contienen algunos términos semejantes.

x 2 yt 5
1-. 7 xy 2t 5 3 yx2t 5 1
2 3 yx2t 5 7 y 2 xt 5 5
6 yx 2t 5 7 y 2 xt 5
2
4z 3 z 5z 3 4z 3 5 z 4z 3 3z
2-. 2 zx 1 2
x x3 2x3 x 2 x3 x 2x3

Nota: dentro de una misma expresión algebraica la suma de sus términos no
semejantes no se efectúa sino que queda expresada.

4.3. Expresiones Algebraicas con Signos de Agrupación.

Los signos de agrupación, es decir: paréntesis (), corchetes [ ] y/o llaves encontrados
en una expresión algebraica se usan para: elevar, a un exponente, toda (o
parcialmente) una expresión algebraica ó agrupar parte de ella. Así como ejemplo se
tienen las siguientes expresiones algebraicas con signos de agrupación:

2
1-. 4 x 7 y 2 y 3x 3 2-. 3w 5 3-. 2 x 4x 3 x. 3x 2 5y

Cuando se quiere desarrollar una expresión algebraica que está planteada con signos
de agrupación el objetivo es suprimir (eliminar) estos símbolos. Para lograr esto se
debe tomar en cuenta que si:

-. Un signo (+ ó -) y/o una expresión algebraica precede a un signo de agrupación que
sólo agrupa una serie de términos, éste multiplica a cada término encontrado dentro.

Así como ejemplos se tienen:

1-. 4 x 7 y 2 y 3x 3 4 x 7 y 2 y 3x 3 4 x 5 y 3x 3 .

2-. 2 x 4 x3 x. 3x 2 5 y 2x 4 x3 3x3 5xy 2 x 4 x3 3x3 5xy 2 x x3 5xy .

39


-. Una expresión algebraica encerrada dentro de un signo de agrupación y que está
elevada a un exponente se aplican las leyes de potenciación. Así por ejemplos se
tienen:

2 2
1-. 3w 5 3w 5 . 3w 5 3w 3w.5 5.3w 52 9w2 30 w 25 .

2 2
2 y9 2 y9 4 y18 4 y18 4 y18 20 4y 2 4
2-.
5 2 5 2
2 5 4 81x 4 y 20 81x 4 81x 4 81x 4 y 2
3xy 3xy 3xy

4.4. Producto de dos Binomios.

Al tener la multiplicación o producto de dos binomios éste se desarrolla via la
propiedad distributiva, es decir.

a b.m n a.m a.n b.m b.n

Se presentan dos casos muy particulares que su desarrollo se conoce como los
productos notables:

4.4.1 Un binomio por su conjugado.
Para un binomio a b su conjugado es el binomio dado por; a b y viceversa.
En virtud de ello planteamos el siguiente caso particular;

2 2
a b.a b a b

Es por ello que como ejemplo se tiene:

2 2
1-. 5 x3 . 5 x3 5 x3 25 x6

2
3 3 3 2 9
2-. xy . xy xy x2 y2
m m m m2

4.4.2. El Cuadrado de un binomio.

Es otro caso particular entre un binomio a b multiplicado por él mismo, el cual tiene
el siguiente desarrollo específico.

2 2 2
a b a 2. a . b b

40


2 2 2
a b a 2. a . b b

El primero se le llama “el cuadrado de una suma” y el segundo “el cuadrado de una
diferencia”.

4.5. Polinomios.

Se destacan las expresiones algebraicas que son sumas de términos donde la
variable o las variables sólo aparecen en el numerador y con exponente entero no
negativo. Llamaremos polinomio a toda suma algebraica de esta forma, es decir, un
polinomio es toda suma algebraica donde cada término es un número real
(coeficiente) por una(s) variable(s) que están multiplicándose entre si, cada una con
exponente un entero no negativo. Así por ejemplo tenemos los siguientes polinomios:

3
2
4 3 ; 5 zy 4 xyz3 ; x
9 xy
5 2 x3 7 y

Donde el primero es un trinomio de una sola variable, el segundo es otro trinomio y
tiene tres variables y el tercero es un polinomio de dos variables.

En este curso se tiene gran interés sólo en el estudio de polinomios de una sola
variable, como por ejemplo:

x3
5
3 4 ; 9 2
4 y 4 5x 4 x2 2 x3 7 x

Para trabajar con estos polinomios es necesario que estos se encuentren
debidamente ordenados.

El orden en un Polinomio.

El orden de un polinomio se establece por la forma en que sus términos van
colocados; diremos que un polinomio está ordenado en forma creciente si sus
términos están colocados de menor a mayor exponente y de estar en forma contraria
se dice que está ordenado en forma decreciente. Aquellos polinomios que una vez
ordenados le falten términos se consideran polinomios incompletos. Todo polinomio
no ordenado debe ordenarse de alguna manera y si además es incompleto debe
completarse.

Ejemplo. Ordene en forma decreciente los anteriores tres polinomios.

5
Para; 3 4 . Se trata de un polinomio ya ordenado en esta forma, sólo que es
incompleto. Por tanto;

41

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