Este documento presenta un estudio estadístico realizado en una comunidad rural sobre tres variables: el número de menores de edad en viviendas (X), el número de mascotas (Y) y la cantidad de mesas (Z). Se define la población total, se toma una muestra y se calculan parámetros como la media, varianza y covarianza de cada variable para analizar las relaciones entre ellas.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL2010Proyecto de EstadísticaEstudio de Población y muestra<br />1. Introducción<br />De qué se trata el proyecto<br />En una comunidad rural del país, el número de menores de edad X, que residen en las viviendas, el número de mascotas Y, y la cantidad Z de mesas en las casas.<br />Objetivo<br />Poder diferenciar entre Población y Muestra además de, Parámetro Poblacional y Estimadores Muéstrales.<br />Utilizar los conocimientos adquiridos en clase para realizar los diferentes literales que se piden en el proyecto. <br />Desarrollar habilidades de análisis crítico y matemático en la materia de ESTADÍSTICA. <br />Realizar proyectos estadísticos de carácter serio y beneficioso para la sociedad.<br />Marco teórico<br />En el proyecto que se presenta a continuación se va a constar de diferentes términos estadísticos los cuales, debemos tener muy claro su definición.<br />Entre estos tenemos:<br />Población<br />El concepto de población en estadística va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.<br />En este caso la población consistirá en 270 elementos que crearemos a partir de la formula proporcionada por el ejercicio.<br />El tamaño que tiene una población es un factor de suma importancia en el proceso de investigación estadístico, y este tamaño vienen dado por el número de elementos que constituye una población puede ser finita o infinita. Cuando el número de elementos que integra una población es muy grande, se puede considerar a esta como una población infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números positivos. Una población finita es aquella que está formada por un limitado número de elementos.<br />Es a menudo imposible o poco práctico observar la totalidad de los individuos, sobre todos si estos son muchos. En lugar de examinar el grupo entero llamado población o universo, se examina una pequeña parte del grupo llamada muestra.<br />Muestra<br />Se llama muestra a una parte de la población a estudiar qué sirve para representarla.<br />El estudio de muestras es más sencillo que el estudio de la población completa; cuesta menos y lleva menos tiempo. Por último se aprobado que el examen de una población entera todavía permite la aceptación de elementos defectuosos, por tanto, en algunos casos, el muestreo puede elevar el nivel de calidad.<br />En nuestro caso, tomaremos una muestra de 100 elementos escogidos al azar para realizar el estudio además de establecer una relación entre la muestra y la población a fin de comparar datos y encontrar alguna tendencia si es que esta existe.<br />Una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones que están incluidas en tal población.<br /> <br />Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer referencia sobre la población que está representada por la muestra.<br />En consecuencia muestra y población son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.<br />Variable Aleatoria<br />Este es un elemento muy importante en nuestro proyecto ya que nos permitirá realizar estudios tanto a la población como a la muestra. En nuestro proyecto procederemos a trabajar con tres diferentes variables aleatorias.<br />Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio.<br />Estas variables pueden ser discretas o continuas. Si se permite que una variable aleatoria adopte solo un número limitado de valores, se le llama variable aleatoria discreta. por el contrario, si se le permite asumir cualquier valor dentro de determinados límites, recibe el nombre de variable aleatoria continua.<br />Función de probabilidad<br />Una distribución la podemos concebir con una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.<br />Nuestra función de probabilidad estará definida en función de las variables X,Y,Z para la población y de x,y,z para la muestra.<br />Media<br />En estadística, la media es una medida de centralización. Se llama media de una distribución de estadística a la media aritmética de los valores de los distintos individuos que la componen.<br />Varianza <br />Esta medida se basa en la cuantificación de las distintas de los datos con respecto al valor de la media.<br />Moda<br />Es el valor que ocurre con mayor frecuencia en una muestra puede ser que no exista la moda y también es posible que exista más de una moda.<br />Mediana<br />Una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él una vez ordenados estos.<br />Matriz correlación<br />Es una representación ordenada de los coeficientes de correlación de cada variable con la otra variable y consigo misma.<br />Histograma <br />Es la manera más común de representar gráficamente la distribución de frecuencias de los datos. Se lo construye dibujando rectángulos cuya base corresponda a cada intervalo de clase y su altura, según el valor de la frecuencia.<br />Diagrama de Caja<br />Es un diagrama grafico que se usa para expresar en forma resumida, algunas medidas estadísticas de posición.<br />El diagrama de caja describe gráficamente el rango de los datos, el rango intercuartilico, los valores extremos y la ubicación de los cuartiles. Es una representación útil para comparar grupos de datos.<br /> <br />2. Determinación de Parámetros<br />2.1. Determinación del Vector de Medias<br />fxyz=kx+yz+1 , x=0, 1, 2, 3y=0, 1, 2 z=1, 2, 3 <br />kZ=13y=02x=03x+yz+1=1<br />kZ=13y=02( 0+yz+1+ 1+yz+1+ 2+yz+1+ (3+y)(z+1)=1<br />kZ=13y=02 0+y+ 1+y+ 2+y+ 3+y(z+1)=1<br />kZ=13y=02 6+4y(z+1)=1<br />kZ=13(6+40z+1+6+41z+1+ 6+42z+1=1<br />kZ=13(6+10+ 14)z+1=1<br />kZ=13(30)z+1=1<br />k(301+1+302+1+303+1) =1<br />k(302+303+304) =1<br />k60+90+120=1<br />k(270) =1<br />k= 1270<br />Resumen de las variables X Y Z de la población.<br />7277163779<br />72390635<br />-635-358775<br />Marginal de x:fx=z=13y=021270x+y(z+1)<br />fx=1270z=13y=02x+y(z+1)<br />fx= 1270z=13(x+0z+1+x+1z+1+ x+2z+1)<br />fx= 1270z=13(x+x+1+ x+2)(z+1)<br />fx= 1270z=13(3x+3)(z+1)<br />fx= 12703x+31+1+ 3x+32+1+ 3x+33+1<br />fx= 12703x+32+ 3x+33+ 3x+34<br />fx= 1270(9(3x+3))<br />fx= 27270(x+1)<br />fx= 110(x+1)<br />Valor esperado de x:<br />ux=Ex= x=03xf(x)<br />ux= x=03x110(x+1)<br />ux= 110x=03x(x+1)<br />ux= 11000+1+11+1+ 22+1+ 33+1<br />ux= 1100+2+ 6+ 12<br />ux= 2010<br />ux= 2<br />Marginal de y:fy=x=03z=131270x+y(z+1)<br />fy=1270x=03z=13x+y(z+1)<br />fy= 1270x=03(x+y1+1+x+y2+1+ x+y3+1)<br />fy= 1270x=03(2x+y+3x+y+ 4x+y)<br />fy= 1270x=039(x+y)<br />fy= 9270x=03(x+y)<br />fy= 130x=03(x+y)<br />fy= 1300+y+ 1+y+2+y+(3+y)<br />fy= 115(3+2y)<br />Valor esperado de y:<br />uy=Ey= y=02yf(y)<br />uy=y=02y115(3+2y)<br />uy=115y=02y3+2y<br />uy= 11503+20+13+21+ 23+22<br />uy= 1150+5+ 14<br />uy= 1915<br />uy≈1.27<br />Marginal de z:fz=x=03y=021270x+y(z+1)<br />fz=1270x=03y=02x+y(z+1)<br />fz= 1270x=03(x+0z+1+x+1z+1+ x+2z+1)<br />fz= 1270x=03(x+x+1+ x+2)(z+1)<br />fz= 1270x=03(3x+3)(z+1)<br />fz= 1270x=033(x+1)(z+1)<br />fz= 3270x=03(x+1)(z+1)<br />fz= 190x=03(x+1)(z+1)<br />fz=190(0+1 z+1+1+1 z+1+2+1 z+1+3+1 z+1)<br />fz=190(1z+1+2z+1+3z+1+4z+1)<br />fz= 19010(z+1)<br />fz= 1090(z+1)<br />fz= 19(z+1)<br />Valor esperado de z:<br />uz=Ez= z=13zf(z)<br />uz=z=13z19(z+1)<br />uz=19z=13zz+1<br />uz= 1911+1+ 22+1+3(3+1)<br />uz= 192+ 6+12<br />uz= 1920<br />uz= 209<br />uz≈2.22<br />Vector de Medias<br />X=uxuyuz<br />X=21.272.22<br />2.2. Determinación de la Matriz de Varianzas y Covarianzas<br />Hallamos primero las condicionales:<br />fx,y=z=131270x+yz+1<br />fx,y=1270z=13x+yz+1<br />fx,y=1270x+y1+1+ x+y2+1+x+y3+1<br />fx,y=12702x+y+ 3x+y+4x+y<br />fx,y=12709(x+y)<br />fx,y=130(x+y)<br />fx,z=y=021270x+yz+1<br />fx,z=1270y=02x+yz+1<br />fx,z=1270(x+0z+1+x+1z+1+x+2z+1)<br />fx,z=1270x+0+x+1+x+2(z+1)<br />fx,z=12703x+3(z+1)<br />fx,z=3270x+1(z+1)<br />fx,z=3270x+1(z+1)<br />fx,z=190x+1(z+1)<br />fy,z=x=031270x+yz+1<br />fy,z=1270x=03x+yz+1<br />fy,z=1270(0+yz+1+1+yz+1+2+yz+1+3+yz+1)<br />fy,z=12700+y+1+y+2+y+3+y(z+1)<br />fy,z=12706+4y(z+1)<br />fy,z=22703+2y(z+1)<br />fy,z=11353+2y(z+1)<br />Ahora hallamos los respectivos valores esperados de cada condicional para así poder calcular las covarianzas:<br />Exy= x=03y=02xy130(x+y) <br />Exy=130 x=03y=02x2y+y2x <br />Exy=130 x=03(x20+02x+x21+12x+(x2(2)+22x)<br />Exy=130 x=03(0+x2+x+(2x2+4x))<br />Exy=130 x=03(3x2+ 5x)<br />Exy=130 ((302+ 50)+(312+ 51)+(322+ 52)+(332+ 53) <br />Exy=130 (0+3+ 5+12+ 10+27+ 15)<br />Dado que la covarianza entre la variable “x” y “y” es negativa podemos concluir significa que existe una relación lineal inversa perfecta (negativa) entre las dos variables. Lo que significa que las puntuaciones bajas en X se asocian con los valores altos en Y, mientras las puntuaciones altas en X se asocian con los valores bajos en Y.Exy=130 (0+3+ 5+12+ 10+27+ 15)<br />Exy=130 72<br />Exy=125 <br />Exy=2.4 <br />Covx, y= Exy- uxuy<br /> Covx, y= 2.4 – 2(1.27)<br /> Covx, y= -0.14<br />Exz= x=03z=13xz190x+1(z+1) <br />Exz=190x=03z=13(x2z2+x2z+xz2+xz)<br />Exz=190x=03((x212+x21+x12+x1)+ (x222+x2(2)+x22+x(2))+ (x2(3)2+x2(3)+x(3)2+x(3)))<br />Exz=190x=0320x2+ 20x<br />Exz=190x=0320(x2+ x)<br />Exz=2090x=03(x2+ x)<br />Exz=29 02+ 0+ 12+1+22+2 + (32+ 3))<br />Exz=29 0+ 2+6+ (12))<br />Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas(x,z).Exz=29 20<br />Exz=409 <br />Exz≈4.44<br />Covx, z= Exz- uxuz<br />Covx, z= 4.44 – 2(2.22)<br />Covx,z= 0<br />Eyz= y=02z=13yz11353+2y(z+1) <br />Eyz=1135 y=02z=13yz3+2y(z+1) <br />Eyz=1135 y=02z=133yz2+ 3yz+ 2y2z2+2y2z<br />Eyz=1135 y=02((3y12+3y(1) + 2y212+ 2y2(1))+3y22+3y2+ 2y222+ 2y22+(3y32+3y(3) + 2y232+ 2y2(3))<br />Eyz=1135 y=02(3y+3y+2y2+2y2+12y+6y+8y2+4y2+27y+9y+18y2+6y2)<br />Eyz=1135 y=02(40y2+ 60y)<br />Eyz=1135 y=0220(2y2+ 3y)<br />Eyz=20135 y=02(2y2+ 3y)<br />Eyz=20135 (202+30+212+31+222+32)<br />Eyz=20135 (0+5+14)<br />Eyz=20135 19<br />Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas (y,z).Eyz=380135 <br />Eyz≈2.81481<br />Covy, z=Eyz- uyuz<br />Covy, z= 380135 –(3830)(209)<br />Covy,z= 0<br />Ahora hallamos las varianzas de cada variable:<br />Ex2= x=03x2110(x+1)<br />Ex2= 110x=03x2(x+1)<br />Ex2= 110x=03(x3+x2)<br />Ex2= 110[03+02+13+12+23+22+33+32]<br />Ex2= 110(50)<br />Ex2= 5<br />Varx= Ex2- u2<br />Varx= 5-(2)2<br />Varx=1<br />Ey2= y=02y2115(3+2y)<br />Ey2= 115y=02y2(3+2y)<br />Ey2= 115y=02(3y3+2y2)<br />Ey2= 115[303+202+313+212+323+222]<br />Ey2= 115(37)<br />Ey2≈ 2.47<br />Vary= Ex2- u2<br />Vary= 2.47-(1.27)2<br />Vary=0.85<br />Ez2= z=13z219(z+1)<br />Ez2= 19z=13z2(z+1)<br />Ez2= 19z=13(z3+z2)<br />Ez2= 19[13+12+23+22+33+32]<br />Ez2= 19(50)<br />Ez2≈ 5.56<br />Varz=Ez2- u2<br />Varz= 5.56-(2.22)2<br />Varz=0.63<br />Matriz de varianzas y covarianzas<br />VarxCovx, yCovx,zCovy, xVaryCovy,zCovz,xCovz,yVarz<br />1-0.140-0.140.850000.63<br />2.2. Determinación de la Matriz de Correlación<br />Dado que la correlación entre “x” y “y” está cercana a 0 su correlación es muy débil.<br />ρxy=Covx, yVarxVary<br />ρxy=-0.14(1)(0.85)<br />ρxy=-0.16<br />Dado que la correlación entre “x” y “z” es 0 no están correlacionados linealmente.ρxz=Covx, zVarxVarz<br />ρxz=0(1)(0.63)<br />ρxz=0<br />Dado que la correlación entre “y” y “z” es 0 no están correlacionados linealmente.<br />ρyz=Covy,zVaryVarz<br />ρyz=0(0.85)(0.63)<br />ρyz=0<br />Matriz de correlación<br />1ρxyρxzρyx1ρyzρzxρzy1<br />1-0.160-0.1610001<br />3. Estadística Descriptiva Univariada y Multivariada<br />3.1. Toma de una muestra de tamaño 100<br />Variablesxyz011021021022022023023023101102102103012012013013111111111112112113113113121121121121122122123123123123201201201202202203211211212212213213213213221221222223223301301302302303303303303303311311311311312312312312312313313313313313313321321321321321322322322322323323323323323323323323323323323323323323<br />3.2. Tabulación (Tabla de Frecuencias) y Gráficos (Histogramas, Ojivas y Diagrama de Cajas) para las 3 variables, Medidas de Tendencia Central, Dispersión, Posición y Sesgo.<br />TABLA DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE XXFRECUENCIAFRECUENCIA RELATIVAFRECUENCIA ACUMULADAFRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA0120,12120,121220,22340,342190,19530,533470,471001<br />TABLA DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE YYFRECUENCIAFRECUENCIA RELATIVAFRECUENCIA ACUMULADAFRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA0190,19190,191360,36550,552450,451001<br />TABLA DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE ZZFRECUENCIAFRECUENCIA RELATIVAFRECUENCIA ACUMULADAFRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA1290,29290,292260,26550,553450,451001<br />MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DE X<br />Podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.Media<br />x=i=1100xin<br />x=2.01<br />Mediana<br />Mediana=X(n2+1)+ Xn22<br />Mediana=2<br />Moda<br />Moda=3<br />DISPERSION DE LA VARIABLE X<br />Varianza<br />S2=i=1100(x-x)2n-1<br />S2=1.1817<br />Desviación estándar<br />S=i=1100(x-x)2n-1<br />S= 1,0870<br />Coeficiente de Variación<br />CV= i=1100(x-x)2n-1i=1100xin= Sx<br />CV= 0,54082993<br />POSICION DE LA VARIABLE X<br />Percentil 95<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.95*(101)=95.95<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x95.95=3+0.95*(3-3)<br />P95=3<br />Percentil 35<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.35*(101)=35.35<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x35.35=2+0.35*(2-2)<br />P35=2<br />Decil 9<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.09*(101)=90.9<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x90.9=3+0.9*(3-3)<br />D9=3<br />Decil 2<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.02*(101)=20.2<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x20.2=1+0.2*(1-1)<br />D2=1<br />Decil 7<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.07*(101)=70.7<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x70.7=3+0.7*(3-3)<br />D7=3<br />Cuartil 1<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.25*(101)=25.25<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x25.25=1+0.25*(1-1)<br />Q1=1<br />Cuartil 2<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.50*(101)=50.50<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x50.50=2+0.50*(2-2)<br />Q2=2<br />Cuartil 3<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.75*(101)=75.75<br />xi.a=xi+0.a*xi+1- xi<br />x75.75=3+0.75*(3-3)<br />Q3=3<br />OTROS CALCULOS DE LA VARIABLE X<br />Un resultado negativo significa que la distribución se sesga a la derecha.Coefciente de asimetría<br />C=E(x- ux)3σ3<br />C=u3σ3<br />C=-0.59784<br />El resultado muestra que se trata de una distribución platicúrtica, es decir, con una reducida concentración alrededor de los valores centrales de la distribución.Coeficiente de Kurtosis<br />C=E(x- ux)4σ4<br />C=u4σ4<br />C=-1.0648<br />Rango Intercuartil<br />RI=Q3-Q1<br />RI=3-1=2<br />Rango<br />R=X100-X1<br />R=3-0=1<br />MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DE Y<br />Podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.Media<br />y=i=1100yin<br />y=1.26<br />Mediana<br />Mediana=Y(n2+1)+ Yn22<br />Mediana=1<br />Moda<br />Moda=2<br />DISPERSION DE LA VARIABLE Y<br />Varianza<br />S2=i=1100(y-y)2n-1<br />S2=0.5782<br />Desviación estándar<br />S=i=1100(y-y)2n-1<br />S= 0,7603<br />Coeficiente de Variación<br />CV= i=1100(y-y)2n-1i=1100yin= Sy<br />CV= 0,60347832<br />POSICION DE LA VARIABLE Y<br />Percentil 95<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.95*(101)=95.95<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y95.95=2+0.95*(2-2)<br />P95=2<br />Percentil 35<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.35*(101)=35.35<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y35.35=1+0.35*(1-1)<br />P35=1<br />Decil 9<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.09*(101)=90.9<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y90.9=2+0.9*(2-2)<br />D9=2<br />Decil 2<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.02*(101)=20.2<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y20.2=1+0.2*(1-1)<br />D2=1<br />Decil 7<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.07*(101)=70.7<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y70.7=2+0.7*(2-2)<br />D7=2<br />Cuartil 1<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.25*(101)=25.25<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y25.25=1+0.25*(1-1)<br />Q1=1<br />Cuartil 2<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.50*(101)=50.50<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y50.50=1+0.50*(1-1)<br />Q2=1<br />Cuartil 3<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.75*(101)=75.75<br />yi.a=yi+0.a*yi+1- yi<br />y75.75=2+0.75*(2-2)<br />Q3=2<br />OTROS CALCULOS DE LA VARIABLE Y<br />Un resultado negativo significa que la distribución se sesga a la derecha.Coefciente de asimetría<br />C=E(y- uy)3σ3<br />C=u3σ3<br />C=-0.47838<br />El resultado muestra que se trata de una distribución platicúrtica, es decir, con una reducida concentración alrededor de los valores centrales de la distribución.Coeficiente de Kurtosis<br />C=E(y- uy)4σ4<br />C=u4σ4<br />C=-1.11718<br />Rango Intercuartil<br />RI=Q3-Q1<br />RI=2-1=1<br />Rango<br />R=Y100-Y1<br />R=2-0=2<br />MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DE Z<br />Podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.<br />Media<br />z=i=1100zin<br />z=2.16<br />Mediana<br />Mediana=Z(n2+1)+ Zn22<br />Mediana=2<br />Moda<br />Moda=3<br />DISPERSION DE LA VARIABLE Z<br />Varianza<br />S2=i=1100(z-z)2n-1<br />S2=0.7216<br />Desviación estándar<br />S=i=1100(z-z)2n-1<br />S= 0,8495<br />Coeficiente de Variación<br />CV= i=1100(z-z)2n-1i=1100zin= Sz<br />CV= 0,3933<br />POSICION DE LA VARIABLE Z<br />Percentil 95<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.95*(101)=95.95<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z95.95=3+0.95*(3-3)<br />P95=3<br />Percentil 35<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.35*(101)=35.35<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z35.35=2+0.35*(2-2)<br />P35=2<br />Decil 9<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.09*(101)=90.9<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z90.9=2+0.9*(2-2)<br />D9=2<br />Decil 2<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.02*(101)=20.2<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z20.2=1+0.2*(1-1)<br />D2=1<br />Decil 7<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.07*(101)=70.7<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z70.7=3+0.7*(3-3)<br />D7=3<br />Cuartil 1<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.25*(101)=25.25<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z25.25=1+0.25*(1-1)<br />Q1=1<br />Cuartil 2<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.50*(101)=50.50<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z50.50=2+0.50*(2-2)<br />Q2=2<br />Cuartil 3<br />i=0.i*(n+1)<br />i=0.75*(101)=75.75<br />zi.a=zi+0.a*zi+1- zi<br />z75.75=3+0.75*(3-3)<br />Q3=3<br />OTROS CALCULOS DE LA VARIABLE Z<br />Un resultado negativo significa que la distribución se sesga a la derecha.Coefciente de asimetría<br />C=E(z- uz)3σ3<br />C=u3σ3<br />C=-0.31444<br />El resultado muestra que se trata de una distribución platicúrtica, es decir, con una reducida concentración alrededor de los valores centrales de la distribución.Coeficiente de Kurtosis<br />C=E(z- uz)4σ4<br />C=u4σ4<br />C=-1.54880<br />Rango Intercuartil<br />RI=Q3-Q1<br />RI=3-1=2<br />Rango<br />R=X100-X1<br />R=3-1=2<br />Vector de Medias<br />X=xyz<br />X=2.011.262.16<br />3.4. Determinación de la Matriz de Varianzas y Covarianzas Muestral S<br />En este caso por ser negativa dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.<br />-0.0626<br />En este caso hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de y corresponden grandes valores de z.<br />0.0484<br />En este caso hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de z.<br />0.0984<br />Matriz de Varianzas y Covarianzas<br />1.1817-0.06260.0984-0.06260.57820.04840.09840.04840.7216<br />3.5. Determinación de Medias Condicionales<br />Para determinar las medias condicionales debemos tener los siguientes datos en cuenta:<br />fx= 110(x+1)<br />fy= 115(3+2y)<br />fz= 19(z+1)<br />fx,y=130(x+y)<br />fx,z=190x+1(z+1)<br />fy,z=11353+2y(z+1)<br />Primero tenemos que ver si son independientes o no, para saberlo hay que hacer una igualdad que si se cumple es independiente caso contrario no son independientes:<br />fx,y=fy*fx<br />Si son independientes <br />Ex=∑x<br />Pero si no son independientes<br />Ex=∑x fx<br />Donde fx<br />fx=fx,yfy<br />Calculo de Ex<br />110x+11153+2y=130(x+y)<br />fxfy≠ fx,y<br />No son independientes<br />fx=fx,yfy<br />fx=130(x+y)115(3+2y)<br />fx=15(x+y)30(3+2y)<br />fx=12(x+y)(3+2y)<br />Ex=x=03x fx<br />Ex=x=03x 12(x+y)(3+2y)<br />Ex=0=x=03x 12(x+y)(3+2y)<br />Ex=0=x=03x 12(x+0)(3+2(0))<br />Ex=0=x=03x x6<br />Ex=0=16x=03x2 <br />Ex=0=1612+22+32<br />Ex=0=16 1+4+1<br />Ex=0=146<br />Ex=0=73<br />Ex=x=03x fx<br />Ex=x=03x 12(x+y)(3+2y)<br />Ex=1=x=03x 12(x+y)(3+2y)<br />Ex=1=x=03x 12(x+1)(3+2(1))<br />Ex=1=x=03x 12(x+1)5<br />Ex=1=110x=03 x2+x<br />Ex=1=110 (12+1)+(22+2)+(32+3)<br />Ex=1=2010<br />Ex=1=2<br />Ex=x=03x fx<br />Ex=x=03x 12(x+y)(3+2y)<br />Ex=2=x=03x 12(x+y)(3+2y)<br />Ex=2=x=03x 12(x+2)(3+2(2))<br />Ex=2=x=03x2(x+2)7<br />Ex=2=114x=03 x2+2x<br />Ex=2=114 (12+2)+(22+4)+(32+6)<br />Ex=2=114 3+8+15<br />Ex=2=2614<br />Ex=2=137<br />Calculo de Ey<br />110x+11153+2y=130(x+y)<br />fxfy≠ fx,y<br />No son independientes<br />fy=fx,yfx<br />fy=130(x+y)110(x+1)<br />fy=10(x+y)30(x+1)<br />fy=13(x+y)(x+1)<br />Ey=y=02yfy<br />Ey=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=0=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=0=y=02y13(0+y)(0+1)<br />Ey=0=y=02yy3<br />Ey=0=13y=02y2<br />Ey=0=1312+22<br />Ey=0=53<br />Ey=y=02yfy<br />Ey=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=1=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=1=y=02y13(1+y)(1+1)<br />Ey=1=y=02y (y+1)6<br />Ey=1=16y=02 y2+y<br />Ey=1=16(12+1)+(22+2)<br />Ey=1=86<br />Ey=1=43<br />Ey=y=02yfy<br />Ey=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=2=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=2=y=02y13(2+y)(2+1)<br />Ey=2=y=02y(y+2)9<br />Ey=2=19y=02y(y+2)<br />Ey=2=19y=02y2+2y<br />Ey=2=19(12+2)+(22+4)<br />Ey=2=119<br />Ey=y=02yfy<br />Ey=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=3=y=02y13(x+y)(x+1)<br />Ey=3=y=02y13(3+y)(3+1)<br />Ey=3=y=02y13(3+y)(3+1)<br />Ey=3=y=02y(y+3)12<br />Ey=3=112y=02y(y+3)<br />Ey=3=112y=02 y2+3y<br />Ey=3=112(12+3)+(22+6)<br />Ey=3=112 4+10<br />Ey=3=1412<br />Ey=3=76<br />Calculo de Ex<br />110x+119z+1=190x+1(z+1)<br />190x+1z+1=190x+1z+1<br />fxfz= fx,z<br />∴Son independientes<br />Ex=E(x)<br />Ex=2.01<br />Para cualquier valor de z donde z toma los valores de {1,2,3}<br />Calculo de Ez<br />110x+119z+1=190x+1(z+1)<br />190x+1z+1=190x+1z+1<br />fzfx= fx,z<br />∴Son independientes<br />Ez=E(z)<br />Ez=2.16<br />Para cualquier valor de x donde x toma los valores de {0,1,2,3}<br />Calculo de Ey<br />1153+2y 19z+1=11353+2y(z+1)<br />11353+2yz+1=11353+2yz+1<br />fyfz=fy,z <br />∴Son independientes<br />Ey=E(y)<br />Ey=1.26<br />Para cualquier valor de z donde z toma los valores de {1, 2, 3}<br />Cálculo de Ez<br />1153+2y 19z+1=11353+2y(z+1)<br />11353+2yz+1=11353+2yz+1<br />fzfy=fy,z <br />∴Son independientes<br />Ez=E(z)<br />Ez=2.16<br />Para cualquier valor de y donde y toma los valores de {0, 1, 2}<br /> 3.6. Determinación de la Matriz de Correlación Muestral R <br />Dado que la correlación entre “x” y “y” está cercana a 0 su correlación es muy débil .<br />-0,07573303<br />Si r está cercano a 0, X y Z su correlación es muy débil.<br />0,4626313<br />Si r está cercano a 0, Y y Z su correlación es muy débil.<br />0,2039315<br />Matriz de Correlación<br />1-0,075733030,4626313-0,0757330310,20393150,46263130,20393151<br />4. Determinación de errores post experimentales<br />Para el siguiente cálculo vamos a usar las siguientes formulas:<br />%Error media= Media poblacional-Media muestralMedia poblacional*100<br />%Error varianza= Varianza poblacional-Varianza muestralVarianza poblacional*100<br />Errores<br />xyzMedia poblacional2,001,272,22Media muestral2,011,262,16%Error0,500,792,70xyzVarianza poblacional1,000,850,63Varianza muestral1,180,580,72%Error1831,9814,54<br />Podemos concluir que de la muestra tomada las medias muestran un porcentaje de error muy pequeño e insignificante por lo que no afecta a los datos reales y podemos tener buenas conclusiones de como se comportaría la población estudiada.<br />En cambio con la muestra tomada las varianzas muestran un porcentaje de error muy alto que puede considerárselo como un error muy grande por lo que afectaría al tener que analizar el comportamiento de la población estudiada.<br />5. Conclusiones<br />Al finalizar este proyecto puedo recordar todo lo ocurrido durante la realización de este por lo que he llegado a algunas conclusiones:<br />Una vez encontrada las características descriptivas tanto de la población como de la muestra concluyo que, si bien trabajar con una pequeña muestra facilita los cálculos esta nos proporciona datos reales ya que si se trabaja con una muestra que tenga un margen de error mínimo no se pierde información puesto que cuando uno trabaja con una población generalmente es una población demasiada grande. Inclusive en el cálculo de la varianza en el ejercicio llegue a encontrar un error (31.98%) que puede considerárselo como un error grande, así que es preferible trabajar otra muestra con la finalidad resultados veraces aunque esto nos signifique un mayor esfuerzo pero sabremos con exactitud el comportamiento de dicha población.<br />La muestra nos proporciona una tendencia con la cual podríamos suponer que es la misma de la población. Nos facilita los cálculos y es muy útil cuando no necesitamos de información precisa pero como dicho anteriormente, no deberíamos confiarnos en los resultados obtenidos debido a que no trabajamos con una muestra que tiene un margen de error grande.<br />Los gráficos fueron de mucha utilidad, de manera muy sencilla me proporciono una idea de las tendencias de las variables por lo que pude imaginar una posible respuesta a las actividades pedidas.<br />Establecer la función de probabilidad empleando variables aleatorias discretas es muy útil sobre todo cuando se desea trabajar con enormes cantidades de datos ya que, podemos encontrar una relación de estos para poder facilitar los cálculos estadísticos.<br />Recomendaciones <br />Es necesario realizar un estudio metódico, con tiempo acerca de las muestras para poder presentar datos fiables. <br />Es necesario estimas o suponer ciertos parámetros que ayuden a un análisis de éstas para que posean cierta “correspondencia.” <br />6. Bibliografía <br />PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: Fundamentos y Aplicaciones. Autor: Gaudencio Zurita Herrera. ISBN: 9789978310557. ICM – ESPOL. Guayaquil – Ecuador. www.icm.espol.edu.ec <br />INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA de BEAVER, ROBERT J. y BEAVER, BARBARA M. y MENDENHALL, WILLIAM. ISBN: 9789706861955. Nº Edición: 1ª ED. Año de edición: 2003. Plaza edición: MEXICO<br />Rodríguez Ojeada L. Probabilidad y Estadística Básica para Ingenieros. ICM – ESPOL. Guayaquil – Ecuador. www.icm.espol.edu.ec <br />Meet Minitab 15 para Windows Enero 2007<br />