Este documento define y explica conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz, su notación y tipos como matrices cuadradas, fila, columna, rectangular y cuadrada. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por escalar y producto. También define conceptos como matriz traspuesta, triangular superior e inferior, diagonal, unidad, simétrica, antisimétrica y más. Finalmente, introduce transformaciones elementales y la forma canónica o normal de Hermite.

1. Grado de Ingeniería Civil
Profesor: Eduardo Mena Caravaca

2. Definición
Una matriz A de orden mxn es un conjunto de
elementos pertenecientes a un cuerpo conmutativo
dispuestos en m filas y n columnas.
a11 a12 a13 a14 a15
A a21 a22 a23 a24 a25
a 31 a 32 a 33 a 34 a 35
3 5

3. Una matriz se denota con letra mayúscula
A (aij ) donde i 1,2,......m j 1,2,......n
El primer subíndice corresponde a la fila a la que pertenece y el segundo a la columna
NOMENCLATURA
Si m 1 se llama matriz fila
Si n 1 se llama matriz columna
Si m n se llama matriz rectangular
Si m n se llama matriz cuadrada de orden n

4. NOTACIONES
Al conjunto de matrices de orden mxn se denota por M m n
Al conjunto de matrices de orden n se denota por M n n
De esta forma anotamos B M4 3
1 0 1
2 1 0
B
5 3 7
0 1 1

5. Definiciones
Matriz NULA:
Aquella que verifica aij 0 i 1,2.....m j 1,2......n
La denotamos por
Matrices IGUALES:
A (aij ) B (bij ) es A B si aij bij i, j
Matriz TRASPUESTA
Dada una matriz A, la traspuesta, es la matriz que resulta al cambiar
las filas por las columnas y se denota por At

6. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
TRIANGULAR SUPERIOR Si ai, j 0 i j
2 1 0
A 0 1 5
0 0 2
TRIANGULAR INFERIOR Si ai, j 0 i j
2 0 0
B 2 1 0
7 5 0

7. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
DIAGONAL Si ai, j 0 siendo i j
2 0 0
A 0 1 0
0 0 3
ESCALAR: Es una matriz diagonal donde ai,i i
4 0 0
A 0 4 0
0 0 4

8. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
MATRIZ UNIDAD: Es una matriz escalar donde ai,i 1 i
1 0 0
I3 0 1 0
0 0 1
SIMÉTRICA Si A At
5 1 0
A 1 4 3
0 3 0

9. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
ANTISIMÉTRICA Si A At
0 1 0
A 1 0 2
0 2 0
PERIÓDICA Si p / Ap 1
A
Si p es el menor número que cumple la igualdad , p es el periodo
0 1
A
1 0

10. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
IDEMPOTENTE Si A2 A
0 3
A
0 1
NILPOTENTE Si p / Ap O
3 1
A
9 3

11. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
REGULAR: Si tiene inversa
2 3
A
0 1
SINGULAR: Si no tiene inversa
3 1
A
9 3
ORTOGONAL Si A 1
At cos sin
A
sin cos

12. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
INVOLUTIVA Si A2 I
1 0
A
0 1
INVERSA
1 1 1
A se dice la inversa de A si A A A A I

13. OPERACIONES CON MATRICES
SUMA
Am n
aij
Sean Cm n
Am n
Bm n
siendo cij aij bij
Bm n
bij
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Am n
aij
Sean Bm n
Am n
siendo bij aij
PRODUCTO DE MATRICES
Am n
aij n
Sean Cm p
Am n
Bn p
siendo cij aikbkj
Bn p
bij k 1

14. PROPIDADES DE LA TRASPOSICIÓN
t
t
A A
t
t t
A B A B
t
t
A A
t
t t
A B B A

15. PROPIDADES DE LA INVERSA
1
1
A A
1 t
t 1
A A
1
1 1
A B B A

16. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Se definen tres transformaciones elementales sobre las filas o las columnas:
1. Intercambiar la fila i por la fila j, la denotamos por : Fij
2. Multiplicar la fila i por un número k≠ 0, la denotamos por : Fi (k )
3. Sumar a la fila i la j multiplicada por un número k : Fij (k )
Análogamente las transformaciones elementales de columnas son :
C ij C i (k ) C ij (k )

17. Ejemplo
1 2 0 1 2 0
A 3 1 1 F21( 3) 0 5 1 B
1 0 2 1 0 2
NOTA
Si en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna,
la matriz obtenida se dice que es equivalente y se denota por:
A B

18. MATRIZ ELEMENTAL
Es la matriz que resulta al aplicar una transformación elemental
a la matriz unidad.
1 0 0 1 0 0
I 0 1 0 F1 0 1 0
0 0 1 F3 (2) 0 0 2
NOTA
A la matriz resultante la designamos por Fi si es por fila y Ci
si es por columna .
Toda matriz elemental es regular. Y el producto de matrices regulares
es otra matriz regular.

19. MATRIZ ELEMENTAL
Observa
Las transformaciones en I Fij , C ij y Fi (k ), C i (k ) dan la misma matriz.
1 0 0 1 0 0
I 0 1 0 F2 (3) F1 0 3 0
0 0 1 0 0 1
C 2 (3)
1 0 0 1 0 0
I 0 1 0 C1 0 3 0
0 0 1 0 0 1
F1 C1

20. Nota
La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental
en la matriz A de orden m n por filas (columnas) coincide
con la matriz obtenida al multiplicar por la izquierda (derecha) la
matriz A por la matriz elemental correspondiente.
3 1 0 1 F13 (3) 0 4 0 10
A 2 1 1 0 B 2 1 1 0
1 1 0 3 1 1 0 3
1 0 0 F13 (3) 1 0 3
I 0 1 0 F1 0 1 0 Vemos que B F1A
0 0 1 0 0 1

21. Recuerda
Si en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila
o columna, la matriz obtenida se dice que es equivalente .
Definición equivalente a esta otra:
Dos matrices A, B son equivalentes si se obtiene una de otra por
una sucesión de transformaciones elementales .
Si A, B Mm n
son equivalentes, entonces se verifica:
B Fr F2 F1 A C1 C 2 Cp
Siendo Fi y C j las matrices elementales que representan las
transformaciones aplicadas a las filas y las columnas de A

22. Por tanto como Fi y C j son matrices elementales su producto
es una matriz regula r y la expresión:
B Fr F2 F1 A C1 C 2 Cp
La podemos escribir de esta forma : B P A Q
Otra definición de matrices equivalente s:
A, B Mm n son equivalentes, si y sólo sí
P,Q regulares / B PAQ
A las matrices P Mm m
y Q Mn n
se les llaman
matrices de PASO

23. FORMA CANÓNICA , NORMAL o de HERMITE
Dada una matriz A Mm n
su matriz de HERMITE es una matriz
equivalente, en la que los únicos elementos no nulos son los aii 1
Hay cuatro formas de HERMITE :
Ir
| O Ir
Ir ; | ; ; Ir | O
O | O O
A r se le llama rango de la matriz A Mm Rg (A) r
m
El rango es el número de filas o columnas no nulas en la matriz de HERMITE

24. Ejemplo de cómo obtener la matriz de HERMITE
Obtener la matriz de Hermite de :
2 4 0 6
A 5 10 0 15
1 2 0 3
2 4 0 6 2 4 0 6 2 0 0 0 C1 1
2
1 0 0 0
5 10 0 15 F21 5
2
0 0 0 0 C 21 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 3 F31 1
2
0 0 0 0 C 41 3 0 0 0 0 0 0 0 0
Rg (A) 1

25. La matriz de Hermite de una matriz A es única
La matriz de Hermite es equivalente a la matriz A
La matriz de Hermite tiene la misma dimensión
y rango que la matriz A
Teorema
Dos matrices A y B son equivalentes si y solo sí tienen igual dimensión y rango.
Demostración
c.n
AyB son equivalentes B PAQ
H RAS
además H H*
H* TBU H* TPAQU H* VAY
Si tienen la misma matriz de HERMITE tienen la misma dimensión y rango.

26. c.s.
Si Ay B tienen la misma dimensión y rango, tienen la misma matriz
H RAS
de Hermite TBU RAS B T 1RASU 1 PAQ
H TBU
Por tanto AyB son equivalentes c.q.d.
Propiedades
1) Toda matriz regular A M n puede obtenerse a partir de I n mediante
transformaciones elementales de filas y columnas, o de filas solamente, o
columnas solamente.
2) Cualquier par de matrices regulares Ay B Mn se pueden obtener
una de la otra mediante operaciones elementales únicamente de filas o
únicamente de columnas.

27. Aplicación : Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jordan
Sea A Mn una matriz regular In A P regular / I n PA
1 1 1
Si I n PA I nA PAA A P
con P Mn matriz de paso por filas, ya que está multiplicando a la izquierda.
De igual forma se obtendría por columnas.
0 1
Ejemplo: Hallar la inversa de A
1 3
1 0 | 0 1 F12 0 1 | 1 3 F1( 1) 0 1 | 1 3
0 1 | 1 3 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1
0 1 | 1 3 F12 (3) 3 1 | 1 0 1
3 1
A
1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0

28. DETERMINANTES
Conceptos iniciales:
Consideremos el conjunto 1,2, 3 una permutación es una agrupación de
esos tres elementos. Por ejemplo: 321
A la agrupación 123 , le llamamos permutación base .
El número de agrupaciones o permutaciones que se pueden obtener es:
P3 3! 3 2 1 6
Anotaremos las permutaciones por:
j
En nuestro ejemplo:
1
123 2
132 3
213 4
231 5
312 6
321
Anotaremos el elemento i de la permutación j por:
j
(i )
1
(2) 2 3
(1) 2 6
(3) 1

29. DETERMINANTES
Conceptos iniciales:
Llamamos trasposición al cambio de dos elementos de un permutación entre sí.
123 132 312
una trasposición otra trasposición
Una permutación se dice PAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle
para pasarla a la permutación base es PAR.
Se dice que es IMPAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle para
pasarla a la permutación base es IMPAR.
5
312 312 132 123 PAR
primera trasposición segunda trasposición
2
132 132 123 IMPAR
primera trasposición

30. DETERMINANTES
Conceptos iniciales:
Para n>1 el número de permutaciones es un número par.
La mitad de ellas son PARES y la otra mitad son IMPARES.
A cada permutación le asociamos un signo: + si es PAR y - si es IMPAR
sg( 5 ) sg( 2 )
Dada una matriz A Mn anotaremos su determinante por A
n
1 2 1 1 2 1
A 0 1 3 A 0 1 3
1 2 5 1 2 5

31. DETERMINANTES
Valor de un determinante de una matriz cuadrada:
a11 a12 a13 . a1n
a21 a22 a23 . a 2n
n
A a 31 a 32 a 33 a 3n sg( j )a1 (1)
a2 (2)
a3 (3)
an (n )
j j j j
j 1
. . . . .
an 1 an 2 an 3 . ann
Observa:
El determinante de orden n es la suma de todos los productos , afectados
con signo + ó - de n elementos que se pueden formar tomando un elemento
de cada fila y de cada columna, sin que haya dos elementos que pertenezcan a
la misma fila o columna.

32. DETERMINANTES
Definiciones:
Si en un determinante de orden n suprimimos la fila i y la columna j se
obtiene un determinante de orden n-1 que se llama menor complementario
del elemento a y se representa por ij
ij
1 2 1
0 1 1 1
A 0 1 3 13
1 2 32
0 3
1 2 5
Se denomina adjunto del elemento a ij y lo representamos por Aij a su
menor complementario afectado del signo + ó - según que i+j sea par o
impar.
i j
A
ij
( 1) ij

33. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
1) Si en un determinante todos los elemento de una línea (fila o columna) son
nulos entonces A 0
En efecto, ya que en cada producto de cada uno de los sumandos hay un elemento
de dicha línea.
1 2 1
A 0 0 0 1 0 5 2 0 1 0 2 1 1 0 1 2 0 5 0 2 1 0
1 2 5

34. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
2) Si se cambian entre sí dos línea paralelas, el determinante cambia de signo.
En efecto, ya que al intercambiar entre sí dos elementos de una permutación , ésta
cambia de paridad y al cambiar dos línea paralelas entre sí los productos aparecen
asociados ahora a la permutación resultante de intercambiar los correspondientes
elementos, todos los productos cambian de signo, por lo que el determinante
también lo hace.
1 2 1 1 2 5
A 1 0 3 8 B 1 0 3 8
1 2 5 1 2 1

35. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
3) Si un determinante tiene dos línea paralelas iguales, entonces vale cero.
Por la propiedad anterior, al cambiar las dos filas iguales el determinante cambia
de signo, pero dicho determinante sigue siendo del mismo valor, por tanto vale
cero.
A A 2A 0 A 0
4) Si se multiplican todos los elementos de una línea por un número el valor
del determinante queda multiplicado por ese número.
Al multiplicar todos los elementos de una línea por un número, dicho número
aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos sacarlo
factor común.
1 2 1 1 2 1
A 1 0 3 8 B 3 0 9 24 3 8
1 2 5 1 2 5

36. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
5) Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos
el determinante se puede descomponer en suma de dos determinantes.
Si en todos los elementos de una línea aparece un factor de la forma (a+b) dicho
factor aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos
aplicar la propiedad distributiva y descomponerlo en suma de dos determinantes.
1 3 2 0 1 2 1 2 1 3 0 2
1 0 3 1 0 3 1 0 3
1 2 5 1 2 5 1 2 5

37. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
6) Si una línea es combinación lineal de otras paralelas el determinante es nulo.
a12 a1n a12 . a1n a12 a12 . a1n a1n a12 . a1n
a22 a 2n a22 . a2n a22 a22 . a2n a2n a22 . a 2n
0
. . . . . . . . . . . .
an 2 ann an 2 . ann an 2 an 2 . ann ann an 2 . ann
7) Si a una línea le sumamos una combinación lineal de otras paralelas el
determinante no varía.
a11 a12 a12 . a1n a11 a12 . a1n a12 a12 . a1n a11 a12 . a1n
a21 a22 a22 . a2n a21 a22 . a 2n a 22 a 22 . a 2n a 21 a 22 . a 2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
an 1 an 2 an 2 . ann an 1 an 2 . ann an 2 an 2 . ann an 1 an 2 . ann

38. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
8) Si en un determinante una línea es de ceros salvo un elemento, el valor de dicho
determinante es el producto de dicho elemento por su adjunto.
a11 0 . 0
a21 a22 . a 2n n n
sg( j )a1 a2 a3 an a11 sg( j )a2 a3 an
. . . . j 1
j
(1) j
(2) j
(3) j
(n )
j 1
j
(2) j
(3) j
(n )
an 1 an 2 . ann
n n
a11 0 . 0 a22 a23 . a 2n
a21 a22 . a 2n a 32 a 33 . a 3n
a11 a11A11
. . . . . . . .
an 1 an 2 . ann an 2 an 3 . ann
n n (n 1) (n 1)

39. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
9) El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos
de una línea por sus adjuntos respectivos.
Aplicamos las propiedades 5 y 8 al siguiente determinante:
a11 a12 . . a1n
. . . . .
n
A ai 1 0 .. 0 0 ai 2 .. 0 . . 0 0.. ain aij Aij
j 1
. . . . .
an 1 an 2 an 3 . ann

40. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
10) La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de
otra línea paralela a ella, es cero.
a11 a12 . a1n
a21 a22 . a 2n
Sea el determinante : A
. . . .
an 1 an 2 . ann
Formamos el determinante con dos filas iguales:
a11 a12 . a1n
a11 a12 . a1n
B a11B21 a12B22 .. a1n B2n a11A21 a12A22 .. a1nA2n 0
. . . .
an 1 an 2 . ann

41. PROPIEDADES de los DETERMINANTES
11) El determinante de una matriz es igual a la de su traspuesta.
t
A A
En efecto, ya que un determinante está formado por todos los productos en los que
intervienen un elemento de cada fila y de cada columna, al cambiar filas por
columnas se obtendrán los mismos productos aunque la permutación base está
ahora referida a las columnas y no a las filas.
1 2 1 1 1 1
A 1 0 3 8 At 2 0 2 8
1 2 5 1 3 5

42. REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de orden 2
a11 a12
a11a22 a12a21
a21 a22
Determinantes de orden 3 Regla de Sarrus
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 a11a22a 33 a12a 23a 31 a 21a 32a13 (a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11 )
a 31 a 32 a 33

43. REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de orden n
Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea.
Aplicando la propiedad número nueve.
a11 a12 . . a1n
. . . . .
n
A ai 1 ai 2 . . ain aij Aij
j 1
. . . . .
an 1 an 2 an 3 . ann
El determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden n-1.

44. REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de orden n
Regla de Chio o método pivote
Consiste en fijar en una fila o una columna un elemento llamado pivote
(por comodidad suele ser un elemento que vale 1) y hacer 0, utilizando
las propiedades, todos los elementos de dicha fila o columna. Posteriormente
se desarrolla dicho determinante por los elementos de esa fila o columna.
0 a12 . . a1n
. . . . .
A ai 1 ai 2 . . ain ai 1Ai 1
. . . . .
0 an 2 . . ann
El determinante de orden n se reduce a calcular un determinante de orden n-1.

45. REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de matrices triangulares de orden n
El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual
al producto de los elementos de la diagonal principal.
a11 a12 a13 a14
a22 a23 a24
0 a22 a23 a24 a 33 a 34
A a11A11 a11 0 a 33 a 34 a11a 22 a11a 22a 33a 44
0 0 a 33 a 34 0 a 44
0 0 a 44
0 0 0 a 44
El determinante de un producto de matrices es igual al producto
de los determinante
A B A B

46. APLICACIONES de los DETERMINANTES
Cálculo del rango de una matriz
Es el orden del mayor determinante (menores) no nulo que se puede formar con
filas y columnas de la matriz.
Al determinante formado por las r primeras filas y las r primeras columnas
se le llama menor principal de orden r.
1 2 0 1 1 2 0 1 2 1
1 2
A 2 0 3 1 0 2 0 3 0 2 0 1 0 Rg(A) 2
2 0
4 4 3 3 4 4 3 4 4 3
El menor principal de orden dos es distinto de cero y los demás menores de orden
tres que podemos ampliar son nulos luego el rango es dos.

47. APLICACIONES de los DETERMINANTES
Cálculo de la matriz inversa
a11 a12 . . a1n
Dada una matriz cuadrada
. . . . .
A ai 1 ai 2 . . ain
. . . . .
an 1 an 2 . . ann
Se llama matriz ADJUNTA a la matriz formada por los adjuntos de cada elemento.
A11 A12 . . A1n
. . . . .
Adj (A) Ai 1 Ai 2 . . Ain
. . . . .
An 1 An 2 . . Ann

48. APLICACIONES de los DETERMINANTES
El producto de una matriz por la traspuesta de la matriz adjunta es igual al
determinante de la matriz por la matriz unidad.
a11 a12 . . a1n A11 A21 . . An 1 A 0 . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
ai 1 ai 2 . . ain A1i A2i . . Ani 0 0 . . 0 A In
. . . . . . . . . . . . . . .
an 1 an 2 . . ann A1n A2n . . Ann 0 0 . . A
Por tanto :
t 1 t
1 1 t
A Adj(A) A In A Adj(A) In A Adj(A)
A A